山东省高中数学夏令营数学竞赛(及答案)
2011年山东数学竞赛夏令营1
2011年山东数学竞赛夏令营1青岛二中 邹明剩余类与剩余系1.剩余类的定义与性质(1)定义1 设m 为正整数，把全体整数按对模m 的余数分成m 类，相应m 个集合记为：K 0,K 1,…,K m-1,其中K r ={qm+r|q ∈Z,0≢余数r ≢m-1}称为模m 的一个剩余类(也叫同余类)。
K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类.(2)性质(ⅰ)i m i K Z10-≤≤=且K i ∩K j =φ(i ≠j).(ⅱ)每一整数仅在K 0,K 1,…,K m-1一个里. (ⅲ)对任意a 、b ∈Z ，则a 、b ∈K r ⇔a ≡b(modm).2.剩余系的定义与性质(1)定义2 设K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类，从每个K r 里任取一个a r ，得m 个数a 0,a 1,…,a m-1组成的数组，叫做模m 的一个完全剩余系,简称完系. 特别地,0,1,2,…,m -1叫做模m 的最小非负完全剩余系.下述数组叫做模m 的绝对最小完全剩余系:当m 为奇数时,21,,1,0,1,,121,21--+----m m m ;当m 为偶数时,12,,1,0,1,,12,2--+--m m m 或2,,1,0,1,,12m m -+-.(2)性质(ⅰ)m 个整数构成模m 的一完全剩余系⇔两两对模m 不同余. (ⅱ)若(a,m)=1，则x 与ax+b 同时遍历模m 的完全剩余系. 证明:即证a 0,a 1,…,a m-1与aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 同为模m 的完全剩余系, 因a 0,a 1,…,a m-1为模m 的完系时,若aa i +b ≡aa j +b(modm),则a i ≡a j (modm), 矛盾!反之,当aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 为模m 的完系时,若a i ≡a j (modm),则有aa i+b≡aa j+b(modm),也矛盾!(ⅲ)设m1,m2是两个互质的正整数,而x,y分别遍历模m1,m2的完系,则m2x+m1y历遍模m1m2的完系.证明:因x,y分别历遍m1,m2个整数,所以,m2x+m1y历遍m1m2个整数.假定m2x/+m1y/≡m2x//+m1y//(modm1m2),其中x/,x//是x经历的完系中的数,而y/,y//是y经历的完系中的数.因(m1,m2)=1,所以,m2x/≡m2x//(modm1),m1y/≡m1y// (modm2),从而x/≡x//(modm1),y/≡y//(modm2),矛盾!3.既约剩余系的定义与性质(1)定义3如果剩余类K r里的每一个数都与m互质，则K r叫与m互质的剩余类.在与模m互质的全部剩余类中，从每一类中任取一个数所做成的数组，叫做模m的一个既约(简化)剩余系.如:模5的简系1,2,3,4;模12的简系1,5,7,11.(2)性质(ⅰ)K r与模m互质⇔K r中有一个数与m互质；证明:设a∈K r,(m,a)=1,则对任意b∈K r,因a≡b≡r(modm),所以,(m,a)=(m,r)= (m,b)=1,即K r与模m互质.(ⅱ)与模m互质的剩余类的个数等于)m(ϕ,即模m的一个既约剩余系由)m(ϕ个整数组成()m(ϕ为欧拉函数);(ⅲ)若(a,m)=1,则x与ax同时遍历模m的既约剩余系.证明:因(a,m)=1,(x,m)=1,所以,(ax,m)=1.若ax1≡ax2(modm),则有x1≡x2(modm),矛盾!(ⅳ)若a1,a2,…,aφ(m)是)m(ϕ个与m互质的整数,并且两两对模m不同余,则a1,a2,…,aφ(m)是模m的一个既约剩余系.证明:因a1,a2,…,aφ(m)是)m(ϕ个与m互质的整数,并且两两对模m不同余,所以,a 1,a 2,…,a φ(m)属于)m (ϕ个剩余类,且每个剩余类都与m 互质,故a 1,a 2,…,a φ(m) 是模m 的一个既约剩余系.(ⅴ)设m 1,m 2是两个互质的正整数,而x,y 分别历遍模m 1,m 2的既约剩余系,则m 2x+m 1y 历遍模m 1m 2的既约剩余系.证明:显然,既约剩余系是完系中所有与模互质的整数做成的.因x,y 分别历遍模m 1,m 2的完系时,m 2x+m 1y 历遍模m 1m 2的完系.由(m 1,x )=(m 2,y )=1, (m 1,m 2)=1得(m 2x,m 1)=(m 1y,m 2)=1,所以,(m 2x+m 1y,m 1)=1,(m 2x+m 1y,m 2)=1,故 (m 2x+m 1y, m 1m 2)=1.反之若(m 2x+m 1y, m 1m 2)=1,则(m 2x+m 1y,m 1)=(m 2x+m 1y,m 2) =1,所以,(m 2x,m 1)=(m 1y,m 2)=1,因(m 1,m 2)=1,所以,(m 1,x )=(m 2,y )=1.证毕.推论1若m 1,m 2是两个互质的正整数,则)()()(2121m m m m ϕϕϕ=.证明:因当x,y 分别历遍模m 1,m 2的既约剩余系时,m 2x+m 1y 也历遍模m 1m 2的既约剩余系,即m 2x+m 1y 取遍)(21m m ϕ个整数,又x 取遍)(1m ϕ个整数,y 取遍)(2m ϕ个整数,所以, m 2x+m 1y 取遍)()(21m m ϕϕ个整数,故)()()(2121m m m m ϕϕϕ=.推论2 设整数n 的标准分解式为kkp p p n ααα 2121=(k p p ,,1 为互异素数,*1,,Nk ∈αα ),则有)11()11)(11()(21kp p p n n ---=ϕ.证明:由推论1得)()()()(2121kk p p p n αααϕϕϕϕ =,而1)(--=αααϕppp ,(即从1到αp 这αp 个数中,减去能被p 整除的数的个数),所以,)())(()(11221112211------=k kkkp p p p p p n ααααααϕ)11()11)(11(21kp p p n ---= .4.欧拉(Euler)与费尔马(Fermat)定理欧拉(Euler)定理 设m 是大于1的整数,(a ,m)=1,则)(mod 1)(m am ≡ϕ.证明:设r 1,r 2,…,r )(m ϕ是模m 的既约剩余系,则由性质3知a r 1,a r 2,…,a r )(m ϕ也是模m 的既约剩余系,所以, a r 1a r 2…a r )(m ϕ≡r 1r 2…r )(m ϕ(modm),即≡)(21)(m m r r r aϕϕ)(21m r r r ϕ ,因()(21m r r r ϕ ,m)=1,所以,)(mod 1)(m am ≡ϕ.推论(Fermat 定理) 设p 为素数,则对任意整数a 都有)(mod p a a p≡.证明:若(a , p )=1,由1)(-=p p ϕ及Euler 定理得)(mod 11p ap ≡-即)(mod p a ap≡;若(a , p )≠1,则p |a ,显然有)(mod p a a p≡.例1设m>0,证明必有一个仅由0或1构成的自然数a 是m 的倍数. 证明:考虑数字全为1的数:因1,11,111,1111,…中必有两个在modm 的同一剩余类中,它们的差即为所求的a .例2证明从任意m 个整数a 1,a 2,…,a m 中,必可选出若干个数,它们的和 (包括只一个加数)能被m 整除.证明:考虑m 个数a 1,a 1+a 2,a 1+a 2+a 3,…,a 1+a 2+…+a m ,如果其中有一个数能被m 整除,则结论成立,否则,必有两个数属于modm 的同一剩余类,这两个数的差即满足要求.例3设f(x)=5x+2=f 1(x), f n+1(x)=f[f n (x)].求证:对任意正整数n,存在正整数m,使得2011|f n (m).证明:因f 2(x)=f[f(x)]=5(5x+2)+2=52x+5×2+2,f 3(x)=f[f 2(x)]=53x+52×2+5×2+2,…, f n (x)=5n x+5n-1×2+5n-2×2+…+2, 因(5n ,2011)=1,所以,x 与f n (x)同时历遍mod2011的完系,1≢x ≢2011, 所以,存在正整数m(1≢m ≢2011)使得f n (m)≡0(mod2011),即2011|f n (m).例4设123,,,a a a 是整数序列,其中有无穷多项为正整数,也有无穷多项为 负整数.假设对每个正整数n ,数123,,,,n a a a a 被n 除的余数都各不相同.证明:在数列123,,,a a a 中,每个整数都刚好出现一次.证明:数列各项同时减去一个整数不改变本题的条件和结论,故不妨设a 1=0.此时对每个正整数k 必有∣a k ∣<k:若∣a k ∣≣k,则取n=∣a k ∣, 则a 1≡a k ≡0(mod n),矛盾.现在对k 归纳证明a 1,a 2,…,a k 适当重排后是绝对值小于k 的k 个相邻整数.k=1显然.设a 1,a 2,…,a k 适当重排后为-(k -1-i),…,0,…,i (0≢i ≢k -1),由于a 1,a 2,…,a k ,a k+1是(mod k+1)的一个完全剩余系,故必a k+1≡i+1(mod k+1), 但 ∣a k+1∣<k+1,因此a k+1只能是i+1或-(k -i),从而a 1,a 2,…,a k ,a k+1适当重排后是绝对值小于k+1的k+1个相邻整数.由此得到:1).任一整数在数列中最多出现一次;2).若整数u 和v (u<v) 都出现在数列中,则u 与v 之间的所有整数也出现在数列中.最后由正负项均无穷多个（即数列含有任意大的正整数及任意小的负整数）就得到:每个整数在数列中出现且只出现一次.例5偶数个人围着一张圆桌讨论，休息后，他们依不同次序重新围着圆桌坐下,证明至少有两个人，他们中间的人数在休息前与休息后是相等的。
山东省届高中数学夏令营数学竞赛试题及参考答案6
山东省届高中数学夏令营数学竞赛（及答案）一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分)1.函数()f x =的最大值是________________ ; (王泽阳 供题)解:()f x =≤,其等号仅当=即12x =时成立,所以,f(x)最大=.2.如果自然数a 的各位数字之和等于5,那么称a 为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大排成一列a 1,a 2,…,a n .若a n =.则n=_______________. (王继忠 供题)解:设12m x x x 为吉祥数,则x 1+x 2+…+x m =5,由x 1≥1和x 2,…,x m ≥0得(x 1-1)+x 2+…+x m =4,所以,12m x x x 为第43m C +个吉祥数.21m x x 为第42m C +个吉祥数.由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共455C =个,三位吉祥数共4615C =个,因以1为首位的四位吉祥数共4615C =个,以2为首位的前两个四位吉祥数为:2003和.故n=1+5+15+15+2=38.3.已知f(x)是2011次多项式,当n=0,1,…,2011时,()1n f n n =+. 则f()=______; (王 林供题)解:当n=0,1,…,2011时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x 有个根, 设(x+1)f(x)-x=a x(x -1)(x -2)…(x -2011). 取x=-1,则1=!a .故12012!a =, (1)(2)(2011)()2012!(1)1x x x x xf x x x ---=+++,2012!20122013(2012)12012!201320132013f =+==.4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k 步转过k 个间隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可得到_________个红点. (龚红戈 供题)解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3个红点.5.如图，设O ,I 分别为ABC ∆的外心、内心，且60B ∠=，AB ＞BC ，A ∠的外角平分线交⊙O 于D ，已知18AD =,则OI =_____________文 供题)解: 连接BI 并延长交⊙O 于E ,则E 为弧AC 的中点.连OE 、AE 、CE 、OC ，由60B ∠=，易知AOE ∆、COE ∆均为正三角形.由内心的性质得知：AE IE CE ==,所以A 、O 、I 、C 四点共圆,且圆心为E .再延长AI 交⊙O 于F ,由题设知D 、O 、F 共线，于是2OEI OAI ∠=∠, 22AOD AFD OAI ∠=∠=∠,又OA OD OE IE ===, 从而OAD ∆≌EOI ∆, 故18OI AD ==. 二.解答题(本题共5道小题,每小题20分,满分100分)6.证明:对任给的奇素数p ,总存在无穷多个正整数n 使得p |(n 2n -1).(陈永高 供题)证明:取n =(p -1)k ,则由费尔马小定理知(1)21(mod )p k p -≡,所以, p |(n 2n -1)(1)(1)21(mod )(1)1(mod )1(mod )p k p k p p k p k p -⇔-∙≡⇔-≡⇔≡-.取k =pr -1(r ∈N *),即n =(p -1)(pr -1),就有(1)(1)21(mod )p k p k p --∙≡即p |(n 2n -1).7.如图，已知P 是矩形ABCD 内任意一点，延长BP 交AD 于E ，延长DP 交AB 于F ，延长CP(叶中豪 供题)证法1: 设CG 交AD 于∠AGB ＝∠CGD 知△ABG ∽△交于R ，由AD ∥BR, AD=BC得AF BCFB BR= ① 又由△CPB ∽△QPE 及△由①,②得AF QEFB ED=,表明得△FBG ∽△EDG.所以,∠即GE ⊥GF.证法2:联结GB,GD,令∠由正弦定理得:sin sin GB GD αβ==sin sin sin sin BF BFP PBC DE DEP PDC ∠∠=⋅=∠∠由∠GBF ＝∠GDE 得△所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即GE⊥GF.8.对于恰有120个元素的集合A.