北师大版高中数学必修《等比数列》课件PPT1
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《等比数列》_PPT完整版【北师大版】1
Sn
a1 1 qn 1 q
Sn
a1 anq 1 q
已知a1, q, n 已知a1, q, an
《等比数列》教学分析北师大版1-精 品课件p pt(实 用版)
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等比数列前n项和公式的运用
例1：在等比数列{an}中，已知 求其前6项和S6
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
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新课探究
对于一般的等比数列{an }，公比为q，
如何求前n项和Sn ?
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解：由题意知，
且
Sn
a1 1 qn 1 q
所以
1 1 26 S6 3 1 2 21
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等比数列前n项和公式的运用
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梳理 等比数列的前n项和公式
两式相减得 1 qSn a1 a1qn
当 q 1 时，
当 q 1
时， Sn
a1 1 qn 1 q
a1 anq 1 q
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等比数列ppt 北师大版
(4) 5，5，5，5，5，5，…
(5) 1，-1，1，-1，1，…
(6) 1,x,x2,x3,x4,(x0)
观察这些数列有哪些特点?
这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。
复习等差数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等
于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
an1an d(是与 n无关的数或式子
等差数列 a n 的通项公式为
当d≠0时，这是 关于n的一个一
ana1(n1)d
次函数。
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，
那么A叫做a与b的等差中项。
等差数列 a n 的前n项和
A ab 2
an=am+(n-m)d
d an am nm
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
例:求下列等比数列的第4，5a项n ：a1•qn1
（1） 5，-15，45，…
a45(3)4113 , a 555(3)5140.5
（2）1.2，2.4，4.8，…
a41.22419.6, a51.22511.2 9.
一般的，如果一个数列从第2
项起，每一项与它前一项的比等
于同一个常数，这个数列就叫做
等比数列。这个常数叫做等比数列的
公比，公比通常用字母q表示。(q≠0）
qa2a3a4.. .an1
an
a1 a2 a3
q(n2) 或
an1
an1
an
q(nN*)
an
特点：
(5) 1，-1，1，-1，1，…
(6) 1,x,x2,x3,x4,(x0)
观察这些数列有哪些特点?
这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。
复习等差数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等
于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
an1an d(是与 n无关的数或式子
等差数列 a n 的通项公式为
当d≠0时，这是 关于n的一个一
ana1(n1)d
次函数。
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，
那么A叫做a与b的等差中项。
等差数列 a n 的前n项和
A ab 2
an=am+(n-m)d
d an am nm
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
例:求下列等比数列的第4，5a项n ：a1•qn1
（1） 5，-15，45，…
a45(3)4113 , a 555(3)5140.5
（2）1.2，2.4，4.8，…
a41.22419.6, a51.22511.2 9.
一般的，如果一个数列从第2
项起，每一项与它前一项的比等
于同一个常数，这个数列就叫做
等比数列。这个常数叫做等比数列的
公比，公比通常用字母q表示。(q≠0）
qa2a3a4.. .an1
an
a1 a2 a3
q(n2) 或
an1
an1
an
q(nN*)
an
特点：
北师大版高中数学必修 -等比数列 PPT完美课件ppt1
北师大版高中数学必修《等比数列》P PT完美 课件pp t1(完 美课件)
北师大版高中数学必修《等比数列》P PT完美 课件pp t1(完 美课件)
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了. 追问1：国王一共应该给他多少颗麦粒？ 1 2 22 23 263
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an ① Sn an an1 an2 a3 a2 a1 ②
北师大版高中数学必修《等比数列》P PT完美 课件pp t1(完 美课件)
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回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an ① Sn an an1 an2 a3 a2 a1 ②
追问2：如何计算？ 1 2 22 23 263
首项：1 公比：2
共64项
追问3：如何求一个等比数列的前n 项的和？
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问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了. 追问1：国王一共应该给他多少颗麦粒？ 1 2 22 23 263
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an ① Sn an an1 an2 a3 a2 a1 ②
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回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an ① Sn an an1 an2 a3 a2 a1 ②
追问2：如何计算？ 1 2 22 23 263
首项：1 公比：2
共64项
追问3：如何求一个等比数列的前n 项的和？
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高中数学北师大版必修五《等比数列》课件
2•四1,级1,1，…，1；
• 五级
31, 2, 4,8,12,16, 20；
4 a, a2 , a3,……，an.
