2020-2021上海民办张江集团学校高三数学上期末一模试卷(含答案)
2020-2021学年上海市黄浦区高三(上)期末数学试卷(一模)
2020-2021学年上海市黄浦区高三（上）期末数学试卷（一模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1．（4分）已知集合{A x =，2}()x x R ∈，若1A ∈，则x = ． 2．（4分）已知函数1()1xf x lgx-=+，则该函数的定义域是 ． 3．（4分）已知1sin()3πθ-=-，则cos()2πθ-= ．4．（4分）已知幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则()f x = ．5．（4分）已知x 是2-和8的等差中项，2y 是32和8． 6．（4分）已知直线l 过点(2,1)P -，直线l 的一个方向向量是(3,2)d =-，则直线l 的点斜式方程是 ．7．（523π的扇形，则该圆锥体的体积是 ．8．（5分）已知91(x 的二项展开式中的常数项的值是a ，若36723i z a i i ⋅+-=+（其中i 是虚数单位），则复数z 的模||z = ．（结果用数值表示）9．（5分）若关于x 、y 的二元一次线性方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是&1&30&2&m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且1,1x y =⎧⎨=-⎩是该线性方程组的解，则三阶行列式1&0&10&3&2&&1m n -中第3行第2列元素的代数余子式的值是 ．10．（5分）某高级中学欲从本校的7位古诗词爱好者（其中男生2人、女生5人）中随机选取3名同学作为学校诗词朗读比赛的主持人．若要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法的种数是 ．（结果用数值表示）11．（5分）已知平面向量a 、b 满足||5a =，||1b =，3a b ⋅=，向量(1)()c a b R λλλ=⋅+-⋅∈，且对任意R λ∈，总有||25c a +成立，则实数的取值范围是 ．12．（5分）已知a 、b R ∈，函数22()||()f x x ax b x ax b x R =+++--∈，若函数()f x 的最小值为22b ，则实数b 的取值范围是 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）已知a 、b 、l 是空间中的三条直线，其中直线a 、b 在平面α上，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l ⊥平面α”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件14．（5分）为了得到函数sin 3cos ()y x x x R =-∈的图象，可以将函数2sin ()y x x R =∈的图象( )A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移3π个单位 C ．向右平移3π个单位D ．向左平移6π个单位15．（5分）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成）．已知10OA =米，OB x =米(010)x <<，线段BA 、线段CD 、弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度，则θ关于x 的函数解析式是( )A ．21010x x θ+=+ B ．10210x x θ+=+C ．1010xxθ-=+ D ．10210xx θ-=+16．（5分）已知R ∈，函数22()|4|f x x x x =-++的定义域为R ，若函数()f x 在区间(0,4)上有两个不同的零点，则的取值范围是( ) A ．72-<<-B ．7<-或2>-C ．70-<<D ．20-<<三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 是侧面11CDD C 的中心． （1）连接1A D ，求三棱锥11A DED -的体积11A DED V -的数值；（2）求异面直线1A E 与AD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A 为钝角，且2sin 20a B b =．（1）求角A 的大小；（2）记B x =，求函数()cos cos()3f x x x π=++的值域．19．（14分）已知实数a 、b 是常数，函数2()(111)f x x x a x b =+--． （1）求函数()f x 的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若3a =-，1b =，设11t x x +-，记t 的取值组成的集合为D ，则函数()f x 的值域与函数321()(3)()2g t t t t D =-∈的值域相同．试解决下列问题：（ⅰ）求集合D ；（ⅱ）研究函数321()(3)2g t t t =-在定义域D 上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没有，请说明理由．并利用你的研究结果进一步求出函数()f x 的最小值．20．（16分）定义：已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，把圆222222a b x y a b +=+称为该椭圆的协同圆．设椭圆22:142x y C +=的协同圆为圆(O O 为坐标系原点），试解决下列问题： （1）写出协同圆圆O 的方程；（2）设直线l 是圆O 的任意一条切线，且交椭圆C 于A 、B 两点，求OA OB ⋅的值； （3）设M 、N 是椭圆C 上的两个动点，且OM ON ⊥，过点O 作OH MN ⊥，交直线MN 于H 点，求证：点H 总在某个定圆上，并写出该定圆的方程．21．（18分）已知函数()y f x =的定义域为R ，数列*{}()n a n N ∈满足21a a ≠，1()n n a f a -=，11()()()(2n n n n f a f a t a a n --+=+，*)n N ∈（实数、t 是非零常数）． （1）若1=-，且数列*{}()n a n N ∈是等差数列，求实数t 的值；（2）若210a a +≠，数列*{}()n b n N ∈满足*1()n n n b a a n N +=+∈，求通项公式n b ； （3）若1=-，1t ≠，数列*{}()n a n N ∈是等比数列，且1(0,)a a a a R =≠∈，21a a ≠，试证明：f （a ）t a =⋅．2020-2021学年上海市黄浦区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1．（4分）已知集合{A x =，2}()x x R ∈，若1A ∈，则x = 1- ． 【解答】解：集合{A x =，2}()x x R ∈，1A ∈，即1x =或21x =， 可得1x =或1x =-当1x =时，违背集合的互异性， 故答案为：1x =-． 2．（4分）已知函数1()1xf x lgx-=+，则该函数的定义域是 (1,1)- ． 【解答】解：要使函数有意义，则101xx->+，即(1)(1)0x x -+<，即11x -<<， 即函数的定义域为(1,1)-， 故答案为：(1,1)-．3．（4分）已知1sin()3πθ-=-，则cos()2πθ-= 13- ．【解答】解：由已知1sin()3πθ-=-可得：1sin 3θ=-，所以1cos()sin 23πθθ-==-，故答案为：13-．4．（4分）已知幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则()f x = 12x - ．【解答】解：根据题意，设()a f x x =， 由于其图象过点1(4,)2，则有142a =，即411log 22a ==-； 即12()f x x -=； 故答案为：12x -．5．（4分）已知x 是2-和8的等差中项，2y 是32和85 ． 【解答】解：由x 是2-和8的等差中项，可得228x =-+，解得3x =， 由2y 是32和8的等比中项，可得22()328y =⨯，解得216y =，5=． 故答案为：5．6．（4分）已知直线l 过点(2,1)P -，直线l 的一个方向向量是(3,2)d =-，则直线l 的点斜式方程是 21(2)3y x -=-+ ．【解答】解：由直线的方向向量可得直线l 的斜率为23=-，所以直线l 的点斜式方程为：21(2)3y x -=-+，故答案为：21(2)3y x -=-+．7．（523π的扇形，则该圆锥体的体积是83π ． 【解答】解：圆锥体的底面圆的半径长为，其侧面展开图是圆心角为23π的扇形，∴圆锥的母线长3l π= ∴圆锥的高4h =， ∴该圆锥体的体积：218433V ππ=⨯⨯⨯=．故答案为：83π．8．（5分）已知91(x 的二项展开式中的常数项的值是a ，若36723i z a i i ⋅+-=+（其中i 是虚数单位），则复数z 的模||z = 5 ．（结果用数值表示）【解答】解：已知91(x的二项展开式的通项公式为39219(1)rr r r T C x -+=⋅-⋅，令3902r-=，求得6r =，可得它的常数项的值是6984a C ==，若36723i z a i i ⋅+-=+（其中i 是虚数单位），则3846723i z i i ⋅+-=+，129343iz i i-+∴==+，则复数z 的模||5z =， 故答案为：5．9．（5分）若关于x 、y 的二元一次线性方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是&1&30&2&m n ⎛⎫⎪⎝⎭，且1,1x y =⎧⎨=-⎩是该线性方程组的解，则三阶行列式1&0&10&3&2&&1m n -中第3行第2列元素的代数余子式的值是 4 ．【解答】解：把二元一次线性方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是&1&30&2&m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭还原为方程组如下；32mx y y n +=⎧⎨=⎩，且1,1x y =⎧⎨=-⎩是该线性方程组的解，所以42m n =⎧⎨=-⎩； 所以三阶行列式为1&0&10&3&42&2&1--，其中第3行第2列元素的代数余子式为 321&1(1)41040&4M -=-=--⨯+⨯=． 故答案为：4．10．（5分）某高级中学欲从本校的7位古诗词爱好者（其中男生2人、女生5人）中随机选取3名同学作为学校诗词朗读比赛的主持人．若要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法的种数是 25 ．（结果用数值表示）【解答】解：根据题意，从7人中随机选取3名同学，有3735C =种选法， 其中都是女生，没有男生的选法有3510C =种， 则至少有一位是男生的选法有351025-=种； 故答案为：25．11．（5分）已知平面向量a 、b 满足||5a =，||1b =，3a b ⋅=，向量(1)()c a b R λλλ=⋅+-⋅∈，且对任意R λ∈，总有||25c a +成立，则实数的取值范围是 (-∞，6][4-⋃，)+∞ ． 【解答】解：因为||5a =，||1b =，3a b ⋅=，令,a b θ=<>，(0,)2πθ∈，则3cos 5||||a b a b θ⋅==，4sin 5θ=．不妨取34(5,0),(cos ,sin )(,)55a b θθ===．过点(5,0)A ，34(,)55B 的直线AB 的方程为：405(5)355y x -=--，即:211100AB x y +-=． 又(1)()c a b R λλλ=⋅+-⋅∈，故c 对应的点C 落在直线AB 上， |||()|c a c a +=--，其几何意义为C 点到点(5,0)-的距离d ．对任意R λ∈，总有||25c a +成立，只需25min d ， min d 即为点(5,0)-到直线211100x y +-=的距离，25，即|1|5+，所以4，或6-．故答案为：(-∞，6][4-⋃，)+∞．12．（5分）已知a 、b R ∈，函数22()||()f x x ax b x ax b x R =+++--∈，若函数()f x 的最小值为22b ，则实数b 的取值范围是 [0，1] ．【解答】解：函数22()||()f x x ax b x ax b x R =+++--∈，函数()f x 的最小值为22b ，则设22||()2x ax b x ax b g x +++--=，函数()g x 的最小值为2b ，2||(0)2b b g b +∴=，解得：01b ，21212,(,)(,)(),[,]x x x x g x ax b x xx ⎧∈-∞+∞⎪=⎨+∈⎪⎩⋃，其中10x =<，20x =>， 当0a >时，2211()()min g x gx x b ===，故1x b =-b =-，化简得：(1)0b a b +-=，故0b =或11b a =-<， 当0a =时，2()min g x b b ==，解得：0b =或1b =， 当0a <时，2222()()min g x g x x b ===，故2x b =b =， 化简得(1)0b b a --=，故0b =或11b a =+<， 综上：b 的取值范围是[0，1]， 故答案为：[0，1]．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）已知a 、b 、l 是空间中的三条直线，其中直线a 、b 在平面α上，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l ⊥平面α”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【解答】解：a 、b 、l 是空间中的三条直线，其中直线a 、b 在平面α上， “l a ⊥且l b ⊥”，当且仅当a ，b 相交时，“l ⊥平面α”， 反之，“l ⊥平面α” ⇒ “l a ⊥且l b ⊥”，∴ “l a ⊥且l b ⊥”是“l ⊥平面α”的必要不充分条件，故选：B ．14．（5分）为了得到函数sin ()y x x x R =∈的图象，可以将函数2sin ()y x x R =∈的图象( )A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移3π个单位 C ．向右平移3π个单位D ．向左平移6π个单位【解答】解：函数sin 2sin()3y x x x π==-函数2sin()sin()33y x x ππ=-=-，故要得到函数sin y x x =-图象，只需将函数2sin y x =的图象向右平移3π个单位长度即可，故选：C ．15．（5分）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成）．已知10OA =米，OB x =米(010)x <<，线段BA 、线段CD 、弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度，则θ关于x 的函数解析式是( )A ．21010x x θ+=+ B ．10210x x θ+=+C ．1010xxθ-=+ D ．10210xx θ-=+【解答】解：根据题意，可算得弧BC x θ=⋅（米)，弧10AD θ=（米)． 2(10)1030x x θθ∴-+⋅+=，∴210(010)10x x x θ+=<<+， 故选：A ．16．（5分）已知R ∈，函数22()|4|f x x x x =-++的定义域为R ，若函数()f x 在区间(0,4)上有两个不同的零点，则的取值范围是( ) A ．72-<<-B ．7<-或2>-C ．70-<<D ．20-<<【解答】解：令22()|4|g x x x =-+，()h x x =-， 画出函数的图象，如图示：，函数()f x 在区间(0,4)上有两个不同的零点， ()g x ∴与()h x 在(0,4)上有2个交点，由图可知(2,4)P ，(4,28)Q ， 故2OP K =，7OQ K =， 故27<-<，故72-<<-， 故选：A ．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 是侧面11CDD C 的中心． （1）连接1A D ，求三棱锥11A DED -的体积11A DED V -的数值；（2）求异面直线1A E 与AD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解 （1）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 是侧面11CDD C 的中心， 11A D ∴⊥平面11DCC D ，111144DED DCC D SS ==正方形． ∴三棱锥11A DED -的体积为：11111111644333A DED DED V SA D -=⋅⋅=⨯⨯=． （2）1111ABCD A B C D -是正方体，11//AD A D ∴，11A D ⊥平面11DCC D ，11EA D ∴∠就是异面直线1A E 与AD 所成的角（或补角）， 111A D D E ⊥．∴221111442222D E D C ==+=． ∴111112tan D E EA D A D ∠==，即112arctan EA D ∠=． ∴异面直线1A E 与AD 所成的角的大小是2arctan．18．（14分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A 为钝角，且2sin 20a B b =．（1）求角A 的大小；（2）记B x =，求函数()cos cos()3f x x x π=++的值域．【解答】解：（1）ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2sin 20a B b =，∴根据正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，可化为22sin sin 22sin 0(0,sin 0)R A B R B B B π⋅=<<≠．∴2sin A =．A 为钝角，即2A ππ<<，∴34A π=． （2）B x =，A BC π++=，∴344C x x πππ=--=-，且04x π<<．∴1()cos cos()cos cos )323f x x x x x x x ππ=++=+-． 又04x π<<，可得1233x πππ<-<．考察函数sin y x =的图象，可知sin sin()123x ππ<-<33sin()1232x ππ<-<． 所以函数()f x的值域是3,)122π．（写成，3)2也可以）． 19．（14分）已知实数a 、b是常数，函数())f x a b =． （1）求函数()f x 的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若3a =-，1b =，设t ，记t 的取值组成的集合为D ，则函数()f x 的值域与函数321()(3)()2g t t t t D =-∈的值域相同．试解决下列问题：（ⅰ）求集合D ；（ⅱ）研究函数321()(3)2g t t t =-在定义域D 上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没有，请说明理由．并利用你的研究结果进一步求出函数()f x 的最小值． 【解答】解：（1）实数a 、b是常数，函数())f x a b =， ∴由210,10,10.x x x +⎧⎪-⎨⎪-⎩，解得11x -，∴函数的定义域是[1-，1]；对于任意[1x ∈-，1]，有[1x -∈-，1]，且()))()f x a b a b f x -===， 即()()f x f x -=对[1x ∈-，1]都成立．（又()f x 不恒为零） 所以，函数()f x 是偶函数； （2）()3i a =-，1b =，∴()1)f x =，设11)t x =-，则22t =+∴2011x -，224(0)t t 2t ，∴2]D =；321()()(3)2ii g t t t =-的定义域为2]D =，对于任意的1t 、2t D ∈，且12t t <， 有32321211221()()[3(3)]2g t g t t t t t -=---2212112212121[()()3()()]2t t t t t t t t t t =-++--+ 22121122121122111()[(2)(2)()()]222t t t t t t t t t t t t =--+-+-+- 1211221221111()[(2)(2)(2)(2)]222t t t t t t t t t t =--+-+-+-， 又10t >，20t >，120t t -<，且120t -，220t -（这里二者的等号不能同时成立），∴1211221221111()[(2)(2)(2)(2)]0222t t t t t t t t t t --+-+-+->， 即12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，∴函数()g t 在D 上是减函数， ∴321(())(2)(232)22min g t g ==⨯-⨯=-， 又函数()f x 的值域与函数321()(3)2g t t t =-的值域相同，∴函数()f x 的最小值为2-．20．（16分）定义：已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，把圆222222a b x y a b+=+称为该椭圆的协同圆．设椭圆22:142x y C +=的协同圆为圆(O O 为坐标系原点），试解决下列问题： （1）写出协同圆圆O 的方程；（2）设直线l 是圆O 的任意一条切线，且交椭圆C 于A 、B 两点，求OA OB ⋅的值； （3）设M 、N 是椭圆C 上的两个动点，且OM ON ⊥，过点O 作OH MN ⊥，交直线MN 于H 点，求证：点H 总在某个定圆上，并写出该定圆的方程． 【解答】解：（1）由椭圆22:142x y C +=，可知24a =，22b =． 根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆224:3O x y +=；解：（2）设点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，则1212OA OB x x y y ⋅=+．直线l 为圆O 的切线，故分直线l 的斜率存在和不存在两种情况加以讨论： ①当直线l的斜率不存在时，直线:l x =．若:l x =，由22142x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩此时，121244033OA OB x x y y ⋅=+=-=；当:l x =时，同理可得：0OA OB ⋅=． ②当直线l 的斜率存在时，设:l y x t =+．由22142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4240x tx t +++-=．122412t x x +=-+，21222412t x x -=+，得22221212121224()()()12t y y x t x t x x t x x t -=++=+++=+． 又由于直线l 是圆O 231=+22344t =+． ∴2222212122222443440121212t t t x x y y ----+=+==+++，即0OA OB ⋅=．综上，总有0OA OB ⋅=；证明：（3）M 、N 是椭圆C 上的两个动点，且OM ON ⊥． 设3(M x ，3)y 、4(N x ，4)y ，则34340x x y y +=．下面分直线OM 、ON 中有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况加以讨论．不妨设直线ON 的斜率不存在，即点N 在y 轴上，则点M 在x 轴上，有214x =，222y =． 由11||||||||22OMN S OM ON OH MN ∆=⋅=⋅，解得||OH =； 若直线OM 、ON 的斜率都存在，设1:OM y x =，则11:ON y x =-．由122142y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得232221321412412x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，可得21||OM +=．同理可得21||ON +=．于是，2212211)||2)(2)MN +==+．由11||||||||22OMN S OM ON OH MN ∆=⋅=⋅，可得||OH =． 因此，总有||OH H 的圆上． 该定圆的方程为圆2243x y +=．21．（18分）已知函数()y f x =的定义域为R ，数列*{}()n a n N ∈满足21a a ≠，1()n n a f a -=，11()()()(2n n n n f a f a t a a n --+=+，*)n N ∈（实数、t 是非零常数）． （1）若1=-，且数列*{}()n a n N ∈是等差数列，求实数t 的值；（2）若210a a +≠，数列*{}()n b n N ∈满足*1()n n n b a a n N +=+∈，求通项公式n b ； （3）若1=-，1t ≠，数列*{}()n a n N ∈是等比数列，且1(0,)a a a a R =≠∈，21a a ≠，试证明：f （a ）t a =⋅． 【解答】（1）解：数列{}*()n a n N ∈满足21a a ≠，1()n n a f a -=，*11()()()(2,)n n n n f a f a t a a n n N --+=+∈，∴*11()(2,)n n n n a a t a a n n N +-+=+∈，数列{}*()n a n N ∈是等差数列，21a a ≠，1=-， 记公差为d ，则公差0d ≠． 11()n n n n a a t a a +-∴-=-，即d td =，1t ∴=；（2）解：210a a +≠，数列{}*()n b n N ∈满足*1()n n n b a a n N +=+∈， 1210b a a ∴=+≠，*1(2,)n n b tb n n N -=∈，∴数列{}*()n b n N ∈是首项为1b ，公比为t 的等比数列， ∴1*21()()n n b a a t n N -=+∈；（3）证明：1=-，1t ≠，21a a ≠，∴*11()(2,)n n n n a a t a a n n N +--=-∈，根据（2），可知当1=-时，1*21()()n n b a a t n N -=-∈，111122111211(1)()()()1n n n n n n n n b t a a a a a a a a b b b a a t -------∴=-+-+⋯+-+=++⋯++=+-，∴11*22()(1)()()111n n n a a t a a a a a a a t n N t t t------=+=+-∈---，数列{}*()n a n N ∈是等比数列，∴2()01a a a t-+=-，解得2a ta =， 又21()a f a f ==（a ）， f ∴（a ）ta =．。
