最新【强烈推荐】高二数学-导数定积分测试题含答案
高二数学导数试题答案及解析
高二数学导数试题答案及解析1.若曲线的一条切线l与直线垂直，则切线l的方程为 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以，由导数的几何意义可知切线的斜率为。
直线的斜率为。
由题意可得，解得，切点为，切线的斜率为4，所以切线的方程为，即。
故A正确。
【考点】1导数的几何意义；2两直线垂直时斜率的关系；3直线方程。
2.曲线在点（1,1）处的切线方程为 .【答案】【解析】∵y=lnx+x，∴，∴切线的斜率k=2，所求切线程为.【考点】导数的几何意义.3.已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则的大小关系为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，是定义在上的非负可导函数，且满足，即，所以，在是增函数，所以，若，则的大小关系为。
选A。
【考点】导数的运算法则，应用导数研究函数的单调性。
点评：中档题，在给定区间，如果函数的导数非负，则函数为增函数，如果函数的导数非正，则函数为减函数。
比较大小问题，常常应用函数的单调性。
4.已知函数的导函数为,1，1），且，如果，则实数的取值范围为（）A．（）B．C．D．【答案】B【解析】由于,1，1），故函数在区间上为增函数，且为奇函数，由得：，则，解得。
故选Ｂ。
【考点】函数的性质点评：求不等式的解集，常结合到函数的单调性，像本题解不等式就要结合到函数的单调性。
5.已知函数在上是单调函数,则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，函数在上是单调函数,所以，=0无不等实数解，即，解得，，故选B。
【考点】利用导数研究函数的单调性。
点评：简单题，在某区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。
6.已知曲线方程,若对任意实数,直线,都不是曲线的切线,则实数的取值范围是【答案】【解析】把已知直线变形后找出直线的斜率，要使已知直线不为曲线的切线，即曲线斜率不为已知直线的斜率，求出f（x）的导函数，由完全平方式大于等于0即可推出a的取值范围解：把直线方程化为y=-x-m，所以直线的斜率为-1，且m∈R，所以已知直线是所有斜率为-1的直线，即曲线的斜率不为-1，由得：f′（x）=x2-2ax，对于x∈R，有x2-2ax≥，根据题意得：-1<a＜1．故答案为【考点】求曲线上过某点曲线方程点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点曲线方程的斜率，是一道基础题．7.曲线在点（1，2）处的切线方程是____________---------【答案】【解析】，直线斜率为1，直线方程为【考点】导数的几何意义点评：几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线的斜率8.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）对任意，在区间上是增函数，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）解：当时，， 2分，又 4分所以曲线在点处的切线方程为即 6分（Ⅱ）= 8分记，则，在区间是增函数，在区间是减函数，故最小值为 -10分因为对任意，在区间上是增函数．所以在上是增函数， 12分当即时，显然成立当综上 15分【考点】导数的几何意义与函数单调性点评：第一问利用导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，可求得切线斜率，进而得到切线方程；第二问也可用参变量分离法分离，通过求函数最值求的取值范围9.已知函数，则（）A．0B．1C．-1D．2【答案】C【解析】根据题意，由于,则可知-1+0=-1，故答案为C.【考点】导数的运算点评：主要是考查了导数的运算法则的的运用，属于基础题。
高二数学导数试题答案及解析
高二数学导数试题答案及解析1.函数在区间上最大值与最小值的和为【答案】【解析】根据题意，由于，故可知当0<x<1，递增，在1<x<2时函数递减，故可知函数在区间上最大值与最小值分别是，-2，故可知和为，故答案为。
【考点】函数的最值点评：主要是考查了导数在研究函数最值中的运用，属于基础题。
2.已知，则＝【答案】【解析】因为，，所以，，＝2e.【考点】导数的计算点评：简单题，利用导数的运算法则，求导数，求导函数值。
3.已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则的大小关系为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，是定义在上的非负可导函数，且满足，即，所以，在是增函数，所以，若，则的大小关系为。
选A。
【考点】导数的运算法则，应用导数研究函数的单调性。
点评：中档题，在给定区间，如果函数的导数非负，则函数为增函数，如果函数的导数非正，则函数为减函数。
比较大小问题，常常应用函数的单调性。
4.设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为【答案】-1【解析】由于函数是偶函数，所以曲线在点处的切线的斜率与该曲线在点处的切线的斜率互为相反数，故该曲线在点处的切线的斜率为-1【考点】导数的几何意义点评：本题结合偶函数的对称性及导数的几何意义的求解。
5.函数的单调减区间为_____ _【答案】【解析】因为，，所以，，由可得，函数的单调减区间为。
【考点】应用导数研究函数的单调性。
点评：简单题，在某区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。
6.周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为【答案】【解析】设矩形的一边长为xcm，则另一长为(10-x)cm 则圆柱体积(0<x<10)则(0<x<10) 6分令得或（舍）易知为函数唯一极大值点。
所以 2分【考点】函数模型，圆柱体体积公式，利用导数研究函数的最值。
高二数学导数试题答案及解析
高二数学导数试题答案及解析1.若曲线的一条切线l与直线垂直，则切线l的方程为 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以，由导数的几何意义可知切线的斜率为。
直线的斜率为。
由题意可得，解得，切点为，切线的斜率为4，所以切线的方程为，即。
故A正确。
【考点】1导数的几何意义；2两直线垂直时斜率的关系；3直线方程。
2.已知函数在处有极大值，则=（）A．6B．C．2或6D．-2或6【答案】A【解析】根据题意，由于函数在处有极大值，则可知f’(2)=0,12-8c+=0，c=4.则可知=6，当c=2不符合题意，故答案为A.【考点】函数的极值点评：主要是考查了函数极值的运用，属于基础题。
3.函数在区间上最大值与最小值的和为【答案】【解析】根据题意，由于，故可知当0<x<1，递增，在1<x<2时函数递减，故可知函数在区间上最大值与最小值分别是，-2，故可知和为，故答案为。
【考点】函数的最值点评：主要是考查了导数在研究函数最值中的运用，属于基础题。
4.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是（）A．（-∞，2）B．（0,3）C．（1,4）D．（2，+∞）【答案】D【解析】，由得：，故函数的单调递增区间为（2，+∞）。
故选Ｄ。
【考点】函数的单调性点评：求函数的单调区间，常结合导数来求，过程要用到的结论是：若，则函数的增区间为；若，则函数的减区间为5.下列命题：①若存在导函数，则；②若函数，则；③若函数，则；④若三次函数，则“”是“f(x)有极值点”的充要条件;⑤函数的单调递增区间是．其中真命题为____．(填序号)【答案】③⑤【解析】①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=2[f（2x）]′，故不正确；②若函数h（x）=cos4x-sin4x，则h′（）=-2sin=-1，故不正确；③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2012）（x-2013），则g'（x）中含（x-2013）的将2013代入都为0，则g′（2013）=2012!故正确；④若三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，则f'（x）=0有两个不等的根即b2-3ac＞0，故不正确；⑤∵，∴，令得，解得x∈，故正确.综上，真命题为③⑤【考点】本题考查了导数的运用及三角函数的单调性点评：此类问题主要考查复合函数的导数，以及函数的极值、求值等有关知识，属于综合题6.若,则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，=，选A。
导数、定积分及应用测试-答案
《导数、定积分及应用测试》参考答案：1、（ B ） 2．（ B ） 3．（A ） 4.（ C ） 5.（ B ） 6、（ B ） 7、（ D ） 8、（C ） 9、（ B ） 10、（D ）11、解：11231001()()3f x dx ax c dx ax cx=+=+⎰⎰203ac ax c =+=+03x =∴12、a>2或a<-1； 13、-1/2 ； 14、10；15、设kx F =，则由题可得010.=k ，所以做功就是求定积分1800106..=⎰xdx 。
16题、解方程组⎩⎨⎧-==2xx y kxy 得：直线kx y =分抛物线2x x y -=的交点的横坐标为0=x 和k x -=1抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积为61|)3121()(1032102=-=-=⎰x x dx x x S 由题设得 dx kx dx x x Sk k ⎰⎰----=10102)(26)1()(3102k dx kx x x k-=--=⎰- 又61=S ，所以21)1(3=-k ，从而得：2413-=k 17题、（1）323)('2-+=bx ax x f ，依题意， 0)1(')1('=-=f f ，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a解得 0,1==b a ∴x x x f 3)('3-=，∴)1)(1(333)('2-+=-=x x x x f 令0)('=x f ，得 1,1=-=x x 若),1()1,(+∞--∞∈ x ，则0)('>x f 故)(x f 在),1()1,(+∞--∞和上是增函数； 若)11(，-∈x ，则0)('<x f 故)(x f 在)1,1(-上是减函数；所以2)1(=-f 是极大值，2)1(-=f 是极小值。
