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2020高考数学模拟试题及答案(理科)

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2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷(理科)

2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷(理科)

2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数3213iz i-+=++，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）设集合{|||3}P x x =>，2{|4}Q x x =>，则下列结论正确的是( ) A ．QP B ．P Q C ．P Q = D ．P Q R =3．（5分）若2242(),log 3,log 63a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．（5分）若x ，y 满足约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩则2z x y =+的最大值为( )A ．10B ．8C ．5D ．35．（5分）“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升” )的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为( )立方分米．A ．40B ．853C ．30D ．7336．（5分）不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为( )A ．314B ．37C ．67D ．13287．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N ．若2MF FN =，则||MF 的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．28．（5分）某函数的部分图象如图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是( )A ．sin 2sin 2x xy e = B ．cos2cos2x xy e = C ．cos2|cos2|xx y e =D ．cos |cos |xx y e =9．（5分）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择C ，D 两观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45︒，30︒并测得120BCD ∠=︒，C ，D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是( )A ．300 mB ．600 mC ．3003mD ．6003m10．（5分）已知函数()2|cos |sin sin 2f x x x x =+，给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增；③函数()f x 的最小正周期为π． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．311．（5分）已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板(Rt ACD ∆与Rt BCD)∆组成的三角形，如左图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至△1D AC 处1(D 不在平面ABC 上）．若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(θ )A ．(0,45)θ∈︒︒B ．(0θ∈︒，45]︒C ．(0θ∈︒，60]︒D ．(0,60)θ∈︒︒12．（5分）设符号{min x ，y ，}z 表示x ，y ，z 中的最小者，已知函数(){|2|f x min x =-，2x ，|2|}x +则下列结论正确的是( )A ．[0x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->B ．[1x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->C ．x R ∀∈，(())()f f x f xD ．x R ∀∈，(())()f f x f x >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．（5分）函数y x lnx =+在点(1,1)处的切线方程为 ．14．（5分）已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，若()()a a b b a b ++-的最大值为1，则向量a ，b 的夹角θ的最小值为 ，|2|a b +的取值范围为 ．15．（5分）飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀．某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是16．（5分）已知双曲线C 的方程为2218y x -=，右焦点为F ，若点(0,6)N ，M 是双曲线C的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ，*n N ∈时，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*,nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==，点M ，E 分别是PA ，PD 的中点．（1）求证：//CE 平面BMD ；（2）点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值．19．（12分）已知椭圆2222:1(0))x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，且||4AB =，椭圆C 3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(1M ，)(0)m m ≠在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AM F ∆面积是BM E ∆面积的5倍，求m 的值．20．（12分）BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮．某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高()i cm x166167160173178169158173体重()i kg y57 58 53 61 66 57 50 66（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误．已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58()kg ．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．参考公式：2211()1(nii i n ii yy R y==-=-∑∑．1122211()()ˆ()nnix i yi ix yi i nnixixi i xy x yn bxxn----==--==---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-．ˆˆˆi i ie y bx a =--． 参考数据：8178880i i i x y ==∑，281226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，821()226i i y y =-=∑．21．（12分）已知函数()2()f x ln ax b =+，其中a ，b R ∈．（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数2()(1)(1)()(g x ax a ax f x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据5:0.223)4ln ≈请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-，曲线2C 的极坐标方程为cos()3a πρθ-=，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程； （2）设()||||||||f OA OB OC OD α=+，当63ππα时，求()f α的值域．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||1|f x x x =-+-． （Ⅰ）求不等式()4f x 的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c R +∈，且a b c m ++=时，求2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数3213iz i-+=++，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数3(13)2221313i i i z i i i-++=+=+=+++，则复数z 在复平面内对应的点(2,1)在第一象限． 故选：A ．2．（5分）设集合{|||3}P x x =>，2{|4}Q x x =>，则下列结论正确的是( ) A ．QP B ．P Q C ．P Q = D ．P Q R =【解答】解：集合{|||3}{|3P x x x x =>=<-或3}x >，2{|4}{|2Q x x x x =>=<-或2}x >，P Q ∴，故选：B ．3．（5分）若2242(),log 3,log 63a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【解答】解：由 可得49a =，42log 6log c == 则 可知，1bc a >>>， 故选：B ．4．（5分）若x ，y 满足约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩则2z x y =+的最大值为( )A ．10B ．8C ．5D ．3【解答】解：由约束条件02636,x y x y +⎧⎨-⎩作出可行域如图，化目标函数2z x y=+为直线方程的斜截式，122zy x=-+，由图可知，当直线122zy x=-+过(3,0)A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．故选：D．5．（5分）“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升”)的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为()立方分米．A．40B．853C．30D．733【解答】解：由三视图还原原几何体如图，要加工成如图所示散斗，则长方体木料长的最小值为4，宽的最小值为4，高的最小值为52， 则则长方体木料的最小体积为544402⨯⨯=立方分米． 故选：A ．6．（5分）不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为( ) A ．314B ．37C ．67D ．1328【解答】解：不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，基本事件总数2828n C ==，取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球包含的基本事件个数：116212m C C ==，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为123287m p n ===． 故选：B ．7．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N ．若2MF FN =，则||MF 的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【解答】解：由抛物线的方程可得焦点(2,0)F ，准线方程为：2x =-，作MA 垂直于y 轴交于A ，因为2MF FN =，所以可得F 为线段MN 的三等分点，即13NF MN =，由NFO NMA ∆∆∽，所以13OF MA =，即3326MA OF ==⨯=，所以||628MF =+=， 故选：A ．8．（5分）某函数的部分图象如图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是( )A ．sin 2sin 2x xy e = B ．cos2cos2x xy e = C ．cos2|cos2|xx y e =D ．cos |cos |xx y e =【解答】解：由图象可知，当0x =时，0y ≠，故排除选项A ； 又对任意的x ，函数值0y ，故排除选项B ； 对选项D ，当12x π=>时，0y =，这与图象矛盾，综上，选项C 满足题意． 故选：C ．9．（5分）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择C ，D 两观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45︒，30︒并测得120BCD ∠=︒，C ，D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是( )A ．300 mB ．600 mC ．3003mD ．6003m【解答】解：设AB x =，由图利用直角三角形的性质可得：BC AB x ==，3BD x =， 在BCD ∆中，由余弦定理可得：22236002600cos120x x x =+-⨯︒，化为：23001800000x x --=，解得600x =． 故选：B ．10．（5分）已知函数()2|cos |sin sin 2f x x x x =+，给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增；③函数()f x 的最小正周期为π． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3 【解答】解：332cos sin sin 2,[2,2]0,[2,2]2222()2|cos |sin sin 2,2cos sin sin 2,[2,2)2sin 2,[2,2)2222x x x x k k x k k f x x x x k Zx x x x k k x x k k ππππππππππππππππ⎧⎧-+∈++∈++⎪⎪⎪⎪=+==∈⎨⎨⎪⎪+∈-++∈-++⎪⎪⎩⎩，其大致图象如图所示，①()f x 的图象不关于直线4x π=对称，即①错误；②()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增，即②正确； ③()f x 的最小正周期为2π，即③错误． 所以真命题只有②， 故选：B ．11．（5分）已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板(Rt ACD ∆与Rt BCD)∆组成的三角形，如左图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至△1D AC 处1(D 不在平面ABC 上）．若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(θ )A ．(0,45)θ∈︒︒B ．(0θ∈︒，45]︒C ．(0θ∈︒，60]︒D ．(0,60)θ∈︒︒【解答】解：作//AP DM ，1AD 可以看成以AC 为轴线，以45︒为平面角的圆锥的母线， 由题意知1AD 与AP 落在同一个轴截面上时， 1PAD ∠取得最大值，则1PAD ∠的最大值为60︒，此时，1D ∈平面ABC ，1D 不在平面ABC 上，1(0,60)PAD ∴∠∈︒︒，∴在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(0,60)θ∈︒︒．故选：D ．12．（5分）设符号{min x ，y ，}z 表示x ，y ，z 中的最小者，已知函数(){|2|f x min x =-，2x ，|2|}x +则下列结论正确的是( )A ．[0x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->B ．[1x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->C ．x R ∀∈，(())()f f x f xD ．x R ∀∈，(())()f f x f x >【解答】解：如图所示：由题意可得A 中，2,[0,1]()|2|,(1,)x x f x x x ⎧∈=⎨-∈+∞⎩B 中，当12x 时，120x --，(2)(2)2()f x f x x f x -=--=，当23x <时，021x <-，(2)2()f x x f x --=，当34x <时，122x <-，(2)2(2)42()f x x x x f x -=--=--=，当4x ，22x -，恒有(2)()f x f x -<，所以B 不正确，A 也不正确；C 中，从图象上看，[0x ∈，)+∞，()f x x ，令()t f x =，则0t ，所以()f t t ，即(())()f f x f x ，故C 正确，D 不正确． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．（5分）函数y x lnx =+在点(1,1)处的切线方程为 210x y --= ． 【解答】解：1y x nx =+，∴11y x'=+， 1|112x k y =∴='=+=，∴函数1y x nx =+在点(1,1)处的切线方程为12(1)y x -=-，整理，得210x y --=． 故答案为：210x y --=．14．（5分）已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，若()()a a b b a b ++-的最大值为1，则向量a ，b 的夹角θ的最小值为23π，|2|a b +的取值范围为 ． 【解答】解：设向量a ，b 的夹角为θ，则[0θ∈，]π； 又||2a =，||1b =，所以22()()421cos 12cos 134cos a a b b a b a a b b a b θθθ++-=++-=+⨯⨯+⨯⨯-=+， 即34cos 1θ+， 解得1cos 2θ-； 则向量a ，b 的夹角θ的最小值为23π； 即2[3πθ∈，]π； 所以222(2)444421cos 488cos a b a a b b θθ+=++=+⨯⨯⨯+=+， 又cos [1θ∈-，1]2-，所以88cos [0θ+∈，4]，所以|2|a b +的取值范围是[0，2]． 故答案为：23π，[0，2]． 15．（5分）飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀．某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是 124125【解答】解：飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀． 某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45， 则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是： 0033411241()()55125P C =-=． 故答案为：124125．16．（5分）已知双曲线C 的方程为21x =，右焦点为F ，若点(0,6)N ，M 是双曲线C的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为 2【解答】解：双曲线的标准方程为2218y x -=，设双曲线的左焦点为F '，由双曲线C 可得(3,0)F ，(3,0)F '-，||NF =MNF ∆周长为||||||||||MN MF NF MN MF ++=++，由双曲线的定义可得||||22MF MF a '-==， 即有||||||||2MN MF MN MF '+=++， 当P 在左支上运动到M ，N ，F '共线时，||||MN MF '+取得最小值||NF '=则有MNF ∆周长的最小值为22=．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ，*n N ∈时，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*,nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 【解答】解：（1）数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =， 设数列的首项为1a ，公差为d ， 则：1112335a d a d a d+=⎧⎨+=+⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)n a n n =+-=．数列{}n b 满足：2124b b ==，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+．① 所以1122111(24)2n n n a b a b a b n b ---++⋯+=-+．② ①-②得：1(22)(24)n n n n a b n b n b -=---， 由于n a n =， 整理得12nn b b -=（常数）， 所以数列{}n b 是以12b =为首项，2为公比的等比数列． 所以1222n n n b -=⨯=． 由于首项符合通项公式， 所以2n n b =．证明：（2）由（1）得2n n n n a nc b ==， 所以212222n n nT =++⋯+①， 故2311122222n n nT +=++⋯+② ①-②得：211111(1)1111122()112222222212n n n n n n n n n n T +++-=++⋯+-=-=---， 所以112222n n n nT -=--<． 即122n c c c ++⋯+<．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==，点M ，E 分别是PA ，PD 的中点．（1）求证：//CE 平面BMD ；（2）点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：连接ME ，因为点M ，E 分别是PA ，PD 的中点，所以12ME AD =，//ME AD ，所以//BC ME ，BC ME =，所以四边形BCEM 为平行四边形， 所以//CE BM ．又因为BM ⊂平面BMD ，CE ⊂/平面BMD ， 所以//CE 平面BMD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（2）如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则又1(2CQ =-，1-，1)，(1CE =-，0，1)，设平面CEQ 的法向量为(n x =，y ，)z ，列方程组00n CQ n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得：120x y z x z ⎧--+=⎪⎨⎪-+=⎩其中一个法向量为(2n =，1，2)，设直线PA 与平面CEQ 所成角大小为θ，于是22sin 3414001θ==++++， 进而求得5cos θ=（15分） 19．（12分）已知椭圆2222:1(0))x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，且||4AB =，椭圆C 3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点(1M ，)(0)m m ≠在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AM F ∆面积是BM E ∆面积的5倍，求m 的值．【解答】解：（1）由题意可得：222243a ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=；（2）(1,)M m ，(2,0)A -，(2,0)B ，∴直线AM 的斜率3AM m k =， ∴直线AM 的方程为：(2)3my x =+， 联立方程22(2)314m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21294E m y m =+， 同理可得2414F my m =+，5AMF BME S S ∆∆=，即()5()ABF ABM ABE ABM S S S S ∆∆∆∆-=-， 54ABF ABE ABM S S S ∆∆∆∴=-，∴22412||5||4||1494m mm m m=-++，又0m ≠， 42161630m m ∴-+=，解得214m =或34， 点M 在椭圆内，∴234m <， ∴214m =， 12m ∴=±．20．（12分）BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮．某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误．已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58()kg ．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．参考公式：22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑．1122211()()ˆ()nnix i yi ix yi i nnixixi i xy x yn bxxn----==--==---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-．ˆˆˆi i ie y bx a =--． 参考数据：8178880i i i x y ==∑，281226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，821()226i i y y =-=∑．【解答】解：（1）由题意知线性回归方程为ˆ0.875.9y x =-， 计算6ˆ570.816975.9 2.3e=-⨯+=-， 7ˆ500.815875.90.5e=-⨯+=-， 8ˆ660.817375.9 3.5e=-⨯+=； 完善下列残差表如下，计算22121()111(0.010.090.81 2.250.25 5.290.2512.25)10.090.90226()nii i n ii yy R yy ==-=-=-⨯+++++++≈-=-∑∑；所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值20.90R ≈． （2）通过残差分析知，残差的最大（绝对值）的那组数据为第8组，且858y =，由8178880i i i x y ==∑，计算修订后8178880173661735877496i i i x y ='=-⨯+⨯=∑，又281226112i ix ==∑，168x =，修订后1(858.56658)57.58y '=⨯⨯-+=，所以1222177496816857.5ˆ0.6752261128168ni ix yi nixi x yn bxn --=-=--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ57.50.67516855.9ay bx ='-=-⨯=-； 所以x 关于y 的线性回归方程是ˆ0.67555.9yx =-． 21．（12分）已知函数()2()f x ln ax b =+，其中a ，b R ∈．（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数2()(1)(1)()(g x ax a ax f x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据5:0.223)4ln ≈【解答】解：（1）设直线y x =与()y f x =相切于点0(P x ，02())ln ax b +， 2()af x ax b '=+， 002()1af x ax b '∴==+，02ax b a ∴+= (0)a >，又点P 在切线y x =上，002()ln ax b x ∴+=， 022ln a x ∴=，02222b a ax a aln a ∴=-=-，因此22222ab a a ln a =-(0)a >，设g （a ）22222a a ln a =-，0a >，g '∴（a ）2422(122)a aln a a ln a =-=-，令g '（a ）0>得，0a <<g '（a ）o <得，a > g ∴（a）在上单调递增，在，)+∞上单调递减， g ∴（a）的最大值为4e g =， ab ∴的最大值为4e ； （2）函数2()(1)(1)()(g x ax a axf x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，等价于方程22(1)(1)(1)ln ax ax a ax +=+++有两个不相等的实根，设1t ax =+，则等价于方程220lnt t at --= (0)t >有两个不同的解，即关于t 的方程22lnt t a t-= (0)t >有两个不同的解， 设22()lnt t h t t -=，则2222()t lnt h t t --'=， 设2()22m t t lnt =--，由0t >可知()m t '=-， ()m t ∴在(0,)+∞上单调递减，又m （1）10=>，575()204164m ln =-<， ∴存在05(1,)4t ∈使得0()0m t =，即200220t lnt --=，∴20022lnt t +=， ∴当0(0,)t t ∈时，()0m t >，()0h t '>，函数()h t 单调递增；当0(t t ∈，)+∞时，()0m t <，()0h t '<，函数()h t 单调递减，∴函数()h t 的极大值为220000000022229()2(,0)10lnt t t h t t t t t --===-∈-， 要使得关于t 的方程22lnt t a t-= (0)t >有两个不同的解，则0()a h t <， 当1a =-时，设2()2p t lnt t t =-+， 则2()21p t t t'=-+，可知()p t在上单调递增，在，)+∞上单调递减， 又p （1）0=，0p >，p （e ）220e e =-+<， ()p t ∴有两个不同的零点，符合题意，a ∴的最大整数值为1-．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-，曲线2C 的极坐标方程为cos()3a πρθ-=，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程；（2）设()||||||||f OA OB OC OD α=+，当63ππα时，求()f α的值域．【解答】解：（1）1:4cos()3C πρθ=-，即22cos sin ρρθθ=+，化为直角坐标方程为22(1)(4x y -+=把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a -=，因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线20a =经过圆心(1，解得2a =，故2C 的直角坐标方程为0x =．（2）由题意可得，当63ππα时，||4sin OA α=；||4cos()3OB πα=-；||4cos OC α=；||4sin()3OD πα=-， ∴设2()||||||||16sin cos 16cos()sin()8sin 28sin(2)12sin 2)3336f OA OB OC OD ππππαααααααααα=+=+--=--=+=+，当63ππα时，52266πππα+， 383sin(2)836πα+，故()f α的值域为[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||1|f x x x =-+-．（Ⅰ）求不等式()4f x 的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c R +∈，且a b c m ++=时，求【解答】解：（Ⅰ）1()42324x f x x ⎧<⎪⇔⎨⎪-+⎩或1124x x ⎧<⎪⎨⎪⎩或1324x x ⎧⎨-⎩， 解得223x -， 故不等式()4f x 的解集为2{|2}3x x -（Ⅱ）132,21(),1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=<⎨⎪-⎪⎪⎩，1()2min f x ∴=，即12m =， 又a ，b ，c R +∈且12a b c ++=，z 则2221a b c ++=，设x =yz =， 222x y xy +，2222121222xy x y a b a b +=+++=++，同理：2222yz a c ++，2222xz c a ++，2222222222228xy yz xz a b b c c a ∴++++++++++=，2222()222212121812x y z x y z xy yz xz a b c ∴++=+++++++++++=， 23x y z ∴++，即123，当且仅当16a b c ===时，取得最大值．。

2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (88)

2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (88)

2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，，则A∩B=（）A. B. C. D.2.命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（）A. ,且B. ,或C. ,且D. ,或3.已知数列{a n}中，“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的什么条件（）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.设函数，若，则b等于（）A. 2B. 1C.D.5.已知，则cos2α=（）A. B. C. D.6.设向量满足，且与的夹角为，则=（）A. 2B. 4C. 12D.7.已知等差数列{a n}中，a3+a5=π，S n是其前n项和．则sin S7等于（）A. 1B. 0C.D.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则C等于（）A. B. C. 或 D. 或9.设f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+3）=f（x-1），若当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，记，，c=f（32），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sin x-cos x，g（x）是f（x）的导函数，则下列结论中错误的是（）A. 函数的值域与的值域相同B. 若是函数的极值点,则是函数的零点C. 把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象D. 函数和在区间上都是增函数11.在△ABC中，AC⊥AB，AB=2，AC=1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则2λ+μ的最小值是（）A. B. 5 C. 1 D.12.设函数，若存在f（x）的极值点x0满足，则m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），则a=______．14.已知函数f（x）=log a x+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b= ______ ．15.由曲线，直线y=2x，x=2所围成的封闭的图形面积为______．16.用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：6的因数有1，2，3，6，g（6）=3，9的因数有1，3，9，g（9）=9，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g （22019-1）=______．三、解答题（本大题共6小题）17.给定两个命题，p：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立；q：幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．19.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S4=16．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）当d＞1时，记，求数列{c n}的前n项和T n．20.已知函数，，（Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围．21.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长L的取值范围．22.已知函数，函数g（x）=-2x+3．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜2}，={x|x≥0}，∴A∩B={x|0≤x＜2}=[0，2）．故选：C．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：命题的全称命题，则否定是特称命题，即∃x0∈N*，x02∉N*或x02＜x0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为等比数列，则满足a n+12=a n•a n+2，当数列a n=0时满足a n+12=a n•a n+2，但此时数列{a n}为等比数列不成立，即“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．结合等比数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，则f（）=4×-b=3-b，若b≤2，则3-b≥1，此时f（f（））=f（3-b）=23-b=4，解可得b=1；若b＞2，则3-b＜1，此时f（f（））=f（3-b）=4×（3-b）-b=12-5b=4，解可得b=，（舍）故b=1；故选：B．根据题意，由函数的解析式可得f（）=4×-b=3-b，按b的范围分情况讨论，代入函数的解析式，求出b的值，综合可得答案．本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：已知，所以，利用三角函数的定义，解得，故cos2α=1-2sin2α=．故选：A．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】D【解析】解：，∴，∴=．故选：D．根据条件可求出，进而求出，并且，从而根据进行数量积的运算即可求出的值．本题考查了根据向量得到坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}中，a3+a5=π，∴==，∴sin S7==sin（-）=-sin=-1．故选：C．由等差数列{a n}中，a3+a5=π，得==，由此能求出sin S7．本题考查等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由于，所以，解得A=，由于a=，c=1，所以，解得，由于c＜a，所以．故选：A．直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：∵f（x+3）=f（x-1），∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，则函数f（x）为减函数，即当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，log2=-2，则=f（-2）=f（2），c=f（32）=f（9）=f（8+1）=f（1），∵1＜＜2，且当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，∴f（1）＜f（）＜f（2），∴a＞b＞c，故选：A．根据f（x+3）=f（x-1），得到函数是周期为4的周期函数，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合条件求出函数的周期，结合函数的周期性，奇偶10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin x-cos x，∴g（x）=f'（x）=cos x+sin x，对于A，f（x）=sin（x-），g（x）=sin（x+），两函数的值域相同，都是[-，]，A正确；对于B，若x0是函数f（x）的极值点，则x0+=kπ，k∈Z；解得x0=kπ+，k∈Z；，g（x0）=sin（kπ+-）=0，∴x0也是函数g（x）的零点，B正确；对于C，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得f（x-）=sin（x-）-cos（x-）=-cos x-sin x≠g（x），∴C错误；对于D，x∈，时，x-∈（-，0），f（x）是单调增函数，x+∈（0，），g（x）也是单调增函数，D正确．故选：C．求出函数f（x）的导函数g（x），再分别判断f（x）、g（x）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．11.【答案】D【解析】解：以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，1），，，∴，∴点M满足：（x-1）2+（y-2）2=1，设M（1+cosθ，2+sinθ），则由得：（1+cosθ，2+sinθ）=（2λ，μ），∴，2λ+μ的最小值是3-．故选：D．建系，分别表示出，，进而表示出，再用参数方程，结合三角函数求出范围．本题考查平面向量基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：函数，可得f′（x）=-，∵x0是f（x）的极值点，∴f′（x0）=0，即，得，k∈Z，即x0=mk，k∈Z，∴可转化为：，即k2m2+3＜m2，k∈Z，即，要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，又k2的最小值为0，∴，解得或，故选：B．求出导函数f′（x）=-，利用f′（x0）=0，得到x0=mk，k∈Z，可转化为：k2m2+3＜m2，k∈Z，即要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，转化求解表达式的最值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值，以及成立条件的转化，考查计算能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：∵y=ax+ln x，∴y′=a+，则y′|x=1=a+1，∴曲线y=y=ax+ln x在点（1，a）处的切线方程为y-a=（a+1）（x-1），∵曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），解得：a=1．故答案为：1．求导函数，然后确定切线的斜率，可得切线方程，利用曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），建立等式，解之即可求出所求．本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.【答案】或3【解析】【分析】本题考查对数函数的性质以及分类讨论的思想方法．分类讨论函数的单调性是正确解决本题关键．属于易错题．分类讨论a的取值范围，得到函数单调性，代入数据即可求解．【解答】解：当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数，由题意有解得：a=，b=2，符合题意，此时a+b=；当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有，解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3．综上可得：a+b的值为或3．故答案为：或3．15.【答案】3-2ln2【解析】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为=（x2-2ln x）=3-2ln2．故答案为：3-2n2．求出曲线，直线y=2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由g（n）的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数，则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1），则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n+1-1）=1+3+…+（2n+1-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1-2）==4n+f（n），即f（n+1）-f（n）=4n，分别取n为1，2，…n，并累加得：，又f（1）=g（1）=1，所以，从而，令n=2019，则所求为：．故答案为：．据题中对g（n）的定义，判断出g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22019-1）．本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法，是中档题．17.【答案】解：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立⇔△=a2-4≤0⇔-2≤a≤2，幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减⇔a-1＜0⇔a＜1，当p真q假时，有-2≤a≤2且a≥1，得1≤a≤2，当p假q真时，有a＜-2或a＞2且a＜1，得a＜-2，综上，所求实数a的取值范围是（-∞，-2）∪[1，2]．【解析】通过两个命题是真命题求出a的范围，然后通过当p真q假时，当p假q真时，求解即可．本题考查命题的真假的判断与应用，函数恒成立条件的转化，是基本知识的考查．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有，=，=，所以f（x）的最小正周期：．由得f（x）的单调递减区间是．（Ⅱ）由（1）知，因为，所以．要使f（x）在区间上的最小值为1，即在区间上的最小值为-1．所以，即．所以m的最小值为．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，即：，解得：或．故或．（Ⅱ）由d＞1，知a n=2n-1，，故．于是：①，②①-②得：，故．【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20.【答案】解：（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，∵，可知当t∈（1，2）时，h′（t）＜0，可知当t∈（2，3）时，h′（t）＞0，∴函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增，从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点，∴函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，∴，记，由题意得：B⊆A，∴且，解得：，当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，∴，∴且，得，综上，所求实数m的取值范围为．【解析】（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由已知得：，再由正弦定理得：，∵B=π-（A+C），∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C②又C∈（0，π），由①②得，，又A∈（0，π），∴．（Ⅱ）法一：由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A得b2+c2-bc=9即：（b+c）2-3bc=9，而（当且仅当b=c=3时等号成立）从而，得b+c≤6，又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9]；法二：由正弦定理得：，∴，又，从而△ABC的周长L：=，，∴，∴，从而：L∈（6，9]．【解析】（Ⅰ）由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A；（Ⅱ）利用余弦定理再结合基本不等式可得3＜b+c≤6，则可求出周长L的范围．本题考查平面向量数量积的运算，设计到正、余弦定理，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln x-x2+x．∵．易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（1）=0，无极小值．（Ⅱ）．∴．①a≤0时，F′（x）＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＞0，由F′（x）＞0得，F′（x）＜0得，所以F（x）在单调递增，在单调递减．综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减．（Ⅲ）由题知t≥0，．当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．又g（x）单调递减，即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．令．则在[1，2]上恒成立，则，而在[1，2]单调递增，∴，∴．【解析】（Ⅰ）当a=2时，f（x）=ln x-x2+x，求导得到增减区间，进而得到极值．（Ⅱ）.．①a≤0时，②当a＞0，讨论增减区间．（Ⅲ）当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．即：f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．转化变量研究H（a）最大值小于等于0，进而求出t的取值范围本题考查函数的单调性的判断，考查实数的最小值的求法，考查函数性质、导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．。

2020年高考模拟山西省临汾市高考数学第三次模拟试卷（理科）含解析

2020年高考模拟山西省临汾市高考数学第三次模拟试卷（理科）含解析

2020年高考模拟高考数学第三次模拟试卷（理科）一、选择题1.已知函数/(x)-2x,集合A=(x|/-(x)WO},B={x\f(x)W0},则AI~IB=()A.[-1,0]B.[-1,2]C.[0,1]D.(-8,1]U[2,+8)2.设7是虚数单位，若复数z=l+i,则2-+z2= Z3.4. 5. 6.A.1+i B.1-i C.-1-i D.一1+i命题w Vxe(0,1),e~x>lnx"的否定是(A.Vxe(o,1),e~x^：lnxB.3xo£(0,1),e~x o>ZwxoC.3xoG(0,1),e~x o<ZnxoD.3xoG(0,1),e-XoWlnx。