问是否存在子集A1,A2,…,A10满足:(1)|A i|=36,i=1,2, (10)(2)A1∪A2∪…∪A10=A;(3)|A i∩A j|=8,i≠j.请说明理由.(刘裕文供题)解:答案:存在.考虑长度为10的0,1数列.其中仅3项为1的恰有310120C=个,每个作为集合A的一个元素.对每个j=1,2,…,10,第j项为1的0,1数列恰有2936C=个,它们是集合A j的36个元素.对每对i,j∈{1,2,…,10}(i<j),第i项与第j项均为1的0,1数列恰有188C=个,它们是Ai∩A j的元素.综上知,存在满足条件的10个子集.9.求最小的正整数m,n(n≥2),使得n个边长为m的正方形,恰好可以割并成n个边长分别为1,2,…,n的正方形. (邹明供题)解:依题意n个边长为m的正方形,恰好可以割并成n个边长分别为1,2,…,n的正方形⇔12+22+…+n2=nm2,即6m2=(n+1)(2n+1),则(n+1)(2n+1)=2n 2+3n+1≡0(mod6), 由n 2≡0,1,3,4(mod6)知n≡±1(mod6). 若6|n+1,设n=6k -1(k ∈N),得m 2=k(12k -1),因(k,12k -1)=1,所以k 与12k -1都是完全平方数,但12k -1≡3 (mod4)矛盾!若6|n -1,设n=6k+1(k ∈N),得m 2=(3k+1)(4k+1),因(3k+1,4k+1)=1,所以,3k+1=v 2,4k+1=u 2,消去k 得4v 2-3u 2=1,v=u=1时,k=0,n=1,但n ≥2,故u>1,v>1.由4v 2-3u 2≡1(mod8)知u,v 为奇数, 直接计算得u min =15,v min =13,k=56,所以, m 最小=15×13=195,n 最小=337.10.设实系数三次多项式32()p x x ax bx c =+++有三个非零实数根.求证:3322610(2)1227a a b ab c +--≥. (李胜宏 供题)证明:设,,αβγ为p (x)=0的三个根,由根与系数关系a b c αβγαββγγααβγ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩得: 22222a b αβγ-=++.原式32226(2)10(2)27a a b a b c ⇔-+-≥322222226()()10()27αβγαβγαβγαβγ⇔++++-++≤ ①.若2220αβγ++=,则①成立.若2220αβγ++>,不妨设||||||αβγ≤≤,由①的齐次性,不妨设2229αβγ++=,则23γ≥,222296αβαβγ≤+=-≤. ①2()10αβγαβγ⇔++-≤.因2(2)(27)100100αβαβ=+-+≤,所以,2()10αβγαβγ++-≤.故原式成立.。
2009年山东省高中数学夏令营数学竞赛试题及答案
山东省2009届高中数学夏令营数学竞赛试题一、填空题(本题共4道小题，每小题8分，满分32分)1．在任意给定的n 个无理数中，总存在这样的三个无理数，其中任意两个数之和仍是无理数，则n 的最小值是________。
（龚红戈供题） 2．设x 为任意整数，则4x 关于模16的最小非负剩余是________。
（叶景梅供题）3．设M 是整系数多项式()P x 的集合，并满足系数的绝对值都小于2009，且所有的根均是两两不同的整数．则M 中多项式次数的最大值是________。
（王林供题）4．设实数a 使得不等式2|2||32|x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是_______。
（夏兴国供题）二、解答题(本题共5道小题，每小题20分，满分l00分)5．证明：存在无穷多个棱长为正整数的长方体，其体积恰等于对角线长的平方，且该长方体的每一个表面总可以割并成两个整边正方形．（邹明供题） 6．设k 是正整数，定义数列{}n a 如下：0a k =，(1)n n a d a =-，n=1，2，…．其中()d a 表示a 的正约数的个数．求所有正整数k 使得数列{}n a 中无完全平方数．（注：若a 的标准分解式为1212ss a p p p ααα=⋅⋅⋅，则12()(1)(1)(1)s d a ααα=++⋅⋅⋅+）（叶景梅供题） 7．圆内接四边形ABCD 对角线交于E ，△EAB 、△ECD 的垂心分别为H 1、H 2．求证：H 1H 2、AD 、BC 三线共点或平行。
（叶中豪供题） 8.设正整数1a ，2a ，…，2009a 满足： （1）119i a ≠（i=1，2，…，2009）；（2）任意连续若干项之和119≠，求20091min in a =⎛⎫⎪⎝⎭∑。
（李胜宏供题） 9．设x 1=2009，112(1)n n n x x x n ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， n=l ，2，…….，其中表示[x ]不超过x 的最大整数．试求数列{}n x 的通项公式。
高三数学-2018年数学奥林匹克协作体夏令营试题(一)及
2018年数学奥林匹克协作体夏令营试题（一）深圳中学 邹新宇1、假定正整数N 的8进制表示为8)43211234567765(=N ，那么下面四个判断中，正确的是（ ）A 、N 能被7整除而不能被9整除B 、N 能被9整除而不能被7整除C 、N 不能被7整除也不能被9整除D 、N 既能被7整除也能被9整除2、已知数列{}n a 满足)(,2007,2000*1221N n a a a a a n n n ∈-===++,则2007a 等于（ ） A 、2018 B 、-2018 C 、7 D 、-7 3、在12)2(++n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（ ）A 、1312++n ； B 、123+n ； C 、12321+⨯n ； D 、)13(2112++n4、在1，2，3，4，5的排列54321,,,,a a a a a 中，满足条件,,2321a a a a <<4543,a a a a <<的排列个数是（ ）A 、10；B 、12；C 、14；D 、16.5、直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2221-+=-+=323:,3232--+=-+m mx x y C m 中至少有一条相交，则m 的取值范围是（ ） A 、283-≤≥m m 或 B 、231-≤-≥m m 或C 、R m ∈D 、以上均不正确 6、若关于x 的不等式032<+-x xae e有实数解，则a 的取值范围是（ ）A 、()32,-∞-B 、()32,∞-C 、()32,32- D 、),32(+∞二、填空题7、设a 为实数，集合{}{}φ≠+---=+-=B A a a B a a a a A ,1,1,1,,,222，则=B A ____________________．8、在三角形ABC 中，已知三个内角A 、B 、C 成等差数列，设他们所对的边分别是a 、b 、c ，并且a c -等于AC 边上的高h ，则=-2sin AC ____________________．9、斜率为1的直线与椭圆2214y x +=交于A 、B 两点，P 为线段AB 上的点，且2AP PB =. 则P 点的轨迹方程是____________________．10、已知当[]1,0∈x 时，不等式0sin )1()1(cos 22>-+--θθx x x x 恒成立，其中πθ20≤≤，则θ的取值范围是____________________．11、一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数是____________________．（连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段叫做凸多面体的对角线。
数学竞赛试卷(初赛、决赛及答案)
2．下面五个图形中，有一个不是正方体的展开图：那么“不是的”图形的编号是 。
3．将60分成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是 。
4．34减去一个分数，513一个分数，两次计算结果相等，那么这个相等的结果是 。
5．右面残缺算式中已知三个“4”，那么补全后它的乘积是 。
6．有A 、B 两个整数，A 的各位数字之和为35，B 的各位数字之和为26，两数相加时进位三次，那么A+B 的各位数字之和是 。
7．苹果和梨各有若干只，如果5只苹果和3只梨装一袋，还多4只苹果，梨恰好装完；如果7只苹果和3只梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12只，那么苹果和梨共有______只。
8．甲班51人，乙班49人，某次考试两个班全体同学的平均成绩是81分，乙班的平均成绩要比甲班平均成绩高7分，那么乙班的平均成绩是______分。
9．在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是 。
10．高中学生的人数是初中学生的56，高中毕业生的人数是初中毕业生的1217，高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是520人，那么高、初中毕业生共有 人。
11．如图，一个长方形的纸盒内，放着九个正方形的纸片，其中正方形A 和B 的边长分别为4和7，那么长方形(纸盒)的面积是 。
12．甲、乙两地相距100千米，张先骑摩托车从甲出发，1小时后李驾驶汽车从甲出发，两人同时到达乙地。
摩托车开始速度是50千米／d,时，中途减速为40千米／小时。
汽车速度是80千米／小时。
汽车曾在途中停驶10分钟，那么张驾驶的摩托车减速时在他出发后的_________小时。
。
3．下面五个图形中，有一个不是正方体的展开图：那么“不是的”图形的编号是_________。
4．34减去一个分数，513一个分数，两次计算结果相等，那么这个相等的结果是 。
5．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，…，⑩＝9×10×11，…如果，那么方框代表的数是________。
山东省数学竞赛试题及答案
山东省数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若\( a \)和\( b \)是正整数，且\( a^2 + b^2 = 100 \)，求\( a + b \)的值。
A. 10B. 11C. 12D. 132. 已知函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求\( f(2) \)的值。
A. -2B. 0C. 2D. 43. 一个圆的半径是5，求这个圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 一个等差数列的首项是2，公差是3，求第10项的值。
A. 32B. 29C. 27D. 255. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 86. 如果\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)在第一象限，求\( \cos(\alpha) \)的值。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{1}{5} \)C. \( -\frac{4}{5} \) D. \( -\frac{1}{5} \)二、填空题（每题5分，共20分）7. 若\( x \)满足方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，求\( x \)的值。
__________。
8. 一个长方体的长、宽、高分别是10cm、8cm和6cm，求其体积。
__________。
9. 一个数列的前三项是1, 1, 2，每一项都是前两项的和，求第5项的值。
__________。
10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。
__________。
三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \)。
12. 解不等式：\( |x - 3| + |x + 2| \geq 5 \)。
山东省2012年全国高中数学联合竞赛试题(山东卷).pdf
山东省2012届高中数学夏令营数学竞赛（及答案） 一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分) 1.函数的最大值是________________ ; (王泽阳 供题) 解:,其等号仅当即时成立, 所以,f(x)最大=. 2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大排成一列a1,a2,…,an.若an=2012.则n=_______________. (王继忠 供题) 解:设为吉祥数,则x1+x2+…+xm=5,由x1≥1和x2,…,xm≥0得 (x1-1)+x2+…+xm=4,所以,为第个吉祥数.为第个吉祥数. 由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共个,三位吉祥数共个, 因以1为首位的四位吉祥数共个,以2为首位的前两个四位吉祥数为: 2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38. 3.已知f(x)是2011次多项式,当n=0,1,…,2011时,. 则f(2012)=______; (王 林 供题) 解:当n=0,1,…,2011时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x有2012个根, 设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)…(x-2011). 取x=-1,则1=2012!a.故, ,. 4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k步转过k个间隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可得到_________个红点. (龚红戈 供题) 解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3个红点. 5.如图，设,分别为的外心、内心，且，＞，的外角平分线交⊙于，已知,则_____________. (李耀文 供题) 解: 连接并延长交⊙于,则为弧的中点.连 、、、，由，易知、均为 正三角形.由内心的性质得知：,所以 、、、四点共圆,且圆心为.再延长交⊙于, 由题设知、、共线，于是, , 又, 从而≌, 故. 二.解答题(本题共5道小题,每小题20分,满分100分) 6.证明:对任给的奇素数p,总存在无穷多个正整数n使得p|(n2n-1). (陈永高 供题) 证明:取n=(p-1)k,则由费尔马小定理知,所以, p|(n2n-1) . 取k=pr-1(r∈N*),即n=(p-1)(pr-1),就有即p|(n2n-1). 7.如图，已知P是矩形ABCD内任意一点，延长BP交AD于E，延长DP交AB于F，延长CP交矩形的外接圆于G。