（2）曲线方程为x x y 33-=，点)16,0(A 不在曲线上。
高二数学积分试题答案及解析
高二数学积分试题答案及解析1.计算的结果为（）.A．1B．C．D．【答案】C【解析】先利用定积分的几何意义求：令，即表示单位圆的（如图），即是圆面积，即；所以=.【考点】定积分的几何意义.2.若,其中,则( ).A．B．C．D．【答案】B【解析】，，即，解得；又因为，所以，即.【考点】微积分基本定理、二倍角公式.3.等于（）A．πB．2C．π﹣2D．π+2【答案】D【解析】，故选Ｄ．【考点】定积分．4.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）A．1B．C．D．【答案】A【解析】由定积分的几何意义得面积为。
【考点】定积分的应用5.．【答案】【解析】【考点】微积分基本定理的应用.6.若在上可导，，则____________．【答案】【解析】因为，令可得所以所以．【考点】1．导数的计算；2．定积分．7.求曲线，所围成图形的面积.【答案】【解析】由解得:;画出图象可知所求面积应为:【考点】定积分求面积.8.等于（）A．B．2C．D．【答案】A【解析】【考点】定积分的基本概念及运算9.由曲线与直线所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的面积是____________．【答案】【解析】显然，根据对称性，只需算左边阴影部分的面积即可，曲线y=sinx，y=cosx的交点坐标为(),∴左边阴影部分的面积=，∴阴影部分面积S=2()=．【考点】定积分求曲边图形的面积．10.曲线与坐标轴所围成图形面积是()A．4B．2C．D．3【答案】D【解析】===3【考点】定积分的计算.11.．【答案】【解析】。
【考点】微积分的计算。
12.函数与轴，直线围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，知该封闭图形的面积为，故选B．【考点】定积分的运算及应用．13.曲线，与坐标轴围成的面积（）A．４B．３C．２D．0【答案】A【解析】根据正弦函数的图像及定积分的几何意义，可知所求面积，故选A.【考点】定积分在几何中的应用.14.定积分等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，故选A.【考点】定积分的运算.15.定积分 .【答案】【解析】因为，其中，表示以原点为圆心，1为半径的圆的面积，所以，所以.【考点】1.定积分的运算；2.定积分的几何意义.16.下列值等于1的定积分是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】；；【考点】定积分的计算。
高二数学导数计算试题答案及解析
高二数学导数计算试题答案及解析1.已知函数，则它的导函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，【考点】复合函数的导数.2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）=2xf′（2）+x3，则f′（2）等于（）. A．﹣8B．﹣12C．8D．12【答案】B.【解析】，；令，则，得.【考点】导数的计算.3.已知函数（1）若在上是增函数，求的取值范围；（2）若在处取得极值，且时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）(－∞，－1)∪(2，＋∞)．【解析】解题思路：（1）利用“若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立”求解；（2）先根据在处取得极值求得值，再将恒成立问题转化为求，解关于的不等式即可.规律总结：若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立；“若函数在某区间上单调递减，则在该区间恒成立；求函数最值的步骤：①求导函数；②求极值；③比较极值与端点值，得出最值.试题解析:（1）因在上是增函数，则f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)恒成立．＝，∴b≥.设g(x)＝x－3x2，当x＝时，g(x)max（2）由题意，知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可因f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－.∵f(1)＝－＋c，f(－)＝＋c，f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c，∴f(x)＝f(2)＝2＋c，max∴2＋c＜c 2，解得c＞2，或c＜－1，所以c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).【考点】1.函数的单调性；2.函数的极值、最值；3.不等式恒成立问题.4.记，，…，．若，则的值为 .【答案】【解析】由f（x）=xcosx，得f（1）（x）=cosx﹣xsinx，f（2）（x）=﹣sinx﹣sinx﹣xcosx=﹣2sinx﹣xcosx，f（3）（x）=﹣2cosx﹣cosx+xsinx=﹣3cosx+xsinx，f（4）（x）=3sinx+sinx+xcosx=4sinx+xcosx，f（5）（x）=4cosx+cosx﹣xsinx=5cosx﹣xsinx，…，则f（0）+f（1）（0）+f（2）+…+f（2013）（0）=0+1+0﹣3+0+5+0﹣…+2013=（1﹣3）+（5﹣7）+…+（2009﹣2011）+2013=﹣2×503+2013=1007，故答案为：1007．【考点】导数的运算．5.为实数，(1)求导数；(2)若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值.【答案】⑴ (2) 最大值为最小值为【解析】⑴将括号打开函数变成多项式函数来求导数;也可利用积的导数法则来求解;(2)由结合(1)的结果可求出a值，从而获得的具体解析式，进而获得导数，令其等于零，求得其可能极值，并求出端点的函数值，比较其大小就可求出在[－2，2] 上的最大值和最小值.试题解析：⑴由原式得∴⑵由得,此时有.由得或x="-1" ,又所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为【考点】1.函数求导;2.函数的最值.6.已知函数在上不单调，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】此题考查导数的应用；，所以当时，原函数递增，当原函数递减；因为在上不单调，所以在上即有减又有增，所以或，或，故选A.【考点】函数的单调性与导数.7.设，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以当时，解得，所以。
(完整word版)高二数学导数大题练习详细答案
(完整word 版)高二数学导数大题练习详细答案一、解答题1．已知()()e 1x f x mx m =+<-.(1)当2m =-时，求曲线()y f x =上的斜率为1-的切线方程；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-恒成立，求实数m 的范围.2．已知函数()21si cos n 2f x x x a x x =-++．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围． 3．己知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+，若()0g x ≤在其定义域内恒成立，求实数a 的最小值；(3)若关于x 的方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明121x x >.4．已知函数()()24e 1xf x x =-+．(1)求()f x 的极值．(2)设()()()f m f n m n =≠，证明：7m n +<．5．求函数()31443f x x x =-+在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.6．已知函数()1e x axf x a=-+，0a ≠. (1)当1a =时，①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围. 7．已知函数()1ln xf x x+=. (1)求()f x 在1x =处的切线方程； (2)当e x ≥时，不等式()ekf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； 8．已知函数()e 2x f x ax =-，()22sin 1g x a x x =-+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)试判断函数()f x 的单调性与极值点个数；(2)若关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，求实数a 的最小值. 9．已知函数()()e x f x x m =+⋅.(1)若()f x 在(],1-∞上是减函数，求实数m 的取值范围；(2)当0m =时，若对任意的0x ≥，不等式()2e x ax f x ⋅≤恒成立，求实数a 的取值范围.10．已知函数()()e 11xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当20e <≤a ，且2x >时，()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣]恒成立，求b 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)10x y +-=；(2)ln 3⎡-⎣.