代几综合(word版)

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(完整版)《一次函数与几何图形综合》专题

《一次函数与几何图形综合》专题总论：函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题。

一次函数与几何综合题是八年级学生初次接触一种用代几综合解决问题的方法，这种方法和能力是九年级解决中考压轴题所必须具备的。

1.代数（1）表达什么函数（包括其系数的代数意义、几何意义、物理意义）（2）显现怎样的图形（自身、与坐轴、与其他图形）（3）既是一个方程，也是一个坐标4）藏有那些数据，含有什么些关系（5）要建立某种代数关系缺少那些数据2.几何（1）基本图象有几个（2）图象之间有怎样关系（3）图象与所要证明（求解）的结论怎样的关联（4）要建立图象与图象之间的关系缺少那些数据3.代数与几何（1）代数（几何）在那些地方为几何（代数）提供了怎样的数据（2）几何（代数）通过什么方式为几何（代数）提供关系式（3）怎样设数据（坐标或线段长）函数与几何综合题的解题思想方法：“函几问题”与“几函问题”涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强，应用数学方法多、纵横联系较复杂、结构新颖灵活、注重基础能力、探索创新和数学思想方法，它要求学生有良好的心理素质和过硬的数学基本功，能从已知所提供的信息中提炼出数学问题，从而灵活地运用所学知识和掌握的基本技能创造性的解决问题，正因如此，解决这类问题时，要注意解决问题的策略，常用的解题策略一般有以下几种：1.综合使用分析法和综合法。

北师大版三年级(上册)培优专项(2021年整理)

北师大版三年级(上册)培优专项(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（北师大版三年级(上册)培优专项(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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第一单元：类型一（把两个一步算式合成综合算式）例：把“6×7=42”和“54－42=12”合并成一个综合算式,并算出结果。

训练:把下面的每组两个算式合并成一个算式，再计算。

6×5=3030＋17=478×4=3250－32=18第一单元：类型二（混合运算综合运用）训练：给3，6，2找位置。

（填一填）58 3＋ ÷=÷ ＋ =× － =第一单元:类型三（运用推理法解决给算式添小括号的问题）例：在下面的式子中添上小括号，使等式成立。

8×5－3=16训练：在适当的位置添上小括号,使等式成立。

7×3＋3=42 27－3÷3=8 20－16÷4=113＋21＋8÷6=7 5×2＋7=45 48÷8－2=8第一单元：类型四（利用四则运算求出方框中的数）例:你知道各代表的数字是几吗？×3＋6=15 ＋2×8=26 ×6＋18=54－ ÷ ＋× ==13 1训练：在里填上合适的数。

56÷8＋ =40 －27÷3=18 35÷ ＋14=21第二单元：类型一（运用排除法解决物体角度的问题)例：有一个正方体,各个面上分别写数字1~6，从不同的角度观察，情况如下。

(完整word版)文化的几种基本特征

文化的几种基本特征刚刚这位同学与大家一起分析了文化建设的形势。

而我想问问大家对于“文化”究竟了解多少啦？有人能说出关于文化的一些特征嘛？既然没有那么接下来就由我跟大家一起来了解一下文化的几种基本特征：一．文化的民族性与时代性一定的文化总是在一定的历史阶段和民族区域产生、演变的, 因此任何一种文化都既有其时代性, 又有其民族性。

认清这一点, 许多文化现象中的纠葛可以得到解决。

(PPT)从时代性来说, 人类历史上先后出现过奴隶制文化、封建文化、资本主义文化和社会主义文化出现过游牧文化、农耕文化和工商文化, 等等。

世界各民族的文化虽然各有特色,但总可以根据其时代性而划分为不同的文化类型。

但是随着文明的推演, 在近现代工业文明的熏陶, 无论中西欧亚, 这些传统的习性和观念或迟或速都会发生变化。

(PPT)文化除了时代性以外, 还有民族性。

不同的民族即使处于同一个时代, 其文化也会各呈特色。

如果说同一时代不同民族的文化已有差异, 那么由各个时代积淀起来的不同民族的文化, 其差异就更加明显。

仅以中西文化的民族差异而言, 就很说明问题. 在西洋的文学上我们举几个代表人物：如荷马、但丁；完把这些放在一起, 我们就感到一种共同的风格：庄严和伟大, 但却不免有种气势逼人的感觉。

而中国：如《诗经》、屈原的离骚和陶渊明的诗篇, 我们也极易感到有一种共同的风格：高明而自然, 在中国人看来, 又是极亲切的。

依上可见, 时代性与民族性乃是任何一种文化无不具备、不可或缺的两种基本属性。

没有文化的时代性, 文化的时代精神便无从体现没有文化的民族性, 文化的民族精神便无从反映。

二．文化的自我延续与自我更新任何一个民族的文化都具有自我延续和自我更新这两种机能, 然唯有文化心态健全的民族才能做到不断进行调适, 以求得稳定与发展、静态与动态、延续与更新的辩证统一, 达到文化生命之树生生不已, 枝繁叶茂。

文化的自我延续是文化生命保持自我同一性的需要, 它是相对稳定的经济、政治生活在文化形态方面的表现。

【复习专题】中考数学复习：代几综合题—以代数为主的综合

代几综合题（以代数为主的综合）知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1 已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y mx n =++经过(02)P A ，两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧．．），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B 、C 两点．（1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P的坐标；（3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上.(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。

延长PE 到点D 。

使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。

专题10 代几综合题中的新定义-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练 (解析版)

专题10 代几综合题中的新定义目录【题型一】二次函数中的新定义【典例分析】﹣x，其顶点（2023青浦区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x22为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x22﹣x的“不动点”的坐标；②向左或向右平移抛物线y＝x22﹣x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．【分析】（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；﹣t，即可求解；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t22②新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），则新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），四边形OABC是梯形，则直线x＝m在y轴左侧，而点A （1，﹣1），点B （m ，m ），则m ＝﹣1，即可求解．【解答】解：（1）∵a ＝1＞0，y ＝x 22﹣x ＝（x 1﹣）21﹣故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为（1，﹣1），（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t ，t ），则t ＝t 22﹣t ，解得：t ＝0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；②当OC ∥AB 时，∵新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点B （m ，m ），∴新抛物线的对称轴为：x ＝m ，与x 轴的交点C （m ，0），∵四边形OABC 是梯形，∴直线x ＝m 在y 轴左侧，∵BC 与OA 不平行，∴OC ∥AB ，又∵点A （1，﹣1），点B （m m ），∴m ＝﹣1，故新抛物线是由抛物线y ＝x 22﹣x 向左平移2个单位得到的；当OB ∥AC 时，同理可得：抛物线的表达式为：y ＝（x 2﹣）2+2＝x 24﹣x +6，当四边形OABC 是梯形，字母顺序不对，故舍去，综上，新抛物线的表达式为：y ＝（x +1）21﹣．【点评】本题为二次函数综合运用题，正确利用二次函数基本知识、梯形基本性质进行分析是解题关键．【提分秘籍】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

《数学新课程标准》word版

数学新课程标准一、数学学科特点：✧数学是公共基础学科。

✧数学是研究数量关系和空间关系的学科。

✧数学是客观现象抽象概念而逐渐形成的科学语言与工具。

✧数学是自然科学和技术科学的基础，在社会科学与人文科学中发挥着越来越大的作用。

✧数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本素养。

二、数学学科设计理念✧着眼于学生整体素质的提高，促进学生全面、持续、和谐发展，在情感、态度、价值观等方面都要得到发展。

✧满足学生未来生活、工作和学习的需要，使学生掌握必要的数学基础知识和基本技能。

✧发展学生抽象思维和推理能力，培养应用意识和创新意识。

✧符合数学科学本身的特点，体现数学科学的精神实质。

✧符合学生的认知规律和心理特征，激发学生的学习兴趣。

✧重视学生已有的经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题，构建数学模型，得到结果，解决问题。

三、基本理念：✧整体原那么：义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性。

使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。

✧学习内容：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的。

内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。

✧呈现方式：数学内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。

不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。

✧教学活动：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。

教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

八年级数学代几综合难点题型

八年级数学代几综合难点题型一次函数综合1、已知直线 $y=kx-2k+6$ 经过定点 $Q$。

1）点 $Q$ 的坐标为 $(2k-6,-2k+6)$；2）设点 $M$ 的坐标为 $(t,t)$，则直线 $QM$ 的解析式为$y=(k+1)x-2k+6-t(k+1)$；3）设点 $E$ 的坐标为 $(m,n)$，则点 $A$ 的坐标为$(t,0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,-2k+6-t)$，线段 $CE$ 的长度为$\sqrt{(m-t)^2+(n+t-2k+6)^2}$。