山东省师范大学附属中学2025届高三下学期联合考试数学试题含解析
山东省师范大学附属中学2025届高三下学期联合考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a b A A B C++=+-，求sin b A =（ ）A ．2B ．3C ．12D ．22．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:得到正确结论是( ) A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”3．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ）A ．15 B ．415 C ．13 D ．254．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D ．642π35．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．16．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2018D ．20177．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ）A ．14B ．13C ．532D ．3168．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．89．函数2()1cos 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．10．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥11．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．212．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为7,0)F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -= D ．22125x y -= 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东高二高中数学竞赛测试带答案解析
山东高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.求的值.2.在棱长为1的正四面体中，和分别是和的中点，求异面直线和之间的距离.3.设的三边长分别为，面积为，证明：.4.1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？5.过椭圆的右焦点的直线与圆相切于点，并与椭圆交于不同的两点，若，证明：椭圆的离心率为.6.设为三角形中的三边长，且，求证：.7.已知椭圆过点，两个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上的两个动点，①如果直线的斜率与的斜率之和为2，证明：直线恒过定点.山东高二高中数学竞赛测试答案及解析一、解答题1.求的值.【答案】2.【解析】利用题意结合所给三角函数式的特征构造两角和差正余弦公式计算可得三角函数式的值为2.试题解析：原式2.在棱长为1的正四面体中，和分别是和的中点，求异面直线和之间的距离.【答案】.【解析】将异面直线之间的距离转化为线面距离，然后利用体积相等结合题意可得异面直线和之间的距离是.试题解析：连接，取中点，连结，则，∴平面，∴异面直线和的距离就是到平面之间的距离，在中，，，，，∴，由，所以.3.设的三边长分别为，面积为，证明：.【答案】证明见解析.【解析】利用面积公式，结合所给不等式的特征，证得即可证得题中的结论.试题解析：4.1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？【答案】最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.【解析】将原问题转化为数列的递推关系的题目，然后结合递推关系式讨论可得最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.试题解析：假如我们设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为，得到一个数列，依题意，可知数列的递推公式：，即，整理变形，得.故是以为公比的等比数列，所以，欲使，应有，故最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.5.过椭圆的右焦点的直线与圆相切于点，并与椭圆交于不同的两点，若，证明：椭圆的离心率为.【答案】证明见解析.【解析】设出PQ的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理整理计算得到椭圆中a,b的齐次式，然后求解离心率即可.试题解析：设点，直线方程为，则由，得所以，，因直线与直线垂直，故有，得又直线与圆相切，所以所以，从而由，得点因点在圆上，所以有化简，得即再进一步利用韦达定理整理上式消去，得从而，故有.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．6.设为三角形中的三边长，且，求证：.【答案】证明见解析.【解析】构造三元函数，将其整理变形为，结合三角形的特征和均值不等式的结论即可证得最终结果.试题解析：记，则又为的三边长，所以，，，所以.另一方面，由于，所以，又所以不妨设，且为的三边长，所以.令，则所以从而当且仅当时取等号.7.已知椭圆过点，两个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上的两个动点，①如果直线的斜率与的斜率之和为2，证明：直线恒过定点.【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】(1)由题意得到a,b的值即可确定椭圆方程；(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理分类讨论即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意可得：，则椭圆的方程为（2）设，直线方程为，，得：由韦达定理：，，由题意可知，即∴即∴或当时，直线方程恒过定点当时，直线方程恒过定点与点重合，不合题意舍去，综上所述，直线恒过定点.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
2020年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题 答案
2020年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题参考答案一.填空题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)1.数列{a n }是集合{2x +2y +2z |0≤x<y<z,x,y,z ∈Z}中的数从小到大排成的数列, 则a 2020=_________________(用2a +2b +2c 的形式表示);解:令f(x,y,z)=2x +2y +2z ,因f(21,22,23)是第324C =2024项,所以a 2020=f(17,22,23)=217+222+223.2.设二次函数f (x)=a x 2+b x+c (a >0)和一次函数y=a x+b 满足:当|x|≤1时,|f (x)| ≤1且y=a x+b 有最大值2.则函数f (x)=__________________.解:由a >0时y=a x+b 递增,知当-1≤x ≤1时,y 最大=a +b =2.由|x|≤1时,|f (x)|≤1 及0,1∈[-1,1],得|c|≤1,|a +b +c |≤1,又a +b =2得|2+c |≤1,得-1≤c ≤-1即c=-1. 故f (0)=c=-1及|f (x)|≤1知f (x)最小=-1,所以0,02==-b ab,代入a +b =2得a =2, 所以f (x)=2x 2-1.3.经过曲线xy 1=与y=x 2+3x -7交点的圆的方程是_______________________;解:由交点(x,y)满足⎩⎨⎧-+==7312x x y xy ,得⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=733722x y x y x y ,相加得106222=+++y x y x , 即20)3()1(22=+++y x 为所求圆的方程.4.设ΔABC 中∠A=450,∠B=600,则其外心O 到ΔABC 三边距离之比___________; 解:O 到三边a,b,c 距离分别为r a ,r b ,r c ,则BAS S b r a r AOC BOC b a 2sin 2sin ==∆∆, 所以B Ar r b a cos cos =,同理CB r r c b cos cos =,所以r a :r b :r c =cosA:cosB:cosC 13:2:2-=;ABCO5.正实数a,b,c 成等比数列(q ≠1),log a b,log b c,log c a 成等差数列.则公差d =______; 解:设qb a =,c=bq,log a b=x -d,log b c=x,logc a=x+d,则a x-d =b,b x =c,c x+d =a.将bq c q ba ==,代入得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===+-)3()()2()1()(q bbq bq b b q b d x x dx ,将(1)×(3)得b 2x q 2d =b 2q -1,将(2)代入得b 2q 2d+2=b 2q -1,即q 2d+3=1,因q≠1,所以23-=d . 6.设A,B,C 为ΔABC 的三个内角,则使得CB A cos 23sin 1sin 1+≥+λ恒成立的实 数λ的最大值是——————;解:因3+2cosC=42cos2C +1>0,所以,)sin 1sin 1)(12cos 4(2BA C ++≤λ, 因]cos )[cos(212cos8sin sin 2cos8)sin 1sin 1)(12cos4(2C B A C B A CBA C +-=≥++82cos 2cos8)cos 1(212cos8==+≥C CC C,等号成立仅当A=B=300,C=1200,所以λ最大=8. 7.随机选取{1,2,…,n}中r(1≤r ≤n)个元构成子集的最小数的期望值是________.解:集合M 含r 个元素的子集共有rn C 个,M 中以正整数k 为最小数的含r 个元素的子集共有1--r k n C 个,其中1≤k ≤n -r+1.所以最小数的期望值是rnr r r n r n r n C C r n C C C 11131211)1(321--------⨯+-++⨯+⨯+⨯=rn r r r r r n r r r n r n C C C C C C C 111112111211)()(------------++++++++ =1111111++==+++++---r n C C C C C C rn r n r n r r r n r n . 8.与坐标轴交于三个不同点A,B,C 的所有抛物线y=x 2+ax +b ,ΔABC 的外接圆恒过同一定点___________;解:设A(x 1,0),B(x 2,0),C(0,b ),⊙ABC 交y 轴于D,显然b ≠0. 若A,B 在原点两侧,则b <0,由|b ||OD|=|x 1x 2|=|b |,得 |OD|=1,所以点D(0,1);若A,B 在原点同侧,则b >0, 由b |OD|=|x 1x 2|=b ,仍有点D(0,1).⊙ABC 恒过点D(0,1). 9.设OABC 是边长为1的正四面体，E 、F 分别为AB 与OC 的 中点.则异面直线OE 与BF 的距离是______________; 解:令则 假设是OE 与BF 的公垂线向量,则有,取 ,则,, 所以,向量在上的射影长即为所求. 10.一棱长为6的正方体封闭空盒子中放有一半径为1的小球,若将盒子任 意翻动,则小球达不到的空间的体积是_____________ ;解:将盒子任意翻动时,小球达不到的空间为:正方体8个角处的空间加正方 体12条棱处的空间.其中8个角处的空间合并为棱长为2的正方体挖掉半,,,c OC b OB a OA ===,21),(21b c BF b a OE -=+=c z b y a x n ++=⎩⎨⎧=+=++⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-++=⋅=++=+++=⋅0302330)3(41)21)((0)233(41))((21y x z y x y x b c c z b y a x BF n z y x b a c z b y a x OE n c b a n 33)3,1,3(--=--=1039319||=+--=n 1)33(-=⋅--=⋅b c b a b n b OB =n 1010||||=⋅=n b n d O ABC xyDO ABC xy D径为1的小球,其体积为π348-;12条棱处的空间合并为3个空心正四棱柱 (底边长2高4的正四棱柱挖去一底半径1高4的圆柱),体积为)416(3π-, 所以小球达不到的空间的体积为34056)416(3348πππ-=-+-.11.