概率论与数理统计教程(茆诗松)
概率论与数理统计教程(茆诗松)第一章
5. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；A B C ③ 恰有一个出现；A B C A B C A B C ④ 至少有一个出现；ABC ⑤ 至多有一个出现；A B C A B C A B C A B C ⑥ 都不出现； A B C
⑦ 不都出现； ABCABC ⑧ 至少有两个出现；A B A C B C
• 非负性公理： P(A)0;
• 正则性公理： P(Ω)=1;
• 可列可加性公理：若A1, A2, ……, An ……
互不相容，则
U
P Ai P(Ai ) i1 i1
3/22/2020
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第一章 随机事件与概率
1.2.2 排列与组合公式
第23页
• 从 n 个元素中任取 r 个，求取法数. • 排列讲次序，组合不讲次序. • 全排列：Pn= n! • 0! = 1. • 重复排列：nr • 选排列： P nr(nn !r)!n(n1)......(nr1)
第29页
注意
• 抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 • Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)} 此样本空间中的样本点等可能. • Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
➢ 而实际去做 N 次试验，得 n 次针与平行线相 交，则频率为: n/N.
➢ 用频率代替概率得： 2lN/(dn). ➢ 历史上有一些实验数据.
3/22/2020
A发生但 B不发生
• 对立： A
A 不发生
3/22/2020
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第一章 随机事件与概率
概率论与数理统计教程(茆诗松)
2004年7月第1版2008年4月第10次印刷第一章随机事件与概率1.1 随机事件及其运算1.1.1 随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.1.1.2 样本空间随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.1.1.3 随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.1.1.4 随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.1.1.7 事件域定义1.1.1 设为一样本空间，为的某些子集所组成的集合类.如果满足：(1)；(2)若，则对立事件；(3)若，则可列并.则称为一个事件域，又称为代数.在概率论中，又称为可测空间.1.2 概率的定义及其确定方法1.2.1 概率的公理化定义定义1.2.1设为一样本空间，为的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件，定义在上的一个实值函数满足：(1)非负性公理若，则；(2)正则性公理；(3)可列可加性公理若互不相容，有则称为事件的概率，称三元素为概率空间.第二章随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布2.1.1 随机变量的概念定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量.2.1.2 随机变量的分布函数定义2.1.2 设是一个随机变量，对任意实数，称为随机变量的分布函数.且称服从，记为.2.1.4 连续随机变量的概率密度函数定义2.1.4 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数.密度函数的基本性质(1)非负性；(2)正则性.第三章多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量及其联合分布3.1.1 多维随机变量定义3.1.1 如果定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称为维(或元)随机变量或随机向量.3.1.2 联合分布函数定义3.1.2 对任意的个实数，则个事件同时发生的概率称为维随机变量的联合分布函数.3.4 多维随机变量的特征数3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵定义3.4.3 记维随机向量为，若其每个分量的数学期望都存在，则称为维随机向量的数学期望向量，简称为的数学期望，而称为该随机向量的方差—协方差阵，简称协方差阵，记为.例3.4.12(元正态分布) 设维随机变量的协方差阵为，数学期望向量为.又记，则由密度函数定义的分布称为元正态分布，记为.第四章大数定律与中心极限定理4.1 特征函数4.1.1 特征函数的定义定义4.1.1 设是一个随机变量，称为的特征函数.设是随机变量的密度函数，则4.2 大数定律4.2.1伯努利大数定律定理 4.2.1(伯努利大数定律) 设为重伯努利试验中事件发生的次数，为每次试验中出现的概率，则对任意的，有4.2.2 常用的几个大数定律4.3 随机变量序列的两种收敛性4.3.1 依概率收敛定义4.3.1(依概率收敛) 设为一随机变量序列，为一随机变量，如果对任意的，有则称依概率收敛于，记作.4.4 中心极限定理4.4.2 独立同分布下的中心极限定理定理 4.4.1(林德贝格—勒维中心极限定理) 设是独立同分布的随机变量序列，且.记则对任意实数有第五章统计量及其分布第六章参数估计第七章假设检验第八章方差分析与回归分析。
概率论与数理统计教程(茆诗松)第1章
SA ∫0 P( A) = = SΩ
27 July 2011
π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
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第一章 随机事件与概率
第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
27 July 2011
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第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
27 July 2011
第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
27 July 2011
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第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
茆诗松概率论与数理统计教程第一章
n 10 20 23 30 40 50 P(A) 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97
上表所列的答案是出乎很多人意料的, 因为”一个班
级至少有两个人生日相同”的概率, 并不如大多数人
直觉中想象的那样小, 而是相当大. 这个例子告诉我
们, “直觉”有时并不可靠, 这就说明研究随机现象
B=“两球都是红球”,共有22 种取法, C=“两球中至少有一只白球”, 则
AB=“两个球颜色相同”,事件CB,
故P(A)=(44)/(6 6) 0.444，P(B)=(22)/(6 6) 0.111, 则P(AB)=P(A)+P(B) 0.556, P(C)=1-P(B) .0.889
(b)不放回抽样
P(C)=1-P(B) =14/15
.
例六.(分房问题, 类比于教材中例1.2.6的盒子模型) 设有n个人, 每个人都等可能地被分配到N个房 间中的任一间去住(n≤N), 求下列事件的概率 (1)指定的n个房间各有一个人住 (2)恰好有n个房间, 其中各住一个人
解: 将n个人分配到N个房间去, 相当于对每个人, 我们从
.
.
例二(被闪电击中概率的研究).
如何求一个人在某年中被 闪电击中的概率?
中国1.1×109人中, 在2005年被闪电击中 的人数为3300人, 通过概率的频率方法 我们知道, 某人被闪电击中的概率为
峁诗松 概率论与数理统计
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第三章 多维随机变量及其分布
第29页
3.2.1 边际分布函数
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，
则
X FX (x) = F(x, +),
Y FY (y) = F(+ , y).
17 July 2013
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第三章 多维随机变量及其分布
第30页
3.2.2 边际分布列
(4) 当a<b, c<d 时，有 (非负性) F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0. 注意：上式左边 = P(a<Xb, c<Y d).
17 July 2013
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第三章 多维随机变量及其分布
第6页
3.1.3 联合分布列 二维离散随机变量
第三章 多维随机变量及其分布
第33页
注 意 点 (1)
由联合分布可以求出边际分布.
但由边际分布一般无法求出联合分布.
所以联合分布包含更多的信息.
17 July 2013
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第三章 多维随机变量及其分布
第34页
注 意 点 (2)
二维正态分布的边际分布是一维正态： 若 (X, Y) N ( )，
地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.
17 July 2013
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第三章 多维随机变量及其分布
第15页
3.1.4 联合密度函数
设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在 非负可积函数 p(x, y)，使得
则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。 称p(x, y) 为联合密度函数。
概率论与数理统计教程(茆诗松)第7章参数估计
10/29/2020
10/29/2020
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第七章 假设检验
第12页
五、作出判断
在有了明确的拒绝域后，根据样本观测值 我们可以做出判断：
➢ 当 x108.684或 u1.时64，5则拒绝 H 0
即接收 H 1 ；
➢ 当 x108.684或 u1.645时，则接收 H 0
在例7.1.1中，由于 x 1 0 8 1 0 8 .6 8 4
的设计值 为不低于110(Pa)。为保证质量，该
厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生 产是否正常进行,即该合金的平均强度不低于
110(Pa)。某天从生产中随机抽取25块合金，
测得强度值为x1, x2 , …, x25，其均值为 x 108 (Pa)，问当日生产是否正常？
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第七章 假设检验
第3页
(1) 是参数估计问题吗？
(2) 回答“是”还是“否” ，假设检验问题。
(3) 命题“合金平均强度不低于110Pa”正确 与
否仅涉0及{如:下1两10个}参数 集1合{：:110}
这两个非空参数集合都称作统计假设， 简称假设。
(4) 我们的任务是利用样本去判断假设（命题）
“ 0 ”是否成立。这里的“判断”在统 计学中
，
0
都有 g() ,
则称该检验是显著性水平为 的显著性检 验，简称水平为 的检验。
10/29/2020
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第七章 假设检验
第10页
四、给出拒绝域
确定显著性水平后，可以定出检验的拒绝域W。
在例7.1.1中，若取=0.05, 由于g()关于 单调减，只需要
g(110)5(c4110)0.05
概率论与数理统计教程(茆诗松)
例1.1.1
口袋中有a 个白球、b 个黑球，从中一个一个不返 回地取球。A = “取到最后一个是白球”， B = “取到最后一段是白球”。问 A 与 B 的关系？
解：1) 显然，B 发生必然导致A发生，所以 BA;. 2) 又因为A发生必然导致B发生，所以 AB， 由此得 A = B.
• 从 n 个元素中任取 r 个，求取法数.
• 排列讲次序，组合不讲次序.
• 全排列：Pn= n! • 0! = 1.
• •
重选复排排列：列Pn：r n(rn
常用大写字母 X、Y、Z …表示.
事件的表示
➢在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了，记为A.
➢维恩图 ( Venn ). ➢事件的三种表示
用语言、用集合、用随机变量.