已知援i=J§，应=2,若如G-Q,则向量二+E在向量£方向的投影为（）在三角形ABC中,A.充分不必要C.充要R7木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为（B-2「1C--2"sinA>sinB"是"tanA>tanB"的()条件B.必要不充分D.既不充分也不必要阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（I弓始］B.6A.111222~3A1.2())c.2-4D)7.)B. 48tt +9-、v 危A. 2471+9^/38.函数 j=cos2x - y/^inlx (xG[O, -^-])兀B. [0,—]oC. 48tt +18-/3的单调递增区间是(D. 144tt +18-/3兀A - T ]C [匹兰• 6，2x-4y+4<09.在平面直角坐标系中，若不等式组2x+y-10<0所表示的平面区域内存在点Go, jo),)c 「兀 兀D.[—,—3 25x-2y+2》0使不等式xo+myo+lW 0成立，则实数钢的取值范围为()A. (— °°, — —]B. (- °°, -C. [4, +°°)D. (一 8, — 4]10. 已知函数/ (x) =e x ~1+x - 2的零点为初，若存在实数〃使x 2 - ax - a+3 = 0且\m - n\W1,则实数0的取值范围是()A. [2, 4]B. [2,方C, [?, 3]D. [2, 3]O O2 211. 已知双曲线E: %一土=1(0>°，力>°)满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线y 2=4x 的焦点H 重合；②双曲线E 与过点P (4, 2)的幕函数f (x)=尸的图象交于点0 且该暴函数在点。

2020年高考理科数学模拟考(一)

2020年高考理科数学模拟考(一)

模拟考(一) 高考仿真模拟冲刺卷(A)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·陕西模拟]设集合M ＝{x ||x －1|≤1}，N ＝{x |y ＝lg(x 2－1)}，则M ∩∁R N ＝( )A ．[1,2]B ．[0,1]C ．(－1,0)D ．(0,2) 答案：B解析：M ＝{x ||x －1|≤1}＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{x |y ＝lg(x 2－1)}＝{x |x ＞1或x ＜－1}，∴M ∩∁R N ＝{x |0≤x ≤1}，故选B.2．[2019·陕西模拟]已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( )A.12B.22C. 2 D ．1 答案：B解析：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以z ＝1＋i(1－i )2＝1＋i－2i＝－12＋12i ，所以|z |＝22，故选B.3．要计算1＋12＋13＋…＋12 017的结果，如图所示的程序框图的判断框内可以填( )A ．n <2 017B ．n ≤2 017C ．n ＞2 017D ．n ≥2 017sin x ＋cos x ≤2”是真命题，所以綈p 是假命题，故D 错误．故选A.6．[2018·全国卷Ⅰ]在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3 答案：C解析：如图，连接AC 1，BC 1，AC .∵ AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴ ∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，∴ ∠AC 1B ＝30°.又AB ＝BC ＝2，在Rt △ABC 1中，AC 1＝2sin 30°＝4，在Rt △ACC 1中，CC 1＝AC 2 1－AC 2＝42－(22＋22)＝22，∴ V 长方体＝AB ×BC ×CC 1 ＝2×2×22＝8 2.故选C.7．[2019·江西联考]已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x －y ＋m 2≥0，x ＋y －1≥0，若目标函数z ＝－2x ＋y 的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．[0，3]C ．[－3，0]D ．[－3，3] 答案：D解析：将z ＝－2x ＋y 化为y ＝2x ＋z ，作出可行域和目标函数在z ＝0时的直线y ＝2x (如图所示)，当直线y ＝2x ＋z 向左上方平移时，直线y ＝2x ＋z 在y 轴上的截距z 增大，由图象可知，当直线y ＝2x ＋z 过点A 时，z取得最大值，联立⎩⎨⎧x －y ＋m 2＝0，x ＋y －1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－m 22，1＋m 22，则－2×1－m 22＋1＋m 22≤4，解得－3≤m ≤3，故选D.8．已知数列{a n }，{b n }，其中{a n }是首项为3，公差为整数的等差数列，且a 3>a 1＋3，a 4<a 2＋5，a n ＝log 2b n ，则{b n }的前n 项和S n ＝( )A ．8(2n －1)B ．4(3n －1) C.83(4n －1) D.43(3n －1) 答案：C解析：设数列{a n }的公差为d (d ∈Z )，由题意，得a n ＝3＋(n －1)d ，由a 3>a 1＋3，a 4<a 2＋5可得⎩⎨⎧2d >3，2d <5，所以d ＝2，所以a n ＝2n ＋1.因为a n ＝log 2b n ，即2n ＋1＝log 2b n ，所以b n ＝22n ＋1＝8×4n －1，所以数列{b n }是以8为首项，4为公比的等比数列，所以S n ＝8(1－4n )1－4＝83(4n －1)，故选C.9．[2019·河南开封模拟]函数f (x )＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )答案：D解析：由解析式可知函数为偶函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝1＋ln x ，即0<x <1e 时，函数f (x )单调递减；当x >1e ，函数f (x )单调递增．故选D.10．[2019·四川绵阳南山中学诊断]若圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[2－3，2＋3]B ．[－2－3，3－2]C ．[－2－3，2＋3]D ．[－2－3，2－3] 答案：B解析：圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0可化为(x ＋2)2＋(y －2)2＝18，则圆心为(－2,2)，半径为32，则由圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，得圆心到直线l ：ax ＋by ＝0的距离d ≤32－22＝2，即|－2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，则a 2＋b 2－4ab ≤0，若b ＝0，则a ＝0，故不成立，故b ≠0，则上式可化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－4·a b ≤0，由直线l 的斜率k ＝－a b ，则上式可化为k 2＋4k ＋1≤0，解得－2－3≤k ≤－2＋ 3.故选B.11．[2019·广西两校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2 答案：A解析：解法一 由题意可得，sin B ＋2sin C cos A ＝0，即sin(A ＋C )＋2sin C cos A ＝0，得sin A cos C ＝－3sin C cos A ，即tan A ＝－3tan C .又cos A＝－b2c <0，所以A 为钝角，于是tan C >0.从而tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C ＝2tan C 1＋3tan 2C＝21tan C ＋3tan C，由基本不等式，得1tan C ＋3tan C ≥21tan C ×3tan C ＝23，当且仅当tan C ＝33时等号成立，此时角B 取得最大值，且tan B ＝tan C ＝33，tan A ＝－3，即b ＝c ，A ＝120°，又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.解法二 由已知b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.故选A.12．[2019·安徽淮南模拟]已知函数f (x )＝x 2e x ，若函数g (x )＝[f (x )]2－kf (x )＋1恰有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2＋e 24，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫8e 2，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4e 2＋e 24 答案：B解析：f ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝x (x ＋2)e x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－2.∴当x <－2或x >0时，f ′(x )>0；当－2<x <0时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝4e 2， 当x ＝0时，f (x )取得极小值f (0)＝0.∵f (x )＝x 2e x ≥0，∴作出f (x )的大致图象如右图所示．令f (x )＝t ，则当t ＝0或t >4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 只有1个解；当t ＝4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 有2个解；当0<t <4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 有3个解．∵g (x )＝[f (x )]2－kf (x )＋1恰有4个零点，∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2上有1个解，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞∪{0}上有1解，显然t ＝0不是方程t 2－kt ＋1＝0的解，∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞上各有1个解，∴16e 4－4k e 2＋1<0，解得k >4e 2＋e 24.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上．13．[2019·郑州测试]在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32：1，则x 2的系数为________．答案：90解析：令x ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝4n，所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n，所以4n2n ＝2n ＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r 53r x 35-r2，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90.14．在△ABC 中，若(AB →－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC的形状为________．答案：等边三角形解析：(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB →－2AC →·AB →＝0.(AC →－2AB →)⊥AC →，即(AC →－2AB →)·AC →＝0，即AC →·AC →－2AB →·AC→＝0，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－13＝63.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝2×6332＝423，∴b ＝423.18．(本小题满分12分)[2019·云南昆明一中模拟]某校为了解本校2万名学生的汉字书写水平，在全校范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布N (69,49)，现从该校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)估算该校50名学生成绩的平均值x －(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)求这50名学生成绩在[80,100]内的人数；(3)现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名(从高到低)在全市前26名的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.解析：(1)x －＝45×0.08＋55×0.2＋65×0.32＋75×0.2＋85×0.12＋95×0.08＝68.2.(2)(0.008＋0.012)×10×50＝10(名)． (3)P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4， 则P (X ≥90)＝1－0.997 42＝0.001 3. 0．001 3×20 000＝26，所以该市前26名的学生听写考试成绩在90分以上．上述50名考生成绩中90分以上的有0.08×50＝4人． 随机变量X ＝0,1,2.于是P (X ＝0)＝C 26C 210＝13，P (X ＝1)＝C 16·C 14C 210＝815，P (X ＝2)＝C 24C 210＝25.所以X 的分布列为X0 1 2 P13815215数学期望E (X )＝0×13＋1×815＋2×225＝45. 19．(本小题满分12分)[2019·合肥市质检]如图所示，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB ＝AA 1＝2A 1B 1＝2.(1)若M 为CD 中点，求证：AM ⊥平面AA 1B 1B ； (2)求直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值． 解析：(1)证明：四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，连接AC ，如图，则△ACD 为等边三角形，又M 为CD 中点，∴AM ⊥CD ，由CD ∥AB 得，AM ⊥AB ，∵AA 1⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，∴AM ⊥AA 1，又AB ∩AA 1＝A ，∴AM ⊥平面AA 1B 1B .。

2020年高考模拟内蒙古高考数学模拟试卷(理科)(3月份) 含解析

2020年高考模拟内蒙古高考数学模拟试卷(理科)(3月份) 含解析

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若z＝1﹣i，则（3+2）i＝（）A．﹣2﹣5i B．﹣2+5i C．2+5i D．2﹣5i2．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，N＝{x|x2﹣mx＜0}，若M∩N＝{x|0＜x＜1}，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．23．已知等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，S4＝24，S9＝99，则a7＝（）A．13B．14C．15D．164．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．1﹣sin 2θB．C．1﹣sinθD．5．函数f（x）＝ln|x|+|sin x|（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．6．从6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（）A．45种B．120 种C．30种D．63种7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．B．2C．4D．12π8．设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，A在x轴上方，且满足|AF1|＝3|F1B|，，则A点位于（）A．第一象限B．第二象限C．y轴上D．都有可能9．已知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的最大值为（）A．1+e B．4+e C．1﹣e D．1+2e10．O为△ABC内一点，且，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．11．已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（，2）D．（1，2）12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），且当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0．则（）A．B．9f（3）＞f（1）C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设x，y满足，则z＝2x+y的最小值为．14．在等比数列{a n}中，已知a2+a4＝8，a6+a8＝4，则a10+a12+a14+a16＝．15．“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就．自2012年以来北京城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收人快速增长，人民生活品质不断提升．右图是北京市2012﹣2016年城乡居民人均可支配收人实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收人实际增速为7.3%，农村居民收人实际增速为8.2%）．从2012﹣2016五年中任选两年，则至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率为．16．在棱长为a的正方体内有一个和各面都相切的球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被球面截在球内的弦长为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知，2sin x），＝（sin，，函数．（1）求函数f（x）的零点；（2）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）＝2，△ABC 的外接圆半径为，求△ABC周长的最大值．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，EDBF是矩形，DE ＝a，平面EDBF⊥平面ABCD．（1）若a＝1，求证：AE⊥CF；（2）若二面角A﹣EF﹣B的余弦值为，求a的值．19．设动圆P（圆心为P）经过定点（0，2），被x轴截得的弦长为4，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）直线l：y ＝x+m（m∈R）与曲线E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，若tan∠AMB＝﹣2，求m的值．20．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：M≥205质量指标值m m＜185185≤m＜205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如右的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似服从正态分布N（216，139），则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？21．已知函数f（x）＝x﹣2+ae x（e为自然对数的底数）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞6．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为；在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）若a＝1，求C与l交点的直角坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣a|．（1）当a＝﹣2时，求不等式0＜f（x）≤3的解集；（2）若a≤0，∃x∈（0，+∞）使f（x）≤a2﹣3成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若z＝1﹣i，则（3+2）i＝（）A．﹣2﹣5i B．﹣2+5i C．2+5i D．2﹣5i【分析】把z＝1﹣i代入（3+2）i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z＝1﹣i，得（3+2）i＝（3+2+2i）i＝（5+2i）i＝﹣2+5i．故选：B．2．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，N＝{x|x2﹣mx＜0}，若M∩N＝{x|0＜x＜1}，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．2【分析】可以求出M＝{x|﹣1＜x＜3}，从而可以根据M∩N＝{x|0＜x＜1}即可得出N＝{x|0＜x＜m}，从而得出m＝1．解：∵M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|x2﹣mx＜0}，M∩N＝{x|0＜x＜1}，∴N＝{x|0＜x＜m}，∴m＝1．故选：A．3．已知等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，S4＝24，S9＝99，则a7＝（）A．13B．14C．15D．16【分析】由已知结合等差数列的求和公式可求d，a1，然后结合等差数列的通项公式即可求解．解：因为S4＝24，S9＝99，，解可得，a1＝3，d＝2则a7＝a1+6d＝15．故选：C．4．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．1﹣sin 2θB．C．1﹣sinθD．【分析】分别求出小正方形的面积及大正方形的面积，然后根据几何概率的求解公式即可．解：由题意可知，小正方形的边长为2（cosθ﹣sinθ），面积S1＝4（cosθ﹣sinθ）2＝4（1﹣sin2θ），大正方形的面积S＝2×2＝4，故镖落在小正方形内的概率P＝（1﹣sin2θ）．故选：A．5．函数f（x）＝ln|x|+|sin x|（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出f（π）的值，推出结果即可．解：函数f（x）＝ln|x|+|sin x|（﹣π≤x≤π且x≠0）是偶函数排除A．当x＞0时，f（x）＝lnx+sin x，可得：f′（x）＝+cos x，令+cos x＝0，作出y＝与y＝﹣cos x图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点．f（π）＝lnπ＞1，故选：B．6．从6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（）A．45种B．120 种C．30种D．63种【分析】6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，根据分层抽样要求，应选出2名女生，1名男生．利用组合数的意义、乘法原理即可得出．解：6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，根据分层抽样要求，应选出2名女生，1名男生．∴不同的抽取方法数＝•＝45．故选：A．7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．B．2C．4D．12π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．解：根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以：该几何体的球心为O，R＝，．故选：D．8．设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，A在x轴上方，且满足|AF1|＝3|F1B|，，则A点位于（）A．第一象限B．第二象限C．y轴上D．都有可能【分析】设|BF2|＝k，题意开发其他的焦半径的值，再由余弦定理可得a与k的关系，进而可得|AF2|＝3k＝|AF1|，可得A在y轴上．解：设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k由椭圆的定义可得：|AF2|＝2a﹣3k，|BF2|＝2a﹣k，|AB|＝4k，在△ABF2中，由余弦定理可得：|AB|2＝|AF2|2+|BF﹣2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，即16k2＝（2a﹣3k）2+（2a﹣k）2﹣2（2a﹣3k）（2a﹣k），整理可得a＝3k，所以|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，F1A⊥F2A，即△AF1F2为等腰直角三角形，所以A在y轴上，故选：C．9．已知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的最大值为（）A．1+e B．4+e C．1﹣e D．1+2e【分析】作出函数f（x）的图象，结合题意，利用根与系数的关系利用函数的单调性得解．解：若函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，则有a∈（1，e]，当x＞0时，f（x）＝x+﹣3≥2﹣3＝1，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减，由f（x）＝，x≤0，x＜﹣1时，f（x）递减；﹣1＜x＜0时，f（x）递增，可得x＝﹣1处取得极小值1，作出f（x）的图象，以及直线y＝a，可得＝＝＝，即有x1+1+x2+1＝0，可得x1+x2＝﹣2，x3，x4是方程﹣3＝a的两根，即x2﹣（3+a）x+4＝0的两个根，∴x3+x4＝3+a，则x1+x2+x3+x4＝﹣2+3+a＝a+1≤e+1，故最大值为e+1，故选：A．10．O为△ABC内一点，且，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【分析】根据即可得出，而根据B，O，D三点共线，可设，从而可得出，这样根据平面向量基本定理即可得出，解出t即可．解：由得，，∴，∵B，O，D三点共线，∴可设，且，∴，∴，解得．故选：D．11．已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（，2）D．（1，2）【分析】确定M，F1，F2的坐标，进而由•＜0，结合a、b、c的关系可得关于ac的不等式，利用离心率的定义可得范围．解：设直线方程为y＝（x﹣c），与双曲线（a＞0，b＞0）联立，可得交点坐标为P（，﹣）∵F1（﹣c，0），F2（c，0），∴＝（﹣，），＝（，），由题意可得•＜0，即＜0，化简可得b2＜3a2，即c2﹣a2＜3a2，故可得c2＜4a2，c＜2a，可得e＝＜2，∵e＞1，∴1＜e＜2故选：D．12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），且当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0．则（）A．B．9f（3）＞f（1）C．D．【分析】构造函数g（x）＝x2f（x），结合已知条件及导数与单调性关系可判断g（x）的单调性及奇偶性，从而可求解．解：令g（x）＝x2f（x），当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0，则g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[2f（x）+f′（x）]＜0即g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为f（﹣x）＝f（x），所以g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝x2f（x）＝g（x）即g（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知，g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，g（e）＞g（3），所以＝，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设x，y满足，则z＝2x+y的最小值为﹣6．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由x，y满足作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过B（﹣2，﹣2）时直线在y轴上的截距最小，z最小z＝﹣2×2﹣2＝﹣6．故答案为：﹣6．14．在等比数列{a n}中，已知a2+a4＝8，a6+a8＝4，则a10+a12+a14+a16＝3．【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求公比q，然后结合等比数列的性质即可求解．解：设等比数列的公比为q，则，解可得q4＝，所以a10+a12+a14+a16＝+（a6+a8）q8＝8×＝3．故答案为：3．15．“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就．自2012年以来北京城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收人快速增长，人民生活品质不断提升．右图是北京市2012﹣2016年城乡居民人均可支配收人实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收人实际增速为7.3%，农村居民收人实际增速为8.2%）．从2012﹣2016五年中任选两年，则至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率为．【分析】设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选两年，利用列举法能出至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率．解：设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选两年，有（2012，2013），（2012，2014），（2012，2015），（2012，2016），（2013，2014），（2013，2015），（2013，2016），（2014，2015），（2014，2016），（2015，2016）共10种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过7%的为前9种情况，所以至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率P（B）＝，故答案为：．16．在棱长为a的正方体内有一个和各面都相切的球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被球面截在球内的弦长为．【分析】由题意画出图形，利用直线与圆的位置关系及垂径定理求解．解：如图，M，N是正方体中两条互为异面直线的棱的中点，直线MN与球O的表面交于E，F两点，连接MO，并延长交于P，则P为对棱的中点，取EF的中点G，则OG∥PN，且OG＝＝．在Rt△OGE中，OE＝，则EF＝2EG＝2．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知，2sin x），＝（sin，，函数．（1）求函数f（x）的零点；（2）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）＝2，△ABC 的外接圆半径为，求△ABC周长的最大值．【分析】（1）根据向量数量积的定义求出f（x），结合零点的定义进行求解即可．（2）根据条件先求出A和a的大小，结合余弦定理，以及基本不等式的性质进行转化求解即可．解：（1）f（x）＝＝2cos x sin（x﹣）+2sin x cos（x﹣）＝2sin（2x﹣），由f（x）＝0得2x﹣＝kπ，k∈Z，得x＝+，即函数的零点为x＝+，k∈Z．（2）∵f（A）＝2，∴f（A）＝2sin（2A﹣）＝2，得sin（2A﹣）＝1，即2A﹣＝2kπ+，即A＝kπ+，在三角形中，当k＝0时，A＝，满足条件，∵△ABC的外接圆半径为，∴＝2，即a＝2×＝3，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc≥＝（b+c）2﹣（b+c）2＝（b+c）2，即（b+c）2≤4×9＝36，即b+c≤6当且仅当b＝c时取等号，则a+b+c≤9，即三角形周长的最大值为9．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，EDBF是矩形，DE ＝a，平面EDBF⊥平面ABCD．（1）若a＝1，求证：AE⊥CF；（2）若二面角A﹣EF﹣B的余弦值为，求a的值．【分析】（1）根据勾股定理判断AD⊥BD，AE⊥EF，AE⊥EC，得到AE⊥平面EFC，最后得出结论；（2）以D为原点，DA，DB，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEF 和平面DEFB的法向量，利用夹角公式列方程，求出a．解：（1）连接AC，在三角形ABD中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，由余弦定理得BD＝，AD2+BD2＝AB2，故AD⊥BD，EDBF是矩形，DE＝1，平面EDBF⊥平面ABCD，故BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，则AF＝，AE2+EF2＝AF2，故AE⊥EF，由AC＝，EC＝，AE＝，得AE2+EC2＝AC2，故AE⊥EC，EC∩EF＝E，所以AE⊥平面EFC，FC⊂平面EFC，所以AE⊥FC；（2）以D为原点，DA，DB，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），E（0，0，a），F（0，），，设平面AEF的法向量为，由，得，平面DEFB的法向量为，由cos＜＞＝，得a＝．19．设动圆P（圆心为P）经过定点（0，2），被x轴截得的弦长为4，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）直线l：y＝x+m（m∈R）与曲线E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，若tan∠AMB＝﹣2，求m的值．【分析】（1）设动圆P的圆心为（x，y），半径为r，根据题意列出方程组化简即可得到曲线E的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点坐标C（x3，y3），M（0，y0），联立直线l与抛物线方程，利用韦达定理求出C的坐标为（2，4+m），利用弦长公式求出|AB|＝4，所以|AC|＝2，又y0＝6+m，所以|MC|＝，再利用二倍角的正切公式求出tan，所以tan∠AMC＝＝＝，即可解出m的值．解：（1）设动圆P的圆心为（x，y），半径为r，被x轴截得的弦长为|AB|，依题意得：，化简整理得：x2＝4y，∴曲线E的方程为：x2＝4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点坐标C（x3，y3），M（0，y0），联立方程，整理得：，∴△＝16×2+4×4m＝32+16m＞0，∴m＞﹣2，∴，x1x2＝﹣4m，，∴，y3＝4+m，∴线段AB的中点C的坐标为（2，4+m），又|AB|＝＝＝4，∴|AC|＝2，又AB的垂直平分线方程为：y﹣（4+m）＝﹣，∴y0＝6+m，∴|MC|＝，∵CM垂直平分AB，∴∠AMB＝2∠AMC，又tan∠AMB＝＝﹣2，解得tan或﹣（舍去），∴在Rt△AMC中，tan∠AMC＝＝＝，∴m＝0，满足m＞﹣2，∴m的值为0．20．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：M≥205质量指标值m m＜185185≤m＜205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如右的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似服从正态分布N（216，139），则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？【分析】（1）根据抽样调查数据，求得一等品所占比例的估计值为0.375，由于该估计值小于0.5，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定；（2）由直方图知，一、二、三等品的频率，求得在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，然后利用古典概型概率计算公式求解；（3）求出“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值，再由“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N（216，139），得质量指标的均值约为216，作差得答案．解：（1）根据抽样调查数据，一等品所占比例的估计值为0.260+0.090+0.025＝0.375．由于该估计值小于0.5，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定；（2）由直方图知，一、二、三等品的频率分别为：0.375，0.5，0.125．故在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中抽取4件，一、二、三等品都有的情形由2种．①一等品2件，二等品1件，三等品1件．②一等品1件，二等品2件，三等品1件．P＝；（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为：170×0.025+180×0.1+190×0.2+200×0.3+210×0.26+220×0.09+230×0.025＝200.4．“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N（216，139），即质量指标的均值约为216．所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了15.6．21．已知函数f（x）＝x﹣2+ae x（e为自然对数的底数）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞6．【分析】（1）对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论确定导数符号，即可求解函数单调性；（2）由零点存在的条件，结合函数的性质，把所要证明的不等式转换为函数的单调性与大小关系的比较．解：（1）f′（x）＝1+ae x，当a≥0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增，当a＜0时，令f′（x）＝0可得x＝ln（﹣），故函数的单调递增区间为（﹣），单调递减区间（ln（﹣），+∞），（2）证明：由f（x）＝0可得a＝，设g（x）＝，则，当x＜3时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x＞3时，g′（x）＞0，函数单调递增，当x＝3时，g（x）取得最小值g（3）＝﹣，当x＞时，g（x）＜0，当x＜2时，g（x）＞0，不妨设x1＜x2，则x1∈（2，3），x2∈（3，+∞），所以6﹣x1＞3，且g（x）在（3，+∞）上单调递增，要证x1+x2＞6，只要证x2＞6﹣x1＞3，故只要证g（x2）＞g（6﹣x1），因为g（x1）＝g（x2）＝a，只要证g（x1））＞g（6﹣x1），即，即证（x1﹣4）+x﹣2＜0，令h（x）＝e2x﹣6（x﹣4）+x﹣2，2＜x＜3，则h′（x）＝e2x﹣6（2x﹣7）+1，令m（x）＝h′（x），则m′（x）＝4e2x﹣6（x﹣3）＜0，所以m（x）在（2，3）上单调及，h′（x）＞h′（3）＝0，故h（x）在（2，3）上单调递增，h（x）＜h（3）＝0，即e2x﹣6（x﹣4）+x﹣2＜0，从而：x1+x2＞6．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为；在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）若a＝1，求C与l交点的直角坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a．【分析】（1）求出曲线C的普通方程和当a＝1时，直线l的普通方程，列方程组能求出C与l的交点的直角坐标．（2）直线l的普通方程是x+y﹣1﹣a＝0，C上的点（2cos θ，sin θ）到l的距离为，由此利用C上的点到l的距离的最大值为，能求出a．解：（1）∵曲线C的极坐标方程为，∴曲线C的普通方程为，∵直线l的参数方程为，∴当a＝1时，直线l的普通方程为x+y﹣2＝0．由解得或从而C与l的交点的直角坐标是．（2）直线l的普通方程是x+y﹣1﹣a＝0，故C上的点（2cos θ，sin θ）到l的距离为，当a≥﹣1时，d的最大值为．由题设得，所以当a＜﹣1时，d的最大值为.由题设得，所以．综上，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣a|．（1）当a＝﹣2时，求不等式0＜f（x）≤3的解集；（2）若a≤0，∃x∈（0，+∞）使f（x）≤a2﹣3成立，求a的取值范围．【分析】（1）当a＝﹣2时，利用绝对值不等式得f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，即f（x）≤3的解集为R；再由f（x）＞0，得|x﹣1|＞|x+2|，解之，即可得到不等式0＜f（x）≤3的解集；（2）当a≤0，x∈（0，+∞）时，可求得f（x）＝|x﹣1|﹣x+a的最小值为f（1）＝a﹣1，解不等式a2﹣3≥a﹣1即可得到答案．解：（1）当a＝﹣2时，因为f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）＝3，|所以f（x）≤3的解集为R；由f（x）＞0，得|x﹣1|＞|x+2|，解得x＜﹣，故不等式0＜f（x）≤3的解集为（﹣∞，﹣）；（2）当a≤0，x∈（0，+∞）时，f（x）＝|x﹣1|﹣x+a＝，则f（x）min＝f（1）＝a﹣1，故a2﹣3≥a﹣1，解得：a≥2或a≤﹣1，又a≤0，所以a≤﹣1．所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。

2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (86)

2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (86)

2020高考数学模拟试题（理科）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的取值范围是( ) A． (－∞，－1] B． [1，＋∞) C． [－1,1] D． (－∞，－1]∪[1，＋∞)2.下列命题错误的是( )A．命题“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否定是：“若xy≠0，则x，y都不为零”。

B．对于命题p：∃x 0∈R，使得＋x0＋1＜0，则p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0。

C．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋x －m＝0无实根，则m≤0”。

D．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件。

3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( ) A． 2 B． 2 C． 12 D．4.函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )A．－ B． C．1 D．5．已知m,n是两条不同直线，α,β是两个不同平面．以下命题中正确命题的个数是（）①m,n相交且都在平面α,β外，m∥α, m∥β , n∥α, n∥β ,则α∥β;②若m∥α, m∥β , 则α∥β;③若m∥α, n∥β , m∥n, 则α∥β．A．0 B．1 C．2 D．36.函数cosxxye的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．7.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F =，则椭圆方程为（ ）A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=8．在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 是棱1BB 的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线1A M 与NB 所成角的正切值为（ ） A ．3 B ．1 C ．6D ．2 9.已知奇函数在R 上是增函数，．若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.B.C .D.10.设函数f (x )＝cos(2x ＋ϕ)＋sin(2x ＋ϕ)，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为，且在上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为，且在上为减函数11.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别|为1F 、2F ，点P 在C 上，且123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） A ．103B ．10C ．43 D ．5312．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[]1,2x ∈时，2()41814f x x x =-+-，若函数()()g x f x mx =-有三个零点，则正实数m 的取值范围为（ ）A ．3,184142⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()2,18414- C ．()2,3 D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13.计算＝________.14．已知命题p ：2,20x R x x m ∃∈++≤，命题q ：幂函数113()m f x x+-=在()0,∞+是减函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则实数m 的取值范围是_________.15.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为_________.16．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为_______.三、解答题：（共70分。