由 $\angle AEO=45^\circ$，可知 $\angle AEC=135^\circ$，因此 $CE$ 的最大值为$\sqrt{2}(k-1)$。

2、正方形 $AOCD$ 的顶点 $A$、$C$ 分别在 $x$、$y$ 轴上，点 $P$ 为对角线 $AC$ 上一动点，过点 $P$ 作$PQ\perp OP$ 交 $CD$ 边于点 $Q$。

1）设 $P$ 的坐标为 $(t,4-t)$，则直线 $PQ$ 的解析式为$y=-\frac{1}{t}(x-t+4)$。

将直线 $EF$ 向上平移 $2$ 个单位，则其解析式为 $y=-x$；2）由勾股定理可知 $OQ^2=2PA^2=24$，$PC^2=2PA^2-AC^2=12$，因此 $OQ^2-PC^2=12$；3）当点 $P$ 沿 $AC$ 方向移动 $2$ 个单位时，点 $M$ 移动的路径长为 $\sqrt{2}$。

设 $P$ 的坐标为 $(t,4-t)$，则$Q$ 的坐标为 $(4-t,t)$，$OQ$ 的中点 $M$ 的坐标为 $(2-t,2+t)$。

当四边形 $OMNB$ 为菱形时，有 $OM=MB$，因此$t=3$。

此时，$OM$ 与 $BC$ 的交点 $H$ 的坐标为 $(3,1)$，$PQ$ 的长度为 $2\sqrt{2}-2$，四边形 $OPQH$ 的周长为$2\sqrt{2}+2\sqrt{10}$，点 $P$ 的坐标为 $(3-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$。

(完整word版)研究生基础综合英语课后答案汇总附词汇

Unit 1 对F的赞美1今年将有好几万的十八岁青年毕业，他们都将被授予毫无意义的文凭。

这些文凭看上去跟颁发给比他们幸运的同班同学的文凭没什么两样。

只有当雇主发现这些毕业生是半文盲时，文凭的效力才会被质疑。

2最后，少数幸运者会进入教育维修车间——成人识字课程，我教的一门关于基础语法和写作的课程就属于这种性质。

在教育维修车间里，高中毕业生和高中辍学生将学习他们本该在学校就学好的技能，以获得同等学力毕业证书。

他们还将发现他们被我们的教育体系欺骗了。

3在我教课的过程中，我对我们的学校教育深有了解。

在每学期开始的时候，我会让我的学生写一下他们在学校的不快体验。

这种时候学生不会有任何写作障碍！“我希望当时有人能让我停止吸毒，让我学习。

”“我喜欢参加派对，似乎没人在意。

”“我是一个好孩子，不会制造任何麻烦，于是他们就让我考试通过，及时我阅读不好，也不会写作。

”很多诸如此类的抱怨。

4我基本是一个空想社会改良家，在教这门课之前我将孩子们的学习能力差归咎于毒品、离婚和其他妨碍注意力集中的东西，要想学习好就必须集中注意力。

但是，我每一次走进教室都会再度发现，一个老师在期望学生全神贯注之前，他必须先吸引学生的注意力，无论附近有什么分散注意力的东西。

要做到这点，有很多种办法，它们与教学风格有很大的关系。

然而，单靠风格无法起效，有另一个办法可以显示谁是在教室里掌握胜局的人。

这个办法就是亮出失败的王牌。

5我永远也忘不了一位老师亮出那张王牌以吸引我的一个孩子的注意。

我的小儿子是个世界级的万人迷，学习不怎么动脑筋却总能蒙混过关。

直到施蒂夫特夫人当了他的老师，这种局面才彻底改变了。

6当她教我儿子英语时，我儿子是一个高中高年级学生。

“他坐在后排和他的朋友说话。

”她告诉我。

“你为什么不把他换到前排来？”我恳求道。

我相信令他难堪的做法会让他安心学习。

施蒂夫特夫人从眼睛上方冷冷地看着我。

“我不会换高年级学生的座位。

”她说，“我会给他们不及格的成绩。

2021-2022学年高中语文必修2(新课标)综合检测卷 Word版含答案

综合检测卷一、现代文阅读(35分)(一)论述类文本阅读(9分，每小题3分)阅读下面的文字，完成1～3题。

在中国传统伦理中尤其是在早期传统中，“道”和“德”最早是分开来讲的。

“德”观念的产生当在原始社会，与氏族有关。

巴新生先生认为“德”观念的进展有四个阶段：原始部族的图腾崇拜；殷商时期的上帝崇拜和祖先崇拜；西周君主的祭祀征伐、视察巡行即统治者的政行；春秋时期的道德观念即普遍的道德推断标准阶段。

“道”观念的消灭当晚于“德”观念。

从原始语义上来分析，“德”观念最早为一种原始部族的图腾崇拜，为部族成员所共有。

而“道”观念的原始意义是所行的道路，也是一种普遍的观念。

可见，“德”观念同“道”观念在其产生的初始意义上，就有一种成长为普遍性的趋向，都具有成为普遍观念的可能性，这是它们最终走向抽象范畴的一个前提。

从字义上来考察，“道”从首从行，点明白人在“行”时，要时时抬头，或“仰首”“向外”，以“观看”或“体会”那高高在上的“天”或“天意”，从而保证天命得以践履；“德”从行从十目从一从心，点明白“德”之行首先乃是有“心”之“行”，应当时时留意问“心”，留意“向内”求索，反观自己的“行”是否是出自“内心”对“天”或“天命”的洞察。