2024/11/14
5
单击此处编辑母版标题样式
q • 单击此问处题编提辑出母：版已如文知何本一写样个出等式它比的数通列项的公首式项？ a1和公比 ，
• 二级
q a • 首三级项是 • 四级
• 二级
• 三级
a , q, n, a ①• 四级 • 1五级
四个元素中可知三求一 n
②涉及多个已知条件时，可根据通项公式列方程组解决.
2024/11/14
8
单击此处编辑母版标题样式 16
●
14
（1）an 2n1 ：1，
2，4，8，16，…
5 4.
（2）an
1 2
n1
：1,
1 2
,
1 4
,
1 8
11
单击作此业：处课编本P辑30 ，母A版组1标，2题，3样，4式，6
• 单击（1此）“处生编态辑中国母，版绿色文中本国样”是式中国梦的重要组成部分。目前我国森林覆盖面积约
• 二级占国土面积的12%，处于较低水平，估计到2030年森林面积要在现有基础上
• 三翻级一番（即到达24%），生态环境明显改良。要实现上述目标，从2013年 到•20四3级•0年五森级林覆盖面积年平均增长率至少要为多少？
8
• 单击此处7 编辑●母版●文●本样●式 ● ● ● ● ● ●
• 二级 6
• 三级
•45四级• 五等级 比数列的图象4
3 （4）an 1 n1 ：1，-1，1，-1，1，-1，
2 1，…
1●
●
●
北师大版高中数学必修五等比数列课件(20张ppt)
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1, 1, 1, 1 ,
2 4 8 16
是,公比
q=
1 2
(3) 5，5，5，5，5，5，…
是,公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，…
2 4 8 16
(3) 5， 5， 5， 5，…
当q<0，各项符号正负相间
4. 数列 a, a , a , …
(4) 1，-1，1，-1，…
a 0 时,既是等差数列
(5) 1，0，1，0，…
又是等比数列;
(6) 0，0，0，0，…
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
探究二、等比数列的通项公式：
所以数列 是等比数列，且公比为2.
北师大版高中数学必修五 等比数列课件(20张ppt)
变式二：在各项为负数的数列{an}中,已知
（21a）n=求3a证n+1{,a且n}是a 2等•比a5数列28,7并求出通项; (2)试问 1 6 是这个等比数列中的项吗?如果是,
指明是第8 几1 项;如果不是,请说明理由.
北师大版高中数学必修五 等比数列课件(20张ppt)
北师大版高中数学必修五 等比数列课件(20张ppt)
题型二：等比数列的基本运算
例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18,求它的第1项与第2项.
a 解：设这个等比数列的第1项是 ,公比是q ，那
么
1
aq2 12
1
aq3 18 1
解得，
q3 2
评 五、重、难、疑点 析 回顾小结
1.3.1等比数列课件(北师大版)
等比数列 的通项公式为 = −（1 ≠ 0, ≠ 0）.
二 等比数列的函数特性
在等差数列中，公差 ≠ 0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比 满足
什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系？
= 1 −1 =
当 > 0且 ≠ 1时 , () =
随堂小测
1
1.已知{an}是等比数列，a1＝4，公比q＝2，则a5＝( A )
1
A．4
1
B．5
1
C．2
1
D．3
2.若各项均为正数的等比数列{an}满足a3＝3a1＋2a2，则公比q＝( C )
A．1
B．2
C．3 D．4
3. （2021·江苏南通市高二期末）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有
80+2,
跟踪训练
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第
二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
解法1
设这四个数依次为 − , , +
(+)2
, ,
(+)2
= 16, 解方程组，得ቊ = 4， 或 ቊ = 9，
于是得ቐ − d +
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的
利息（精确到10−5 ）？
分析
复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.所以若原始本金为元，每期
的利率为 ，则从第一期开始，各期的本利和 , 1 + ， 1 + 2 …构成等比数列.
