结构力学-位移法的基本原理
结构力学 7.位移法
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
9ql2 / 128
（↑） （↑）
2ql
ql
7
5
10
（↑） （↑）
8
9ql
11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力
结构力学I第7章 位移法
2015-12-21
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LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2015-12-21
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§7-3 位移法解无侧移刚架
如果刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架 称为无侧移刚架。
位移法计算：
为什么不选结点C？
取结点角位移 ������������ 作为基本位置量。 C为支座结点！
6i 6i
/ /
l l
2015-12-21
A
=
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
M BA =0
B
=
1 6i
M
AB
+
1 3i
M
BA
l
M AB 3iA 3i / l
B 0
FQAB FQBA 0
M AB M BA
第七章 位移法
结构力学 I
浙江大学海洋学院 Tel : Email：
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§7-1 位移法基本概念
位移法是计算超静定结构的基本方法之一。
P
力法计算太困难了！
用力法计算，9个未知量 如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
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§7-1位移法基本概念
一、位移法的提出（Displacement Method）
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LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基 本结构为以下三种单跨超静定梁:
结构力学(龙驭球)第八章
第八章 位移法总结
(2) 利用与位移相应的隔离体的平衡条件建立平衡方程； (3) 解方程求出结点位移； (4)将结点位移代入杆端力方程从而求出杆端内力。
2.基本体系法 基本体系法是利用附加约束的基本原理建立位移法典 型方程。 步骤： (1) 确定基本未知量。将原结构有角位移和线位移的 结点分别加上阻止转动的刚臂和阻止移动的支座链杆，附 加刚臂和附加支座链杆数之和即为位移法的基本未知量； (2) 由附加约束上约束力为零的条件，建立位移法方程 kijj+Fi p=0 (i,j=1,2,…,n)； (3) 在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单 位位移Δj =1下的弯矩图 M 及荷载作用下的弯矩图MP j
BB3= ⊿B sin45°= ⊿2
第八章 位移法总结
A
(b ) F B C F
2 EI l
1P
l/ 2
(c)
2P
k
M
P
F 4i k F (2) 作M2图。由以上叙述可知BC 杆两端有相对侧移BB3 ， EI 2 因此在图f中 l (d ) 6(e ) i
B
2 EI l l/ 2 M
1 1 F /5 6 A 3 F /5 6 B
(b ) F B l/ 2 C F B
(c ) F C D 3 F /2 8
(d )
解：本题中刚架ECFHG是基本部分，CBA是附属部 分。首先求附属部分：由于C点无水平和竖向线位移，故 可将CBA化为图b的结构，用位移法计算，弯矩图如图c所 示。