1.1.5 事件间的关系
➢包含关系： A B, A 发生必然导致 B 发
生. ➢相等关系: A = B A B 而且 B
5. 试用A、B、C ห้องสมุดไป่ตู้示下列事件：
① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC
④ 至少有一个出现；A B C
⑤ 至多有一个出现；ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC
⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现；AB AC BC
A A不发生、对立事件 A的余集
注意点(1)
基本事件互不相容，基本事件之并
=ΩA A A
A A Ω
A A
A A
A
A
AB A B
B
茆诗松《概率论与数理统计教程》笔记和课后习题(含考研真题)详解(随机变量及其分布)【圣才出品】
xk p xk 丌收敛，则称 X 癿数学期望丌存在．
k =1
（2）连续型随机变量
定义：设连续随机变量 x 癿密度凼数为 p（x）．如果
x p xdx
则称
E
X
xp
x
dx
为 X 癿数学期望，或称作该分布 p（x）癿数学期望，简称期望或均值．若
x p x dx 丌收敛，则称 X 癿数学期望丌存在．
2．数学期望癿性质 按照数学期望 E（X）癿定义，E（X）由其分布唯一确定．若要求随机变量 X 癿一个凼
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数 g（X）癿数学期望，当然要先求出 Y＝g（X）癿分布，再用此分布来求 E（Y）．
lim
xx0
F
x
F
x0
即 F（x0＋0）＝F（x0）
返三个基本性质为判别某个凼数是否能成为分布凼数癿充要条件．
当 F（x）在 a 不 b 处连续时，有 F（a－0）＝F（a），F（b－0）＝F（b）．
3．离散随机变量癿概率分布列
（1）定义：设 X 是一个离散随机变量，如果 X 癿所有可能叏值是 x1，x2，…，xn，…，
则称 X 叏 xi 癿概率 pi＝p（xi）＝P（X＝xi），i＝1，2，…n，…为 X 癿概率分布列或简称为
分布列，记为 X～{pi}．
分布列也可用下表来表示：
X
x1
x2
…
P P（x1） P（x2） …
概率论与数理统计教程(茆诗松)第7章
第七章 假设检验
第18页
对单侧检验 H0 : 0 vs H1 : 0是类似的， 只是拒绝域变为: W {u u1 } 其势函数为 g n 0 u 对双侧检验问题(7.2.3)，拒绝域为 W { u u1 2} 其势函数为
5(c 110) g (110) 0.05 4
成立即可。这给出c 的值为 c 110 0.8u0.05 110 0.8 1.645=108.684 检验的拒绝域为 W {x 108.684}
16 July 2013
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第七章 假设检验
第七章 假设检验
第1页
第七章 假设检验
§7.1 §7.2 §7.3 §7.4 假设检验的基本思想与概念 正态总体参数假设检验 其它分布参数的假设检验 分布拟合检验
16 July 2013
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第七章 假设检验
第2页
§7.1
假设检验的基本思想与概念
7.1.1 假设检验问题
例7.1.1 某厂生产的合金强度服从 N ( ,16)，其中 的设计值 为不低于110(Pa)。为保证质量，该 厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生 产是否正常进行,即该合金的平均强度不低于 110(Pa)。某天从生产中随机抽取25块合金，
x 0 u / n
三种假设的拒绝域形式分别见下图：
16 July 2013
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第七章 假设检验
第15页
W {u c}
W {u c} W {u c1 或 u c2}
(a) H1 : 0
16 July 2013
(b) H1 : 0
茆诗松概率论与数理统计教程
例三. 写出下列随机试验的样本空间, 用样本点的集合表示
所述事件. 袋中有3个白球和2个黑球, 从其中任取2个球, 令A表示“取出的全是白球”, B表示“取出的全是黑 球”, C表示“取出的球颜色相同”, D表示“取出的两个 球至少有一个白球”
解 : 解法(a) : ABC
根据事件的运算法 则可验证, 这三
种解法的结果相 同
解法(b) : 该事件从字面来理解就是"A,B,C中至 少有一个不发生", 所以就是A B C.
解法(c) : 该事件可分解为3种情况: (i)"ABC恰好有一个不发生", 即ABC ABC ABC (ii)"ABC恰好有两个不发生",即A BC ABC ABC (iii)"ABC都不发生",即A B C
事件A也可表示为X是奇数; 事件B是X为偶数; 事件C是 X=6; 事件D是X≥2; 事件E是X=0.
注意: 在实际问题中, 哪一种表示方法方便且有利 于问题的解答就采用哪一种.
3. 事件间的关系与运算
因为事件就是样本点的集合, 所以事件间的关系与 运算类比于集合间的关系与运算.
事件间的关系:包含关系, 相等关系, 互不相容关系
(2) 掷一颗骰子的样本空间为: Ω={1,2,3,4,5,6}. (3) 调查10名婴儿中的男婴数的样本空间为:
Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. (4) 试验II的样本空间为: Ω={白球, 黑球}.
概率论与数理统计教程(茆诗松)第6章
其一 是如何给出估计，即估计的方法问题；
其二 是如何对不同的估计进行评价，即估
计的好坏判断标准。
14 July 2013
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第六章 参数估计
第4页
§6.1 点估计的几种方法
6.1.1 替换原理和矩法估计
一、矩法估计 替换原理是指用样本矩及其函数去替换相应的 总体矩及其函数，譬如： ˆ • 用样本均值估计总体均值E(X)，即 E ( X ) x ； 2 ˆ • 用样本方差估计总体方差Var(X)，即 Var( X ) sn • 用样本的 p 分位数估计总体的 p 分位数， • 用样本中位数估计总体中位数。
n
则
ˆ ˆ limn E ( n ) 是 的相合估计，, limn Var ( n ) 0
定理6.2.2 若 ,, 分别是1, …, k 的相合估 ˆ ˆ n1 nk 计， =g(1 , …, k) 是1, …, k 的连续函数，则 ˆ ˆ ˆ n g ( n1 , , nk ) 是 的相合估计。
第六章 参数估计
第24页
例6.2.4 对任一总体而言，样本均值是总体均值的无 偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩ak是 总体k阶原点矩 k的无偏估计。但对中心矩则不一 n 1 2 2 ，样本方差s*2不是总 样，譬如，由于 E (s * ) n 体方差 2的无偏估计，对此，有如下两点说明： (1) 当样本量趋于无穷时，有E(s*2) 2， 我们称 s*2 为 2的渐近无偏估计。
n
1 n n n 2 2 2 ln L( , ) 2 ( xi ) ln ln(2) 2 i 1 2 2
14 July 2013
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第六章 参数估计
概率论与数理统计教程(茆诗松)第8章
华东师范大学
第八章 方差分析与回归分析
第8页
我们要比较各水平下的均值是否相同, 即要对如下的一个假设进行检验:
H0 ：1 =2 =…=r
备择假设为
H1 ：1, 2, …, r 不全相等
（8.1.1）
在不会引起误解的情况下， H1 通常可省略不写。 如果H0成立，因子A的r个水平均值相同，称因子A的r 个水平间没有显著差异，简称因子A不显著；反之， 当H0不成立时，因子A的r个水平均值不全相同，这时 称因子A的不同水平间有显著差异，简称因子A显著。
有一个恒等式
k
( yi y ) 0
，这说明在Q中独立
i 1
的偏差只有k1个。
➢ 在统计学中把平方和中独立偏差个数称为该平 方和的自由度，常记为f，如Q的自由度为 fQ=k1。自由度是偏差平方和的一个重要参数。
13 July 2020
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第八章 方差分析与回归分析
第19页
四、总平方和分解公式
第22页
8.1.4 检验方法
偏差平方和Q的大小与自由度有关，为了便于在 偏差平方和间进行比较，统计上引入了均方的 概念，它定义为MS=Q/fQ ，其意为平均每个自 由度上有多少平方和，它比较好地度量了一组 数据的离散程度。
如今要对因子平方和 SA 与误差平方和 Se 之间进
行比较，用其均方和 MSA= SA /fA ， MSe= Se /fe 进
1
r
r i 1
i
为总均值.
称第 i 水平下的均值 i 与总均值 的差:
ai=i - 为 Ai 的效应。
13 July 2020
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第八章 方差分析与回归分析
第12页
概率论和数理统计教程茆诗松专题培训课件
11/27/2019
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第二章 随机变量及其分布
第5页
2.1.2 随机变量的分布函数
定义2.1.2 设X为一个随机变量，对任意实数 x，
称 F(x)=P( X x) 为 X 的分布函数.
基本性质：
(1) F(x) 单调不降； (2) 有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1； (3) 右连续.
第12页
定义2.1.4
设随机变量X 的分布函数为F(x), 若存在非负可积函数 p(x) ，满足：
F(x)xp(t)dt
则称 X 为连续随机变量， 称 p(x)为概率密度函数，简称密度函数.
11/27/2019
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第二章 随机变量及其分布
第13页
密度函数的基本性质
(1) p(x) 0; (非负性)
(2)
p(
x)dx
1.
(正则性)
满足(1) (2)的函数都可以看成某个 连续随机变量的概率密度函数.
11/27/2019
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第二章 随机变量及其分布
例2.1.3
设
X
~
ke3x, p(x)
0,
x0, x0.
求 (1) 常数 k. (2) F(x).
解：
(1) k =3.
11/27/2019
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第二章 随机变量及其分布
第6页
2.1.3 离散随机变量的分布列
设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，……
称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列.
分布列也可用表格形式表示：
X x1 P p1
概率论与数理统计教程(茆诗松)第三章多维随机变量及其分布
P(X1=1, X2=0) = P(|Y|<1, |Y|≥2) = 0
P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2) = P(|Y|<1) = 0.6826
23 August 2021
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第三章 多维随机变量及其分布
列表为：
X1 X2 0 1
0
0.0455 0
1
0.2719 0.6826
第13页
23 August 2021
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第三章 多维随机变量及其分布
课堂练习
第14页
设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可 能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能 地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.
第三章 多维随机变量及其分布
第1页
第三章 多维随机变量及其分布
§3.1 多维随机变量及其联合分布 §3.2 边际分布与随机变量的独立性 §3.3 多维随机变量函数的分布 §3.4 多维随机变量的特征数 §3.5 条件分布与条件期望
23 August 2021
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第三章 多维随机变量及其分布
23 August 2021
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第三章 多维随机变量及其分布
3.2.1 边际分布函数
第29页
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，
则 X FX (x) = F(x, +),
Y FY (y) = F(+ , y).