2020年高考模拟重庆市直属校(3月)高考(理科)数学模拟测试卷 含解析

2020年高考模拟重庆市直属校(3月)高考(理科)数学模拟测试卷 含解析

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．设集合A＝{x|x2＜9}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}2．设（1+i）（a+bi）＝2，其中a，b是实数，i为虚数单位，则|3a+bi|＝（）A．2B．C．D．3．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16，则log2a9＝（）A．15B．16C．17D．184．若实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为（）A．﹣8B．﹣6C．1D．35．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（）A．B．C．D．6．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则＝（）A．B．C．D．7．在直角坐标系xOy中，半径为lm的⊙C在t＝0时圆心C与原点O重合，⊙C沿x轴以1m/s的速度匀速向右移动，⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y关于时间t（0≤t≤l，单位：s）的函数的图象大致为（）A．B．C．D．8．的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中x3的系数为（）A．40B．30C．20D．109．设函数f（x）＝cos（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，如果，x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．B．C．D．10．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，球O的半径为4，△ABC是边长为6的等边三角形，记△ABC的外心为O1．若三棱锥P﹣ABC的体积为则PO1＝（）A．B．C．D．11．设双曲线）的左顶点为A，右焦点为F（c，0），若圆A：（x+a）2+y2＝a2与直线bx﹣ay＝0交于坐标原点O及另一点E，且存在以O为圆心的圆与线段EF相切，切点为EF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．312．函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪{1}D．（﹣1，0）∪{1}二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量与的夹角为120°，且，则＝．14．已知函数f（x）＝3|x﹣a|（a∈R）满足f（x）＝f（4﹣x），则实数a的值为．15．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足S n2﹣（n2+n﹣2）S n﹣2（n2+n）＝0，n∈N*，则数列的前2020项和T2020＝．16．设抛物线y2＝2x的焦点为F，准线为1，弦AB过点F且中点为M，过点F，M分别作AB的垂线交l于点P，Q，若|AF|＝3|BF|，则|FP|•|MQ|＝．三、解答题：（共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝4，且BC边上的高为，求△ABC的周长．18．如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB．以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°．（Ⅰ）求证：平面BFC⊥平面BCDE；（Ⅱ）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，求二面角E﹣DF﹣C的正弦值．19．为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg）．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N（μ，σ2）．在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查．（Ⅰ）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量：9.7810.049.9210.1410.049.2210.139.919.959.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12经计算得＝x i＝9.96，s＝＝≈0.19其中x i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量，i＝1，2，…，20．用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（Ⅱ）假设生产状态正常，记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品件数，求P（X＝1）及X的数学期望．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974，0.997419≈0.95．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C 交于A，B两点．△ABF2的周长为，且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程：（Ⅱ）设点P为椭圆C的下顶点，直线PA，PB与y＝2分别交于点M，N，当|MN|最小时，求直线AB的方程．21．已知函数f（x）＝e ax﹣x﹣1，且f（x）≥0．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为k，问：是否存在x0∈（x1，x2），使f'（x0）＝k成立？若存在，求出x0的值（用x1，x2表示）；若不存在，请说明理由．请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C交于M，N两点．（Ⅰ）若点P的极坐标为（2，π），求|PM|•|PN|的值；（Ⅱ）求曲线C的内接矩形周长的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当f（2）+f（﹣2）＞4时，求a的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，∀x，y∈（﹣∞，a]，不等式f（x）≤|y+3|+|y﹣a|恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A＝{x|x2＜9}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．故选：C．2．设（1+i）（a+bi）＝2，其中a，b是实数，i为虚数单位，则|3a+bi|＝（）A．2B．C．D．【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：由题意可知：，∴a＝1，b＝﹣1，∴3a+bi＝3﹣i，∴|3a+bi|＝|3﹣i|＝，故选：D．3．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16，则log2a9＝（）A．15B．16C．17D．18【分析】由等比数列的能项公式得2q2＝2×2q+16，且q＞0，解得q＝4，由此能求出log2a9的值．解：∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16，∴2q2＝2×2q+16，且q＞0，解得q＝4，∴log2a9＝＝17．故选：C．4．若实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为（）A．﹣8B．﹣6C．1D．3【分析】由题意作平面区域，），从而求最小值解：由题意作平面区域如下，由解得，A（﹣4，﹣2），z＝x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值．故z＝x+y的最小值是﹣6，故选：B．5．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝10，所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数m＝＝7，由此能求出所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率．解：我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，基本事件总数n＝＝10，所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数m＝＝7，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为p＝＝．故选：B．6．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则＝（）A．B．C．D．【分析】推导出EF∥BD1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，得AF∥BG，从而＝＝．解：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，∴EF∥BD1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，∵G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，∴AF∥BG，∴＝＝．故选：B．7．在直角坐标系xOy中，半径为lm的⊙C在t＝0时圆心C与原点O重合，⊙C沿x轴以1m/s的速度匀速向右移动，⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y关于时间t（0≤t≤l，单位：s）的函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由特殊值法分析：令t＝0、、1，求出对应的y的值，据此分析即可得答案．解：根据题意，⊙C的半径为1，则其周长l＝2π，当t＝0时，⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x＝π，此时y＝cosπ＝﹣1；当t＝时，⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x＝，此时y＝cos＝﹣＜0；当t＝1时，⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x＝2π，此时y＝cos2π＝1；据此排除BCD；故选：A．8．的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中x3的系数为（）A．40B．30C．20D．10【分析】由题意利用二项式系数的性质求出n、m的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中x3的系数．解：∵的展开式中，各二项式系数和为2n＝32，∴n＝5．再令x＝1，可得各项系数和为（m+1）5＝243＝35，∴m＝2，则展开式中的通项公式为T r+1＝•m5﹣r•，令5﹣＝3，可得r＝4，故展开式中x3的系数为•2＝10，故选：D．9．设函数f（x）＝cos（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，如果，x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．B．C．D．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性求得x1+x2的值，可得f（x1+x2）的值．解：根据函数f（x）＝cos（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象，可得＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2•+φ＝﹣，∴φ＝﹣，∴f（x）＝cos（2x﹣）．如果，x1≠x2，则2x1﹣∈（﹣，），2x2﹣∈（﹣，），∵f（x1）＝f（x2），∴2x1﹣+（2x2﹣）＝0，∴x1+x2＝，则f（x1+x2）＝cos（﹣）＝cos＝﹣cos＝﹣，故选：B．10．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，球O的半径为4，△ABC是边长为6的等边三角形，记△ABC的外心为O1．若三棱锥P﹣ABC的体积为则PO1＝（）A．B．C．D．【分析】由题意可得：S△ABC＝＝9，O1A＝2，O1O＝2．设点P到平面BAC的高为h，由＝×h×9，解得h．可得点P所在小圆⊙O2（⊙O1与⊙O2所在平面平行）上运动，即可得出．解：由题意可得：S△ABC＝＝9，O1A＝2，O1O＝2．设点P到平面BAC的高为h，由＝×h×9，解得h＝4．∴点P所在小圆⊙O2（⊙O1与⊙O2所在平面平行）上运动，OO2＝2．∴O2P＝2．∴PO1＝＝2．故选：D．11．设双曲线）的左顶点为A，右焦点为F（c，0），若圆A：（x+a）2+y2＝a2与直线bx﹣ay＝0交于坐标原点O及另一点E，且存在以O为圆心的圆与线段EF相切，切点为EF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】联立．⇒E（﹣，﹣），由OE＝OF，e＝．解：联立．⇒E（﹣，﹣），∵OE＝OF，∴，∴4a4＝c4⇒e＝．故选：B．12．函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪{1}D．（﹣1，0）∪{1}【分析】利用导数先判断出函数f（x）的图象，条件可转化为关于t的方程t2﹣at+a﹣a2＝0有两个实数根t1＝0，t2＝1或t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），分情况讨论即可解：当x≥0时，f′（x）e1﹣x（1﹣x），所以当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，且f（0）＝0，当x→+∞时，f（x）→0，当x＜0时，f（x）单调递减，所以f（x）的图象如图所示：令t＝f（x），则由上图可知当t＝0或1时，方程t＝f（x）有两个实根；当t∈（0，1）时，方程t＝f（x）有3个实数根；当t∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，方程t＝f（x）有一个实数根，所以关于x的方程程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根等价于关于t的方程t2﹣at+a﹣a2＝0有两个实数根t1＝0，t2＝1或t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），当t1＝0，t2＝1时，a＝1，当t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，（02﹣a×0+a﹣a2）（12﹣a×1+a﹣a2）＜0，解得﹣1＜a＜0，综上所述，a∈（﹣1，0）∪{1}．故选：D．二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量与的夹角为120°，且，则＝﹣5．【分析】由题意可得向量的模长，再直接代入数量积可得．解：因为向量与的夹角为120°，且，所以：||＝＝；则＝××cos120°＝10×（﹣）＝﹣5；故答案为：﹣5．14．已知函数f（x）＝3|x﹣a|（a∈R）满足f（x）＝f（4﹣x），则实数a的值为2．【分析】结合指数函数的性质，建立指数方程进行求解即可．解：∵f（x）＝f（4﹣x），∴函数关于x＝2对称，即f（a）＝f（4﹣a），即3|a﹣a|＝3|4﹣a﹣a|，即30＝3|4﹣2a|即|4﹣2a|＝0，得2a﹣4＝0，得a＝2，故答案为：215．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足S n2﹣（n2+n﹣2）S n﹣2（n2+n）＝0，n∈N*，则数列的前2020项和T2020＝．【分析】本题先对题干中的等式进行因式分解，根据题意可得S n的表达式，然后根据公式a n＝可计算出数列{a n}的通项公式，即可计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法即可计算出前2020项和T2020的值．解：依题意，由S n2﹣（n2+n﹣2）S n﹣2（n2+n）＝0，n∈N*，可得[S n﹣（n2+n）]（S n+2）＝0．∵数列{a n}的各项均为正数，∴S n＞0．∴S n＝n2+n，n∈N*．当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]＝2n．∴a n＝2n，n∈N*．∴＝＝（﹣）．∴T2020＝++…+＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．故答案为：．16．设抛物线y2＝2x的焦点为F，准线为1，弦AB过点F且中点为M，过点F，M分别作AB的垂线交l于点P，Q，若|AF|＝3|BF|，则|FP|•|MQ|＝．【分析】作BF⊥l于F，作AE⊥l于E，令准线于x轴交点为S，AB交准线于K．设BH＝m，则AF＝3m，可得∠HKB＝，FK＝2，QM＝MK•tan30°＝4m×tan30°．＝，即可求解．解：如图，作BF⊥l于F，作AE⊥l于E，令准线于x轴交点为S，AB交准线于K．设BH＝m，则AF＝3m，∵，∴BK＝2m则sin∠HKB＝，∴∠HKB＝30°．∵，∴，∴，∴FK＝2．∴．QM＝MK•tan30°＝4m×tan30°．＝则|FP|•|MQ|＝．故答案为：．三、解答题：（共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝4，且BC边上的高为，求△ABC的周长．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和到正弦函数公式化简已知等式可得sin A cos B＝sin B sin A，结合sin A＞0，可得cos B＝sin B，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（Ⅱ）由已知可求c的值，在△ABC中，由余弦定理可求b到值，即可得解△ABC的周长．解：（Ⅰ）∵．∴由正弦定理可得：sin C＝sin B（cos A+sin A），∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴可得：sin A cos B＝sin B sin A，∵A∈（0，π），sin A＞0，∴cos B＝sin B，∵B∈（0，π），∴tan B＝，B＝．（Ⅱ）如图，AD＝，B＝，则c＝AB＝＝2，又a＝4，在△ABC中，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝4，可得b＝2，可得△ABC的周长为a+b+c＝6+2．18．如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB．以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°．（Ⅰ）求证：平面BFC⊥平面BCDE；（Ⅱ）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，求二面角E﹣DF﹣C的正弦值．【分析】（Ⅰ）由DE⊥AB，得DE⊥EB，DE⊥EF，从而DE⊥平面BEF，进而DE⊥BF，FB⊥EB，BF⊥平面BCDE，由此能证明平面BFC⊥平面BCDE．（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，在平面ABCD中过点B作AB的垂线为y轴，BF为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣DF﹣C的正弦值．解：（Ⅰ）证明：∵DE⊥AB，∴DE⊥EB，DE⊥EF，∴DE⊥平面BEF，∴DE⊥BF，∵AE＝2EB＝2，∴EF＝2，EB＝1，∵∠FEB＝60°，∴由余弦定理得BF＝＝，∴EF2＝EB2+BF2，∴FB⊥EB，由①②得BF⊥平面BCDE，∴平面BFC⊥平面BCDE．（Ⅱ）解：以B为原点，BA为x轴，在平面ABCD中过点B作AB的垂线为y轴，BF 为z轴，建立空间直角坐标系，设DE＝a，则D（1，a，0），F（0，0，），＝（﹣1，﹣a，），∵直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，∴直线DF与平面BCDE所成角的正弦值为，平面BCDE的法向量＝（0，0，1），∴|cos＜＞|＝＝＝，解得a＝2，∴D（1，2，0），C（﹣2，2，0），∴＝（0，2，0），＝（﹣1，﹣2，），设平面EDF的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（），同理得平面DFC的一个法向量＝（0，，2），∴cos＜＞＝＝，∴二面角E﹣DF﹣C的正弦值为sin＜＞＝＝．19．为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg）．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N（μ，σ2）．在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查．（Ⅰ）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量：9.7810.049.9210.1410.049.2210.139.919.959.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12经计算得＝x i＝9.96，s＝＝≈0.19其中x i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量，i＝1，2，…，20．用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（Ⅱ）假设生产状态正常，记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品件数，求P（X＝1）及X的数学期望．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974，0.997419≈0.95．【分析】（I）由＝9.96，s＝0.19．可得：＝9.96，＝0.19，由样品数据看出有一样药品的主要药理成分（9.22）含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）＝（9.39，10.53）之外的药品，即可判断出结论．（II）抽取的一件药品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，而主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.0026，可得X～B（20，0.0026），可得P（X＝1），及其E（X）．解：（I）由＝9.96，s＝0.19．可得：＝9.96，＝0.19，由样品数据看出有一样药品的主要药理成分（9.22）含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）＝（9.39，10.53）之外的药品，因此需对本次的生产过程进行检查．（II）抽取的一件药品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，而主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.0026，故X～B（20，0.0026），∴P（X＝1）＝0.997419×0.0026≈0.0494．X的数学期望E（X）＝20×0.0026≈0.052．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C 交于A，B两点．△ABF2的周长为，且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程：（Ⅱ）设点P为椭圆C的下顶点，直线PA，PB与y＝2分别交于点M，N，当|MN|最小时，求直线AB的方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得4a＝4，结合离心率即可求出c，再利用b2＝a2﹣c2即可求出b2，从而求出椭圆C的方程；（Ⅱ）点P（0，﹣1），F1（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为：x＝my﹣1，则可知m≠﹣1，与椭圆方程联立，利用韦达定理可求|MN|＝6，当m＝0时，|MN|＝6，当m≠0时利用基本不等式求得|MN|的最小值为6＜6，在m＝1处取得，所以当|MN|最小时，直线AB的方程为：x＝y﹣1，即x﹣y+1＝0．解：（Ⅰ）由题意可得：4a＝4，，∴a＝，c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆C的方程为：；（Ⅱ）点P（0，﹣1），F1（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为：x＝my﹣1，则可知m≠﹣1，联立方程，消去y得：（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，∴，，直线PA的方程为：（y1+1）x﹣x1y﹣x1＝0，可得，同理，|MN|＝||＝3||＝3＝3＝6，当m＝0时，|MN|＝6，当m≠0时，|MN|＝6，由于m+∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞），则，此时|MN|的最小值为6＜6，在m＝1处取得，综上所述，当|MN|最小时，直线AB的方程为：x＝y﹣1，即x﹣y+1＝0．21．已知函数f（x）＝e ax﹣x﹣1，且f（x）≥0．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为k，问：是否存在x0∈（x1，x2），使f'（x0）＝k成立？若存在，求出x0的值（用x1，x2表示）；若不存在，请说明理由．【分析】（I）结合已知先对函数求导，然后结合已知导数可求函数的单调性，进而可求函数的最小值，解不等式可求；（II）结合直线的斜率公式及函数的性质及零点判定定理即可求解．解：（1）若a≤0，则对一切x＞0，f（x）＝）＝e ax﹣x﹣1＜0，不符合题意，若a＞0，f′（x）＝ae ax﹣1，令f′（x）＝ae ax﹣1＝0可得x＝，当x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，故当x＝﹣时，函数取得最小值f（﹣）＝，由题意可得，有≥0①，令g（t）＝t﹣tlnt﹣1，则g′（t）＝﹣lnt，当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，故当t＝1时，g（t）取得最大值g（1）＝0，当且仅当＝1即a＝1时①成立，综上a＝1；（II）由题意可知，k＝＝﹣1，令t（x）＝f′（x）﹣k＝e x﹣，则可知y＝t（x）在[x1，x2]上单调递增，且t（x1）＝[﹣（x2﹣x1）﹣1]，t（x2）＝[e﹣（x1﹣x2）﹣1]，由（I）可知f（x）＝e x﹣x﹣1≥0，x＝0时取等号，∴﹣（x2﹣x1）﹣1≥0，e﹣（x1﹣x2）﹣1≥0，∴t（x1）＜0，t（x2）＞0，由零点判定定理可得，存在x0∈（x1，x2），使得t（x0）＝0且，综上可得，存在x0∈（x1，x2），使f'（x0）＝k成立请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C交于M，N两点．（Ⅰ）若点P的极坐标为（2，π），求|PM|•|PN|的值；（Ⅱ）求曲线C的内接矩形周长的最大值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，转换为直角坐标方程为．点P的极坐标为（2，π），转换为直角坐标为（﹣2，0）由于点P（﹣2，0）在直线l 上，所以直线l的参数方程为（t为参数），转化为（t为参数），所以代入曲线的方程为，整理得，所以|PM|•|PN|＝|t1t2|＝4．（Ⅱ）不妨设Q（），（），所以该矩形的周长为4（）＝16sin（）．当时，矩形的周长的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当f（2）+f（﹣2）＞4时，求a的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，∀x，y∈（﹣∞，a]，不等式f（x）≤|y+3|+|y﹣a|恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求得关于a的不等式，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集即可；（2）原不等式等价为f（x）max≤（|y+3|+|y﹣a|）min，运用家的孩子不等式的性质和二次函数的最值求法，分别求得最值，解不等式可得所求范围．解：（1）f（2）+f（﹣2）＞4，可得2|2﹣a|﹣2|2+a|＞4，即|a﹣2|﹣|a+2|＞2，则或或，解得a≤﹣2或﹣2＜a＜﹣1或a∈∅，则a的范围是（﹣∞，﹣1）；（2）f（x）≤|y+3|+|y﹣a|恒成立，等价为f（x）max≤（|y+3|+|y﹣a|）min，其中当x，y∈（﹣∞，a]，|y+3|+|y﹣a|≥|y+3+a﹣y|＝|a+3|＝a+3，当且仅当﹣3≤y≤a取得等号，而f（x）＝﹣x（x﹣a）＝﹣（x﹣）2+≤，当且仅当x＝a时取得等号．所以≤a+3，解得0＜a≤6．。

山东省2020年高考模拟考试数学试题 Word版含答案

山东省2020年高考模拟考试数学试题 Word版含答案

山东省2020年普通高等院校统一招生模拟考试高三教学质量检测数学试题2020．02本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()11221,1,0,1z Z Z z =，则 A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．向量a b r r ，满足()()1,2a b a b a b ==+⊥-u u r u u r r r r r，则向量a b r r 与的夹角为 A ．45oB ．60oC ．90oD ．120o4．已知数列{}n a 中，372,1a a ==．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a = A ．23B ．32C ．43D ．345．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是A ．4B ．3C ．2D ．16．在ABC ∆中，2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，若，则 A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7．已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．22y x =±C ．y x =±D ．2y x =±8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则A. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年陕西省高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)

2020年陕西省高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)

2020年陕西省高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足（1-i）z=1+i，则复数z=（）A. 1+iB. 1-iC. iD. -i2.设集合A={x|-1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A. {-1，0，1，2，3}B. {0，1，2，3}C. {1，2，3}D. {2}3.若向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，则x=（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知tan（α+）=-2，则tan（）=（）A. B. C. -3 D. 35.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…则此数列的前15项和为（）A. 110B. 114C. 124D. 1256.若正数m，n满足2m+n=1，则+的最小值为（）A. 3+2B. 3+C. 2+2D. 37.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为ln5，则在判断框内应填（）A. i≤5？B. i≤4？C. i＜6？D. i＞5？8.已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.9.一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A. B. C. D.10.函数y=-2sin x的图象大致是（）A. B.C. D.11.已知双曲线与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 2C.D.12.已知函数f（x）=ln x-ax2，若f（x）恰有两个不同的零点，则a的取值范围为（）A. （，+∞）B. [．+∞）C. （0，）D. （0，]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值是______．14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2-a5=0，则=______．15.（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为______．16.曲线y=2ln x在点（e2，4）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（a+b+c）（a+b-c）=3ab．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．18.已知某种细菌的适宜生长温度为10℃-25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度x（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：1866 3.8112 4.3142820.5其中k i=ln y i，=（Ⅰ）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y=bx+a与y=ce dx哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（1）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；（Ⅲ）当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据（u i，v i）（i=1，2，3，…，n），其回归宜线v=βu+a的斜率和截距的最小二成估计分别为β=，，参考数据：e5.5≈245．19.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E，F分别为AC，DC的中点（Ⅰ）求证：EF⊥BC；（Ⅱ）求二面角E-BF-C的余弦值20.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．21.已知函数f（x）=e x-x2-1．（1）若函数g（x）=，x∈（0，+∞），求函数g（x）的极值；（2）若k∈Z，且f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且||=2||，求实数a的值．23.已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由题设（1-i）z=1+i得z==故选：C．由复数的除法进行变行即可求出复数的除法与乘法是复数的基本运算2.答案：B解析：解：∵A={0，1，2}，B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：B．可以求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算．3.答案：A解析：解：向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，可得（2，6）•（2，x）=10，可得4+6x=10，解得x=1．故选：A．利用向量的坐标运算以及数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，考查计算能力．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查两角差的和的正切公式的应用，属于基础题．由题意利用两角差的和的正切公式，求得tan（）=tan[（α+）+]的值．【解答】解：∵tan（α+）=-2，∴tan（）=tan[（α+）+]===-，故选：A．5.答案：B解析：解：数列的前15项为2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，15，20，15，6，可得此数列的前15项和为2+3+3+4+6+4+5+10+10+5+6+15+20+15+6=4-2+8-2+16-2+32-2+64-2=（4+8+16+32+64）-10=114．故选：B．由题意写出数列的前15项计算可得所求和．本题考查数列在实际问题中的运用，考查数列的求和，以及运算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵2m+n=1，则+=（+）（2m+n）=3+，当且仅当时取等号，即最小值3+2，故选：A．由题意可得，+=（+）（2m+n），展开后利用基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是对应用条件的配凑．7.答案：B解析：解：∵ln（1+）=ln=ln（i+1）-ln i，∴i=1时，S=ln2-ln1=ln2，i=2时，S=ln2+ln3-ln2=ln3，i=3时，S=ln3+ln4-ln3=ln4，i=4，S=ln4+ln5-ln4=ln5，此时i=5不满足条件，输出S=ln5，即条件为i≤4？，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．8.答案：B解析：【分析】求出P到平面ABC的距离，AC为截面圆的直径，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．属于中档题．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC==，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．9.答案：D解析：解：①中线段为虚线，②正确，③中线段为实线，④正确，故选：D．根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．本题考查了空间几何体的三视图的画法，属于中档题，空间想象能力．10.答案：C解析：解：当x=0时，y=0-2sin0=0故函数图象过原点，可排除A又∵y'=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有C满足要求故选：C．根据函数的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．本题考查的知识点是函数的图象，在分析非基本函数图象的形状时，特殊点、单调性、奇偶性是我们经常用的方法．11.答案：A解析：【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2-a2，联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，），∴，解得：，c=2，则双曲线的离心率为2，故选：A．12.答案：C解析：解：f（x）=ln x-ax2，可得f′（x）=-2ax，①a≤0时，f′（x）＞0函数是增函数，不可能有两个零点，②0＜a时，令f′（x）=-2ax=0，解得x=，当0时，f′（x）＞0函数是增函数，当x＞时，f′（x）＜0函数是减函数，f（x）的最大值为：f（）=ln-a（）2=-，f（x）恰有两个不同的零点，当x→0+时，f（x）→-∞，当x→+∞时，f（x）→-∞，所以-＞0，解得a∈（0，）．故选：C．利用函数的导数，求解函数的最大值大于0，结合函数的单调性，判断零点的个数即可．本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，分类讨论思想的应用，是一道难题．13.答案：-2解析：解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x-2y为y=x-．联立，解得：C（0，1）．由图可知，当直线y=x-过C（0，1）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于0-2×1=-2．故答案为：-2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：解析：解：∵8a2-a5=0，∴q3==8，∴q=2，则==，故答案为：．由已知结合等比数列的性质可求q3=，进而可求q，然后结合等比数列的求和公式，代入即可求解．本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：-26解析：解：由（1-x）6的展开式的通项得：T r+1=（-x）r，则（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，故答案为：-26．由二项式定理及二项式展开式的通项公式得：（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，得解．本题考查了二项式定理、二项式展开式的通项公式及分类讨论思想，属中档题．16.答案：e2解析：解：根据题意，曲线y=2ln x，其导数y′=，则x=e2处的切线的斜率k=y′=，则切线的方程为y-4=（x-e2），即y=x+2，x=0，y=2，切线与y轴的交点坐标为（0，2），y=0，x=-e2，切线与y轴的交点坐标为（-e2，0），则切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×|-e2|=e2；故答案为：e2根据题意，求出y=2ln x的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率k=y′=，进而可得切线的方程，求出切线与x轴、y轴交点的坐标，由三角形面积公式计算可得答案．本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．17.答案：解：（Ⅰ）△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，∴a2+b2-c2=ab，由余弦定理得，cos C==；又∵C∈（0，π），∴C=；（Ⅱ）由c=2，C=，根据正弦定理得，====，∴a+b=（sin A+sin B）=[sin A+sin（-A）]=2sin A+2cos A=4sin（A+）；又∵△ABC为锐角三角形，∴，解得＜A＜；∴＜A+＜，∴2＜4sin（A+）≤4，综上，a+b的取值范围是（2，4]．解析：（Ⅰ）化简（a+b+c）（a+b-c）=3ab，利用余弦定理求得C的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a+b的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A的取值范围，从而求出a+b的取值范围．本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，如图所示；由散点图可知，y=ce dx更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，即k=dx+ln c，由d==≈0.183≈0.2，ln c=3.8-0.183×18≈0.5．∴ln y=0.2x+0.5，则y关于x的回归方程为y=e0.5•e0.2x；（Ⅲ）当x=25时，计算可得y=e0.5•e5=e5.5≈245；即温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245．解析：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，由散点图判断y=ce dx更适合作为回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，求出回归系数，写出回归方程；（Ⅲ）利用回归方程计算x=25时y的值即可．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了数学转化思想与计算能力，是中档题．19.答案：证明：（Ⅰ）证法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC．所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC．又EO⊥BC，∴BC⊥平面EFO，又EF⊂平面EFO，∴EF⊥BC．证法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y 轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则B（0，0，0），A（0，-1，），D（，-1，0），C（0，2，0）．E（0，，），F（，，0），∴=（，0，-），=（0，2，0），∴•=0．∴EF⊥BC．（2）解：解法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG⊥BF．∴∠EGO为二面角E-BF-C的平面角．在△EOC中，EO=EC=BC•cos30°=，由△BGO∽△BFC知，OG=•FC=，∴tan∠EGO==2，∴cos∠EGO=，即二面角E-BF-C的余弦值为．解法二：在图中，平面BFC的一个法向量为=（0，0，1）．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，）．，取x=1，得=（1，-，1）．设二面角E-BF-C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ=|cos＜＞=||==，故．二面角E-BF-C的余弦值为．解析：（Ⅰ）法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．证出△EOC≌△FOC．从而FO⊥BC．又EO⊥BC，进而BC⊥平面EFO，由此能证明EF⊥BC．法二：以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能证明EF⊥BC．（2）法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由三垂线定理知EG⊥BF．∠EGO为二面角E-BF-C 的平面角．由此能求出二面角E-BF-C的余弦值．法二：求出平面BFC的一个法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能求出二面角E-BF-C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由题意得，得．（2分）结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．（3分）所以，椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，（6分）依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，（7分）因为，，所以．（8分）即，（9分）将其整理为k2=-=-1-（10分）因为，所以，12≤a2＜18．（11分）所以，即．（13分）解析：（Ⅰ）由题意得，得，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意OM⊥ON知，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．由此能求出k的取值范围．本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.答案：解：（1）函数f（x）=e x-x2-1，则f′（x）=e x-2x，又g（x）=，x∈（0，+∞），则g′（x）==；设y=e x-x-1，则y′=e x-1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，即y=e x-x-1在x＞0时单调递增；所以y=e x-x-1＞0；令g′（x）＞0，可得x＞1，令g′（x）＜0，可得0＜x＜1；所以g（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；所以函数g（x）的极小值为g（1）=e-2，无最大值；（2）不等式f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，即为e x+x2+x--1≥0对任意x恒成立，即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立；设h（x）=e x+x2+x-，则h′（x）=e x+x+，易知h′（x）在R上单调递增，h′（-1）=-＜0，h′（0）=＞0，则存在唯一的x0∈（-1，0），使h′（x0）=0，即+x0+=0；当x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）min=h（x0）=++x0-；又h′（x0）=0，则h（x0）=（--x0）++x0-=（-x0-3），又x0∈（-1，0），则h（x0）∈（-1，-），即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，所以k≤h（x0），由k max=-1，得出k的最大值为-1．解析：（1）根据题意，对函数g（x）=求导数，利用导数判断g（x）的单调性，并求g（x）的极值；（2）根据题意化为k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，构造函数，利用导数求该函数的最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成立问题，也考查了构造法与转化思想，是难题．22.答案：解：（I）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），∴曲线C1的普通方程为x-y-a+1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．∴曲线C2的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，∴x2+4x-x2-y2=0，即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．（说明：化简不对，但准确写出互化公式得1分）（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有，∵||=2||，∴，或=-2，当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=2t2，，解得a=，a=，符合题意，∴实数a的值为．当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=-2t2，，解得a=，a=＞0，符合题意，∴实数a的值为．综上，a的值为或．解析：（I）由曲线C1参数方程能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，由此能求出实数a的值．本题考查极坐标方程化普通方程，韦达定理，直线参数方程的几何意义，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.答案：（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=-f（-x）=-（x2-2x），∴g（x）=-x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2-|x-1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．…（5分）（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|可化为：c≤2x2-|x-1|．作出函数F（x）=2x2-|x-1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．…（10分）解析：先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项本题考查二次函数图象与性质．。