二 等比数列的函数特性
在等差数列中，公差 ≠ 0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比 满足
什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系？
= 1 −1 =
当 > 0且 ≠ 1时 , () =
随堂小测
1
1.已知{an}是等比数列，a1＝4，公比q＝2，则a5＝( A )
1
A．4
1
B．5
1
C．2
1
D．3
2.若各项均为正数的等比数列{an}满足a3＝3a1＋2a2，则公比q＝( C )
A．1
B．2
C．3 D．4
3. （2021·江苏南通市高二期末）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有
80+2,
跟踪训练
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第
二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
解法1
设这四个数依次为 − , , +
(+)2
, ,
(+)2
= 16, 解方程组，得ቊ = 4， 或 ቊ = 9，
于是得ቐ − d +
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的
利息（精确到10−5 ）？
分析
复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.所以若原始本金为元，每期
的利率为 ，则从第一期开始，各期的本利和 , 1 + ， 1 + 2 …构成等比数列.
高中数学必修五北师大版 等比数列的概念和通项公式 课件(55张)
第一章
数列
§3
等比数列
3.1
等比数列
第1课时 预习篇
等比数列的概念和通项公式
巩固篇
课堂篇
课时作业 提高篇
学习目标
1.理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是 否为等比数列，并确定等比数列的公比. 2.探索并掌握等比数列的通项公式，能够应用它解决等 比数列的问题. 3.体会等比数列与指数函数的关系.
对等比数列的定义中“从第 2 项起”和“比是同一个 常数”这两点如何理解？
提示：通过列举反例来分析．我们知道一个数列的第 1 项没有前一项，所以强调“从第 2 项起”；“比是常数”和 a2 “比是同一个常数”的意义不一样，如数列 1,5,3,7 中， ＝ a1 a3 3 a4 7 5 是常数，a ＝5是常数，a ＝3是常数，比都是常数，但是 2 3 很明显该数列不是等比数列，所以强调 “ 比是同一个常 数”，这是等比数列定义的核心．
⑤如果一个数列从第 2 项起， 每一项与它前一项的比尽 管是一个与 n 无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列 不是等比数列． ⑥常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．如常 数列是各项都为 0 的数列，它就不是等比数列．当常数列各 项不为 0 时，它是等比数列，且公比 q＝1.
2．等比数列的增减性 (1)当 a1>0，q>1 或0<q<1，a1<0时，等比数列{an}是递 增数列． (2)当q>1，a1<0或 0<q<1 递减数列． (3)当 q＝1 时，等比数列{an}是常数列． (4)当 q<0 时，等比数列{an}是摆动数列. ，a1>0时，等比数列{an}是
【例 2】
已知等比数列{an}的通项公式
数列
§3
等比数列
3.1
等比数列
第1课时 预习篇
等比数列的概念和通项公式
巩固篇
课堂篇
课时作业 提高篇
学习目标
1.理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是 否为等比数列，并确定等比数列的公比. 2.探索并掌握等比数列的通项公式，能够应用它解决等 比数列的问题. 3.体会等比数列与指数函数的关系.
对等比数列的定义中“从第 2 项起”和“比是同一个 常数”这两点如何理解？
提示：通过列举反例来分析．我们知道一个数列的第 1 项没有前一项，所以强调“从第 2 项起”；“比是常数”和 a2 “比是同一个常数”的意义不一样，如数列 1,5,3,7 中， ＝ a1 a3 3 a4 7 5 是常数，a ＝5是常数，a ＝3是常数，比都是常数，但是 2 3 很明显该数列不是等比数列，所以强调 “ 比是同一个常 数”，这是等比数列定义的核心．
⑤如果一个数列从第 2 项起， 每一项与它前一项的比尽 管是一个与 n 无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列 不是等比数列． ⑥常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．如常 数列是各项都为 0 的数列，它就不是等比数列．当常数列各 项不为 0 时，它是等比数列，且公比 q＝1.