23 August 2021
概率论与数理统计教程(茆诗松)第6章厦大版
= S(q(k) ) º
¶ log
f n (x (n) ; q) ¶q
|q=q(k )
( ) Hk
= H(q(k) ) =
¶ 2 log f n x(n) ; q ¶q¶qT
| q=q(k )
q(k +1)
= q(k)
H
1 k
g
k
例6.1.6
设一个试验有三种可能结果，其发生概率分别为：
p1 = q 2 p2 = 2q (1-q ) p3 = (1 - q ) 2
我们称 h( X 1 ,L , X n ) 为q 的估计量(estimator)通常记为 qˆ (X1, L, Xn)
我们称 h( x1 ,L , x n ) 为 q 的 估计值 通常记为
qˆ ( x1 , L , x n )
点估计问题的一般提法(续)
估计量和估计值统称为点估计(point estimate)，简称为 估计，并简记为 qˆ 。
第6章 参数估计
所谓参数是指由模型所决定，且能够刻划模型的某种统计 性质的量。通常有三种类型：
1. 在已知总体分布结构时，总体分布中的未知参数； 2. 在已知总体分布结构时，总体分布中未知参数的函数； 3. 总体数字特征(均值、中位数、众数、方差、绝对差) 。 在统计中通常用希腊字母μ，θ，σ，…来表示参数。
解：m = EX , s2 = DX
EX DX å( ) 故 mˆ MM =
^
= X 与 sˆ 2MM =
^
=1 n n i=1
Xi计。
概率涵数已知时未知参数的矩法估计
在总体分布类型已知时，设总体的概率涵数为
f (x ; q) , qÎ Q
此时，按矩法估计的基本思想，求矩法估计的一般步骤为：
概率论与数理统计茆诗松讲义_百度文库
第二章随机变量及其分布上一章研究内容：事件（集合A）→ 概率（数）．本章将用函数研究概率，函数是数与数的关系，即需要用数反映事件——随机变量．事件（数）→ 概率（数）．§2.1 随机变量及其分布2.1.1. 随机变量的概念随机试验的样本点有些是定量的：如掷骰子掷出的点数，电子元件使用寿命的小时数．有些是定性的：如掷硬币正面或反面，检查产品合格或不合格．对于定性的结果也可以规定其数量性质：如掷硬币，正面记为1，反面记为0；检查产品，合格记为1，不合格记为0．随机试验中，可将每一个样本点ω 都对应于一个实数X (ω)，称为随机变量（Random Variable），常用大写英文字母X, Y, Z 等表示随机变量，而随机变量的具体取值通常记为小写英文字母x, y, z．对于随机变量首先应掌握它的全部可能取值：⎧1,正面如掷硬币，X=⎨，X的全部可能取值为0, 1； 0,反面⎩掷两枚骰子，X表示掷出的点数之和，X的全部可能取值为2, 3, 4, … , 12 ；观察某商店一小时内的进店人数X，X的全部可能取值为0, 1, 2, … ；电子元件使用寿命，用X表示使用的小时数，X的全部可能取值为[0,+∞)；一场足球比赛（90分钟），用X表示首次进球时间（分钟），若为0:0，记X = 100，X的全部可能取值为 (0, 90 )∪{100}；注意：1. 每个样本点都必须对应于一个实数，2．不同样本点可以对应于同一个实数，3．随机变量的每一取值或取值范围都表示一个事件．应掌握将随机变量的取值或取值范围描述为事件，又能将事件用随机变量表达的方法．例掷一枚骰子，用X表示出现的点数，则 X = 1表示出现1点；X > 4表示点数大于4，即出现5点或6点；X ≤ 0为不可能事件．又出现奇数点，即X = 1, 3, 5；点数不超过3，即X ≤ 3．例 X 表示商店一天中某商品的销售件数（顾客的需求件数），则 X = 0表示没有销售；X ≤ 10表示销售不超过10件．又销售5件以上（不含5件）即X > 5；若该商店准备了a件该商品，事件“能满足顾客需要”，即X ≤ a．例 X 表示一只电子元件的使用寿命（小时），则 X = 1000表示该元件恰好使用了1000小时，X ≥ 800表示该元件使用寿命在800小时以上．例 90分钟足球比赛，X 表示首次进球时间（分钟），且0:0时，记X = 100，则 X = 10表示上半场第10分钟首次进球．又上半场不进球即X > 45；开场1分钟内进球即X ≤ 1．如果随机变量X的全部可能取值是有限个或可列个，则称为离散型随机变量．（注：可列个即可以排成一列，一个一个往下数，如非负整数0, 1, 2,3, … ）离散型随机变量的全部可能取值是实数轴上一些离散的点，而连续型随机变量的全部可能取值是实数轴上一个区间或多个区间的并，如电子元件使用寿命X（小时），全部可能取值是[0,+∞)．下面按离散型和连续型分别进行讨论．2.1.2. 离散随机变量的概率分布列对于随机变量还应该掌握它的每一取值或取值范围表示事件的概率．定义如果随机变量X的全部可能取值是有限个或可列个，则称为离散型随机变量．设离散型随机变量X的全部可能取值为x1, x2, …, x k , …，则X取值x k的概率pk = p (xk) = P{X = xk }, k = 1, 2, …… 称为离散型随机变量的概率分布函数（Probability Distribution Function，PDF），简称概率分布或概率函数．直观上，又写为XPx1p(x1)x2Lp(x2)L⎛x1 或 X~⎜⎜p(x)p(xk)L1⎝xkLx2Lp(x2)LxkL⎞⎟，⎟p(xk)L⎠称为X的概率分布列．如掷一枚骰子，X表示出现的点数，X的分布列为P66666． 6概率函数基本性质：（1）非负性p(xk) ≥ 0 , k = 1, 2, ……；（2）正则性∑p(xk=1∞k)=1．这是因为事件X = x1 , X = x2 , … , X = x k , … 是一个完备事件组，故P{X = x1} + P{X = x2} + … + P{X = x k} + … = P (Ω) = 1，即p (x1) + p (x2) + … + p (xk) + … = 1．例设盒中有2个红球3个白球，从中任取3球，以X表示取得的红球数．求X的分布列．解：X 的全部可能取值0, 1, 2 ，样本点总数为n=⎜⎜⎟⎟=10，⎛5⎞⎝3⎠⎛3⎞1⎟X = 0表示“取到3个白球”，所含样本点个数为k0=⎜=1，有p(0)==0.1，⎜3⎟10⎝⎠⎛3⎞⎛2⎞6⎟⎜⎟X = 1表示“取到1个红球2个白球”，所含样本点个数为k1=⎜=6，有p(1)==0.6，⎜2⎟⎜1⎟10⎝⎠⎝⎠⎛3⎞⎛2⎞3⎟⎜⎟X = 2表示“取到2个红球1个白球”，所含样本点个数为k2=⎜=3，有p(2)==0.3．⎜1⎟⎜2⎟10⎝⎠⎝⎠故X的分布列为XP012． 0.10.60.3求离散型随机变量X的概率分布步骤：（1）找出X的全部可能取值，（2）将X的每一取值表示为事件，（3）求出X的每一取值的概率．例现有10件产品，其中有3件不合格．若不放回抽取，每次取一件，直到取得合格品为止．用X表示抽取次数，求X的概率分布．解：X的全部可能取值1, 2, 3, 4 ，X = 1表示“第1次就取得合格品”，有p(1)=7， 10377，⋅=109303277X = 3表示“第3次取得合格品且前两次是不合格品”，有p(3)=，⋅⋅=109812032171X = 4表示“第4次取得合格品且前三次是不合格品”，有p(4)=，⋅⋅⋅=10987120故X 的分布列为 X = 2表示“第2次取得合格品且第1次是不合格品”，有p(2)= P1030120． 120例上例若改为有放回地抽取，又如何？解：X的全部可能取值1 , 2 , … , n , … ，p(1)=737=0.7，p(2)=⋅=0.21，p(3)=0.32×0.7，…，p(k)=0.3k−1×0.7，…， 101010 k=1,2,L；故X的概率函数为p(k)=0.3k−1×0.7,X的分布列为XPk．0.70.210.32×0.7L0.3k−1×0.7L123C，k = 1, 2, 3, 4，且C为常数． k求：（1）C的值，（2）P{X = 3}，（3）P{X < 3}．CCC解：（1）由正则性知：p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=C+++=1，即C=1，故C=． 1225234例若离散型随机变量的概率函数为p(k)=（2）P{X=3}=p(3)=4， 2512618+=． 252525（3）P{X<3}=p(1)+p(2)=2.1.3. 随机变量的分布函数连续型随机变量在单个点取值概率为零，如电子元件使用寿命恰好为1000小时这个事件的概率就等于零，因此连续型随机变量不能考虑概率函数．为了用单独一个变量表示一个区间，特别地取区间(−∞, x]．定义随机变量X与任意实数x，称F(x) = P{X ≤ x}，−∞< x < +∞为X的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF），简称分布函数．P{a < X ≤ b} = P{X ≤ b} − P{X ≤ a} = F(b) − F(a)，P{X > a} = 1 − P{X ≤ a} = 1 −F(a)，由概率的连续性知P{X<a}=lim−P{X≤x}=lim−F(x)=F(a−0)，且P{X = a} = P{X ≤ a} − P{X < a} = F(a) − F(a – 0)，x→ax→a可见X在任一区间上或任一点取值的概率都可用分布函数表示．例已知随机变量X的分布列为XP0120.20.50.3，求X的分布函数．解：X的全部可能取值为0, 1, 2，当x < 0时，F(x) = P{X ≤ x} = P (∅) = 0，当0 ≤ x < 1时，F(x) = P{X ≤ x} = p(0) = 0.2，当1 ≤ x < 2时，F(x) = P{X ≤ x} = p(0) + p(1) = 0.7，当x ≥ 2时，F(x) = P{X ≤ x} = P (Ω ) = 1，⎧0,⎪0.2,⎪故F(x)=⎨⎪0.7,⎪⎩1,F(x)=P{X≤x}=x<0,0≤x<1,1≤x<2,x≥2.若离散型随机变量的全部可能取值为x1, x2, ……，概率函数p (xk ) = pk，k = 1, 2, ……，则分布函数xk≤x∑p(xk)．且离散型随机变量的分布函数F(x)是单调不减的阶梯形函数，X的每一可能取值xk 是F(x)的跳跃点，跳跃高度是相应概率p (xk )．⎧0,⎪0.3,⎪⎪例已知某离散型随机变量X的分布函数为F(x)=⎨0.4,⎪0.6,⎪⎪⎩1,x<−1−1≤x<0,0≤x<2, 求X的分布列．2≤x<5,x≥5,解：X的全部可能取值是F(x)的跳跃点，即−1, 0, 2, 5，跳跃高度依次为：p(−1) = 0.3 − 0 = 0.3；p(0) = 0.4 − 0.3 = 0.1；p(2) = 0.6 − 0.4 = 0.2；p(5) = 1 − 0.6 = 0.4．故X的分布列为XP−10250.30.10.20.4．