线性规划的实际应用题解题步骤

线性规划的实际应用题解题步骤

广东 王远征

在近几年的高考试卷中出现了求线性目标函数在线性约束条件下的最大（小）值应用题，本文以高考试题为例，介绍解题的模式和一般步骤．

一、线性规划问题的数学模型如下：

已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤++++≤++++≤++++n

m nm n n n m m m m b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a ΛΛΛΛΛ3322112232322212111313212111 （I ） 其中ij a ，i b 都是常数，i x 是非负变量． (n i ,,3,2,1Λ= m j ,,3,2,1Λ=)．

求m m x c x c x c x c z ++++=Λ332211 的最大（小）值，其中i c 是常数．

我们将（I ）称为线性约束条件，把m m x c x c x c x c z ++++=Λ332211称为目标函数．

二、解题的一般步骤：

1． 建模：在读懂题意的前提下，写出反映实际问题的线性约束条件和目标函数表达式；

2． 作出可行解、可行域：将线性约束条件中的每个不等式当作等式，在平面直角坐标

系中作出相应的直线，并确定原不等式所表示的半平面，然后作出所有半平面的交

集；

3． 作出目标函数的等值线；

4． 求出最优解：在可行域内，平移目标函数的等值线，从图中能判断实际问题的解的

情况，有唯一最优解，或无最优解，或有无穷最优解．

三、典型试题解析

例（07年高考山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分

别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为

元，由题意得3005002009000000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩

≤，≤，≥，≥

目标函数为30002000z x y =+． 二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩

≤，≤，≥，≥

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．

如图：

作直线:300020000l x y +=，

即320x y +=．

平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．

联立30052900.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100200x y ==，．

∴点M 的坐标为(100200)，． max 30002000700000z x y ∴=+=（元）

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．

注意：根据不等式的基本性质对线性约束条件中的不等式进行化简，使得系数变小。 一般地，按照上述4个基本步骤来解答线性规划问题即可，解题的关键在于正确理解题意．在写线性约束条件时，要准确理解关键词“不超过”所对应的数学符号是“≤”，“不低于”所对应的数学符号是“≥”．如下试题供同学们巩固练习：

（07年高考四川）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目

2倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每甲的投资不小于对项目乙投资的

3

投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提前投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为（）

A.36万元

B.31.2万元

C.30.4万元

D.24万元

答案B

写于2008年9月，上传于2014-2-2