2020-2021上海市高中必修一数学上期末一模试题(带答案)
2020-2021上海市高中必修一数学上期末一模试题(带答案)一、选择题1．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()n n A ．B ．C ．D ．2．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃8．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：x1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 ()f x-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.99．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．109310．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<11．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,5 B ．()2,4C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭12．函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12 C ．13D ．－12二、填空题13．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且在[1,2]上的最大值比最小值大2a，则a 的值为____________.14．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 15．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．16．己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.17．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ．18．若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.19．若函数()()()()22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________． 20．若函数()121xf x a =++是奇函数，则实数a 的值是_________. 三、解答题21．已知函数()2log 11m f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，其中m 为实数. （1）若1m =，求证：函数()f x 在()1,+∞上为减函数； （2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值. 22．已知()1log 1axf x x-=+（0a >，且1a ≠）. （1）当(],x t t ∈-（其中()1,1t ∈-，且t 为常数）时，()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；（2）当1a >时，求满足不等式()()2430f x f x -+-≥的实数x 的取值范围. 23．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 332log log 2log 36⋅--24．已知函数2()(,)1ax bf x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,且(1)1f =. (1)用定义证明()f x 在(1,)+∞的单调性;(2)解不等式()()2341xxf f +≤+.25．若()221x x af x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.26．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅I ，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。
上海市高三数学一模考试试题(含解析).doc
高三数学一模考试试题（含解析）一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.若(1)2z i i +=（i 是虚数单位），则||z =________．【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算性质先求出z ，再根据模的计算公式求解即可． 【详解】解：∵(1)2z i i +=，∴21iz i ==+()()()21111i i i i i -=++-，∴||z ==．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题． 2.已知4251λλ-=-，则λ=________【答案】3 【解析】 【分析】由行列式的计算公式化简求解即可． 【详解】解：4251λλ-=-()()4125λλ∴-⨯-⨯-=，解得3λ=， 故答案为：3．【点睛】本题考查二阶行列式的计算，属于基础题． 3.函数13x y -=（1x ≤）的反函数是________【答案】31log ,(0,1]y x x =+∈ 【解析】【分析】首先求出函数的值域，再利用反函数的求法，先反解x ，再对换x ，y ，求出即可． 【详解】解：13(1)x y x -=，(]0,1y ∴∈，得31log x y -=，x ，y 对换，得31log y x =+，(]0,1x ∈，故答案为：31log y x =+，(]0,1x ∈，【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题．4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_______ 场球赛. 【答案】66 【解析】 【分析】直接利用组合数的应用求出结果．【详解】解：根据题意利用组合数得2121211662C ⨯==． 故答案为：66．【点睛】本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．5.以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________【答案】22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程． 【详解】解：抛物线26y x =-的焦点坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线的方程为32x =， 所以焦点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．故答案为：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 6.在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为________ 【答案】9- 【解析】 【分析】利用二项展开式把5(1)x -展开，再求展开式中3x 的系数． 【详解】解：53(1)(1)x x -+()()2345315101051x x x x x x =-+-+-+()()23453234515101051510105x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-则含3x 的项有310x -与3x 两项∴展开式中3x 的系数为1109-=-．故答案为：9-．【点睛】本题考查了二项式系数的性质与应用问题，属于基础题． 7.不等式22|2|36x x x x -->--的解集是________ 【答案】(4,)-+∞ 【解析】 【分析】将不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--，再根据220x x -+>恒成立，则原不等式等价于22236x x x x -+>--解得即可；【详解】解：不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--， 由于函数22y x x =-+的图象在x 轴上方，所以220x x -+>恒成立，所以22236x x x x -+>--， 解得4x >-，故不等式的解集为(4,)-+∞． 故答案为：(4,)-+∞【点睛】本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x ，则k =_____【答案】2± 【解析】 【分析】由题意设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈，利用根与系数的关系结合12||2x x 求得a 与b 的值，则k 可求． 【详解】解：方程程220x kx -+=的两个虚根为1x 、2x ，可设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈． 122x x a k ∴+==，22122x x a b =+=，12||2x x -=，|2|2bi ∴=， 联立解得：1b =±，1a =±．2k ∴=±．故答案为：2±．【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为__【答案】【解析】 【分析】先求出直线l 的方程，再求出圆心C 与半径r ，计算圆心到直线l 的距离d ，由垂径定理求弦长||AB ．【详解】解：由题意可得，l 的方程为210x y ++=，22480x y x y +-+=可化为22(2)(4)20x y -++=，圆心(2,4)-，半径r =，∴圆心(2,4)-到l的距离d ==，AB ∴==故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，属于基础题．10.有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是________cm （钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）【答案】4.5 【解析】 【分析】直接利用球的体积公式和物理学的关系式的应用求出结果． 【详解】解：设钢球的内半径为r ， 所以33457.9 3.1414232r ⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得 2.25r ≈． 故内直径为4.5cm ． 故答案为：4.5．【点睛】本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =_______ 【答案】47- 【解析】 【分析】{}n a 、{}n b 均是等差数列，故{}n c 为二次函数，设2n c an bn c =++，根据前3项，求出a ，b ，c 的值，即可得到10c ．【详解】解：因为{}n a 、{}n b 均是等差数列，其通项公式均为关于n 的一次式，所以n n nc a b =⋅为关于n 的二次式，故设2n n n c c b n a an b =+⋅+=，17c =，29c =，39c =则7429939a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得153a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩253n c n n ∴+-+=210110510347c ∴=-⨯+⨯+=-， 故答案为：47-．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．12.已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________【答案】 【解析】 【分析】先根据基本不等式得到22()24b a b a b a b +-⎛⎫-=⎪⎝⎭；再利用基本不等式即可求解． 【详解】解：因0:a b >>22()24b a b a b a b +-⎛⎫∴-≤=⎪⎝⎭； 所以222166416()a a b a b a +≥+≥=-．当且仅当464a b a b ⎧=⎨=-⎩，即a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，此时(,)P a b的坐标为：(． 故答案为：(．【点睛】本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1)e ，上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A. 01a <<B.11a e<< C.111a e-<< D.111a e+<< 【答案】C 【解析】 【分析】函数f(x)在定义域内单调递增，由零点存在性定理可知()()10,0f f e <>，解不等式即可求得a 的取值范围.【详解】函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， ∵(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>， 可得111a e-<< 故选：C ．【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况. 14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 2()log (41)x f x x =+-B. ()||2cos f x x x =-C. 2210()0x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩D. |lg |()10x f x =【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数的定义，及在[0,)+∞上单调即可求解； 【详解】解：对于2241:()log (41)log 4x xx A f x x x -+-=++=+2222log (41)log 2log (41)()x x x x x f x =+-+=+-=．且2222(2)11()log (41)log log (2)22x xxx xf x x +=+-==+， 当0x 时，函数122xx y =+单调递增，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，故A 正确； :0B x >时，()2cos f x x x =-，令()12sin 0f x x '=->，得(0x ∈，52)(266k k ππππ++⋃，*22)()k k N ππ+∈，故B 不正确；:0C x ≠时，2212x x +，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立， ∴不满足在[)0,+∞上单调递增，故C 不正确；对于D ：|lg |()10x f x =定义域为()0,∞+，由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D 错；故选：A ．【点睛】考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于基础题；15.已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ） A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面【答案】B 【解析】 【分析】通过假设//a b ，可得,a b 平行于,αβ的交线，由此可得c 与交线相交或异面，由此不可能存在////a b c ，可得正确结果.【详解】设l αβ=，且l 与,a b 均不重合假设：////a b c ，由//a b 可得：//a β，//b α 又l αβ=，可知//a l ，//b l又////a b c ，可得：//c l因为,,αβγ两两互相垂直，可知l 与γ相交，即l 与c 相交或异面 若l 与a 或b 重合，同理可得l 与c 相交或异面 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项：B【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果. 16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：22sin cos sin()a x b xa b x，πϕπ-<<，下列判断错误的是（ ）A. 当0a >，0b >时，辅助角arctan b a ϕ=B. 当0a >，0b <时，辅助角arctan ba ϕπ=+C. 当0a <，0b >时，辅助角arctan ba ϕπ=+D. 当0a <，0b <时，辅助角arctan baϕπ=-【答案】B 【解析】 【分析】分别判断出a ，b 的值，对辅助角ϕ的影响． ①0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限； ②0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限； ③0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限； ④0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限． 【详解】解：因为cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=，(,]ϕππ∈-对于A ，因为0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限02πϕ∴<<，0b a>，arctan (0,)2b a π∴∈，故A 选项正确；对于B ，因为0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限02πϕ∴-<<；0b a <， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故B 选项错误； 对于C ，因为0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限2πϕπ∴<<；0b a <， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故C 选项正确； 对于D ，因为0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限2ππϕ∴-<<-，0b a <， arctan (,)2b a πππ∴-∈--，故D 选项正确； 故选：B ．【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力，属于中档题． 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，13DD =，E 是AB 的中点.（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 【答案】（133；（2）5arccos 8；【解析】 【分析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE 的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，由题意可得11//AD B C ，则11B C E ∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，求解三角形得答案．【详解】解：（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中， 底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，B ∴到DC 边的距离为3，又E 是AB 的中点，1BE ∴=，则()3311232BCDE S =+⨯=梯形． 13DD =，∴11333311333C BCDE BCDE V S DD -=⨯=⨯⨯=四边形；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//AD B C ，11B C E ∴∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，连接1B E ，在11C B E ∆中，112B C =，2213110B E =+=， 222211121211()942C E EC CC =+=+-⨯⨯⨯-+=．2221124(10)5cos 8B C E +-∴∠==，∴异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5arccos 8．【点睛】本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．18.已知函数()sin cos()cos 2f x x x x x π=+.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心； （2）若()f x a =在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.【答案】（1）π，对称中心：1,,2122k k Z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭；（2）10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，123x x π+=【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a 的范围和12x x +的值．【详解】解：（1）函数()sin cos cos 2f x x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21cos 21sin 22sin 2262x x x x x π-⎛⎫=-+=-+=+- ⎪⎝⎭． 所以函数的最小正周期为22T ππ==， 令2()6x k k Z ππ+=∈，解得()212k x k Z ππ=-∈， 所以函数的对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫--∈⎪⎝⎭． （2）由于02xπ，所以72666x πππ+，在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，所以函数1sin 2126x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭时，函数的图象有两个交点， 故a 的范围为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．由于函数的图象在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上关于6x π=对称， 故12263x x ππ+=⋅=．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.一家污水处理厂有A B 、两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A B 、两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时） 【答案】（1）7小时；（2）17小时 【解析】 【分析】（1）由题意可得A 池每小时剩余原来的90%，设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半，则0.90.5x =，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时剩余原来的81%，可得090.810.12x x+=，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值． 【详解】解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%， 设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半， 则0.90.5x=，可得0.570.9lg x lg =≈， 则A 池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%， 可得090.810.12x x+=，即20.90.90.20x x +-=， 可得0.9x=， 可得170.9lg x lg ⎝⎭=≈． 则A 、B 两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定．【点睛】本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.已知直线:l x t =(02)t <<与椭圆22:142x y Γ+=相交于AB 、两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记1F 、2F 是椭圆1(,]2t ∈-∞的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；（2）若点M A 、关于y 轴对称，当MAB △的面积最大时，求直线MB 的方程； （3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P Q 、，证明：||||OP OQ ⋅为定值.【答案】（1）642-+（2）2y x =；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得焦点1F ，2F 的坐标，进而可求出A 的坐标，设M 的坐标，注意横坐标的范围[]22-,，在椭圆上，又M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等，可求出M 的横坐标； （2）M ，A ，3B 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB 的方程；（3）设M ，A 的坐标，得出直线MA ，MB 的方程，进而求出两条直线与x 轴的交点坐标，用M ，A 的坐标表示，而M ，A 又在椭圆上，进而求出结果． 