【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可利用斜率求得切点坐标，由此可得切线方程；（2）令()()2213222m g x f x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，将问题转化为当0x ≥时，()min 0g x ≥恒成立；①当10m +≥时，由导数可证得()g x 单调递增，由()00g ≥可求得m 范围； ②当10+<m 时，利用零点存在定理可说明存在()00g x '=，并得到()g x 单调性，知()()020min 13e e 022x xg x g x ==-++≥，由此可解得0x 的范围，根据00e x x m -=可求得m 范围. (1)当2m =-时，()e 2x f x x =-，()e 2xf x '=-；令()e 21xf x '=-=-，解得：0x =，∴切点坐标为()0,1，∴所求切线方程为：1y x =-+，即10x y +-=；(2)令()()22221313e 222222x m m g x f x x mx x ⎛⎫=-+-=+--+ ⎪⎝⎭，则原问题转化为：当0x ≥时，()0g x ≥恒成立，即()min 0g x ≥恒成立；()e x g x m x '=+-，()e 1x g x ''=-，则当0x ≥时，()0g x ''≥，()g x '∴在[)0,∞+上单调递增，()()01g x g m ''∴≥=+； ①当10m +≥，即1m ≥-时，()0g x '≥，()g x ∴在[)0,∞+上单调递增，()()2min301022m g x g ∴==-+≥，解得：m ≤≤m ⎡∴∈-⎣； ②当10+<m ，即1m <-时，()00g '<，当x →+∞时，()g x '→+∞；()00,x ∴∃∈+∞，使得()00g x '=，即00e x x m -=，则当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()()()00022022000000min e1313e e e 222222x x x x xm g x g x mx x x x x -∴==+--+=+---+00213e e 022x x =-++≥， 解得：01e 3x -≤≤，即0ln 3x ≤，又()00,x ∈+∞，(]00,ln3x ∴∈，令()e xh x x =-，则()1e xh x '=-，∴当(]0,ln3x ∈时，()0h x '<，()h x ∴在(]0,ln3上单调递减，()[)000e ln33,1x h x x ∴=-∈--，即[)ln33,1m ∈--；综上所述：实数m 的取值范围为ln 3⎡-⎣.【点睛】思路点睛：本题重点考查了导数中的恒成立问题的求解，解题基本思路是通过构造函数的方式，将问题转化为()min 0g x ≥，从而利用对含参函数单调性的讨论来确定最小值点，根据最小值得到不等式求得参数范围. 2．(1)10y +=； (2)[)1,+∞. 【解析】 【分析】（1）将1a =-代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件可以将问题转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解. (1)当1a =-时，()2cos 1sin 2f x x x x x =--+()2cos 10000sin 012f =⨯--+=-，所以切点为0,1，()1sin cos x f x x x '=-++，∴(0)01sin 0cos00f '=-++=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为(0)0k f '==， 所以曲线()y f x =在点0,1处的切线的斜率切线方程为()()100y x --=⨯-，即10y +=.(2)由()21si cos n 2f x x x a x x =-++，得()s 1co i s n f x x a x x '=--+因为函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 设()()1c s os in g x f x x a x x '==--+，则()cos 1sin g x a x x '=--. 因为si (n 0)001cos00g a =--+=， 所以使()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 则至少满足()00g '≤，即10a -≤，解得1a ≥. 下证明当1a ≥时，()0f x '≤恒成立， 因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0x ≥， 因为1a ≥，所以()sin 1cos f x x x x '≤--+.记s ()cos n 1i h x x x x =--+，则π()1sin 14cos h x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎝-⎪⎭.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>. 所以函数()h x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增.因为ππ(),h h ⎛⎫==-⎪⎝⎭33001044， 所以()h x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)0h =.即()()1sin cos 0f x h x x x x '≤=--+≤在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.所以a 的取值范围为[)1,+∞. 3．(1)22y x =- (2)1-(3)(),1-∞-；证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，()2ln f x x =，分别求出()1f 和()1f '求解即可；（2）条件等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+求解最大值即可； （3）令()()ln 0xm x x a x x=-->，求出()m x 的单调性，得到()()11max m x m a ==--， 根据题意求解a 的范围即可；不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，题设即证明()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立，构造()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭， 求解单调性得到()()10x ϕϕ>=即可求解. (1)当0a =时，()2ln f x x =，所以()2l 01n1=f =，()2f x x'=，所以()12f '=， 所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()021y x -=-，即22y x =- (2)由题意得，()ln 21g x x ax x =--+，因为()0g x ≤在其定义域内恒成立， 所以ln 210x ax x --+≤在()0,∞+恒成立，即ln 12x a x++≥在()0,∞+恒成立， 等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+，所以()2ln x h x x -'=， 令()0h x '>解得01x <<，令()0h x '<解得1x >，所以函数()h x 在()0,1单调递增， 在()1,+∞单调递减，所以()()1=1h x h ≤，所以21a +≥，即1a ≥-，故a 的最小值为1-.(3)先证明必要性：由()2ln f x x x =+得2ln x ax x -=，即ln 0xx a x--=， 令()()ln 0x m x x a x x =-->，则()221ln x x m x x --'=， 设()21ln t x x x =--，则()12t x x x'=--，因为0x >，所以()0t x '<恒成立，函数()t x 在()0,∞+单调递减，而()10t =，故在()0,1上()0t x >，()0m x '>，()m x 单调递增，在()1,+∞上()0t x <，()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()11max m x m a ==--.故方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根只需：10a -->，所以实数a 的取值范围是(),1-∞-； 再证明充分性：当(),1a ∞∈--时，方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，条件等价于2ln x ax x -=，即ln x x a x -=，即y a =与ln x y x x=-， 当1a <-，0x >时有两个不同的交点，所以221ln x xy x --'=，由上面必要性的证明可知函数在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减， 所以ln x y x x =-在0x >时的最大值为：ln11=11y =--，最小值趋近于负无穷， 所以当(),1a ∞∈--时，程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，即充分性成立.下证：121x x >，不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<， 所以()121122111x x x m x m x x ⎛⎫>⇔>⇔> ⎪⎝⎭，因为()()120m x m x ==， 所以()()22122222221ln ln 1111x x m x m m x m x a a x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ 2222222222221lnln ln 11ln 1x x x x x x x x x x x x =--+=-++2222211ln x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，令()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭，则()211ln 0x x xϕ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以当1x >时，()()10x ϕϕ>=，即2222211ln 0x x x x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，所以()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以121x x >. