第3章 恒定电场(3) 恒定电场的基本方程

一、电流连续性方程 二、恒定电场的基本方程 三、导电媒质内的体积电荷
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§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程
1、积分形式 2、微分形式 3、物理意义
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一、电流连续性方程
1、积分形式
电荷守恒定律：
在孤立系统中，总电荷量保持不变。
即：电荷既不能产生，也不能被消灭，它只能 从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一 部分转移到另一部分。
I ' dq I dt
根据 I J dS S
（3-3）
dq SJ d S d t
I ' SJ dS
7
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
：运动电荷的体密度
即：
J d
S
dV （3-19）
S
t V
上式是电荷守恒定律的数学表述，
又称电流连续性方程（的积分形式）。
电流密度矢量的通量 等于该面内电荷减少率。
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(
)
J
（3-29）
：导电媒质的介电常数，
：导电媒质的电导率。 在不均匀导电媒质中，由于、是坐标变量的函数 （只要/不是处处为常数），体积电荷一般不为0。
在均匀导电媒质中，由于、处处为常数，( ) 0 故=0，体积电荷为0，即媒质中没有体积电荷的堆积。
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在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体时，
即也是保守场（无旋的）。
所以，在电源以外，恒定电场满足：
E d l 0 （3-24）
C
E 0
（3-25）
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因此，恒定电场也可以用电位梯度表示：
E （3-26）
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电源以外的恒定电场的电位满足拉普拉斯方程。
推导：
J E （欧姆定律的微分形式）
J
(EE)对于E均匀媒质，（为3-常26量）
电荷守恒定律 此闭合曲面单位时间减少的电荷 dq'。
即闭合曲面单位时间内电荷的增量为 dq。
亦即： dq dq'
dt dt
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设（在有电荷流动的导体内任一）
闭合曲面S内的电流体密度为 J，
闭合曲面S内的电流为I，
n
S dS
J
dq' dq dq
则：
dq dq' dt dt
I dq dq' I ' dt dt
8
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
dq内 0
J dS 0
dq内 0
J dS 0
dt
S
dt
S
S
dq内 0 dt
J线
电流线：
发出于正电荷减少的地方，
终止于正电荷增加的地方。
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2、微分形式
积分形式
微分形式
J
d
S
dV（3-19）
S
t V
AdV A dS 高斯散度定理
V
S
对于良导体，这个过渡过程是非常短暂的。
30
t 0
J 0
（3-23）
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★恒定电流的条件
积分形式 微分形式
SJ d S 0
J 0
（3-22） （3-23）
任意时刻： 流进任意封闭面的电量，与 流出该封闭面的电量相等。
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恒定电流条件
dq ＝0 dt
★稳恒电流的电路必须是闭合的。
J dS 0 ★导体表面电流密度矢量无法向分量。 S
根据电荷守恒，在有电流分布的空 间做一闭合曲面，单位时间内穿入、 穿出该曲面的电量等于曲面内电量 变化率的负值。
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在有电荷流动的导体内
任取一闭合曲面S，
设单位时间dt内通则通过dS的电流I为： I d q dt
（3-1）
根据
单位时间向外流出的电荷dq应等于
即：
V V
Jd
V
J
t
V dV
dV 0
t
10
V
J
t
dV
0
要使该积分对任意体积都成立，
只有被积函数为0，即
J
0
t
（3-21）
（电流连续性方程的微分形式）
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3、物理意义 如果闭合曲面S内有正电荷积累起来， 则流入S面内的电荷量多于流出的电荷量； 反之，如果S面内的正电荷减少， 则流出的电荷量多于流入的电荷量。
j
1
s1
s2 2
S
s3
若节点处无电荷积累
J d
S
d
q
j
3
dV 0
S
d t t V
即： I1 I2 I3
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稳恒电流是连续的， 其电流线总是闭合曲线。
20
由以上分析可知： 尽管电流是电荷运动形成的，
但由于电荷的分布不随时间改变，
因而由分布电荷产生的库仑场 必定同 静电场具有相同的性质，
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§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程 二、恒定电场的基本方程 三、导电媒质内的体积电荷
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二、恒定电场的基本方程
★恒定电流：不随时间变化的电流。 ★恒定电场：维持恒定电流的电场。
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即： 0
J
d
t S
dV
S
t V
（3-19）
J dS 0
S
0
（3-22）
J 0
（3-21）
当导体中任意闭合曲面满足上式时，闭合曲 面内没有电荷被积累起来，此时通过导体截 面的电流是恒定的——恒定电流的条件。
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电流线连续地穿过 闭合曲面包围的体 积，稳恒电流的电 流线不可能在任何 地方中断，永远是 连续的曲线。
j1 s1 S
j s2 2
s3 j
3
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j
dq dt
( j2s2
j3s3 j1s1)
J 0
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§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程 二、恒定电场的基本方程 三、导电媒质内的体积电荷
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三、导电媒质内的体积电荷
恒定电场中不均匀的导电媒质内有可能积累电荷，
其体积密度为：
D (E)
[ ( J )] (J )
恒定电场
J
(
)
J
0
(
)
J
（3-29）
即便是均匀导体，其体积电荷也不为0。
根据电流连续性方程，
有
J
(E)
(
D)
t
D
D
(
)
t
0 均匀媒质
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t
t
积分得： ln t C
tC
e
e
t
eC
t
t
0e 0e
0 eC，是的初始值(t 0)
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对大多数金属导体，=0，
第三章 恒定电场
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6
电流密度 欧姆定律和焦耳定律 恒定电场的基本方程 分界面上的边界条件 恒定电场与静电场的比拟 接地电阻
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程 二、恒定电场的基本方程 三、导电媒质内的体积电荷
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§3-3 恒定电场的基本方程
() 2
0
J 0 （3-23）
即： 2 0
（3-27）
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静电场的基本方程： 恒定电场的基本方程：
积
分
形
式
Edl 0 C DdS
S
q
E d l 0(电源外) C J dS 0
S
微
分 形 式
E
或（0 E
D
）
E
或0（E(电 源外）)
纯金属的电阻率 ：10-8W .m
电导率 1 ：108W-1 .m-1
驰豫时间
0
8.85 1012 108
~ 1019 (s)
例如铜的=10-19s。
这说明电流一进入导体，便迅速向导体表面扩散， 直至在导体表面积聚的电荷分布使电场和电流进入 稳恒状态，于是边界上的电荷分布不再变化，导体
进入恒定电场状态，其内部 =0。