数列{a n }共1001项,a 1=0,a 1001=2020,且a k+1-a k =1或3,k=1,2,…,1000.则满 足这种条件的不同数列的个数为________(用组合数作答);解:由a k+1-a k =1或3,a 1001=(a 1001-a 1000)+(a 1000-a 999)+…+(a 2-a 1)=2020,设1000个差a 1001-a 1000,a 1000-a 999,…,a 2-a 1中有x 个1和y 个3,则有⎩⎨⎧=+=+100020203y x y x解得⎩⎨⎧==510490y x ,即所求数列的1000个差a k+1-a k (1≤k ≤1000)中有490个1和510个3.因这490个1和510个3的每一个排列都唯一对应一个满足条件的数列,故所求数列的个数是4901000!510!490!1000C =个.12.用6种不同颜色,给图中n(n≥2)个彼此相连的区域A 1,A 2,…,A n 染色,任何 相邻的两个区域染不同色,则所有不同的染色方案种数a n =_________________; 解:如图记符合要求的染色方案a n 种,则区域A 1有6 种染法,区域A 2,A 3,…,A n 各有5种染法,这包括A n 与A 1染 同色或不同色两类:若区域A n 与A 1同色,则视A n ,A 1为一个区域,共n -1个区域,符合要求的染法a n-1种;若区域A n 与A 1染不同色,则有a n 种染法.故有a n +a n-1=6×5n-1,即(a n -5n )=-(a n-1-5n-1).因a 2=6×5=30,a 2-52=5,所以 a n -5n =5(-1)n-2=5(-1)n ,故a n =5(-1)n +5n . 二.解答题(本题共4道小题,每题20分,共80分)13.设a 为常数,0<a ≠1.求所有函数f :R +→R,对任意x,y ∈R +,f (xy)=f (x)+f (y)A 2A 3 A 4 A nA n －1 A 1…A n-2P图1且f (a )=1.解:取x=y=1得f (1)=0,yx y f y x f x y x f y x f y x f x f y y y )1(lim)()1(lim )()(lim )(000/+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=→→→ )1(1)1()1(lim 1/0f x xy f x yf x xy =-+=→,令C 1=f /(1),则,)(1/x C x f =21ln )(C x C x f +=,其中C 1, C 2为常数,因f (1)=C 2=0,f (a )=C 1ln a =1,所以x ax x f a C a log ln ln )(,ln 11===. 又显然x x f a log )(=满足方程,故x x f a log )(=为所求.14.设AB 为椭圆161622=+y x 的长轴,该椭圆的动弦PQ 过C(2,0),但不过原点,直线AP 与QB 相交于点M,PB 与AQ 相交于点N.求直线MN 的方程. 解:椭圆为:3x 2+8y 2=48,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),由A(-4,0),B(4,0)得直线AP,QB 为⎩⎨⎧-=-+=+)4()4()4()4(2211x y x y x y x y ,消去y 得))(4(4))(4(121221211221y y y x y x y y y x y x x M -++=++-①, 由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2222212134883488x y x y 相除得222122211616x x y y --=得)(16212221222221y y y x y x -=-②, 由P,C,Q 共线即),2(),2(2211y x CQ y x CP -=-=，共线得)(2121221y y y x y x -=-③, 将②÷③得)(8121221y y y x y x +=+④,将③,④代入①得)3(8)3(2121y y y y x M +=+,因 PQ 运动过程中213y y +不恒为0,故8=M x ,同理8=N x ,直线MN 的方程为8=x . 15.已知a ,b 均为正整数,且a >b,)20(2sin 22πθθ<<+=ba ab .证明:对一切正整数 n,存在锐角ϕ,使得)sin()(222ϕθ++n b a n 均为整数,证明:由222sin ba ab+=θ得2222cos b a b a +-=θ,由复数(a 2+b 2)n (cos θ+isin θ)n =(a 2+b 2)n (cosn θ+isinn θ),又[(a 2+b 2)(cos θ+isin θ)]n =(a 2-b 2+2ab i)n =(a +b i)2n=nn n n n n n n n n bi C bi a C bi a C bi a C a 222332322222212122)()()(+++++---=)()(5525233232121244242222222 -+-+-+------b aC b a C b a C i b a C b a C a n n n n n n n n n n n .比 较实,虚部得:)4sin()(2)sin (cos )(2222πθθθ++=++n b a n n b a nn =Z b a C b a C b a C b a C b a C a n nn n n n n n n n n ∈-+-+-+------)()(5525233232121244242222222 . 即锐角4πϕ=满足条件.16.求最小的正整数k,使得在任意k 个整数中,总可以选出其中的偶数个数, 其和为2020的倍数.解:引理 任意m 个整数中必有若干个,其和为m 的倍数.证明:设m 个整数x 1,x 2,…,x m ,S i =x 1+x 2+…+x i (i=1,2,…,m),若S 1,S 2,…,S m 被m 除的余数两两不同,则必有m|S i ;否则必有1≤i<j ≤m 使得S i ≡S j (modm),则 m|S j -S i =x i+1+…+x j ,引理得证.回到原题.2020=2×1010,由2019个1与1个0之和为2019,2020∤2020-1,故2019个1 和1个0中不存在偶数个1之和是2020的倍数,所以k ≥2021. 任取2021个整数,设其中有t 个奇数a 1,a 2,…,a t ,s 个偶数b 1,b 2,…,b s ,其中 t+s=2021,若t 为奇数,则s 为偶数,令,2,,2,21221432211---+=+=+=t t t a a x a a x a a x 22121b b x t +=+,2,,21101043121s s t b b x b b x +=+=-++ ,则由引理知x 1,x 2,…,x 1010中必有若干个之和为1010的倍数,即a 1,a 2,…,a t ,b 1,b 2,…,b s 中有偶数个之和为2020的倍 数.所以k ≤2021,k=2021.当t 为偶数,s 为奇数时,同理k=2021.综上k=2021.。
山东省济南市山东师大附中2022-2023学年高一下学期数学竞赛选拔(初赛)试题
山东省济南市山东师大附中2022-2023学年高一下学期数学竞赛选拔（初赛）试题一、单选题1．已知“x ∃∈R ，21a x >-”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1a >-B ．1a >C ．1a <-D ．1a <2．已知集合{}12,,,n A a a a =L ，任取1,,,i j j k i k i j k n a a A a a A a a A ≤<<≤+∈+∈+∈中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ） A ．3B ．5C ．7D ．93．已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,5A =，集合{}2B =，则集合()U B A ⋃=ð（ ） A ．{}0,2,3,4B ．{}0,3,4C ．{}2D ．∅4．已知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m <，则44b a b +的最小值为（ ） A ．－2 B ．1C ．2D ．85．已知14a >，12b >，且22a b +=，则114121a b +--的最小值是（ ） A ．1B ．43C ．2D ．526．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC V 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，用该图形能证明的不等式为（ ）．A ．)0,02a ba b +≥>> B ．)20,0aba b a b>>+C ．)0,02a b a b +≤>>D ．)220,0a b a b +≥>>7．当x ，()0,y ∈+∞时，422422417424x x y y mx x y y ++<++恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()25,+∞ B ．()26,+∞ C ．99,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．()27,+∞8．某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，粗线是大公路，细线是小公路，七个公司1234567,,,,,,A A A A A A A 分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（ ）A ．路口CB ．路口DC ．路口ED ．路口F9．已知二次函数()()2R , ,f x ax bx c a b c =++∈，满足：对任意实数x ，都有(x)x f ≥，且当(13),x ∈时，有()()2128f x x ≤+成立，又(2)0f -=，则b 为（ ） A ．1 B ．12C ．2D ．010．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当,2[0x ∈]时，21,01()π2sin 1,122x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，若关于x 的方程()ln ||m x f x =至少有8个实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,00,ln 6ln5⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．11,ln 6ln5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．11,00,ln 6ln5⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,ln 6ln5⎛⎫- ⎪⎝⎭ 11．已知实数a 、b ，满足536log 6log 25a =+，345a a b +=，则关于a 、b 下列判断正确的是（ ）A ．a ＜b ＜2B ．b ＜a ＜2C ．2＜a ＜bD ．2＜b ＜a12．数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O 上一点，CH AB ⊥，垂足为H，记COB θ∠=，则由tan BHBCH CH∠=可以直接证明的三角函数公式是（ ）A ．sin tan21cos θθθ=-B ．sin tan21cos θθθ=+C ．1cos tan 2sin θθθ-=D ．1cos tan 2sin θθθ+=13．正割（Secant ）及余割（Cosecant ）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，sec ，csc 这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=.已知函数()11sec csc f x x x=+，给出下列说法： ①()f x 的定义域为{}π,Z x x k k ≠∈；②()f x 的最小正周期为2π；③()f x 的值域为)()(11,1⎡--⎣U U ；④()f x 图象的对称轴为直线()ππZ 4x k k =-+∈.其中所有正确说法的序号为（ ）A ．②③B ．①④C ．③D ．②③④14．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染､受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比t =值，黄金分割比还可以表示成2sin18o的值为（ ）A ．-4B ．4C ．-2D ．215．相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井S 时，亚历山大城某处A 的太阳光线与地面成角82.8θ=o ，又知某商队旅行时测得A 与S 的距离即劣弧»AS 的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（）A．35000古希腊里B．40000古希腊里C．45000古希腊里D．50000古希腊里16．中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的56，记甲地中直线AB与地面所成的角为θ，且4sin5θ=．则甲、乙两地之间的距离约为（）A．10千里B．12千里C．14千里D．16千里17．2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一幅蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点B离地面194cm.小南身高160cm（头顶距眼睛的距离为10cm），为使观赏视角θ最大，小南离墙距离S应为（）A ．B ．76cmC ．94cmD ．18．在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追测到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知212︒'的正弦值为0.0384，3054︒'的正弦值为0.5135，等等.