2020年浙江省温州市高考数学二模试卷(理科)含答案解析

2020年浙江省温州市高考数学二模试卷(理科)含答案解析

浙江省温州市2020年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则A∩∁U B=（）A．{3}B．{1，2，4，5} C．{1，2}D．{1，3，5}2．已知实数x，y满足，则z=x﹣y（）A．最小值为﹣1，不存在最大值B．最小值为2，不存在最大值C．最大值为﹣1，不存在最小值D．最大值为2，不存在最小值3．直线l1：mx+y﹣1=0与直线l2：（m﹣2）x+my﹣1=0，则“m=1”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．4 B．C．8 D．5．设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算⊕为：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3．若（A2⊕A3）⊕A m=A0，则m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．36．点P到图形C上所有点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点的轨迹是（）A．射线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线7．数列{a n}是递增数列，且满足a n+1=f（a n），a1∈（0，1），则f（x）不可能是（）A ．f （x ）=B ．f （x ）=2x ﹣1C ．f （x ）=D ．f （x ）=log 2（x +1）8．棱长为2的正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上的动点，则△PEQ 周长的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．2二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 9．以椭圆=1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是 ，离心率为 ． 10．函数的图象如图所示，则ω= ，φ= ．11．已知等差数列{a n }的公差为﹣3，且a 3是a 1和a 4的等比中项，则通项a n = ，数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为 ． 12．设奇函数f （x ）=，则a +c 的值为 ，不等式f （x ）＞f （﹣x ）在x ∈[﹣π，π]上的解集为 ． 13．若正数a ，b 满足log 2a=log 5b=lg （a +b ），则的值为 ．14．若存在x 0∈[﹣1，1]使得不等式10002124+≤+•-x x x a 成立，则实数a 的取值范围是 ．15．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足，若，则x+y的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=，sinA=．（Ⅰ）求sinC的值；（II）设D为AC的中点，若△ABC的面积为8，求BD的长．17．如图，矩形ABCD中，=λ（λ＞1），将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且二面角C﹣AB﹣E为直二面角．（1）求证：平面ACE⊥平面BCE；（2）设F是BE的中点，二面角E﹣AC﹣F的平面角的大小为θ，当λ∈[2，3]时，求cosθ的取值范围．18．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象过点（1，0）．（1）记函数f（x）在[0，2]上的最大值为M，若M≤1，求a的最大值；（2）若对任意的x1∈[0，2]，存在x2∈[0，2]，使得f（x1）+f（x2）＞a，求的取值范围．19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，焦距为2，设点P（a，b）满足△PF1F2是等腰三角形．（1）求该椭圆方程；（2）过x轴上的一点M（m，0）作一条斜率为k的直线l，与椭圆交于点A，B两点，问是否存在常数k，使得|MA|2+|MB|2的值与m无关？若存在，求出这个k的值；若不存在，请说明理由．=n2﹣m2 20．设正项数列{a n}满足：a1=1，且对任意的n，m∈N+，n＞m，均有a2n+m a2n﹣m成立．（1）求a2，a3的值，并求{a n}的通项公式；+a2n+1与2a2n的大小；（2）（ⅰ）比较a2n﹣1（ⅱ）证明：a2+a4+…+a2n＞．2020年浙江省温州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则A∩∁U B=（）A．{3}B．{1，2，4，5} C．{1，2}D．{1，3，5}【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，∴∁U B={1，2}，则A∩∁U B={1，2}，故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知实数x，y满足，则z=x﹣y（）A．最小值为﹣1，不存在最大值B．最小值为2，不存在最大值C．最大值为﹣1，不存在最小值D．最大值为2，不存在最小值【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点A时，即和直线AD：x﹣y=﹣1平行时，直线y=x ﹣z的截距最大，此时z最小，最小为﹣1，无最大值，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．3．直线l1：mx+y﹣1=0与直线l2：（m﹣2）x+my﹣1=0，则“m=1”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：y﹣1=0，2x+1=0，此时两条直线相互垂直，∴m=0．当m≠0时，若l1⊥l2，则﹣m（﹣）=﹣1，解得m=1．综上可得：m=0，或m=1，故“m=1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．4 B．C．8 D．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个矩形：两条边分别是4、2，且四棱锥的高是2，∴几何体的体积V==，故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．5．设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算⊕为：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3．若（A2⊕A3）⊕A m=A0，则m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据新定义进行推理计算即可．【解答】解：∵2+3=5，5除4的余数为1，∴A2⊕A3=A1，则A1⊕A m=A0，则1+m是4的倍数，则m=3，故选：D．【点评】本题主要考查推理的应用，根据新定义是解决本题的关键．比较基础．6．点P到图形C上所有点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点的轨迹是（）A．射线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线【分析】根据题意可知|PC|﹣r=|PA|，即P到C与A的距离之差为常数，故而P在双曲线上运动．【解答】解：设圆C的半径为r，由题意可知P到圆C的距离为|PC|﹣r，∴|PC|﹣r=|PA|，即|PC|﹣|PA|=r．∴P点轨迹为以A，C为焦点的双曲线靠近A点的一只．故选：C．【点评】本题考查了圆锥曲线的定义，属于基础题，7．数列{a n}是递增数列，且满足a n+1=f（a n），a1∈（0，1），则f（x）不可能是（）A．f（x）=B．f（x）=2x﹣1 C．f（x）=D．f（x）=log2（x+1）【分析】A．由a1∈（0，1），可得＞a n，即可判断出数列{a n}的单调性；B．由a1∈（0，1），不妨取a1=，则a2=﹣1=﹣1，即可判断出数列{a n}的单调性；C：f（x）=，令2x﹣x2≥0，可得得0≤x≤2．由f（x）==，利用二次函数的单调性及其a1∈（0，1），即可判断出数列{a n}的单调性；D．利用几何画板画出图象y=log2（x+1），y=x，可知：在x∈（0，1）时，log2（x+1）＞x，即可判断出数列{a n}的单调性．【解答】解：对于A．∵a1∈（0，1），∴＞a n，可得数列{a n}是递增数列；对于B．∵a1∈（0，1），不妨取a1=，则a2=﹣1=﹣1，因此数列{a n}不是递增数列；对于C：f（x）=，令2x﹣x2≥0，解得0≤x≤2．由f（x）==，可知：当0≤x≤1时，函数f（x）单调递增；当1≤x≤2时，函数f（x）单调递减．∵a1∈（0，1），∴数列{a n}是递增数列；对于D．利用几何画板画出图象y=log2（x+1），y=x，可知：在x∈（0，1）时，log2（x+1）＞x，∴a n+1=log2（a n+1）＞a n，因此数列{a n}是递增数列．故选：B．【点评】本题考查了数列的单调性，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．8．棱长为2的正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则△PEQ周长的最小值为（）A．2 B． C． D．2【分析】由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，求出MN，即可得出结论．【解答】解：由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，则EM=2．EN=，∠MEN=135°，∴MN==．故选：B．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．以椭圆=1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是y=±x，离心率为．【分析】由椭圆=1的焦点坐标为（，0），长轴顶点为（±2，0），求出双曲线的标准方程，由此能求出结果．【解答】解：∵椭圆=1的焦点坐标为（，0），长轴顶点为（±2，0），∴以椭圆=1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的标准方程为：=1，∴双曲线的渐近线方程是y=±x，离心率e==．故答案为：，．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆、双曲线的性质的合理运用．10．函数的图象如图所示，则ω=2，φ=．【分析】通过函数的图象，求出T然后求出ω，利用图象经过（π，0）求出φ的值．【解答】2，解：由图象可知T=π，，则ω=2，∵函数经过点（π，1），∴1=2sin（2×π+φ），sinφ=，|φ|＜，故φ=；故答案为2，．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，学生的视图能力，注意角的范围的应用．11．已知等差数列{a n}的公差为﹣3，且a3是a1和a4的等比中项，则通项a n=﹣3n+15，数列{a n}的前n项和S n的最大值为30．【分析】由题意可得（a1﹣6）2=a1（a1﹣6），解之可得a1，代入通项公式得到a n=﹣3n+15，再判断数列{a n}的前n项和S n的最大值的n的情况，即可求出，【解答】解：由题意可得（a1﹣6）2=a1（a1﹣9），解得a1=12，∴a n=12+（n﹣1）×（﹣3）=﹣3n+15，∴a n=﹣3n+15≥0，解得n≤5，∴S5=5×12+=30，故答案为：﹣3n+15，30．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式和等比中项的定义，属基础题．12．设奇函数f（x）=，则a+c的值为0，不等式f（x）＞f（﹣x）在x∈[﹣π，π]上的解集为．【分析】根据函数奇偶性的定义和性质求出a，b，c的值，利用分类讨论的思想进行求解即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=acos0﹣sin0+c=a+c=0，即a+c=0，则f（x）=，若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=acosx+sinx﹣a=﹣cosx﹣bsinx﹣a，则a=﹣1，b=﹣，c=1，即f（x）=，若0≤x≤π，则由f（x）＞f（﹣x）得﹣cosx﹣sinx+1＞cosx+sinx﹣1，即cosx+sinx＜1，即cos（x﹣）＜，∵0≤x≤π，∴﹣≤x﹣≤，则＜x﹣≤，即＜x≤π，若﹣π≤x＜0，则由f （x ）＞f （﹣x ）得cosx ﹣sinx ﹣1＞﹣cosx +sinx +1，即cosx ﹣sinx ＞1，即cos （x +）＞， ∵﹣π≤x ＜0，∴﹣≤x +＜，则﹣＜x +＜，即﹣＜x ＜0，综上不等式的解集为，故答案为：．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a ，b ，c 的值，利用分类讨论的思想结合三角函数的图象和性质是解决本题的关键．13．若正数a ，b 满足log 2a=log 5b=lg （a +b ），则的值为 1 ．【分析】设log 2a=log 5b=lg （a +b ）=k ，可得a=2k ，b=5k ，a +b=10k ，可得a +b=ab ．即可得出． 【解答】解：设log 2a=log 5b=lg （a +b ）=k ， ∴a=2k ，b=5k ，a +b=10k ， ∴ab=10k ， ∴a +b=ab ， 则=1．故答案为：1．【点评】本题考查了对数与指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．若存在x 0∈[﹣1，1]使得不等式10002124+≤+•-x x x a 成立，则实数a 的取值范围是[0，] ．【分析】将不等式进行等价转化，利用换元法，结合基本不等式的性质进行转化求解，建立不等式关系进行求解即可得到结论． 【解答】解：不等式|4﹣a2+1|≤2等价为≤2，即|2+﹣a |≤2，即﹣2≤2+﹣a≤2，即a﹣2≤2+≤2+a，设t=2，当x0∈[﹣1，1]是t∈[，2]，设y=t+，则函数在[，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，则当t=1时，函数取得最小值y=1+1=2，当t=2或t=，函数取得最大值y=+2=，则2≤y≤，∵即a﹣2≤y≤2+a，∴若[a﹣2，a+2]与[2，]没有公共点，则a+2＜2或a﹣2＞，即a＜0或a＞，则若[a﹣2，a+2]与[2，]有公共点，则0≤a≤，故答案为：[0，]【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式进行转化，利用不等式求出不等式的范围，建立不等式关系是解决本题的关键．15．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足，若，则x+y的最小值为．【分析】由题意建立平面直角坐标系，设点M（3，a），N（b，4），0＜a＜4，0＜b＜3；求得b=，a=，从而可得+=（x+y﹣1）2，再设x+y=m，则x=m﹣y；利用判别式即可求出m的最小值．【解答】解：由题意建立如图所示坐标系，如图所示；设点M（3，a），N（b，4），且0＜a＜4，0＜b＜3；∵=（3，4），=（3，a），=（b，4）；又∵=x+y，∴（3，4）=x（3，a）+y（b，4），即，∴b=，a=，∴+=+=+=1，即+=（x+y﹣1）2，设x+y=m，则x=m﹣y；则+=（m﹣1）2，即25y2﹣18my+9m2﹣144（m﹣1）2=0，故△=（18m）2﹣4×25×（9m2﹣144（m﹣1）2）≥0，即24m2﹣50m+25≥0，解得，m≥或m≤（舍去）；∴x+y的最小值．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了数形结合的思想与转化思想的应用问题，是较难的题目．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=，sinA=．（Ⅰ）求sinC的值；（II）设D为AC的中点，若△ABC的面积为8，求BD的长．【分析】（1）利用向量的数量积和正玄定理得出sinBcosA=sinAcosB，根据三角公式得出A=B，根据诱导公式求解即可．（2）利用面积公式，以及余弦定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，∵=，∴cbcosA=cacosB，即bcosA=acosB，sinBcosA=sinAcosB，sin（A﹣B）=0，∴A=B，∵sinA=．∴sinC=sin（π﹣2A）=sin（2A）=2sinAcosA=2××=．（2）设AC=BC=m，∵△ABC的面积为8，∴×=，m=3，cosC=，根据余弦定理得出：BD2=m2×=m2=BD=．【点评】本题考查了向量数量积以及正弦定理和余弦定理的运用，在判断三角形形状时，要注意对角的范围进行分析，即求角的大小需要两个条件：该角的一个三角函数值和该角的范围，缺一不可，正、余弦定理是解三解形必用的数学工具17．如图，矩形ABCD中，=λ（λ＞1），将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且二面角C﹣AB﹣E为直二面角．（1）求证：平面ACE⊥平面BCE；（2）设F是BE的中点，二面角E﹣AC﹣F的平面角的大小为θ，当λ∈[2，3]时，求cosθ的取值范围．【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥BC，BC⊥AE，从而AE⊥平面BCE，由此能证明平面ACE⊥平面BCE．（Ⅱ）以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ的取值范围．【解答】（本题15分）证明：（Ⅰ）∵二面角C﹣AB﹣E为直二面角，AB⊥BC，∴BC⊥AE平面，∴BC⊥AE…（2分）∵AE⊥CE，BC∩CE=C，∴AE⊥平面BCE…（4分）∵AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCE…（6分）解：（Ⅱ）如图，以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系，则AB=λ…（8分）则设平面EAC的法向量为则，取x=1，则…（10分）同理设平面FAC的法向量为…（12分）∴…（14分）∵…（15分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象过点（1，0）．（1）记函数f（x）在[0，2]上的最大值为M，若M≤1，求a的最大值；（2）若对任意的x1∈[0，2]，存在x2∈[0，2]，使得f（x1）+f（x2）＞a，求的取值范围．【分析】（1）方法一：由f（x）是开口向上的抛物线，可得：M=max{f（0），f（2）}，即，两式相加可得a的最大值；方法二：=，结合M≤1，可得a的最大值（2）存在，使，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）∵f（x）过点（1，0），∴f（1）=a+b+c=0，…（1分）∴c=﹣a﹣b，f（x）=ax2+bx﹣a﹣b∵f（x）是开口向上的抛物线，∴M=max{f（0），f（2）}…（3分）∴…（5分）两式相加得a≤1，即a的最大值为1…（6分）解法二：由解得：=≤=1 …（6分）（2）由题意，存在，使，∴…（8分）∵a+b+c=0∴f（x）=ax2+bx﹣a﹣b其对称轴为①当，即时，f（x）在[0，2]上单调递增，∴∴＞0均符合题意…（10分）②当，即时，f（x）在[0，]上递减，在[，2]上递增且f（0）＜f（2），∴∴由得：，符合题意…（12分）③当，即时，f（x）在[0，]上递减，在[，2]上递增且f（0）≥f（2），∴由得：∴符合题意…（13分）④当即时，f（x）在[0，2]上单调递减，∴，∴均符合题意…（14分）综上所述：∴或…（15分）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，焦距为2，设点P（a，b）满足△PF1F2是等腰三角形．（1）求该椭圆方程；（2）过x轴上的一点M（m，0）作一条斜率为k的直线l，与椭圆交于点A，B两点，问是否存在常数k，使得|MA|2+|MB|2的值与m无关？若存在，求出这个k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据题意，有，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）联立方程组，得：（3+4k2）x2﹣8k2mx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件推导出|MA|2+|MB|2=7与m无关符合题意．【解答】（本题15分）解：（Ⅰ）∵椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，焦距为2，设点P（a，b）满足△PF1F2是等腰三角形，∴根据题意，有…（4分）解得：，故所求椭圆方程为．…（6分）（Ⅱ）联立方程：，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2mx+4m2﹣12=0在△＞0的情况下有：…（9分）令﹣24k2+18=0，得，即…（13分）此时|MA|2+|MB|2=7与m无关符合题意，…（15分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．20．设正项数列{a n}满足：a1=1，且对任意的n，m∈N+，n＞m，均有a2n+m a2n=n2﹣m2﹣m成立．（1）求a2，a3的值，并求{a n}的通项公式；+a2n+1与2a2n的大小；（2）（ⅰ）比较a2n﹣1（ⅱ）证明：a2+a4+…+a2n＞．【分析】（1）先令m=1，求得a3，n=m+2，求得a2，分类讨论n为奇数或偶数，分别求得通项公式，+a2n+1与2a2n的通项公式，化简、比较大小，采用分析法，写出所以偶数项和奇（2）a2n﹣1数项整理即可．【解答】解：（1）令m=1，得，从而，所以，令n=m+2，得从而，，又=，∴，，从而，∴当n为偶数时，；令n=m+1，，可知当n为奇数时，综上可得（n∈N+）．+a2n+1﹣2a2n（2）（i）a2n﹣1==＜0，+a2n+1＜2a2n所以a2n﹣1（ii）即证明由（i）得，，…，将上述的n个式子相加，得所以，所以，只需证，事实上，当k=0，1，2，…，n时，+﹣1﹣=﹣≥0，（∵，1），∴从而。

2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷(理科) (解析版)

2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷(理科) (解析版)

2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣x+m＜0}，若A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，则实数m＝（）A．﹣6B．6C．5D．22．已知（2+i）（a+i）＝5+5i，则实数a＝（）A．0B．1C．2D．33．已知双曲线与椭圆的焦点相同，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．34．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则（）A．f（log23）＜f（log32）＜f（log2）B．f（log2）＜f（log23）＜f（log32）C．f（log2）＜f（log32）＜f（log23）D．f（log32）＜f（log2）＜f（log23）5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字．光影潋滟间，以《红旗颂》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃．在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为（）A．2048B．21024C．10242D．102410246．已知等差数列{a n}中，a2＝2，前5项的和S5满足15＜S5＜25，则公差d取值范围为（）A．B．（1，4）C．（1，3）D．7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB＝3，E为AD上一点，BE⊥AC．若＝λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．18．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．0B．C．D．9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，C1D1，DD1的中点，AB＝AA1＝2AD，则异面直线EF与BG所成角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°10．将函数的图象向左平移个单位长度，然后再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．11．已知，则a4＝（）A．21B．42C．﹣35D．﹣21012．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝mx+m﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．已知实数x，y满足约束条件，则的取值范围为．14．已知函数f（x）＝2sin2x+a sin2x的最大值为3，则实数a的值为．15．记数列{a n}的前n项和为S n满足S n+1＝4S n+2．且a1＝2，b n＝log2a n，则数列{b n}的前n 项和T n＝．16．已知圆C：x2+y2+2（a﹣1）x﹣12y+2a2＝0．当C的面积最大时，实数a的值为；若此时圆C关于直线：l2：mx+ny﹣6＝0（m＞0，n＞0）对称，则的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝3，AD＝2．（1）若CD＝1，求BC；（2）求四边形ABCD面积的最大值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD与△PBD都是边长为2的等边三角形，△BCD 为等腰直角三角形，∠BCD＝90°，．（1）证明：BD⊥PA；（2）若M为PA的中点，求平面BMD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．19．已知抛物线C：x2＝4y，过点D（0，2）的直线l交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，两切线相交于点P．（1）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，证明k1，k2为定值；（2）记△PAB的面积为S△PAB，求S△PAB的最小值．20．甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题为体现公平，制定如下规则：①第一轮回答顺序为甲、乙、丙；第二轮回答顺序为乙、丙、甲；第三轮回答顺序为丙，甲、乙；第四轮回答顺序为甲、乙、丙；…，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出．已知，每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每个问题相互独立．（1）求一轮中三人全回答正确的概率；（2）分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率；（3）记P n为甲在第n轮胜出的概率，Q n为乙在第n轮胜出的概率，求P n与Q n，并比较P n与Q n的大小．21．已知函数f（x）＝ae x（a∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的图象在点x＝0处的切线方程；（2）若g（x）＝ln（x+b），当a≥1，b≤2时，证明：f（x）＞g（x）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθtanθ＝2．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2交于M，N两点，点P的极坐标为，求|PM|2+|PN|2的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|．（1）求不等式f（x）≤2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞|a+2|的解集不是空集，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣x+m＜0}，若A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，则实数m＝（）A．﹣6B．6C．5D．2【分析】推导出3是方程x2﹣x+m＝0的一个根，从而32﹣3+m＝0，由此能求出结果．解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣x+m＜8}，A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，所以32﹣3+m＝0，解得m＝﹣6，故选：A．2．已知（2+i）（a+i）＝5+5i，则实数a＝（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件列式求得a 值．解：∵（2+i）（a+i）＝2a﹣1+（a+2）i＝5+4i，∴，解得a＝3，故选：D．3．已知双曲线与椭圆的焦点相同，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，然后求解a，即可求解双曲线的离心率．解：椭圆的焦点坐标为（2，4），（﹣2，0），所以4＝a+a﹣2，解得a＝5，离心率，故选：A．4．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则（）A．f（log23）＜f（log32）＜f（log2）B．f（log2）＜f（log23）＜f（log32）C．f（log2）＜f（log32）＜f（log23）D．f（log32）＜f（log2）＜f（log23）【分析】先判断括号内的大小关系，再借助于单调性即可得到结论．解：由题意知，函数f（x）在定义域R上单调递增，由可得，故选：C．5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字．光影潋滟间，以《红旗颂》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃．在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为（）A．2048B．21024C．10242D．10241024【分析】根据乘法原理解题．解：每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，根据乘法原理可得表示出不同图案的个数为2×2×…×2＝21024，故选：B．6．已知等差数列{a n}中，a2＝2，前5项的和S5满足15＜S5＜25，则公差d取值范围为（）A．B．（1，4）C．（1，3）D．【分析】利用等差数列的求和公式、不等式的解法即可得出．解：∵S5＝5a2+d＝5a1+10d＝2（2﹣d）+10d＝10+5d，∴15＜5d+10＜25，解得1＜d＜3．故选：C．7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB＝3，E为AD上一点，BE⊥AC．若＝λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．1【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可．解：由题意建立如图所示直角坐标系，，设，所以，解得．所以解得故选：B．8．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．0B．C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由程序框图可知，n＝1，；n＝7；；n＝5，，n＝7，S＝0；n＝9，；所以周期为8，又2020＝8×252+4，故选：D．9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，C1D1，DD1的中点，AB＝AA1＝2AD，则异面直线EF与BG所成角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【分析】建立平面直角坐标系，根据题意写出各点坐标，得出的坐标，代入数量积公式运算，可得两个向量互相垂直，进一步确定异面直线EF与BG所成角的大小．解：如图，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D﹣xyz，设AD＝1，则E（1，0，1），F（0，2，2），G（0，0，1），B（1，4，0），，所以，故选：C．10．将函数的图象向左平移个单位长度，然后再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，然后横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故选：D．11．已知，则a4＝（）A．21B．42C．﹣35D．﹣210【分析】先把原式化简，再根据二项式的特点，求解即可．解：因为，a4即为（x﹣1）7展开式中x4的系数，故选：C．12．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝mx+m﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意，方程方程f（x）＝mx+m﹣恰有四个不相等的实数根，等价于y＝f （x）与y＝mx+m﹣恰有4个交点，求出直线y＝mx+m﹣与y＝lnx相切时m的值及过原点时m的值，即可求出m的取值范围．解：画出函数f（x）的图象如图中实线部分所示，方程恰有四个不相等的实数根，而是斜率为m，过定点的直线，设切点坐标为（a，ln（a+1）），＝，又点在切线上，代入可解得a＝﹣2，当直线过原点，即图中l2，所以当时，两函数的图象有4个不同的交点．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x，y满足约束条件，则的取值范围为．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．解：作出不等式组表示的可行域如图所示，表示可行域内的点与原点连线的斜率，，k OB＝3，点B不在可行域内，故的取值范围为．故答案为：．14．已知函数f（x）＝2sin2x+a sin2x的最大值为3，则实数a的值为±1．【分析】由已知利用二倍角的三角函数公式，两角和的正弦函数公式，正弦函数的性质即可求解．解：因为，其中，所以f（x）的最大值为，解得a＝±1．故答案为：±1．15．记数列{a n}的前n项和为S n满足S n+1＝4S n+2．且a1＝2，b n＝log2a n，则数列{b n}的前n 项和T n＝n2．【分析】由S n+1＝4S n+2，可得，当n≥2时，S n＝4S n﹣1+2，两式相减可得a n+1＝4a n（n ≥2）．利用等比数列的通项公式可得a n，进而得出b n，利用等差数列的求和公式即可得出T n．解：由S n+1＝4S n+2①可得，当n≥2时，S n＝4S n﹣1+2②，①﹣②得S n+1﹣S n＝4•（S n﹣S n﹣1），即a n+3＝4a n（n≥2）．又a1＝5，所以a2＝3S3+2＝3a1+2＝8，则a5＝4a1，所以，b n＝log3a n＝2n﹣1，故答案为：n2．16．已知圆C：x2+y2+2（a﹣1）x﹣12y+2a2＝0．当C的面积最大时，实数a的值为﹣1；若此时圆C关于直线：l2：mx+ny﹣6＝0（m＞0，n＞0）对称，则的最大值为．【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆的半径，利用二次函数求最值可得圆的半径的最大值，即可得到圆面积最大时的a值；再由圆心在直线上可得关于m与n的等式，然后利用基本不等式求最值．解：圆C：x2+y2+2（a﹣1）x﹣12y+8a2＝0的方程可化为[x+（a﹣1）]2+（y﹣6）2＝﹣a8﹣2a+37，当a＝﹣1时，﹣a2﹣2a+37取得最大值38，此时圆C的半径最大，面积也最大；∵圆C关于直线l：mx+ny﹣6＝0（m＞0，n＞8）对称，又m＞0，n＞0，当且仅当时，即时取等号，即的最大值为．故答案为：﹣1；．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝3，AD＝2．（1）若CD＝1，求BC；（2）求四边形ABCD面积的最大值．【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，再根据余弦定理即可求出BC，（2）设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°﹣θ．在△BCD中，由正弦定理可求BC，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△BCD＝sin（2θ+30°）﹣，结合范围0°＜θ＜60°，利用正弦函数的性质可求S△BCD的最大值，即可求出四边形ABCD 面积的最大值．解：（1）在△ABD中，因为AB＝3，AD＝2，∠BAD＝60°，则：BD8＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD＝9+7﹣2×3×2×＝2在△BCD中，因为BD＝，CD＝1，∠BCD＝120°，即7＝BC8+1+BC，（2）设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°﹣θ．所以S△BCD＝BD•BC•sin∠CBD＝sin（60°﹣θ）sinθ＝（cosθ﹣sinθ）sinθ＝（sin2θ+cos2θ﹣）＝sin（7θ+30°）﹣，∴S△BCD≤，∴四边形ABCD面积的最大值为+＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD与△PBD都是边长为2的等边三角形，△BCD 为等腰直角三角形，∠BCD＝90°，．（1）证明：BD⊥PA；（2）若M为PA的中点，求平面BMD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）取BD中点O，证明BD⊥平面POA，从而可得BD⊥PA；（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（1）证明：设BD的中点为O，连接OP，OA．因为△ABD，△PBD为等边三角形，所以BD⊥AO，且BD⊥PO．所以BD⊥平面PAO，又PA⊂平面PAO，（2）解：因为△ABD，△PBD的边长为2，所以，又因为PO⊥BD，AO⊥BD，故OA，OB，OP两两垂直，则，，B（0，1，0），D（0，﹣1，8），C（﹣1，0，0），，设平面BMD的一个法向量为＝（x1，y1，z1），则，设平面BMD的一个法向量为＝（x2，y2，z2），则，∴cos＜＞＝＝＝，所以平面BMD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．19．已知抛物线C：x2＝4y，过点D（0，2）的直线l交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，两切线相交于点P．（1）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，证明k1，k2为定值；（2）记△PAB的面积为S△PAB，求S△PAB的最小值．【分析】（1）设A，B的坐标分别为，．利用抛物线方程求解函数的导数，设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理转化证明即可．（2）设P点坐标为（x，y），求出切线PA的方程，切线PB的方程，求出|AB|，点P 到直线AB的距表示三角形的面积，求解S△PAB的最小值．（1）证明：因为A，B两点在曲线x2＝4y上，故设A，B的坐标分别为，【解答】．因为，所以，则，．所以，所以k1k2为定值．由（1）知切线PA的方程为①①﹣②得；①×x2﹣﹣②×x1得．由（1）知x＝2k，y＝﹣2，所以P点坐标为（2k，﹣2），因为点P到直线AB的距离．因为k2+3≥2，所以当k＝0时，S△PAB的最小值为．20．甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题为体现公平，制定如下规则：①第一轮回答顺序为甲、乙、丙；第二轮回答顺序为乙、丙、甲；第三轮回答顺序为丙，甲、乙；第四轮回答顺序为甲、乙、丙；…，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出．已知，每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每个问题相互独立．（1）求一轮中三人全回答正确的概率；（2）分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率；（3）记P n为甲在第n轮胜出的概率，Q n为乙在第n轮胜出的概率，求P n与Q n，并比较P n与Q n的大小．【分析】（1）由题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果．（2）由题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果．（3）先求出前7种情况，总结规律，得出结论．解：（1）设一轮中三人全回答正确为事件M，则．（2）甲在第一轮胜出的概率为；故甲在第二轮胜出的概率为×（××）×＝＝；（3）由（2）知；＝；P3＝×＝．…．当n＝3k+1（k∈N*）时，；同理可得，当n＝3k（k∈N*）时，；当n＝3k+2（k∈N*）时，．当n＝3k+2（k∈N*）时，P n＜Q n．21．已知函数f（x）＝ae x（a∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的图象在点x＝0处的切线方程；（2）若g（x）＝ln（x+b），当a≥1，b≤2时，证明：f（x）＞g（x）．【分析】（1）代入a的值，求出f（0），f′（0），求出切线方程即可；（2）结合a，b的范围，问题转化为可证e x＞ln（x+2）成立，设h（x）＝e x﹣ln（x+2），根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）解：当a＝1时，f（x）＝e x．因为f'（x）＝e x，所以f'（0）＝1，f（2）＝1．即x﹣y+1＝0．当b≤2时，ln（x+b）≤ln（x+2），设h（x）＝e x﹣ln（x+2），则，又因为，，即．当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0．又因为，ln（x0+2）＝﹣x0，所以当x∈（﹣2，+∞）时h（x）＞0，即e x＞ln（x+7）．所以当a≥1，b≤2时，f（x）＞g（x）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθtanθ＝2．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2交于M，N两点，点P的极坐标为，求|PM|2+|PN|2的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．解：（1）由曲线C1的参数方程消去参数t可得，曲线C1的普通方程为4x﹣3y﹣8＝0．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得，曲线C2的直角坐标方程为y2＝2x（x≠0）．所以点P在曲线C1上．将曲线C6的参数方程（t为参数）代入y2＝2x，设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则，．所以．一、选择题23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|．（1）求不等式f（x）≤2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞|a+2|的解集不是空集，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据f（x）≤2，利用零点分段法，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为f（x）max＞|a+2|，得到关于a的不等式，解出即可．解：（1）由题意得|x﹣1|﹣2|x+2|≤2．①当x≥1时，不等式|x﹣2|﹣2|x+1|≤2可化为x﹣1﹣2x﹣4≤2，解得x≥﹣5，所以x≥1．②当﹣1≤x＜1时，不等式|x﹣1|﹣5|x+1|≤2可化为1﹣x﹣2x﹣2≤7，解得x≥﹣1，所以﹣1≤x＜1．③当x＜﹣1时，不等式|x﹣1|﹣2|x+3|≤2可化为1﹣x+2x+2≤2，解得x≤﹣2，所以x＜﹣1．（2）由（1）知，对于任意x∈R，f（x）≤2，且当x＝﹣1时取等号，关于x的不等式f（x）＞|a+7|的解集不是空集，所以实数a的取值范围为（﹣4，0）．。