分布函数的基本性质：（1）单调性，F(x) 单调不减，即x1 < x2时，F(x1) ≤ F(x2)；（2）正则性，F(−∞) = 0，F(+∞) = 1；（3）连续性，F(x) 右连续，即limF(x)=F(x0)． +x→x0证：（1）当x1 < x2时，{X ≤ x1} ⊂ {X ≤ x2}，有F(x1) ≤ F(x2)；（2）F(−∞) = P{X < −∞} = P (∅) = 0，F(+∞) = P{X < +∞} = P (Ω ) = 1；（3）任取单调下降且趋于x0的数列{xn}，有lim{X≤xn}=I{X≤xn}={X≤x0}，n→∞n=1∞⎛∞⎞根据概率的连续性知limP{X≤xn}=P⎜{X≤x}F(x)=F(x0)． n⎟⎜I⎟=P{X≤x0}，即xlim+n→∞→x0⎝n=1⎠但F(x)不一定左连续，任取单调增加且趋于x0的数列{xn}，⎛∞⎞⎟有lim{X≤xn}=U{X≤xn}={X<x0}，得limP{X≤xn}=P⎜{X≤x}Un⎜⎟=P{X<x0}，n→∞n→∞n=1⎝n=1⎠故lim−F(x)=P{X<x0}=F(x0)−P{X=x0}．x→x0∞2.1.4. 连续随机变量的概率密度函数离散型随机变量的全部可能取值是有限或可列个点，连续型随机变量的全部可能取值是实数区间．但连续型随机变量在单独一个点取值的概率为0，其概率函数无实际意义，对于连续随机变量通常考虑其在某个区间上取值的概率，这就需要讨论分布函数．连续型随机变量的分布函数是连续函数．注意：概率为0的事件不一定是不可能事件．定义随机变量X的分布函数F(x)，若存在函数p(x)，使F(x)=∫x−∞p(u)du，则称X为连续型随机变量，p(x)为X的概率密度函数（可以理解为：p(u)为概率密度，p(u)du为X在该小区间内取值的概率，∫x−∞为从−∞到x无限求和．几何意义：在平面上作出密度函数p(x)的图形，则阴影部分的面积即为F(x)的值．密度函数基本性质：（1）非负性p(x) ≥ 0；+∞（2）正则性∫p(x)dx=1．−∞因∫x−∞p(u)du=F(x)，有∫+∞−∞p(x)dx=F(+∞)=1．连续型随机变量的性质：设连续型随机变量X的概率密度函数为p (x)，分布函数为F(x)，则有（1）P{x1<X≤x2}=F(x2)−F(x1)=∫（2）当p(x) 连续时，p(x) = F ′(x)；因F(x)=∫x−∞x2x1p(x)dx；p(u)du，当p(x) 连续时，有F′(x)=[∫x−∞p(u)du]′=p(x)（3）X在单独一个点取值的概率为0，其分布函数为连续函数；随机变量在某区间内的（4）P{x1 < X ≤ x2} = P{x1 ≤ X ≤ x2} = P{x1 < X < x2} = P{x1 ≤ X < x2}，即连续型．．．概率与区间开闭无关，离散型则不成立；（5）只在有限个点上取值不相同的密度函数对应于同一个分布函数，一般，只在概率为0的数集上取值不相同的密度函数都对应于同一个分布函数．例设F (x) = A + B arctan x为某连续型随机变量X的分布函数．求：（1）A, B；（2）P{−1≤X≤}；（3）密度函数p (x)．解：（1）由正则性F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，得：lim(A+Barctanx)=A−x→−∞ππB=0，lim(A+Barctanx)=A+B=1，x→+∞221故A=1，B=；π（2）F(x)=11⎛11π⎞⎡11⎛π⎞⎤7+arctanx，得P{−1≤X≤}=F(3)−F(−1)=⎜+⋅⎟−⎢+⋅⎜−⎟⎥=．2π⎝2π3⎠⎣2π⎝4⎠⎦121．π(1+x2)（3）密度函数p(x)=F′(x)=例已知⎧C(x2−x3),0<x<1,p(x)=⎨其它,⎩0,是某连续型随机变量X的密度函数，1求：（1）C，（2）P{−1<X<，（3）分布函数F (x)．2解：（1）由正则性：∫1+∞−∞p(x)dx=1，111x3x4C23得∫C(x−x)dx=C(−=C(−−0==1，03403412故C = 12；12xx1115（2）P{−1<X<=∫p(x)dx=∫12(x2−x3)dx=12(−=12(−)=；2340246416（3）X的全部可能取值为 [0, 1]，分段点0, 1，当x < 0时，F(x)=∫x12−112034−∞p(u)du=0，xxxu3u423当0 ≤ x < 1时，F(x)=∫p(u)du=∫12(u−u)du=12(−=4x3−3x4，0−∞340当x ≥ 1时，F(x)=∫x−∞p(u)du=∫12(u2−u3)du=1，1x<0,⎧0,⎪故F(x)=⎨4x3−3x4,0≤x<1,⎪1,x≥1.⎩例已知⎧|x|,−1<x<1,p(x)=⎨0,,其它⎩是某连续型随机变量X的密度函数，求分布函数F (x)．解：分段点−1, 0, 1，当x < −1时，F(x)=∫x−∞p(u)du=0；xxx当−1 ≤ x < 0时，F(x)=∫x−∞u2p(u)du=∫(−u)du=−−12x−1x211−x2；=−+=222u2当0 ≤ x < 1时，F(x)=∫p(u)du=∫(−u)du+∫udu=−0−∞−12当x ≥ 1时，F(x)=∫x−1u2+2x1x21+x2=0++=；222−∞p(u)du=∫(−u)du+∫udu=1．−101x<0,⎧0,2⎪1−x,−1≤x<0,⎪⎪2故F(x)=⎨ 2+1x⎪,0≤x<1,⎪2⎪x≥1.⎩1,§2.2 随机变量的数学期望对于随机变量，还应当掌握反映其平均值、分散程度等的指标，这就需要引入数学期望和方差等概念．2.2.1. 数学期望的概念例甲、乙两个射击选手，在射击训练中甲射了10次，其中3次10环，1次9环，4次8环，2次7环；乙射了15次，其中2次10环，9次9环，2次8环，2次7环．问谁的表现更好？分析：比较他们射中的平均环数85=8.5环； 10131乙共射中2 × 10 + 9 × 9 + 2 × 8 + 2 × 7 = 131环，平均每次射中=&8.73环．故乙的表现更好． 15一般地，若在n次试验中，出现了m1次x1，m2次x2，…，mk次xk ，（其中m1 + m2 + … + mk = n），甲共射中3 × 10 + 1 × 9 + 4 × 8 + 2 × 7 = 85环，平均每次射中km1x1+m2x2++mkxkm则平均值为=∑xii，即平均值等于取值与频率乘积之和． nni=1因n很大时，频率稳定在概率附近，即平均值将稳定在取值与概率乘积之和附近．2.2.2. 数学期望的定义定义设离散型随机变量X的分布列是⎛x1X~⎜⎜p(x)1⎝∞Lx2p(x2)LL⎞xk⎟， p(xk)L⎟⎠，记为E (X )．如果级数∑xkp(xk)绝对收敛，则称之为X的数学期望（Expectation）k=1数学期望的实际意义是反映随机变量的平均取值，是其全部可能取值以相应概率为权数的加权平均．14⎞⎛−20 如X的分布列为⎜⎟，则E(X) = (−2) × 0.3 + 0 × 0.1 + 1 × 0.4 + 4 × 0.2 = 0.6．⎜0.30.10.40.2⎟⎠⎝例某人有4发子弹，现在他向某一目标射击，若命中目标就停止射击，否则直到子弹用完为止．设每发子弹命中率为0.4，以X表示射击次数，求E (X )．解：先求X的分布列，X的全部可能取值为1, 2, 3, 4，X = 1，第一枪就命中， p (1) = 0.4；X = 2，第一枪没有命中，第二枪命中，p (2) = 0.6 × 0.4 = 0.24；X = 3，前两枪没有命中，第三枪命中，p (3) = 0.6 2 × 0.4 = 0.144；X = 4，前三枪没有命中， p (4) = 0.6 3 = 0.216．234⎞⎛1则X的分布列为⎜⎜0.40.240.1440.216⎟⎟，⎝⎠故E (X ) = 1 × 0.4 + 2 × 0.24 + 3 × 0.144 + 4 × 0.216 = 2.176．⎛(−2)k例若X的概率函数为p⎜⎜k⎝∞⎞1 ⎟⎟=2k,k=1,2,L，求E(X)．⎠∞(−2)k1(−1)k收敛但不是绝对收敛，故E (X ) 不存在．解：因∑⋅k=∑kk2k=1k=1离散型随机变量的数学期望是取值乘概率求和：∑xkp(xk)，类似可定义连续型随机变量的数学期望k=1∞是取值乘密度积分：∫xp(x)dx．−∞+∞定义设连续型随机变量X的密度函数为p(x)．如果广义积分∫xp(x)dx绝对收敛，则称之为X的数学期−∞+∞望，记为E (X )．例已知连续型随机变量X 的密度函数为⎧2x,0<x<1, p(x)=⎨0,其它.⎩求E (X )． x3解：E(X)=∫xp(x)dx=∫x⋅2xdx=2⋅−∞03+∞11=02． 3例已知X 的密度函数为⎧a+bx,0<x<2, p(x)=⎨0,其它.⎩且E(X)=2，求a, b． 3+∞x2解：由正则性得∫p(x)dx=∫(a+bx)dx=(ax+b⋅=2a+2b=1，−∞02022又E(X)=∫xp(x)dx=∫−∞+∞2082x2x3x(a+bx)dx=(a⋅+b⋅)=2a+b=， 2303321． 2例已知X 的密度函数为故a=1,b=−p(x)=求E (X )．1,−∞<x<+∞，π(1+x2)解：因∫xp(x)dx=∫−∞+∞+∞+∞x11122dx=⋅d(x)=ln(1+x)发散，∫−∞π(1+x2)2−∞−∞π(1+x2)2π+∞故E (X )不存在．2.2.3. 数学期望的性质设X为随机变量，g (x) 为函数，则称Y = g (X ) 为随机变量函数，Y也是一个随机变量．下面不加证明地给出随机变量函数的数学期望计算公式．定理设X为随机变量，Y = g (X ) 为随机变量函数，则（1）若X为离散型随机变量，概率函数为p(xk ), k = 1, 2, …，则E(Y)=E[g(X)]=∑g(xk)p(xk)；k=1∞（2）若X为连续型随机变量，密度函数为p (x)，则E(Y)=E[g(X)]=∫g(x)p(x)dx．−∞+∞数学期望具有以下性质：（1）常数的期望等于其自身，即E (c) = c；（2）常数因子可移到期望符号外，即E (aX ) = a E (X )；（3）随机变量和的期望等于期望的和，即E [g1 (X ) + g2 (X )] = E [g1 (X )] + E [g2 (X )]．证明：（1）将常数c看作是单点分布p (c) = 1，故E (c) = c p (c) = c；（2）以连续型为例加以证明，E(aX)=∫axp(x)dx=a∫xp(x)dx=aE(X)；−∞−∞+∞+∞（3）以连续型为例加以证明，E[g1(X)+g2(X)]=∫[g1(x)+g2(x)]p(x)dx=∫g1(x)p(x)dx+∫g2(x)p(x)dx −∞−∞−∞+∞+∞+∞= E [g1 (X )] + E [g2 (X )]．由性质（2）、（3）知随机变量线性组合的期望等于期望的线性组合，可见数学期望具有线性性质．例设X的分布列为12⎞⎛−10⎜⎜0.20.10.40.3⎟⎟，⎝⎠求E (2X +1)，E (X 2)．