第八章 位移法总结
(4) 从材料性质看，只能用于弹性材料。
第八章 位移法总结
2、位移法基本未知量的选取原则 位移法的基本未知量的数目等于独立结点角位移数 加上独立结点线位移数。 (1) 独立的结点角位移数目的确定：为使结点不发生 角位移，需要在结点施加附加刚臂，附加刚臂数等于全 部刚结点和半铰结点的结点转角数目。但需注意：铰结 点的角位移不作为基本未知量。例如图a中，A为刚结点， B为半铰结点，故有两个独立角位移；而图b中B为刚结 点，A为铰结点，故只取B 点转角为独立角位移。
位移法结构力学知识点概念讲解
位移法结构力学知识点概念讲解1.结构位移：结构在受力作用下会发生形变，而位移描述了结构各点之间的距离变化。
位移可以分为水平位移和竖向位移，用于表示结构在水平和竖直方向的变形情况。
2.自由度：结构的自由度是指结构中可以自由变动的独立变量的个数。
自由度越多，结构描述和计算的精度越高。
常见的自由度有平动自由度和转动自由度，平动自由度用于描述结构的水平位移，而转动自由度用于描述结构的转动变形。
3.约束条件：结构中存在的各种约束条件限制了结构的自由度。
约束条件是指结构中一些部分的位移受到限制，不能随意变动。
常见的约束条件有支座和铰链等，它们可以限制结构的平动和转动自由度。
4.单元：位移法将结构划分为若干个单元，每个单元由一组节点和单元内部的位移函数组成。
节点是指结构中的一些特定点，单元内部的位移函数用于描述该单元内部各处的位移情况。
6.节点位移：节点位移是指结构中各个节点的位移，它通过节点的约束条件和单元的位移函数之间的关系得到。
节点位移是位移法计算的核心内容，通过计算节点位移可以得到结构的变形和位移分布。
7.应变：结构在荷载作用下会发生应变，应变描述了结构内部各点的变形情况。
应变是位移的导数，可以通过位移的一阶导数来表示。
应变的计算是位移法中重要的步骤之一8.应力：结构在荷载作用下会发生应力，应力描述了结构各点的受力情况。
应力是力和单位面积的比值，可以通过应变和材料的本构关系得到。
应力的计算是位移法中重要的步骤之一通过以上的概念和知识点，位移法可以对不同类型的结构进行分析和计算。
它是结构力学中常用的方法之一，通过假设结构的位移函数和节点之间的位移关系，得到了结构的变形和位移的近似解。
在实际工程中，位移法广泛应用于桥梁、建筑物和各种结构的设计和分析中，具有重要的理论和实践意义。
结构力学——位移法
结构力学——位移法结构力学，位移法结构力学是研究物体受到外力作用时的变形和应力分布规律的学科。
在结构力学中，位移法是一种常用的分析方法，用于解决结构受力变形问题。
位移法是建立在位移场的基础上，通过求解物体的位移场，再根据位移场得到应力场、应变场以及应力分布等信息，从而获得结构的受力变形情况。
位移法的基本原理是微分方程的解析方法。
在位移法中，首先需要确定结构的几何形状、边界条件和外力情况，然后通过应变能原理或变分原理等方法建立物体的弯曲方程或应变能方程。
接下来，在确定了适当的位移函数形式后，将其代入方程中，通过求解微分方程来得到物体的位移场。
在位移法中，常用的位移函数形式包括简单弯曲、直角坐标、梯形分段等。
根据结构问题的具体条件，选择合适的位移函数形式，是位移法分析的一个重要步骤。
在求解位移函数时，通常要满足边界条件和界面连续条件。
边界条件是指结构边界上位移和应力的已知条件，界面连续条件是指相邻物体的位移和应力在界面上连续的条件。
求解位移场后，可以根据位移场求出应变场。
应变场是位移场的导数，反映了物体各点的拉伸和压缩程度。
通过求解应变场，可以进一步求解应力场。
应力场是应变场的导数，反映了物体各点的强度和应力分布情况。
由于应力是物体受力的重要指标，因此通过求解应力场，可以分析出物体受力分布情况，评估结构的强度和稳定性。
位移法在结构力学中具有重要的应用价值。
通过求解位移场，可以全面了解结构受力变形情况，为结构的设计和施工提供依据。
位移法不仅能够分析简单的结构问题，还可以扩展应用到更复杂的结构问题中，如悬索桥、拱桥和空间柱等。
位移法不仅适用于线性问题，还可以应用于非线性问题，如大变形、大位移和材料非线性等。