则根据该表，416．5°的余弦值为（ ）A ．0.5461B ．0.5519C ．0.5505D ．0.573619．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a ，则sin 26aππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．12-CD．20．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()090θθ︒<<︒的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=，对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α、β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且()1tan 2αβ-=，则第二次“晷影长”是“表高”的（ ）倍． A ．1B ．23C ．52D ．7221．魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率π约等于355113，和π相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52︒44cos 3.5sin 3.54︒+︒-的值约为（ ） A ．32- B ．132-C ．32D ．13222．数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的n 倍角公式，即()cos cos n nx T x =，()01T x =，()1T x x =，()2221T x x =-，()3343T x x x =-，()424881T x x x =-+，()53516205T x x x x =-+，…，则2cos 18︒=（ ）ABCD23．古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）记为A ，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城记为B ，测得立杆与太阳光线所成的角约为7.2︒.他又派人测得A ，B 两地的距离»800AB =km ，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为（ ）（π3.14≈）A ．7260kmB ．6870kmC ．6369kmD ．5669km24．五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，因为在五角星中可以找到许多线段之间的长度关系是符合黄金分割比的，也就是说正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形.如图所示的五角星中PT BP、PTAP 、TE TB 等，已知五角星的顶角是36°，则利用上面信息可求得sin126︒=（ ）A B C D 25．顺德欢乐海岸摩天轮是南中国首座双立柱全拉索设计的摩天轮，转一圈21分钟，摩天轮的吊舱是球形全景舱，摩天轮最高点距离地面高度为99m ，转盘直径为90m ，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，则在转动一周的过程中，高度H 关于时间t 的函数解析式是（ ）A ．()()2ππ45sin 54021212H t t t ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭B ．()()2ππ45sin 54021212H t t t ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭C ．()()2ππ45cos 54021212H t t t ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭D ．()()2ππ45sin 54021212H t t t ⎛⎫=--+≤≤ ⎪⎝⎭二、多选题26．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(3,A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t 秒后，水斗旋转到点P ，设点P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0ω>，π2ϕ<），则下列叙述正确的是（ ）A ．π3ϕ=-B ．当(]0,60t ∈时，函数()y f t =单调递增C ．当(]0,60t ∈时，()f t 的最大值为D ．当100t =时，6PA =27．中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影，到了汉代，使用圭表有了规范．规定“表”为八尺长（1尺＝10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化．也能用于丈量土地，同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”，记“表”的顶部为A ．太阳光线通过顶部A 投影到“圭”上的点为B ，已知甲、乙两地之间的距离约为20千里．若同一日内，甲地中直线AB 与地面所成的角为θ，且1tan 2θ=，则甲地日影长是乙地日影长的（ ）A ．89B ．78C ．87D ．9828．由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos 2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n （n *∈N ）次多项式()12012n n n n n P t a t a t a t a --=+++⋅⋅⋅+（012,,,n a a a a ⋅⋅⋅∈R ），使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff )多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）A ．()3343P t t t =-+B ．()424881P t t t =-+C ．sin18︒=D ．cos18︒29．质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆O 上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P 的角速度大小为2rad /s ，起点为圆O 与x 轴正半轴的交点；Q 的角速度大小为5rad /s ，起点为射线()0y x =≥与圆O 的交点．则当Q 与P 重合时，Q 的坐标可以为（ ）A ．2π2πcos ,sin 99⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ππcos ,sin 99⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2π2πcos ,sin 99⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．ππcos ,sin 99⎛⎫- ⎪⎝⎭30．若()sin cos x x x x f x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期是2π B ．()f x 的对称轴方程为212k x ππ=-，()k ∈Z C ．存在实数a ，使得对任意的x R ∈，都存在125,01,2x x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且12x x ≠，满足()()()210k f x af x f x -+=⎡⎤⎣⎦，()1,2k =D ．若函数()()2g x f x b =+，250,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（b 是实常数），有奇数个零点()12221,,,,N n n x x x x n +⋅⋅⋅∈，则()1232215023n n x x x x x π++++⋅⋅⋅++=三、解答题31．已知a ，b ，c 为三角形的三边．(1)2c ；(2)若c b a ≥≥a b c <++．32．已知定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x >时，()()21log 24f x x x =--+.(1)求函数()f x 的解析式； (2)判断函数()f x 的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式()()2340f mt f mt ++-<恒成立，求实数m 的取值范围.33．水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O 到水面的距离b 为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P 距水面的高度为h （单位；米），水车逆时针旋转时间为t （单位：秒）．当点P 在水面上时高度记为正值；当点P 旋转到水面以下时，点P 距水面的高度记为负值．过点P 向水面作垂线，交水面于点M ，过点O 作PM 的垂线，交PM 于点N ．从水车与水面交于点Q 时开始计时（0=t ），设QON ∠ϕ=，水车逆时针旋转t 秒转动的角的大小记为α．(1)求h 与t 的函数解析式；(2)当雨季来临时，河流水量增加，点O 到水面的距离减少了0.3米，求∠QON 的大小（精确到1°）；(3)若水车转速加快到原来的2倍，直接写出h 与t 的函数解折式．（参考数据：π3π2πsin0.60,sin 0.80,sin 0.865105≈≈≈）34．设(,)P x y 是角θ的终边上任意一点，其中0x ≠，0y ≠，并记r =试卷第11页，共11页 cot x y θ=，sec r xθ=，csc r y θ=． （Ⅰ）求证222222sin cos tan cot sec +csc θθθθθθ+--+是一个定值，并求出这个定值； （Ⅱ）求函数()sin cos tan cot sec +csc f θθθθθθθ=++++的最小值．35．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：()e e sinh 2x x x --=，双曲余弦函数：()e e cosh 2x xx -+=.（e 是自然对数的底数，e 2.71828=L ）.(1)计算()()2cosh 22cosh 1-的值；(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：()cosh x y +=______，并加以证明；(3)若对任意[]0,ln 2t ∈，关于x 的方程()()sinh cosh t x a +=有解，求实数a 的取值范围.。
2021年高三数学暑假培优暨竞赛辅导(5) Word版含答案
2021年高三数学暑假培优暨竞赛辅导（5） Word 版含答案1、已知数列，，前n 项部分和满足，则2、如果二次方程 N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 个3、下列三数的大小关系4、设无穷数列 的各项都是正数, 是它的前 项之和, 对于任意正整数 , 与 2 的等差中项等于 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为5、设为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如.记，，则＝6、函数 R ) 的最小值是7、方程的解集合为8、数列满足：，且对每个，是方程的两根，则 .9、已知数列满足关系式，则的值是___________________10、设)}8(log ,log ,2min{log ,1,122x y S y x y x =>>则S 的最大值为11、已知函数在时有最大值1，，并且时，的取值范围为． 试求m ，n 的值．12、已知,设,记（1）求的表达式;（2）定义正数数列。
试求数列的通项公式。
13、已知x、y、z均为正数（1）求证：（2）若,求的最小值14、已知数列中，，前n 项之和为.若24321(1)(21)2322n n n a n S n n n n ++⋅=+⋅+++++，试求及的表达式（用关于n 的最简式子表示）.答案：1、解：.于是 221(21)(23)8(1)n n n a S S n n n -=-=---=-，（）2、7解：由 , 知方程的根为一正一负．设 ，则 , 即 .由于 N*， 所以 或 . 于是共有7组 符合题意．3、解： 因为 ，。
令，则。
又因为，所以 。
再令，则，而，所以 。
综上所述，有 。
4、N*)解：由题意知 ， 即 . ……… ①由 得 , 从而 .又由 ① 式得 , ……… ②于是有 ,整理得 . 因 , 故．所以数列 是以 为首项、 为公差的等差数列，其通项公式为 ，即 . 故填 N*)．5、145解：将记做，于是有→→→→→→→→→→→164204214589583716402006 从16开始，是周期为8的周期数列。
山东省数学会夏令营试题
i 1 xi 1 xi
i 1 1 xi
i 1 x i i 1 1 xi
7.试求出满足 21m- 20n=1 的所有正整数对 (m,n).
(陈永高 供题 )
解:当 n=1 时,21m=20+1=21,m=1, (m,n)=(1,1),下设 n≥2.若存在正整数 m,n 使
得 21m- 20n=1 即 21m=20n+1,则 20n+1≡1(mod8)(因 n≥2).
t 2 x2 2tx cos45 DA 2 .
④, 由① - ②+③- ④可得
2 xy yz zt tx cos45 AB2 BC2 CD 2 DA2 .
所以 , SABCD
AB2 BC 2 CD 2 DA 2 4
92 32 72 52 24.
4
二.解答题 (本题共 5 道小题 ,每题 20 分,共 100 分)
解 :如图 1，设 OA x，OB y，OC z，OD t ，
则有 SABCD
1 xy yz zt tx sin 45.