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义， 往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．4．(1)极小值为71e 12-+，()f x 无极大值； (2)证明见解析﹒ 【解析】 【分析】(1)根据f (x )的导数判断f (x )的单调性，根据单调性即可求其极值； (2)由函数单调性指数函数性质可得x ＜72时，f (x )＜1，设m ＜n ，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，由()()1f m f n =<可求742n <<﹒当m ≤3时，易证7m n +<；当732m <<时，构造函数()()()7p m f m f m =--，根据p (m )单调性即可证明7m n +<﹒ (1)()()227e x f x x =-'，由()0f x '=，得72x =．当7,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当7,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．∴()f x 的单调递减区间为7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故()f x 的极小值为771e 122f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 无极大值．(2)由(1)可知，()f x 的极值点为72，f (x )在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∵当x →－∞时，2e 0x →，∴f (x )→1， 故当x ＜72时，f (x )＜1.设m n <，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，则()()1f m f n =<，则()274e 1142n n n -+<⇒<<． ①当3m ≤时，7m n +<，显然成立．②当732m <<时，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()()()()214274e 3e m m f m f m m m ---=---．设()()()7p m f m f m =--，则()()()214227e em mp m m -=--'． 设()2142e e x xh x -=-，73,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为增函数，则()702h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭．∵732m <<，∴270m -<，()0p m '>，则()p m 在73,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，∴()()()()77()()77022p m p f m f m f n f m p ⎛⎫<⇒--=--<= ⎪⎝⎭，∴()()7f n f m <-．又∵7,42n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且()f x 在7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴7n m <-，即7m n +<． 综上，7m n +<．5．最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性与最值情况. 【详解】由()31443f x x x =-+，得()24f x x '=-令()0f x '=.得2x =±1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2x =-舍去， 列表如下：()f x ∴的极小值为()23f =-又1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()31f =，所以，()f x 的最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫=⎪⎝⎭. 6．(1)①112y x =-；②证明见解析 (2){}()210,e -⋃【解析】 【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；②令()e 1e x xg x x =+-，利用导数判断出()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，利用列表法证明出()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点；（2）令()e xh x a ax =+-.对a 分类讨论：①0a <，得到当1a =-时，()f x 无零点；②0a >，()f x 无零点，符合题意. (1)若1a =，则()1e 1x xf x =-+，()2e 1e (e 1)x x x x f x +-=+'.①在0x =处，()()21110211f '+==+，(0)1f =-. 所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为112y x =-.②令()e 1e x xg x x =+-，()e x g x x '=-，在区间(0,)+∞上，()0g x '<，则()g x 在区间(0,)+∞上是减函数.又(1)10,g =>()22e 10,g =-+<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x . 列表得：()f x 0x (2)()e e x x ax af x a--=+，令()e x h x a ax =+-，则()e xh x a '=-.①若0a <，则()0h x '>，()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1 e > 0h =，所以()h x 恰有一个零点0x . 令0e 0x a +=，得0ln()x a =-.代入0()0h x =，得()ln 0a a a a -+--=， 解得1a =-.所以当1a =-时，()h x 的唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意. ②若0a >，此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数； 当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-. 又()010h a =+>，由题意，当2ln 0a a a ->，即20e a <<时，()f x 无零点，符合题意. 综上，a 的取值范围是{}()210,e -⋃.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 7．(1)1y = (2)(],4∞- 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解即可； （2）分离变量可得()()()e 1ln x x k g x x++≤=，利用导数可求得()()e 4g x g ≥=，由此可得k 的取值范围. (1)()2211ln ln x xf x x x--'==-，()10f '∴=，又()11f =， ()f x ∴在1x =处的切线方程为1y =；当e x ≥时，由()e k f x x ≥+得：()()()()e 1ln e x x k x f x x ++≤+=， 令()()()e 1ln x x g x x ++=，则()2eln x x g x x -'=， 令()eln h x x x =-，则()ee 1x h x x x-'=-=， ∴当e x ≥时，()0h x '≥，()h x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()e e elne 0h x h ∴≥=-=， ()0g x '∴≥，()g x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()()2e 1ln e e 4eg x g +∴≥==， 4k ∴≤，即实数k 的取值范围为(],4∞-. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数解决函数中的恒成立问题；解决恒成立问题的基本思路是采用分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间关系，即由()a f x ≥得()max a f x ≥；由()a f x ≤得()min a f x ≤.8．(1)答案见解析(2)e π--【解析】【分析】（1）求出()f x '，分类讨论，分0a ≤和0a >讨论()f x 的单调性与极值； （2）利用分离参数法得到sin 1e x x a -=，令()()sin 10e xx h x x π-=≤≤，利用导数判断 ()h x 的单调性与最值，根据直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，求出实数a 的最小值.(1)()e 2x f x ax =-，则()e 2x f x a '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 的极值点个数为0；②当0a >时，令()20e x f x a '=-=，得()ln 2x a =，当()ln 2x a >时，()0f x '>，则()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，当()ln 2x a <时，()0f x '<，则()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减，此时函数()f x 的极值点个数为1.