总之，位移法是结构力学中一种常用的分析方法，通过求解物体的位移场，可以获得结构的应力和变形情况。
位移法不仅能够分析简单的结构问题，还可以应用于复杂的结构问题。
通过位移法的研究，可以更全面地了解结构的受力变形情况，为结构的设计和施工提供依据。
位移法的知识点总结
位移法的知识点总结一、基本原理1. 位移法的基本原理位移法是以位移为基本变量进行分析的一种结构分析方法。
它的基本原理是根据结构受力状态和边界条件，通过对结构各部分的变形进行分析，推导出结构的位移场。
根据结构力学的基本原理，结构的受力和变形是密切相关的，因此通过分析结构的位移场，可以获得结构的受力分布和变形情况，为结构的设计和分析提供重要参考。
2. 位移的重要性在结构力学中，位移是描述结构变形的基本形式之一，它直接反映了结构受力的情况。
在进行结构分析时，通常可以通过计算结构的位移场来获得结构的受力分布和变形情况。
因此，位移是结构分析的重要变量，在位移法中被广泛应用。
3. 位移法的实质位移法的实质是通过假设结构各部分的变形是线性的，即受到外力作用后，结构的变形与受力成线性关系。
这一假设是位移法能够简化结构分析的基础，使得结构分析更加方便和实用。
二、应用范围1. 适用范围位移法适用于各种类型的结构，包括梁、柱、板、桁架、壳体等。
它可以用于解决结构在受力作用下的位移和变形问题，对于复杂结构的受力分析和设计具有广泛的适用性。
2. 适用条件位移法的应用条件包括结构受力状态和边界条件的明确，结构各部分的变形可线性假设，结构受力和变形之间存在较强的相关性等。
在满足这些条件的情况下，位移法可以有效地用于解决各种结构受力和变形问题。
三、操作步骤1. 结构建模首先需要对结构进行建模，确定结构的几何形状、受力条件和边界条件等。
通过建模可以获得结构的刚度矩阵和载荷向量，为后续的分析提供基础数据。
2. 变形分析根据结构的刚度矩阵和载荷向量，可以建立结构的位移方程。
通过对位移方程进行分析，可以获得结构的位移场，揭示结构受力和变形的关系。
3. 反演求解根据结构的位移场，可以反演求解结构的受力分布和变形情况。
通过求解可以获得结构各部分的受力情况，评估结构的受力状况和安全性。
4. 结果分析最后需要对求解结果进行分析，评估结构的受力和变形情况。
结构力学中的位移法
结构力学中的位移法
位移法是基于以下假设的：结构单元之间的约束全部通过边界条件来
体现，结构中的材料是线弹性材料，结构中的每个单元之间是相互独立和
互不干扰的。
位移法的基本思想是首先假设结构的位移场，然后利用位移场的表达
式和边界条件，推导出结构的应力、应变和位移等信息。
具体步骤如下：
1.确定结构的约束条件：根据结构的平衡条件，确定结构各部分之间
的约束关系。
一般包括边界条件和连接条件等。
2.建立位移场：通过将结构的变形分解为一系列位移函数的线性组合，建立位移场。
常用的位移函数包括常数、线性函数、二次函数等。
3.推导位移场的表达式：利用结构的几何关系和材料的力学性质，根
据平衡条件和应力-应变关系，推导出位移场的表达式。
4.边界条件和连接条件：利用结构的边界条件和连接条件，确定位移
场中的待定系数。
5.应力和应变的计算：利用位移场的表达式和应力-应变关系，计算
结构中各点的应力和应变。
6.变形和位移的计算：利用位移场的表达式，计算结构中各点的变形
和位移。
7.校核：通过校核位移场的可行性和合理性，验证所得结果的准确性。
位移法的优点是可以处理各种复杂的边界条件和载荷情况，适用于各
种不规则结构。
但是位移法也存在一些局限性，如要求解一些复杂结构时，可能需要大量的计算和繁琐的推导过程。
总之，位移法是结构力学中一种重要的解决结构问题的方法，通过确定结构的位移场来分析结构的力学性能，具有广泛的应用前景。
在实际工程中，位移法被广泛运用于结构设计和分析中，是一种非常有效的结构分析方法。
结构力学位移法的计算
结构力学位移法的计算一、结构力学位移法的基本原理结构力学位移法基于结构静力学原理，通过分析结构的受力平衡、变形和刚度等特性，计算结构的位移。