【详解】（1）设1(,),(2,0)M x y F -22(2)||x y x t ++=-，联立椭圆方程：22:142x y Γ+=，把22122y x =-代入得：22221222222x x x x tx t +++-=-+，(22)2x t ∴=--；又因为2t =，代入得：642M x =-+；（2）设()()11,,A t y B t y -，则()1,M t y -，则12MABSt y =⋅，又因为()1,A t y 在椭圆22:142x y Γ+=上，所以221142y t +=，11122t y ∴≥1ty ∴≤则MAB S≤，当且仅当1t =时，取等号，即t =，则(1)M B -，所以:2MB l y x =-； （3）设()()()1100,,,,,A t y B t y M x y -，则01100110:():()MA MB y y l y x t y x ty y l y x t y x t-⎧=-+⎪-⎪⎨+⎪=--⎪-⎩100101001,00,0d y t y x P y y y y t y x Q y y ⎧⎛⎫-⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨⎛⎫+⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎩令，则22220102201||||=y t y x O Q y P O y --⋅，又因为2212200122122y t y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入得：2202222||||41122t x OP OQ t x -⋅==-，故为定值.【点睛】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21.已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数），且2n a +=令ln n nb a =（n ∈*N ）.（1）证明：2n b +> （2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32n n b -=--；（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，12t ≤ 【解析】 【分析】（1）由已知可得：1n a >．利用基本不等式的性质可得：112n n nlna lna lna +++，可得1n lna lna +，代入化简即可得出．（2）设1+=-n n n c b b ，由2n a +=*()n n b lna n N =∈．可得121112n n n n n n c b b c b b ++++-==--．即可证明211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +成立．由（2）可得：1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．1n =时，10t ，解得t R ∈．2n 时，1min n n b t b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，利用单调性即可得出．【详解】解：（1）依题意得，要证明2n b +>2ln na + 又因为2n a +=2lnn a +=，要证明2lnn a+>> 要证明>()1ln n n aa +⋅> 又因为1ln ln n n a a ++≥.（2）设1+=-n n n c b b ，因为2n a +=*ln ()n n b a n N =∈，则2112111111lnln 212ln ln n n nn n n n n n n n n n n a ac b b a a a a c b b a a +++++++++--====--所以：{}1n n b b +-是公比为12的等比数列，则()111211122n n n n b b b b --+⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()121321n n n b b b b b b b b -∴=+-+-++-2211101()()()222n -=++-+-+⋯⋯+-11111221113212n n --⎡⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭． nb 的通项公式是121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦； （3）假设存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +≥成立，由（2）知，1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 1︒当1n =时，t R ∈；2︒当2n ≥时，1minn n b t b +⎛⎫≤⎪⎝⎭， 而1111(2)1(2)23321(2)2(2)2(2)2112nn n n n n n n b b +-⎛⎫-- ⎪---+-⎝⎭-===--+-+-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则当2n =时，m 132in12n n b b b b +⎛⎫==⎪⎝⎭，故存在这样的t ，12t ≤ 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
上海市高三上学期数学一模试卷附解析
高三上学期数学一模试卷一、填空题1. ，命题：假设，那么且的逆否命题是________．2.的展开式中的常数项是________.3.如下列图，弧长为，半径为1的扇形(及其内部)绕所在的直线旋转一周，所形成的几何体的外表积为________.4.设是虚数单位，复数为纯虚数，那么实数为________5.在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，那么＝________.6.某校的“希望工程〞募捐小组在假期中进行了一次募捐活动.他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元.要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要________天.(结果取整)7.某校开设9门选修课程，其中A，B，C三门课程由于上课时间相同，至多项选择一门，假设规定每位学生选修4门，那么一共有________种不同的选修方案.8.如下列图，在平面直角坐标系中，动点以每秒的角速度从点出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到，再以每秒的角速度从点沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点，那么上述过程中动点的纵坐标关于时间的函数表达式为________.二、单项选择题9.假设，，那么下面不等式中成立的一个是〔〕．A. B. C. D.10.以下四个选项中正确的选项是〔〕A. 关于的方程( )的曲线是圆B. 设复数是两个不同的复数，实数，那么关于复数的方程的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆C. 设为两个不同的定点，为非零常数，假设，那么动点的轨迹为双曲线的一支D. 双曲线与椭圆有相同的焦点11.在平面直角坐标系中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点)于A、BA、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且，那么a+b的最大值为( )A. 1B.C. 2D. 不存在三、解答题12.如下列图，等腰梯形是由正方形和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，，.现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点移至点，使二面角的大小为.〔1〕求四棱锥的体积；〔2〕求异面直线与所成角的大小.13.设，其中常数.〔1〕设，，求函数( )的反函数；〔2〕求证：当且仅当时，函数为奇函数.14.如下列图，在河对岸有两座垂直于地面的高塔和.张明在只有量角器(可以测量从测量人出发的两条射线的夹角)和直尺(可测量步行可抵达的两点之间的直线距离)的条件下，为了计算塔的高度，他在点A测得点的仰角为，，又选择了相距100米的点，测得.〔1〕请你根据张明的测量数据求出塔高度；〔2〕在完成〔1〕的任务后，张明测得，并且又选择性地测量了两个角的大小(设为､).据此，他计算出了两塔顶之间的距离.请问：①张明又测量了哪两个角？(写出一种测量方案即可)②他是如何用表示出的？(写出过程和结论)15.个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列.，，.〔1〕设，求数列的通项公式；〔2〕设，求证：( )；〔3〕设，请用数学归纳法证明：.16.如下列图，定点到定直线的距离.动点到定点的距离等于它到定直线距离的2倍.设动点的轨迹是曲线.〔1〕请以线段所在的直线为轴，以线段上的某一点为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系，使得曲线经过坐标原点，并求曲线的方程；〔2〕请指出〔1〕中的曲线的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.〔3〕设〔1〕中的曲线除了经过坐标原点，还与轴交于另一点，经过点的直线交曲线于，两点，求证：.答案解析局部一、填空题1.【解析】【解答】由逆否命题定义可得原命题的逆否命题为：假设a=0或b=0，那么ab=0故答案为：假设a=0或b=0，那么ab=0.【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期末检测试题
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期末检测试题第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应位置）1.已知集合{}02|2＜x x x A -=，{}210，，=B ，则=B A ▲. 2.若复数)23(i i z -=（i 是虚数单位），则z 的虚部为▲. 3.如图，若输入的x 值为3π，则相应输出的值为▲.4.某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高. 据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)160155，、第二组[)165160，、……、第八组[]195190，. 按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数为▲.5.双曲线116922=-y x 的焦点到渐近线的距离为▲.6.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是▲.7.已知等比数列{}n a 满足4212=+a a ，523a a =，则该数列的前5项的和为▲. 8.已知正四棱锥底面边长为24，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为▲.9.已知函数)32sin()(π+=x x f （ ）π＜x ≤0，且21)()(==βαf f （ ）βα≠，则=+βα▲.10.已知)sin (cos αα，=m ，)12(，=n ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππα，，若1=⋅n m ，则=+)232sin(πα▲.11.已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为▲. 12.已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为▲. 13.已知数列{}n a 中，a a =1（ ）20≤a ＜，⎩⎨⎧≤+--=+)2(3)2(21n nn n n a a a a a ＞（ ）*N n ∈，记n n a a a S +++= 21，若2015=n S ，则=n ▲.14.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，）（a a x a x x f 3221)(--+-=. 若集合{}Φ=∈--R x x f x f x ，＞0)()1(|，则实数a 的取值范围为▲.二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB =，D 、E 分别为BC 、1CC 中点，D B BC 11⊥.（1）求证：//DE 平面1ABC ； （2）求证：平面⊥D AB 1平面1ABC . 16.（本小题满分14分）已知函数x x x x f ωωωcos sin cos 3)(2+=（ ）0＞ω的周期为π.（1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20π，x 时，求函数)(x f 的值域；（2）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若3)2(=Af ，且4=a ，5=+c b ，求ABC ∆的面积. 17.（本小题满分15分）如图，已知椭圆12222=+by a x （ ）0＞＞b a 的左、右焦点为1F 、2F ，P是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足MP M F λ=1（ ）R ∈λ，M F PO 2⊥，O 为坐标原点.（1）若椭圆方程为14822=+y x ，且），（22P ，求点M 的横坐标；（2）若2=λ，求椭圆离心率e 的取值范围. 18.（本小题满分15分）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xoy .（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为lh S 32=） 19.（本小题满分16分） 已知函数x e x ax x f )2()(2++=（ ）0＞a ，其中e 是自然对数的底数.（1）当2=a 时，求)(x f 的极值；（2）若)(x f 在[]22，-上是单调增函数，求a 的取值范围； （3）当1=a 时，求整数t 的所有值，使方程4)(+=x x f 在[]1+t t ，上有解. 20.（本小题满分16分）若数列{}n a 中不超过)(m f 的项数恰为m b （ ）*N m ∈，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数)(m f 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.（1）已知2n a n =，且2)(m m f =，写出1b 、2b 、3b ； （2）已知n a n 2=，且m m f =)(，求{}m b 的前m 项和m S ；（3）已知n n a 2=，且3)(Am m f =（ ）*N A ∈，若数列{}m b 中，1b ，2b ，3b 是公差为d （ ）0≠d 的等差数列，且103=b ，求d 的值及A 的值.第二部分（加试部分）21.（本小题满分10分） 已知直线1=+y x l ：在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10n m A 对应的变换作用下变为直线1=-'y x l ：，求矩阵A .22.（本小题满分10分）在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（ ）R ∈ρ距离的最大值.23.（本小题满分10分）某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球. 若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m 元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n 元. 活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.（1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n 元的概率； （2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由. 24.（本小题满分10分）已知函数232)(x x x f -=，设数列{}n a 满足：411=a ，)(1n n a f a =+. （1）求证：*N n ∈∀，都有310＜＜n a ； （2）求证：44313313313121-≥-++-+-+n na a a .参 考 答 案一、填空题1．{}12．3 3．124．144 5．4 6．257．31 8．59．76π10．725-11．312．1±13．1343 14．1(,]6-∞ 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．证明：（1）D 、E 分别为BC 、1CC 中点，1//DE BC ∴， (2)分DE ⊄平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC //DE ∴平面1ABC (6)分（2）直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABCAD ⊂平面ABC 1CC AD ∴⊥ (8)分AB AC =，D 为BC 中点 AD BC ∴⊥，又1CC BC C =，1CC ，BC ⊂平面11BCC B ，11面AD BCC B ∴⊥1BC ⊂平面11BCC B 1AD BC ∴⊥…………11分又11BC B D ⊥，1B D AD D =，1B D ，AD ⊂平面1AB D 1BC ∴⊥平面1AB D1BC ⊂平面1ABC ∴平面1AB D ⊥平面1ABC (14)分16．解：（1）1()cos2)sin 2sin(2)23f x x x x πωωω++=+…………2分()f x 的周期为π，且0ω>，22ππω∴=，解得1ω=()sin(2)3f x x π∴=+4分又02x π≤≤， 得42333x πππ≤+≤，sin(2)13x π≤+≤，0sin(2)13x π≤+≤+ 即函数()y f x =在[0,]2x π∈上的值域为1]．………7分（2）()2Af=sin()3A π+=由(0,)A π∈，知4333A πππ<+<，解得：233A ππ+=，所以3A π=…………9分由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-216()3b c bc ∴=+-，因为5b c +=，所以3bc =…………12分∴1sin 2ABC S bc A ∆= (14)分17．（1）22184x y +=12(2,0),(2,0)F F ∴-21OP F M F M k k k ∴===∴直线2FM的方程为：2)y x =-，直线1FM 的方程为：2)y x + (4)分由2)2)y x y x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩解得：65x =∴点M 的横坐标为65…………6分（2）设00(,),(,)M M P x y M x y2PO F M⊥，00(,)OP x y =2000242()0333x c x y ∴-+=即220002x y cx +=…………9分联立方程得：2200022002221x y cx x y ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去0y 得：222222002()0c x a cx a a c -+-= 解得：0()a a c x c +=或 0()a a c x c-=…………12分0a x a -<<0()(0,)a a c x a c-∴=∈20a ac ac ∴<-< 解得：12e >综上，椭圆离心率e 的取值范围为1(,1)2．…………15分18．解：（1）设抛物线的方程为：2(0)y ax a =->，则抛物线过点3(10,)2-，代入抛物线方程解得：3200a =， …………3分令6y =-，解得：20x =±，则隧道设计的拱宽l 是40米； …………5分（2）抛物线最大拱高为h 米，6h ≥，抛物线过点9(10,())2h --，代入抛物线方程得：92100h a -=令y h =-，则292100h x h --=-，解得：210092hx h =-，则2100()922l h h =-，2292400lh l =- (9)分229266400l h l ≥∴≥- 即2040l <≤232292232(2040)33400400ll S lh l l l l ∴==⋅=<≤--………12分当20l <<时，'0S <；当40l <≤时，'0S >，即S在上单调减，在上单调增，S ∴在l =时取得最小值，此时l =，274h =答：当拱高为274米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．………15分19．解：（1）2()(22)x f x x x e =++，则'2()(253)(1)(23)x x f x x x e x x e =++=++………2分令'()0f x = ，31,x =--323()()52极大值=f x f e -∴-= ，1()(1)3极小值=f x f e --= (4)分（2）问题转化为'2()(21)30xf x ax a x e ⎡⎤=+++≥⎣⎦在[2,2]x ∈-上恒成立；又0x e > 即2(21)30ax a x +++≥在[2,2]x ∈-上恒成立； ………6分2()(21)3令g x ax a x =+++0a >，对称轴1102x a=--< ①当1122a --≤-，即102a <≤时，()g x 在[2,2]-上单调增， min ()(2)10g x g ∴=-=>102a ∴<≤………8分②当12102a -<--<，即12a >时，()g x 在1[2,1]2a ---上单调减，在1[1,2]2a --上单调增，2(21)120a a ∴∆=+-≤解得：11a ≤≤+112a ∴<≤ 综上，a的取值范围是(0,1+．………10分（3）1,a = 设2()(2)4x h x x x e x =++-- ，'2()(33)1x h x x x e =++-令2()(33)1x x x x e ϕ=++- ，'2()(56)x x x x e ϕ=++ 令'2()(56)0,2,3得x x x x e x ϕ=++==--33()(3)10极大值=x e ϕϕ∴-=-< ，21()(2)10极小值=x e ϕϕ-=-<………13分()h x ∴在0(,)x -∞上单调减，在0(,)x +∞上单调增又43148(4)0,(3)10,(0)20,(1)450h h h h e e e-=>-=-<=-<=-> 由零点的存在性定理可知：12()0(4,3),(0,1)的根h x x x =∈--∈ 即4,0t =-．………16分20．解：（1）1m =，则111a =≤11b ∴=；2m =，则114a =<，244a =≤22b ∴=3m =，则119a =<，249a =<399a =≤33b ∴= (3)分（2）m 为偶数时，则2n m ≤，则2m m b =；m 为奇数时，则21n m ≤-，则12m m b -=；1()2()2为奇数为偶数m m m b m m -⎧⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩ (5)分m 为偶数时，则21211(12)2224m m m m S b b b m =+++=+++-⨯=；m 为奇数时，则221211(1)11424m m m m m m m S b b b S b ++++-=+++=-=-=； 221()4()4为奇数为偶数m m m S m m ⎧-⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩…………8分（3）依题意：2n n a =，(1)f A =，(2)8f A =，(5)125f A =，设1b t =，即数列{}n a 中，不超过A 的项恰有t 项，所以122t t A +≤<， 同理：1221282,21252,++t d t d t d t d A A ++++≤<≤<即⎧⎪⎨⎪⎩13222122,22,22,125125++t t t d t d t dt d A A A +-+-++≤<≤<≤<故22131222max{2,2,}min{2,2,}125125++t d t d t t d t t d A ++-++-≤<由⎧⎨⎩312222,22,125++t d t t d t d -++-<<得4d <，d 为正整数 1,2,3d ∴=，…………10分当1d =时，232242max{2,2,}max{2,,}21254125++=t d tt tt d t t -⨯= ， 21121228282min{2,2,}min{2,,}21252125125=t d t t t t t d t t ++++-+⨯⨯=<不合题意，舍去； 当2d =时，2312162max{2,2,}max{2,2,}2125125+=t d t tt d t t t +--⨯= ， 211212322322min{2,2,}min{2,2,}2125125125=t d t t t t d t t t ++++-+⨯⨯=<不合题意，舍去； 当3d =时，232642max{2,2,}max{2,2,}2125125++=t d t tt d t t t -⨯= ， 211211212821282min{2,2,}min{2,2,}2125125125+=t d t t t t d t t t ++++-+⨯⨯=>适合题意，………12分此时12822125t t A ≤<⨯，125,3,6b t b t b t ==+=+，336t b t ∴+≤≤+310b =47t ∴≤≤t为整数 4,5,6t t t ∴===或7t =(3)27f A =，310b =10112272A ∴≤<1011222727A ∴≤<………14分当4t =时，11422125A ≤<∴无解当5t =时，12522125A ≤<∴无解当6t =时，13622125A ≤<13264125A ∴≤<当7t =时，14722125A ≤<∴无解13622125A ∴≤<*A N ∈64A ∴=或65A =综上：3d =，64A =或65．………16分-度第一学期高三期末调研测试数 学 试 题Ⅱ参 考 答 案21．解：（1）设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y '''． 由''01x m n x mx ny y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx nyy y'=+⎧⎨'=⎩…………5分 又点(,)M x y '''在l '上,所以1x y ''-=,即()1mx ny y +-=依题意111m n =⎧⎨-=⎩,解得12m n =⎧⎨=⎩，1201A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦…………10分22．解：圆的直角坐标方程为22(4)16x y +-=， …………3分直线的直角坐标方程为y =， (6)分圆心(0,4)到直线的距离为2d =，则圆上点到直线距离最大值为246D d r =+=+=． (10)分23．解：（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元为事件M ． 则131()344P M =⨯=即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元的概率为14．…………4分（2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下： ①先在甲箱中摸球，参与者获奖金可取0,,m m n 则3121111(0),(),()44364312P P m P m n3110()4612412m nEm m n …………6分 ②先在乙箱中摸球，参与者获奖金可取0,,n m n创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01则2131111(0),(),()33443412P P n P m n ηηη====⨯==+=⨯= 2110()3412123m n E n m n …………8分 当32m n>时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大； 当32m n 时，两种顺序参与者获奖金期望值相等； 当32mn 时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． 答：当32m n >时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当32mn 时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当32m n 时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．…………10分24．（1）解：①当1n =时，114a =，有1103a << 1n ∴=时，不等式成立 …………1分 ②假设当*()n k k N =∈时，不等式成立，即103k a << 则当1n k =+时， 于是21113()33k k a a +-=- 103k a <<，∴21103()33k a <-<，即111033k a +<-<，可得1103k a +<< 所以当1n k =+时，不等式也成立由①②，可知，对任意的正整数n ，都有103n a <<…………4分 （2）由（1）可得21113()33n n a a +-=- 两边同时取3为底的对数，可得31311log ()12log ()33n n a a +-=+- 化简为313111log ()2[1log ()]33n n a a ++-=+-创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 所以数列31{1log ()}3n a +-是以31log 4为首项，2为公比的等比数列 …………7分133111log ()2log 34n n a -∴+-=，化简求得：12111()334n n a --=，1213413n n a -∴=- 2n ≥时，101211111211n n n n n n C C C C n n ------=++++≥+-=，1n =时，121n -=*n N ∴∈时，12n n -≥，121343413n n n a -∴=⋅≥⋅- 11233344131313n n a a a +∴+++≥----．…………10分。