综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，极值点个数为0；当0a >时，()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，在()(),ln 2a -∞上单调递减，极值点个数为1.由()()0af x g x +=，得sin 1x x a e -=. 令()()sin 10xx h x x e π-=≤≤， 因为关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，所以直线y a =与函数()sin 1xx h x e -=的图像在[]0,π上有两个交点. ()1cos sin 14x xx x x h x e e π⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'==， 令()0h x '=，则sin 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭[]0,x π∈，所以2x π=或x π=， 所以当02x π<<时，()0h x '>；当2x ππ<<时，()0h x '<， 所以()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 02h x h π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又()01h =-，()e h ππ-=-， e 1π-->- 所以当)e ,0x a -⎡∈-⎣时，直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，所以实数a 的最小值为e π--.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)利用导数研究零点问题，考查数形结合思想的应用．9．(1)(],2-∞- (2)2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出导函数，得到11m --≥，即可求出m 的取值范围；（2）把题意转化为2x ax e ≤，分类讨论：当0x =时，求出R a ∈；当0x >时，转化为2xe a x≤，令2()x e g x x =，利用导数求出min ()g x ，即可求出实数a 的取值范围. (1)因为()()e x f x x m =+⋅，所以()(1)e x f x x m '=++⋅，令()0f x '≤，得1x m ≤--，则()f x 的单调递减区间为(,1]m -∞--， 因为()f x 在(,1]-∞上是减函数，所以11m --≥，即2m ≤-， 故m 的取值范围是(],2-∞-；(2)由题知：()e x f x x =⋅，则22e 0,e x x x ax ∀≥⋅≤，即2e x ax ≤，当0x =时，01≤恒成立，则a R ∈，当0x >时，2e x a x≤，令2(e )x g x x =，则2432e e e (2)()x x x x x x g x x x ⋅-⋅⋅-'==， 则当02x <<时，()0g x '<，()g x 递减；当2x >时，()0g x '>，()g x 递增， 故2min e ()(2)4g x g ==，则2e 4a ≤， 综上所述，实数a 的取值范围是2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 10．(1)25y x =+(2)[1,)-+∞【解析】【分析】（1）求出()'f x ，然后算出(0),(0)f f '即可；（2）由条件可得e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立，构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则原不等式等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立，然后可证明2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，然后得()h x 在()1,+∞上单调递增，然后即可求解. (1) 当114a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=-又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为25y x =+.(2)()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣恒成立，即e 1ln(1)ln x bx x b x b a a +-+>-+恒成立. 等价于e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立. 构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则e e ln 1ln(1)x x b x b x a a+>-+-在(2,)x ∈+∞上恒成立等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立. 因为20e <≤a ，所以2e e ,xx a -≥ 令函数2()e 1(2)x H x x x -=-+>，则2()e 1x H x -'=-，显然()H x '是增函数， 则()(2)0,()H x H H x ''>=在()2,+∞上单调递增，所以()()20H x H >=， 故2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，从而可得()h x 在()1,+∞上单调递增， 所以当()1,x ∈+∞时，()10b h x x '=+≥恒成立.所以b x ≥-，所以1b ≥-，即b 的取值范围是[-1，+∞）【点睛】关键点睛：解答本题第二问的关键是将原不等式变形，构造出函数()ln (1)h x x b x x =+>，属于函数的同构类型，解答的关键是观察不等式的特点，变成同一函数在两个变量处的取值.。
高二数学积分试题答案及解析
高二数学积分试题答案及解析1.等于（）A．1B．C．D．+ 1【答案】B【解析】．【考点】微积分基本定理的应用．2.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）.A．2B．4C．2D．4【答案】D.【解析】作出直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形（如图）；则.【考点】定积分的几何意义.3.由曲线所围成的图形面积是 .【答案】.【解析】作出图像如图所示（阴影部分），则.【考点】定积分的几何意义.4.等于（）A．πB．2C．π﹣2D．π+2【答案】D【解析】，故选Ｄ．【考点】定积分．5.如图，阴影部分的面积是( )A．2B．2－C．D．【答案】D【解析】由图易知，阴影部分面积为.故选D.【考点】定积分的应用.6.已知，则二项式展开式中含项的系数是___________.【答案】【解析】，即，二项式展开式的通项公式（），令，则，，所以展开式中含项的系数是.【考点】定积分和二项式定理的应用.7.计算定积分：=_______.【答案】．【解析】，故应填入：．【考点】定积分．8.下列各命题中，不正确的是（）A．若是连续的奇函数，则B．若是连续的偶函数，则C．若在上连续且恒正，则D．若在上连续，且，则在上恒正【答案】D【解析】奇函数关于原点成中心对称，其在区间的图像与直线，轴围城的面积（考虑正负）之和为零；偶函数关于轴对称在轴两侧的面积应该相等，B正确；C显然正确；当在区间内负的面积少于正的面积时，，但在上可以为负.【考点】定积分.9.由曲线与直线所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的面积是____________．【答案】【解析】显然，根据对称性，只需算左边阴影部分的面积即可，曲线y=sinx，y=cosx的交点坐标为(),∴左边阴影部分的面积=，∴阴影部分面积S=2()=．【考点】定积分求曲边图形的面积．10.曲线与坐标轴围成的面积是（）。
A．4B．C．3D．2【答案】3【解析】根据图形的对称性，可得曲线与坐标轴围成的面积【考点】定积分在求面积中的应用11.定积分等于()A．－6B．6C．－3D．3【答案】A【解析】.【考点】定积分的计算.12.下列值等于1的定积分是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】；；【考点】定积分的计算。
高二数学导数与积分练习一