其基本原理是建立结构的数学模型，利用力学等效原理将外力转化为内力，进而计算出结构的位移。
其求解过程通常通过数学公式和计算软件来实现。
二、结构力学位移法的计算步骤1.确定结构的边界条件和约束条件。
边界条件指结构在边界上受到的力或位移约束。
约束条件指固定点、支座的位置以及其他限制。
边界条件和约束条件对结构的位移计算具有重要影响。
2.建立结构的数学模型。
数学模型是结构力学位移法的核心，可以通过数学方程或矩阵形式来表示。
常用的模型有刚度矩阵法和有限元法。
刚度矩阵法适用于简单结构，而有限元法适用于复杂结构。
3.计算结构的刚度矩阵。
刚度矩阵描述了结构的刚度特性，可以通过结构的几何和材料性质来计算。
刚度矩阵的计算通常包括杆件的刚度以及节点刚度的组装。
4.应用边界条件和约束条件。
根据结构的边界条件和约束条件，将其转化为数学方程或矩阵形式，然后应用到结构的刚度矩阵上。
一般通过修正刚度矩阵或施加位移限制来实现。
5.求解结构的位移。
通过求解修正后的刚度矩阵和边界条件所构成的方程组，可以得到结构的位移。
通常使用数值方法，如高斯消元法、LU 分解法或迭代法。
6.分析与验证结果。
计算得到的结构位移可用于分析结构的变形、挠度、应力等参数。
还可以与设计要求进行对比和验证，以评估结构的可靠性和稳定性。
三、结构力学位移法的应用1.建筑结构设计。
在建筑结构设计中，利用结构力学位移法可以分析和优化建筑物的静力学特性，确保其稳定性和可靠性。
2.桥梁工程。
结构力学位移法可用于桥梁的设计和分析，帮助工程师评估桥梁的变形、位移和受力状况。
3.航天器设计。
在航天器设计中，结构力学位移法可用于分析航天器的振动、变形和稳定性，确保其在太空中的安全运行。
4.机械工程。
结构力学位移法也可以应用于机械结构的设计和分析，例如汽车、飞机和机器人等。
结构力学位移法
结构力学位移法结构力学是研究结构物的力学性能和变形规律的科学，位移法是结构力学中常用的一种分析方法。
它通过计算结构物各个节点的位移，进而求解出结构物的应力、应变等力学参数。
下面将详细介绍位移法的原理和应用。
一、位移法的原理位移法是一种基于力的平衡方程和位移的相关性质来计算结构物响应的方法。
它的基本原理是通过建立结构物的整体刚度方程，解这个方程得到各节点的位移，再根据位移计算出相应节点上的应力和应变。
在应用位移法时，首先需要确定结构物的受力状态，即施加在结构物上的外力和边界条件。
然后，根据结构物的几何约束条件和材料特性，建立结构物的整体刚度方程。
这个方程是一个描述结构物节点位移与受力关系的方程，通常表示为[K]{D}={F}，其中[K]是结构物的刚度矩阵，{D}是节点位移矩阵，{F}是节点受力矩阵。
解刚度方程可以得到节点位移矩阵{D}，再通过位移与应力或应变的关系，计算出各个节点上的应力和应变。
常用的位移与应力或应变的关系包括伯努利梁理论、平面假设等。
最后，根据应力或应变条件，判断结构物的安全性和稳定性。
二、位移法的应用位移法广泛应用于各种结构物的力学分析和设计中，特别是对于复杂结构和非线性问题的分析更具优势。
1.梁和框架的分析对于梁和框架结构，可以根据位移法计算出节点上的位移、弯矩、剪力和轴力等力学参数。
通过对结构物的力学性能的准确分析，可以进行合理的结构设计和优化。
2.刚架和刚构的计算在刚架和刚构的计算中，位移法可以用来求解节点刚度，从而得到结构物的受力分布和变形情况。
这对于评估结构物的稳定性和刚度有重要意义。
3.非线性问题的分析位移法还可以应用于非线性结构的分析，如软土地基的承载力计算、非线性材料的应力分析等。
在这些情况下，结构物的刚度和应力等参数会随着受力状态的变化而发生变化，需要通过迭代的方法来求解。
4.动力分析位移法也可以用于结构物的动力分析。
动力分析主要研究结构物在动态载荷下的响应和振动特性。
结构力学位移法
二、基本未知量的确定 1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
2.有侧移结构
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移
例3.