相比起“道”观念，“德”观念更具体，距离人更近。

作为文化现象，在演化过程中，“德”观念渐渐成为“道”观念的体现。

如《国语·晋语》中载，晋厉公六年，范文子率晋军在鄢陵战胜楚军后，针对晋厉公的“无德而功烈”，说：“吾闻之，天道无亲，唯德是授。

”天道是没有偏私，只把福命授给有德的人。

可见，天道的得以体现就是通过“德”。

西周时期“德”观念的使用总是与宗教的天命观相结合，“以德配天”即是其最有代表性的表现。

可是到春秋后期，随着天命观的不断遭到怀疑，“天”的神学观念也不断被怀疑和剔除，渐渐向自然天道观转化，与之相配的“德”也便具有了天道自然的意义。

“德”渐渐成了“道”的体现。

于是，“道”是高高在上、供个体效法的行为准则和行为规范，“德”则是“道”在个体身上的分散和体现，“德”和“道”的关系套用柏拉图的话说是“共享”的关系。

北师大版2020中考复习：代几综合问题

中考总复习：代几综合问题【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.【思路点拨】过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG．求证△BEC≌△BGM，△ABE≌△ABG，设CE=x，在直角△ADE中，根据AE2=AD2+DE2求x的值，即CE的长度．【答案与解析】解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG，∴∠AMB=90°，∵AD∥CB，∠DCB=90°，∴∠D=90°，∴∠AMB=∠DCB=∠D=90°，∴四边形BCDM为矩形．∵BC=CD，∴四边形BCDM是正方形，∴BC=BM，且∠ECB=∠GMB，MG=CE，∴Rt△BEC≌Rt△BGM．∴BG=BE，∠CBE=∠GBM，∵∠CBE+∠EBA+∠ABM=90°，且∠ABE=45°∴∠CBE+∠ABM=45°∴∠ABM+∠GBM=45°∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10．设CE=x，则AM=10-x，AD=12-（10-x）=2+x，DE=12-x，在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，∴100=（x+2）2+（12-x）2，即x2-10x+24=0；解得：x1=4，x2=6．故CE的长为4或6．【总结升华】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ABE≌△ABG，从而说明AG=AE=10是解题的关键．类型二、函数与几何问题2．如图，二次函数y =（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．【思路点拨】（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．【答案与解析】解：（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m得，（1-2）2+m=0，1+m=0，m=－1，则二次函数解析式为y=（x-2）2-1．当x=0时，y=4-1=3，故C 点坐标为（0，3），由于C 和B 关于对称轴对称，在设B 点坐标为（x ，3），令y=3，有（x-2）2-1=3，解得 x=4或x=0．则B 点坐标为（4，3）．设一次函数解析式为y=kx+b ，将A （1，0）、B （4，3）代入y=kx+b 中，得，解得，则一次函数解析式为y=x-1；（2）∵A 、B 坐标为（1，0），（4，3），∴当kx+b≥（x-2）2+m 时，1≤x≤4．【总结升华】本题考察了待定系数法求二次函数,一次函数函数解析式以及数形结合法解不等式.求出B 点坐标是解题的关键．举一反三：【变式】如图，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（－1，0），点C （0，5）、D （1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）求△MCB 的面积．2(0)y ax bx c a =++≠【答案】解：(1)设抛物线的解析式为，根据题意，得，解之，得． ∴所求抛物线的解析式为．（2）∵C 点的坐标为（0，5）．∴OC ＝5．令，则，解得．∴B 点坐标为（5，0）．∴OB ＝5．∵，∴顶点M 坐标为（2，9）．过点M 作MN ⊥AB 于点N ，则ON ＝2，MN ＝9．∴. 类型三、动态几何中的函数问题2y ax bx c =++058a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩245y x x =-++0y =2450x x -++=121,5x x =-=2245(2)9y xx x =-++=--+11(59)9(52)551522MCB BNM OBC OCMN S S S S ∆∆∆=+-=+⨯⨯--⨯⨯=梯形3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，-4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）把A、B、O的坐标代入到y=ax2+bx+c得到方程组，求出方程组的解即可；（2）根据对称求出点O关于对称轴的对称点B，连接AB,根据勾股定理求出AB的长，就可得到AM+OM 的最小值.（3）①若OB∥AP，根据点A与点P关于直线x=1对称，由A（-2，-4），得出P的坐标；②若OA∥BP，设直线OA的表达式为y=kx，设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）求出直线BP的表达式为y=2x-4，得到方程组，求出方程组的解即可；③若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m，求出直线AB，得到方程组求出方程组的解即可.【答案与解析】解：（1）由OB=2，可知B（2，0），将A（-2，-4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得（3）①如图1，若OB∥AP，此时点A与点P关于直线x=1对称，由A（-2，-4），得P（4，-4），则得梯形OAPB．②如图2，若OA∥BP，③如图3，若AB ∥OP ，设直线AB 的表达式为y=kx+m ，则解得综上所述，存在两点P （4，-4）或P （-4，-12）,使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形．【总结升华】本题主要考查对梯形，解二元二次方程组，解一元二次方程，二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键．举一反三：4202k m k m -=-+⎧⎨=+⎩，．12k m =⎧⎨=-⎩，．【变式】如图，直线与x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．【答案】434+-=x y分为三种情况：I、当∠NOM=90°时，N在y轴上，即此时t=5；II 、当∠NMO=90°时，M 、N 的横坐标相等，即t-2=3-0.6t ，解得：t=3.125， III 、∠MNO 不可能是90°，即在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，t 的值是5秒或3.125秒．类型四、直角坐标系中的几何问题4．已知，如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABC0为梯形，BC ∥A0，四个顶点坐标分别为A （4，0），B （1，4），C （0，4），O （0，O ）．一动点P 从O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OA 的方向向A 运动；同时，动点Q 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C 的方向向C 运动．两个动点若其中一个到达终点，另一个也随之停止．设其运动时间为t 秒．（1）求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（2）当t 为何值时，PB 与AQ 互相平分；（3）连接PQ ，设△PAQ 的面积为S ，探索S 与t 的函数关系式．求t 为何值时，S 有最大值？最大值是多少？【思路点拨】（1）设出抛物线的解析式，运用待定系数法可以直接求出抛物线的解析式．（2）根据PB 与AQ 互相平分可以得出四边形BQPA 是平行四边形，得出QB=PA 建立等量关系可以求出t 值．（3）是一道分段函数，分为Q 点在AB 上和在BC 上讨论，根据三角形的面积公式表示出S 与t 的关系式，就可以求出答案. 【答案与解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0），代入A 、B 、C 三点的坐标，得16a 4044b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩1(4).2PAQQ p Sy x =-82sin ,5Q p y t t x θ==2184(4)(4255PAQSt t t t =-=-1614(4)82t -=【总结升华】本题是一道二次函数综合题.考察了二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积的求解等.类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5．一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动,即，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______.【思路点拨】由题目中所给的质点运动的特点找出规律，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，即可得出第35秒时质点所在位置的坐标．【答案与解析】解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）．【总结升华】此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间. 举一反三：x y (01)，(00)(01)(11)(10)→→→→，，，， 012 3 xy1 2 3 …【变式】如图，一粒子在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}内运动，在第1秒内它从原点运动到点B1（0，1），接着由点B1→C1→A1，然后按图中箭头所示方向在x轴，y轴及其平行线上运动，且每秒移动1个单位长度，求该粒子从原点运动到点P（16，44）时所需要的时间．【答案】解：设粒子从原点到达A n、B n、C n时所用的时间分别为a n、b n、c n，则有：a1=3，a2=a1+1，a3=a1+12=a1+3×4，a4=a3+1，a5=a3+20=a3+5×4，a6=a5+1，a2n-1=a2n-3+（2n-1）×4，a2n=a2n-1+1，∴a2n-1=a1+4[3+5+…+（2n-1）]=4n2-1，a2n=a2n-1+1=4n2，∴b2n-1=a2n-1-2（2n-1）=4n2-4n+1，b2n=a2n+2×2n=4n2+4n，c2n-1=b2n-1+（2n-1）=4n2-2n，c2n=a2n+2n=4n2+2n=（2n）2+2n，∴c n=n2+n，∴粒子到达（16，44）所需时间是到达点c44时所用的时间，再加上44-16=28（s），所以t=442+447+28=2008（s）．