上海市2020〖苏科版〗高三数学复习试卷第一学期期末考试试卷文科数学
上海市2020年〖苏科版〗高三数学复习试卷第一学期期末考试试卷文科数学一：选择题: (每小题5分,共计60分) 1、若复数iia 213++i R a ,(∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为( )A. 6-;B. 13;C. 23 D.13 2．如图是2008年在滁州举行的全国农歌会附属赛歌会上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）．A. 84， 4.84B. 84，1.6C. 85，1.6D. 85，43．若函数f(x)=x 3+x 2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3+x 2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A 、1.2B 、1.3C 、1.47 8 9 94 4 6 4 7 3第2题图D 、1.54．如图所示，一个空间几何体的主观图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，农那么这个几何体的全面积为：A.π2B.; π23 C. π3 D.π45.下列命题：①2x x x ∀∈,≥R ；②2x x x ∃∈,≥R ；③43≥；④“21x ≠”的充要条件是“1x ≠,或1x ≠-”. 中,其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2D. 36．.若542sin ,532cos -==θθ,则角θ的终边一定落在直线DA. 0247=+y xB. 0247=-y xC. 0724=+y xD.0724=-y x7．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +成等差数列，则公比q 为（ ）A ．2q =-B ．2q =或1q =-C ．2q =-或1q =D ．1q =8．将直线20x y λ-+=沿)0,1(-=→a 平移后，所得直线与圆22240x y x y ++-= 相切，则实数λ的值为主视图侧视图俯视图A ．0或10B ．－2或8C ．－3或7D ．1或119．若函数x x a a k x f ---=)1()90(>a 且)1≠a 在R 上既是奇函数，又是偶函数，则（ A ）)(log )(k x x g a +=的图像是AB CD10．定义：设M 是非空实数集，若∃M a ∈，使得对于M x ∈∀，都有a x ≤)(a x ≥，则称a 是M 的最大（小）值，若A 是一个不含零的非空实数集，且0a 是A 的最大值，则（ ）A. 当00>a 时，10-a 是集合}|{1A x x ∈-的最小值；B. 当00<a 时，10-a 是集合}|{1A x x ∈-的最大值；C. 当00<a 时，10--a 是集合}|{1A x x ∈--的最小值；D. 当00<a 时，10--a 是集合}|{1A x x ∈--的最大值； 二：填空题(每小题4分 ,共16分)11．函数)2lg(1x x y -++=的定义域__________；12. 统计某校1000名学生的数学学业水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如下图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是_____，优秀率为_____13．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+-0001y y x y x 表示的平面区域的面积是_______；14．如图，是一个程序框图，则输出结果为____________15 .已知向量)4,3(-=→OA ，)3,6(-=→OB ，)3,5(m m OC ---=→，若点A 、B 、C 三点能构成三角形，则实数m 应满足的条件是__________ ；16.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和。
2020-2021上海民办金盟学校高中必修一数学上期末试卷(带答案)
2020-2021上海民办金盟学校高中必修一数学上期末试卷(带答案)一、选择题1．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2B ．2C ．-98D ．982．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞4．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称5．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．c b a >>6．已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>7．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2]D ．[0，2]8．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 9．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．111．函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（ ） A ．（－∞，2）B ．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2） 12．函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12 C ．13D ．－12二、填空题13．定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则不等式f （x ）≥0的解集是___．14．如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.15．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，11()42x x f x =-+，则此函数的值域为__________.16．已知常数a R ∈，函数()21x af x x +=+.若()f x 的最大值与最小值之差为2，则a =__________.17．已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________． 18．函数2sin 21=+++xy x x 的最大值和最小值之和为______ 19．已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a的取值集合为______.20．已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 三、解答题21．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-. （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.22．已知()()122x x f x a a R +-=+∈n .（1）若()f x 是奇函数，求a 的值，并判断()f x 的单调性（不用证明）； （2）若函数()5y f x =-在区间(0,1)上有两个不同的零点，求a 的取值范围. 23．设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≤-． （1）求()U A C B ⋂；（2）若函数()lg(2)f x x a =+的定义域为集合C ，满足A C ⊆，求实数a 的取值范围. 24．已知．（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数在区间上是递增的，求实数的取值范围．25．已知函数()()20f x ax bx c a =++≠，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当[]1,2x ∈-时，求函数的最大值和最小值．26．如图，OAB ∆是等腰直角三角形，ABO 90∠=o ，且直角边长为2，记OAB ∆位于直线()0x t t =>左侧的图形面积为()f t ，试求函数()f t 的解析式.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2. 故选A2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．3．C解析：C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <，又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．C解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 5．D解析：D 【解析】 【分析】由对数的运算化简可得2log a =log b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log log 42a ====28222log 61log 6log 6log log 83b ====，2<<，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，由指数函数的性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.7．D解析：D 【解析】 【分析】由分段函数可得当0x =时，2(0)f a =，由于(0)f 是()f x 的最小值，则(,0]-∞为减函数，即有0a ≥，当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，则有22a a ≤+，解不等式可得a 的取值范围.【详解】因为当x≤0时，f(x)＝()2x a -，f(0)是f(x)的最小值， 所以a≥0.当x ＞0时，1()2f x x a a x=++≥+，当且仅当x ＝1时取“＝”． 要满足f(0)是f(x)的最小值，需22(0)a f a +>=，即220a a --≤，解得12a -≤≤， 所以a 的取值范围是02a ≤≤， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.8．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1；即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.9．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.10．B解析：B 【解析】121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则()1214log 422f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 11．D解析：D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质,求出函数()0f x <在(－∞，0]上的解集,再根据对称性即可得出答案. 【详解】由函数()f x 为偶函数,所以()()220f f -==,又因为函数()f x 在(－∞，0]是减函数,所以函数()0f x <在(－∞，0]上的解集为(]2,0-,由偶函数的性质图像关于y 轴对称,可得在(0,+ ∞)上()0f x <的解集为(0,2),综上可得,()0f x <的解集为(-2,2). 故选:D. 【点睛】本题考查了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题.12．B解析：B 【解析】 y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12，选B. 二、填空题13．-40∪4+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f （0）=0由函数单调性可得在（04）上f （x ）＜0在（4+∞）上f （x ）＞0结合函数的奇偶性可得在（-40）上的函数值的情况从而可得答案【详解】根解析： [-4，0]∪[4，+∞） 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得f （0）=0，由函数单调性可得在（0，4）上，f （x ）＜0，在（4，+∞）上，f （x ）＞0，结合函数的奇偶性可得在（-4，0）上的函数值的情况，从而可得答案. 【详解】根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）=0，又由f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则在（0，4）上，f （x ）＜0，在（4，+∞）上，f （x ）＞0，又由函数f （x ）为奇函数，则在（-4，0）上，f （x ）＞0，在（-∞，-4）上，f （x ）＜0， 若f （x ）≥0，则有-4≤x≤0或x≥4， 则不等式f （x ）≥0的解集是[-4，0]∪[4，+∞）； 故答案为：[-4，0]∪[4，+∞）． 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题．14．3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幂函数所以即所以所以或当时其图象不过原点符合题意;当时其图象经过原点不合题意综上所述:故解析：3 【解析】 【分析】根据幂函数的概念列式解得3m =,或6m =,然后代入解析式,看指数的符号,负号就符合,正号就不符合. 【详解】因为函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数,所以29191m m -+=,即29180m m -+=, 所以(3)(6)0m m --=, 所以3m =或6m =-, 当3m =时,12()f x x-=,其图象不过原点,符合题意;当5m =时,21()f x x =,其图象经过原点,不合题意. 综上所述:3m =. 故答案为:3 【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质,属于基础题.15．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函解析：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】可求出0x ≥时函数值的取值范围，再由奇函数性质得出0x ≤时的范围，合并后可得值域． 【详解】设12x t =，当0x ≥时，21x ≥，所以01t <≤，221124y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以104y ≤≤，故当0x ≥时，()10,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()1,04f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故函数()f x 的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数的奇偶性，求奇函数的值域，可只求出0x ≥时的函数值范围，再由对称性得出0x ≤时的范围，然后求并集即可．16．【解析】【分析】将化简为关于的函数式利用基本不等式求出的最值即可求解【详解】当时当时时当且仅当时等号成立同理时即的最小值和最大值分别为依题意得解得故答案为:【点睛】本题考查函数的最值考查基本不等式的解析：【解析】 【分析】将()f x 化简为关于x a +的函数式，利用基本不等式，求出的最值，即可求解. 【详解】当x a =-时，()0f x =， 当x a ?时，()222111[()]1()2x a x af x a x x a a x a ax a++===+++-+++-+， x a >-时，21()22a x a a a x a+++-≥+当且仅当x a =时，等号成立，0()2af x ∴<≤=同理x a <-时，()0f x ≤<，()f x ≤≤， 即()f x，2=，解得a =.故答案为: 【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，属于中档题.17．【解析】【分析】由题意可得f （x ）g （x ）的图象均过（﹣11）分别讨论a ＞0a ＜0时f （x ）＞g （x ）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题解析：310,23⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围． 【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2ax =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．18．4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与最小值的和即可【详解】∵函数∴设则∴是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质∴的最小值为又∴故答案为：4【点睛】本题主要考解析：4 【解析】 【分析】 设()2sin 1xg x x x =++，则()g x 是奇函数，设出()g x 的最大值M ，则最小值为M -，求出2sin 21=+++xy x x 的最大值与最小值的和即可. 【详解】∵函数2sin 21=+++xy x x ， ∴设()2sin 1x g x x x =++，则()()2sin 1xg x x g x x --=-=-+， ∴()g x 是奇函数， 设()g x 的最大值M ，根据奇函数图象关于原点对称的性质，∴()g x 的最小值为M -， 又()max max 22g x y M =+=+，()min min 22g x y M =+=-， ∴max min 224y y M M +=++-=， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，求出()2sin 1xg x x x =++的奇偶性以及最值是解题的关键，属于中档题.19．【解析】【分析】由幂函数为奇函数且在上递减得到是奇数且由此能求出的值【详解】因为幂函数为奇函数且在上递减是奇数且故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程思想 解析：{}1-【解析】 【分析】由幂函数()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，得到a 是奇数，且0a <，由此能求出a 的值． 【详解】因为11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，幂函数为奇()af x x =函数，且在(0,)+∞上递减，a ∴是奇数，且0a <， 1a ∴=-．故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误 解析：42【解析】试题分析：设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=， 因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 【考点】指数运算，对数运算． 【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5log log 2a b b a +=的根有两个，由于增根导致错误 三、解答题21．（1）()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在R 上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即0x >时要是增函数，且端点处函数值不小于0. 【详解】解：（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-，所以()()2320x ax a f x x =-+-+<，所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩. （2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩， 解得302a ≤≤， 故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．22．(1)答案见解析；(2)253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】 试题分析：(1)函数为奇函数，则()()0f x f x -+=，据此可得2a =-，且函数()f x 在R 上单调递增；(2)原问题等价于22252x x a =-⋅+⋅在区间(0,1)上有两个不同的根，换元令2x t =，结合二次函数的性质可得a 的取值范围是253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. 试题解析： （1）因为是奇函数，所以()()()()1122222220x x x x x x f x f x a a a -++---+=+⋅++⋅=++=，所以；在上是单调递增函数;(2) 在区间(0,1)上有两个不同的零点，等价于方程在区间(0,1)上有两个不同的根，即方程在区间(0,1)上有两个不同的根， 所以方程在区间上有两个不同的根，画出函数在(1,2)上的图象,如下图,由图知,当直线y =a 与函数的图象有2个交点时,所以的取值范围为.点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用． 23．（1）{}23x x <<（2）()2,+∞ 【解析】 【分析】（1）先化简集合B ，再根据集合的交并补运算求解即可；（2）函数()lg(2)f x x a =+定义域对应集合可化简为2a C x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，又A C ⊆，故由包含关系建立不等式即可求解； 【详解】（1）由题知，{}2B x x =≤，{}2U C B x x ∴=>{}13A x x =-≤<Q(){}23UA CB x x ∴⋂=<<（2）函数()lg(2)f x x a =+的定义域为集合2a C x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，A C ⊆Q ，12a∴-<-， 2a ∴>.故实数a 的取值范围为()2,+∞. 【点睛】本题考查集合的交并补的混合运算，由集合的包含关系求参数范围，属于基础题 24．（1）（2）【解析】试题分析：（1）由于函数定义域为全体实数，故恒成立，即有，解得；（2）由于在定义域上是减函数，故根据复合函数单调性有函数在上为减函数，结合函数的定义域有，解得.试题解析：（1）由函数的定义域为可得:不等式的解集为，∴解得，∴所求的取值范围是（2）由函数在区间上是递增的得： 区间上是递减的， 且在区间上恒成立；则，解得25．（1）()222f x x x =-+；（2）增区间为()1,+∞，减区间为(),1-∞；（3）最小值为1，最大值为5. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件列出方程组，即可求函数()f x 的解析式； （2）利用二次函数的对称轴，看看方向即可求函数()f x 的单调区间； （3）利用函数的对称轴与[]1,2x ∈-，直接求解函数的最大值和最小值． 【详解】（1）由()02f =，得2c =，又()()121f x f x x +-=-，得221ax a b x ++=-， 故221a ab =⎧⎨+=-⎩ 解得：1a =，2b =-.所以()222f x x x =-+；（2）函数()()222211f x x x x =-+=-+图象的对称轴为1x =，且开口向上， 所以，函数()f x 单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为(),1-∞； （3）()()222211f x x x x =-+=-+，对称轴为[]11,2x =∈-，故()()min 11f x f ==，又()15f -=，()22f =，所以，()()max 15f x f =-=. 【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了二次函数单调区间与最值的求解，解题时要结合二次函数图象的开口方向与对称轴来进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.26．()221,022144,2424,4t t f t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩【解析】 【分析】分02t <≤、24t <≤和4t >三种情况讨论，当02t <≤时，直线x t =左边为直角边长为t 的等腰直角三角形；当24t <≤时，由AOB ∆的面积减去直角边长为4t -的等腰直角三角形面积得出()f t ；当4t >时，直线x t =左边为AOB ∆.综合可得出函数()y f t =的解析式. 【详解】等腰直角三角形OAB ∆中，ABO 90∠=o ，且直角边长为22，所以斜边4OA =， 当02t <≤时，设直线x t =与OA 、OB 分别交于点C 、D ，则OC CD t ==，()212f t t ∴=；当24t <≤时，设直线x t =与OA 、AB 分别交于点E 、F ，则4EF EA t ==-，()()221112222444222f t t t t ∴=⨯⨯--=-+-.当4t >时，()4f t =.综上所述，()221,022144,2424,4t t f t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩.【点睛】本题考查分段函数解析式的求解，解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，注意处理好各段的端点，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷上学期期末考试数学试题