2020年高考模拟山西省临汾市高考数学第三次模拟试卷(理科) 含解析

2020年高考模拟山西省临汾市高考数学第三次模拟试卷(理科) 含解析

2020年高考模拟高考数学第三次模拟试卷（理科）一、选择题1．已知函数f（x）＝x2﹣2x，集合A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f'（x）≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．设i是虚数单位，若复数z＝1+i，则+z2＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．命题“∀x∈（0，1），e﹣x＞lnx”的否定是（）A．∀x∈（0，1），e﹣x≤lnxB．∃x0∈（0，1），e＞lnx0C．∃x0∈（0，1），e＜lnx0D．∃x0∈（0，1），e≤lnx04．已知||＝，||＝2，若⊥（﹣），则向量+在向量方向的投影为（）A．B．C．﹣D．﹣5．在三角形ABC中，“sin A＞sin B”是“tan A＞tan B”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．B．6C．D．7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为（）A．24π+9B．48π+9C．48π+18D．144π+188．函数y＝cos2x﹣sin2x（x∈[0，]）的单调递增区间是（）A．[0，]B．[0，]C．[，]D．[，]9．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使不等式x0+my0+1≤0成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣]C．[4，+∞）D．（﹣∞，﹣4] 10．已知函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2的零点为m，若存在实数n使x2﹣ax﹣a+3＝0且|m﹣n|≤1，则实数a的取值范围是（）A．[2，4]B．[2，]C．[，3]D．[2，3]11．已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合；②双曲线E与过点P（4，2）的幂函数f（x）＝x a的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．+112．已知函数f（x）＝xe1﹣x，若对于任意的x0∈（0，e]，函数g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1在（0，e]内都有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（1，e]B．（e﹣，e]C．（e﹣，e+]D．（1，e﹣]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．（1﹣2x）（1+x）6的展开式中x2的系数为．14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程px2＝q中，p为“隅”，q为“实”．即若△ABC的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则S2＝[a2c2﹣（）2]．已知点D是△ABC 边AB上一点，AC＝3，BC＝2，∠ACD＝45°，tan∠BCD＝，则△ABC的面积为．15．过直线y＝kx+7上一动点M（x，y）向圆C：x2+y2+2y＝0引两条切线MA，MB，切点为A，B，若k∈[1，4]，则四边形MACB的最小面积S∈[，]的概率为16．三棱锥S﹣ABC中，点P是Rt△ABC斜边AB上一点．给出下列四个命题：①若SA⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若AC＝4，BC＝4，SC＝4，SC⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC的外接球体积为32；③若AC＝3，BC＝4，SC＝，S在平面ABC上的射影是△ABC内心，则三棱锥S﹣ABC的体积为2；④若AC＝3，BC＝4，SA＝3，SA⊥平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的最大角为60°．其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a6＝18，S11＝121．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（a n+3）2n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．18．某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本），并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数（本）不低于90本，则称该学生为“书虫”．（1）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过5%的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？男生女生总计书虫非书虫总计附：K2＝P（k2≥k）0.250.150.100.050.025k 1.323 2.072 2.706 3.814 5.024（2）从所抽取的50名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为X，求X的分布列和数学期望．19．如图，己知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且∠DAB＝60°，点F是BC的中点．（1）求证：BD⊥EF；（2）求二面角E﹣DF﹣B的余弦值．20．已知F1，F2为椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆上，且过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为8．（1）求椭圆E的方程；（2）我们知道抛物线有性质：“过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F的弦AB满足|AF|+|BF|＝|AF|•|BF|．”那么对于椭圆E，问否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x﹣2+1．（1）求函数f（2x）在x＝1处的切线方程；（2）若不等式f（x+y）+f（x﹣y）≥mx对任意的x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，求实数m的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝cos（）．（Ⅰ）求直线l的普通方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x﹣4）＞2的解集；（2）当a＞0时，不等式f（ax）+af（x）≥a+1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数f（x）＝x2﹣2x，集合A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f'（x）≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵函数f（x）＝x2﹣2x，集合A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f'（x）≤0}，∴A＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{2x﹣2≤0}＝{x|x≤1}，∴A∩B＝{x|0≤x≤1}．故选：C．2．设i是虚数单位，若复数z＝1+i，则+z2＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：复数z＝1+i，|z|＝，z2＝（1+i）2＝2i，则+z2＝＝＝1﹣i+2i＝1+i故选：A．3．命题“∀x∈（0，1），e﹣x＞lnx”的否定是（）A．∀x∈（0，1），e﹣x≤lnxB．∃x0∈（0，1），e＞lnx0C．∃x0∈（0，1），e＜lnx0D．∃x0∈（0，1），e≤lnx0【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，写出即可．解：全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x∈（0，1），e﹣x＞lnx”的否定是：“∃x∈（0，1），e﹣x≤lnx”．故选：D．4．已知||＝，||＝2，若⊥（﹣），则向量+在向量方向的投影为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的平方即为模的平方，和向量投影的概念，计算即可得到所求值．解：||＝，||＝2，若⊥（﹣），则•（﹣）＝0，即为•＝2＝3，（+）•＝•+2＝3+4＝7，则向量+在向量方向的投影为＝．故选：B．5．在三角形ABC中，“sin A＞sin B”是“tan A＞tan B”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．解：sin A＞sin B⇔a＞b⇔π＞A＞B＞0，∵π＞A＞B＞0推不出tan A＞tan B，tan A＞tan B推不出π＞A＞B＞0，∴“sin A＞sin B”是“tan A＞tan B”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．B．6C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算变量n×S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：执行程序框图，可得S＝0，n＝2，满足条件，S＝，n＝4，满足条件，S＝＝，n＝6，满足条件，S＝+＝，n＝8，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为＝．故选：D．7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为（）A．24π+9B．48π+9C．48π+18D．144π+18【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：由已知中的三视图知圆锥底面半径为，圆锥的高h＝，圆锥母线l＝，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分的面积为S＝＝，故几何体的体积为：V＝，故选：C．8．函数y＝cos2x﹣sin2x（x∈[0，]）的单调递增区间是（）A．[0，]B．[0，]C．[，]D．[，]【分析】利用辅助角公式进行转化，结合三角函数的单调性进行求解即可．解：因为y＝cos2x﹣sin2x＝2cos（2x+），由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，k∈Z，解得2kπ﹣≤2x≤2kπ﹣，k∈Z，即kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，即函数的增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，所以当k＝1时，增区间为[，]，∵x∈[0，]，∴增区间为[，]，故选：D．9．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使不等式x0+my0+1≤0成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣]C．[4，+∞）D．（﹣∞，﹣4]【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据线性规划的知识，结合直线斜率与区域的关系进行求解即解：作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中A（2，6），直线x+my+1＝0过定点D（﹣1，0），当m＝0时，不等式x+1≤0表示直线x+1＝0及其左边的区域，不满足题意；当m＞0时，直线x+my+1＝0斜率﹣＜0，不等式x+my+1≤0表示直线x+my+1＝0下方的区域，不满足题意；当m＜0时，直线x+my+1＝0的斜率﹣＞0，不等式x+my+1≤0表示直线x+my+1＝0上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使不等式x0+my0+1≤0成立，只需直线x+my+1＝0的斜率﹣≤K AD＝2，解得m．综上可得实数m的取值范围为（﹣∞，﹣]，故选：B．10．已知函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2的零点为m，若存在实数n使x2﹣ax﹣a+3＝0且|m﹣n|≤1，则实数a的取值范围是（）A．[2，4]B．[2，]C．[，3]D．[2，3]【分析】先对函数f（x）求导，然后结合导数与函数的性质可求m，代入不等式可求n 的范围，问题转化为：使方程x2﹣ax﹣a+3＝0在区间[0，2]上有解，分离参数后结合对勾函数的性质可求．解：因为f（x）＝e x﹣1+x﹣2，且f（1）＝0，所以函数f′（x）＝e x﹣1+x﹣2单调递增且有唯一的零点为m＝1，所以|1﹣n|≤1，∴0≤n≤2，问题转化为：使方程x2﹣ax﹣a+3＝0在区间[0，2]上有解，即a＝＝＝x+1+﹣2，在区间[0，2]上有解，而根据“对勾函数”可知函数y＝x+1+﹣2，在区间[0，2]的值域为[2，3]，∴2≤a≤3，故选：D．11．已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合；②双曲线E与过点P（4，2）的幂函数f（x）＝x a的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．+1【分析】先根据导函数的几何意义求出点Q的坐标，再代入双曲线方程结合c＝1，c2＝a2+b2，从而求出离心率．解：依题意可得，抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），F关于原点的对称点（﹣1，0），∵2＝4α，，所以，f'（x）＝，设Q，则，解得x0＝1，∴Q（1，1），可得，又c＝1，c2＝a2+b2，可解得a＝，故双曲线的离心率是，故选：B．12．已知函数f（x）＝xe1﹣x，若对于任意的x0∈（0，e]，函数g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1在（0，e]内都有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（1，e]B．（e﹣，e]C．（e﹣，e+]D．（1，e﹣]【分析】函数g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1在（0，e]内都有两个不同的零点，等价于方程lnx﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内都有两个不同的根．利用导数可得，当x∈（0，e]，0＜f（x）≤1．设F（x）＝lnx﹣x2+ax+1，分析知F′（x）＝0在（0，e）有解，且易知只能有一个解．设其解为x1，可得当x∈（0，x1）时，F（x）在（0，x1）上是增函数；当x∈（x1，e）时，F（x）在（x1，e）上是减函数．结合∀x0∈（0，e]，方程lnx ﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内有两个不同的根，得F（x）max＝F（x1）＞1，且F（e）≤0．由此求得1＜a＜2e．解：函数g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1在（0，e]内都有两个不同的零点，等价于方程lnx﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内都有两个不同的根．f′（x）＝e1﹣x﹣xe1﹣x＝（1﹣x）e1﹣x，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（1，e]时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，因此0＜f（x）≤1．设F（x）＝lnx﹣x2+ax+1，F′（x）＝，若F′（x）＝0在（0，e）上无解，则F（x）在（0，e]上是单调函数，不合题意；F′（x）＝0在（0，e）有解，且易知只能有一个解．设其解为x1，当x∈（0，x1）时，F′（x）＞0，F（x）在（0，x1）上是增函数；当x∈（x1，e）时，F′（x）＜0，F（x）在（x1，e）上是减函数．∵∀x0∈（0，e]，方程lnx﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内有两个不同的根，∴F（x）max ＝F（x1）＞1，且F（e）≤0．由F（e）≤0，即lne﹣e2+ae+1≤0，解得a≤e﹣．由F（x）max＝F（x1）＞1，即＞1，∴＞0．∵，∴，代入＞0，得＞0．设m（x）＝lnx+x2﹣1，m′（x）＝＞0，∴m（x）在（0，e）上是增函数，而m（1）＝ln1+1﹣1＝0，由＞0，可得m（x1）＞m（1），得1＜x1＜e．由在（1，e）上是增函数，得1＜a＜2e．综上所述1＜a≤e﹣，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．（1﹣2x）（1+x）6的展开式中x2的系数为3．【分析】由二项式定理及展开式的通项公式即可求解．解：由（1﹣x）6展开式的通项为：T r+1＝（﹣1）r x r；得（1﹣2x）（1+x）6的展开式中x2的系数为+（﹣2）＝3．故答案为：3．14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程px2＝q中，p为“隅”，q为“实”．即若△ABC的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则S2＝[a2c2﹣（）2]．已知点D是△ABC 边AB上一点，AC＝3，BC＝2，∠ACD＝45°，tan∠BCD＝，则△ABC的面积为．【分析】由已知结合两角和的三角公式及同角平方关系可求cos∠ACB，然后结合余弦定理可求AB，代入已知公式即可求解．解：因为tan∠ACB＝tan（∠ACD+∠BCD）＝＝﹣，所以cos∠ACB＝﹣，由余弦定理可知AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC cos∠ACB，＝＝16，即AB＝4，根据“三斜求积术”可得S2＝＝，所以S＝．故答案为：15．过直线y＝kx+7上一动点M（x，y）向圆C：x2+y2+2y＝0引两条切线MA，MB，切点为A，B，若k∈[1，4]，则四边形MACB的最小面积S∈[，]的概率为【分析】求出圆的圆心与半径，利用四边形面积的最小值求出MC的最小值，利用点到直线的距离求解即可．解：连接MC，由圆的切线性质可知，AC⊥MA，BC⊥MB，又因为圆C：x2+y2+2y＝0的圆心C（0，﹣1），半径r＝1，所以S MACB＝2△MAC＝2×＝MA＝，要使得四边形MACB的面积最小，则MC最小，即当CM垂直直线y＝kx+7时，满足题意，此时|MC|min＝，S MACB的最小值为，又因为1≤k≤4，解可得，，故所求的概率为：．故答案为：．16．三棱锥S﹣ABC中，点P是Rt△ABC斜边AB上一点．给出下列四个命题：①若SA⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若AC＝4，BC＝4，SC＝4，SC⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC的外接球体积为32；③若AC＝3，BC＝4，SC＝，S在平面ABC上的射影是△ABC内心，则三棱锥S﹣ABC的体积为2；④若AC＝3，BC＝4，SA＝3，SA⊥平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的最大角为60°．其中正确命题的序号是①②③．（把你认为正确命题的序号都填上）【分析】①由线面垂直的判定定理与性质定理即可判断；②三棱锥S﹣ABC的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，进而求出外接球的半径，即可得解；③由线面垂直的判定定理可知SO⊥平面ABC，所以SO⊥OC，再结合勾股定理以及内切圆的半径公式可求得SO＝1，最后利用三棱锥的体积公式即可得解；④因为SA⊥平面ABC，所以直线PS与平面SBC所成的角最大时，P点与A点重合，再在△SCA中，求出tan∠ASC即可得解．解：对于①，因为SA⊥平面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，SA⊥BC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面SAC，所以BC⊥SC，故四个面都是直角三角形，∴①正确；对于②，若AC＝4，BC＝4，SC＝4，SC⊥平面ABC，∴三棱锥S﹣ABC的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，∴，，∴体积为，∴②正确；对于③，设△ABC内心是O，则SO⊥平面ABC，连接OC，则有SO2+OC2＝SC2，又内切圆半径，所以，SO2＝SC2﹣OC2＝3﹣2＝1，故SO＝1，∴三棱锥S﹣ABC的体积为，∴③正确；对于④，若SA＝3，SA⊥平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的角最大时，P点与A 点重合，在Rt△SCA中，，∴∠ASC＝45°，即直线PS与平面SBC所成的最大角为45°，∴④不正确，故答案为：①②③．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a6＝18，S11＝121．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（a n+3）2n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）求得b n＝（n+1）•2n+1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．解：（1）设数列{a n}的公差为d，a4+a6＝18，可得2a1+8d＝18，即a1+4d＝9，S11＝121，可得11a1+×11×10d＝121，即a1+5d＝11，解得a1＝1，d＝2，可得a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）由（1）可知b n＝（a n+3）2n＝（n+1）•2n+1，数列{b n}的前n项和为T n＝2•22+3•23+…+（n+1）•2n+1，2T n＝2•23+3•24+…+（n+1）•2n+2，两式作差，得﹣T n＝8+23+24+…+2n+1﹣（n+1）•2n+2＝8+﹣（n+1）•2n+2，化简可得T n＝n•2n+2．18．某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本），并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数（本）不低于90本，则称该学生为“书虫”．（1）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过5%的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？男生女生总计书虫非书虫总计附：K2＝P（k2≥k）0.250.150.100.050.025k 1.323 2.072 2.706 3.814 5.024（2）从所抽取的50名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）由已知可得列联表，利用K2计算公式即可得出．（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为4，X的所有可能取值为0，1，2，利用超几何分布列计算公式即可得出．解：（1）由频率分布直方图可得，男生书虫、非书虫的人数分别为12，38，女生书虫、非书虫的人数分别为4，46，故得如下2×2列联表：男生女生总计书虫12416非书虫384684总计5050100根据列联表中数据可得：K2＝＝4.762．由于4.762＞3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关．（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为4，X的所有可能取值为0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，故X的分布列为X012PX的数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．19．如图，己知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且∠DAB＝60°，点F是BC的中点．（1）求证：BD⊥EF；（2）求二面角E﹣DF﹣B的余弦值．【分析】（1）取AB的中点O，连结EO，OF，AC，由题意知EO⊥AB．EO⊥平面ABCD．EO ⊥BD，由四边形ABCD为菱形，得BD⊥AC，BD⊥OF，由此能证明BD⊥平面EOF．从而BD⊥EF．（2）连结DO，由题意知EO⊥AB，DO⊥AB．推导出DO⊥平面ABE，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出二面角E﹣DF﹣B的余弦值．解：（1）证明：取AB的中点O，连结EO，OF，AC，由题意知EO⊥AB．又因为平面ABCD⊥平面ABE，所以EO⊥平面ABCD．因为BD⊂平面ABCD，所以EO⊥BD，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又因为OF∥AC，所以BD⊥OF，所以BD⊥平面EOF．又EF⊂平面EOF，所以BD⊥EF．（2）解：连结DO，由题意知EO⊥AB，DO⊥AB．又因为平面ABCD⊥平面ABE，所以DO⊥平面ABE，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．则O（0，0，0），E（，0，0），D（0，0，），F（0，，），B（0，1，0），＝（，0，﹣），＝（0，）．设平面DEF的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，所以＝（1，，1）．又由（1）可知EO⊥平面ABCD，所以平面DFB的一个法向量为＝（1，0，0），设二面角E﹣DF﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝．20．已知F1，F2为椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆上，且过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为8．（1）求椭圆E的方程；“过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F的弦AB满足|AF|+|BF|（2）我们知道抛物线有性质：＝|AF|•|BF|．”那么对于椭圆E，问否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆的定义，结合三角形的周长，求出a，设出椭圆方程，代入点的坐标求解即可点的椭圆方程．（2）求出F2（1，0），设直线l的方程为x＝my+1，与椭圆方程联立，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，不妨设y1＞0，y2＜0，求出|AF2|，|BF2|，通过，转化求解，推出|AF2|+|BF2|＝|AF2|•|BF2|，点的存在实数．解：（1）根据椭圆的定义，可得|AF1|+|AF2|＝2a，|BF1|+|BF2|＝2a，△AF1B的周长为4a＝8，得a＝2，所以，椭圆E的方程为：+＝1，将点P（1，）代入椭圆E的方程可得b＝，所以椭圆E的方程为+＝1．（2）由（1）可知c＝＝1，得F2（1，0），依题意可知直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为x＝my+1，由消去x，整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝，，不妨设y1＞0，y2＜0，|AF2|＝＝＝，同理|BF2|＝，所以＝＝＝•＝，即|AF2|+|BF2|＝|AF2|•|BF2|，所以存在实数，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立．21．已知函数f（x）＝e x﹣2+1．（1）求函数f（2x）在x＝1处的切线方程；（2）若不等式f（x+y）+f（x﹣y）≥mx对任意的x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；（2））根据题意可得e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥mx，对任意的x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，当x＝0时，不等式即为e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥0，显然成立，当x＞0时，设g（x）＝e x+y ﹣2+e x﹣y﹣2+2，则不等式e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥mx恒成立，即为不等式g（x）≥mx恒成立，利用基本不等式得到对x∈（0，+∞）恒成立，令h（x）＝，利用导数得到当x＝2 时，h（x）取得最小值，为h（2）＝，所以m≤2，从而求得实数m的取值范围．解：（1）设t（x）＝f（2x）＝e2x﹣2+1，则t'（x）＝2e2x﹣2，当x＝1时，t（1）＝2，t'（1）＝2，∴函数f（2x）在x＝1 处的切线方程为：y﹣2＝2（x﹣1），即2x﹣y＝0；（2）根据题意可得e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥mx，对任意的x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，当x＝0时，不等式即为e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥0，显然成立，当x＞0时，设g（x）＝e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2，则不等式e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥mx恒成立，即为不等式g（x）≥mx恒成立，∵g（x）＝e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2＝e x﹣2（e y+e﹣y）+2（当且仅当y＝0时取等号），∴由题意可得2e x﹣2+2≥mx，即有对x∈（0，+∞）恒成立，令h（x）＝，则h'（x）＝2×＝2×，令h'（x）＝0，即有（x﹣1）e x﹣2＝1，令m（x）＝（x﹣1）e x﹣2，则m'（x）＝e x﹣2+（x ﹣1）e x﹣2＝xe x﹣2，当x＞0 时，m'（x）＝xe x﹣2＞0，∴m（x）在（0，+∞）上单调递增，又∵m（2）＝（2﹣1）e2﹣2＝1，∴（x﹣1）e x﹣2＝1有且仅有一个根x＝2，当x∈（2，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（0，2）时，h'（x）＜0，h （x）单调递减，∴当x＝2 时，h（x）取得最小值，为h（2）＝，∴m≤2，∴实数m的取值范围（﹣∞，2]．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝cos（）．（Ⅰ）求直线l的普通方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：．圆C的极坐标方程为ρ＝cos（）．转换为直角坐标方程为：．（Ⅱ）由于：直线l与圆C相交于A，B两点，故：圆心（）到直线的距离d＝，则：＝．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x﹣4）＞2的解集；（2）当a＞0时，不等式f（ax）+af（x）≥a+1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1））利用函数f（2x）﹣f（x﹣4）＝|2x+2|﹣|x﹣2|＝，分段解不等式f（2x）﹣f（x﹣4）＞2即可；（2）当a＞0时，不等式f（ax）+af（x）≥a+1恒成立，利用绝对值不等式的意义，可得⇔，f（ax）+af（x）＝|ax+2|+|ax+2a|≥|（ax+2）﹣（ax+2a|＝|2a﹣2|，再解|2a﹣2|≥a+1即可．解：（1））函数f（2x）﹣f（x﹣4）＝|2x+2|﹣|x﹣2|＝，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6；当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，＜x＜2；当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|＞或x＜﹣6}．（2）当a＞0时，f（ax）+af（x）＝|ax+2|+a|x+2|＝|ax+2|+|ax+2a|≥|（ax+2）﹣（ax+2a|＝|2a﹣2|，∵不等式f（ax）+af（x）≥a+1恒成立，∴|2a﹣2|≥a+1，2a﹣2≥a+1或2a﹣2≤﹣1﹣a，解得a≥3或0＜a≤，∴实数a的取值范围为（0，]∪[3，+∞）．。

2020高考数学模拟试题(理)《立体几何》分类汇编(含答案)

2020高考数学模拟试题(理)《立体几何》分类汇编(含答案)