中考冲刺：代几综合问题—巩固训练（基础）【巩固练习】一、选择题1.如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若从如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中与矩形重合部分．．．．的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（）2.如图，在半径为1的⊙O 中，直径AB 把⊙O 分成上、下两个半圆，点C 是上半圆上一个动点（C 与点A 、B 不重合），过点C 作弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，设CE=x ，AP=y ，下列图象中，最能刻画y 与x 的函数关系的图象是（）二、填空题3. 将抛物线y 1＝2x 2向右平移2个单位，得到抛物线ｙ２的图象如图所示，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足的条件的t 的值，则t ＝．a b Rt GEF ∥，△GEF △ABCD三、解答题5.一个形如六边形的点阵.它的中心是一个点（算第一层）、第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……依次类推.（1）试写出第n层所对应的点数；（2）试写出n层六边形点阵的总点数；（3）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有几层？6.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．（1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度；（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．8. 如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为41633y x=-+，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）. 动点P从A点出发，在AB边上匀速运动. 动点Q从点B出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动. 设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ 的动点除外）.（1）求出点C的坐标；（2）求S随t变化的函数关系式；（3）当t为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找到点M，使得M到D、B的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）如果点P由点A出发沿线段AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿线段BC以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）．①求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；10．已知：抛物线y ＝－x 2＋2x＋m-2交y 轴于点A （0，2m-7）．与直线y ＝x 交于点B 、C （B 在右、C在左）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为E ，在抛物线的对称轴上是否存在一点F ，使得，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由；（3）射线OC 上有两个动点P 、Q 同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线OC 运动，以PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t 秒，若△PMQ 与抛物线y ＝－x 2＋2x ＋m-2有公共点，求t 的取值范围．11. 在平面直角坐标系中，抛物线经过A （－3,0）、B （4,0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ，有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时另一个动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动. （1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；2BFE CFE ∠=∠55xOy 42++=bx ax y（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案与解析】一、选择题 1．【答案】Ｂ；， ∴是二次函数图象，2．【答案】 A ． 21tan tan 2x x EFG x EFG ∠=∠2tan EFG ∠二、填空题3.【答案】1或3或；【解析】解：∵抛物线y 1=2x 2向右平移2个单位，∴抛物线y 2的函数解析式为y=2（x-2）2=2x 2-8x+8，∴抛物线y 2的对称轴为直线x=2，∵直线x=t 与直线y=x 、抛物线y 2交于点A 、B ，∴点A 的坐标为（t ，t ），点B 的坐标为（t ，2t 2-8t+8），∴AB=|2t 2-8t+8-t|=|2t 2-9t+8|，AP=|t-2|，∵△APB 是以点A 或B 为直角顶点的等腰三角形，∴|2t 2-9t+8|=|t-2|，∴2t 2-9t+8=t-2 ①【解析】∵S 正方形OBAC =OB 2=9，∴OB=AB=3，∴点A 的坐标为（3，3）∵点A 在一次函数y=kx+1的图象上，5522+5.【答案与解析】解：（1）第n层上的点数为6（n －1）（n ≥2）．（2）n 层六边形点阵的总点数为＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝1＋＝3n(n －1)＋1．（3）令3n(n －1)＋1＝169，得n ＝8.所以，它一共是有8层．6.【答案与解析】7.【答案与解析】 2)1)](1(66[--+n n解：（１）１,２；（２）探索应用：设P （ｘ，），则C （ｘ，0），D （0，）， ∴CA ＝ｘ＋３，DB=+4, ∴S 四边形ABCD =CA ×DB=(x+3) ×(+4), 化简得：S=2(x+)+12， ∵x>0, >0,∴x+≥，只有当x=时，即x=3，等号成立.∴S ≥2×6+12=24,∴S 四边形ABCD 有最小值是24.此时，P(3，4),C(3，0),D(0，4),AB=BC=CD=DA=5，∴四边形是菱形.12x 12x12x121212x9x 9x 9x 9x＜t≤5时，（如图）①在0＜t ＜41(42OP QN =⨯1(2OP QN t =1(2OP OD t =②在4＜t≤5时，对于抛物线S ＝综合以上三种情况，当t=6时，S 取得最大值，最大值是4．9.【答案与解析】解：（1）据题意可知：A （0，2），B （2，2），C （2，0）．∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、B 和D （4，）， 28285,225525t t t --=-=⨯当时，∴，∴，∴y=﹣x2+x+2；（2）点B关于抛物线的对称轴x=1的对称点为A．连接AD，与对称轴的交点即为M．∵A（0，2）、D（4，），∴直线AD的解析式为：y=﹣x+2，当x=1时，y=，则M（1，）；（3）①由图象知：PB=2﹣2t，BQ=t，AP=2t，∵在Rt△PBQ中，∠B=90°，∴S=PQ2=PB2+BQ2，∴=（2﹣2t）2+t2，即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．②当S=54时，54=5t2﹣8t+4即20t2﹣32t+11=0，解得：t=，t=＞1（舍）∴P（1，2），Q（2，）．PB=1．若R点存在，分情况讨论：（i）假设R在BQ的右边，如图所示，这时QR=PB，RQ∥PB，则R的横坐标为3，R的纵坐标为，即R（3，），代入y=﹣x2+x+2，左右两边相等，故这时存在R（3，）满足题意；（ii）假设R在PB的左边时，这时PR=QB，PR∥QB，则R（1，）代入y=﹣x2+x+2，左右两边不相等，则R不在抛物线上综上所述，存点一点R，以点P、B、Q、R为顶点的四边形只能是口PQRB．则R（3，）．此时，点R（3，）在抛物线=-x2+x+2上．10.【答案与解析】解：（1）点A（0，2m﹣7）代入y=﹣x2+2x+m﹣2，m﹣2=2m﹣7，解得：m=5故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）如图1，由，得，∴B（，2），C（﹣，﹣2）B（，2），关于抛物线对称轴x=1的对称点为B′（2﹣，2），将B′，C代入y=kx+b，得：，解得：，可得直线B'C的解析式为：，由，可得，故当F（1，6）使得∠BFE=∠CFE；（3）如图2，当t秒时，P点横坐标为﹣t，则纵坐标为﹣2t，则M（﹣2t，﹣2t）在抛物线上时，可得﹣（﹣2t） 2﹣4t+3=﹣2t，整理得出：4t2+2t﹣3=0，解得：，当P（﹣t，﹣2t）在抛物线上时，可得﹣t2﹣2t+3=﹣2t，整理得出：t2=3，解得：，舍去负值，所以若△PMQ与抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2有公共点t的取值范围是．11．【答案与解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4经过A（﹣3，0），B（4，0）两点，∴，解得，∴所求抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+4；（2）如图1，依题意知AP=t，连接DQ，∵A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），∴AC=5，BC=4，AB=7．∵BD=BC，∴AD=AB﹣BD=7﹣4，∵CD垂直平分PQ，∴QD=DP，∠CDQ=∠CDP．∵BD=BC，∴∠DCB=∠CDB．∴∠CDQ=∠DCB．∴DQ∥BC．∴△ADQ∽△ABC．∴=，∴=，∴=，解得DP=4﹣，∴AP=AD+DP=．∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为；（3）如图2，设抛物线y=﹣x2+x+4的对称轴x=与x轴交于点E．点A、B关于对称轴x=对称，连接BQ交该对称轴于点M．则MQ+MA=MQ+MB，即MQ+MA=BQ，∵当BQ⊥AC时，BQ最小，此时，∠EBM=∠ACO，∴tan∠EBM=tan∠ACO=，∴=，∴=，解ME=．∴M（，），即在抛物线y=﹣x2+x+4的对称轴上存在一点M（，），使得MQ+MA的值最小．。