有两个刚结点B、C，由于忽略轴向
变形，B、C点的竖向位移为零，B、C
(a)
(b) (c)
2）求图(2)中 φA2和φB2 3）叠加得到
变换式上式可得杆端内力的刚度方程（转角位移方程）：
由平衡条件得杆端剪力：见图（d)
(d)
1.两端固定单元，在A端发生一个顺时针的转角 。
MAB A
由力法求得
B MBA
2i
4i
M
2.两端固定单元，在B端发生一个顺时针的转角 。
MAB A
,得:
BC杆
4. 解方程，得:
5. 把结点位移回代，得杆端弯矩
6. 画弯矩图
ql2 14
B ql2 C 8
A
ql2
28 M图
例2.
1、基本未知量θB、θC
40 43.5 2406k.N9/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
24.5 14.7
AA 4i=I 1 1
BB 3.4
51I62.5 CC
1
94.118I DD
二、形常数和载常数
形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力 载常数：由荷载引起的固端力
1.由杆端位移求杆端内力（形常数）
MAB
Δ
根据力法可求解：
QAB φA
MAB
φB MBA
《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆
结构力学位移法详解
结构力学位移法详解结构力学是一门研究物体受力和变形关系的科学，它对于工程结构的设计和分析具有重要的意义。
结构力学包括静力学和动力学两个方面，其中位移法是解决结构静力学问题的一种重要方法。
位移法是一种基于结构位移的方法，通过建立结构的位移方程来求解结构中的受力和变形情况。
相比于应力法，位移法在简化问题过程中能够更好地处理约束条件和边界条件，使得解题更加简化和精确。
在位移法中，首先需要确定结构的边界条件，即结构的约束条件和边界条件。
然后根据结构的受力平衡和力的平衡条件，建立结构的位移方程。
位移方程是一个描述结构变形情况的方程，通过解这个方程可以得到结构的位移分布。
位移方程的建立通常需要以结构单元为基础，将整个结构分解为不同的单元进行分析。
每个单元之间通过节点连接，将力和位移传递给下一个单元。
而每个单元的位移方程则可以通过应力-应变关系、平衡方程和简化条件得到。
在求解位移方程时，常常使用有限差分法、有限元法或弹性力学公式等数值方法来近似求解。
这些数值方法将结构离散化，并通过数值计算得到结构的位移分布。
在得到结构的位移分布后，可以进一步计算结构的应力和应变分布，以及其它受力和变形相关的参数。
这样，就可以对结构的安全性和机械性能进行评估和优化。
总结起来，位移法是通过建立结构的位移方程来求解结构静力学问题的一种方法。
通过分析结构的位移分布，可以得到结构的应力和应变情况，进而评估结构的安全性和机械性能。
在实际工程问题中，位移法经常用于分析和设计各类结构，具有重要的实际应用价值。
位移法 结构力学知识点概念讲解
位移法1.概述力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。
力法在19世纪末就已经应用于各种超静定结构的分析。
随后，由于钢筋混凝土结构的出现，大量高次超静定刚架逐渐增多，如果仍用力法计算将十分麻烦。
于是20世纪初又在力法的基础上建立了位移法。
力法的基本思路是先解除超静定结构上的多余约束，代之以多余未知力，以多余未知力为基本未知量，一般取静定结构为基本结构进行计算。
利用位移协调条件建立力法基本方程，求出多余未知力，然后进一步求出结构的内力。
位移法的基本思路和力法相反。
位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，以单跨超静定梁为计算的基本单元。
先设法确定出单根杆件的杆端内力，用杆端位移来表示，这些杆端位移应与其所在结点的其他杆端位移相协调。