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷上学期期末考试数学试题一、选择题（单选，每题5分，共60分） 1、设集合{}216x y x A -==，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=0log 2log |22x xx B ，则A B = ( )A []4,1B [)4,1C []2,1D (]2,12、复数iiz -=22所对应的点位于复平面内（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3、定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的1212,(,0)()x x x x ∈-∞≠，都有1212()()0f x f x x x -<-.则下列结论正确的是( )A )5(log )2()3.0(23.02f f f <<B )3.0()2()5(log 23.02f f f <<C )2()3.0()5(log 3.022f f f <<D )2()5(log )3.0(3.022f f f << 4、设等比数列}{n a 的公比21=q ，前n 项和为n S ，则=33a S ( ) A 5 B 7 C 8D 155、过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若4=AF ，则AOF ∆的面积为（ ）A23B334C 3D 326、设命题:p 函数xy 1=在定义域上为减函数；命题:q ,(0,)a b ∃∈+∞,当1a b +=时,113a b+=，以下说法正确的是（ ）A p ∨q 为真B p ∧q 为真C p 真q 假D p ，q 均假7、已知函数⎩⎨⎧>≤=0,0,0)(x e x x f x ，则使函数m x x f x g -+=)()(有零点的实数m 的取值范围是（ ）A )1,0[B )1,(-∞C ),1(]0,(+∞⋃-∞D ),2(]1,(+∞⋃-∞ 8、下列四个命题：①样本相关系数r 越大，线性相关关系越强；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③设n m ,是不同的直线，βα,是不同的平面，若n m ,=⋂βα∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥α且n ∥β；④若直线m 不垂直于平面α，则直线m 不可能垂直于平面α内的无数条直线。
2020-2021上海民办张江集团学校高一数学上期中一模试卷(含答案)
2020-2021上海民办张江集团学校高一数学上期中一模试卷(含答案)一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>3．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 4．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，5．若函数()(),1231,1xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．17．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z8．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,49．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-10．已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<11．已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．7812．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________. 15．设，则________16．已知2a =5b =m ,且11a b+=1,则m =____. 17．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________．18．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．19．若点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭）既在()2ax b f x +=图象上，又在其反函数的图象上，则a b +=____20．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入(a 单位：万元)满足6P =，乙城市收益Q 与投入(b 单位：万元)满足124Q b =+，设甲城市的投入为(x 单位：万元)，两个城市的总收益为()(f x 单位：万元)．（1）写出两个城市的总收益()(f x 万元)关于甲城市的投入(x 万元)的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？22．已知集合A ＝{x|2a ＋1≤x≤3a －5}，B ＝{x|x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．（1）A∩B ＝∅；（2）A ⊆（A∩B ）．23．2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x （单位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x ty -⎛⎫= ⎪⎝⎭测得数据如下表（部分）：（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大.24．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？25．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-.(1)写出函数()y f x =的解析式；(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围.26．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，m ∈R ，x ∈R}． (1)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得32239b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内4．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.5．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．6．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.7．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.8．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】0.8000.70.71a <=<=Q ，22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，b ac ∴<<，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】2222log 4log 7log 83=<<=Q ，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．12．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握解析：()32f x x =+ 【解析】 【分析】设32t x =+，带入化简得到()32f t t =+得到答案. 【详解】()3298f x x +=+，设32t x =+ 代入得到()32f t t =+故()f x 的解析式是() 32f x x =+ 故答案为：()32f x x =+【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.15．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】，，所以，故答案为-1.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．16．10【解析】因为2a=5b=m所以a=log2mb=log5m由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10【解析】因为2a=5b=m,所以a=log2m,b=log5m,由换底公式可得11a b+=log m2+log m5=log m10=1,则m=10.点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．17．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关解析：(0,1)1,4⋃（）【解析】将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.当01a <<时一定满足，当1a >时必须log 41a >，解得4a <.综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．18．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性 解析：-1【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以， 则，所以． 考点：函数的奇偶性． 19．【解析】【分析】由点在函数的反函数的图象上可得点在函数的图象上把点与分别代入函数可得关于的方程组从而可得结果【详解】点在函数的反函数的图象上根据反函数与原函数的对称关系点在函数的图象上把点与分别代入 解析：13【解析】【分析】 由点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的反函数的图象上，可得点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的图象上， 把点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入函数2ax b y +=，可得关于,a b 的方程组，从而可得结果. 【详解】Q 点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的图象上， 把点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入函数2ax b y +=可得， 21a b +=-，①112a b +=，② 解得45,33a b =-=，13a b +=，故答案为13. 【点睛】本题主要考查反函数的定义与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么解析：02b <<【解析】【分析】【详解】函数()22x f x b =--有两个零点，和的图象有两个交点， 画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题21．（1）()142364f x x x =-+，30130x ≤≤，66万元（2）甲城市投资128万元，乙城市投资32万元【解析】【分析】() 1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，求出函数的解析式，利用当甲城市投资72万元时公司的总收益；()()12364f x x =-+，30130x ≤≤，令t =，则t ∈，转化为求函数2,6143y t t ∈=-++最值，即可得出结论． 【详解】()1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，所以()()11616023644f x x x =+-+=-+， 依题意得3016030x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得30130x ≤≤，故()1364f x x =-+，30130x ≤≤， 当72x =时，此时甲城市投资72万元，乙城市投资88万元，所以总收益()136664f x x =-+=． ()()12364f x x =-+，30130x ≤≤令t =t ∈．2,6143y t t ∈=-++当t =，即128x =万元时，y 的最大值为68万元，故当甲城市投资128万元，乙城市投资32万元时，总收益最大，且最大收益为68万元．【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的性质以及换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．22．（1）{a|a≤7}；（2）{a|a ＜6或a ＞152} 【解析】【分析】（1）根据A∩B=∅，可得-1≤2a+1≤x≤3a -5≤16，解不等式可得a 的取值范围；（2）由A ⊆（A∩B ）得A ⊆B ，分类讨论，A ＝∅与A≠∅，分别建立不等式，即可求实数a 的取值范围【详解】（1）若A ＝∅，则A∩B ＝∅成立．此时2a ＋1＞3a －5，即a ＜6．若A≠∅，则2135{2113516a a a a +≤-+≥--≤解得6≤a≤7．综上，满足条件A∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a|a≤7}．（2）因为A ⊆（A∩B ），且（A∩B ）⊆A ，所以A∩B ＝A ，即A ⊆B ．显然A ＝∅满足条件，此时a ＜6．若A≠∅，则2135{351a a a +≤--<-或2135{2116a a a +≤-+> 由2135{351a a a +≤--<-解得a ∈∅；由2135{2116a a a +≤-+>解得a ＞152． 综上，满足条件A ⊆（A∩B ）的实数a 的取值范围是{a|a ＜6或a ＞152}． 考点：1．集合关系中的参数取值问题；2．集合的包含关系判断及应用23．（1）()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）4x = 【解析】【分析】（1）利用待定系数法，结合所给数据可求函数关系式()y f x =；（2）分段求解函数的最大值，比较可得结果.【详解】（1）当06x ≤<时，由题意，设()2f x ax bx c =++（0a ≠）， 由表格数据得()()()007142423f c f a b c f a b c ⎧==⎪⎪=++=⎨⎪=++=⎪⎩，解得1420a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 所以，当06x ≤<时，()2124f x x x =-+， 当6x ≥时，()13x t f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由表格数据可得()911939t f -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 解得7t =，所以当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上，()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当06x ≤<时，()()221124444f x x x x =-+=--+， 可知4x =时，()()max 44f x f ==，当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭单凋递减， 可知6x =时，()()67max 1633f x f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭.综上可得，当4x =时，产品的性能指标值最大.【点睛】本题主要考查函数解析式的求解及最值，待定系数法是求解析式的常用方法，根据函数的类型设出解析式，结合条件求解未知系数，侧重考查数学抽象24．(1) ()24003200800,05,10004600,510.x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨-<≤⎩ (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.【解析】【分析】（1）先求得总成本函数()G x ，然后用()()()f x R x G x =-求得利润()f x 的函数表达式.（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量x 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润.【详解】（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩（2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+.所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增，所以()()105400f x f ≤=（万元）.综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题.25．(1) ()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ (2) ()1,1- 【解析】【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设0x <，则有x -＞0，利用()f x -可求得()f x ，然后写出完整的函数式；（2）作出函数()f x 的图象，确定()f x 的极值和单调性，由图象与直线y a =有三个交点可得a 的范围．【详解】解：(1)当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()f x Q 是奇函数，()()f x f x ∴=--=-()()2222x x x x ⎡⎤---=--⎣⎦()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨--<⎩. (2)当[)0,x ∈+∞时，()()22211f x x x =-=--，最小值为1-； 当(),0x ∈-∞，()()22211f x x x x =--=-+，最大值为1. 据此可作出函数的图象，如图所示，根据图象得，若方程()f x a =恰有3个不同的解，则a 的取值范围是()1,1-.【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系．在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围．26．（1）2；（2）{|35}m m m -或【解析】试题分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A，B集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A，B，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m的值；（2）由（1）解出的集合A，B，因为A⊆C R B，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣2≤x≤m+2}．（1）∵A∩B=[0，3]∴∴，∴m=2；（2）C R B={x|x＜m﹣2，或x＞m+2}∵A⊆C R B，∴m﹣2＞3，或m+2＜﹣1，∴m＞5，或m＜﹣3．考点：交、并、补集的混合运算．。
2020年12月上海市杨浦区普通高中2021届高三上学期期末模拟考质量调研(一模)数学试题(解析版)
绝密★启用前上海市杨浦区普通高中2021届高三毕业班上学期期末模拟考质量调研(一模)数学试题(解析版)2020年12月考生注意：1．答题前,务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚,并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写,超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题,满分150分,考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.设全集,(,2)U A==-∞R,则UC A=__________.【答案】[)2,+∞2.设复数12iz=-（i是虚数单位）,则z= __________.【解析】|||12|z i=-=3.若关于,x y的方程组2438x yx ay+=⎧⎨-=⎩无解,则实数a=__________.【解析】由题意得212303D aa==--=-,解得32a=-,经检验满足题意,所以32a =-.4. 已知球的半径为2,则它的体积为__________. 【解析】343233V πR π==.5.若直线1:210l x my ++=和2:310l x y --=互相垂直,则实数m =__________.【解析】因为直线1:210l x my ++=和2:310l x y --=互相垂直, 所以23(1)0m ⨯+⨯-=,所以6m =.6.已知sin ,22ππαα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭,则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ __________.【解析】因为,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,所以sin cos 2παα⎛⎫+=== ⎪⎝⎭. 7.已知的二项式2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中,所有二项式系数的和为256,则展开式的常数项为__________.（结果用数值表示）.【解析】由题意得2256n =,所以8n =,故2n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为444821120C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 8. ()f x 为偶函数,当0x ≥时, ()21x f x =-,则不等式()1f x >的解集为__________.【解析】由题意得()f x 为偶函数,在()0,+∞上单调递增,(1)1f =, 则()1f x >可化为()(1)f x f >,故解集为()(),11,-∞-+∞.。
2020-2021上海民办协和双语学校高三数学上期末试题(附答案)