2018年八年级上学期数学期中复习专题(教师版)

期中复习专题专题1 等腰直角三角形综合探究1.已知，在△ABC 中，CA ＝CB ＝10，O 为AB 的中点，点E ，F 分别在直线AC ，BC 上，且∠EOF ＝2∠A． (1)若∠A＝450．①如图①，连接OC ，当E ，F 分别在线段AC ，BC 上时，求证：△COF≌△BOF； ②如图②，当E ，F 分别在AC 延长线上和CB 延长线上时，求CF-CE 的值；(2)如图③，若∠A＝30°，且E ，F 分别在AC 延长线上和线段BC 上，试说明CF 与CE 满足怎样的关系式．【解析】(1)①∵CA ＝CB ，∠A＝45°∴∠A＝∠B＝45°,∠ACB＝90°.∵AO ＝OB ，∴OC ＝OA ＝OB ，∠ACO ＝∠BC0＝45°,CO ⊥AB.∵∠EOF＝2∠A＝90°,∠COB＝90°，∴∠EOF＝∠COB ,∴∠EOC＝∠BOF ，在△EOC 和△FOB 中，∠ECO＝∠B ,CO＝OB ，∠EOC＝∠FOB，∴△EOC≌△FOB (ASA). ②连接CO ，由①易知∠ACO-∠ABC ＝45°，∴∠ECO＝∠OBF ＝135°.∵∠COB＝∠EOF＝90°， ∠COE ＝∠BOF．在△EOC 和△FOB 中，∠ECO＝∠F BO ，CO ＝OB ，∠EOC＝∠FOB， ∴△FOC≌△FOB (ASA).∴EC ＝BF,∴CF-EC ＝BC ＋BF-EC ＝BC ＝10.(2)CF-CE ＝5．连接OC,在CF 上截取CM ＝CO ，连接EF ，OM.∵∠A＝∠B＝30°,O 为AB 中点，易得∠ACB ＝120°,CO ⊥AB.∴∠ACO＝∠BCO＝60°,∴∠OCE＝120°.∵CM ＝CO ，∴△COM 为等边三角形，∴∠COM ＝60°，∴∠OMB＝120°＝∠OCE.∵∠EOF ＝2∠A ＝60°，∴∠COM ＝∠EOF ，∴∠COE ＝∠MOF ．MF EFEFEOCB A 图① 图② 图③ABCOA BCO在△COE 和△MOF 中，∠COE＝∠MOF ,CO＝MO,∠OCE＝∠OMF，∴△COF≌△MOF．∴CE ＝MF ． ∴CF-CE ＝CF-MF ＝CM ＝CO.在Rt△AOC 中，∠A＝30°,AC ＝10，∴C0＝5．∠CF-CE ＝5．2．（2016秋.黄陂区月考）已知在△ABC 中，AC ＝BC ，∠CAB＝∠CBA ＝45︒，点M 为直线BC 上任意一点，过点C 作CD ⊥AM 交AB 于点D ，在BC 上取一点N ，使CN ＝BM ．连接DN ． (1)如图，M ，N 在线段BC 上，求证：∠AMC＝∠DNB；(2)若M ，N 分别在CB ，BC 的延长线上，试画出图形，并说明(1)中的结论是否成立？【解析】(1)如图①，作BG 上BC ，交CD 的延长线于G ，设AM 交CD 才0．∵AM ⊥CD ，BG ⊥BC ，∴∠AOC＝∠CBG 90°,∴∠ACO＋∠CAO＝90°∴∠ACO ＋∠BCG ＝90°∴∠CAM ＝∠BCG ∵AC ＝BC ，易证△ACM≌△CBG (ASA),∴ CM ＝BG ，∠AMG.∴CN ＝BM,∴BN ＝CM ＝BG.∵∠DBN ≌△DBG ( SAS), ∴ ∠G ＝∠BND,∠AMC＝△DNB(2)(1)中的结论成立．理由：作BG 上BC,交CD 的延长线于G ，设AM 交CD 的延长线于O ，∵AM ⊥CD ，BG ⊥BC ，∴∠AOC＝∠CBG＝∠ACM ＝90°，∴∠ACO ＋∠CAO＝90°,∠ACO ＋∠BCG ＝90°，∴∠CAM ＝∠BCG．又∵AC ＝BC ，∴△ACM ≌△CBG(AAS)，∴CM ＝BG,∠M＝∠G.∵CN=BM ，∴CM ＝BN=BG ．∵BD=BD ,∠DBN ＝∠DBG =＝45°,BN ＝BG ，∴△DBN≌△DBG( SAS)，∴∠G ＝∠N ，∴∠M ＝∠N ．NMDCBA答图图① 图②ONMDC BAGGABCDMN专题2 等腰三角形与全等1．（2017秋·青山区期中）已知，AB ＝AC ，D ，A ，E 三点在同一直线上，且∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC＝120°．(1)如图①，求证：BD ＝AE ；(2)如图②，AF 平分∠BAC，且AF ＝AB ，连接FD ，FE ，试判断△FDE 的形状，并说明你的结论．【解析】(1)∵∠BDA ＝∠BAC＝120°，∴∠DBA＋∠DAB ＝∠CAE＋∠DAB ＝60°∴∠DBA ＝∠CAE.在△BAD 和△ACE 中，∠BDA＝∠AEC,∠DBA＝∠CAE,BA ＝AC ，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴BD ＝AE.(2)△DEF 为等边三角形．理由：如图②，连接BF,CF.∵AB ＝AC ＝AF ,AF 平分∠BAC,∠BAC ＝120°，∴△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴BF-AF ＝AB ＝AC ＝CF ，∠BAF＝∠CAF＝∠ABF＝60°.由(1)知△ADB ≌ △CEA(AAS),∴BD ＝AE,∠DBA＝∠CAE ．∵∠ABF＝∠CAF＝60°,∴∠DBA＋∠ABF＝∠CAE＋∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE．在△BDF 和△AEF 中,FB ＝FA ，∠DBF＝∠FAE ,BD ＝AE ，∴△DBF ≌△EAF (SAS)．∴DF ＝EF ,∠BFD＝∠AFE ．∴∠DFE＝∠DFA＋∠AFE＝∠DFA ＋∠BFD＝60°，∴△DEF 为等边三角形．2．（2016秋·武昌区期末）已知，在△ABC 中，AC ＝BC ，(1)如图①，分别过A ，B 做AM ⊥BC ，BN ⊥AC ，垂足分别为点M ，N ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ＝BP ；(2)如图②，分别在AC 的右侧，BC 的左侧做等边△ACE 和等边△BCD，AE 与BD 相交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点G ，求证：点G 是AB 的中点；(3)在(2)的条件中，当∠ACB 的大小发生变化时，设直线CD 与直线AE 相交于H 点，当∠ACB图① 图②EFEDCBACB等于时，使得AH ＝CD ．【解析】(1)∵AM ⊥BC,BN ⊥AC ，∴∠AMC 一∠BNC＝90°.∴∠C＋∠CAM ＝90°,∠C＋∠CBN ＝90°.∠CAM＝∠CBN．∴CA ＝CB,∴∠CAB＝∠CBA，∴∠PAB ＝∠PBA，∴PA ＝PB. (2)∵CA ＝CB ∴∠CAB＝∠CBA．∵△AEC 和△BCD 为等边三角形，∴∠CAE ＝∠CBD．∴∠FAG ＝∠FBG．∴AF ＝BF.在△ACF 和△BCF 中，AF ＝BF ,AC ＝BC ,CF ＝CF ，∴△AFC ≌△BFC(SSS), ∴∠ACF ＝∠BCF．∵AC ＝BC ，∴AG ＝BG ，即点G 为AB 的中点．3．（2017秋·黄陂区期中）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAC＝∠DAE，BC 交DE 于点O ，∠BAD＝a ． (1)求证：∠BOD＝a ；(2)若AO 平分∠DAC，求证：AC ＝AD ；(3)若∠C＝30°，OE 交AC 于F ，且△AOF 为等腰三角形，则a .【解析】(1)设AD 交OB 于K.在△ABC 和△ADE 中,AB ＝AD ,∠BAC＝∠DAE ,AC＝AE ，∴△ABC ≌△ADE (SAS)，∴∠B＝∠D．∵∠AKB ＝∠DKO，∴∠BOD＝∠BAD＝a.(2)过A 作AM ⊥BC 于M ，作AN ⊥DE 于N,∵△ABC ≌△ADE ，∴S △ABC ＝S △ADE ,BC ＝DE ，∴12BC ·AM ＝12DE ·AN ，∴AM ＝AN ．∴AO 平分∠BOE，图① 图②GPABCDA BCE MNABCDOE∴∠AOB＝∠AOE．∴AO 平分∠DAC，∴∠DAO＝∠CAO．∴∠DAE -∠DAO＝∠BAC -∠CAO，即∠BAO ＝∠EAO．在△ABO 和△AEO 中，∠BAO＝∠EAO,AO＝AO,∠AOB＝∠AOE，∴△ABO ≌△AEO(ASA),∴AB ＝AE,∵AB ＝AD ,AC ＝AE,∴AC ＝AD.4．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点P 为底边BC 上一动点，连接AP ，在AP 左侧作等腰△APD，使PA ＝PD ，∠APD＝∠BAC，连接BD ．(1)如图①，若∠APD＝∠BAC＝60°，求证：△ABD≌△ACP；(2)如图②，若∠APD -∠BAC＝90°，AB ＝2，当点P 由点C 运动到点B 时： ①∠PBD 的大小是否为定值？若为定值，求出其大小，若发生变化，请说明理由； ②求出点D 运动的路径长度，【解析】(1)如图①，∵∠BAC＝60º，AB=AC ，∴△ABC 为等边三角形，同理，得△APD 也是等边三角形，∴AD =AP ，∠DAP ＝∠BAC=60º，∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠CAP＋∠BAP，∴∠DAB ＝∠CAP,∴△ABD∽△ACP (SAS)．(2)①∠PBD 的大小会发生变化．过A 作AF ⊥BC ，交BC 于F ，则F 是BC 的中点， i ）当点P 在FC 上运动时，∠PBD＝45º，如图②，理由：过点D 作DG ⊥BC 于G ，∵∠APF＋∠DPG ＝90º,∠GDP＋∠DPG =90º，∴∠APF＝∠GDP．∵∠AFP＝∠DGP =90º,AP ＝PD, ∴△AFP≌△PGD (AAS),∴AF=PG ,PF ＝GD.∵AF ＝BF,∴BF=PG ∴BF-FG=PG-FG,即BG=PF ． ∴BG ＝GD ，∴△BGD 是等腰直角三角形，∴∠PBD＝45º; ii ）当点P 与中点F 重合时，∠PBD＝O º;iii ）当点P 在BF 上运动时，∠PBD＝135º，理由：如图③，过点D 作DG 上BC,交CB 的延长线于点G ，易证：△APF ≌△PDG ，∴AF ＝PG,PF ＝DG ．又∵AF ＝BF ，∴PG ＝BF ，∵BG ＝PF ＝DG ．∴△BDG 是等腰直角三角形，∴∠GBD＝45º，∴∠PBD＝135º.图① 图②D CAPP BABCD②如图:D，点D运动的路径是从点D到点E，当点P在点C时，设AD交BC于F，∵△APD 与△ABC都是等腰直角三角形，∴AD⊥BC．当点P运动到点B时，由∠APD=90º得∠ABE=90º，∴∠ABC=45º，∴∠CBD=45º，∠EBD＝180º，∴E，B，D在同一直线上．∵△ADE是等腰直角三角形．AB＝2，∴ED=2AB=4，∴点D运动的路径长庋为4．专题3 等边三角形综合探究1．（2017秋·青山区期末）已知△ABC 是等边三角形，过点C 作CD ‖AB ，且CD=AB ，连接BD 交AC 于点O ．(1)如图①，求证：AC 垂直平分BD ；(2)点M 在BC 的延长线上，点N 在AC 上，且ND=NM ，连接BN ， ①如图②，点N 在线段CO 上，求∠NMD 的度数；②如图③，点N 在线段AO 上，求证：NA=MC ．【解析】(1)△ABC 是等边三角形，∠ABC=∠ACB =∠CAB=60º．AB∥CD，∠ACD=∠A=60º=∠ACB，又CD=AB=BC ，∵BO=DO,CO ⊥BD ，∴AC 垂直平分BD.(2)①如图②，由①知AC 垂直平分BD ， NB=ND,∠CBD =12∠ABC=30º.∴∠1=∠2， ∴∠BND=180º-2∠2．∵ND=NM ，∴NB=NM ，∴∠3=∠4,∠BNM=180º -2∠4，∴∠DNM=360°-(180°-2∠2)一(180°-2∠4)=2(∠2＋∠4)=60°,又∵ND=NM ，∴△NMD 为等边三角形，∴∠NMD=60°.②连接AD ．如图，由题意知，△ACD 是等边三角形，∴∠ADC=60°,AD=CD ．与①同理可证∠1=∠2，∠3=∠NBM，∠BND=180°-2∠2, ∠BNM=180°-2∠NBM，∴∠MND=∠BND -∠BNM=2(∠NBM -∠2)=60°．3214321NMMNODCBA ODCBA ODCB A图① 图② 图③图① 图② 图③AB CDOA BCDOA BCDONMMN∵ND=NM ，∴△MND 是等边三角形．∴DN=DM ,∠NDM 一60°,∠ADC 一∠NDM ，∴∠NDA =∠MDC.在△AND 与∠CMD 中，DN=DM ，∠NDA=∠MDC ,AD=DC，∴△AND ≌△CMD(SAS),∴NA=MC.2．（2017秋·东湖高新区期末模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB =900，∠ABC =300，△CDE 是等边三角形，点D 在边AB 上．(1)如图①，当点E 在边BC 上时，求证：DE =EB ；(2)如图②，当点E 在△ABC 内部时，猜想ED 和EB 的数量关系，并加以证明；(3)如图③，当点E 在△ABC 外部时，EH 上。