然后用力的平衡条件建立位移法基本方程，确定出未知的结点位移,从而进一步求出整个结构的内力。
为了说明位移法的基本概念，我们来分析图1a所示的刚架位移。
（a）原结构（b）基本结构图1在荷载作用下，刚架产生的变形如途中虚线所示，设结点B 的转角为1∆，根据变形协调条件可知，汇交于结点B 的BA 杆、BC 杆两杆端也该有同样的转角1∆。
为了简化计算，在受弯杆件中，忽略杆件的轴向变形和剪切变形的影响，假设弯曲变形很小，因此可以假定结构变形后受弯杆件的两端之间的距离不变。
根据这些假定，B 结点就只有角位移没有线位移。
这样1b B 我们将第一步和第二步的结果叠加，得到的基本结构的变形和原结构一致。
我们注意到原结构在B 点并没有附加刚臂，也不存在约束力矩，所以可得11F ＋P F 1＝0 （1）这里的11F 是基本结构在B 点发生转角1∆时，产生在附加刚臂中的反力矩。
用11k 来表示基本结构在B 点处发生单位转角1∆＝1时，产生在附加刚臂中的反力矩，则式（1）可以写成01111=+∆P F k （2）式(2)我们称为位移法基本方程。
11k 、P F 1我们可以用上一章学习的力法确定，然后我们可求出1∆，进而求出原结构的全部内力。
结构力学第六章位移法
面投影平衡求附加支杆中的反力。
13
16
↓↓↓↓↓↓↓↓
28 30
15kN/m 48kN
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
48kN
Δ1 4m 当F1=0
基本体系
30 i
M图 (kN.m)
4m
i Δ1 30 2 i
2m k11 i 4i
Δ1=1
2m
20
15kN/m
F1P 36 20 MP
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
2i k11 =8i 4i i 3i
3i
D1
M1
+
F1P=－16 20 0
36
F k11D1 F1P 0
M M 1D1 M P 叠加弯矩图
mAB
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
l，EI
l
ql2/2
M1
X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
ql 2 mAB 8
mBA 0
8
4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
D M AB 4i A 2i B 6i +mAB l D M BA 2i A 4i B 6i +mBA l
16
§6.5 位移法计算示例
一、连续梁
A
20kN
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1）确定基本未知量Δ1=θB ； 15 2）确定位移法基本体系； A 3）建立位移法典型方程；
《结构力学》第八章 位移法
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定练习
na 5 nl 2
na 2 nl 2
位移未知数确定练习
na 3 nl 4
na 0 nl 1
位移未知数确定练习
na 3 nl 1
na 3 nl 0
位移未知数确定练习
na 2 nl 3
基本思路
两种解法对比：
典型方程法和力法一样，直接对结构按统 一格式处理。最终结果由迭加得到。
平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具 体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚， 杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可 得。
位移法方程：
两法最终方程都是平衡方程。整理后形式 均为：
K R 0
典型方程法基本概念
有一(A 点
转角,设为
).