2020-2021上海民办协和双语学校高三数学上期末试题(附答案)一、选择题1．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =， 则96S S =（ ） A ．2B ．73C ．83D ．32．已知实数,x y 满足0{20x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( )A ．-2B ．-1C ．1D ．23．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩＞，则yx 的取值范围是（ ）A ．()[),22,-∞-+∞UB ．(]2,2-C ．(][),22,-∞-+∞UD ．[]22-,4．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A．38- B．34- C．38+ D5．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．96．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A．1 B．1 C ．＋2D ．27．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =8．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =，则数列的第2018项为 （ ）A ．15B ．25C ．35D ．4510．已知01x <<，01y <<，则()()()()222222221111x y x y x y x y +++-+-++-+-的最小值为（ ）A ．5B ．22C ．10D ．2311．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．5C ．10D ．10-12．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±B ．3C ．2D ．1二、填空题13．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.14．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．15．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ． 16．已知0a >，0b >，且31a b +=，则43a b+的最小值是_______. 17．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是____________．18．已知数列{}n a (*n ∈N )，若11a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2lim n n a →∞= ． 19．已知是数列的前项和，若，则_____．20．若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 三、解答题21．设函数()112f x x =+＋|x |(x ∈R)的最小值为a . (1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求11m n+的最小值. 22．已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且满足2sin 1cos A C B =-．（1）若2a =，c =b ； （2）若sin 4B =，a =b ． 23．某企业生产A 、B 两种产品，生产每1t 产品所需的劳动力和煤、电消耗如下表：已知生产1t A 产品的利润是7万元，生产1t B 产品的利润是12万元.现因条件限制，企业仅有劳动力300个，煤360t ，并且供电局只能供电200kW h ⋅，则企业生产A 、B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？24．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-． （1）求证：A B =；（2）若c =3cos 4C =，求ABC ∆的周长．25．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为12，且()3122123a a a -=+。
2020-2021上海中远实验学校高三数学上期末第一次模拟试卷附答案
2020-2021上海中远实验学校高三数学上期末第一次模拟试卷附答案一、选择题1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+D<a b <2．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243-B ．242-C ．162-D ．2433．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65B ．184C ．183D ．1764．设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-B ．4C ．3-D ．115．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =， 则96S S =（ ） A ．2B ．73C ．83D ．36．已知实数,x y 满足0{20x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( )A ．-2B ．-1C ．1D ．27．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ） A ．78B ．18C ．78-D ．18-8．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A ．2-B ．1-C ．1D ．39．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈，则5a 等于（ ）A ．16-B ．16C ．31D ．3210．已知01x <<，01y <<，则）AB． CD．11．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±B ．3C ．2D ．112．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)二、填空题13．已知变数,x y 满足约束条件340{210,380x y x y x y -+≥+-≥+-≤目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为_____________．14．已知数列{}n a 满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()*n ∈N ，记数列{}n a 的前n项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M 、最小值为m ，则M m +=______.15．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 16．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于_____．17．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若三角形的面积222)4S a b c =+-，则角C =__________． 18．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，45234a a a a +=+，则144S S a +=______． 19．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________． 20．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.三、解答题21．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2sin 3tan c B a A =.（1）求222b c a+的值； （2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值. 22．设函数()112f x x =+＋|x |(x ∈R)的最小值为a . (1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求11m n+的最小值. 23．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =.（1）若b =30A =︒，求角B 的值；（2）若ABC ∆的面积3ABC S ∆=，cos 45B =，求,b c 的值. 24．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为R ，且sin sin cos 0A B b A --=.（1）求A ∠；（2）若tan 2tan A B =，求sin 2sin 2sin b Ca b B c C+-的值.25．在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求cos A （2）若3a =，△ABC 的面积为求b c 、26．已知角A ，B ，C 为等腰ABC ∆的内角，设向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r，(cos ,cos )n C B =r，且//m n r r，BC =（1）求角B ；（2）在ABC ∆的外接圆的劣弧»AC 上取一点D ，使得1AD =，求sin DAC ∠及四边形ABCD 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】选项A 中，当c=0时不符，所以A 错．选项B 中，当2,1a b =-=-时，符合22a b >，不满足a b >，B 错．选项C 中, a c b c +>+,所以C 错．选项D 中，因为0≤<，由不等式的平方法则，22<，即a b <．选D.2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223n n S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即11322n n a a -=，即()132nn a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113a q S q---∴===---，故选B.3．B解析：B 【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．C解析：C 【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由3z x y =+可得3y x z =-+．平移直线3y x z =-+，结合图形可得，当直线3y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也取得最小值．由300x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点A 的坐标为33(,)22-．∴min 333()322z =⨯-+=-．选C ． 5．B解析：B 【解析】 【分析】首先由等比数列前n 项和公式列方程，并解得3q ，然后再次利用等比数列前n 项和公式，则求得答案． 【详解】设公比为q ，则616363313(1)1113(1)11a q S q q q a q S qq---===+=---， ∴32q =，∴93962611271123S q S q --===--． 故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.6．C解析：C【解析】作出可行域，如图BAC ∠内部（含两边），作直线:20l y x -=，向上平移直线l ，2z y x =-增加，当l 过点(1,1)A 时，2111z =⨯-=是最大值．故选C ．7．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m 的最大值. 【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示，由2230y x x y =⎧⎨--=⎩，得：12x y =-⎧⎨=-⎩，即C 点坐标为（－1，－2），平移直线x ＝m ，移到C 点或C 点的左边时，直线2y x =上存在点(,)x y 在平面区域内， 所以，m ≤－1， 即实数m 的最大值为－1.【点睛】本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.9．B解析：B 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=.所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则451216a =⨯=，故选：B. 【点睛】本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.10．B解析：B【解析】 【分析】根据均值不等式，可有2222++≥x y x y ，则222+≥x y ，()2212+-≥x y ，()2212-+≥x y ，()()22112-+-≥x y ，再利用不等式的基本性质，两边分别相加求解。
上海市2020〖苏科版〗高三数学复习试卷上学期期末考试数学试题分类汇编3
上海市2020年〖苏科版〗高三数学复习试卷上学期期末考试数学试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（（无锡市高三上期末）过曲线1(0)y x x x=->上一点00(,)P x y 处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A 、B ，O 是坐标原点，若OAB ∆的面积为13，则0x = 填空题答案 1二、解答题1、（常州市高三上期末）已知,a b 为实数，函数3()f x ax bx =-。
（1）当a ＝1且[1,3]b ∈时，求函数()1()|ln |21([,2])2f x F x x b x x =-++∈的最大值M （b ）;（2）当0,1a b ==-时，记ln ()()xh x f x =。
①函数()h x 的图象上一点P 00(,)x y 处的切线方程为()y y x =，记()()()g x h x y x =-。
问：是否存在0x ，使得对于任意10(0,)x x ∈，任意21(,)x x ∈+∞，都有12()()0g x g x <恒成立？若存在，求出所有可能的0x 组成的集合，若不存在，说明理由。
②令函数,()2(),0xx sH x eh x x s⎧≥⎪=⎨⎪<<⎩，若对任意实数k ，总存在实数0x ，使得0()H x k =成立，求实数s 的取值集合。
2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市高三上期末）已知函数]42)4(231[)(23--++-=a x a x x e x f x ，其中R a ∈，e 为自然对数的底数（1）若函数)(x f 的图像在0=x 处的切线与直线0=+y x 垂直，求a 的值． （2）关于x 的不等式x e x f 34)(-<在)2,(-∞上恒成立，求a 的取值范围． （3）讨论)(x f 极值点的个数．3、（南京、盐城市高三上期末）已知函数()x axf x e=在0x =处的切线方程为y x =.（1）求a 的值；（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有21()2f x k x x <+-成立，求k 的取值范围；（3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由.4、（南通市海安县高三上期末）设a 为正常数，函数x x g ax x f ln )(,)(==； （1）求函数)()()(x g x f x h ⋅=的极值；（2）证明：R x ∈∃0，使得当0x x >时，)()(x g x f >恒成立。
2020-2021上海民办华育中学高三数学上期末试题(含答案)
2020-2021上海民办华育中学高三数学上期末试题(含答案)一、选择题1．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100B ．-100C ．-110D ．1103．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ） A．2+B1C．2D14．设,x y 满足约束条件302x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-B ．4C ．3-D ．115．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198B ．199C ．200D ．2016．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A．38- B．34- C．38+ D7．数列{}n a 中，对于任意,m n N *∈，恒有m n m n a a a +=+，若118a =，则7a 等于( ) A ．712B ．714C ．74D ．788．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ） A ．78B ．18 C ．78- D ．18-9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =10．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S <B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =11．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．1512．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈，则5a 等于（ ）A ．16-B ．16C ．31D ．32二、填空题13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升；14．计算：23lim 123n n nn→+∞-=++++L ________15．数列{}21n-的前n 项1,3,7..21n-组成集合{}()*1,3,7,21nn A n N=-∈，从集合nA中任取()1,2,3?··n k k =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+，例如当1n =时，{}1111,1,1===A T S ；当2n =时，{}21221,2,13,13,13137A T T S ==+=⨯=++⨯=，试写出n S =___16．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ．17．已知平面四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，2AB AD ==，则AC 的最大值为__________．18．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差d =（___）． 19．已知0a >，0b >，且31a b +=，则43a b+的最小值是_______. 20．已知是数列的前项和，若，则_____．三、解答题21．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N=-+∈,求{}nb 的前n 项和nS.22．已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++(1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集； (2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值. 23．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 24．已知函数()21f x x =-. （1）若不等式121(0)2f x m m ⎛⎫+≥+> ⎪⎝⎭的解集为][(),22,-∞-⋃+∞，求实数m 的值； （2）若不等式()2232y y af x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求正实数a 的最小值.25．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC V 的面积21tan 6S b A = (1)证明: 3 b ccos A =;(2)若1,c a ==求S .26．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+nn S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则22513(4)==+-d ,则22a b +>1，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,51194114b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.2．B解析：B 【解析】 【分析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-100．故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．4．C解析：C 【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由3z x y =+可得3y x z =-+．平移直线3y x z =-+，结合图形可得，当直线3y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也取得最小值．由300x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点A 的坐标为33(,)22-．∴min 333()322z =⨯-+=-．选C ． 5．A解析：A 【解析】 【分析】先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号；∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <， 当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <； 又()()119899100198198198022a a a a S +⨯+⨯==> ，()119919910019919902a a S a+⨯==<，由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．6．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理求出c ， 【详解】A 是三角形内角，1tan 3A =，∴sin A =由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin 10a C c A ===， 又2222cos c a b ab C =+-，即22512cos15012b b b =+-︒=+，2302b +-=，32b =（32b =舍去），∴11sin 122ABC S ab C ∆==⨯︒=． 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．7．D解析：D 【解析】因为11,8m n m n a a a a +=+=,所以2112,4a a == 42122a a ==,3123,8a a a =+= 73478a a a =+=.选D.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．9．A解析：A 【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 10．B 解析：B 【解析】分析：由等差数列的性质，即2852a a a +=，得5=0a ，又由545S S a =+，得54S S =.详解：Q 数列{}n a 为等差数列， 2852a a a ∴+= 又286,6a a =-=Q ，5=0a ∴由数列前n 项和的定义545S S a =+，54S S ∴= 故选B.点睛：本题考查等差数列的性质与前n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.11．A解析：A 【解析】试题分析：331313log 1log log log 1n n n n a a a a +++=∴-=Q 即13log 1n n a a +=13n naa +∴= ∴数列{}n a 是公比为3的等比数列335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=15793log ()5a a a ∴++=-．考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．12．B解析：B 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=.所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则451216a =⨯=，故选：B. 【点睛】本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】试题分析：由题意可知解得所以考点：等差数列通项公式 解析：6766【解析】试题分析：由题意可知123417891463,3214a a a a a d a a a a d +++=+=++=+=，解得137,2266a d ==，所以5167466a a d =+=. 考点：等差数列通项公式． 14．【解析】【详解】结合等差数列前n 项和公式有：则： 解析：6【解析】 【详解】结合等差数列前n 项和公式有：()11232n n n +++++=L ，则：()()226231362lim lim lim lim61123111n n n n n n n n n n n n n n n→+∞→+∞→+∞→+∞----====+++++++L . 15．【解析】【分析】通过计算出并找出的共同表示形式进而利用归纳推理即可猜想结论【详解】当时则由猜想：故答案为：【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前项和的归纳猜想属于中档题 解析：1()221n n +-【解析】 【分析】通过计算出3S ，并找出1S 、2S 、3S 的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论． 【详解】当3n =时,{}31,3,7A =，则113711T =++=,213173731T =⨯+⨯+⨯=,313721T =⨯⨯=,∴312311312163S T T T =++=++=,由1212112121S ⨯==-=-，2332272121S ⨯==-=-， 34623632121S ⨯==-=-，⋯猜想：(1)221n n n S +=-.故答案为：1()221n n +-.【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前n 项和的归纳猜想,属于中档题.16．