河北中考数学试卷结构及分值比例分析.(精选)

河北中考数学试卷结构及分值比例分析一，内容设置
初中数学6册课本，难易比例5:3:2.
二，试题的基本结构
整个试卷五道大题，25个题目，考试时间120分钟，总分120分，其中选择题共8道，共32分，填空题共4道，共16分，解答题(包括计算题，证明题，应用题和综合题)共13道，共72分。

1.题型与题量
2.
考查的内容及分布
3.每道题目所考查的知识点
题型
题
号
考查知识点
选择题1科学记数法
2有理数的概念（倒数）3概率
二.重难点易错点点评易错题目
难题
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(上)微专题十一概率与代数几何知识的综合(最新)人教版九年级数学全一册课件(28张)-公开课

(1)请用画树状图或列表的方法，写出代数式AB所有可能的结果； (2)求代数式AB恰好是分式的概率．
解：(1)列表：
第一次 A B 第二次
x2＋1
x2＋1 －x2－2
3
x2＋1 －x2－2 x2＋1
3
－x2－2
－x2－2 x2＋1
－x2－2 3
3
3 x2＋1
3 －x2－2
(2)代数式BA所有可能的结果共有 6 种，每种结果出现的可能性相等，其中代数式 AB是分式的结果有 4 种，
[2018·呼和浩特]已知函数 y＝(2k－1)x＋4(k 为常数)，若从－3≤k≤3 中任取 k 值，则得到的函数是具有性质“y 随 x 增加而增加”的一次函数的概率为
5 ___1_2___．
【解析】当 2k－1＞0 时，y 随 x 的增加而增加，∴k＞12，从－3≤k≤3 中任取 k 的值，能满足“y 随 x 的增加而增加”的是12＜k≤3，因此从－3≤k≤3 中任取 k 的值，满足一次函数具有性质 y 随 x 的增加而增加的概率是3－3（－－123）＝152.
[2019·常州]将图 1 中的 A 型(正方形)、B 型(菱形)、C 型(等腰直角三角形)纸片分别放在 3 个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这 3 个盒子装入一只不透明的袋子中．根据以上信息，解决下列问题：
图1 (1)搅匀后从中摸出 1 个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的
[2018·株洲]从－5，－130，－ 6，－1，0，2，π 这七个数中随机抽取一
个数，恰好为负整数的概率为( A )
A.27

B．37
C．47
D．57
【解析】 ∵负整数有－5 和－1，∴恰好为负整数的概率为27.故选 A.

广西南宁历年中考数学代几综合压轴题(第26题)

历年中考第26题（2004年—2012年）（2004年）26某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m ，20m 的梯形空地上种植花木（如图10-1）（1）他们在△AMD 和BMC 地带上种植太阳花，单价为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后（图10-1中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用.（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？（3）若梯形ABCD 为等腰梯形，面积不变（如图10-2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P ，使得△APB ≌△DPC 且S △APD = S △BPC ，并说出你的理由.考点：相似三角形的应用；梯形．专题：压轴题．分析：（1）由太阳花的单价和钱数可先求出△AMD 的面积，再由AD ∥BC 证出△AMD ∽△CMB ，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，得出△BMC 的面积，从而算出所要花费的钱数；（2）由△AMD ∽△CMB ，根据相似三角形对应高的比等于它们的相似比，可求出两三角形AD 与BC 边上的高之比，再根据三角形的面积公式可求出AD 边上的高，从而可求出整个梯形的高及面积．进而求出三角形AMB 和三角形DCM 的面积和，然后根据两种花的单价来计算哪种花合算；（3）由（2）可知整个梯形高为12，要保证△APB ≌△DPC 且S △APD =S △BPC ，P 点必须在AD 和BC 的垂直平分线上，且P 到AD 的距离是P 到BC 距离的2倍，即到AD 的距离应该为8．（2005年） 26. OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6。

（1）如图所示，在AB 上取一点M ，使得△CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B’点，求B’点的坐标；（2）求折痕CM 所在直线的解析式；（3）作B’G//AB 交CM 于点G ，若抛物线y x m =+162过点G ，求抛物线的解析式，并判断以原点O 为圆心，OG 为半径的圆与抛物线除交点G 外，是否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标。

二次函数代几综合专题

二次函数代几综合（类型一）
———求面积最大值问题
1. 某拱桥横截面为抛物线形，将抛物线放置在平面直角坐标系中如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3．
（1）求△ABC的面积；
（2）若动点D在第一象限的抛物线上，求△BDC面积最大时D点的坐标，并求出△BDC的最大面积。

(3) 若动点D在第一象限的抛物线上且抛物线的对称轴交CB于点P，
当S△DCP最大时，请求D点的坐标和△DCP的最大面积。

2、如图，二次函数y=x 2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）．
（1）求抛物线的解析式
（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．
（3）在二次函数上有一动点P，过点P作PM⊥x轴交线段BD于点M，判断PM有最大值还是有最小值，如有，求出线段PM长度的最大值或最小值并求出此时S △BDP的面积．。