2
D
又因 x2 y2 2 x cy o s 4 5 A，2B ①
y 2 z2 2yzcos45 BC 2 ， ②
A
z2 t 2 2zt cos 45 CD 2 ， ③
45 O
图1
C B
山东省数学会夏令营试题
一.填空题 (本题共 4 道小题 ,每题 10 分,共 50 分)
1.已知直线 L 过定点 P(1,2)且与 x 轴 y 轴正半轴分别交于 A,B 两点 .则ΔABC
周长的最小值是 ; ____________
(王泽阳 供题 )
解:令∠ BAO= ,则
2
2022-2023学年山东省东营市第一中学高一7月学营阶段测试数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省东营市第一中学高一7月学营阶段测试数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}{}1,3,1,2A B ==，则()U A B =（ ） A ．{}2,4 B ．{}1,2,4 C ．{}1,2,3 D ．{}1,3,4【答案】B【分析】先求集合A 的补集，再根据并集运算求出结果. 【详解】因为{}1,2,3,4U =，{}1,3A =，所以{}2,4UA =；因为{}1,2B =，所以(){}1,2,4U A B =. 故选：B.2．已知集合()(){}N 1270A x x x =∈+-≤,{}2B y y =≤，则A B =（ ） A ．∅ B ．{}1,0-C ．{}0,1,2D ．1,0,1,2【答案】C【分析】求得集合A ，然后根据交集的概念可得结果.【详解】由题可知：()(){}{}7N 1270N 10,1,2,32A x x x x x ⎧⎫=∈+-≤=∈-≤≤=⎨⎬⎩⎭所以{}0,1,2A B = 故选：C3．“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ． 1m【答案】A【分析】根据不等式20x x m -+>在R 上恒成立，求得14m >，再由14m >，说明不等式20x x m -+>在R 上恒成立，即可得答案. 【详解】∵不等式20x x m -+>在R 上恒成立， ∴24(10)m ∆--<＝ ，解得14m >，又∵14m >，∴140m ∆=-<，则不等式20x x m -+>在R 上恒成立， ∴“14m >”是“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件, 故选:A.4．下列选项中，“a b >”成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．1a b >- B ．22a b > C ．1a b >+ D ．0a b ->【答案】A【分析】利用不等式的性质可判断A 、D ，利用举实例可判断B 、C.【详解】对于A ，“a b >”能推出“1a b >-”，但“1a b >-”不能推出“a b >”，所以A 正确； 对于B ，当3a =-，4b =-时，满足a b >，但22a b <，即“a b >”不能推出“22a b >”，故选项B 不是“a b >”的必要条件，所以B 错误；对于C ，当3a =-，4b =-时，满足a b >，但1a b =+，即“a b >”不能推出“1a b >+”， 故选项C 不是“a b >”的必要条件，所以C 错误；对于D ，可知0a b a b >⇔->，即“a b >”能推出“0a b ->”，且“0a b ->”能推出“a b >”，是充要条件，所以D 错误. 故选：A.5．命题“0R x ∃∈，使得200250x mx m +++<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,10-B ．2,10C ．()(),210,-∞-⋃+∞D ．(),2][10,-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据特称命题与全称命题的关系，结合一元二次不等式恒成立问题即可求解.【详解】因为命题“0R x ∃∈，使得200250x mx m +++<”为假命题，则命题“R x ∀∈，使得2250x mx m +++≥”为真命题，所以()24250m m ∆=-+≤，解得210m -≤≤，所以实数m 的取值范围为[]2,10-. 故选：A.6．“对于任意R x ∈的实数，不等式|2||3|x x a +--≥恒成立”的一个充分必要条件是（ ） A ．][(),23,a ∞∞∈--⋃+ B ．[]2,3a ∈- C ．(],5a ∞∈-D ．(],5a ∞∈--【答案】D【分析】将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，因此利用分类讨论法求得|2||3|x x +--的最小值，即可求得答案.【详解】对于任意R x ∈的实数，不等式|2||3|x x a +--≥恒成立，min [|2||3|]a x x ∴≤+--，由20x +=，得2x =-，由30x -=，得3x =， 当2x <-时，|2||3|235x x x x +--=---+=-；当23x -≤≤时，|2||3|2321[5x x x x x +--=+-+=-∈-，5]； 当3x >时，|2||3|235x x x x +--=+-+=, 综上，|2||3|[5x x +--∈-，5].min [|2||3|]5a x x ∴≤+--=-，∴“对于任意R x ∈的实数，不等式|2||3|x x a +--≥恒成立”的一个充分必要条件是(-∞，5]-.故选：D .7．关于x 的不等式()2210ax a x a -++<的解集为{}12|x x x x <<，且211x x -=，则22a a -+=（ ）A ．3B ．32C ．2D ．23【答案】A【分析】根据一元二次不等式与解集之间的关系可得121x x a a+=+、121=x x ，结合 22112122(())4x x x x x x -=+-计算即可.【详解】由不等式22(1)0ax a x a -++<的解集为12{}x x x x <<， 得0a >，不等式对应的一元二次方程为22(1)0ax a x a -++=， 方程的解为12x x 、，由韦达定理，得21211a x x a a a++==+，121=x x ， 因为211x x -=，所以22211212()()41x x x x x x -=+-=，即21()41a a +-=，整理，得223a a -+=.故选：A8．命题p ：关于x 的方程20x x m ++=有两个相异负根；命题()2:0,,390q x x mx ∞∃∈+-+=.若这两个命题有且仅有一个为真命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．∅B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[)10,2,4∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭D ．[)2,+∞【答案】C【分析】先分别将命题p 及命题q 作为真命题求出m 的取值范围，命题p 及命题q 作为假命题m 的取值范围为命题p 及命题q 作为真命题求出的m 的取值范围的补集，然后根据命题一真一假列出不等式组即可得到答案.【详解】若命题p ：关于x 的方程20x x m ++=有两个相异负根为真命题， 则1212Δ140100m b x x a c x x m a ⎧⎪=->⎪⎪+=-=-<⎨⎪⎪==>⎪⎩解得104m <<；若命题()2:0,,390q x x mx ∞∃∈+-+=为真命题，则()2Δ3360302m m ⎧=--≥⎪⎨-->⎪⎩，解得2m ≥；又因为这两个命题有且仅有一个为真命题，所以1042m m ⎧<<⎪⎨⎪<⎩或1042m m m ⎧≤≥⎪⎨⎪≥⎩或，解得104m <<或2m ≥， 即m 的取值范围为[)10,2,4∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭.故选：C.二、多选题9．已知实数m n <，p q <，且0pq ≠，则下列不等式不一定成立的（ ） A ．m p n q +<+ B ．mq np <C ．m p n q -<-D ．mp nq <【答案】BCD【分析】利用不等式的同向可加性可判断A 正确；取特值举反例可判断BCD 错误； 【详解】A 选项，由不等式同向可加性，可得m p n q +<+，故A 正确； B 选项，1,3,2,7m n p q ====，则76mq np =>=，故B 错误； C 选项，1,3,2,7m n p q ====，则14m p n q -=->-=-，故C 错误； D 选项，1,3,2,1m n p q =-==-=-，则23mp nq =>=-，故D 错误， 故选：BCD10．已知关于x 的不等式(1)(2)10t x x +-->的解集是()12,x x ，其中12x x <，则下列结论中正确的是（ ） A ．1210x x +-= B ．1212x x -<<< C ．123x x -> D ．1220x x +>【答案】ABD【分析】由韦达定理得根与系数的关系，对选项逐一判断【详解】(1)(2)10t x x +-->，即2210tx tx t --->的解集为()12,x x ， 可知0t <，且12122111,22t x x x x t t++==-=-->-，故A ，D 正确，213x x -=，故C 错误， 由对称性可知113122x >-=-，213222x <+=，故B 正确，故选：ABD11．用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()()*A B C A C B =-，已知集合()()2222,,,2x y y x a A x y B x y x y y x ⎧⎧+==+⎧⎫⎧⎫⎪==⎨⎨⎬⎨⎨⎬+==⎩⎭⎩⎭⎪⎩⎩∣∣，若*1A B =，则实数a 的取值可能为（ ） A ．14-B ．21-C ．1003D ．2021【答案】BCD【分析】先求出()1C A =，从而得到()0C B =或()2C B =，利用()1C B =即方程有一个根得到14a =-，那么排除掉A 选项，其他三个选项为正确结果.【详解】由(){}1,1A =，可得()1C A =，若*1A B =，有()0C B =或()2C B =.当()1C B =时，方程组2,y x a y x=+⎧⎨=⎩中消去y 有：20x x a --=，则Δ140a =+=，解得：14a =-，可得若*1A B =，则实数a 的取值范围为14aa ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣，可知选项为:BCD . 故选：BCD12．若A B ⊆，则下列说法与之等价的是（ ） A ．“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件 B ．“x A ∈R”是“x B ∈R”的必要条件C ．()A B ⋂=∅RD ．A B B ⋃= 【答案】ABD【分析】对于A ，可根据充分条件的定义及集合的基本关系判断； 对于B ，可根据必要条件的定义及集合的基本关系和补集的概念判断； 对于C ，可根据集合的基本运算判断； 对于D ，可根据集合的并集运算判断.【详解】对于A ，可得x A x B ∈⇒∈，所以对任意的x A ∈，都有x B ∈成立，即A B ⊆，所以A 正确；对于B ，可得x B x A ∈⇒∈R R，即()()B A ⊆R R ，又因为()()B A A B ⊆⇔⊆R R ，所以B 正确；对于C ，可得()A B B A ⋂=∅⇔⊆R ，所以C 错误； 对于D ，A B B A B ⋃=⇔⊆，所以D 正确. 故选：ABD.三、填空题13．若2,(3,2)(,)3ax by x y bx ay ⎧+=⎧⎫-∈⎨⎨⎬+=-⎩⎭⎩，则a b +的值为_______.【答案】-1【分析】将,x y 的值代入方程得到关于a 、b 的方程组,再将所得两个方程相加即可得出答案.【详解】2,(3,2)(,)3ax by x y bx ay ⎧+=⎧⎫-∈⎨⎨⎬+=-⎩⎭⎩，322,323a b b a -=⎧∴⎨-=-⎩两式相加可得：1a b +=-， 故答案为：-114．若集合{}2210A xax x =-+=∣有且只有一个元素，则a 的取值集合为__________． 【答案】{}0,1{}1,0【分析】讨论集合A 中的条件2210ax x -+=属于一次方程还是二次方程即可求解. 【详解】①若0a =，则210x -+=，解得12x =，满足集合A 中只有一个元素，所以0a =符合题意；②若0a =/，则2210ax x -+=为二次方程，集合A 有且只有一个元素等价于2=(2)410a --⨯⨯=∆，解得1a =.故答案为：{}0,1.15．已知集合{}14A xx =-≤≤∣，集合{21}B x m x m =<<+∣，且,x B x A ∃∈∈为假命题，则实数m 的取值范围为__________. 【答案】(][),21,-∞-+∞【分析】先利用假命题否定为真命题得到集合A 和集合B 的关系，再分B =∅和B ≠∅两种情况列出相应的不等式组即可得到答案.【详解】因为,x B x A ∃∈∈为假命题，所以,x B x A ∀∈∉为真命题，即A B =∅，又因为集合{}14A xx =-≤≤∣，集合{21}B x m x m =<<+∣， 所以当B =∅时，21m m ≥+，即m 1≥，此时满足A B =∅；当B ≠∅时，2111m m m <+⎧⎨+≤-⎩或2124m m m <+⎧⎨≥⎩，解得2m ≤-，综上所述，m 的取值范围为(][),21,-∞-+∞.故答案为：(][),21,-∞-+∞.四、双空题16．设2:20p x x -≤，()():30q x m x m ---<，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是______；若p ⌝是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是______. 【答案】 2m > 或3m <- 2m > 或3m <-【分析】先化简命题,p q ，再根据两命题满足的条件建立不等式求解参数即可【详解】由2:20p x x -≤可得02x ≤≤；由()():30q x m x m ---<可得3m x m ≤≤+所以q ⌝满足：x m <或3x m >+p 是q ⌝的充分不必要条件，则，2m >或30m +<，即2m > 或3m <- 则p ⌝满足：0x <或2x >若p ⌝是q 的必要不充分条件，则2m >或30m +<，即2m >或30m +< 故答案为：2m > 或3m <-；2m > 或3m <-五、解答题17．（1）求方程3225430x x x +--=的解集；（2）求方程组222210220x y x xy y x y ⎧--=⎨-++--=⎩的解集. 【答案】（1）1{3,,1}2--； （2）131,0,,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.；【分析】（1）化简方程为322543(1)(21)(3)0x x x x x x +--=-++=，即可求解； （2）由2222(2)(1)0x xy y x y x y x y -++--=-+--=，求得2x y -=-或1x y -=， 分类讨论，联立方程组，即可求解.【详解】（1）由方程3222543(1)(273)(1)(21)(3)0x x x x x x x x x +--=-++=-++=， 所以1x =或12x =-或3x =-，即方程的解集为1{3,,1}2--.（2）由方程22222()()2(2)(1)0x xy y x y x y x y x y x y -++--=-+--=-+--=， 可得2x y -=-或1x y -=，当2x y -=-时，联立方程组22102x y x y ⎧--=⎨-=-⎩，即2230x x --=，解得1x =-或32x =； 当1x y -=时，联立方程组22101x y x y ⎧--=⎨-=⎩，即220x x -=，解得0x =或12x =. 综上可得，方程组的解集为13{1,0,,}22-.18．已知集合{}2N 31340A x x x =∈-+<，{}10B x ax =-≥．(1)当12a =时，求A B ； (2)若______，求实数a 的取值范围．请从①A B B ⋃=，②A B =∅，③()R A B ⋂≠∅，这三个条件中选一个填入（2）中横线顶处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1){}2,3A B ⋂= (2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）根据已知条件，分别解出集合A 和集合B ，然后再求得两集合的交集； （2）先解出集合A 的范围，根据给的三个不同的条件，分别选择集合B 与集合A 满足的不同关系，再进行求解即可.