位移法第一种基本思路
利用转角位移 方程可得:
M AD M
M AC
3i
ql 2 8
M AB
4i
FP l 8
M AE
i
FP l 2
在此基础上,由图示结点平衡得 M 0
第一种基本思路
位移法思路(平衡方程法)
以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转角-位移) 关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下 的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立 和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关系可 得原结构受力
超静定单跨梁的力法结果(3) 载
载 载
1
超静定单跨梁的力法结果(4) 载 形 形 载
超静定单跨梁的力法结果(5) 载 载 载
结构力学 位移法基本概念
4EI/L
1
EI
记：EI/L= i
称为杆件的线刚度
3EI/L
基本思路 那么， 1 时的弯矩图就可作出, 称为 M图 取结点B为研究对象， 得：r = 7i 由前所述， R= - RP， 消除约束力矩就是使 4i r 3i 1 B
M图
RP r B 0
由此式解出转角 B ，把 M图 放大 B 倍， B
1.位移的种类
1）角位移 2）线位移 3）杆端相对侧移
BH
CH
B
C
B
A
图示结构在荷载作用下，结点B、C都要产生水平位移，同时 ，结点B还要产生转角。 在位移法中，以杆件为基本研究对象，位移变量取在杆端。 1） 角位移：θ B ，C端虽然有转角，但不作为位移法变量。 角位移通常是刚结点的转角。 2）线位移：Δ BH ，Δ CH 是指结点发生的绝对位移，包括刚 结点和铰结点。 3）杆端相对侧移：Δ AB 是指A、B两截面发生的相对侧移， 由于A截面的线位移为零，所以，Δ AB就是Δ BH 。
基本概念
实际的结构绝大多数是超静定结构，在进行结构分析时， 有两种基本方法：
力法是以多余未知力为基本未知量，把超静定结构变为静定结
构，应用位移协调条件求出多余未知力，然后求内力和位移； 位移法则是以结构结点的角位移和线位移作为基本未知量，附 加约束把结构变为各超静定杆，用平衡条件先求出结点的角位 移和线位移，再求出结构的内力。 两种方法的求解顺序相反，各有优缺点。 共同的缺点是，都要求解联立方程。
[举例] 例题4 A B C
基本概念
D
E
F
解：AB杆为静定杆，受载后可等效右图所示结构。 由于不考虑轴向变形，弯曲杆件受弯后也不改变长度，故，仅 有C结点的转角为位移法变量。结点C所连接的三杆杆端在C结 点的角度关系不变。位移法变量θ
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位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定练习
na 5 nl 2
na 2 nl 2
位移未知数确定练习
na 3 nl 4
na 0 nl 1
位移未知数确定练习
na 3 nl 1
na 3 nl 0
位移未知数确定练习
na 2 nl 3
• 确定独立位移未知量数目（隐含建立基本 体系，支杆只限制线位移，限制转动的约 束不能阻止线位移）
• 作基本未知量分别等于单位时的单位弯矩 图
• 作外因（主要是荷载）下的弯矩图 • 由上述弯矩图取结点、隔离体求反力系数
kij , Ri
典型方程法步骤
• 建立位移法典型方程并且求解：
kijj Ri 0 (i 1,, n)
典型方程法基本概念
• 基本结构：加约束“无位移”,能拆成
已知杆端力-杆端位移关系“单跨梁” 的超静定结构。
②
④
①
③
⑤
• 基本体系：受外因和未知位移的基本
结构。
典型方程法基本概念
• 基本方程：
外因和未知位移共同作用时,附加约 束没有反力——实质为平衡方程。
K R 0
未知位移 外因
附加反力 为零
典型方程法步骤
核心是化未知为已知
单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动 共同作用下
FP x
y
在线性小变形条件下，由叠加原理可得
M
AB
4i A
2i B
6i l
AB
MF AB
M
BA
4i B
2i A
6i l
AB
MF BA
转角位移方程(刚度方程)
Slope-Deflection (Stiffness) Equation
其中： i EI 称杆件的线刚度。
l
MF AB
,
M
F BA
为由荷载和温度变化引起的 杆端弯矩，称为固端弯矩。
同理，另两类杆的转角位移方程为
A端固定B端铰支
M AB
3i A
3i l
AB
MF AB
A端固定B端定向
M AB
i A
MF AB
M BA
i A
MF BA
位移法第一种基本思路
图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q,
• 按迭加法作最终弯矩图
M M jj MP
• 取任意部分用平衡条件进行校核
例一:用位移法计算图示刚架,并作弯矩图. E=常数.