2020高考数学模拟试题（理）《立体几何》分类汇编1．（2020•广州一模）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为( )A ．(722)π+B ．(1022)π+C ．(1042)π+D ．(1142)π+2．（2020•桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113π≈．若胡夫金字塔的高为h ，则该金字塔的侧棱长为( )A ．221h π+B ．224h π+C ．216hπ+ D ．2216h π+ 3．（2020•桥东区校级模拟）已知P 为一圆锥的顶点，AB 为底面圆的直径，PA PB ⊥，点M 在底面圆周上，若M 为¶AB 的中点，则异面直线AM 与PB 所成角的大小为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 4．（2020•梅河口市校级模拟）如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关5．（2020•东宝区校级模拟）如图，已知四面体ABCD 为正四面体，22AB =，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )A ．1B 2C ．2D ．226．（2020•宜昌模拟）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为( )A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 7．（2020•龙岩一模）已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，SA SB =，SA SB ⊥，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，且满足222AB AD DC ===，则球O 的表面积是( )A ．43πB ．823C ．4πD ．8π8．（2020•眉山模拟）已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形ABC ，D 为底边BC 的中点，以AD 为折痕，将三角形ABD 翻折，使BD CD ⊥，则经过A ，B ，C ，D 的球的表面积为( )A ．10πB ．12πC ．16πD ．20π9．（2020•五华区校级模拟）已知圆锥SO 的底面半径为3，母线长为5．若球1O 在圆锥SO 内，则球1O 的体积的最大值为( )A ．92πB ．9πC ．323πD ．12π10．（2020•垫江县校级模拟）过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30︒的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A ．15256B ．45256C ．1564D ．456411．（2020•内蒙古模拟）如图：空间四边形P ABC -中，13PM AN PB AC ==，4PA BC ==，3MN =，异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为( )A ．14-B ．164-C ．164D ．1412．（2020•凯里市校级模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为( )A ．140立方尺B ．280立方尺C ．2803立方尺D ．1403立方尺 13．（2020•龙岩一模）已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于M ，N ，Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则MNQ ∆面积的最小值为( )A 7B ．3C ．27D ．614．（2020•咸阳二模）正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，6，高为3，则它的外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π15．（2020•重庆模拟）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==，G 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，则1(CG CC = )A ．12B ．13C ．23D ．1416．（2020•邯郸模拟）如图一，在ABC ∆中，AB AC =，120A ∠=︒，D 为BC 中点，DE AC ⊥，将CDE ∆沿DE 翻折，得到直二面角C DE B --，连接BC ，F 是BC 中点，连接AF ，如图二，则下列结论正确的是( )A ．AD CD ⊥B ．//AF DEC ．DE ⊥平面ACED ．//AF 平面CDE17．（2020•福清市一模）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，1AC ⊥平面α．平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论：①截面形状可能是正三角形②截面的形状可能是正方形③截面形状可能是正五边形④截面面积最大值为33则正确结论的编号是( )A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④18．（2020•道里区校级一模）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( )A ．13B ．23C ．1D ．219．（2020•焦作一模）某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，AK CK +的最小值为( )A ．65B ．73C ．45D ．8920．（2020•吉林二模）等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD ∆沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A ．3B ．2C ．3D ．2321．（2020•眉山模拟）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r ，F 为MC 的中点． （1）求证：//EF 平面1A DC ；（2）求三棱锥1C FCN -的体积；（3）求直线1A D 与直线CF 所成角的余弦值．22．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1:224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r ，F 为MC 的中点． （1）求证：//EF 平面1A DC ；（2）求二面角1N AC F --的余弦值．23．（2020•宜昌模拟）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==．（1）证明：AM ⊥平面ABCD ；（2）若//CD AB ，2CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值．24．（2020•五华区校级模拟）如图所示的几何体中，正方形ABCD 所在平面垂直于平面APBQ ，四边形APBQ 为平行四边形，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求平面APC 与平面BCQ 所成二面角的正弦值．25．（2020•龙岩一模）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C ．（1）求证：BC ⊥平面1ACD ；（2）若直线1DD 与底面ABCD 所成的角为4π，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．答案解析1．（2020•广州一模）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为( )A ．(722)π+B ．(1022)π+C ．(1042)π+D ．(1142)π+【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥， 几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯+⨯=+． 故选：C ．2．（2020•桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113π≈．若胡夫金字塔的高为h ，则该金字塔的侧棱长为( )A 221h π+B 224h π+C 216hπ+ D 2216h π+ 【解答】解：设该金字塔的底面边长为a ，则42a h π=，可得：2h a π=． ∴该金字塔的侧棱长22222222162()244a h h h ππ+=+=+⨯=． 故选：D ．3．（2020•桥东区校级模拟）已知P 为一圆锥的顶点，AB 为底面圆的直径，PA PB ⊥，点M 在底面圆周上，若M 为¶AB 的中点，则异面直线AM 与PB 所成角的大小为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设1OB =．PA PB ⊥Q ，OP OB OA ∴==，OP ⊥底面AMB ．则(0O ，0，0)，(0B ，1，0)，(1M ，0，0)，(0P ，0，1)，(0A ，1-，0)， ∴(1AM =u u u u r ，1，0)，(0PB =u u u r ，1，1)-，cos AM ∴<u u u u r ，1222PB >==⨯u u u r ， AM ∴<u u u u r ，3PB π>=u u u r ， ∴异面直线AM 与PB 所成角的大小为3π． 故选：C ．4．（2020•梅河口市校级模拟）如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关【解答】解：如图：还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O 在平面11ADD A 上，高为2，所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=，所以该几何体的体积为816833-=， 故选：B ．5．（2020•东宝区校级模拟）如图，已知四面体ABCD 为正四面体，22AB =，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )A ．1B 2C ．2D ．22【解答】解：把正四面体补为正方体，如图，根据题意，//KL BC ，//LM GH ，,KL AL LM BL BC AB AD AB==， 所以KL AL =，LM BL =，故22KL LM AL BL +=+=， 2()22KL LM S KL LM +=⋅=截面…，当且仅当KL LM =时成立， 故选：C ．6．（2020•宜昌模拟）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为( ) A ．3πB ．23π C ．π D ．43π 【解答】解：设圆心到截面距离为d ，截面半径为r ，由O ACM M AOC V V --=，即111112222233323AMC AOC S d S ∆∆==g g g g g g gg g ，2ACM d S ∆∴=， 122362ACM S ∆==g g故6d =221d r +=，213r ∴=，所以截面的面积为23r ππ=，故选：A ．7．（2020•龙岩一模）已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，SA SB =，SA SB ⊥，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，且满足222AB AD DC ===，则球O 的表面积是( ) A ．43πB 82C ．4πD ．8π【解答】解：底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，且满足222AB AD DC ===， 可知底面ABCD 的外心为AB 的中点O ，到顶点的距离为1，因为SA SB =，SA SB ⊥，2AB =，所以2SA SB ==，AB 的中点O 到S 的距离为1， 所以O 是四棱锥的外接球的球心，外接球的半径为1， 所以球O 的表面积是：2414ππ⨯=． 故选：C ．8．（2020•眉山模拟）已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形ABC ，D 为底边BC 的中点，以AD 为折痕，将三角形ABD 翻折，使BD CD ⊥，则经过A ，B ，C ，D 的球的表面积为( ) A ．10πB ．12πC ．16πD ．20π【解答】解：如图所示，由题意可得：DB ，DC ，DA 两两相互垂直． 222318AD =-=．设经过A ，B ，C ，D 的球的半径为R ． 则222411810R =++=．∴球的表面积10π=．故选：A ．9．（2020•五华区校级模拟）已知圆锥SO 的底面半径为3，母线长为5．若球1O 在圆锥SO 内，则球1O 的体积的最大值为( ) A ．92πB ．9πC ．323πD ．12π【解答】解：设圆锥SO 的轴截面为等腰SAB ∆，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是SAB ∆ 的内切圆，所以11()22SAB S AB SO SA SB AB r ∆==++g g g ， 解得：32r =，所以球1O 的体积的最大值为3439()322ππ=，故选：A．10．（2020•垫江县校级模拟）过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30︒的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A．15256B．45256C．1564D．4564【解答】解：画大圆O，设半径为R，取半径OB的中点A，过A做截面，CD为直径，取中点E，连接OE，OE⊥截面CD，由题意可得30OAE∠=︒，所以33132224AE OA R R===g，在三角形OAC中，2222cosOC OA AC OA AC OAC=+-∠g g g，即222()2cos15022R RR AC AC=+-︒g g g，整理可得：2242330AC R AC R+-=g，解得：23124831584R RAC R-++-+==，所以331515444CE AC AE R R R-+=+=+=，所以所得截面的面积与球的表面积的比为2215()154464RRπ=，故选：C．11．（2020•内蒙古模拟）如图：空间四边形P ABC-中，13PM ANPB AC==，4PA BC==，3MN=，异面直线PA与BC所成角的余弦值为()A ．14-B ．164-C ．164D ．14【解答】解：如图，过N 作//ND BC ，交AB 于D ，并连接MD ，则AN ADAC AB=， Q13PM AN PB AC ==， ∴13PM AD PB AB ==， //MD AP ∴，23MD PA =，13DN BC =， ∴84,33MD DN ==，且3MN =， MDN ∴∠为异面直线PA 与BC 所成角或其补角，∴在MDN ∆中，根据余弦定理得，64169199cos 8464233MDN +-∠==-⨯⨯，∴异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为164． 故选：C ．12．（2020•凯里市校级模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为( ) A ．140立方尺B ．280立方尺C ．2803立方尺 D ．1403立方尺 【解答】解：由题意可得：这个四棱锥的体积128075833=⨯⨯⨯=立方尺，故选：C ．13．（2020•龙岩一模）已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于M ，N ，Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则MNQ ∆面积的最小值为( ) A ．7B ．3C ．27D ．6【解答】解：如图，以AC 中点O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴， 建立空间直角坐标系，设(0M ，1-，)a ，(3N ，0，)b ，(0Q ，1，)c ， 不妨设N 为直角，(3,1,)MN b a =-u u u u r ，(3,1,)QN b c =--u u u r， ∴()()20MN QN b a b c =--+=u u u u r u u u rg， 2211||||4()4()22S MN QN b a b c ==+-+-u u u u r u u u r g g 2221164[()()][()()]2b a bc b a b c =+-+-+-- 11616432++=…． 故选：B ．14．（2020•咸阳二模）正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，6，高为3，则它的外接球的表面积为( ) A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π【解答】解：正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，6，高为3，设它的外接球的半径为R ，球心为O ，底面ABCD 的中心为M ． 设OM x =．则222(3)R x =+，3R x +=．解得：24R =． 可得球的表面积为16π． 故选：C ．15．（2020•重庆模拟）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==，G 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，则1(CGCC =)A ．12B ．13C ．23D ．14【解答】解：Q 四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==， 1//EF BD ∴，平面11//ADD A 平面11BCC B ，G Q 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，//AF BG ∴，∴1113CG DE CC DD ==． 故选：B ．16．（2020•邯郸模拟）如图一，在ABC ∆中，AB AC =，120A ∠=︒，D 为BC 中点，DE AC ⊥，将CDE ∆沿DE 翻折，得到直二面角C DE B --，连接BC ，F 是BC 中点，连接AF ，如图二，则下列结论正确的是()A ．AD CD ⊥B ．//AF DEC ．DE ⊥平面ACED ．//AF 平面CDE【解答】解：Q 在ABC ∆中，AB AC =，120A ∠=︒，D 为BC 中点，DE AC ⊥， 将CDE ∆沿DE 翻折，得到直二面角C DE B --，连接BC ，F 是BC 中点，连接AF ，DE AE ∴⊥，DE CE ⊥，AE CE E =Q I ，DE ∴⊥平面ACE ．故选：C ．17．（2020•福清市一模）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，1AC ⊥平面α．平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论： ①截面形状可能是正三角形 ②截面的形状可能是正方形 ③截面形状可能是正五边形 ④截面面积最大值为33 则正确结论的编号是( ) A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④【解答】解：对①当α截此正方体所得截面为11B CD 时满足，故①正确．对②，由对称性得截面形状不可能为正方形，故②错误． 对③，由对称性得截面形状不可能是正五边形，故③错误． 对④，当截面为正六边形时面积最大，为36233=故选：A ．18．（2020•道里区校级一模）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( )A ．13B ．23C ．1D ．2【解答】解：如图，连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+， 两三棱锥高的和的最大值为2SA =． 要使三棱锥S ABC-的体积最大，则OBC ∆面积最大为111sin 111222OB OC BOC ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=． ∴三棱锥S ABC -的体积最大值为1112323⨯⨯=． 故选：A ．19．（2020•焦作一模）某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，AK CK +的最小值为( )A ．65B ．73C ．45D ．89【解答】解：将展开图折成立体图形，如图①，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如图②所示． 因为8AJ =，3CJ =，所以223873AC =+=，即AK CK +的最小值为73． 故选：B ．20．（2020•吉林二模）等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD ∆沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A 3B 2C 3D 23【解答】解：设E 为BD 中点，连接AE 、CE ， 由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥， 所以BD ⊥平面AEC ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ， 所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角， 所以2sin 2AOADO AD∠==，可得32AO = 在AOE ∆中可得3OE =， 又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ， 过C 作CF AE ⊥于点F ，又BD ⊥平面AEC ，所以BD CF ⊥， 所以CF ⊥平面ABD ，从而CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，33sin 333CE CAE AE ∠===． 故选：A ．21．（2020•眉山模拟）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r，F 为MC 的中点．（1）求证：//EF 平面1A DC ； （2）求三棱锥1C FCN -的体积；（3）求直线1A D 与直线CF 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示空间直角坐标系， 由1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r ，得(0D ，0，0)，(1E ，0，2)，(0F ，72，1)，1(2A ，0，2)，(0C ，4，0)，1(2,0,2)DA =u u u u r ，(0DC =，4，0)，(1EF =-u u u r ，72，1)-．设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r．由122040n DA x z n DC y ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩u u u u r r g u u u r r g ，取1z =-，得(1,0,1)n =-r ， Q 0EF n =u u u r rg ，且EF ⊂/平面1A DC ，//EF ∴平面1A DC ；（2）解：设F 到平面1CC N 的距离为d ，则12d =． ∴111111111233226C FCN F CC N CC N V V S d --===⨯⨯⨯⨯=V g ； （3）解：由（1）知，1(2,0,2)DA =u u u u r，又1(0,,1)2CF =-u u u r ，11110cos ,||||5222DA CF DA CF DA CF ∴<>===⨯u u u u r u u u ru u u u r u u u r g u u uu r u u u r g ． ∴直线1A D 与直线CF 所成角的余弦值10．22．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1:224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N 为BC 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =u u u u r u u u u u r，F 为MC 的中点．（1）求证：//EF 平面1A DC ； （2）求二面角1N AC F --的余弦值．【解答】解：（1）证明：作1DD 的中点H ，连接EH ，FH ， 又E 为11A D 的中点，EH ∴为△11A DD 的中位线，1//EH A D ∴，又F 为MC 的中点，FH ∴为梯形1D DCM 的中位线，//FH CD ∴，在平面1A DC 中，1A D CD D =I ，在平面EHF 中，EH FH H =I ，∴平面1//A DC 平面EHF ，又EF 在平面EHF 内， //EF ∴平面1A DC ．（2）以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则17(1,4,0),(2,0,2),(0,4,0),(0,,1)2N A C F ，设平面1A CN 的一个法向量为(,,)m x y z =r ，则11(,,)(1,4,2)420(,,)(2,4,2)2420m A N x y z x y z m AC x y z x y z ⎧=--=-+-=⎪⎨=--=-+-=⎪⎩u u u u r r g g u u u u rr g g ，可取(0,1,2)m =r，同理可求得平面1A FC 的一个法向量为(3,2,1)n =r，∴270cos ,||||m n m n m n <>==r r g r rr r ，又二面角1N AC F --的平面角为钝角，故二面角1N AC F --的余弦值为27023．（2020•宜昌模拟）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==．（1）证明：AM ⊥平面ABCD ；（2）若//CD AB ，2CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：Q 在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==222AB AM BM ∴+=，222AD AM DM +=，AB AM ∴⊥，AD AM ⊥，AD AB A =Q I ，AM ∴⊥平面ABCD ．（2）解：AB AD ⊥Q ，AM ⊥平面ABCD ，∴以A 为原点，AD 为x 轴，AM 为y 轴，AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，//CD AB Q ，2CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，2AB AM AD ===，22MB MD ==．(0E ∴，43，2)3，(2C ，0，1)，(2D ，0，0)，(0B ，0，2)，(0M ，2，0)， (2EC =u u u r ，43-，1)3，(2BD =u u u r ，0，2)-，(0BM =u u u u r ，2，2)-，设平面BDM 的法向量(m x =r，y ，)z ，则220220m BD x z m BM y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g ，取1x =，得(1m =r ，1，1)， 设直线EC 与平面BDM 所成角为θ， 则直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为：||159sin ||||5339m EC m EC θ===u u u r r g u u u r r g g．24．（2020•五华区校级模拟）如图所示的几何体中，正方形ABCD 所在平面垂直于平面APBQ ，四边形APBQ 为平行四边形，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求平面APC 与平面BCQ 所成二面角的正弦值．【解答】（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面APBQ ，平面APBQ ⋂平面ABCD AB =， 四边形ABCD 为为正方形，即BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面APBQ ，又因为AP ⊂平面APBQ ，所以AP BC ⊥， 因为BG ⊥面APC ，AP ⊂平面PAC ， 所以AP BG ⊥，因为BC BG B =I ，BC ，BG ⊂平面PBC ， 所以AP ⊥平面PBC ， 因为AP ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面PBC ．（2）解：111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --===g g g g ，求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB g 的最大值． 令PA m =，PB n =， 由（1）知AP PB ⊥，所以224m n +=，当且仅当2m n = 即2PA PB =时，22112()3323P ABC minm n V mn -+==g …． 以AB 中点O 为坐标原点建立空间直角坐标系如图，则 (0A ，1-，0)，(0B ，1，0)，(0C ，1，2)，(1P ，0，0)． 设1(,,)n x y z =u u r为平面APC 的一个法向量，则110220n AP x y n BP x z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u r u u u r g u u r u u u r g ，可取1x =，则1(1,1,1)n =-u u r，因为四边形APBQ 为平行四边形，APB ∆为等腰直角三角形，所以四边形APBQ 为正方形，取平面BCQ 的一个法向量为2(1,1,0)n BP ==-u u r u u u r，所以1cos n <u u r ，1221263||||n n n n n >==u u r u u ru u r g u u r u u r g ，所以1sin n <u u r ，233n >=u u r ，即平面APC 与平面BCQ 所成二面角的正弦值为3325．（2020•龙岩一模）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C ．（1）求证：BC ⊥平面1ACD ；（2）若直线1DD 与底面ABCD 所成的角为4π，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：如图，连接1D C ，则1D C ⊥平面ABCD ， BC ⊂Q 平面ABCD ，1BC D C ∴⊥，在等腰梯形ABCD 中，连接AC ，过点C 作CG AB ⊥于点G ，4AB =Q ，2BC CD ==，//AB CD ，则3AG =，1BG =，CG =AG ∴=， 因此满足22216AC BC AB +==，BC AC ∴⊥， 又1D C ，AC ⊂平面1AD C ，1D C AC C =I ， BC ∴⊥平面1AD C ．（2）解：由（1）知AC ，BC ，1D C 两两垂直， 1D C ⊥Q 平面ABCD ，∴14D DC π∠=，12D C CD ∴==，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CD ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(0D ，0，2)，∴(AB =-u u u r ，2，0)，1(AD =-u u u u r 0，2)，设平面11ABC D 的法向量(n x =r，y ，)z ，由12020AB n y AD n z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g ，取1x =，得n =r ， 又1(0CD =u u u u r ，0，2)为平面ABCD 的一个法向量，设平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角为θ，则11||cos 7||||CD n CD n θ===u u u u r rg u u u u r r g ．∴平面11ABC D 与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为7．。

2020年高考数学(理科)全国2卷高考模拟试卷(3)

2020年高考数学(理科)全国2卷高考模拟试卷(3)

2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞） 2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√33．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（ ） A ．4√2B ．2√2C ．43√2 D ．34√26．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√347．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（ ）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（ ）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（ ）A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关 12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1 D ．x 29−y 216=1二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 ．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 条．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 km 处，最少费用为 万元．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为 cm ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a2+a3＝a5﹣b1，②a2•a3＝2a7，③S3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，若_______，数列{b n}满足b1＝1，b2=1 3，a nb n+1＝nb n﹣b n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前n项和T n．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n（单位：笼，n∈N），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X为一天的包子需求量，求X的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？（Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y为当天的利润（单位：元），求Y的分布列和数学期望．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB ＝2，△P AD为等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围． 21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|． （1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）【解答】解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√3【解答】解：由1−2i z=1+i ，得z =1−2i1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i ，∴|z |＝|z |=√(−12)2+(−32)2=√102．故选：C ．3．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：因为在△ABC 中AB →•AC →=BA →•BC →等价于AB →•AC →−BA →•BC →=0等价于AB →•（AC →+BC →）＝0，因为AC →+BC →的方向为AB 边上的中线的方向．即AB 与AB 边上的中线相互垂直，则△ABC 为等腰三角形，故AC ＝BC ， 即|AC|→=|BC →|，所以为充分必要条件． 故选：C ．4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥βB ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β【解答】解：A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β，不正确，可能相交； B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥β或a ⊂β，因此不正确； C ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥α，正确；证明：设α∩β＝b ，α∩γ＝c ，取P ∈α，过点P 分别作m ⊥b ，n ⊥c ， 则m ⊥β，n ⊥γ，∴m ⊥a ，n ⊥a ，又m ∩n ＝P ，∴a ⊥α． D ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β或a ⊂β． 故选：C ．5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（ ） A ．4√2B ．2√2C ．43√2D ．34√2【解答】解：由题意三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，棱锥的高为P A ，可得16＝8+P A 2，所以P A ＝2√2，所以三棱锥的体积为：13×12×AB ×AC ×PA =√23•AB •AC ≤√23⋅AB 2+AC 22=4√23，当且仅当AB ＝AC ＝2时，三棱锥的体积取得最大值． 故选：C ．6．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√34【解答】解：设|AF |＝a ，|BF |＝b ，A 、B 在准线上的射影点分别为Q 、P ， 连接AQ 、BQ由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |且|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中根据中位线定理，得2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ． 由余弦定理得|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos 2π3=a 2+b 2+ab ，配方得|AB |2＝（a +b ）2﹣ab ， 又∵ab ≤（a+b 2） 2，∴（a +b ）2﹣ab ≥（a +b ）2﹣（ a+b 2） 2=34（a +b ）2得到|AB |≥√32（a +b ）． 所以|MN||AB|≤a+b2√32(a+b)=√33， 即|MN||AB|的最大值为√33． 故选：C ．7．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]【解答】解：设sin x +cos x ＝t （−√2≤t ≤√2）所以：sinxcosx =t 2−12则：f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x=t +t 2−12=12(t +1)2−1当t =√2时，函数取最大值：f(x)max =f(√2)=√2+12 当t ＝﹣1时，函数取最小值：f （x ）min ＝f （﹣1）＝﹣1 所以函数的值域为：[−1，√2+12] 故选：B ．8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵x 3+4＞0，∴x 3＞﹣4，解得x ＞−√43，∴函数的定义域为{x |x ＞−√43}， 当x →−√43时，f （x ）→﹣∞，∴排除选项A ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f ′(x)=3x 2x 3+4−e x−1， f （0）＝ln （0+4）﹣e ﹣1＝ln 4﹣e ﹣1＞0，∴排除选项C ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f '（0）＝﹣e ﹣1＜0，即x ＝0在函数的单调递减区间内，∴排除选项D ．故选：B ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（ ）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：由图可知A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，又−π6ω+φ＝2k π（k ∈Z ），∴φ＝2k π+π3（k ∈Z ），又0＜ϕ＜π2， ∴φ=π3，∴y ＝sin （2x +π3）．∴为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有向左平移π3个长度单位，得到y ＝sin （x +π3）的图象，再将y ＝sin （x +π3）的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可．故选：A ．10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（ ）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米【解答】解：在△ABC 中，∠ACB ＝180°﹣75°﹣45°＝60°， 由正弦定理得：AB sin∠ACB=AC sin∠ABC，∴AC =AB⋅sin∠ABC sin∠ACB=120×√22√32=40√6，∴S △ABC =12AB •AC •sin ∠CAB =12×120×40√6×sin75°≈5703.6， ∴C 到AB 的距离d =2S △ABC AB=2×5703.6120≈95． 故选：C ．11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（ ） A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关【解答】解：频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值． 故选：C ．12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1D ．x 29−y 216=1【解答】解：若（F 2F 1→+F 2A →）•F 1A →=0，即为若（F 2F 1→+F 2A →）•（−F 2F 1→+F 2A →）＝0， 可得AF 2→2=F 2F 1→2，即有|AF 2|＝|F 2F 1|＝2c ， 由双曲线的定义可得|AF 1|＝2a +2c ，在等腰三角形AF 1F 2中，tan ∠AF 2F 1=−247，cos ∠AF 2F 1=−725=4c 2+4c 2−(2a+2c)22⋅2c⋅2c，化为3c ＝5a ， 即a =35c ，b =45c ，可得a ：b ＝3：4，a 2：b 2＝9：16． 故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 9 ．【解答】解：∵函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，∴f （18）＝f （3×5+3）＝f （3）＝32＝9． 故答案为：9．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 400 条．【解答】解：为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘， 几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条． 设池塘中原来有鱼n 条，则540=50n，解得n ＝400． 故答案为：400．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 5 km 处，最少费用为 8 万元．【解答】解：设x 为仓库与车站距离，由题意可设y 1=k 1x，y 2＝k 2x ， 把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分别代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8， ∴y 1=20x ，y 2＝0.8x费用之和y ＝y 1+y 2＝0.8x +20x ≥2√20x ×0.8x =2×4＝8， 当且仅当0.8x =20x ，即x ＝5时等号成立．当仓库建在离车站5km 处两项费用之和最小．最少费用为8万元． 故答案为：5，8．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为165cm ．【解答】解：连接OG 交CD 于点M ，则OG ⊥DC ，点M 为CD 的中点，连接OC ， △OCM 为直角三角形，设正方形的边长为2x ，则OM ＝x ，由圆的半径 为4，则MG ＝4﹣x ，设额E ，F ，G ，H 重合于点P ，则PM ＝MG ＝4﹣x ＞x 则0x ＜2，高PO =√(4−x)2−x 2=√16−8x ， V =13(2x)2√16−8x =8√23√2x 4−x 5， 设y ＝2x 4﹣x 5，y ′＝8x 3﹣5x 4＝x 3（8﹣5x ），当0＜x ＜85时，y ′＞0，y ＝2x 4﹣x 5单调递增；当85＜x ＜2时，y ′＜0，y ＝2x 4﹣x 5单调递减，所以当x =85时，V 取得最大值，此时，2x =165． 即正方形ABCD 的边长为165时，四棱锥体积取得最大值．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a 2+a 3＝a 5﹣b 1，②a 2•a 3＝2a 7，③S 3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差d ＞0，前n 项和为S n ，若 _______，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=13，a n b n +1＝nb n ﹣b n +1． （1）求{a n }的通项公式； （2）求{b n }的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：若选①：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵a 2+a 3＝a 5﹣b 1，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n)． 若选②：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵a 2•a 3＝2a 7，∴（2+d ）（2+2d ）＝2（2+6d ），∵d ＞0，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )． 若选③：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵S 3＝15，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )． 18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：笼，n ∈N ），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X 为一天的包子需求量，求X 的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？ （Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y 为当天的利润（单位：元），求Y 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，X 的数学期望为E(X)=16×1060+17×1560+18×2060+19×1060+20×560=17.75． （Ⅱ）因为P(n ≤18)=34＜0.8，P(n ≤19)=1112＞0.8， 所以包子店每天至少要做19笼包子．（Ⅲ）当n ＝16时，Y ＝16×40﹣2×20＝600； 当n ＝17时，Y ＝17×40﹣20＝660； 当n ≥18时，Y ＝18×40＝720． 所以Y 的可能取值为600，660，720，P(Y =600)=16，P(Y =660)=14，P(Y =720)=1−16−14=712． 所以Y 的分布列为Y 600660720P1614712所以Y 的数学期望为E(Y)=600×16+660×14+720×712=685．19．（12分）如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，AB ＝2，△P AD 为等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ． （1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取AD 中点O ，连接PO ，OB ，因为平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为等边三角形，O 为AD 的中点， 所以PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD因为四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，O 为AD 中点， 所以BO ⊥AD因为PO ∩BO ＝O ，所以AD ⊥面PBO ，所以AD ⊥PB ；（2）解：在△OCD 中，OC =√1+4−2×1×2×(−12)=√7，∴PC =√10， ∴S △PCD =12×√10×√62=√152设A 到平面PCD 的距离为h ，则13×12×2×2×sin120°×√3=13×√152h ，∴h =2√155， ∵DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55， ∴2√155DF=2√55，∴DF =√3，∴F 是AB 的中点，AF ＝1．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围． 【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设M （x 0，y 0），（﹣2√3＜x 0＜2√3，0＜y 0≤2），过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ，则H （x 0，0）（0＜y 0≤2）， 于是又tan ∠AMH =|AH||MH|=x 0+2√3y 0，tan ∠BMH =|BH||MH|=2√3−x 0y 0， ∴tan ∠AMB ＝tan （∠AMH +∠BMH ）=tan∠AMH+tan∠BMH1−tan∠AMHtan∠BMH =4√3y 0x 02+y 02−12，因为点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，所以x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02， 所以tan ∠AMB =−2√3y 0，而0＜y 0≤2， 所以tan ∠AMB =−2√3y 0≤−√3，因为0＜∠AMB ＜π， 所以∠AMB 的最大值为2π3，此时y 0＝2，即M 为椭圆的上顶点，由椭圆的对称性，当M 为椭圆的短轴的顶点时，∠AMB 取最大值，且最大值为2π3；（2）设直线BM 的斜率为k '．M （x 0，y 0），则k =0x 0+2√3，k '=0x 0−2√3，所以kk '=y 02x 02−12，又x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02，所以kk '=−13．因为−12＜k ＜−13，所以k '∈（23，1）所以直线BM 的斜率的取值范围．（23，1）．21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当λ＝﹣1时，f （x ）＝xlnx +λx 2，则f ′（x ）＝lnx +1﹣2x ． 故f ′（1）＝﹣1，又f （1）＝﹣1．故所求期限的方程为y ﹣（﹣1）＝﹣1•（x ﹣1），即x +y ＝0； （Ⅱ）由题意得，xlnx +λx 2≤λ在[1，+∞）上恒成立， 设函数g （x ）＝xlnx +λ（x 2﹣1）． 则g ′（x ）＝lnx +1+2λx ．故对任意x ∈[1，+∞），不等式g （x ）≤0＝g （1）恒成立， ①当g ′（x ）≤0，即lnx+1x≤−2λ恒成立时，函数g （x ）在[1，+∞）上单调递减，设r （x ）=lnx+1x ，则r ′（x ）=−lnxx2≤0， ∴r （x ）max ＝r （1），即1≤﹣2λ，解得λ≤−12，符合题意；②当λ≥0时，g ′（x ）≥0恒成立，此时函数g （x ）在[1，+∞）上单调递增， 则不等式g （x ）≥g （1）＝0对任意x ∈[1，+∞）恒成立，不符合题意； ③当−12＜λ＜0时，设q （x ）＝g ′（x ）＝lnx +1+2λx ，则q ′（x ）=1x +2λ， 令q （x ）＝0，解得x =−12λ＞1， 故当x ∈（1，−12λ）时，函数g （x ）单调递增， ∴当x ∈（1，−12λ）时，g （x ）＞0成立，不符合题意， 综上所述，实数λ的取值范围为（﹣∞，−12]． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值．【解答】解：（Ⅰ）参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ：x 24+y 2=1；曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．转化为直角坐标方程为：x +y −3√5=0； （Ⅱ）设点P （2cos θ，sin θ）到直线x +y ﹣3√5=0的距离d =√5|√2=√5sin(θ+α)−3√5|√2，当sin （θ+α）＝1时，d min =√10． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|． （1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．【解答】解：（1）当x ＜0时，则f （x ）＝﹣3x +2≤4，解得：−23≤x ＜0， 当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≤4，解得：0≤x ≤2， 当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2≤4，此时无解， 综上，不等式的解集是{x |−23≤x ≤2}；（2）由（1）知，当x ＜0时，f （x ）＝﹣3x +2＞2， 当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≥2， 当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2＞4， 故函数f （x ）的最小值是2， 故m ＝2，即a 2+b 2＝4， 则4a 2+1b 2+1=15（a 2+b 2+1）（4a 2+1b 2+1）第21页（共21页）=15[5+4(b 2+1)a 2+a 2b 2+1] ≥15（5+2√4(b 2+1)a 2⋅a 2b 2+1）≥95， 当且仅当4(b 2+1)a 2=a 2b 2+1且a 2+b 2＝4， 即a 2=103，b 2=23取“＝”， 故4a 2+1b 2+1的最小值是95．。

