线性代数与概率统计——行列式(1)

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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 b1 b2 b3 a13 a23 , a33 a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
a12 a 22 a12 a 22 b1 b2
a11a22 a12a21 b1a22 a12b2 a11b2 b1a21
b1
a12
b2 a 22 D1 x1 a11 a12 D a 21
a11
a 22
b1
a 21 b2 D2 x2 a11 a12 D a 21 a 22
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二、三阶行列式
导入：求解三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , 的解。 a ？ a x a x b ; 31 x1 32 2 33 3 3
a11b2 b1a21 b1a22 a12b2 . x1 ， x2 a11a22 a12 a21 a11a22 a12a21
a11 x1 a12 x2 b1 , 由方程组的四个系数确定. a x a x b . 21 1 22 2 2
13
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注意 分母都为原方程组的系数行列式. 并且可以看到，二元线性方程组的求解问题其实就是 二阶行列式的计算问题.
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5 x1 3 x2 6 例 求方程组 x1 7 x2 8
解：
的解。
Байду номын сангаас
二元线性方程组的解为
b1 a12 b2 a22 D1 b1a22 b2 a12 x1 , a11 a12 a11a22 a21a12 D a21 a22
a11
b1
a21 b2 D2 b2 a11 b1a21 x2 . a11 a12 a11a22 a21a12 D a21 a22
• ◆ 第四章
• ◆ 第五章 • ◆ 第六章 • ◆ 第七章 • ◆ 第八章
矩阵的特征值、特征向量与二次型
随机事件与概率 随机变量 随机变量的数字特征与极限分布 数理统计基础
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第一部分
线性代数
• 包含内容：第一至四章。
D
5
3
1 7
5 ( 7) 3 1 38 0
D1
6
3
8 7
6 ( 7) 3 8 66
D2
所以，
5 6
1 8 D1 66 33 , x1 38 19 D
5 8 6 1 34
D2 34 17 x2 38 19 D
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二阶行列式的定义
定义1：由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列） 的数表如下 a11 a12
主对角线
a 21 a 22
称
副对角线
a11 a 21
a12 a 22
a11a22 a12a21 为二阶行列式
• 线性代数发展：
• 数学的一个分支，主要处理线性关系问题。 线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来 表达的。
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例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；
空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相 交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知 量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性 函数。
是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识。
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线性代数的应用：
①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要 应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；
②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设 计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算 法基础的一部分；
若记
b1 b2 b 1
D1 b2 b3 a11 D a21 a31
或
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 a12 a22 a32 a12 a22 a32 a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
即
a11
a12
a 21 a 22
a11a22 a12a21
二阶行列式的计算： 对角线上元素乘积的差
例1
2 3 1 2
2 2 1 3 1
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二阶行列式的计算
主对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
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（a11a22 a12 a21）x1 b1a22 a12 b2 ; （a11a22 a12 a21）x2 a11b2 b1a21 .
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
线性关系问题简称线性问题。解线性方程组是最简单的线性
问题。
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线性代数作为独立的分支直到20世纪才形成，然而它的历 史却非常久远。 最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数
学著作《九章算术· 方程》章中，已经作了比较完整的叙述，
a11 a12 a22 a32 a13 a23 0, a33
则三元线性方程组的解应为:
设其系数行列式 D a21 a31
？
D1 x1 , D
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D2 x2 , D
D3 x3 . D
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 a12 a22 a32 a12 a22 a32 a13 a23 , a33 a13 a23 a33
力工具。
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主要内容
• ◆ 第一章 行列式 • ◆ 第二章 矩阵 • ◆ 第三章 线性方程组与向量组
• ◆ 第四章 矩阵的特征值、特征向量与二次型
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a11 x1 a12 x 2 b1 a11b2 b1a21 b1a22 a12b2 x2 x1 a11a22 a12a21 a11a22 a12a21 a 21 x1 a 22 x 2 b2
D
D1 D2
a11 a 21 b1 b2 a11 a 21
其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施 行初等变换，消去未知量的方法。 随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行 列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提
供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。
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第一章
▼ n阶行列式的定义
▼ 行列式的性质
行列式
▼ 行列式按行（列）展开 ▼ 克莱姆法则
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第一节
n 阶行列式
一、二阶行列式的引入 二元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
线性代数与概率统计
广州大学华软软件学院
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基本内容
• ◆ 第一章 • ◆ 第二章 • ◆ 第三章 行列式 矩阵 线性方程组与向量组
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③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具 体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙 的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能 是非常有用的；
④ 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系， 还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大 多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了 的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有
1 2
2 a12 :
a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
a11
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
类似可以消去 x1 , 得， （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
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a 21
a11 x1 a12 x2 b1 , 用消元法解二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 . 1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
记
D1 b2 b3 b1
即
D1 b2 b3
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问
题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线
性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心 内容。 线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的 理论和方法已经渗透到数学的许多分支。比如，“以直代曲” 是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题 的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。同时也
a11
a12
副对角线
a21
a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记 系数行列式
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D
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12 a21 ,