导数与定积分练习一一、选择题1、在曲线12+=x y 的图象上取一点（1,2）及附近一点()yx ∆+∆+2,1，则xy ∆∆为（ ） A.21+∆+∆x x B.21-∆-∆x x C.2+∆x D.xx ∆-∆+122、设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（ ） A. 2 B .－2 C. 3 D.－33、dx x ⎰--1121等于（ ）A.4πB.2πC.πD. 2π4、关于函数的极值，下列说法正确的是（ ）A.导数为0的点一定是函数的极值点；B.函数的极小值一定小于它的极大值；C.)(x f 在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值；D.若)(x f 在),(b a 内有极值，那么)(x f 在),(b a 内不是单调函数. 5、由曲线2x y =与直线x y 2=所围成的平面图形的面积为（ ） A.316 B.38 C.34 D.326、函数x x y 2cos 2=的导数为（ ）A.x x x x y 2sin 2cos 22-='B.x x x x y 2sin 22cos 22-='C.x x x x y 2sin 22cos 2-='D.x x x x y 2sin 22cos 22+=' 7、设曲线2ax y =在点),1(a 处的切线与直线平行062=--y x ，则=a （ ） A.1 B.21 C.21- D.1- 8、函数)(x f 的定义域为R ，导函数)(/x f 的图像如图所示，则函数)(x f （ ） A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点9、设P 是正弦曲线x y sin =上一点，以P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（ ）A.]4,4[ππ-B.]4,0[πC.),43[ππD.]4,0[π ),43[ππ10、已知20=⎰t xdx ，则⎰-0txdx 等于（ ）A.0B.2C.-1D.-2 11、下列函数中，在),0(∞+内为增函数是（ ）A.x x f sin )(=B.x xe x f =)(C.x x x f -=3)(D.xx x f -=ln )( 12、以初速度40m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度21040t v -=，则此物体达到最高时的高度为（ ）A.m 320 B.m 340 C.m 380 D.m 3160二、填空题13、⎰-=-11)1(dx . 14、已知3112=⎰dx x ，37212=⎰dx x ，则=+⎰202)1(dx x .15、若函数kx x x f --=3)(3在R 上只有一个零点，则常数k 的取值范围是 . 16、做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径是17. 设函数2()(0)f x ax c a =+≠，若100()()f x dx f x =⎰， 001x ≤≤，则0x 的值为 ．18.（2009广州一模）若axdx =1⎰，则实数a 的值是 .19、（2009广东三校一模）()2121=+⎰dx xk,则=k ;20、（2009茂名一模）如图2，由两条曲线224,x y x y -=-=及直线1-=y 所围成的图形的面积为图2三、解答题（共32分）21、如果⎩⎨⎧<-≥-=)0(13)0(12)(x x x x x f ，求⎰⎰--+2222cos sin )(ππxdx x dx x f 的值.22.已知向量),1(),1,(2t x b x x a -=+=，若函数b a x f ⋅=)(在区间(-1,1)上是增函数，求t 的取值范围.23.已知曲线22x x y -=上有两点A （2,0），B （1,1），求： （1）割线AB 的斜率AB k ； （2）点A 处的切线的方程；24.已知函数32()fx x a x b xc=+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围.25..（1）34|2|x dx -+⎰（2）1211e dx x +-⎰（3）dx x ⎰-222cos ππ。
高二数学积分试题答案及解析
高二数学积分试题答案及解析1.（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】微积分基本定理的应用.2.若，则（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】，故选择C.【考点】定积分.3.若,,,则的大小关系是( )．A．B．C．D．【答案】D【解析】由微积分基本定理得：，，则．【考点】微积分基本定理．4.．（1）求的单调区间；（2）求函数在上的最值.【答案】（1）单调增区间是，单调递减区间是;（2）最大值是，最小值是．【解析】（1）首先利用牛顿-莱布尼兹公式求出函数的表达式，并注意题中所给的定义域为，再利用导数通过解不等式及并与定义域取交集而求得函数的单调区间；（2）求函数最值的一般步骤:①求出函数在给定区间上的极值及区间的端点所对应的函数值;②比较上述值的大小;③得结论:其中最大者即为函数的最大值,最小者即为函数的最小值.试题解析：依题意得，，定义域是．（1）,令，得或，令，得由于定义域是，函数的单调增区间是，单调递减区间是．（2）令，得，由于，，，在上的最大值是，最小值是．【考点】1.定积分的基本公式;2.函数的单调区间;3.函数的最值.5.等于（）A．B．2C．D．【答案】A【解析】【考点】定积分的基本概念及运算6.()A．B．C．D．不存在【答案】C【解析】．考点:定积分的运算．7.由曲线，直线所围图形面积S= .【答案】.【解析】联立方程组或，∴面积.【考点】定积分计算曲边图形的面积.8.（）A．B．C．D．【答案】B【解析】．【考点】定积分的计算．9.曲线与坐标轴所围成图形面积是()A．4B．2C．D．3【答案】D【解析】===3【考点】定积分的计算.10.曲线与坐标轴围成的面积是（）。
A．4B．C．3D．2【答案】3【解析】根据图形的对称性，可得曲线与坐标轴围成的面积【考点】定积分在求面积中的应用11.＝．【答案】【解析】．【考点】定积分的计算．12. .【答案】e【解析】.【考点】定积分的计算.13.在区间上给定曲线，试在此区间内确定点的值，使图中所给阴影部分的面积与之和最小．【答案】.【解析】先由定积分的几何意义分别求出，，从而，然后通过导数确定函数的极值，并求出端点值，比较极值与端点值的大小，最小的就是最小值，问题就解决了.试题解析：设当时，∴∴阴影部分的面积为，令可得或由，可知当时，有最小值.【考点】1.定积分的几何意义；2.函数的最值与导数.14.函数f(x)＝x2在区间上()．A．f(x)的值变化很小B．f(x)的值变化很大C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小【答案】D【解析】当n很大时，区间的长度越小，f(x)的值变化很小15.若，，，则、、的大小关系是()A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，故.【考点】定积分点评：本题考查实数的大小的比较，关键是能熟练掌握定积分公式，属基础题.16.=________.【答案】【解析】的几何意义是以为圆心，2为半径的圆在第一，第二象限的部分围成的面积，故=.【考点】定积分点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．17.给出下列命题：①函数的零点有2个②展开式的项数是6项③函数图象与轴围成的图形的面积是④若，且，则其中真命题的序号是（写出所有正确命题的编号）。
高二数学导数、定积分测试题
高二数学导数、定积分测试题(本大题共10个小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中, 只有一项为哪一项符合题目要求的),,,1 ,,10 .设函数 f(x)-xln x(x 0),那么 y f (x)二、填空题：(本大题共5小题,每题5分,共25分,把答案填在相应位置)、选择题: 函数 f(x)=ax 2+c,且 f (1)=2,那么 a 的值为 A. 1 B. <2C. — 1D.2. f(x)的导国数在区间［a,b ］上是增函数,那么函数 y f(x)在区间［a,b ］上的图象可能是C.D. 3. 函数f (x)在xf (1 x) f (1 x)3xA. 3B.C. D.4. 一质点做直线运动, 由始点起经过ts 后的距离为s -t 4 4 4t 3 16t 2,那么速度为零的时刻是5. 曲线6. 曲线4s 末cosx(0―x —在点2x 1C. 0s 与8s 末―)与坐标轴围成的面积是21,1处的切线方程为B. x y 2 0C. x 4yy f (x), y g(x)的导函数的图象如以下图,那么 D.0s 、4s 、5B.一D. xf (x), y8s 末 C. 3 D. 24y 5 015 … … —x 9都相切,那么a 等于( 4 -25 A . 1 或 ---64C. 7或-H 4 64 D. 9.自由下落物体的速度为 V=gt,那么物体从 t=0到t 0所走过的路程为7 - 一或74 1,22— gt . B. gt 0 2 C.-gt 02 3D.；gt °..1 .A.在区间(—,1),(1,e)内均有夺点.e1C,在区间(一,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点. e'___ 1 一一工.B.在区间(一,1),(1,e)内均无零点.,一、一 1D.在区间(-,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点. e'假设函数y1处的导数为1,那么l xmyoxb xg(x)图象可能是函数7. ：i'y-f (*)8.假设存在过点(1,0)的直线与曲线yax x 3和y11 .假设曲线f (x) ax2 lnx存在垂直于y轴的切线,那么实数a的取值范围是一.2 41.13 .设函数 f(x) axc(a 0),右 0 f (x)dx f(X 0), 0 0 X 0 < 1 ,贝U X 0 的值为.314 .设函数f(x) ax 3x 1(x R),假设对于任意的x 1,1都有f(x) 0成立,那么实数a 的值为15 .以下命题：①假设 f (x)可导且f '(x 0) 0 ,那么x 0是f (x)的极值点；4---------------- ②函数f (x) xe x,x [2, 4]的最大值为2e 2;③ J 167dx 844④一质点在直线上以速度 v t 4t 3(m/s)运动,从时刻t 0(s)到t 4(s)时质点运动的路程为 -(m) 0 其中正确的命题是 .(填上所有正确命题的序号)三、解做题：(本大题共6小题,共75分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤) 16 .(此题总分值12分)计算以下定积分：(I)假设函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 3,求a,b 的值； (II)假设函数f(x)在区间(1,1)上不单妈,求a 的取值范围.18 .(此题总分值12分)物体A 以速度v 3t 2 1在一直线上运动,在此直线上与物体 A 出发的同时,物体 B 在物体A 的正前方5m 处以v 10t 的速度与A 同向运动,问两物体何时相遇？相遇时物体 A 的走过的路程是多少？(时间单位为：s,速度单位为：m/s)2 19 .(此题总分值12分)函数 f(x) x — 1 aln x, a 0x (I)讨论f(x)的单调性；2_(n)设a 3,求f(x)在区间[1, e ]上值域.其中e =2.71828 ••是自然对数的底数.1 32 2...20 .(此题总分值12分)设函数f(x) -x x (m 1)x,(x R,)其中m 03(I)求函数的单调区间与极值；(n)函数f (x)有三个互不相同的零点 0, x 1,x 2,且x 1x 2.