2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (26)

2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (26)

2020高考数学模拟试题（理科）一、填空题（本大题共12小题）1.已知全集0，1，2，，集合1，，0，，则______．2.已知复数是虚数单位，则______3.关于x，y的二元一次方程组无解，则______4.直线的一个方向向量，直线的一个法向量，则直线与直线的夹角是______5.已知为钝角三角形，边长，，则边长______6.设常数，展开式中的系数为4，则______ ．7.已知，则此函数的值域是______8.若函数的值域为，则的最小值为______9.已知PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是______．10.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，为参数，直线l的参数方程为，若C上的点到l距离的最大值为，则______11.已知a、b、c都是实数，若函数的反函数的定义域是，则c的所有取值构成的集合是______．12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若，则双曲线C的渐近线方程为______二、选择题（本大题共4小题）13.设点不共线，则“与的夹角是锐角”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14.若，，则A. B. C. D.15.定义“规范01数列”如下：共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，，，，中0的个数不少于1的个数，若，则不同的“规范01数列”共有A. 18个B. 16个C. 14个D. 12个16.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间，例如，当时，，，则下命题为假命题的是A. 函数的定义域为D，则“的充要条件是“对任意的，存在，满足”B. 若函数，的定义域相同，且，，则C. 若函数有最大值，则D. 函数的充要条件是有最大值和最小值三、解答题（本大题共5小题）17.关于x的不等式的解集为．求实数a，b的值；若，，且为纯虚数，求的值．18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且．求证：平面PAD；应是平面AEF与直线PB交于点G在平面AEF内，求的值．19.某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧为圆弧的中点和线段MN构成，已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米，现规范在此农田修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为梯形MNBA，其中，且，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求A、B均在圆弧上，设OB与MN所成的角为．用表示多边形MAPBN的面积，并确定的取值范围；若分别在两个大棚内种植两种不同的蔬菜，且这两种蔬菜单位面积的年产值相等，求当为何值时，能使种植蔬菜的收益最大．20.已知椭圆的右焦点为，短轴长为4，设，的左右有两个焦点．求椭圆C的方程；若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明两点．21.若定义在R上的函数满足：对于任意实数x、y，总有恒成立，我们称为“类余弦型”函数．已知为“类余弦型”函数，且，求和的值；在的条件下，定义数列2，3，求的值．若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t，总有，证明：函数为偶函数，设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论．答案和解析1.【答案】【解析】解：全集0，1，2，，集合1，，0，，则故答案为．根据集合的基本运算即可求和结果；本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】5【解析】解：，，．故答案为：5．由商的模等于模的商求得，再由求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3.【答案】0【解析】解：时，方程组化为：，无解，舍去．时，两条直线平行时，可得：，无解．综上可得：．故答案为：0．对m分类讨论，利用两条直线平行时无解，即可得出．本题考查了两条直线平行的条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】【解析】解：直线的一个方向向量，直线的一个法向量，故直线的一个方向向量，设直线与直线的夹角是，则，，故答案为：．先求得直线的一个方向向量，两用两个向量的数量积的定义，求得直线与直线的夹角的余弦值，可得直线与直线的夹角．本题主要考查两个向量的数量积的定义，直线的方向向量和法向量，属于基础题．5.【答案】【解析】解：若c是最大边，则．，，又，，若b是最大边，必有，有，解可得，，综合可得．故答案为：．根据余弦定理和钝角的余弦函数小于0可求得c的范围，进而利用两边之差和小大于第三边，求得c的另一个范围，最后取交集，即可得解．本题主要考查了余弦定理的运用．余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题．6.【答案】【解析】解：常数，展开式中的系数为4，，当时，，，解得，，．故答案为：．由，根据的系数为4，求出，从而，解得，由此能求出的值．本题考查数列的前n项和极限的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项式定理、极限性质的合理运用．7.【答案】【解析】解：令，，，则原函数化为，．，．原函数的值域为故答案为：令，由x的范围求得t的范围，再由二次函数求值域．本题考查利用换元法求函数的值域，是基础题．8.【答案】【解析】解：函数数，，，，根据正弦函数的性质：当时可得，，则则的最小值为．故答案为：根据x在上，求解内层函数的范围，即可由三角函数的性质可得答案．本题考查三角函数的性质的应用．属于基础题．9.【答案】【解析】解：在PC上任取一点D并作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角．过点O作，，因为平面APB，则，．≌，，≌，因为，所以点O在的平分线上，即．在直角中，，，则．在直角中，，则．即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．过PC上一点D作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角．能证明点O在的平分线上，通过解直角三角形PED、DOP，求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值．本题考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力、转化能力．10.【答案】12【解析】解：曲线C的参数方程为，为参数，直线l的参数方程为，设曲线C上的点的坐标为，则P到直线l的距离：，，C上的点到l距离的最大值为，，解得．故答案为：12．设曲线C上的点的坐标为，则P到直线l的距离，由C上的点到l距离的最大值为，能求出a的值．本题考查实数值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】【解析】解：函数的反函数的定义域是，即函数的值域为，若，显然不合题意，则，此时的值域为；则需的值域包含，结合函数在内有意义，则．的所有取值构成的集合是．故答案为：．由题意可得，函数的值域为，当，显然不合题意，则，此时的值域为；然后结合反比例函数的图象及函数在内有意义，可得，则答案可求．本题考查互为反函数的两个函数特性间的关系，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．12.【答案】．【解析】解：如图，，，则：，联立，解得，整理得：，，双曲线C的渐近线方程：．故答案为：．由题意画出图形，结合已知可得，写出的方程，与联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．13.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．“与的夹角为锐角”“”，“”“与的夹角为锐角”，由此能求出结果．【解答】解：点A，B，C不共线，若“与的夹角为锐角”，则，，“与的夹角为锐角”“”，若，则，化简得，即与的夹角为锐角，“”“与的夹角为锐角”，设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件．故选C．14.【答案】B【解析】解：，，则，，，故选：B．利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】C【解析】【分析】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，共14个．故选C．16.【答案】D【解析】解：对于A，“的充要条件是“对任意的，存在，满足”“的值域为R”，故A正确；对于B，依题意，，，则，即，故B正确；对于C，若函数有最大值，则，此时，，，显然，即C成立；对于D，当，时，既无最大值又无最小值，但是，故D为假命题．故选：D．根据题目给出的定义，结合函数的定义域，值域情况逐个选项判断即可得到结论．本题考查新定义的理解和应用，考查了函数的值域，主要考查推理能力和计算能力，属于中档题．17.【答案】解：不等式即的解集为．，b是方程的两个实数根，，，解得，．为纯虚数，，，解得．【解析】由题意可得：，b是方程的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出．为纯虚数，利用纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：证明：平面ABCD，，，，平面PAD．解：平面ABCD，，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且．过A作，交BC于M，以A为原点，AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，0，，2，，2，，0，，，1，，0，，，1，，，设平面AEF的法向量y，，则，取，得1，，设b，，，，则，b，，，，解得，，，，平面AEF与直线PB交于点G在平面AEF内，，解得，故的值为．【解析】推导出，，由此能证明平面PAD．以A为原点，AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值．本题考查线面垂直的证明，考查两线段的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：等腰梯形MNBA的高为，，，等腰梯形MNBA的面积为，等腰三角形PAB中，P到AB的距离为，故等腰三角形PAB的面积为，多边形MAPBN的面积为．，，即，．令，．其中，，即．当即时，取得最大值，此时种植蔬菜的收益最大．【解析】计算AB，梯形和三角形的高度，分别求出梯形和三角形的面积即可得出答案，根据求出的范围；根据和角公式求出面积最大值及其对应的的值即可．本题考查了解析式求解，三角函数恒等变换，函数最值的计算，属于中档题．20.【答案】解：由题意可知，，则；所以椭圆C的方程为：；由题意可知，，设，则，；所以的取值范围是；假设存在满足条件的直线l，根据题意直线l的斜率存在；设直线l的方程为：；有：；，则；；设，则CD的中点为；，；，则；，即；即，无解；故满足条件的直线不存在；【解析】根据条件直接求出a，b；设，表示出，求出其范围；设CD的中点为；由，则；得到其斜率的积为，再方程联立计算；本题考查椭圆的简单几何性质，向量的数量积，直线的垂直，设而不求的思想方法，关键在于将几何条件进行适当的转化，属于中档题．21.【答案】解：令，，则，所以．令，，则，所以．令，，其中n是大于1的整数，则，所以，即．又因为，所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，所以，则．所以原式．证明：令，，则，所以．令，y为任意实数，则，即，所以是偶函数．令N为，分母的最小公倍数，并且，，a、b都是自然数，并且．令数列满足，，1，下证：数列单调递增．，所以；若，n是正整数，即；令，，则，即．所以．综上，数列单调递增，所以，又因为是偶函数，所以【解析】是抽象函数基础题，代入特定的数值即可；对于此数列，需要求其通项，而求通项又需要递推公式，所以代入合理的数值，得到递推公式；属于难题，因为的铺垫，证明偶函数需要代入特定的数，证明与的大小关系需要定义新的数列，又因为题目中的有理数条件，要充分利用分数的特点．本题涉及抽象函数、数列求通项求和等知识，使用了赋值法、数学归纳法等方法，属于难题．。

2020年江西省南昌市高考数学三模试卷(理科) (解析版)

2020年江西省南昌市高考数学三模试卷(理科) (解析版)

2020年高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知（1+i）z＝i（i为虚数单位），在复平面内，复数z的共轭复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合A＝{x||x﹣a|＝1}，B＝{﹣1，0，b}（b＞0），若A⊆B，则对应的实数（a，b）有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：得分345678910频数231063222设得分的中位数为m e，众数为m0，平均数为x，则（）A．m e＝m0＝x B．m e＝m0＜x C．m e＜m0＜x D．m0＜m e＜x 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．9πC．12πD．36π5．在△ABC中，D为线段AB上一点，且BD＝3AD，若CD→=λCA→+μCB→，则λμ=（）A．13B．3C．14D．46．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，c a+b+b a+c=1，则下列说法不一定成立的是（）A．△ABC可能为正三角形B．角A，B，C为等差数列C．角B可能小于π3D．角B+C为定值7．已知函数f（x）＝2sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位，所得图象关于x=π3对称，则实数m的最小值为（）A．π4B．π3C．3π4D．π8．函数f（x）＝（x−1x）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．9．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3：1取得胜利的概率为（）A．0.162B．0.18C．0.168D．0.17410．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．若|F1F2|＝4|AB|，则C的渐近线方程为（）A．√3x±y=0B．x±√3y=0C．2x±y＝0D．x±2y＝011．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20，2×10，4×5三种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称4×5为20的最佳分解．当p×q（p≤q且p，q∈N+）是正整数n的最佳分解时，定义函数f（n）＝q﹣p，则数列{f（3n）}（n∈N+）的前100项和S100为（）A．350+1B．350﹣1C．350−12D．350+1212．已知函数f(x)=ln(e|2x|−4+1)，g(x)={a+x−2(x≥0)a−x−2(x＜0)，若存在a∈[n，n+1]（n∈Z）使得方程f（x）＝g（x）有四个实根．则n的最大值为（）A．2B．1C．0D．﹣1二．填空题：本题共4小题，每小题5分共20分．13．执行如图所示的框图程序，输出的结果S＝．14．已知函数f(x)=2|x|+x2，m=f(log213)，n=f(7−0.1)，p=f(log425)，则m，n，p的大小关系是．15．已知sin(α+π6)=13，则cos(α−5π6)tan(π3−α)=．16．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=32，AD=2，AA1=2√3，已知P是矩形ABCD内一动点，PA1与平面ABCD所成角为π3，设P点形成的轨迹长度为α，则tanα＝；当C1P的长度最短时，三棱锥D1﹣DPC的外接球的表面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{a n}中，a1＝2，a n a n+1＝2pn+1（p为常数）．（Ⅰ）若﹣a1，12a2，a4成等差数列，求p的值；（Ⅱ）是否存在p，使得{a n}为等比数列？若存在，求{a n}的前n项和S n；若不存在，请说明理由．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC=√2，AC＝2，四边形ABB1A1为菱形，且∠ABB1＝60o，AC⊥CC1．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求BB1与平面ABC的夹角正弦值．19．在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败．根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图．（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a、b的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为P n＝P1（910）n﹣1+n−110（n＝1，2，3），其中P i表示第i个出场选手解密成功的概率，并且P1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立．①求该团队挑战成功的概率；②该团队以P i从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列与数学期望．20．在直角坐标系xOy上取两个定点A1（−√6，0），A2（√6，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn＝2．（Ⅰ）求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若RP→=λRQ→（λ＞1），求证：NF→=λFQ→．21．已知函数f(x)=alnx+12(a−1)x2+1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝﹣1时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C：ρ＝4cosθ，以极点O为旋转中心，将曲线C逆时针旋转π3得到曲线C′．（Ⅰ）求曲线C’的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C与曲线C′的公共部分面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝k|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若k＝2，解不等式f（x）≤5．（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|的充分条件是x∈[12，2]，求k的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知（1+i ）z ＝i （i 为虚数单位），在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 解：由（1+i ）z ＝i ， 得z =i 1+i =i(1−i)2=12+12i ， ∴复数z 的共轭复数z 对应的点是(12，−12)，在第四象限． 故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．设集合A ＝{x ||x ﹣a |＝1}，B ＝{﹣1，0，b }（b ＞0），若A ⊆B ，则对应的实数（a ，b ）有（ ） A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【分析】解方程得集合A 有两元素，由A ⊆B 得A 中元素属于B ，可解出a ，b ． 解：∵集合A ＝{x ||x ﹣a |＝1}＝{a ﹣1，a +1}⊆{﹣1，0，b }（b ＞0），若a ≤0，则a ﹣1＝﹣1，即a ＝0，所以b ＝1；若a ＞0，a ﹣1＝﹣1或a ﹣1＝0，则a ＝1，所以b ＝2， 则{a =0b =1或{a =1b =2则对应的实数（a ，b ）有2对． 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系及应用，属于基础题．3．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表： 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数231063222设得分的中位数为m e ，众数为m 0，平均数为x ，则（ ）A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0＜xC ．m e ＜m 0＜xD ．m 0＜m e ＜x【分析】由频率分步表求出众数、中位数和平均数，比较即可． 解：由图知，众数是m 0＝5；中位数是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6， 所以中位数是m e =5+62=5.5； 平均数是x =130×（2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10）≈6； ∴m 0＜m e ＜x ． 故选：D ．【点评】本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题． 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．9πC ．12πD ．36π【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4，再由圆锥体积公式求解． 解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4． ∴该几何体的体积为14×13π×32×4=3π．故选：A ．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 5．在△ABC 中，D 为线段AB 上一点，且BD ＝3AD ，若CD →=λCA →+μCB →，则λμ=（ ）A ．13B ．3C ．14D ．4【分析】由已知结合向量的线性运算可分别求出λμ，从而可求． 解：因为BD ＝3AD ，所以CD →=CB →+BD →=CB →+34BA →=CB →+34(CA →−CB →)=34CA →+14CB →，由CD →=λCA →+μCB →可得λ=34，μ=14，则λμ=3．故选：B ．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用． 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，c a+b +b a+c=1，则下列说法不一定成立的是（ ） A ．△ABC 可能为正三角形 B ．角A ，B ，C 为等差数列 C ．角B 可能小于π3D ．角B +C 为定值【分析】化简ca+b+b a+c=1，利用余弦定理求出A 的值，再判断选项中的命题是否正确．解：△ABC 中，ca+b+b a+c=1，（a +c ）c +（a +b ）b ＝（a +b ）（a +c ）， c 2+b 2﹣a 2＝cb ，cos A =c 2+b 2−a 22cb =cb 2cb =12，A ∈（0，π）， A =π3， B +C ＝2A =2π3， 所以B 、A 、C 成等差数列，B 错误． 当a ＝b ＝c 时，△ABC 是正三角形，A 正确； 由B +C =2π3知，选项C 、D 正确． 故选：B ．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了分析问题解决问题的能力，是中档题．7．已知函数f （x ）＝2sin 2ωx （ω＞0）的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移m （m ＞0）个单位，所得图象关于x =π3对称，则实数m 的最小值为（ ） A ．π4B ．π3C ．3π4D ．π【分析】先利用降幂公式将函数式化简为y ＝A cos （ωx +φ）+k 的形式，然后利用图象变换的规律求出变换后的解析式，最后利用函数的最值的性质求出m 的值．解：f （x ）＝﹣cos2ωx +1，由其最小正周期为π，∴ω＝1，所以f （x ）＝﹣cos2x +1， 将其图象沿x 轴向右平移m （m ＞0）个单位，所得图象对应函数为y ＝﹣cos （2x ﹣2m ）+1，因为其图象关于x =π3对称，则有cos(2π3−2m)=±1，∴2π3−2m =kπ，k ∈Z ，解得m =π3−kπ2， 由m ＞0，实数m 的最小值为π3． 故选：B ．【点评】本题考查考生对正弦型三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）的掌握情况．考查考生对三角函数三种表征（零点、对称轴、单调性）的理解与转换．考查考生对三角函数的数形结合思想、基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力． 8．函数f （x ）＝（x −1x）cos x （﹣π≤x ≤π且x ≠0）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由条件可得函数f （x ）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当x 趋向于0时，f （x ）＞0，结合所给的选项，得出结论．解：对于函数f（x）＝（1x−x）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）＝（−1x+x）cos x＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A、B．当x＝π，f（x）＜0，故排除C，但是当x趋向于0时，f（x）＜0，故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．9．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3：1取得胜利的概率为（）A．0.162B．0.18C．0.168D．0.174【分析】先列出甲以3：1取得胜利的所有情况，再利用相互独立事件的乘法运算求解每种情况的概率，最后利用互斥事件概率的加法公式计算即可．解：甲以3：1取得胜利的所有情况为：赢赢输赢，赢输赢赢，输赢赢赢，对应的概率分别为：0.5×0.6×0.3×0.6＝0.054，0.5×0.4×0.5×0.6＝0.06，0.5×0.4×0.5×0.6＝0.06，所以甲以3：1取得胜利的概率为：0.054+0.06+0.06＝0.174．故选：D．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率，互斥事件的概率，考查运算求解能力和分析问题，解决问题的能力．10．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．若|F1F2|＝4|AB|，则C的渐近线方程为（）A．√3x±y=0B．x±√3y=0C．2x±y＝0D．x±2y＝0【分析】由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，转化求解渐近线方程即可．解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．与MF1的切点为N，如图：设AB＝n，MB＝m，BF2＝t，由双曲线的定义可知：m+2n+t﹣m﹣t＝2a，可得n ＝a，若|F1F2|＝4|AB|，所以2c＝4a，c＝2a，则b=√3a．所以双曲线的渐近线方程为：√3x±y＝0．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用圆的切线长相等，以及方程思想，考查运算能力，属于中档题．11．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20，2×10，4×5三种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称4×5为20的最佳分解．当p×q（p≤q且p，q∈N+）是正整数n的最佳分解时，定义函数f（n）＝q﹣p，则数列{f（3n）}（n∈N+）的前100项和S100为（）A．350+1B．350﹣1C．350−12D．350+12【分析】先写出数列{f（3n）}（n∈N+）的前几项，根据前几项归纳出：f（32k﹣1）＝3k ﹣3k﹣1＝2×3k﹣1，f（32k）＝3k﹣3k＝0，再求出其前100项和．解：根据题意，知：f（3）＝3﹣1＝2，f（32）＝3﹣3＝0，f（33）＝32﹣3＝6，f（34）＝32﹣32＝0，…，f（32k﹣1）＝3k﹣3k﹣1＝2×3k﹣1，f （32k ）＝3k ﹣3k ＝0．∴数列{f （3n ）}（n ∈N +）的前100项和S 100为2×30+0+2×31+0+…+2×349+0＝2（30+31+32+…+349）＝2×1−3501−3=350﹣1． 故选：B ．【点评】本题主要考查等比数列、及其数列的求和，属于中档题． 12．已知函数f(x)=ln(e|2x|−4+1)，g(x)={a +x −2(x ≥0)a −x −2(x ＜0)，若存在a ∈[n ，n +1]（n ∈Z ）使得方程f （x ）＝g （x ）有四个实根．则n 的最大值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣1【分析】依题意，转化可得函数F(x)={ln(e x−2+e 2−x )，x ≥0ln(e −x−2+e x+2)，x ＜0与直线y ＝a 有且仅有四个不同的交点，且易发现函数F （x ）为偶函数，利用导数研究函数F （x ）的性质，作出函数图象，观察图象可得实数a 的取值范围，进而得到n 的最大值．解：令h(x)=f(x)−g(x)={ln(e 2x−4+1)−(x −2)−a ，x ≥0ln(e −2x−4+1)+(x +2)−a ，x ＜0，则h(x)={ln(e 2x−4+1e x−2)−a =ln(e x−2+e 2−x )−a ，x ≥0ln[(e −2x−4+1)(e x+2)]−a =ln(e −x−2+e x+2)−a ，x ＜0， 依题意，函数F(x)={ln(e x−2+e 2−x )，x ≥0ln(e −x−2+e x+2)，x ＜0与直线y ＝a 有且仅有四个不同的交点，易知函数F （x ）为偶函数，故先研究x ≥0时的情况， 当x ≥0时，F′(x)=e x−2−e 2−xe x−2+e 2−x，令F ′（x ）＜0，解得0≤x ＜2，令F ′（x ）＞0，解得x ＞2，故函数F （x ）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，且F （x ）极小值＝F （2）＝ln 2，由偶函数的对称性，可作出函数F （x ）的图象，如下图所示，由图可知，a∈（ln2，ln（e﹣2+e2）），又0＜ln2＜1，2＜ln（e﹣2+e2）＜3，∴n的最大值为2．故选：A．【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想与数形结合思想，将问题转化为函数F（x）的图象与直线y＝a有且仅有四个不同的交点，进而通过数形结合确定实数a的取值范围是解题的关键，属于中档题．二．填空题：本题共4小题，每小题5分共20分．13．执行如图所示的框图程序，输出的结果S＝5．【分析】模拟程序的运行过程可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s＝0﹣1+2﹣3+…+10的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s＝0﹣1+2﹣3+…+10的值，可得s＝0﹣1+2﹣3+…+10＝（2+4+…+10）﹣（1+3+…+9）＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查伪代码（算法语句）的应用，属于基础题．14．已知函数f(x)=2|x|+x2，m=f(log213)，n=f(7−0.1)，p=f(log425)，则m，n，p的大小关系是p＞m＞n．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：∵f（x）＝2|x|+x2，则f（﹣x）＝2|﹣x|+（﹣x）2＝f（x），即f（x）为偶函数，因为x＞0时，f（x）＝2x+x2单调递增，m ＝f （log213）＝f （log 23），n ＝f （0.7﹣0.1），p ＝f （log 425）＝f （log 25），因为log 25＞2＞log 23＞1＞7﹣0.1＞0， 故p ＞m ＞n 故答案为：p ＞m ＞n【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．15．已知sin(α+π6)=13，则cos(α−5π6)tan(π3−α)= −13 ． 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和诱导公式的应用求出结果．解：已知sin(α+π6)=13．故：cos(α−5π6)tan(π3−α)=−cos[π−(α+π6)]1tan(α+π6)=−sin(α+π6)=−13．故答案为：−13．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AB =32，AD =2，AA 1=2√3，已知P 是矩形ABCD内一动点，PA 1与平面ABCD 所成角为π3，设P 点形成的轨迹长度为α，则tan α＝ ﹣3√7 ；当C 1P 的长度最短时，三棱锥D 1﹣DPC 的外接球的表面积为 17π ． 【分析】因为PA 1与平面ABCD 所成角θ为π3，所以可得AP ＝2，即P 点的轨迹为以A为圆心，以2为半径的圆与矩形ABCD 的交点即DÊ，由矩形的边长可得DE ̂的值，进而求出它的正切值，当C 1P 的长度最短时，而C 1P =√CC 12+CP 2，所以当CP 最小时，C 1P 最小，而当A ，P ，C 1三点共线时，CP 最小，求出CP 的值，进而由余弦定理求出DP ，求出三角形DCP 的外接圆的半径，由DD 1⊥面CDP ，所以三棱锥D 1﹣DCP 的外接球的球心为过底面三角形DCP 的外接圆的圆心的垂线与中截面的交点，由外接球的半径，和高的一半，由勾股定理可得R 的值，进而求出外接球的表面积． 解：在长方体的底面矩形ABCD 内一动点P ，连接AP ，因为PA 1与平面ABCD 所成角θ为π3，AA 1＝2√3，所以tan θ=AA 1AP =2√3AP =√3，所以AP ＝2，所以P点的轨迹为以A为圆心，以2为半径的圆，与底面矩形BC的交点为E，D，即P的轨迹为圆弧DÊ，连接AE，在△ABE中，cos∠EAB=ABAE =322=34，所以sin∠DAE＝cos∠EAB=34，所以arcsin∠DAE=3 4，所以α=DÊ=2•∠DAE，可得α为钝角，所以sinα＝sin（2arcsin∠DAE）＝2•34⋅√74=3√78，∴cosα=−18，所以tanα＝﹣3√7；当C1P的长度最短时，而C1P=√CC12+CP2，所以当CP最小时，C1P最小，而当A，P，C1三点共线时，CP＝AC﹣AP=√22+(32)2−2=12最小，连接DP，由于cos∠DCP=CDAC=32√2+(32)2=35，所以在三角形CDP中，由余弦定理可得DP=√CD2+CP2−2CD⋅CP⋅cos∠DCP=√9 4+14−2×32×12×35=4√1010，而sin∠DCP=45，设三角形CDP的外接圆的半径为r，则2r=DPsin∠DCP=4√101045=√102，所以r=√104，由DD1⊥面CDP，所以三棱锥D1﹣DCP的外接球的球心为过底面三角形DCP的外接圆的圆心的垂线与中截面的交点，设外接球的半径为R，则R2＝r2+（DD12）2=1016+3=174，所以外接球的表面积S＝4πR2＝17π．故答案为：﹣3√7，17π．【点评】本题考查求点的轨迹，及三棱锥的棱长与外接球的半径的关系和球的表面积公式，属于难题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{a n}中，a1＝2，a n a n+1＝2pn+1（p为常数）．（Ⅰ）若﹣a1，12a2，a4成等差数列，求p的值；（Ⅱ）是否存在p，使得{a n}为等比数列？若存在，求{a n}的前n项和S n；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据条件求出a2和a4，然后由﹣a1，12a2，a4成等差数列，得到关于p的方程，再求出p即可；（Ⅱ）若{a n}为等比数列，则由a1＞0，a2＞0，可知数列的首项和公比均为正数，然后根据条件求出{a n}前n项和S n即可．解：（Ⅰ）∵a n a n+1＝2pn+1（p为常数），∴a n+1a n+2=2pn+p+1∴当n＝1时，a1a2=2p+1，∵a1＝2，∴a2=2p，∴a n+2a n=2p，∴a4=2p a2=(2p)2，∵a4=2p a2=(2p)2，∴a4﹣2＝a2，∴（2p）2﹣2＝2p，∴p＝1．（Ⅱ）若{a n}为等比数列，则由a1＞0，a2＞0，∴数列的首项和公比均为正数，设其公比为q，则q=2p2，∴2p2=a2a1=2p2，∴p＝2，∴a1＝2，q＝2，∴a n=2n故a n a n+1=22n+1，而2pn+1＝22n+1，∴p＝2时，{a n}为等比数列，∴{a n}的前n项和S n=2(1−2n)1−2=2n+1−2．【点评】本题考查了等比数列和等差数列的性质，等比数列的前n项和公式，考查了方程思想和转化思想，属中档题．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC=√2，AC＝2，四边形ABB1A1为菱形，且∠ABB1＝60o，AC⊥CC1．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求BB1与平面ABC的夹角正弦值．【分析】（Ⅰ）取BB1的中点O，连接AB1，OA，OC，由已知可得OA⊥BB1，再由BB1∥CC1，AC⊥CC1，得AC⊥BB1，得到BB1⊥平面AOC，则BB1⊥CO，求解三角形证明CO⊥AO．可得AO⊥平面BB1C1C，进一步得到平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量m→，再求出BB1上的单位向量n→．由m→与n→所成角的余弦值可得BB1与平面ABC的夹角正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取BB1的中点O，连接AB1，OA，OC，在菱形ABB1A1中，∠ABB1＝60o，故三角形ABB1是等边三角形，则OA⊥BB1，OB＝1，OA=√3．又BB1∥CC1，AC⊥CC1，∴AC⊥BB1，又AO⊥BB1，且AO∩AC＝A，∴BB1⊥平面AOC，则BB1⊥CO．在Rt△BOC中，CO=√BC2−BO2=1，∴CO2+AO2＝AC2，故CO⊥AO．又CO∩BB1＝O，∴AO⊥平面BB1C1C．∵AO⊂平面ABB1A1，∴平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）解：以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．则A（√3，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），BA →=(√3，−1，0)，BC →=(0，−1，1)． 设平面ABC 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)．由{m →⋅BA →=√3x −y =0m →⋅BC →=−y +z =0，取x =√3，得m →=(√3，3，3)． 设BB 1上的单位向量为n →=(0，1，0)．则BB 1与平面ABC 的夹角正弦值为|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√217．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19．在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败．根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图．（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为P n ＝P 1（910）n ﹣1+n−110（n ＝1，2，3），其中P i 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且P 1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立． ①求该团队挑战成功的概率；②该团队以P i 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X 的分布列与数学期望．【分析】（1）由甲解密成功所需时间的中位数为47，利用频率分布直方图的性质能求出a，b，由此能求出甲在1分钟内解密成功的频率．（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为p1＝0.9，第二个出场选手解密成功的概率为p2＝0.9×910+110×1=0.91，第三个出场选手解密成功的概率为p3＝0.9×(910)2+110×2=0.929，由此能求出该团队挑战成功的概率．②根据题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列和E（X）．解：（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，∴0.01×5+0.014×5+b×5+0.034×5+0.04×（47﹣45）＝0.5，解得b＝0.026，∴0.04×3+0.032×5+a×5+0.010×10＝0.5．解得a＝0.024．∴甲在1分钟内解密成功的频率是f＝1﹣0.01×10＝0.9．（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为p1＝0.9，第二个出场选手解密成功的概率为p2＝0.9×910+110×1=0.91，第三个出场选手解密成功的概率为p3＝0.9×(910)2+110×2=0.929，∴该团队挑战成功的概率为p＝0.9+0.1×0.91+0.1×0.09×0.929＝0.999361．②由①知按P i从小到大的顺序的概率分别为p1，p2，p3，根据题意知X的可能取值为1，2，3，则P（X＝1）＝0.9，P（X＝2）＝（1﹣0.9）×0.91＝0.091，P（X＝3）＝（1﹣0.9）（1﹣0.91）＝0.009，∴团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列为：X 1 2 3 P0.90.0910.009E （X ）＝1×0.9+2×0.091+3×0.009＝1.109．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1（−√6，0），A 2（√6，0），再取两个动点N 1（0，m ），N 2（0，n ），且mn ＝2．（Ⅰ）求直线A 1N 1与A 2N 2交点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过R （3，0）的直线与轨迹C 交于P ，Q ，过P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP →=λRQ →（λ＞1），求证：NF →=λFQ →．【分析】（I ）由直线方程的点斜式列出A 1N 1和A 2N 2的方程，联解并结合mn ＝2化简整理得方程，再由N 1、N 2不与原点重合，可得直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹C 的方程； （II ）设l ：x ＝ty +3，代入椭圆方程消去x ，得（3+t 2）y 2+6ty +3＝0，利用分析法进行证明．【解答】（I ）解：依题意知直线A 1N 1的方程为：y =6（x +√6）…①； 直线A 2N 2的方程为：y =n√6（x −√6）…②设Q （x ，y ）是直线A 1N 1与A 2N 2交点，①、②相乘，得y 2=−mn6（x 2﹣6） 由mn ＝2整理得：x 26+y 22=1∵N 1、N 2不与原点重合，可得点A 1，A 2不在轨迹M 上， ∴轨迹C 的方程为x 26+y 22=1（x ≠±√6）．（Ⅱ）证明：设l ：x ＝ty +3，代入椭圆方程消去x ，得（3+t 2）y 2+6ty +3＝0． 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），N （x 1，﹣y 1），可得y 1+y 2=−6t t 2+3且y 1y 2=3t 2+3， RP →=λRQ →，可得（x 1﹣3，y 1）＝λ（x 2﹣3，y 2），∴x 1﹣3＝λ（x 2﹣3），y 1＝λy 2， 证明NF →=λFQ →，只要证明（2﹣x 1，y 1）＝λ（x 2﹣2，y 2），∴2﹣x 1＝λ（x 2﹣2）， 只要证明x 1−3x 2−3=−x 1−2x 2−2，只要证明2t 2y 1y 2+t （y 1+y 2）＝0，由y1+y2=−6tt2+3且y1y2=3t2+3，代入可得2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，∴NF→=λFQ→．【点评】本题着重考查了动点轨迹的求法、椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．21．已知函数f(x)=alnx+12(a−1)x2+1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝﹣1时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导函数，通过①当a≥1时，②当0＜a＜1时，③当a≤0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．（Ⅱ）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx﹣x2+1，不妨设0＜x1＜x2，则|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2等价于|f(x2)x2−f(x1)x1|＞m(x2−x1)，考察函数g(x)=f(x)x，求出导函数，令h(x)=lnx−x2−2x2，再求解导函数，判断函数的单调性．求出函数的最值，说明g（x）在（0，+∞）上单调递减．得到g（x1）+mx1＞g（x2）+mx2恒成立，设φ（x）＝g（x）+mx，则φ（x）在（0，+∞）上恒为单调递减函数，然后转化求解m的范围即可．解：（Ⅰ）f′(x)=ax +(a−1)x=(a−1)x2+ax（x＞0）．①当a≥1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1时，f′(x)=(a−1)(x+√−aa−1)(x−√−a a−1) x，所以当x＞√−aa−1时，f'（x）＜0，当0＜x＜√−aa−1时，f'（x）＞0，所以f（x）在(0，√−aa−1)上单调递增，在(√−a a−1，+∞)上单调递减；③当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，（Ⅱ）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx﹣x2+1，不妨设0＜x1＜x2，则|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2等价于|f(x2)x2−f(x1)x1|＞m(x2−x1)，考察函数g(x)=f(x)x，得g′(x)=lnx−x2−2x2，令h(x)=lnx−x2−2x2，h′(x)=5−2lnxx3，则x∈(0，e52)时，h'（x）＞0，x ∈(e 52，+∞)时，h '（x ）＜0，所以h （x ）在区间(0，e 52)上是单调递增函数，在区间(e 52，+∞)上是单调递减函数．故g′(x)≤g′(e 52)=12e5−1＜0，所以g （x ）在（0，+∞）上单调递减． 从而g （x 1）＞g （x 2），即f(x 2)x 2＜f(x 1)x 1，故f(x 1)x 1−f(x 2)x 2＞m(x 2−x 1)，所以f(x 1)x 1+mx 1＞f(x 2)x 2+mx 2，即g （x 1）+mx 1＞g （x 2）+mx 2恒成立，设φ（x ）＝g （x ）+mx ，则φ（x ）在（0，+∞）上恒为单调递减函数， 从而φ′（x ）＝g ′（x ）+m ≤0恒成立，故φ′（x ）＝g ′（x ）+m ≤12e 5−1+m ≤0， 故m ≤1−12e 5． 【点评】本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查考生灵活运用导数工具分析问题、解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4cos θ，以极点O 为旋转中心，将曲线C 逆时针旋转π3得到曲线C ′．（Ⅰ）求曲线C ’的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 与曲线C ′的公共部分面积．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及二次函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）设极点（ρ，θ）旋转之后的极点为（ρ′，θ′），故：{ρ′=ρθ′=θ+π3，代入ρ＝4cosθ，得到ρ′=4cos(θ′−π3)，得到ρ=4cos(θ−π3)．（Ⅱ）如图，两圆相交于点O和A，连接OA，AC，OC′，AC′．由于极径没有变，旋转的角为π3．显然四边形OC′AC为菱形，故∠OCA=2π3．所以S＝2S弓形OC′A＝2（S扇形OC′A﹣S△OC′A）=8π3−2√3．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．一、选择题23．已知f（x）＝k|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若k＝2，解不等式f（x）≤5．（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|的充分条件是x∈[12，2]，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）k＝2时，不等式f（x）≤5可化为2|x|+|x﹣1|≤5．然后分x＜0，0≤x ＜1，x≥1三类去绝对值求解，取并集得答案；（Ⅱ）由题意，关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|在x∈[12，2]上恒成立，分离参数k，可得k≤|x+1|+|x−1||x|在x∈[12，2]上恒成立，再由|x+1|+|x−1||x|≥|x+1+x−1||x|=2，即可得到实数k的取值范围．解：（Ⅰ）若k＝2，不等式f（x）≤5可化为2|x|+|x﹣1|≤5．当x＜0时，有﹣2x﹣（x﹣1）≤5，即x≥−43，∴−43≤x＜0；当0≤x＜1时，有2x﹣（x﹣1）≤5，即x≤4，∴0≤x＜1；当x≥1时，有2x+（x﹣1）≤5，即x≤2，∴1≤x≤2．故原不等式的解集为[−43，2]；（Ⅱ）由题意，关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|在x∈[12，2]上恒成立，即k |x |≤|x +1|+|2x ﹣2|﹣|x ﹣1|在x ∈[12，2]上恒成立，∴k ≤|x+1|+|x−1||x|在x ∈[12，2]上恒成立， ∵|x+1|+|x−1||x|≥|x+1+x−1||x|=2|x||x|=2，等号在x +1，x ﹣1同号或其中一项为0时成立．∴k 的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论与数学转化思想方法，训练了绝对值不等式的应用，是中档题．。