熟记了“形、载
常数”吗？
kij、RiP
如何求？
na 2 nl 0
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下:
单位弯矩图为
Z1 1
图示荷载弯矩图
图示单位弯矩图
第二种基本思路
位移法思路(典型方程法)
以位移为基本未知量,先“固定”（不产 生任何位移）
考虑外因作用，由“载常数”得各杆受 力,作弯矩图。
令结点产生单位位移（无其他外因）， 由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。
两者联合原结构无约束，应无附加约束 反力（平衡）.
列方程可求位移。
基本思路
典型方程法：仿力法，按确定基本未知量、
基本结构，研究基本体系在位移和外因下的 “反应”，通过消除基本体系和原结构差别来 建立位移法基本方程（平衡）的上述方法。
K R 0
平衡方程法：利用等直杆在外因和杆端位移
下由迭加所建立杆端位移与杆端力关系（转角 位移）方程
F K F F
由结点、隔离体的杆端力平衡建立求解位移 未知量的方法。
基本思路
两种解法对比：
典型方程法和力法一样，直接对结构按统 一格式处理。最终结果由迭加得到。
平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具 体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚， 杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可 得。
位移法方程：
两法最终方程都是平衡方程。整理后形式 均为：
K R 0
典型方程法基本概念
4. 位移法的基本原理
(Fundamentals of Displacement Method)
已有的知识：
（1）结构组成分析；
（2）静定结构的内力分析和位移计算；
（3）超静定结构的内力分析和位移计算 力法；已解得如下单跨梁
结果。
A
B
位基
移本
法单
A
B
中跨
的梁
超静定单跨梁的力法结果(1)
形=形常数
集中力FP ,力偶M .如何求解?
M
q
Δ
FFP P
FP FP
力法未知数 个数为3,但 独立位移 未知数只
有一(A 点
转角,设为
).
位移法第一种基本思路
利用转角位移 方程可得:
M AD M
M AC
3i
ql 2 8
M AB
4i
FP l 8
M AE
i
FP l 2
在此基础上,由图示结点平衡得 M 0
• 位移未知量(一些特殊情况以后结合例题讨
论)
结点位移包括角位移和线位移
独立角位移 na =刚结点数； 独立线位移 nl =?
不考虑轴向变形时：
nl =‘刚结点’变成铰，为使铰结体系几
何不变所需加的支杆数。
手算时
考虑轴向变形时：
nl =结点数2–约束数 总未知量 n = na+ nl 。
电算时
位移未知数确定举例
第一种基本思路
位移法思路(平衡方程法)
以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转角-位移) 关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下 的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立 和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关系可 得原结构受力
载=载常数
形
形
载
表示要熟记！！！
超静定单跨梁的力法结果(2) 载 载 载
超静定单跨梁的力法结果(3) 载
载 载
1
超静定单跨梁的力法结果(4) 载 形 形 载
超静定单跨梁的力法结果(5) 载 载 载
超静定单跨梁的力法结果(6) 载
载 载 载
超静定单跨梁的力法结果(7) 载
形 载
载
超静定单跨梁的力法结果(8) 载 载 载 载
超静定单跨梁的力法结果(9) 载
2
载 载 载
超静定单跨梁的力法结果(10) 载 载
载
回顾力法的思路：
（1）解除多余约束代以基本未知力，确 定基本结构、基本体系；
（2）分析基本结构在未知力和“荷载” 共同作用下的变形，消除与原结构 的差别，建立力法典型方程；
（3）求解未知力，将超静定结构化为 静定结构。
第二种基本思路
图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q,
集中力FP ,力偶M .如何求解?
以A 点转角做
M
q
Δ
FP FP
பைடு நூலகம்
基本未知量,设
为 .在A 施加
限制转动的约 束,以如图所示
FFP P
体系为基本体 系(基本结构的
定义和力法相
仿).
根据两图结点平衡
第二种基本思路
可得附加约束反力
利用“载常数”可作 利用“形常数”可作