【详解】(1)由题意得，{}1N 41,2,33A x x ⎧⎫=∈<<=⎨⎬⎩⎭．当12a =时，{}11022B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，∴{}2,3A B ⋂=． (2)选择①：∵A B B ⋃=，∴A B ⊆．当0a =时，B =∅，不满足A B ⊆，舍去；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，要使A B ⊆，则11a ≤，解得1a ≥；当0a <时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，此时10a <，A B =∅，舍去，综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞． 选择②：当0a =时，B =∅，满足A B =∅；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，要使A B =∅，则13a >，解得103a <<；当0a <时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，此时10a <，A B =∅，综上，实数a 的取值范围为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．选择③：当0a =时，B =∅，R B =R ，∴()R B A A ⋂=≠∅，满足题意；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，R 1B x x a ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭， 要使()R A B ⋂≠∅，则11a>，解得01a <<； 当0a <时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，R 1B x x a ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭， 此时()R B A A ⋂=≠∅，满足题意，综上，实数a 的取值范围为(),1-∞．19．已知全集为R ，A ＝{x |x 2+px ﹣6＝0}，B ＝{x |x 2+2x +q ＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数p ，q 的值；(2)若B ＝{x |x 2+2x +q ＝0}＝{m ，n }（m ，n ∈R ），求使得m nn m+为整数的实数q 的整数值 【答案】(1)1,8p q ==- (2)1,2,4q =---【分析】（1）由题意，2,2A B ∈∈，代入求解即可；（2）利用韦达定理可求解,m n mn +，然后结合二次方程根的存在条件求出实数q 的范围，分析即得解【详解】(1)由题意A ＝{x |x 2+px ﹣6＝0}，B ＝{x |x 2+2x +q ＝0}，且A ∩B ＝{2}， 故2,2A B ∈∈所以4260,440p q +-=++= 解得1,8p q ==- (2)由题意，440q ∆=-> 解得1q <此时2,m n mn q +=-=故222()242m n m n m n mn n m mn mn q++-+===-为整数 所以1,2,4,1,2,4q =---，又1q < 故1,2,4q =---20．设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集． (1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】(1){}6,10,15B = (2)7(3)不存在，理由见解析【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.第 11 页 共 11 页 （2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【详解】(1){}2,3,5A =，{}6,10,15B ∴=(2)设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数大于等于7个， 所以生成集B 中元素个数的最小值为7.(3)不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =， 不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
山东省高一上学期数学新生夏令营学科素质测试试卷
山东省高一上学期数学新生夏令营学科素质测试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 15 题；共 30 分)1. （2 分） (2016 高二下·黄骅期中) 在极坐标系中，与点关于极点对称的点的坐标是（ ）A.B.C.D.2. （2 分） 极坐标系中，以（9， ）为圆心，9 为半径的圆的极坐标方程为（ ）A. B.C. D.3. （2 分） (2020 高二下·都昌期中) 已知直线 的参数方程为 倾斜角为（ ）A. B. C. D.（t 为参数），则直线 的第 1 页 共 12 页4. （2 分） (2020 高二下·大庆月考) A. B.经过伸缩变换后，曲线方程变为（ ）C.D. 5. （2 分） 设点 对应的复数为 可能为（ ）， 以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点 的极坐标A.B.C.D.6. （2 分） (2018 高二下·保山期末) 曲线 A. B. C. D.对称的曲线的极坐标方程是（ ）7. （2 分） (2017 高二下·深圳月考) 已知曲线的参数方程是 坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则此曲线的极坐标方程为（)，若以此曲线所在直角 ）A.B.第 2 页 共 12 页C. D. 8. （2 分） (2018·临川模拟) 已知直线 将圆 ： 过第三象限，则直线 的倾斜角 的取值范围为（ ）A.B.C.D.9. （2 分） (2019 高一上·吉安月考) 当 值，则 a 的取值范围是（ ）时，函数A.B.C.或D.10. （2 分） (2019 高二下·泉州期末) 已知点 是曲线 ：上一点，点，则的取值范围是（ ）A.B. C. D.第 3 页 共 12 页的周长平分，且直线 不经在处取得最大（ 为参数，）11. （2 分） (2019 高二下·上饶期中) 极坐标方程为 A . 双曲线 B.圆 C . 两条相交直线 D . 两条射线表示的曲线是（ ）12. （2 分） 在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴，建立直角坐标系，点 M（2， ）的直 角坐标是（ ）A . （2，1）B . （ ， 1）C . （1， ） D . （1，2）13. （2 分） (2019 高二下·新城期末) 若直线的参数方程为 （）A. B. C. D.（ 为参数），则直线的倾斜角为14.（2 分）(2017 高二下·双鸭山期末) 直线 A.4（ 为参数）被曲线所截的弦长为（ ）B.第 4 页 共 12 页C. D.815. （2 分） (2018 高一下·虎林期末) 圆 : 的位置关系是（ ）与圆 :A . 相交B . 外切C . 内切D . 相离二、 填空题 (共 10 题；共 10 分)16. （1 分） (2019 高一下·合肥期中) 已知的内角 、 、 的对边分别为 、 、 其面积为 ，且，则角________。
全国高中数学联赛山东赛区预赛试题
全国高中数学联赛山东赛区预赛试题一、选择题（每小题6分，共60分） 1．数集{x x x -2,}中x 的取值范围是 （ ）A ．),(+∞-∞B ．),0()0,(+∞⋃-∞C ．),2()2,(+∞⋃-∞D ．),2()2,0()0,(+∞⋃⋃-∞ 2．若012=++z z ，则2005z 的值是 （ ）A ．1B ．1-C ．i 2321±D ．i 2321±- 3．函数x x y 24sin cos +=的最小正周期为 （ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．π2 4．随机抛掷一颗6个面分别刻有1，2，3，4，5，6个点的骰子，其出现（即向上一面）的 点数的数学期望值为 （ ） A ．3 B ．3.5 C ．4 D ．4.55．函数cx bx ax x f ++=23)(的图像如图，则下面关于c b a ,,符号判断正确的是 （ ）A ．0,0,0<<>c b aB ．0,0,0>>>c b aC ．0,0,0><<c b aD ．0,0,0<><c b a 6．16666101192111011111-++++C C C 被8除所得余数是（ ）A ．0B ．2C ．3D ．5 7．不等式31|1log 1|31>+x 的解集为（ ）A ．)81,91(B ．)27,31(C ．)27,3()3,31(⋃ D ．)81,3()3,91(⋃8．当22ππ≤≤-x 时，函数)(x f 满足x x f x f 2sin )(sin 3)sin (2=+-，则)(x f 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数9．点P 在双曲线222a y x =-的右支上，21,A A21122A PA PA A ∠=∠，则21A PA ∠等于（ ）A ．30B ．5.27 C ． 25D ． 5.2210．正四面体ABCD 中，CD CF AB AE 41,41==，则直线DE 和BF 所成角是 （ ） A ．134arccos B ．133arccos C ．134arccos -πD ．133arccos -π二、填空题（每小题6分，共24分） 11．已知函数⎩⎨⎧≤<+-<≤---=10,101,1)(x x x x x f ，则1)()(->--x f x f 的解集为.12．数列{n a }的前n 项和n S 满足n n a n S 2=，若10031=a ，则2005a 等于.13．设平面内的两个向量,12==，又k 与t 是两个不同时为零的实数，若向量t )3(-+=与t k 2+-=互相垂直，则k 的极大值为.14．在某次商品的有奖销售活动中，有n 人获三等奖（4≥n ），三等奖的奖品共有四种，每个三等奖获得者随意从四种奖品中挑选了一种，结果有一种奖品无人挑选的概率是. 三、解答题（共5小题，计66分）15．（12分）某人购房向银行贷款s 元，年利率为p ，每两年向银行返还一次本息，十年还清，要求每次向银行的付款数相同，那么十年付款的总额是多少？16．（12分）如图，斜三棱柱111C B A ABC -的侧面C C AA 11的面积为23的菱形，1ACC ∠ 为锐角，侧面11A ABB ⊥侧面C C AA 11，且11===AC AB B A .BC1B 1C（1）求证11BC AA ⊥； （2）求11B A 到平面ABC 的距离.17．（12分）设c bx x x f ++=2)(（c b ,为常数），方程x x f =)(的两个实数根为21,x x ，且满足01>x ，112>-x x .（1）求证：)2(22c b b +>；（2）若10x t <<，比较1x 与)(t f 的大小.18．（15分）如图，过原点O 作抛物线px y 22=（0>p ）的两条互相垂直的弦OB OA ,，再作AOB ∠的平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程.19．（15分）圆周上有800个点，依顺时针方向标号依次为800,,2,1 .它们将圆周分成800个间隙.任意选定一点染成红色，然后按如下规则逐次染红其余的一些点：若第k 号点已被染红，则可按顺时针方向经过k 个间隙，将所到达的那个点染红.如此继续下去，试问圆周上最多可得到多少个红点？证明你的结论.高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十四) 直线、平面垂直的判定与性质1．(·杭州模拟)设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是( )A．a⊥c，b⊥cB．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.其中正确的命题是( )A．①②B．②③C．②④D．③④3．给出命题：(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；(3)已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；(4)a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．其中正确命题个数是( )A．0B．1C．2D．34.(·济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部5.(·曲阜师大附中质检)如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )A．①②B．①②③C．①D．②③6.(·济南名校模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)8．(·忻州一中月考)正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是BC的中点，动点P在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为________．9.(·蚌埠模拟)点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．10.如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC.11.(·北京海淀二模)如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在AB 上，且OM∥AC.(1)求证：平面MOE∥平面PAC；(2)求证：平面PAC⊥平面PCB.12．(·珠海摸底)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，四边形ACFE 是矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，AD ＝DC ＝CB ＝AE ＝a ，∠ACB＝π2.(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)若M 是棱EF 上一点，AM ∥平面BDF ，求EM 的长．1.如图，在立体图形D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE2．如图所示，b ，c 在平面α内，a ∩c ＝B ，b ∩c ＝A ，且a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c ，若C ∈a ，D ∈b ，则△ACD 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形3.(·莆田模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC ，△ABC 分别是以A ，B 为直角顶点的等腰直角三角形，AB ＝1.(1)现给出三个条件：①PB ＝3；②PB ⊥BC ；③平面PAB ⊥平面A BC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA ⊥平面ABC ；(2)在(1)的条件下，求三棱锥P －ABC 的体积． [答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________答 案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十四)A级1．C2.D3.B4.A5．选B对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．6．选D在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.7．解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8．