2．等比数列的增减性 (1)当 a1>0，q>1 或0<q<1，a1<0时，等比数列{an}是递 增数列． (2)当q>1，a1<0或 0<q<1 递减数列． (3)当 q＝1 时，等比数列{an}是常数列． (4)当 q<0 时，等比数列{an}是摆动数列. ，a1>0时，等比数列{an}是
【例 2】
已知等比数列{an}的通项公式
北师大版高中数学必修《等比数列》课堂课件1
C
第1个正方形边长
北师大版高中数学必修《等比数列》 课堂课 件1
北师大版高中数学必修《等比数列》 课堂课 件1
问题2 如图，正方形 AB的CD边长为 ，5cm取正方形 各边ABCD
的中点 ，E,作F,第G, 2H个正方形 ，然后E再F取GH正方形
各边的中点 ，EF作GH第3个正方形 I, ，J , K依, L此方法一
的中点 ，E,作F,第G, 2H个正方形 ，然后E再F取GH正方形
各边的中点 ，EF作GH第3个正方形 I, ，J , K依, L此方法一
直继续下去. IJKL
H
A
D
（1）求从正方形 ABC开D 始，连续10个 L O K
正方形的面积之和；
EP
NG
追问2：每个正方形的边长之间有什么 关系？Βιβλιοθήκη IMJBF
C
第1个正方形边长
北师大版高中数学必修《等比数列》 课堂课 件1
第2个正方形边长
北师大版高中数学必修《等比数列》 课堂课 件1
问题2 如图，正方形 AB的CD边长为 ，5cm取正方形 各边ABCD
的中点 ，E,作F,第G, 2H个正方形 ，然后E再F取GH正方形
各边的中点 ，EF作GH第3个正方形 I, ，J , K依, L此方法一
各边的中点ABCD ，作第2个正方E形, F,G, H，然后再
取正方形
各E边FG的H中点
，作第3个正方
形 ，依此方法一直继续下去.
H
A
D
E
G
B
F
C
北师大版高中数学必修《等比数列》 课堂课 件1
问题2 如图，正方形 ABCD 的边长为 ，取5c正m 方形
各边的中点ABCD，作第2个正方E形, F,G, H，然后再取正
等比数列1 北师大版精品课件
老吴也有的时候去老李家里看京戏，他一边看着京戏一边嘴里还不停地哼哼着京戏。一天嘴里哼着京戏特别愉悦和快乐，就是这样又过了几年。他们的孩子都出去有的工作了，有的到了外地上学去了。一年就是过年放假回来一个月，或者暑假才能回来看看。有的时候家里有了什么急事，他们才会请假来几天看看。 到了改革开放的八十年代，老李的儿子在外地混得很好，有了一定的实力，就把一家人都接走了，到了廊坊买了大房子。刚开始老李住在大房子里还可以，可是过了没有多久就不喜欢说话了，一天也没有精神一样，总感觉生活没有一点意思。老石呢，也是退了休一天没有人说话了，就整天出去钓鱼，钓鱼自己又很少吃。但是新搬来的年轻人他就是看不惯，基本很少和这些年轻人来往。那些年轻人一点不安静，休息时不是喝酒划拳，就是唱卡拉OK，一折腾就是半夜。老石也不好说他们什么。有一年他的孩子也把老石接到了外地，呆了半年多，老石实在难受就回来了。老赵的两个孩子都在上海打工也不回来了，他就在上海给他的孩子带孩子了。
a1q2=12
①
a1q3=18
②
把②的两边分别除以①的两边，得
q=3/2
③
把③代入①，得
a1=16/3 因此
a2=a1q=（16/3）×（3/2）=8
答：这个数列的第一项与第二项分别是16/3与8。
五.课堂练习:
1.求下面等比数列的第4项与第5项:
(1) 5, -15, 45, …; (2) 1.2, 2.4, 4.8, …; (3) 2/3,1/2, 3/8, …;
4 、1，0，1，0，1，……； 不是 5、 2，2，2，2，……； 是 6、 0，0，0，0，0，……； 不是
三.由定义归纳通项公式
问：如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法（累乘法） 2.不完全归纳法
a1q2=12
①
a1q3=18
②
把②的两边分别除以①的两边，得
q=3/2
③
把③代入①，得
a1=16/3 因此
a2=a1q=（16/3）×（3/2）=8
答：这个数列的第一项与第二项分别是16/3与8。
五.课堂练习:
1.求下面等比数列的第4项与第5项:
(1) 5, -15, 45, …; (2) 1.2, 2.4, 4.8, …; (3) 2/3,1/2, 3/8, …;
4 、1，0，1，0，1，……； 不是 5、 2，2，2，2，……； 是 6、 0，0，0，0，0，……； 不是
三.由定义归纳通项公式
问：如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法（累乘法） 2.不完全归纳法
《等比数列》课堂课件北师大版1
A. 2n
2n1
B.