人教版八年级上册期末数学备考---几何综合 Word版

人教版八年级上册期末数学备考----几何综合(Word版)1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D 是边BC 上的动点，连接AD，点C 关于直线AD 的对称点为点E，射线BE 与射线AD 交于点F．（1）在图中，依题意补全图形；（2）记∠DAC＝α（α＜45°），求∠ABF的大小；（用含α的式子表示）（3）若△ACE 是等边三角形，猜想EF 和BC 的数量关系，并证明．2．如图，CN 是等边△ABC 的外角∠ACM 内部的一条射线，点A 关于CN 的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD 分别交射线CN 于点E，P．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段PB，PC 与PE 之间的数量关系，并证明．3．数学老师布置了这样一道作业题：在△ABC 中，AB＝AC≠BC，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，α+β＝120°，连接AD，求∠ADB 的度数．小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30° 时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB 的度数；（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题；（3）解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步思考，当点D 和点A 在直线BC 的异侧时，且∠ADB的度数与（1）中相同，则α，β满足的条件为（直接写出结果）．4．如图1，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠BAC 的平分线AO 交BC 于点D，点H 为AO上一动点，过点H 作直线l⊥AO 于H，分别交直线AB、AC、BC 于点N、E、M．（ 1 ）当直线l 经过点 C 时（如图 2 ），证明：BN ＝CD ；（2）当M 是BC 中点时，写出CE 和CD 之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD 之间的等量关系．5．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D 在BC 边上，连接AD，AE⊥AD，AE＝AD，连接CE，DE．（1）求证：∠B＝∠ACE；（2）点A 关于直线CE 的对称点为M，连接CM，EM．①补全图形并证明∠EMC＝∠BAD；②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当D，E，M 三点恰好共线时点D 的位置．请直接写出此时∠BAD 的度数，并画出相应的图形．6．在△ABC 中，AB＝AC，在△ABC 的外部作等边三角形△ACD，E 为AC 的中点，连接DE 并延长交BC 于点F，连接BD．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF 的度数；（2）如图2，∠ACB 的平分线交AB 于点M，交EF 于点N，连接BN．①补全图2；②若BN＝DN，求证：MB＝MN．7．在△ABC 中，∠A＝60°，BD，CE 是△ABC 的两条角平分线，且BD，CE 交于点F．（1）如图1，用等式表示BE，BC，CD 这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：BE+CD＝BC．他发现先在BC 上截取BM，使BM＝BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM＝CD 即可．①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：ⅰ）在BC 上截取BM，使BM＝BE，连接FM，则可以证明△BEF 与全等，判定它们全等的依据是；ⅱ）由∠A＝60°，BD，CE 是△ABC 的两条角平分线，可以得出∠EFB＝°；…②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE+CD＝BC的过程．（2）如图2，若∠ABC＝40°，求证：BF＝CA．8．在等边△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 的延长线上，DE＝DA（如图1）（1）求证：∠BAD＝∠EDC；（2）点E 关于直线BC 的对称点为M，连接DM，AM．①依题意将图2 补全；②小姚通过观察，实验提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有DA＝AM，小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明DA＝AM，只需证△ADM 是等边三角形；想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM 即可．请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA＝AM（一种方法即可）9．已知：△ABC 是等边三角形．（1）如图1，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，BD＝CE，BE 与CD 交于点F．试判断BF 与CF 的数量关系，并加以证明；（2）点D 是AB 边上的一个动点，点E 是AC 边上的一个动点，且BD＝CE，BE 与CD 交于点F．若△BFD 是等腰三角形，求∠FBD 的度数．10．已知：在△ABC 中，∠ABC＜60°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D，点E 在线段CD 上（点E不与点C、D重合），且∠EAC＝2∠EBC．（1）如图1，若∠EBC＝27°，且EB＝EC，则∠DEB＝°，∠AEC＝°．（2）如图2，①求证：AE+AC＝BC；②若∠ECB＝30°，且AC＝BE，求∠EBC 的度数．11．在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线．（1）如图1，过C 作CE∥AD 交BA 延长线于点E，若F 为CE 的中点，连接AF，求证：AF⊥AD；（2）如图2，M 为BC 的中点，过M 作MN∥AD 交AC 于点N，若AB＝4，AC＝7，求NC 的长．12．如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D 为△ABC 内一点，∠BAD＝15°，AD ＝AC，CE⊥AD 于E，且CE＝5．（1）求BC 的长；（2）求证：BD＝CD．13．在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC 是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG 交DE 延长线于点G．请你在图2 中画出完整图形，并直接写出MD，DG 与AD 之间的数量关系；（3）如图3，点N 是线段AD 上的一点，以BN 为一边，在BN 的下方作∠BNG＝60°，NG 交DE 延长线于点G．试探究ND，DG 与AD 数量之间的关系，并说明理由．14．已知：如图，在△ABC 中，如果∠A 是锐角，点D，E 分别在AB，AC 上，且∠DCB＝求证：BD＝CE．15．在△ABC 中，AB＞BC，直线l 垂直平分AC．（1）如图1，作∠ABC 的平分线交直线l 于点D，连接AD，CD．①补全图形；②判断∠BAD 和∠BCD 的数量关系，并证明．（2）如图2，直线l 与△ABC 的外角∠ABE 的平分线交于点D，连接AD，CD．求证：∠BAD＝∠BCD．16．在平面直角坐标系xOy 中，△ABO 为等边三角形，O 为坐标原点，点A 关于y 轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD 分别交y 轴于点E，P．（1）如图1，若点B 在x 轴的负半轴上时，直接写出∠BDO 的度数；（2）如图2，将△ABO 绕点O 旋转，且点A 始终在第二象限，此时AO 与y 轴正半轴夹角为α，60°＜α＜90°，依题意补全图形，并求出∠BDO的度数；（用含α的式子表示）（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系．（直接写出结果17．（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P 作PE⊥AC 于E，Q 为BC 延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ 交AC 于D，求DE 的长．小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P 作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE 的长．（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1．等边△ABC 边长为2，当P 为BA 的延长线上一点时，作PE⊥CA 的延长线于点E，Q 为边BC 上一点，且AP＝CQ，连接PQ 交AC 于D．请你在图2 中补全图形并求DE 的长．2．已知等边△ABC，当P 为AB 的延长线上一点时，作PE⊥射线AC 于点E，Q 为（①BC 边上；②BC 的延长线上；③CB 的延长线上）一点，且AP＝CQ，连接PQ 交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）18．如图，在等边三角形ABC 的外侧作直线AP，点C 关于直线AP 的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD 交直线AP 于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB 的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE 之间的数量关系，并证明你的结论．19．如图1，在△ABC 中，∠A 的外角平分线交BC 的延长线于点D．（1）线段BC 的垂直平分线交DA 的延长线于点P，连接PB，PC．①利用尺规作图补全图形1，不写作法，保留痕迹；②求证：∠BPC＝∠BAC；（2）如图2，若Q 是线段AD 上异于A，D 的任意一点，判断QB+QC 与AB+AC 的大小，并予以证明．第10页（共17页）20．如图，在△ABC 中，BA＝BC，点D 为△ABC 外一点，连接DA，∠DAC 恰好为25°，线段AD 沿直线AC 翻折得到线段AD′，过点C 作AD 的平行线交AD′于点E，连接BE．（1）求证：AE＝CE；（2）求∠AEB 的度数．21．如图①，在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE 绕点A 顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图②，将BD、CE 分别延长至M、N，使BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题：（1）在图②中，BD 与CE 的数量关系是；（2）在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系，∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想．22．在等边△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED＝EC．（1）若点E 是AB 的中点，如图1，求证：AE＝DB．（2）若点E 不是AB 的中点时，如图2，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并写出证明过程．23．在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路，如：在图1 中，若C 是∠MON 的平分线OP 上一点，点A 在OM 上，此时，在ON上截取OB＝OA，连接BC，根据三角形全等判定（SAS），容易构造出全等三角形△OBC 和△OAC，参考上面的方法，解答下列问题：如图2，在非等边△ABC 中，∠B＝60°，AD，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线，且AD，CE 交于点F，求证：AC＝AE+CD．24．如图：在Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O 为BC 的中点．（1）写出点O 到△ABC 的三个顶点A、B、C 距离之间的关系；（2）如果点M、N 分别在线段AB、AC 上移动，移动中保持AN＝BM，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论．25．如图，△ABC 是等边三角形，△ADC 与△ABC 关于直线AC 对称，AE 与CD 垂直交BC 的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF 与AB 在AE 的两侧，EF⊥AF．（1）依题意补全图形．（2）①在AE 上找一点P，使点P 到点B，点C 的距离和最短；②求证：点D 到AF，EF 的距离相等．26．如图，△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点D，延长AB 至点E，使∠AEC＝∠DAB．判断CE 与AD 的数量关系，并证明你的结论．27．已知C 是线段AB 垂直平分线m 上一动点，连接AC，以AC 为边作等边三角形ACD，点D 在直线AB 的上方，连接DB 与直线m 交于点E，连接BC，AE．（1）如图1，点C 在线段AB 上．①根据题意补全图1②求证：∠EAC＝∠EDC；（2）如图2，点C 在直线AB 的上方，0°＜∠CAB＜30°，用等式表示线段BE，CE，DE 之间的数量关系，并证明．28．在等边△ABC 外作射线AD，使得AD 和AC 在直线AB 的两侧，∠BAD＝α（0°＜α＜180°），点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC．（1）依题意补全图1；（2）在图1 中，求∠BPC 的度数；（3）直接写出使得△PBC 是等腰三角形的α的值．29．在△DEF 中，DE＝DF，点B 在EF 边上，且∠EBD＝60°，C 是射线BD 上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．（1）当点C 在线段BD 上时，①若点C 与点D 重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE 与BF 的数量关系为；②如图2，若点C 不与点D 重合，请证明AE＝BF+CD；（2）当点C 在线段BD 的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD 之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．30．解决下面问题：如图，在△ABC 中，∠A 是锐角，点D，E 分别在AB，AC 上，且∠A，BE 与CD 相交于点O，探究BD 与CE 之间的数量关系，并证明你的结论．小新同学是这样思考的：在平时的学习中，有这样的经验：假如△ABC 是等腰三角形，那么在给定一组对应条件，如图a，BE，CD 分别是两底角的平分线（或者如图b，BE，CD 分别是两条腰的高线，或者如图c，BE，CD 分别是两条腰的中线）时，依据图形的轴对称性，利用全等三角形和等腰三角形的有关知识就可证得更多相等的线段或相等的角．这个问题也许可以通过添加辅助线构造轴对称图形来解决．请参考小新同学的思路，解决上面这个问题．31．如图，在△ABC 中，AB＝AC，P 为△ABC 内一点，且∠BAP＝70°，∠ABP＝40°，（1）求证：△ABP 是等腰三角形；（2）连接PC，当∠PCB＝30°时，求∠PBC 的度数．32．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α（0＜α＜60°），点A关于射线CP 的对称点为点D，BD 交CP 于点E，连接AD，AE．（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；（2）在α（0°＜α≤60°）的变化过程中，∠AEB 的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB 的大小；（3）用等式表示线段AE，BD，CE 之间的数量关系，并证明．33．如图，在等边△ABC 中，点D 是线段BC 上一点作射线AD，点B 关于射线AD 的对称点为E，连接EC 并延长，交射线AD 于点F．（1）补全图形；（2）求∠AFE 的度数；（3）用等式表示线段AF、CF、EF 之间的数量关系，并证明．34．△ABC 是等边三角形，AC＝2，点C 关于AB 对称的点为C'，点P 是直线C'B 上的一个动点，连接AP，作∠APD＝60°交射线BC 于点D．（1）若点P在线段C'B上（不与点C'，点B重合）．①如图1，若点P 是线段C'B 的中点，则AP 的长为；②如图2，点P 是线段C'B 上任意一点，求证：PD＝PA；（2）若点P 在线段C'B 的延长线上．①依题意补全图3；②直接写出线段BD，AB，BP 之间的数量关系为：．35．等边△ABC 的边长为4，D 是射线BC 上任一点，线段AD 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE．（1）当点D 是BC 的中点时，如图1，判断线段BD 与CE 的数量关系，请直接写出结论：（不必证明）；（2）当点D 是BC 边上任一点时，如图2，请用等式表示线段AB，CE，CD 之间的数量关系，并证明；（3）当点D 是BC 延长线上一点且CD＝1 时，如图3，求线段CE 的长．。