解：E (2X +1) = −1 × 0.2 + 1 × 0.1 + 3 × 0.4 + 5 × 0.3 = 2.6；E (X 2) = 1 × 0.2 + 0 ×0.1 + 1 × 0.4 + 4 × 0.3 = 1.8．例已知圆的半径X是一个随机变量，密度函数为⎧1⎪,1<x<3, p(x)=⎨2⎪⎩0,其他.求圆面积Y的数学期望．解：圆面积Y = π X 2，1πx故E(Y)=∫πx2p(x)dx=∫πx2⋅=⋅−∞1223+∞333=113π． 3例设国际市场对我国某种出口商品的需求量X（吨）的密度函数为⎧1⎪,2000<x<4000, p(x)=⎨2000⎪其他.⎩0,设每售出一吨，可获利3万美元，但若销售不出，每积压一吨将亏损1万美元，问如何计划年出口量，能使国家获利的期望最大．解：设计划年出口量为a吨，每年获利Y万美元．当X ≥ a时，销售a吨，获利3a万美元；当X < a时，销售X吨，积压a − X吨，获利3X − (a − X) = 4X − a万美元；a≤X≤4000,⎧3a,即Y=g(X)=⎨ 4X−a,2000≤X<a.⎩则E(Y)=∫g(x)p(x)dx=∫−∞+∞a2000(4x−a)⋅a40001113a4000dx+∫3a⋅dx=+x(2x2−ax)a20002000200020002000a11a2+7a−4000=−(a−3500)2+8250， 10001000故计划年出口量为3500吨时，使国家获利的期望最大．=−§2.3 随机变量的方差与标准差数学期望反映平均值，方差反映波动程度．如甲、乙两台包装机，要求包装重量为每袋500克，现各取5袋，重量为甲：498，499，500，501，502；乙：490，495，500，505，510．二者平均值相同都是500克，但显然甲比乙好．此时比较的是它们的偏差（即取值与平均值之差）．偏差：甲：−2，−1，0，1，2；乙：−10，−5，0，5，10．2.3.1. 方差的定义定义随机变量X与其数学期望E (X ) 之差X − E (X ) 称为偏差．偏差有大有小，可正可负，比较时需要去掉符号，但绝对值函数进行微积分处理不方便，因此考虑偏差平方的数学期望．定义随机变量X，若E [X − E (X )]2存在，则称之为X的方差（Variance），记为Var (X ) 或D (X )．即Var (X ) = E [X − E (X )]2．显然方差Var (X ) ≥ 0，称X)为X的标准差（Standard Deviation）．在实际问题中，标准差与随机变量有相同的量纲．方差与标准差反映波动程度．方差越大，取值越分散；方差越小，取值越集中．例设X的分布列为23⎞⎛1⎜⎜0.20.40.4⎟⎟，⎝⎠求E (X ), Var (X )．解：E (X ) = 1 × 0.2 + 2 × 0.4 + 3 × 0.4 = 2.2；Var (X ) = (−1.2)2 × 0.2 + (−0.2)2 × 0.4 + 0.82 × 0.4 = 0.56．例已知X 的密度函数为⎧2x,0<x<1,p(x)=⎨ 0,其他.⎩求E (X ), Var (X )． x3解：E(X)=∫xf(x)dx=∫x⋅2xdx=2⋅−∞03+∞11=02； 31128884⎞1841⎛2Var(X)=∫(x−2p(x)dx=∫(2x3−x2+x)dx=⎜x4−x3+x2⎟=−+=．0−∞33 999⎠029918⎝4+∞例已知X的全部可能取值为0, 1, 2，且E (X ) = 1.3，Var (X ) = 0.81．求X的分布列．⎛012⎞解：设X的分布列为⎜⎜abc⎟⎟，⎝⎠由正则性得：a + b + c = 1，且E (X ) = 0 × a + 1 × b + 2 × c = b + 2c = 1.3，Var (X ) = (−1.3)2 × a + (−0.3)2 × b + 0.72 × c = 1.69a + 0.09b + 0.49c = 0.81，解得a = 0.3，b = 0.1，c = 0.6，12⎞⎛0故X的分布列为⎜⎜0.30.10.6⎟⎟．⎝⎠2.3.2. 方差的性质方差具有以下性质：（1）方差计算公式：Var (X ) = E (X 2) − [E (X )]2；（2）常数的方差等于零，即Var (c) = 0；（3）设a, b为常数，则Var (a X + b) = a 2 Var (X )．证：（1）Var (X ) = E [X − E (X )]2 = E [X 2 − 2X ⋅ E (X ) + E (X )2] = E (X 2 ) − 2E (X ) ⋅ E (X ) + [E (X )]2．= E (X 2) − [E (X )]2；（2）Var (c) = E [c − E (c)]2 = E (c − c)2 = E (0) = 0；（3）Var (a X + b) = E [(a X + b) − E (a X + b)]2 = E [a X + b − a E (X ) − b]2 = a 2 E [X − E (X )]2 = a 2 Var (X )．由性质（1），显然有以下推论：推论对于随机变量X，如果E (X 2) 存在，则E (X 2) ≥ [E (X )]2．以后常利用方差计算公式Var (X ) = E (X 2) − [E (X )]2计算随机变量的方差．通常用公式计算比直接用定义计算方差要方便．例设X的分布列为23⎞⎛1⎜⎜0.20.40.4⎟⎟，⎝⎠求Var (X )．解：前面已求得E (X ) = 2.2，因E (X 2) = 1 2 × 0.2 + 2 2 × 0.4 + 3 2 × 0.4 = 5.4，故Var (X ) = E (X 2) − [E (X )]2 = 5.4 − 2.22 = 0.56．例已知X 的密度函数为⎧2x,0<x<1, p(x)=⎨其他0,.⎩求Var (X )．解：前面已求得E(X)=12， 31x422因E(X)=∫x⋅2xdx=2⋅0422=01， 221⎛2⎞1．故Var(X)=E(X)−[E(X)]=−⎜⎟=2⎝3⎠18对于随机变量X，若方差Var (X ) 存在，且Var (X ) > 0．令X*=有X−E(X)Var(X)，⎛X−E(X)⎞11⎟=E(X*)=E⎜E[X−E(X)]=[E(X)−E(X)]=0；⎜⎟⎝⎠⎛X−E(X)⎞11⎟=Var(X*)=Var⎜Var[X−E(X)]=Var(X)=1．⎜Var(X)⎟Var(X)Var(X)⎝⎠称X *为X的标准化随机变量．2.3.3. 切比雪夫不等式方差反映随机变量的分散程度，切比雪夫不等式给出其定量标准．切比雪夫不等式表明大偏差概率的上限与方差成正比．定理设X为随机变量，且方差Var (X ) 存在，则对于任何正数ε ，都有P{|X−E(X)|≥ε}≤Var(X)ε2．证明：以连续型随机变量为例证明，设X的密度函数为p (x)，有P{|X−E(X)|≥ε}=|x−E(X)|≥∫p(εx)dx，且ε2Var(X)ε2=1ε2E[X−E(X)]=∫+∞2+∞[x−E(X)]2−∞ε2Var(X)p(x)dx，故P{|X−E(X)|≥ε}≤注：切比雪夫不等式的等价形式|x−E(X)|≥ε∫[x−E(X)]2p(x)dx≤∫[x−E(X)]2−∞ε2p(x)dx=ε2，得证．P{|X−E(X)|<ε}≥1−Var(X)ε2．如随机变量X的数学期望为E (X ) = 10，方差Var (X ) = 1，则由切比雪夫不等式可得13=． 224例设随机变量X的全部可能取值为[0,+∞)，且数学期望E (X ) 存在，试证：对任何正数a，都有P{8<X<12}=P{|X−10|<2}≥1−1E(X)． a证明：以连续型随机变量为例证明，设X的密度函数为p (x)，+∞+∞x11+∞有P{X≥a}=∫p(x)dx，且E(X)=∫xp(x)dx=∫p(x)dx，0aaaa−∞+∞x+∞x1故P{X≥a}≤∫p(x)dx≤∫p(x)dx=E(X)，得证．aa0aa定理设随机变量X的方差存在，则Var (X ) = 0的充分必要条件是存在常数b，使得X几乎处处收敛于b，即P{X = b} = 1．证：充分性，设存在常数b，使得P{X = b} = 1，有P{X ≠ b} = 0，即E (X ) = b P{X = b} = b，故Var (X ) = E [X − E (X )]2 =E (X − b)2 = 0 × P{X = b} = 0；必要性，设X的方差Var (X ) = 0，P{X≥a}≤1⎫1⎫⎧⎧因事件{|X−E(X)|>0}=U⎨|X−E(X)|≥⎬=lim⎨|X−E(X)|≥，n⎭n→+∞⎩n⎭n=1⎩⎛+∞⎧则P{|X−E(X)|>0}=P⎜⎜U⎨|X−E(X)|≥⎝n=1⎩1⎫⎞⎧limP=⎨|X−E(X)|≥⎬⎟n→+∞n⎭⎟⎩⎠1⎫Var(X)lim≤=0，⎬n⎭n→+∞⎛1⎞2⎜⎟⎝n⎠+∞可得P{| X − E (X )| > 0} = 0，即P{| X − E (X )| = 0} = 1，取b = E (X )，有b为常数，故P{X = b} = 1．注：如果P{X = b} = 1，记为X = b, a.e.（或a.s.），称为X = b几乎处处成立（或几乎必然成立）．这里，a.e.就是almost everywhere的缩写，a.s.就是almost surely 的缩写．意味着不成立的情况是一个测度（或概率）等于零的集合（或事件）．§2.4 常用离散分布对于一个给定的函数，只要满足概率函数的两条基本性质：非负性、正则性，都可以成为某个离散随机变量的概率函数．但绝大多数在实际工作中并不常见，下面是几种常用的概率函数．2.4.1. 两点分布与二项分布一．两点分布两点分布只可能在两个点取值，通常就是0或1．定义随机变量的可能取值只有两个：0或1，且概率函数为p (0) = 1 − p，p (1) = p，其中0 < p < 1，⎛0称X服从两点分布（Two-point Distribution）或0-1分布，记为X ~ (0-1)．分布列为⎜⎜1−p⎝1⎞⎟． p⎟⎠两点分布实际背景是一次伯努利试验．通常描述为：X表示一次伯努利试验中事件A发生的次数．非负性：p (0) = 1 − p > 0，p (1) = p > 0；正则性：(1 − p) + p = 1．两点分布的数学期望为E (X ) = 0 × (1 − p) + 1 × p = p．又因E (X 2 ) = 02 × (1 − p) + 12 × p = p，故方差为Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = p − p2 = p(1 − p)．二．二项分布在n重伯努利试验中，以X表示事件A的发生次数，则X的全部可能取值为0, 1, 2, …, n ，且⎛n⎞kn−k⎟P{X=k}=⎜p−p． (1)⎜k⎟⎝⎠定义若离散型随机变量X的概率函数为⎛n⎞kn−kp(k)=⎜⎟p(1−p)，k = 0, 1, 2, …, n ；0 < p < 1，⎜k⎟⎝⎠则称X 服从二项分布（Binomial Distribution），记为X ~ b (n, p)．