解析：如图，设AC∩BD＝O，连接SO，取CD的中点F，SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，连接GH，易知AC⊥EF，GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD，∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG，故动点P的轨迹是△EFG，由已知易得EF＝2，GE＝GF＝62，∴△EFG的周长为2＋6，故动点P的轨迹长为2＋ 6.答案：2＋69．解析：连接BD交AC于O，连接DC1交D1C于O1，连接OO1，则OO1∥BC1.∴BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，∴三棱锥P－AD1C的体积不变．又VP－AD1C＝VA－D1PC，∴①正确．∵平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，∴A1P∥平面ACD1，②正确．由于DB不垂直于BC1显然③不正确；由于DB1⊥D1C ，DB1⊥AD1，D1C ∩AD1＝D1， ∴DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1， ∴平面PDB1⊥平面ACD1，④正确． 答案：①②④10．证明：(1)由已知，得MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP. 又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ， 故MD ∥平面APC.(2)因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点， 所以MD ⊥PB.所以AP ⊥PB.又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC. 因为BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC.又BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，所以BC ⊥平面APC. 因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC.11．证明：(1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点， 所以OE ∥PA.因为PA ⊂平面PAC ，OE ⊄平面PAC ， 所以OE ∥平面PAC. 因为OM ∥AC ，且AC ⊂平面PAC ，OM ⊄平面PAC ， 所以OM ∥平面PAC.因为OE ⊂平面MOE ，OM ⊂平面MOE ，OE ∩OM ＝O ， 所以平面MOE ∥平面PAC.(2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC. 因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC. 因为AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， PA ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面PAC. 因为BC ⊂平面PCB ， 所以平面PAC ⊥平面PCB.12．解：(1)证明：因为∠ACB ＝π2，所以BC ⊥AC.又因为BC ⊂平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，平面ACFE ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE.(2)记AC ∩BD ＝O ，在梯形ABCD 中，因为AD ＝DC ＝CB ＝a ，AB ∥CD ，所以∠ACD ＝∠CAB＝∠DAC.所以π＝∠ABC ＋∠BCD ＝∠DAB ＋∠ACD ＋∠ACB ＝3∠DAC ＋π2，所以∠DAC ＝π6，即∠CBO ＝π6.又因为∠ACB ＝π2，CB ＝a ，所以CO ＝33a.连接FO ，由AM ∥平面BDF 得AM ∥FO ，因为四边形ACFE 是矩形， 所以EM ＝CO ＝33a. B 级1．选C 要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE.因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE.又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE.2．解析：选B ∵a ⊥b ，b ⊥c ，a ∩c ＝B ， ∴b ⊥面ABC ，∴AD ⊥AC ，故△ACD 为直角三角形． 3．解：法一：(1)选取条件① 在等腰直角三角形ABC 中， ∵AB ＝1， ∴BC ＝1，AC ＝ 2. 又∵PA ＝AC ，∴PA ＝ 2. ∴在△PAB 中，AB ＝1，PA ＝ 2. 又∵PB ＝3， ∴AB2＋PA2＝PB2.∴∠PAB ＝90°，即PA ⊥AB. 又∵PA ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ， ∴PA ⊥平面ABC.(2)依题意得，由(1)可知PA ⊥平面ABC ，V 三棱锥P －ABC ＝13PA ·S △ABC ＝13×2×12×12＝26.法二：(1)选取条件② ∵PB ⊥BC ，又AB ⊥BC ，且PB ∩AB ＝B ，∴BC⊥平面PAB.∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA.又∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ABC.(2)依题意得，由(1)可知PA⊥平面ABC.∵AB＝BC＝1，AB⊥BC，∴AC＝2，∴PA＝2，∴V三棱锥P－ABC＝13PA·S△ABC＝13×12AB·BC·PA＝13×12×1×1×2＝26.法三：(1)选取条件③若平面PAB⊥平面ABC，∵平面PAB∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA.∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ABC.(2)同法二．高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．43．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋37．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A．23B．3C.3D．42．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为22.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)A级1．A2.A3.C4.B5．选B由斜二测画法知B正确．6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533.答案：5339.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2210．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高， 在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.B 级1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于32－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：33．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a22，S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a22，S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a28＝5a2.。
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山东省2012届高中数学夏令营数学竞赛（及答案） 一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分)
1.函数
()f x =的最大值是________________ 。
(王泽阳 供题)
解:()f x =≤,其等号仅当=即
1
2
x =
时成立,
所以,f(x)最大=.
2.如果自然数a 的各位数字之和等于5,那么称a 为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大排成一列a 1,a 2,…,a n .若a n =2012.则n=_______________. (王继忠 供题)
解:设12
m x x x 为吉祥数,则x 1+x 2+…+x m =5,由x 1≥1和x 2,…,x m ≥0
得
(x 1-1)+x 2+…+x m =4,所以,12m x x x 为第4
3m C +个吉祥数.2
1m x x 为第4
2
m C +个吉祥数.
由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共455C =个,三位吉祥数共
4615C =个,
因以1为首位的四位吉祥数共4615C =个,以2为首位的前两个四位吉祥数为:
2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.
3.已知f(x)是2011次多项式,当n=0,1,…,2011时,()1
n
f n n =
+. 则f(2012)=______。
(王
林
供题)
解:当n=0,1,…,2011时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x 有2012个根,
设(x+1)f(x)-x=a x(x -1)(x -2)…(x -2011). 取x=-1,则1=2012!a .故
1
2012!a =
, (1)(2)(2011)()2012!(1)1
x x x x x
f x x x ---=
+
++,
2012!20122013
(2012)12012!201320132013
f =
+==.
4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k 步转过k 个间隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可得到_________个红点. (龚红戈 供题)
解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3个红点.
5.如图，设O ,I 分别为ABC ∆的外心、内心，且60B ∠=，AB ＞BC ，
A ∠的外角平分线交⊙O 于D ，已知18AD =,则OI =_____________
文 供题)
解: 连接BI 并延长交⊙O 于E ,则E 为弧AC 的中点.连
OE 、AE 、CE 、OC ，由60B ∠=，易知AOE ∆、COE ∆均为
正三角形.由内心的性质得知：AE IE CE ==,所以
A 、O 、I 、C 四点共圆,且圆心为E .再延长AI 交⊙O 于F ,
由题设知D 、O 、F 共线，于是2OEI OAI ∠=∠, 22AOD AFD OAI ∠=∠=∠,
又OA OD OE IE ===, 从而OAD ∆≌EOI ∆, 故18OI AD ==. 二.解答题(本题共5道小题,每小题20分,满分100分)
6.证明:对任给的奇素数p ,总存在无穷多个正整数n 使得p |(n 2n -1).
(陈永
高 供题)
证明:取n =(p -1)k ,则由费尔马小定理知(1)21(mod )p k p -≡,所以, p |(n 2n -1)
(1)(1)21(mod )(1)1(mod )1(mod )p k p k p p k p k p -⇔-∙≡⇔-≡⇔≡-.
取k =pr -1(r ∈N *),即n =(p -1)(pr -1),就有(1)(1)21(mod )p k p k p --∙≡即p |(n 2n -1).
7.如图，已知P 是矩形ABCD 内任意一点，延长BP 交AD 于E ，延长DP 交AB 于F ，延长CP
(叶中豪 供题)
证法1:设CG 交AD 于Q,由∠GBA ∠AGB ＝∠CGD 知△ABG ∽△QDG 交于R ，由AD ∥BR, AD=BC
得AF BC
FB BR
=① 又由△CPB ∽△QPE 及△RPB ∽△DPE 得BC QE
BR ED
=②
由①,②得AF QE
FB ED
=,表明F,E 是△ABG ,△QDG 的相似对应点,故得
△FBG ∽△EDG .所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即GE ⊥GF.
证法2:联结GB,GD,令∠GCB=α,∠GCD=β,
由正弦定理得:sin sin sin sin GB BP PBC
GD DP PDC
αβ∠==∠ sin sin sin sin BF BFP PBC BF DE DEP PDC DE
∠∠=⋅=∠∠, 由∠GBF ＝∠GDE 得△FBG ∽△EDG .
所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900,即GE ⊥GF.
8.对于恰有120个元素的集合A.问是否存在子集A 1,A 2,…,A 10满足:
(1)|A i |=36,i=1,2,…,10。
(2)A 1∪A 2∪…∪A 10=A 。
(3)|A i ∩A j |=8,i ≠j.请说明理由. (刘裕文 供题)
解:答案:存在.
考虑长度为10的0,1数列.其中仅3项为1的恰有3
10120C =个,
每个作为集合A 的一个元素.
对每个j=1,2,…,10,第j 项为1的0,1数列恰有2
936C =个,它
们是集合A j 的36个元素.对每对i,j ∈{1,2,…,10}(i<j),第i 项与
第j 项均为1的0,1数列恰有1
88C =个,它们是A i ∩A j 的元素.
综上知,存在满足条件的10个子集. 9.求最小的正整数m,n(n ≥2),使得n 个边长为m 的正方形,恰好可以割并成n 个边长分别为1,2,…,n 的正方形.
(邹 明 供题)
解:依题意n 个边长为m 的正方形,恰好可以割并成n 个边长分别为1,2,…,n 的正方形⇔12+22+…+n 2=nm 2,即6m 2=(n+1)(2n+1),
则(n+1)(2n+1)=2n 2+3n+1≡0(mod6), 由n 2≡0,1,3,4(mod6)知n≡±1(mod6). 若6|n+1,设n=6k -1(k ∈N),得m 2=k(12k -1),
因(k,12k -1)=1,所以k 与12k -1都是完全平方数,但12k -1≡3 (mod4)矛盾!
若6|n -1,设n=6k+1(k ∈N),得m 2=(3k+1)(4k+1),因(3k+1,4k+1)=1,所以,
3k+1=v 2,4k+1=u 2,消去k 得4v 2-3u 2=1,v=u=1时,k=0,n=1,但n ≥2,故u>1,v>1.
由4v 2-3u 2≡1(mod8)知u,v 为奇数, 直接计算得u min =15,v min =13,k=56,所以, m 最小=15×13=195,n 最小=337.
10.设实系数三次多项式32()p x x ax bx c =+++有三个非零实数根.
求证:33
2
2
610(2)1227a a b ab c +--≥. (李胜宏 供题)
证明:设,,αβγ为p (x)=0的三个根,由根与系数关系
a b c αβγαββγγααβγ++=-⎧⎪
++=⎨⎪=-⎩
得: 22222a b αβγ-=++.原式322
2
6(2)10(2)27a a b a b c ⇔-+-≥
32222222
6()()10()27αβγαβγαβγαβγ⇔++++-++≤①.
若222
0αβγ++=,则①成立.
若222
0αβγ++>,不妨设||||||αβγ≤≤,由①的齐次性,不妨设
2229αβγ++=,则23γ≥,222296αβαβγ≤+=-≤. ①2()10αβγαβγ⇔++-≤.因
22222[2()][2()(2)][4(2)][()]αβγαβγαβαβγαβαβγ++-=++-≤+-++232[84()](92)2()()20()72αβαβαβαβαβαβ=-++=+-+
2(2)(27)100100αβαβ=+-+≤,所以,2()10αβγαβγ++-≤.故原式成立.。