代几综合压轴2：求字母范围(原卷版)

《2021年中考数学必刷压轴题(湖南长沙专版)》代几综合压轴2：求字母范围1．如图1，坐标系中，抛物线2135(22y mx mx m m =-++为常数，0)m ≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求直线AC 的解析式；（用含m 的式子表示）（2）已知1:m =①抛物线上是否存在点P ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90︒得到OQ ，使得点Q 在线段AC 上（不含端点）？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；②如图2，以C 为圆心，2为半径画圆．若P 为C 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90︒，得到线段OQ ，连接CP 、CQ ．若CQ 的最小值为t ，当2(2)25t t x +-时，求22y x x =+的取值范围．2．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数21()42y x m =--+图象的顶点为A ，与y 轴交于点B ，异于顶点A 的点(1,)C n 在该函数图象上．（1）当5m =时，求n 的值．（2）当2n =时，若点A 在第一象限内，结合图象，求当2y 时，自变量x 的取值范围．（3）作直线AC 与y 轴相交于点D ．当点B 在x 轴上方，且在线段OD 上时，求m 的取值范围．2y轴交于点(0,4)C，直线12y x m=-+与抛物线交于B，D两点．（1）求抛物线的函数表达式．（2）求m的值和D点坐标．（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标．（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为4(5-，0)．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为(0)t t>，连接AD，过M作MG AD⊥于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A Q''，点M在运动过程中，线段A Q''的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A Q''与抛物线有公共点时t的取值范围．22过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ l⊥于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为32m-+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．5．如图1，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为(1,9)P ，与x 轴的交点为(2,0)A -，B ．（1）求抛物线的解析式；（2）M 为x 轴上方抛物线上的一点，MB 与抛物线的对称轴交于点C ，若2COB CBO ∠=∠，求点M 的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿对称轴平移后得到新抛物线为2y ax bx h =++，E ，F 新抛物线在第一象限内互不重合的两点，EG x ⊥轴，FH x ⊥轴，垂足分别为G ，H ，若始终存在这样的点E ，F ，满足GEO HOF ∆≅∆，求h 的取值范围．6．平面直角坐标系xOy 中有点P 和某一函数图象M ，过点P 作x 轴的垂线，交图象M 于点Q ，设点P ，Q 的纵坐标分别为P y ，Q y ．如果P Q y y >，那么称点P 为图象M 的上位点；如果P Q y y =，那么称点P 为图象M 的图上点；如果P Q y y <，那么称点P 为图象M 的下位点．（1）已知抛物线22y x =-．①在点(1,0)A -，(0,2)B -，(2,3)C 中，是抛物线的上位点的是；②如果点D 是直线y x =的图上点，且为抛物线的上位点，求点D 的横坐标D x 的取值范围；（2）将直线3y x =+在直线3y =下方的部分沿直线3y =翻折，直线3y x =+的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象G ．H 的圆心H 在x 轴上，半径为1．如果在图象G 和H 上分别存在点E 和点F ，使得线段EF 上同时存在图象G 的上位点，图上点和下位点，求圆心H 的横坐标H x 的取值范围．7．如图，已知二次函数23y ax ax=--的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，且5AB=，直线(0)y kx b k=+>与二次函数的图象交于点M，N（点M在点N的右边），交y轴于点P，交x轴于点Q．（1）求二次函数的解析式；（2）若5b=-，254OPQS∆=，求CMN∆的面积；（3）若3b k=-，直线AN与y轴相交于点H，求CPCH的取值范围．8．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线2=--+与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在y x m()4点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点(1,)P n在该抛物线上．（1）如果点P与点C重合，求线段AP的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，tan3∠=，求点Q的坐标；OPQ（3）如果直线PB与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．9．在平面直角坐标系中，已知抛物线223(y ax ax a a =--是常数，且0)a >．（1）该抛物线的对称轴是，恒过点．（2）当22x -时，函数的取值范围是4y b -，求a 、b 的值．（3）当一个点的横纵坐标都为整数时，称这个点为整点，若该函数图象与x 轴围成的区域内有6个整点（不含边界）时，求a 的取值范围．（4）当1a =时，将该抛物线在04x 之间的部分记为图象G ．将图象G 在直线(y t t =为常数）下方的部分沿直线y t =翻折，其余部分保持不变，得到新图象Q ，设Q 的最高点、最低点的纵坐标分别为1y 、2y ，若126y y -，直接写出t 的取值范围．10．对于平面直角坐标系xOy 中第一象限内的点(,)P x y 和图形W ，给出如下定义：过点P 作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，若图形W 中的任意一点(,)Q a b 满足a x 且b y ，则称四边形PMON 是图形W 的一个覆盖，点P 为这个覆盖的一个特征点．例：已知(1,2)A ，(3,1)B ，则点(5,4)P 为线段AB 的一个覆盖的特征点．（1）已知点(2,3)C ，①在1(1,3)P ，2(3,3)P ，3(4,4)P 中，是ABC ∆的覆盖特征点的为；②若在一次函数5(0)y mx m =+≠的图象上存在ABC ∆的覆盖的特征点，求m 的取值范围．（2）以点(2,4)D 为圆心，半径为1作圆，在抛物线254(0)y ax ax a =-+≠上存在D 的覆盖的特征点，直接写出a 的取值范围．11．已知：关于x 的方程2(4)3(1)0x m x m +---=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）抛物线2:(4)3(1)C y x m x m =---+-与x 轴交于A 、B 两点．若1m -且直线1:12m l y x =--经过点A ，求抛物线C 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，直线1:12m l y x =--绕着点A 旋转得到直线2:l y kx b =+，设直线2l 与y 轴交于点D ，与抛物线C 交于点(M M 不与点A 重合），当32MAAD 时，求k 的取值范围．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对称中心为坐标原点O ，AD y ⊥轴于点E （点A 在点D 的左侧），经过E 、D 两点的函数211(0)2y x mx x =-++的图象记为1G ，函数211(0)2y x mx x =---<的图象记为2G ，其中m 是常数，图象1G 、2G 合起来得到的图象记为G ．设矩形ABCD 的周长为L ．（1）当点A 的横坐标为1-时，求m 的值；（2）求L 与m 之间的函数关系式；（3）当2G 与矩形ABCD 恰好有两个公共点时，求L 的值；（4）设G 在42x -上最高点的纵坐标为0y ，当0392y 时，直接写出L 的取值范围．13．在平面直角坐标系中，将函数22(2y x mx m x m =-+，m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为0(P x ，0)y ．（1）当01y =-时，求m 的值．（2）求0y 的最大值．（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为1x ，则1x 的取值范围是．（4）点A 在图象G 上，且点A 的横坐标为22m -，点A 关于y 轴的对称点为点B ，当点A 不在坐标轴上时，以点A 、B 为顶点构造矩形ABCD ，使点C 、D 落在x 轴上，当图象G 在矩形ABCD 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．14．在平面直角坐标系中，记函数22222(0)6(0)x nx n xyx nx x⎧++<=⎨-⎩的图象为G，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(2,2)，点B在第四象限．（1）当1n=时．①求G的最低点的纵坐标；②求图象G上所有到x轴的距离为2的点的横坐标之和．（2）当图象G与正方形ABCD的边恰好有两个公共点时，直接写出n的取值范围．15．抛物线223y ax ax a =--与x 轴交于A 、(B A 在B 的左侧），与y 轴正半轴交于点C ，且6ABC S ∆=．（1）求抛物线的解析式；（2）M 为直线BC 上方抛物线上一点，是否存在点M ，使得点M 到直线BC 的距离最大？若不存在，请说明理由；若存在，求点M 的坐标及最大距离；（3）点(,0)P m 为x 轴上一动点，将线段OC 绕点P 逆时针旋转90︒，得到线段O C ''，若线段O C ''与抛物线只有一个公共点，求m 的取值范围．。