假设对任意的x[x 1, x 2], f (x)f(1)恒成立,求m 的取值范围.21 .(此题总分值14分)如果f(x 0)是函数f (x)的一个极值,称点(x 0, f(%))是函数f(x)的一个极值点.函数af(x) (ax b)e x ,(x 0且a 0)(1)假设函数f (x)总存在有两个极值点 A, B ,求a,b 所满足的关系；(2)假设函数f(x)有两个极值点 A,B ,且存在a R,求A,B 在不等式|x 1表示的区域内时实数 b 的范围.x 1 + 一……、•3(1)4|x 2dxe(2)2土dx,、22(3)cos xdx2217.(此题总分值12分)函数f(x)32—x (1 a)x a(a 2)x b (a, b R).(3)假设函数f(x)恰有一个极值点A,且存在a R,使A在不等式表布的区域内,证实：0 b 1.y e参考答案1. f'(x) 2ax , ••• f '(1) 2,,2a 2,解得 a 1 ,应选 A .2. 〔2021湖南卷文〕解：由于函数yf 〔x 〕的号叫数y f 〔x 〕在区间［a,b ］上是增函数,即在区间［a,b ］上各点处的斜率k 是递增的,由图易知选A. 注意C 中y k 为常数噢.3・尸. f (1 x) f (1 x) 3x 1lim 3 x 0 f(1 x) f(1) 1 |im f(1 x) f(1) 3x 023f '(1)2—,应选Bo34.瞬时速度v s' t 3 12t 2 32t, 令 v 0得t 3 12t 2 32t 0,解得 t 8,应选D .5. s2cosxdx 032 cosxdx 2sin x |o sinx|2 3 ,应选 C . 26.解: y l x 1 2x 1 2x 2(2x 1)2I x1 [ (2x 1)2]I x1 1,故切线方程为y 1 (x 1),即 x y 2 0 应选B .7.解:从导函数的图象可知两个函数在 x 0处斜率相同,可以排除 B 答案,再者导函数的函数值反映的是原函数增加 的快慢,可明显看出 y f 〔x 〕的导函数是减函数,所以原函数应该增加的越来越慢,排除A 、C,最后就只有答案 了,可以验证y=g 〔x 〕导函数是增函数,增加越来越快. ................... 一 ..... 3 - . . 3、 . ......... 8. 〔2021江西卷文〕解：设过〔1,0〕的直线与y x 相切于点〔x 0,x 0 〕,所以切线方程为3 2, 、 x 0 3x 0 (x x °) _ 2 3 3x 0 x 2x 0 ,又(1,0)在切线上,那么x 0 0或x 0 … 2 15 …0时,由y 0与y ax 一x 9相切可得 43 一 ,225 一, 64 当x Ot 09. S 3时,由y2 1 2 tcgtdt -gt I 002 27 27— 2 15 ——x ——与y ax —x 4 4 4 1 2 -gt 0 ,应选 A . 9相切可得a 1 ,所以选 A .10.解: 由题得f'(x) 1 3 2 13,令 f'(x) 0得 x x 3x3;令 f'(x) 0得 03; f'(x) 0 得 x 3,知函数 f 〔x 〕在区间〔0,3〕上为减函数,在区间〔3, 〕为增函数,在点x3处有极小值1 ln 3 0 ;, 1 , e ,1 f(1) 1,fe - 1 0, f(一) 3 3 e 3e 1 11.解析：由题意该函数的定义域由 f x 2ax 1…....................... ...... ......... 、什一.由于存在垂直于 y 轴的切线,故此时斜率为 0,问题 x转化为x 0范围内导函数f x2ax 1……一存在零点. x解法1 〔图像法〕再将之转化为 2ax 与 h x1 ,一存在交点.当a 0不符合题意,当a 0时,如图1,数 x形结合可得显然没有 交点,当a 0如图2,此时正好有一个交 点,故有a 0应填 ,0或填a|a 0.由■ ■■解法2 (别离变量法)上述也可等价于方程2ax 0在0,12.考查利用导数判断函数的单调性.解: f (x)x3x2 30x 33减区间为(1,11).亦可填写闭区间或半开半闭区间.1 13.解：. f(x)dx2 1 3(ax c)dx -ax 3 cx2ax014.解：假设x0,那么不管a取何值,f x0显然成立;max 3 ~2x在区间(0,1]时,f(x) 3 -ax 3x3 1 2x0可化为,所以g x3~2x在区间4;1,0 时,f(x) ax31,0上单调递增,因此3x15. f'(x0) 0,那么x0是f(x)的临界点,不错误；函数f (x) xxe , x1 0可化为man g 1定是点,例如[2,4], f'(x) (1f (2) 2e 2,故②正确；由定积分的几何意义知正确；令v0得t2 4t 3 0 ,解得t 0(s)至h 4(s)时质点运动的路程为:12s 0(t 4t 3)dt 321 (t 4t 3)dt(t216.解：(1)原式= 2(x 2)dx432Ge 1 .(2)原式= ln(1 x)|2 =lne内有解,显然可得a —22x3(xc .. x0,011)(x 1),由(x 11)(x 1) 0得单调1 , .......... ..................0,1上单调递增,在区间21 ।一-,1上单调递减,因此23 1 2x4x4, 综上a 4.f (x) x3有f'(0) 0,但f(x)在R上单调递增,故①x)e x,所以f (x)在区间［2,4］上单调递增,所以f(x)得最大值为,16 x2dx表示圆心在原点半径为4的圆的上半圆的面积,故③3 ,所以质点在直线上以速度v t2 4t 3(m/s)运动,从时刻4t 3)dt 4 故④错误.2)dx=ln1=1⑶原式.2 3s^dx (2x17.解析：(i)由题意得 f (x) 3x2 2(11 2(1x 2x)1 21 24+(—x2 2x)|23 _292 = 21 .—sin 42x)|a)x a(a 2)f(0) b f (0)a(a 2)0,(n)函数f(x)在区间(1,1)不单调,等价于导函数f (x)在(1,1)既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数即函数f (x)在(1,1)上存在零点,根据零点存在定理,有f ( 1)f (1) 0, 即：[3 2(1 a) a(a 2)][3 2(1 a) a(a 2)]..一2整理得：(a 5)(a 1)(a 1)18.解：设A追上B时,所用的时间为t0依题意有S A S B 5t0 2即o (3t2 1)dx % 一, ,310tdx 5, t0t. 5t025, t0(t02 1) 5(t02 1), t0 =5 (s)所以S A= 5t02 5 =130(m)19.解: (1)由于f(x) 1—得y 2t 2 x at 1(t 0)①当0,即0 a 2四时, f (x) 0恒成立. f (x)在(—8 ,0 )及(0, + oo)上都是增函数.②当0,即a 2J2时由2t2at 1 0 得t又由2t2 综上①当at 0 得a~/^ t40 a 2J2 时,f (x)在(2J2 时,f (x)在(,0)及(0,)上都是增函数.8)上是减函数,,. a , a2 8』a 、a2 8在(,0)(0, -------------------- )及( ----------- ,)上都是增函数.2 2(2)当a3时,由⑴知f (x)在1,2上是减函数,在2,e2上是增函数.又f (1) 0, f(2) 2 2 2 23ln2 0 f (e ) e 下5 0 函数f(x)在e 1,e2上的值域为2 3ln2,e22~2e20. (I ) 解：f (x) 2 _ 2 ._',、_ __ .x 2x m 1 ,令f (x) 0 ,得到x 1 m,x由于m0,所以1 当x变化时, _ , 、 _ ' ,、 ......................... .f (x), f (x)的变化情况如下表:, 1 m) (1 m,1m) (1m,)f (x)f(x) 极小值极大值f(x)在( ,1 m)和(1 m,)内减函数, 在(1 m,1m)内增函数.函数f (x)在x 1 m处取得极大值f(1 m),且f(1 m)= 2 3m32 3-m31313(n)解：由题设, - i 2 2f(x) X( X X m i)3i , X(X X i)(X X2)3所以方程lx232X m i =0由两个相异的实根4 , 2X1,X2 ,故X1X2 3 ,且i 一(m31) 0 ,解得i.m 2(舍), i一由于X i X2,所以2X2 X i2一一3X2 3,故X2- i2假设x i i… i〞X2,那么f ⑴—(i 3 X i)(i X2) 0, f(X i) 0 ,不合题意假设i X i X2,那么对任意的X[X i,X2]有X X i 0, X X20,那么f (X) -X(X X i )(X 3 X2).又f(X i) 0, 所以函数f (X)在X [X i,X2]的最小值为0, 于是对任意的X [X i, X2], f (X) f(i)恒成立的充要条件是的取值范围是工)2i .解：( f'(X)aa e X (axb)( 2 X ae X ax b 0 4b 0 又2a -—且b 04(2) x2ax i,i)有两个不相等的实根(3)由①4ba2bb4b2 af (X) ax b 0 (X 0)①当0fae X-ax—b在X a左右两边异号X(a, f (a))是y 的唯一的一个极值点由题意知2即(a b)e e2a2ai存在这样的a的满足题意 b 0符合题意②当b0时, 2a 4b 0 即4b 这里函数 f (X)唯一的一个极值点为|,f(f))由题意iH a 0即ia 二e ( b)e2 e2ie22a2a24ib e2ie24b 4ie2综上知：满足题意b的范围为b [0,i).。
高二数学导数和定积分习题(含答案)