8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为8解析：8 【解析】 【分析】 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则351712610a a a a a d +=+=+=， 所以71101028a a =-=-=，故答案为8.17．4【解析】【分析】由题知：四边形为圆内接四边形的最大值为四边形外接圆的直径由正弦定理即可求出的最大值【详解】因为所以故的最大值为四边形外接圆的直径当为四边形外接圆的直径时得到：又因为所以在中由正弦定 解析：4 【解析】 【分析】由题知：四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 的最大值为四边形外接圆的直径，由正弦定理即可求出AC 的最大值. 【详解】因为120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，所以 故AC 的最大值为四边形外接圆的直径. 当AC 为四边形外接圆的直径时，得到：90ADC ABC ∠=∠=︒，又因为2AB AD ==，60BCD ∠=︒， 所以30ACD ACB ∠=∠=︒. 在ABC V 中，由正弦定理得：sin 90sin 30AC AB=︒︒，解得：4AC =.故答案为：4 【点睛】本题主要考查正弦定理得应用，判断四边形ABCD 为圆内接四边形是解题的关键，属于中档题.18．【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件解得结果【详解】由题意可知即又两式相减得【点睛】本题考查等差数列和项的性质考查基本分析求解能力属基础题 解析：1-【解析】 【分析】根据两个和的关系得到公差条件，解得结果. 【详解】由题意可知，10551015S S -=--=-，即67891015a a a a a ++++=-， 又1234510a a a a a ++++=，两式相减得2525d =-，1d =-. 【点睛】本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.19．【解析】【分析】利用1的代换将求式子的最小值等价于求的最小值再利用基本不等式即可求得最小值【详解】因为等号成立当且仅当故答案为：【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值考查转化与化归思想的运用求解 解析：25【解析】 【分析】利用1的代换，将求式子43a b +的最小值等价于求43()(3)a b a b++的最小值，再利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】因为4343123123()(3)4913225b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++≥+⋅=， 等号成立当且仅当21,55a b ==. 故答案为：25. 【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.20．4950【解析】【分析】由an+Sn ＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an ＝2n 即可计算【详解】解：∵an+Sn ＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an 解析：【解析】 【分析】由a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1，两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．即可计算． 【详解】解：∵a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1， 两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．则（2a 2﹣a 1）（2a 3﹣a 2）…（2a 100﹣a 99）＝21•22•23…299＝24950．【点睛】本题考查了数列的递推式，属于中档题．三、解答题21．(1) 12n n a -=(2) n S 221n n =+-【解析】 【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =,23a q =,∵2a 是1a 和31a -的等差中项, ∴()21321a a a =+-, 即()2211q q =+-, 解得2q =,∴12n n a -=.(2) 121212n n n b n a n -=-+=-+,则()()11321122n n S n -⎡⎤=+++-++++⎣⎦L L()12112212n n n ⎡⎤+--⎣⎦=+-. 221n n =+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 22．（1）{|11}x x x <->或；（2）3 【解析】【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ＝3，然后用基本不等式可得． 【详解】（1）()111f x x x =-+++， ∴1123x x ≤-⎧⎨->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1213x x ≥⎧⎨+>⎩，解得{|11}x x x 或-.（2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=，()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1322233≥+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3. 【点睛】 绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 23．（1）证明见解析 （2）()11222n n n n S ++=--【解析】 【分析】(1)根据n n b a n =+求得1n b +,化简成含n a 的表达式再得12n n b b +=即可.(2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列{}n b 的通项公式,再代入n n b a n =+即可求得数列{}n a 的通项公式,再根据分组求和求解即可. 【详解】（1）证明：因为121,n n n n a a n b a n +=+-=+所以()()()11121122n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=, 又因为11120b a =+=≠,则12n nb b +=, 所以数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列.（2）由（1）知2n n n a n b +==,所以2nn a n =-,所以()()()()232122232nn S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-()()232222123n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()()121211221222nn n n n n +-++=-=---【点睛】本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型. 24．(1) 32m =；(2)4. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据绝对值定义解不等式解集为][(),22,-∞-⋃+∞，再根据解集相等关系得122m +=，解得32m =．（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即()max212322y y ax x --+≤+，根据绝对值三角不等式可得()max21234x x --+=，再利用变量分离转化为对应函数最值问题：()max242y ya ⎡⎤≥-⎣⎦，根据基本不等式求最值： ()()224224242y yy y ⎡⎤+-⎢⎥-≤=⎢⎥⎣⎦，因此4a ≥，所以实数a 的最小值为4．试题解析：（Ⅰ）由题意知不等式221(0)x m m ≤+>的解集为][(),22,-∞-⋃+∞． 由221x m ≤+，得1122m x m --≤≤+， 所以，由122m +=，解得32m =． （Ⅱ）不等式()2232y y a f x x ≤+++等价于212322yya x x --+≤+， 由题意知()max212322y y ax x --+≤+． 因为()()212321234x x x x --+≤--+=， 所以242y y a +≥，即()242y y a ⎡⎤≥-⎣⎦对任意y R ∈都成立，则()max 242y ya ⎡⎤≥-⎣⎦．而()()224224242y yyy⎡⎤+-⎢⎥-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当242y y =-，即1y =时等号成立， 故4a ≥，所以实数a 的最小值为4． 25．(1)证明解析,(2)2【解析】【分析】（1）由正弦定理面积公式得：211sin tan 26S bc A b A ==，再将sin tan cos A A A=代入即可.（2）因为1c =，a =3b cosA =.代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-得22cos 3A =，cos 3A =tan 2A ⇒=，b =⇒16622S =⨯⨯=. 【详解】（1）由211sin tan 26S bc A b A ==，得3sin tan c A b A = 因为sin tan cos A A A =，所以sin 3sin cos b Ac A A=， 又0A π<<，所以sin 0A ≠，因此3cos b c A =.（2）由（1）得3b ccosA =.因为1c =，a =3b cosA =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2229cos 16cos A A =+-,解得：22cos 3A =.因为3b cosA =，所以cos 0A >，cos A =.tan 2A ⇒=，b .211tan 666S b A ==⨯=【点睛】本题第一问主要考查正弦定理中的面积公式和边角互化，第二问考查了余弦定理的公式应用，属于中档题.26．（Ⅰ）13,1,{3,1,n n n a n -==>; （Ⅱ）13631243n nn T +=-⨯. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n 项和n T . 【详解】（Ⅰ）因为233=+nn S ，所以，1233a =+，故13,a =当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -=所以，13,1,{3,1,n n n a n -==>（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =， 当1n >时，()11133log 313nn n n b n ---==-⋅所以1113T b ==， 当1n >时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-L ，所以()01231132313nn T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦L ，两式相减，得()()01212233+3133n n n T n ---=+++--⋅L ()11121313313n nn ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯ 所以13631243n nn T +=-⨯， 经检验，1n =时也适合，综上可得：13631243n n n T +=-⨯. 【点睛】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑1n =的情况，属于中档题.。
高三数学上学期期末教学质量检测试题
浦东新区2021届高三数学上学期期末教学质量检测试题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日注意：1. 答卷前，所有考生必须在答题纸上规定的正确位置将姓名、、考号填写上清楚. 2. 本套试卷一共有21道试题，满分是150分，考试时间是是120分钟.一、填空题〔本大题一一共有12题，满分是54分〕只要求直接填写上结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否那么一律得零分. 1. 集合{}1,2,3,4A =,{}1,3,5,7B =，那么A B =________.2. 不等式11x<的解集为_________. 3. 函数()21f x x =-的反函数是1()f x -，那么1(5)f -=_________.4. 向量(1,2),(3,4)a b =-=，那么向量a 在向量b 的方向上的投影为_________.5. i 是虚数单位，复数z 满足()11z ⋅+=，那么z =__________. 6. 在5(21)x +的二项展开式中，3x 的系数是_________.7. 某企业消费的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为______________.8. 函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是增函数，假设(1)(4)f a f +≤，那么实数a 的取值范围是______________. 9. 等比数列11,1,93， 前n 项和为n S ，那么使得2018n S >的n 的最小值为_______.10. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为32π的扇形，那么此圆锥的外表积为_______________.11. 函数()()sin 0f x x ωω=>，将()f x 的图像向左平移2πω个单位得到函数()g x 的图像，令()()()h x f x g x =+.假如存在实数m ，使得对任意的实数x ，都有()()()1h m h x h m ≤≤+成立，那么ω的最小值为_________.12. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M N 、是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足：2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2.平面内存在两定点12F F 、，使得12PF PF -为定值，那么该定值为____________.二、选择题(本大题一一共有4题，满分是20分) 每一小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否那么一律得零分.13. 假设实数x y R ∈、，那么命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩〞是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩〞的〔 〕条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要 14.ABC ∆中，2A π∠=，1AB AC ==，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，那么BQ CP ⋅的最小值为〔 〕A ．4-B ．2-C ．1-D ．015. 某食品的保鲜时间是y 〔单位：小时〕与储存温度x 〔单位：0C 〕满足函数关系kx b y e +=〔 2.718e为自然对数的底数，k b 、为常数〕.假设该食品在00C 的保鲜时间是是192小时，在022C 的保鲜时间是是48小时，那么该食品在033C 的保鲜时间是是( )小时．A ．22B ．23C ．24D ．33 16. 关于x 的方程2sin(cos )0x arc x a ++=恰有3个实数根123x x x 、、，那么222123x x x ++=〔 〕．A ．1B ．2C ．22πD ．22π三、解答题〔本大题一一共有5题，满分是76分〕解答以下各题必须写出必要的步骤． 17. 〔此题满14分，第1小题7分，第2小题7分〕如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =. 〔1〕求异面直线1BC 与1CD 所成的角; 〔2〕求三棱锥1B D AC -的体积.18. 〔此题满14分，第1小题7分，第2小题7分〕在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，：()2,1m =， ()cos ,cos cos n c C a B b A =+，且m n ⊥.〔1〕求C ；〔2〕假设227c b =，且ABC S ∆=，求b 的值.19. 〔此题满14分，第1小题6分，第2小题8分〕等差数列}{n a 的公差为2，其前n 项和22,(N*,)n S pn n n p R =+∈∈. 〔1〕求p 的值及}{n a 的通项公式;〔2〕在等比数列}{n b 中，2132,4b a b a ==+，令*(21)(N )(2)n n n a n k c k b n k =-⎧=∈⎨=⎩，求数列{}n c 前n 项和n T .20. 〔此题满16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分〕椭圆2222:1x y a bΓ+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12F F 、；设点(0,)A b ，在12AF F ∆中，1223F AF π∠=，周长为423+.〔1〕求椭圆Γ方程；〔2〕设不经过点A 的直线l 与椭圆Γ相交于B C 、两点.假设直线AB 与AC 的斜率之和为1-，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；〔3〕记第〔2〕问所求的定点为E ，点P 为椭圆Γ上一个动点，试根据AEP ∆面积S 的不同取值范围，讨论AEP ∆存在的个数，并说明理由.21. 〔此题满18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分〕函数()f x 的定义域为D ，值域为()f D ，即(){|(),}f D y y f x x D ==∈.假设()f D D ⊆，那么称()f x 在D 上封闭.〔1〕试分别判断函数2017()2017+log xf x x =、2()1x g x x =+在()0,1上是否封闭，并说明理由；〔2〕函数()f x k =+的定义域为[],D a b =，且存在反函数1()y f x -=.假设函数()f x 在D 上封闭，且函数1()f x -在()f D 上也封闭，务实数k 的取值范围；〔3〕函数()f x 的定义域是D ，对任意x y D ∈、，假设x y ≠，有()()f x f y ≠恒成立，那么称()f x 在D ()f x 在D 上封闭且单射，并且满足()n f D D ≠⊂，其中*11()(()),(),()()n n f x f f x n N f x f x +=∈=.证明：存在D 的真子集1321n n D D D D D D -≠≠≠≠≠≠⊂⊂⊂⊂⊂⊂，使得()f x 在所有(1,2,3,)i D i n =，上封闭.参考答案注意：1. 答卷前，所有考生必须在答题纸上规定的正确位置将姓名、、考号填写上清楚. 2. 本套试卷一共有21道试题，满分是150分，考试时间是是120分钟.一、填空题〔本大题一一共有12题，满分是54分〕只要求直接填写上结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否那么一律得零分.{}1,2,3,4A =,{}1,3,5,7B =，那么A B =________.【答案】{}1,311x<的解集为_________.【答案】(,0)(1,)-∞+∞ ()21f x x =-的反函数是1()f x -，那么1(5)f -=_________.【答案】 3 (1,2),(3,4)a b =-=，那么向量a 在向量b 上的投影为_________.【答案】1-5. i 是虚数单位，复数z 满足()11z ⋅+=，那么z =__________.【答案】126. 在5(21)x +的二项展开式中，3x 的系数是_________.【答案】807. 某企业消费的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从这批产品中抽取4个，其中恰好有1个二等品的概率为______________.【答案】16338. 函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是增函数，假设(1)(4)f a f +≤，那么实数a 的取值范围是______________.【答案】[]5,3- 9.等比数列11,,1,93前n 项和为n S ，那么使得2018n S >的n 的最小值为________.【答案】1010. 圆锥的底面圆半径3，其侧面展开图是一个圆心角为32π的扇形，那么此圆锥的外表积为_________.【答案】36π11. 函数()()sin 0f x x ωω=>，将()f x 向左平移2πω个单位得()g x ，令()()()h x f x g x =+，假如存在实数m ，使得对任意的实数x ，都有()()()1h m h x h m ≤≤+成立，那么ω的最小值为_________. 【答案】π12. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点.M N 、是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足：2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2.平面内存在两定点12F F 、，使得12PF PF -为定值，那么该定值大小为______.【答案】二、选择题(本大题一一共有4题，满分是20分) 每一小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否那么一律得零分. 13. 假设实数,x y R ∈，命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩〞是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩〞的〔 B 〕条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．既充分又必要D ．既非充分又非必要 14. ABC ∆中，2A π∠=，1AB AC ==，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，那么BQ CP ⋅的最小值为〔 B 〕 A ．4-B ．2-C ．1-D ．015. 某食品的保鲜时间是y 〔单位：小时〕与储存温度x 〔单位：0C 〕满足函数关系kx b y e += 〔 2.718e为自然对数的底数，,k b 为常数〕，假设该食品在00C 的保鲜时间是是192小时，在022C 的保鲜时间是是48小时，那么该食品在033C 的保鲜时间是是( C )小时．A ．22B ．23C ．24D ．33 16. 关于x 的方程2sin(cos )0x arc x a ++=恰有3个实数根123,,x x x ，那么222123x x x ++=〔 B 〕．A ．1B ．2C ．22πD ．22π三、解答题〔本大题一一共有5题，满分是76分〕解答以下各题必须写出必要的步骤．17. 〔满分是14分，第1小题7分，第2小题7分〕 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =.〔1〕求异面直线1BC 与1CD 所成的角； 〔2〕求三棱锥1B D AC -的体积. 解：〔1〕11//AD BC 1AD C ∴∠是异面直线1BC 与1CD 所成的角或者其补角 (2)分在等腰1ACD ∆中，11AC CD AD ===易得1CD A ∠=……………………4分即：异面直线1BC 与1CD 所成的角1分 〔2〕11B D AC D ABC V V --=……………………4分111(12)1323=⨯⨯⨯⨯=……………………3分 18. 〔满分是14分，第1小问7分，第2小问7分〕在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，：()2,1m =，()cos ,cos cos n c C a B b A =+，且m n ⊥；〔1〕求角C ；〔2〕假设227c b =，且ABC S ∆=b 的值.解：〔1〕由m n ⊥，∴2cos cos cos 0c C a B b A ++=，……………………2分由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos 0C C A B B A ++=，……2分 ∴()2sin cos sin 0C C A B ++=；2sin cos sin 0C C C +=；由sin 0C ≠，∴1cos 2C =-，……………………2分 ∴23C π=；……………………1分 〔2〕由2222cos c a b ab C =+-，∴22272cos b a b ab C =+-，∴2260a ab b +-=，∴2a b =；……………………4分由ABC S ∆=知，1sin 2ab C =122b b ⋅⋅=，……………2分 ∴2b =.……………………1分19. 〔满分是14分，第1小题6分，第2小题8分〕等差数列}{n a 的公差为2，其前n 项和22,(N*,R)n S pn n n p =+∈∈. 〔1〕求p 的值及}{n a 的通项公式;〔2〕在等比数列}{n b 中，2132,4b a b a ==+，令*(21)()(2)n n n a n k c k N b n k =-⎧=∈⎨=⎩，求数列{}n c 前n 项和n T 。