高考数学理科模拟试题(附答案)

高考数学理科模拟试题(附答案)

高三年级第一次模拟考试数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．。

1．复数23()1i i +-= （ ）A ．-3-4iB ．-3+4iC ．3-4iD ．3+4i2．已知条件:|1|2,:,p x q x a +>>⌝⌝条件且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．1a ≥- D ．3a ≤-3．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内零点可能落在下列哪个区间内（ ）A ．（0，1）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5） 4．如右图，是一程序框图，则输出结果为（ ）A ．49B ．511 C ．712 D ．613 5．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若641241,4,S S S S S ==则 的值为（ ）A ．94B ．32C ．54D ．46．要得到函数()sin(2)3f x x π=+的导函数'()f x 的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变）C ．向右平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的12倍（横坐标不变）D ．向右平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） 7．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若|FM|=2|ME|，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．28．如图所示的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中电路从P 到Q 接通的情况有（ ）A ．30种B ．10种C ．24种D ．16种第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上。

全国100所名校2020年最新高考模拟示范卷(二)数学理科试题+答案+详解MNJ.Y

全国100所名校2020年最新高考模拟示范卷(二)数学理科试题+答案+详解MNJ.Y

全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，则A B =U （ ） A.{}1,2,3,4,5B.{}0,1,4,5C.{}2,3D.{}0,1,2,3,4,52.i 是虚数单位，2z i =-，则z =（ ）A.B.2C.3.已知向量()1,2a =r ，(1,)b λ=-r ，若a b r r∥，则实数λ等于（ ）A.-1B.1C.-2D.24.“22x -<≤”是“22x -≤≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件5.双曲线22221x y a b -= （0a >，0b >）的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A.45y x =±B.54y x =±C.43y x =±D.34y x =±6.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ）A.第一场得分的中位数为52B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等7.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5b =，22625c c a ---，则cos A =（ ）A.45 B.35C.310D.258.函数1())1x xe f x x e-=+的图象大致为（ ）A BC D9.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）A.152πB.12πC.112π D.212π10.图为祖冲之之子祖晒“开立圆术”中设计的立体模型.祖晒提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d （d 为球的直径），并得到球的体积为316V d π=，这种算法比外国人早了一千多年.人们还用过一些类似的近似公式，根据3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（ ）A.d ≈B.d ≈C.d ≈D.d ≈11.已知32cos cos 2αβ-=，2sin sin 2αβ+=，则cos()αβ+等于（ ） A.12 B.12-C.14D.14-12.已知A B C ，，为椭圆2214x y +=上三个不同的点，若坐标原点O 为ABC △的重心，则ABC △的面积为（ ）A.B.2C.2D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设()f x 是定义在R 上的函数，若()()g x f x x =+是偶函数，且()24g -=-，则()2f =___________.14.已知数列()*(}n f a n ∈N 是等差数列，其前n 项和为n S ，若66nS =，则4a =___________.15.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，则ω=___________.16.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E F ，分别为111AB AC ，的中点，平面a 过点1C ，且平面a ∥平面11A B C ，平面a I 平面111A B C l =，则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的折线图.（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据：()()51311iii t t y y =--=∑.回归方程$$y abt =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别：()()()121ii i ni i tty y b t t ∞==--=-∑∑，$a y bt=-$. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()21112,4,314,(1)log n n nn n n n S aS a b a -++==-=-⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥ ，BC AD ∥，2222AD BC PA AB ====，点E F G ，，分别为线段AD DC PB ，，的中点.（1）证明：直线AG ∥平面PEF.（2）求多面体 ACCPEF 的体积.20.已知函数2()e ,x f x ax x a =--∈R ，()g x 为函数()f x 的导函数.（1）若函数()gx 的最小值为0，求实数a 的值；（2）若0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x --++…恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知点()(),80Pt t <是抛物线2(:20)C x py p =>上一点，点F 为抛物线C 的焦点，||10PF =.（1）求直线PF 的方程； (2)若直线l 过点()0,4，与抛物线相交于M N ，两点，且曲线C 在点M 与点N 处的切线分别为m n ，，直线m n ，相交于点G ，求||PG 的最小值.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ay α=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以坐标原点为极点,，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 3m πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）若直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，求实数m 的取值范围；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，且A B ，的中点为P ，求点P 的轨迹方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知a b ，为正实数，222a b +=. （1）证明：2a b ab +≥. （2）证明：442a b +….2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1.D 本题考查集合的运算因为{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，所以{}0,12,3,4,5A B =U .2C 本题考查复数的模.因为2z i =-，所以||z ==3.C 本题考查向量的平行.因为a b r r∥，所以20λ--=，解得2λ=-.4.A 本题考查充分、必要条件“22x -<≤”是“22x -≤≤”的充分不必要条件.5.C 本题考查双曲线的渐近线.22225161199b e a =-=-=，即43b a =，故双线的渐近线方程为43y x =±. 6.C 本题考查茎叶图.由茎叶图可知第一场得分的中位数为52，众数为0，极差为19，第二场得分的众数为 0，平均数为193，极差为2，所以选项C 的说法是错误的. 7.B 本题考查解三角形.因为225625b c c a =⋅---，所以2226b c a c +-=，所以62cos c bc A =⋅， 所以3cos 5A =. 8.B 本题考查函数的图象.因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，排除CD 项，又因为)1(1)ln 101cf e-=>+，所以排除A 项.9.A 本題考查三视图.根据三视图可知，该几何体是由14个圆锥和18个球组成的， 如图所示，其中球的半径为3，圆锥的底面半径也为3，高为4，故该几何体的体积为2311119153433438322x ππππ⨯⨯⨯+⨯⨯-+=.10.C 本题考查数学史与立体几何.由316V xd =，解得36V x d =，选项A 化简得3916V d ≈， 所以69 3.37516π⨯≈=；选项B 化简得212V d ≈，所以632π≈=；选项C 化简得3157300V d ≈， 所以6157 3.14300π⨯≈=；选项D 化简得2815V d ≈，所以683.215π⨯≈=；所以选项C 的 公式最精确.11.A 本题考查三角恒等变换.因为32cos cos 2αβ-=，2sin sin αβ+-，所以2294cos 4cos cos cos 4ααββ-+=，2234sin 4sin sin sin 4ααββ++=， 两式相加得54(cos cos sin sin )3αβαβ--=，解得1cos()2αβ+=. 12.B 本题考查直线与椭圆的位置关系.不妨设直线AB 的方程为y kx m =+代人椭圆方程得()()222148410k xkmx m +++-=.设()11,Ax y ，()22,B x y ，则122814kmx x k +=-+，()21224114m x x k-=+. 设()33,Cx y ，因为O 为ABC △的重心，所以()2122814kmxx x k=-+=+， ()()2121222214my y y k x x m k =-+=-++=-⎡⎤⎣⎦+，代入椭圆方程得22441m k -+，12|||AB x x -， 点O 到直线AB的距离d -，所以OMB △的面积111||||22S AB d m =⨯⨯-⨯因为22441m k -+，所以1S =， 因为O 为ABC △的重心，所以ABC △的面积132S S ==. （另解：不妨设()2,0A，因为O 为ABC △的重心，所以BC 横坐标为1-，可得||BC =ABC△的面积为1322S =⨯=.） 13.6本题考查函数的性质，由题知，(2)(2)2(2)4g f g -+--=-，解得()26f =-.14.6本题考查等差数列基本量的求解设等差数列{}n a 的公差为d ，因为66n S =，所以41166a =，解得a6.15.2本题考查三角函数的性质因为点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，所以是72632wππππ=--，解得2ω=.16.4本题考在异面直线所成角.因为平面a ∥平面11A B C ， 平面a I 平面111A B C l =，平面11A B C I 平面11111A B C A B =，所以11l A B ∥，取11A B ，11B C 的中点分别为H G ，，连接EH BG GH GF AC ，，，，，如图所示，则11GF A B ∥， 所以GF l ∥所以异面直线EF 与所成的角为GFE ∠或其补角，又因为AB =12AA =，所以14AC =，1EH =，HP GP ==所以2EG EF -=，所以22cos 24GF GFE RP ∠==.【解题方法】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的概念.解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，明确异面直线所成角的概念，应用三角函数知识求解，充分利用图形特征，则可事半功倍.例如本题利用图形易得11D A B ∥，这是本题的题眼. 17.解：本题考查线性回归方程. （1）由题中数据计算得1(12345)35t =++++=， ()2223215(2)(1)01210i i i a t =---+-+++=∑，由参考数据知，()()51311iii t t y y =--=∑，所以()()()532131131.110iiiii tty y b tt=--=-=-∑∑，$214.2-31.13120.9ay bt --=⨯=$， 故所求回归方程为31.1120.9yt =+.（2）将2021年对应的7t =代人回归方程得31.17120.9338.6y =⨯+=， 所以预测2021年全国硕士研究生报考人数约为338.6万人. 18.解：本题考查数列通项公式及前n 项和 （1）因为()1311n nn S a+=-，所以当2n ≥时，所以()1314n n n S a +--，所以()11314(14)nn n n n a aa ++-=--，整理得()()11440nn n aa +--=，所以14,(2)n n a a n +=>，当1n =时，()12314nS a--，14a =，所以216a =，所以24a a =，所以数列{}n a 是首项和公比均为4的等比数列，所以1444n n a +=⨯=，即4n n a =.（2）由（1）知4n na =，所以()()221121222(1)log 4(1)log 24(1)n n n n n n b n +++=-⋅--⋅--⋅22222241234(21)(2)4[37(41)]4(21)n T n n n n n ⎡⎤=-+-++--=-----=-⋅+⎣⎦L L ，故数列{}n b 的前2n 项和24(21)n T n n =-+.【名师点睛】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和问题，是高考的常考内容，解题过程中要注意应用函数与方程思想，构建方程（或方程组）求基本量，例如此题，从已知出发，构建1,a d 的方程组求数列通项公式，利用前后项合并，构造等差数列，求数列的前n 项和. 19.解：本题考查线面平行及多面体的体积.（1）证明：因为2BC AD AD BC E =∥，，为线段AD 的中点，所以BC AE ∥，连接EC ，因为AB AD ⊥，所以四边形ABCE 为矩形，连接BE 交AC 于点O ，连GO ，因为G 为线段PB 的中点，所以OG PE ∥，因为GO ⊄平面PEF ，PBC 平面PEF ， 所以GO ∥平面PEF ，由题易知，AC ∥平面PEF ， 又因为GC ⊂平面GAC ，AC ⊂平面GAC .AC GO O =I ，所以平面PEF ∥平面GAC ，又因为AGC 平面GMC ，所以直线AC ∥平面PEF .（2）因为22 2 AD BC PA ===，1AB =，所以四棱锥P ABCD -的体积111(12)11322S =⨯⨯+⨯⨯=，三棱锥G ABC -的体联11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，棱锥P DEF -的体积 11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，故所求多面体AGCPEF 的体积为1111212123--=.20.解：本题考查函数最值及恒成立求参数范围. （1）()21x f x e ax '=--，所以()21xg x eax =--，()2x g x e a '=-，①当0a ≤时，()0g x '>，所以()21x g x e ax =--在R 上单词递增，不合题意；②当0a >时，(,ln 2)x a ∈-∞，()0g x '<，(ln 2,)x a ∈+∞，()0g x '>， 所以函数()gx 在区间(,ln 2)a -∞上单调递减，在区间(ln 2,)a +∞上单调递增，()(ln 2)2(1ln 2)10g x g a a a ----…，令()ln 1x x x x μ'---，则()ln x x μ'=-，所以()x μ在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()()10x μμ≤=，所以由2(1ln 2)10a a --=，解得12a =， 即实数a 的值为12. （2）因为0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x >--++恒成立，所以210x e x ax -+-≥，即21x e x a x ---<对任意0x >恒成立，令21()x e x x xϕ---，则()2(1)1()x x e x x x ϕ---'=，由（1）知，10x e x --≥，当且仅当0x =时，等号成立，所以函数()x ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间(1,)+∞上单词递增，所以()(1)2x e ϕϕ=-…，所以2a e -≤-，即2a e ≥-. 所以实数a 的取值范围为[2,)e -+∞. 21.解：本题考查抛物线的性质. （1）因为||10PF =，所以8102p+-，解得4p =，所以()0,2F ， 因为288t =⨯，且0t <，所以8t =-，所以()8,8P -，故直线PF 的方程为822(0)80y x ------， 化简得3480x y +-=.（2）由（1）知，抛物线方程为28x y =，点()0,2F .设()()1122,,,Mx y N x y ，又因为14y x '=， 所以直线m 的方程为()11114y y x x x -=- 整理得1114y x x y =-， 同理可得直线n 的方程为1214y x x y =-，设()33,G x y ， 联立311332321414y x x y y x x y⎧--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得直线l 的方程为3314y xx y =-，又因为直线l 过点()0,4，所以4y =-，即点G 在定直线4y =-上，所以PG 的最小值为()8412--=.【解题思路】解决直线与抛物线的综合问题时，需要注意：（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22.解：本题考查坐标与参数方程： （1）由题知，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，直线l20y m -+=，因为直线l 与曲线C||2m =≥， 所以实数m 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞U . （2）设()()1122,,,,(,)Ax y B x y P u v ，由（1）知，(2,2)m ∈-，由22204y m x y -+=+=⎪⎩，解得224440x m ++-=，所以122u x x -+-=，)121224v y y x x m m -+++=，所以2u =-，即u =，故点P的轨迹方程为0(11)x y +=-<<.23.解：本题考查不等式证明.（1）因为222a b +=所以1ab ≤，所以1ab ≤≤，2a b +≤，所以2a b ab +≤， 即2a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， （2）()244222222242a b a b a b a b +-+-=-， 由（1）知1ab ≤，所以221a b ≤，所以2242422a b -≥--，即442a b +≥，当且仅当a b =时等号成立.。

2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析

2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析

2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。

2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。

4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

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数学试题（理科）
考生须知：
1．本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷共6页，各题答案均答在答题卡上．
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设2{|4},{|4}M x x N x x =<=<，则
（ ） A ．M
N B ．N M C ．R M C N ⊆ D ．R N C M ⊆ 2．若17(,),2i a bi a b R i i +=+∈-是虚数单位，则乘积ab 的值是
（ ） A ．-15 B ．3 C ．-3 D ．5
3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则
（ ）
A ．72
B ．68
C ．54
D ．90 4．一个空间几何体的三视图及部分数据
如图所示（单位：cm ），则这个几
何
体的体积是
（ ） A ．33cm
B ．352cm
C ．23cm
D ．332
cm 5．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC
边中点，且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，
那么
（ ）
A ．AO OD =u u u r u u u r
B ．2AO OD =u u u r u u u r
C ．3AO O
D =u u u r u u u r D ．2AO OD =u u u r u u u r
6．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，
如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为
（ ） A ．16
B ．18
C ．24
D ．32
7．已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M
作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点
P ，则使得120PF PF ⋅<u u u r u u u u r 的点M 的概率为
（ ） A ．2
3 B ．63C ．6
3 D ．12
8．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1,()()f f x f x '=为的导函数，已知()y f x '=
的图象如图所示，若两个正数,a b 满足1(2)1,1b f a b a ++<+则的取值范围
是
（ ） A ．11(,)53
B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞
C ．1(,5)3
D ．(,3)-∞
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题，每小题
5分，共30分．
9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分
别为222,,,a b c b c bc a +=+且，则角A 的大小为 ．
10．阅读如图所示的程序框图，运行该程
序后输出的k 的值是 ．
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆5cos 1:5sin 2x C y θθ=-⎧⎨
=+⎩（θ为参数）和直线46:32x t l y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数），则圆C 的普通方程为 ，直线l 与圆C 的位置关系是 。

12．如图，圆O 的直径AB=8，C 为圆周上一
点，BC=4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l
的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，
则线
段AE 的长为 。

13．已知两定点(1,0),(1,0)M N -，若直线上存在点P ，使得||||4PM PN +=，
则该直线为“A 型直线”。

给出下列直线，其中是“A 型直线”的是 。

①1y x =+ ②2y = ③3y x =-+ ④23y x =-+ 14．函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为
1n a +，*135,16,n N a a a ∈=+=若则 ，数列{}n a 的通项公式
为 ．
三、解答题：本磊题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，
证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为2
7,,,4sin cos 2.22
A B a b c C +-=且 （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．
16．（本小题满分13分）
为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，
从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示。

（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补
全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数；
（Ⅱ）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20
人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望。

17．（本小题满分14分）
在棱长为2的正方体ABCD —
A 1
B 1
C 1
D 1中，
E ，
F 分别为A 1D 1和
CC 1的中点．
（Ⅰ）求证：EF//平面ACD 1；
（Ⅱ）求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值；
（Ⅲ）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P —AC —B 的大
小为30°？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分13分）
已知函数21()()ln ,().2
f x a x x a R =-+∈ （Ⅰ）当1,()a f x =时求在区间[1,]e 上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方，求a
的取值范围．
19．（本小题满分13分）
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 经过点1)2P ，离心率为，动点
(2,)(0).M t t >
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的
方程；
（Ⅲ）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直
径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个定值．
20．（本小题满分14分）
已知定义在R 上的函数()f x 和数列121{},,n a a a a a =≠，当*2n N n ∈≥且时，
111(),()()()n n n n n n a f a f a f a k a a ---=-=-且，其中,a k 均为非零常数． （Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，求k 的值；
（Ⅱ）令*11(),1n n n b a a n N b +=-∈=若，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）若数列{}n a 为等比数列，求函数()f x 的解析式．。

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