二项分布的实际背景是n重伯努利试验．当n = 1时，二项分布就是两点分布．⎛n⎞kn−k非负性：p(k)=⎜⎟p(1−p)>0；⎜k⎟⎝⎠⎛n⎞kn−kn⎟正则性：∑p(k)=∑⎜p(1−p)=[p+(1−p)]=1．⎜k⎟k=1k=1⎝⎠nn例掷三枚硬币，X表示正面朝上的次数，求X的概率分布．解：X的全部可能取值为0, 1, 2, 3 ，将掷每一枚硬币看作一次试验．每次试验两种结果：正面A，反面；每次试验相互独立；每次试验概率P(A)=0.5．即n重伯努利试验，n = 3，p=0.5，有X ~ b (3, 0.5)，p (0) = 0.5 3 = 0.125，⎛3⎞12p(1)=⎜⎟×0.5×0.5=0.375，⎜1⎟⎝⎠⎛3⎞21⎟p(2)=⎜×0.5×0.5=0.375，⎜2⎟⎝⎠p (3) = 0.5 3 = 0.125．例现有5台机床，每台机床一小时内平均开动18分钟，且是否开动相互独立，以X表示同一时刻开动的机床数，求X的概率分布．解：X的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5 ，将每台机床是否开动看作一次试验．每次试验两种结果：开动A，不开动；每次试验相互独立；每次试验概率P (A) = 0.3．即n重伯努利试验，n = 5，p = 0.3，有X ~ b (5, 0.3)．p (0) = 0.7 5 = 0.16807，⎛5⎞14p(1)=⎜⎟×0.3×0.7=0.36015，⎜1⎟⎝⎠⎛5⎞23⎟×0.3×0.7=0.3087， p(2)=⎜⎜2⎟⎝⎠⎛5⎞32p(3)=⎜⎟×0.3×0.7=0.1323，⎜3⎟⎝⎠⎛5⎞41p(4)=⎜⎟×0.3×0.7=0.02835，⎜4⎟⎝⎠p (5) = 0.3 5 = 0.00243 ．一般地，如果随机变量X服从二项分布，概率函数值p (k) 将随着k的增加，先逐渐增加，达到最大值后，又逐渐减少．通常，一个随机变量X的概率函数或密度函数的最大值点称为X的最可能值．二项分布b (n, p)的最可能值为当(n+1)p不是正整数时,⎧[(n+1)p], k0=⎨np或np当np是正整数时(+1)(+1)−1,(+1).⎩这里[x]表示不超过x的最大整数．如[2.3] = 2，[3.14] = 3，[−1.2] = −2．⎛n⎞kn!n−k⎟p(1p)−=pk(1−p)n−k,0≤k≤n，证：若X ~ b (n, p)，有p(k)=⎜⎜k⎟k!(n−k)!⎝⎠则p(k)−p(k−1)=n!n!pk−1(1−p)n−k+1 pk(1−p)n−k−(k−1)!(n−k+1)!k!(n−k)!=1−p⎞n!⎛ppk−1(1−p)n−k⋅⎜−⎟ (k−1)!(n−k)!⎝kn−k+1⎠(n+1)p−kn!，pk−1(1−p)n−k⋅(k−1)!(n−k)!k(n−k+1)=当k < (n + 1) p时，有p (k) > p (k − 1)；当k > (n + 1) p时，有p (k) < p (k − 1)．如果(n + 1) p不是正整数，取k0 = [(n + 1) p]，有k0 < (n + 1) p，即p (k0) > p (k0 − 1)；且k0 + 1 > (n + 1) p，即p (k0 + 1) < p (k0)．故p (k0) 为最大值．如果(n + 1) p是正整数，取k0 = (n + 1) p，即p (k0) = p (k0 − 1)，故p (k0) 和p (k0 − 1) 都是最大值．如X ~ B (3, 0.5)，有(n + 1) p = 4 × 0.5 = 2是正整数，最可能值k0 = 2或1；X ~ B (5, 0.3)，有(n + 1) p = 6 × 0.3 = 1.8不是正整数，最可能值k0 = [1.8] = 1．三．二项分布的数学期望和方差⎛n⎞(n−1)!n!nn⎛n−1⎞⎟．组合数公式⎜==⋅=⎟，（n ≥ k > 0）⎜k−1⎟⎜k⎟k!⋅(n−k)!k(k−1)!⋅(n−k)!k⋅⎜⎠⎝⎝⎠二项分布b (n, p)的数学期望为nn⎛n−1⎞k−1⎛n⎞kn⎛n−1⎞kn−kn−k⎟⎟⎜⎟⎜E(X)=∑k⋅⎜(1)ppkp(1p)npp(1−p)n−k −=−=⋅⋅∑∑⎟⎟⎜⎜⎜k⎟k⎝k−1⎠k=0k=1k=1⎝k−1⎠⎝⎠n= np [ p + (1 − p)]n − 1 = np．又因nn⎛n⎞k⎛n−1⎞k⎛n⎞kn−kn−kn−k2⎟⎜⎟⎟⎜E(X)=∑k⋅⎜ppkk(1)()ppk(1)p(1−p)−+⋅−=−⋅∑∑⎜k⎟⎜k−1⎟⎜k⎟k=0k=0k=0⎝⎠⎠⎝⎝⎠2n2=∑(k2−k)⋅k=2nnn(n−1)⎛n−2⎞k⎟⎜p(1−p)n−k+E(X) ⎟⎜k(k−1)⎝k−2⎠=n(n−1)p2⎛n−2⎞k−2n−k⎟⎜p(1−p)+np ∑⎜k−2⎟k=2⎝⎠= n(n − 1) p2 [ p + (1 − p)]n − 2 + np = (n2 − n) p2 + np，故方差为Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = (n2 − n) p2 + np − (np)2 = − np2 + np = np (1 − p)．2.4.2. 泊松分布一．泊松分布泊松分布是一种理论推导的极限分布（成立的条件和推导过程见附录）．定义若随机变量X 的概率函数为k!则称X服从参数为λ 的泊松分布（Poisson’s Distribution），记为X ~ P (λ)．泊松分布的实际背景是已知平均发生次数为常数λ ，实际发生次数的概率分布．如足球比赛进球数，商店进店人数，电话接听次数等．非负性：λ > 0时，正则性：∑∞p(k)=λke−λ，k = 0, 1, 2, …… ；λ > 0，λkk!e−λ>0；λkk!⋅e−λ=eλ⋅e−λ=1．k=0例已知一场足球比赛的进球数X 服从参数λ = 2.3的泊松分布，求比分为0:0, 1:0以及总进球数超过5个的概率．2.3k−2.3解：因X ~ P(2.5)，则p(k)=e，k = 0, 1, 2, ……． k!2.30−2.3比分0:0，即X = 0，p(0)=e=e−2.3=0.100（查表）； 0!2.31−2.3比分1:0，即X = 1，p(1)=e=2.3e−2.3=0.331−0.100=0.231（查表）； 1!52.3k−2.32.3k−2.3总进球数超过5个，即X > 5，P{X>5}=∑．=1−∑e=1−0.970=0.030（查表）ekk!!k=6k=0∞例已知某公用电话每小时内打电话的人数X服从参数为λ = 8的泊松分布．求某一小时内无人打电话的概率，恰有10人打电话的概率，至少有10人打电话的概率．8k−8e．解：因X ~ P(8)，有P{X=k}=k!80−8无人打电话的概率P{X=0}=e=e−8=0.0003， 0!810−8恰有10人打电话的概率P{X=10}=e=0.816−0.717=0.099（查表）， 10!8k−8至少有10人打电话的概率P{X≥10}=∑．e=1−P{X≤9}=1−0.717=0.283（查表）k!k=10∞例已知某商店一天中某种贵重商品的销售件数X服从泊松分布P (7)，问该商店每天应该准备多少件该商品才能以99.9%以上的概率满足顾客需要？7k−7解：设准备了a件该商品，X ~ P(7)，则p(k)=e． k!事件“满足顾客需要”，即X ≤ a，有P{X ≤ a} ≥ 0.999，故查表可得a = 16．泊松分布P (λ )的最可能值为当λ不是正整数时,⎧[λ], k0=⎨⎩λ或λ−1,当λ是正整数时.证：若X ~ P(λ)，有p(k)=故p(k)−p(k−1)= λkk!−λe−λ,k=0,1,2,L，λkk!e−λk−1(k−1)!e−λλλ−k⎛λ⎞=e⋅⎜−1⎟=e−λ⋅，k(k−1)!⎝k⎠(k−1)!−λλk−1k−1当k < λ 时，有p (k) > p (k − 1)；当k > λ 时，有p (k) < p (k − 1)．如果λ 不是正整数，取k0 = [λ ] ，有k0 < λ ，即p (k0) > p (k0 − 1)；且k0 + 1 > λ ，即p (k0 + 1) < p (k0)．故p (k0) 为最大值．如果λ 是正整数，取k0 = λ ，即p (k0) = p (k0 − 1)，故p (k0) 和p (k0 − 1) 都是最大值．二．泊松分布的数学期望和方差泊松分布P (λ )的数学期望为E(X)=∑k⋅k=0∞λkk!e−λ=∑k=1∞λk(k−1)!e−λ=λe⋅∑−λk=1∞λk−1(k−1)!=λe−λ⋅eλ=λ，即泊松分布的参数λ 反映平均发生次数．又因E(X)=∑k⋅22k=0∞λkk!e−λ=∑(k−k)⋅2k=0∞λkk!e−λ+∑k⋅k=0∞λkk!e−λ=λe⋅∑2−λk=2∞λk−2(k−2)!+E(X)= λ 2 e −λ ⋅ e λ + λ = λ 2 + λ ，故方差为Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = λ 2 + λ − (λ )2 = λ ．三．二项分布的泊松近似二项分布与泊松分布的实际背景都是反映发生次数问题．下面的定理说明了二者之间的联系，泊松分布是二项分布的一种极限分布．定理（泊松定理）在n重伯努利试验中，记事件A在每次试验中发生的概率为与试验次数n有关的数pn ，如果当n → +∞ 时，有n pn → λ ，则⎛n⎞kλk−λn−klim⎜⎟pn(1−pn)=e．n→+∞⎜k⎟k!⎝⎠证：记λ n = n pn ，有limλn=λ，n→+∞因(1−pn)n−k=⎜1−⎛⎝λn⎞⎟n⎠n−k⎛−λn⎞=⎜1+⎟n⎠⎝n−λn(n−k)−λnn，−λn(n−k)⎛−λn⎞−λn=−λ，且lim⎜1+=e，lim⎟n→+∞n→+∞nn⎠⎝n−λn⎞⎛则lim(1−pn)n−k=lim⎜1+⎟n→+∞n→+∞n⎠⎝−λn(n−k)−λnnn=e−λ，⎛n⎞n(n−1)(n−k+1)nk⎛又因⎜=⎜1−⎜k⎟⎟=!!kk⎝⎝⎠1⎞⎛1⎞⎛k−1⎞k−1⎞⎛⎟，且lim⎜1−⎟L⎜1−⎟=1，⎟L⎜1−n→+∞nnn⎠⎝n⎠⎠⎠⎝⎝⎛n⎞knkkk−1⎞1⎞⎛n−kn−k⎛⎟故lim⎜ppppL(1)lim(1)11−=−−−⎜⎟⎜⎟nnnnn→+∞⎜k⎟n→+∞k!n⎠⎝n⎠⎝⎝⎠(npn)k⎛=lim⋅lim(1−pn)n−k⋅lim⎜1−n→+∞n→+∞n→+∞k!⎝1⎞⎛k−1⎞λk−λe．⎟=⎟L⎜1−n⎠⎝n⎠k!此定理表明对于二项分布b (n, p)，当n很大，p很小时，可用泊松分布P (λ ) 近似，其中λ = n p．例某地区每年人口意外死亡率为0.0001，现有60000人投保人身意外保险，求一年内因投保人意外死亡恰好赔付8人的概率以及赔付不超过5人的概率．解：设X表示“一年内因投保人意外死亡而赔付的人数”，X ~ B (60000, 0.0001)．