高二数学导数习题一：选择题1. 已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42. 曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为 （ ）A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y3. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．44. 已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为 （ ）A ．)1(3)1()(2-+-=x x x fB ．)1(2)(-=x x fC ．2)1(2)(-=x x fD ．1)(-=x x f5. 函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）56. 函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )（Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)7. 若函数()c bx x x f ++=2的图象的顶点在第四象限，则函数()x f '的图象是（ ）8. 函数231()23f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是（ ） x y o A xy o D x y o C x y o BA ．323B ．163C ．12D ．9二：填空题1. ()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。
2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 。
3. 曲线3x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为__________。
4. 已知曲线31433y x =+，则过点(2,4)P “改为在点(2,4)P ”的切线方程是______________5. 已知()()n fx 是对函数()f x 连续进行n 次求导，若65()f x x x =+，对于任意x R ∈，都有()()n f x =0，则n 的最少值为 。
高二数学积分试题答案及解析
高二数学积分试题答案及解析1.如图，阴影部分的面积是( )A．2B．2－C．D．【答案】D【解析】由图易知，阴影部分面积为.故选D.【考点】定积分的应用.2.．【答案】【解析】【考点】微积分基本定理的应用.3.计算定积分：=_______.【答案】．【解析】，故应填入：．【考点】定积分．4.由曲线，直线所围图形面积S= .【答案】.【解析】联立方程组或，∴面积.【考点】定积分计算曲边图形的面积.5.一物体在力 (单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位: )处,则力做的功为( )A．44B．46C．48D．50【答案】B【解析】由题可得力做的功为．【考点】定积分的计算与应用．6.由曲线与直线所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的面积是____________．【答案】【解析】显然，根据对称性，只需算左边阴影部分的面积即可，曲线y=sinx，y=cosx的交点坐标为(),∴左边阴影部分的面积=，∴阴影部分面积S=2()=．【考点】定积分求曲边图形的面积．7.曲线与坐标轴所围成图形面积是()A．4B．2C．D．3【答案】D【解析】===3【考点】定积分的计算.8.函数与轴，直线围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，知该封闭图形的面积为，故选B．【考点】定积分的运算及应用．9.设，，，则的大小关系是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，因为，所以，故选B.【考点】定积分的计算.10.曲线与轴以及直线所围图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据余弦函数的图像及题意可知所求的面积实际为（并非是）时及轴所围图形的面积，，故选B.【考点】1.定积分在几何中的应用；2.余弦函数的图像.11.计算下列定积分．（1）（2）【答案】（1）；（2）1．【解析】（1）含绝对值的式子的积分，一般要分类分段计算，实质就是去绝对值符号，按绝对值的正负分段；（2）一次分式函数积分公式：．试题解析：（1）；（2）.【考点】（1）分段函数的积分；（2）一次分式的积分.12.设，若，则．【答案】1【解析】因为，=，所以，。
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高二数学周六（导数、定积分）测试题
（考试时间：100分钟，满分150分）
班级 姓名 学号 得分
一、选择题(共10小题，每小题5分,共50分)
1. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为 （ ） A.1
B.2
C.－1
D. 0
2. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 （ ） A ．(x-1)3+3(x-1) B ．2(x-1)2 C ．2(x-1) D ．x-1
3. 已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则
(1)(1)
3lim
x f x f x x
→--+= ( )
A ．3
B ．23-
C ． 13
D ．3
2
-
4. 函数y =(2x ＋1)3
在x =0处的导数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 6
5．函数)0,4(2cos π
在点x y =处的切线方程是 （ ）
A ．024=++πy x
B ．024=+-πy x
C ．024=--πy x
D ．024=-+πy x
6.曲线3cos (0)2y x x π
=≤≤
与坐标轴围成的面积是 （ ） A. 4 B. 5
2
C. 3
D. 2
7．一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=4
1t 4-4t 3+16t 2
,则速度为零
的时刻是 （ ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末
8．函数3
13y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C. 极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2
9. 已知自由下落物体的速度为V=gt ，则物体从t=0到t 0所走过的路程（ ）
A ．
2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．201
4
gt 10．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为 （ ） A ．0.28J B ．0.12J C ．0.26J D ．0.18J
二、填空题(共5小题，每小题5分,共25分)
11．函数
32y x x x =--的单调区间为_________________________________。
12．设函数32()2f x x ax x '=++, (1)f '=9,则a =_______________________. 13. 物体的运动方程是s=－3
1t 3
＋2t 2－5,则物体在t=3时的瞬时速度为_________.
14.有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是______m 2
.
15．
2
2
(3)10,x k dx k +==⎰
则
，
8
-=⎰
________________.
三、解答题
16．计算下列定积分。
（12分） （1）3
4
|2|x dx -+⎰
（2）1
2
11
e dx x +-⎰
17.
求()f x =的单调递增区间。
（12分）
18. 某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。
如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多? (不到100人不组团)（14分）
19.求由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积 (画出图形)。
（13分）
20．物体A 以速度231v t =+在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5m 处以10v t =的速度与A 同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A 的走过的路程是多少？（时间单位为：s ，速度单位为：m/s ）（14分）
参考答案：
一．选择题：1-5：AABDD 6-10：CDCAD
），（1，+∞）递减区间为二．11.递增区间为：（-∞，1
3
（13
-，1）
（注：递增区间不能写成：（-∞，13
）∪（1，+∞）） 12. 6 13. 3 14. 16 15. 1 ，
45
4
三． 16.解：(1) 3
4|2|x dx -+⎰=2
3
4
2
22x dx x dx ----+++⎰⎰（）（） =2241(2)|2x x ---+ +23
21
(2)|2
x x -+
=292
(2) 原式=1
2ln(1)|e x +-=ln ln1e -=1
17. 解：由函数的定义域可知， 210x -> 即11x -<<
又
22
1()[ln(1)ln(1)]2
f x x x ==+-- 所以2222
122()(
)21111x x x x
f x x x x x
-'=-=++-+- 令()0f x '>，得1x <-或01x <<
综上所述，()f x 的单调递增区间为（0，1）
18．解：设参加旅游的人数为x ，旅游团收费为y
则依题意有
()f x =1000x-5（x-100）x （100≤x ≤180）
令()1500100f x x '=-=得x=150
又(100)100000f =， (150)112500f =，(180)108000f =
所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112500元。
19.解：1
2
2201(23)(32)1S x x dx x x dx =+-+--=⎰⎰
20.设A 追上B 时,所用的时间为0t 依题意有
B 5
A S S =+
即0
200(31)105t t t dx tdx +=+⎰⎰
3200055t t t +=+
22000(1)5(1)t t t +=+
0t =5 (s)
所以 A S =2055t =130 (m)。