2n-1
C.
2n-2
D.
S奇 a1 q S偶
q 85 1 2 42
an a1 • qn1 2n1
《等比数列》课堂课件北师大版1
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小结
等比数列前n项和性质一
an 是等比数列
S n A qn A( A 0)
S n A qn B( AB 0)
S n a1 a1 q a1 q2 、、、 a1 qn1
①
qSn a1q a1q2 a1q3 、、、 a1qn1 a1qn ②
① -②
(1 q) S n a1 a1 qn
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(1 q) S n a1 a1 qn
Sn
a1(1 qn) 1 q
注：判断一个数列是等比或等差，用定义判断
a1 S1 1 n 2 an Sn Sn1 (2n 1) (2n1 1) 2n1 a1 S1 1 满足上式 所以通项公式为 an 2n1
an1 2n 2 an 2n1
所以此数列为等比数列
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② -① S n 264 1
若一千粒麦子为40克， 那么以上麦粒总质量超 过了7000亿吨
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2019年全世界小麦年 产量不到7.7亿吨
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对于等比数列 a1、a2、a3、、、an、、、 前n项和为 Sn a1 a2 a3 、、、 an
错位相 减法
若等比数列 an项数为奇数项
S奇 a1 q S偶
S偶 q S 奇 a2n1
《等比数列》优秀ppt北师大版1
的两项之积等于首末两项的积
即 ： a 1a n a 2a n 1 a ka n k 1
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性质3.设项技巧
设项的方法：（等差数列） （1）若所给等差数列的项数为奇数时，
则这个数列可设为 , a d, a, a d, , 此数列的公差为d; （2）若所给等差数列的项数为偶数时， 则这个数列可设为 , a 3d, a d, a d, a 3d , 此数列的公差2d;
a nb n 是 公 比 为 q q '的 等 比 数 列 。
证 明 ：an1q且 bn1q'
an
bn
an an 1b bn n1qq' anbn是 公 比 为 qq' 的 等 比 数 列
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（3）若数列an是公比为q的等比数列，则
a n (为 不 等 于 零 的 常 数 ) 仍 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ；
证 明 ： a a n n 1 q a a n n 1 q a n 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列
（ 2 ） 若 a n 和 b n 分 别 是 公 比 为 q 和 q '的 等 比 数 列 ， 则 数 列
等 比 数 列 ： ana1qn 1
猜 想 ： a n a m q n m (n ,m N )
证 明 ： a n a 1 q n 1 (1) ama1qm1(2)
由(1) 得： an qnm (2) am an amqnm
性质1.公式的推广（次通项公式）
anamqnm(n,mN)
A 例 1 .在 等 比 数 列 a n 中 ， a 2 0 1 0 8 a 2 0 0 7 ,则 公 比 q 为 （ ）
即 ： a 1a n a 2a n 1 a ka n k 1
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性质3.设项技巧
设项的方法：（等差数列） （1）若所给等差数列的项数为奇数时，
则这个数列可设为 , a d, a, a d, , 此数列的公差为d; （2）若所给等差数列的项数为偶数时， 则这个数列可设为 , a 3d, a d, a d, a 3d , 此数列的公差2d;
a nb n 是 公 比 为 q q '的 等 比 数 列 。
证 明 ：an1q且 bn1q'
an
bn
an an 1b bn n1qq' anbn是 公 比 为 qq' 的 等 比 数 列
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（3）若数列an是公比为q的等比数列，则
a n (为 不 等 于 零 的 常 数 ) 仍 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ；
证 明 ： a a n n 1 q a a n n 1 q a n 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列