5⎛60000⎞⎛60000⎞859992k60000−k⎟⎜PX则P{X=8}=⎜×0.0001×0.9999，{≤5}=，∑⎜8⎟⎜k⎟⎟×0.0001×0.9999k=0⎝⎝⎠⎠但显然计算很繁琐，为便于计算，用泊松分布近似．因n = 60000很大，p = 0.0001很小，λ = np = 6，有X~&P(6)，568−66k−6e=0.847−0.744=0.103，P{X≤5}≈∑e=0.446．故P{X=8}≈8!k=0k!2.4.3. 超几何分布一．超几何分布在N件产品中，有M件次品，从中不放回地取n件，以X表示取得的次品数．设X取值为k，一方面，显然有k ≤ n且k ≤ M，即k ≤ min{n, M}，另一方面，有k ≥ 0且n − k ≤ N − M，可得k ≥ M + n − N，即k ≥ max{0, M + n − N }．这样X的全部可能取值为l, l + 1, …, L，其中l = max{0, M + n − N }，L = min{n, M}，且⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟⎝⎠⎝⎠． P{X=k}=⎛N⎞⎜⎜n⎟⎟⎝⎠定义若随机变量X的概率函数为⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟⎝⎠⎝⎠，k = l, l + 1, …, L，l = max(0, n + M − N )，L = min(M, n)，M < N，n < N， p(k)= ⎛N⎞⎜⎜n⎟⎟⎝⎠则称X服从超几何分布（Hypergeometric Distribution），记为X ~ h (n, N, M)．超几何分布的实际背景是古典概型中的不放回抽样检验问题．注：有放回检验抽样问题对应的是二项分布．⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟⎝⎠⎝⎠>0；非负性：⎛N⎞⎜⎜n⎟⎟⎝⎠⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎟⎜⎟L⎜k⎟⎜n−k⎟⎝⎠⎝⎠=正则性：∑⎛N⎞k=0⎜⎜n⎟⎟⎝⎠注：比较(1 + x)(1 + x) M N −M⎛M⎞⎛N−M⎞⎛N⎞⎜∑⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟⎜⎜n⎟⎟k=l⎝⎠⎝⎠=⎝⎠=1．⎛N⎞⎛N ⎞⎜⎟⎜⎜n⎟⎜n⎟⎟⎝⎠⎝⎠L⎛M⎞⎛N−M⎞⎛N⎞与(1 + x)中x的系数可以证明∑⎜⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟=⎜⎜n⎟⎟．k=l⎝⎠⎝⎠⎝⎠NnL例一袋中有3个红球，2个白球，不放回地取出3个球，X表示取得的红球数．求X的概率分布．解：不放回抽样，N = 3，M = 2，n = 3，则X ~ h (3, 5, 3)．故X的全部可能取值为1, 2, 3，(l = max (0, n + M − N ) = 1，L = min(n, M) = 3)，⎛3⎞⎛2⎞⎛3⎞⎛2⎞⎛3⎞⎛2⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜2⎟⎜1⎟⎜3⎟⎟⎜⎜0⎟⎟⎜1⎟⎜2⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠=0.1．⎝⎠⎝⎠P{X=1}==0.3，P{X=2}==0.6，P{X=3}=⎛5⎞⎛5⎞⎛5⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎜3⎟⎜3⎟⎜3⎟⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠超几何分布h (n, N, M )的最可能值为M+1M+1⎧[(1)(1)+n+当不是正整数时,n⎪N+2N+2k0=⎨ M+1M+1M+1⎪(n+1)−1,当(n+1)或(n+1)是正整数时.N+2N+2N+2⎩⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟(N−M)!M!⎝⎠⎝⎠=1⋅证：若X ~ h(n, N, M)，有p(k)=，⋅⎛N⎞⎛N⎞k!(M−k)!(n−k)!(N−M−n+k)!⎜⎟⎜⎜n⎟⎜n⎟⎟⎝⎠⎝⎠故p (k ) − p (k − 1)=M!(N−M)!⎛N⎞⎜⎟k!(M−k)!(n−k)!(N−M−n+k)!⎜n⎟⎝⎠M!(N−M)!−M!(N−M)!⎛N⎞⎜⎟(k−1)!(M−k+1)!(n−k+1)!(N−M−n+k−1)!⎜n⎟⎝⎠[(M −k+1)(n−k+1)−k(N−M−n+k)] =⎛N⎞⎜⎟k!(M−k+1)!(n−k+1)!(N−M−n+k)!⎜n⎟⎝⎠M!(N−M)!⎛N⎞⎜⎟k!(M−k+1)!(n−k+1)!(N−M−n+k)!⎜n⎟⎝⎠=[(M+1)(n+1)−k(N+2)]． M+1M +1时，有p (k) > p (k − 1)；当k>(n+1)时，有p (k) < p (k − 1)． N+2N+2M+1M+1如果(n+1)不是正整数，取k0=[(n+1)， N+2N+2M+1M+1有k0<(n+1)，即p (k0) > p (k0 − 1)；且k0+1>(n+1)，即p (k0 + 1) < p (k0)． N+2N+2故p (k0) 为最大值． M+1M+1如果(n+1)是正整数，取k0=(n+1)，即p (k0) = p (k0 − 1)， N+2N+2故p (k0) 和p (k0 − 1) 都是最大值．二．超几何分布的数学期望和方差超几何分布h (n, N, M )的数学期望为当k<(n+1)L⎛M−1⎞⎛N−M⎞⎛M⎞⎛N−M⎞M⎛M−1⎞⎛N−M⎞⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎜∑⎟⎜n−k⎟⎟⎜⎜k−1⎟⎜k−1⎟⎜n−k⎟⎜k⎟⎜n−k⎟LLknMk=l⎝⎠=nM，⎝⎠⎠⎝⎠⎠⎝⎝⎠⎝E(X)=∑k⋅=⋅=∑k⋅NN⎛N−1⎞⎛N⎞N⎛N−1⎞k=lk=l⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜n−1⎟⎟⎜n⎟n⎜⎝⎠⎝n−1⎠⎝⎠又因⎛M⎞⎛N−M⎞⎛M⎞⎛N−M⎞⎛M⎞⎛N−M⎞⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜n−k⎟⎟⎜⎜k⎟⎜k⎟⎜n−k⎟L⎜k⎟⎜n−k⎟LL⎠⎝⎠⎠⎝⎝⎠⎠⎝⎝⎠22⎝2E(X)=∑k⋅+∑k⋅=∑(k−k)⋅⎛N⎞⎛N⎞⎛N⎞k=lk=lk=l⎜⎜⎟⎜⎟⎜n⎟⎟⎜n⎟⎜n⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠M(M−1)⎛M−2⎞⎛N−M⎞⎟⎜⎟⎜n−k⎟⎟⎜k2−k(k−1)⎜⎠⎠⎝⎝N(N−1)⎛N−2⎞⎜⎟⎜n(n−1)⎝n−2⎟⎠19=∑(k2−k)⋅k=lL+E(X)⎛M−2⎞⎛N−M⎞⎟⎜⎟⎜∑⎟⎜⎟⎜k2nk−−n(n−1)M(M−1)k=l⎝⎠+nM=n(n−1)M(M−1) +nM，⎝⎠⋅=N(N−1)NN(N−1)N⎛N−2⎞⎜⎟⎜n−2⎟⎝⎠L故方差为nM(n−1)(M−1)nMn2M2nM(N−M)(N−n)．Var(X)=E(X)−[E(X)]=+−=N(N−1)NN2N2 (N−1)22为了便于记忆，可将超几何分布与二项分布的数学期望和方差进行比较．二项分布b (n, p)：数学期望E (X ) = np，方差Var (X ) = np (1 − p)；超几何分布h (n, N, M )：数学期望E(X)=n可见分布h (n, N, M )中的MM⎛M⎞N−n，方差Var(X)=n；⎟⎜1−NN⎝N⎠N−1MN−n相当于二项分布b (n, p)中的p，方差修正因子为．NN−1三．超几何分布的二项近似直观上，当抽样个数n远小于M及N − M时，不放回抽样问题可近似看作有放回抽样问题，也就是此时超几何分布可用二项分布近似．M定理如果当N → +∞ 时，→p， (0 < p < 1)，则 N⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎟⎛n⎞⎜n−k⎟⎟⎜⎜k⎟⎠=⎜⎟pk(1−p)n−k．⎝⎠⎝lim⎜k⎟N→+∞⎛N⎞⎝⎠⎜⎜n⎟⎟⎝⎠⎛N⎞N(N−1)(N−n+1)Nn⎛1⎞⎛n−1⎞⎟11L证：因⎜−==−⎟，⎜⎟⎜⎜n⎟!!nnNN⎠⎠⎝⎝⎝⎠⎛M⎞Mk⎛1⎞⎛k−1⎞⎛N−M⎞(N−M)n−k且⎜⎜n−k⎟⎟=(n−k)!⎜k⎟⎟=k!⎜1−M⎟L⎜1−M⎟，⎜⎠⎝⎠⎝⎝⎠⎝⎠1⎛⎜1−N−M⎝n−k−1⎞⎞⎛⎟，⎟L⎜1−N−M⎠⎠⎝⎛M⎞⎛N−M⎞1⎞⎛1⎞⎛Mk⎛k−1⎞(N−M)n−k⎛n−k−1⎞⎟⎜⎟⎜−−−⋅−1111LL⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜k⎟⎜n−k⎟−−−!()!kMMnkNMNM⎝⎠⎝⎝⎠⎝⎠⎠⎠=lim⎝⎠⎝故limnN→+∞N→+∞1⎞⎛N⎛n−1⎞⎛N⎞⎜⎜1−⎟L⎜1−⎟⎜n⎟⎟!nNN⎝⎠⎝⎠⎝⎠1⎞⎛1⎞⎛k−1⎞⎛n−k−1⎞⎛⎟⎟L⎜1−⎟⋅⎜1−⎜1−⎟L⎜1−MMNMNM−−⎠⎠⎝⎠⎝⎠⎝⋅⎝1⎞⎛n−1⎞⎛⎜1−⎟L⎜1−⎟N⎠⎝N⎠⎝Mk(N−M)n−kn!=lim⋅N→+∞k!(n−k)!Nn⎛n⎞M⎞⎛M⎞⎛⎟lim1=⎜⋅−⎜⎟⎜⎟⎜k⎟N→+∞NN⎝⎠⎝⎠⎝⎠kn−k1⎞⎛1⎞⎛k−1⎞⎛n−k−1⎞⎛⎟⎟L⎜1−⎟⋅⎜1−⎜1−⎟L⎜1−MMNMNM−−⎠⎠⎝⎠⎝⎠⎝⋅lim⎝N→+∞1⎞⎛n−1⎞⎛⎜1−⎟L⎜1−⎟NN⎝⎠⎝⎠20⎛n⎞kn−k=⎜⎜k⎟⎟p(1−p)．⎝⎠此定理表明对于超几何分布h (n, N, M )，当抽样个数n远小于M及N − M时，可用二项分布b (n, p) 近似，其中p=M． N例某校有20000名学生，其中男生8000人，女生12000人，从中任选6人．求取到2个男生与4个女生的概率．⎛8000⎞⎛12000⎞⎜⎟⎜4⎟⎟⎜⎜2⎟⎠．⎝⎠⎝解：设X表示“选到的男生数”，有X ~ H (6, 20000, 8000)，可得p(2)=⎛20000⎞⎜⎜6⎟⎟⎝⎠但显然计算很繁琐，为便于计算，用二项分布近似．因n = 6较小，远小于M = 8000与N − M = 12000，且p=M=0.4，有X~&B(6,0.4)， N⎛6⎞24⎟×0.4×0.6=0.31104．故p(2)≈⎜⎜2⎟⎝⎠2.4.4. 几何分布与负二项分布一．几何分布在伯努利试验中，以X表示事件A首次发生时的试验次数，则X的全部可能取值为1, 2, …，且P{X = k} = (1 − p)k − 1 p．