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2020-2021上海民办张江集团学校高三数学上期末一模试卷(含答案)一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3A b π==ABC ∆的面积为3，则a 的值为（ ） A ．2B ．3C ．3 D ．13．设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-B ．4C ．3-D ．114．正项等比数列中，的等比中项为，令，则（ ） A ．6B ．16C ．32D ．645．在ABC ∆中，2AC =,22BC =135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) A 25B 2C 3D 56．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，6a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（ ） A 17B ．3C 15D 15 7．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a b a+=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形8．若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．109．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，„„…则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．210．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S，且2S =，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 11．已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]B ．[)2,+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞12．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23sin c ab C =，则当b aa b+取最大值时，cos C =__________；14．已知0a >，0b >，当()214a b ab++取得最小值时，b =__________． 15．已知数列{}n a 满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()*n ∈N ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M 、最小值为m ，则M m +=______.16．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于_____．17．已知数列{}n a 满足51()1,62,6n n a n n a a n -⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是_________.18．设(3()lg f x x x =+，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）19．已知数列{}n a (*n ∈N )，若11a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2lim n n a →∞= ． 20．已知是数列的前项和，若，则_____．三、解答题21．设函数()112f x x =+＋|x |(x ∈R)的最小值为a . (1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求11m n+的最小值. 22．在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，6b c +=，6a =， . 求ABC ∆的面积.23．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.24．已知函数()()22f x x x a x R =++∈（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求实数a 的值；（2）若()0f x >对任意的[1,)x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围。
25．已知数列{}n a 的首项1122,,1,2,3, (31)n n n a a a n a +===+. （1）证明: 数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24220a a -=，3128S a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和最大？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】11111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤Q即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤故选B点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果2．B解析：B 【解析】试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得131sin ,2,23c c π⨯⨯=∴=由余弦定理得考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．3．C解析：C画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由3z x y =+可得3y x z =-+．平移直线3y x z =-+，结合图形可得，当直线3y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也取得最小值．由300x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点A 的坐标为33(,)22-．∴min 333()322z =⨯-+=-．选C ． 4．D解析：D 【解析】因为，即，又，所以.本题选择D 选项.5．A解析：A 【解析】 【分析】先由余弦定理得到AB 边的长度，再由等面积法可得到结果. 【详解】根据余弦定理得到222222AC BC AB AC BC +-=-⨯⨯将2AC =,22BC =,代入等式得到AB=5 再由等面积法得到112252522222CD CD ⨯=⨯⇒=【点睛】这个题目考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.6．D解析：D 【解析】 【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解：在ABC ∆中，2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =，a =22246748c c c +-=， 解得：2c =由7cos 8A =得sin A ==所以，11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=故选D. 【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.7．A解析：A 【解析】 【分析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简2cos22C a b a+=得到sin cos sin A C B =，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定ABC V 的形状． 【详解】22cos 2a b aC +=Q 1cos sin sin 22sin C A BA ++\=化简得sin cos sin A C B = ()B A C p =-+Qsin cos sin()A C A C \=+即cos sin 0A C =sin 0C ≠Qcos 0A ∴=即0A = 90ABC ∴V 是直角三角形 故选A 【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2cos22C a b a+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．8．C解析：C 【解析】 【详解】 因为直线()10,0x ya b a b+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此114(4)(+)5+59b a a b a b a b +=+≥+= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-，联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.10．C解析：C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得2tan 1acsinB 223tan 2bc c B B +=+，结合正弦定理及三角恒等变换知识3sinA cosA 1-=，从而得到角A. 【详解】∵2tan 23tan 2bc c B S B +=+∴2tan 1acsinB 223tan 2bc c B B +=+即c tan asinB a 3tan 13sin b B B B cosB+==++()3sinAsin B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++ 3sinA cosA 1-= ∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴5666A 或πππ-=（舍） ∴3A π=故选C此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．11．A解析：A 【解析】分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭，化简整理即可得出. 详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b+++=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭， 化为()()2540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12．C解析：C 【解析】因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 二、填空题13．【解析】【分析】由余弦定理得结合条件将式子通分化简得再由辅助角公式得出当时取得最大值从而求出结果【详解】在中由余弦定理可得所以其中当取得最大值时∴故答案为：【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公解析：13【分析】由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，结合条件23sin c ab C =，将式子b aa b+通分化简得3sin 2cos C C +，再由辅助角公式得出b aa b +()13sin C ϕ=+，当2C πϕ+=时，b aa b +取得最大值，从而求出结果. 【详解】在ABC ∆中由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，所以2222cos 3sin 2cos 3sin 2cos b a a b c ab C ab C ab C C C a b ab ab ab++++====+()13sin C ϕ=+，其中213sin ϕ=，313cos ϕ=， 当b a a b +132C πϕ+=，∴213cos cos sin 213C πϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．故答案为：21313. 【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.14．【解析】【分析】根据均值不等式知即再由即可求解注意等号成立的条件【详解】（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）故答案为【点睛】本题主要考查了均值不等式不等式等号成立的条件属于中 解析：14【解析】 【分析】根据均值不等式知，4244a b ab ab +≥=()2416a b ab +≥，再由4416216844ab ab a b a b+≥⋅=⋅⋅即可求解，注意等号成立的条件. 【详解】4a b +≥=Q （当且仅当4a b =等号成立），()2416a b ab ∴+≥（当且仅当4a b =等号成立），()2444a b a b ∴++≥⋅8=（当且仅当4a b =等号成立）， ()224281a a a∴+=⇒=. 故答案为14b =. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，不等式等号成立的条件，属于中档题.15．1078【解析】【分析】根据数列的递推关系求出数列的前四项的最大最小值得出何时和最大何时和最小进而求得结论【详解】解：因为数列{an}满足：即解得；或或；或所以最小为4最大为8；所以数列的最大值为时解析：1078 【解析】 【分析】根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，何时和最小，进而求得结论． 【详解】解：因为数列{a n }满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()*n ∈N ，{}211a a a ∴-∈即211a a a -=解得22a =； {}3212,a a a a ∴-∈321a a ∴-=或322a a -= 33a ∴=或34a =；{}43123,,a a a a a ∴-∈431a a ∴-=或432a a -=，433a a -=，434a a -=所以4a 最小为4，4a 最大为8；所以，数列10S 的最大值为M 时，是首项为1，公比为2的等比数列的前10项和：()10112102312M ⨯-==-；10S 取最小值m 时，是首项为1，公差为1的等差数列的前10项和：()101011011552m ⨯-=⨯+⨯=； ∴1078M m +=． 故答案为：1078．本题考查了数列的递推关系式，等比数列以及等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．本题的关键在于观察出数列的规律．16．【解析】【分析】先画出可行域改写目标函数然后求出最小值【详解】依题意可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域目标函数化为：则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最解析：72- 【解析】 【分析】先画出可行域，改写目标函数，然后求出最小值 【详解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3z x y =-的最小值()min 173122z =⋅--=-．【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值 17．【解析】【分析】由题若对于任意的都有可得解出即可得出【详解】∵若对任意都有∴∴解得故答案为【点睛】本题考查了数列与函数的单调性不等式的解法考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：17,212⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题若对于任意的*n N ∈都有1n n a a +>，可得5610012a a a a -＜，＞，＜＜． 解出即可得出．∵511,62,6n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>， ∴5610012a a a a -＜，＞，＜＜．． ∴11 0()510122a a a a --⨯+＜，＞，＜＜ ， 解得17 212a ＜＜ ． 故答案为17,212⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．充要【解析】所以为奇函数又为单调递增函数所以即是的充要条件点睛：充分必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断若则若则的真假并注意和图示相结合例如⇒为真则是的充分条件2等价法：利用⇒与非⇒非⇒与非⇒非解析：充要 【解析】33()()lg(()lg(lg10f x f x x x x x +-=++-+-== ，所以()f x 为奇函数，又()f x 为单调递增函数，所以0()()()()()()0a b a b f a f b f a f b f a f b +≥⇔≥-⇔≥-⇔≥-⇔+≥ ，即“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的充要条件点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．19．【解析】【分析】由已知推导出=(=1+（）从而-=-由此能求出【详解】∵数列满足：∴（）+（）+……+（）=++……+==(∴=(；又+……+（）=1+++……+=1+=1+（）即=1+（）∴-=-解析：23-【解析】由已知推导出2n S =23(11)4n -，21n S -=1+13（1114n --），从而22n n a S =-21n S -=21132n -n -23，由此能求出2lim n n a →∞【详解】 ∵数列{}n a 满足：1 1a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴（12a a +）+（34 a a +）+……+（212 n n a a -+）=12+312⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=11124114n ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=23(11)4n-， ∴2n S =23(11)4n -； 又12345a a a a a +++++……+（2221 n n a a --+）=1+212⎛⎫ ⎪⎝⎭+412⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1+2111124114n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=1+13（1114n --），即21n S -=1+13（1114n --） ∴22n n a S =-21n S -=21132n -n -23∴2211lim lim(32n n n n a n -→∞→∞=-2)3=-23，故答案为：-2 3【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题．20．4950【解析】【分析】由an+Sn ＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an ＝2n 即可计算【详解】解：∵an+Sn＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an 解析：【解析】 【分析】由a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1，两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．即可计算．解：∵a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1， 两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．则（2a 2﹣a 1）（2a 3﹣a 2）…（2a 100﹣a 99）＝21•22•23…299＝24950．【点睛】本题考查了数列的递推式，属于中档题．三、解答题21．(1)1a =；(2)22. 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：（1）根据单调性求出()f x 的最小值，即可求出a 的值； （2）根据基本不等式的性质求出其最小值即可. 试题解析：(1)f(x)＝当x ∈(－∞，0)时，f(x)单调递减； 当x ∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增； ∴当x ＝0时，f(x)的最小值a ＝1. (2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得≥2，由于m>0，n>0， 则＋≥2≥2，当且仅当m ＝n ＝时取等号. ∴＋的最小值为2.22．见解析 【解析】 【分析】若选①：利用正弦定理可得(a b)()(c b)a b c +-=-,即222b c a bc +-=,再利用余弦定理求得cos A ,进而求得bc ,从而求得面积；若选②：利用正弦定理可得sin sin sin cos()6A B B A π=+,化简可得tan 3A =,即6A π=,利用余弦定理求得bc ,从而求得面积；若选③：根据正弦定理得sin sin sin sin 2B CB A B +=,整理可得3A π=,进而求得面积 【详解】 解：若选①：由正弦定理得(a b)()(c b)a b c +-=-， 即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为(0,)A π∈，所以3A π=.又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 若选②：由正弦定理得sin sin sin cos()6A B B A π=+.因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin sin 22A A A =-，即tan 3A =，因为0A π<<，所以6A π=.又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以2222bc =，即24bc =-所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- 若选③：由正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sin sin 2B CA +=，又因为BC A +=π-， 所以cos2sin cos 222A A A =， 因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A≠， 1sin22A ∴=，26A π=，所以3A π=. 又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理处理三角形中的边角关系,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力23．（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩. 整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题 24．（1）1；（2）()3,-+∞ 【解析】 【分析】(1)根据函数()f x 的值域为[0,)+∞,可得0∆=,从而求出a 的值;(2)()0f x >对任意的[)1,x ∈+∞成立等价于22a x x >--对任意的[)1,x ∈+∞成立,因此只需()2max2a x x >--,然后求出22x x --的最小值即可得到a 的范围.【详解】解:(1)∵函数()()22f x x x a x R =++∈的值域为[)0,+∞,∴22410a ∆=-⨯⨯=,∴1a =. (2)∵()0f x >对任意的[)1,x ∈+∞成立, ∴220x x a ++>对任意的[)1,x ∈+∞成立,∴22a x x >--对任意的[)1,x ∈+∞成立,∴只需()2max2a x x>--.∵当[)1,x ∈+∞时,()22max21213x x--=--⨯=-,∴3a >-.∴实数a 的取值范围为()3,-+∞. 【点睛】本题考查了根据函数的值域求参数的值和不等式恒成立问题,考查了转化思想和计算能力,属中档题.25．（1）证明见解析；（2）24222n n n n n S +++=-.【解析】试题分析：（1）对121n n n a a a +=+两边取倒数得111111222n n n na a a a ++==+⋅，化简得1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.，求得1112nn a =+，利用错位相减法和分组求和法求得前n 项和24222n n n n n S +++=-.试题解析：（1）111211111111,?,1112222n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++⎛⎫+=∴==+∴-=- ⎪+⎝⎭Q ，又11211,132a a =∴-=，∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以为12首项，12为公比的等比数列. （2）由（1）知，1111111?222n n n a -+-==，即1112n n a =+，设23123...2222n n nT =++++， ① 则2311121...22222n n n n nT +-=++++， ② 由①-②得 21111111111122 (112222222212)n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-=---，11222nn n n T -∴=--.又()1123 (2)n n n +++++=.∴数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()2124222222n n n n n n n n n S +++++=-+=-.考点：配凑法求通项，错位相减法.26．（1）203n a n =-；（2）当6n =时，数列{}n a 的前n 项和最大． 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由24220,a a -=3128S a -=．利用通项公式可得()()112320a d a d +-+=，113328a d a +-=，解方程组即得． （2）令0n a ≥，解得n ． 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，24220,a a -=Q 3128S a -=．()()112320,a d a d ∴+-+=113328a d a +-=，联立解得：117,a =3d =-．173(1)203n a n n ∴=--=-．（2）令2030n a n =-≥，解得203n ≤． ∴当6n =时，数列{}n a 的前n 项和最大．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和的最值．解题方法是基本量法，对前n 项和的最大值问题，可通过解不等式0n a ≥确定n 值．。