（ 2 ） 若 a n 和 b n 分 别 是 公 比 为 q 和 q '的 等 比 数 列 ， 则 数 列
等 比 数 列 ： ana1qn 1
猜 想 ： a n a m q n m (n ,m N )
证 明 ： a n a 1 q n 1 (1) ama1qm1(2)
由(1) 得： an qnm (2) am an amqnm
性质1.公式的推广（次通项公式）
anamqnm(n,mN)
A 例 1 .在 等 比 数 列 a n 中 ， a 2 0 1 0 8 a 2 0 0 7 ,则 公 比 q 为 （ ）
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n
公式： S a1 ( q 1) 1 q
北师大版高中数学必修《等比数列》 课件PPT 1
无穷等比数列各项和的应用
应用：
日取其
1 3
，则第
n
天取得的木棒长
a
n
的表达式？其各项和为
S
？
日取其
1 4
，则第
n
天取得的木棒长
an
的表达式？其各项和为
S
？
讨论三：证明猜想(※)：若日取其 a(0 a 1) ，
小结：
(1)无穷等比数列各项的和有哪些表达方式？
S a1 a2 an
lim
n
a1
a2
an
lim
n
Sn
lim a1 (1 q n ) n 1 q
a1 (0 q 1) 1 q
(2)通过本节课的学习，有哪些收获？还有什 么问题？
北师大版高中数学必修《等比数列》 课件PPT 1
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••
1.4 31 1.4 0.031 0.00031
1.4 0.031 14 31 1 427 1 0.01 10 990 990
发现四：化循环小数为分数的一般方法： 化循环小数为无穷等比数列的各项和。
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-0.2
-0.4
北师大版高中数学必修《等比数列》 课件PPT 1
-0.6
0.5
1
1.5
2
因为 0
q
1，所以 lim q n n
0
，则
lim
n
SБайду номын сангаас
n
a1 1 q
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无穷等比数列各项和的概念
定义：我们把公比 q 1的无穷等比数列前 n 项和
Sn当n 时的极限叫做无．穷．等．比．数．列．各．项．的．和．，
并用符号
S
表示，即 S
lim
n
S
1 2
1 4
1 8
1 2n
lim n
1 2
1 4
1 8
1 2n
lim
1 2
1
1 2n
1
n
1 1
2
发现一：我们可以把无．穷．等．比．数．列．
1 2n
各．项．的．和．
看作是其前 n 项和 Sn当n 时的极限；
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无穷等比数列各项和的概念
讨论二：无穷等比数列前 n 项和的极限是否一
则取得的所有木棒长的和总是 1.
提示：记第 n 天取得的木棒长为 an ，其前 n 项和为 S n ，各项和为 S ，
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无穷等比数列各项和的应用
讨论四：(1)若日取其 9 ，则取得的所有木棒长的和是多 10
少？列式计算；将算式中的 9 ，改写成 0.9，你有什么发现？ 10
发现三：
0.9
0.09
0.009
•
0.9
1
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无穷等比数列各项和的应用
••
••
(2)试利用求和公式化循环小数 0.31 ，1.431为分数，
并总结化循环小数为分数的一般方法。
••
0.31 0.31 0.031 0.00031
0.31
31
1 0.01 99
作业：
1、练习册第21页习题7.8A组
2、补充思考题；
②如图，从半径为1的半圆出发，依次向外、向内连续作半圆，
且后一个半圆的直径为前一个半圆的半径，如此下去，可得到
无数个半圆，求由所有这些半1.8圆围成的封闭图形的面积及所有
半圆周长的和？
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
无穷等比数列各项和的概念
“一尺之棰，日取其半， 万世不竭。”
1
无穷等比数列各项和的概念
若记第 n 天取得的木棒长为 an ，
可得数列
a n
：1
2
，1 4
，1 8
，， 1 2n
，
讨论一：取得的所有木棒长的和是多少？
为什么？
1 2
1 4
1 8
1 2n
___1___ .
无穷等比数列各项和的概念
证明:
定存在？若存在，极限是什么？
发现二：当且仅当公比 q 满足：0 q 1时，
证明: 无穷等比数列an 前 n 项和的极限存在。
设无穷等比数列an的公比 q (0 q 1 )，前 n 项和 为Sn ，
lim
n
S
n
lim a1 (1 q n ) n 1 q
a1 (1 lim q n ) 1 q n