2020高考数学模拟试题及答案(理科)

数学试题（理科）

考生须知：

1．本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟．

2．本试卷共6页，各题答案均答在答题卡上．

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设2{|4},{|4}M x x N x x =<=<，则

（ ） A ．M

N B ．N M C ．R M C N ⊆ D ．R N C M ⊆ 2．若17(,),2i a bi a b R i i +=+∈-是虚数单位，则乘积ab 的值是

（ ） A ．-15 B ．3 C ．-3 D ．5

3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则

（ ）

A ．72

B ．68

C ．54

D ．90 4．一个空间几何体的三视图及部分数据

如图所示（单位：cm ），则这个几

何

体的体积是

（ ） A ．33cm

B ．352cm

C ．23cm

D ．332

cm 5．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC

边中点，且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，

那么

（ ）

A ．AO OD =u u u r u u u r

B ．2AO OD =u u u r u u u r

C ．3AO O

D =u u u r u u u r D ．2AO OD =u u u r u u u r

6．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，

如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为

（ ） A ．16

B ．18

C ．24

D ．32

7．已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M

作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点

P ，则使得120PF PF ⋅

（ ） A ．2

3 B ．63C ．6

3 D ．12

8．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1,()()f f x f x '=为的导函数，已知()y f x '=

的图象如图所示，若两个正数,a b 满足1(2)1,1b f a b a ++<+则的取值范围

是

（ ） A ．11(,)53

B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞

C ．1(,5)3

D ．(,3)-∞

第Ⅱ卷 非选择题

二、填空题：本大题共6个小题，每小题

5分，共30分．

9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分

别为222,,,a b c b c bc a +=+且，则角A 的大小为 ．

10．阅读如图所示的程序框图，运行该程

序后输出的k 的值是 ．

11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆5cos 1:5sin 2x C y θθ=-⎧⎨

=+⎩（θ为参数）和直线46:32x t l y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数），则圆C 的普通方程为 ，直线l 与圆C 的位置关系是 。

12．如图，圆O 的直径AB=8，C 为圆周上一

点，BC=4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l

的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，

则线

段AE 的长为 。

13．已知两定点(1,0),(1,0)M N -，若直线上存在点P ，使得||||4PM PN +=，

则该直线为“A 型直线”。给出下列直线，其中是“A 型直线”的是 。

①1y x =+ ②2y = ③3y x =-+ ④23y x =-+ 14．函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为

1n a +，*135,16,n N a a a ∈=+=若则 ，数列{}n a 的通项公式

为 ．

三、解答题：本磊题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，

证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为2

7,,,4sin cos 2.22

A B a b c C +-=且 （Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．

16．（本小题满分13分）

为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，

从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示。

（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补

全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数；

（Ⅱ）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20

人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望。

17．（本小题满分14分）

在棱长为2的正方体ABCD —

A 1

B 1

C 1

D 1中，

E ，

F 分别为A 1D 1和

CC 1的中点．

（Ⅰ）求证：EF//平面ACD 1；

（Ⅱ）求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值；

（Ⅲ）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P —AC —B 的大

小为30°？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．

18．（本小题满分13分）

已知函数21()()ln ,().2

f x a x x a R =-+∈ （Ⅰ）当1,()a f x =时求在区间[1,]e 上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方，求a

的取值范围．