定义若随机变量X的概率函数为p (k) = (1 − p)k − 1 p，k = 1, 2, …；0 < p < 1，则称X 服从几何分布（Geometric Distribution），记为X ~ Ge ( p)．几何分布的实际背景是首次发生时的试验次数．非负性：(1 − p)k − 1 p > 0；正则性：∑(1−p)k−1p=k=1+∞p=1．1−(1−p)几何分布Ge ( p) 的最可能值显然是k0 = 1．二．几何分布的数学期望和方差令q = 1 − p，有p (k) = q k − 1 p．几何分布Ge ( p) 的数学期望为E(X)=∑kqk=1+∞k−1d(qk)d⎛+∞k⎞d⎛1⎞11⎟⎜⎜⎟，p=p⋅∑qpp=p⋅=⋅==⋅⎜∑⎟2⎜1−q⎟dqdqdqp(1)q−k=0⎝k=0⎠⎠⎝+∞又因E(X)=∑kq22k=1+∞k−1p=∑(k+k)q2k=1+∞k−1p−∑kqk=1+∞k−1d2(qk+1)p=p⋅∑−E(X) 2dqk=0+∞d2=p⋅2dq⎛+∞k+1⎞1212−pd2⎛q⎞1⎟⎜⎜⎟，−=⋅−=pqp−=⋅⎜∑⎟p⎟p2⎜32qp1−(1−)dqqp⎝k=0⎠⎠⎝21故方差为2−p⎛1⎞1−p⎜⎟−．Var(X)=E(X2)−[E(X)]2==2⎜p⎟p2p⎝⎠三．几何分布的无记忆性定理设X服从几何分布Ge ( p)，则对任意正整数m与n有P{X > m + n | X > m} = P{X > n}．证：因对于正整数k，有P{X>k}=2i=k+1∑(1−p)+∞i−1(1−p)kpp==(1−p)k，1−(1−p)P{X>m+n}(1−p)m+nn故P{X>m+n|X>m}===(1−p)=P{X>n}．P{X>m}(1−p)m此定理在已经试验m次事件A没有发生的条件下，继续试验n次仍没有发生的条件概率，等于试验n次A没有发生的概率．这称之为几何分布的无记忆性．四．负二项分布在伯努利试验中，以X表示事件A第r次发生时的试验次数，则X的全部可能取值为r, r + 1, …，且⎛k−1⎞k−rr⎟P{X=k}=⎜−pp． (1)⎜r−1⎟⎝⎠定义若随机变量X的概率函数为⎛k−1⎞k−rr p(k)=⎜⎜r−1⎟⎟(1−p)p，k = r, r + 1, …；0 < p < 1，⎝⎠则称X 服从负二项分布（Negative Binomial Distribution），记为X ~ Nb (r, p)．实际背景是第r次发生时的试验次数．当r = 1时，负二项分布Nb (1, p)就是几何分布Ge ( p)．注：二项分布是已知实验次数时，发生次数的分布；负二项分布是已知发生次数时，试验次数的分布．⎛k−1⎞k−rr非负性：⎜⎜r−1⎟⎟(1−p)p>0；⎝⎠⎛k−1⎞pr+∞dr−1(qk−1)pr+∞k−rrk−r正则性：∑⎜⎜r−1⎟⎟(1−p)p=(r−1)!∑(k−1)L(k−r+1)q=(r−1)!∑dqr−1 k=r⎝k=rk=1⎠+∞prdr−1=⋅r−1(r−1)!dq负二项分布Nb (r, p)的最可能值为∑qk=1+∞k−1prdr−1=⋅r−1(r−1)!dq⎛1⎞pr(r−1)!⎟⎜=⋅⎜1−q⎟(r−1)!(1−q)r=1．⎠⎝⎧⎡r−1⎤r−1,当不是正整数时,⎪1+⎢⎪⎣p⎥p⎦ k0=⎨rrr−1−1−1⎪1+,当或是正整数时.⎪ppp⎩⎛k−1⎞(k−1)!k−rrk−rr⎟(1−p)p=(1−p)p，证：若X ~ Nb (r, p)，有p(k)=⎜⎜r−1⎟(r−1)!⋅(k−r)!⎝⎠故p(k)−p(k−1)=(k−1)!(k−2)!(1−p)k−rpr−(1−p)k−r−1pr (r−1)!⋅(k−r)!(r−1)!⋅(k−r−1)! =(k−2)!(1−p)k−r−1pr[(k−1)(1−p)−(k−r)] (r−1)!⋅(k−r)!(k−2)!(1−p)k−r−1pr[(r−1)−(k−1)p]，(r−1)!⋅(k−r)!=当k<1+r−1r−1时，有p (k) > p (k − 1)；当k>1+时，有p (k) < p (k − 1)． pp如果⎡r−1⎤r−1不是正整数，取k0=1+⎢⎥， pp⎣⎦r−1r−1，即p (k0) > p (k0 − 1)；且k0+1>1+，即p (k0 + 1) < p (k0)． pp有k0<1+ 故p (k0) 为最大值．如果r−1r−1是正整数，取k0=1+，即p (k0) = p (k0 − 1)， pp故p (k0) 和p (k0 − 1) 都是最大值．负二项分布Nb (r, p) 的数学期望为⎛k−1⎞pr+∞pr+∞dr(qk)k−rrk−rE(X)=∑k⋅⎜⎜r−1⎟⎟(1−p)p=(r−1)!∑k(k−1)L(k−r+1) q=(r−1)!∑dqr k=rk=rk=0⎝⎠+∞prdr=⋅r(r−1)!dq又因 prdrq=⋅r∑(r−1)!dqk=0+∞k⎛1⎞prr!r⎟⎜=⋅=⎜1−q⎟(r−1)!(1−q)r+1p．⎠⎝+∞+∞⎛k−1⎞⎛k−1⎞⎛k−1⎞k−rrk−rrk−rr2⎟⎜⎟⎜⎟−=+⋅−−⋅−ppppkppkkE(X)=∑k⋅⎜(1)(1)(1)()∑∑⎜r−1⎟⎜r−1⎟⎜r−1⎟k=rk=rk=r⎝⎠⎝⎠⎝⎠2+∞2 pr+∞pr+∞dr+1(qk+1)rk−r=−(k+1)k(k−1)L(k−r+1)q−E(X)=∑∑r+1p(r−1)!k=r(r−1)!k=0dqprdr+1=⋅(r−1)!dqr+1∑qk=0+∞k+1prrdr+1−=⋅p(r−1)!dqr+1⎛q⎞rpr(r+1)!r⎟⎜−−=⋅⎜1−q⎟p(r−1)!(1−q)r+2p ⎠⎝=故方差为r(r+1)−rp， 2pr2+r−rp⎛r⎞r(1−p)⎜⎟−．Var(X)=E(X)−[E(X)]==⎜22⎟pp⎝p⎠222§2.5 常用连续分布2.5.1.均匀分布一．均匀分布的密度函数和分布函数某些随机变量分布在一个区间内，且其中处处都是等可能的．定义若连续型随机变量X的密度函数为⎧1⎪,a<x<b,(a < b)，p(x)=⎨b−a⎪其它.⎩0,则称X服从区间 (a, b) 上的均匀分布（Uniform Distribution），记为X ~ U (a, b)．其分布函数为。
概率论与数理统计教程(茆诗松)第7章厦大版
例 7.1.1
假定某电视机厂(甲方)要从某电子元件厂(乙方)购入一批元 件，用于组装电视机。为了保证产品质量，降低成本，甲方希 望这批元件的合格品率达到99%以上。乙方也保证这一点。问题 是பைடு நூலகம்这批元件的合格品率是否达到99%以上？ 如果记这批元件的次品率为p,问题就相当于对假设
H ：“ 整批产品的次品率 p 不超过 1 ” %
例7.1.1(续1)
具体的作法是甲、乙双方事先先商定要检测样品的总数 n 和样 品中允许的不合格品数目的临界值 k . 当检测出样品中的不合格品数达到 k 时，甲方就拒绝假设H，同 时也就拒绝这批元件。否则甲方就接受假设H，同时也就接受这 批元件。 这个决定接受或拒绝一个假设的过程就称为“检验”。 现在的问题是：如何确定n？ 在确定了n后，又如何确定 k？ 这两个问题的关键是在确定了n后，如何指定一个k，指定了一个 k也就确定了一个检验方案，它定得是否恰当关系到甲乙双方的 利益。 直观上容易想到，k定的越小，条件对乙方就越苛刻，反之k定 的越大，条件对乙方就越宽松，因此确定检验方案应有一种公 认的标准，而这种标准应体现客观、公正和科学的原则。统计 假设检验的理论为这种标准的建立提供了科学依据。
或
H 0：F (x)是N ( m ,s 2 )
零假设与备择假设的区别
在假设检验问题中，零假设和备择假设是一对相互排斥的假 设，从实际问题的背景来讲，区分零假设和备择假设是非常重 要的。 由于零假设是作为检验前提而提出来的，因此零假设通常应该 是受到保护的，没有充足的证据是不能被拒绝的。而只有在零 假设被拒绝时才能接受备择假设，因此零假设与备择假设不是 处于同等地位。 从相反的角度看，备择假设可能是我们真正感兴趣的，接受备 择假设可能意味着得到有某种特别意义的结论，或意味着采取 某种重要决断。因此对备择假设应取慎重态度，没有充足的证 据不能轻易接受。
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华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第33页
1.2.5 确定概率的几何方法
若 ① 样本空间充满某个区域， 其度量(长度、面 积、体积)为S；
② 落在中的任一子区域A的概率， 只与子区域的度量SA有关， 而与子区域的位臵无关 (等可能的). 则事件A的概率为: P(A)= SA /S
第一章 随机事件与概率
第31页
例1.2.2
n 个人围一圆桌坐， 求甲、乙两人相邻而坐的概率.
解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位臵可坐， 而“甲乙相邻”只有两种情况，所以 P(A) = 2/(n-1)。
18 December 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第32页
例1.2.3
n个人坐成一排， 求甲、乙两人相邻而坐的概率. (注意：请与上一题作比较)
若 A1，A2，……，An 有
1. Ai互不相容；
2. A1A2 ……An= Ω
则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
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第一章 随机事件与概率
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课堂练习
1. 若A 是 B 的子事件，则 AB = ( B )， AB = ( A )
2. 设 A 与B 同时出现时 C 也出现，则( ③ ) ① AB 是 C 的子事件； ② C 是 AB 的子事件； ③ AB 是 C 的子事件； ④ C 是 AB 的子事件.
第一章 随机事件与概率
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注 意
• 抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次
• Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)}
此样本空间中的样本点等可能. • Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
第一章 随机事件与概率
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例1.1.1
口袋中有a 个白球、b 个黑球，从中一个一个不返 回地取球。A = “取到最后一个是白球”， B = “取到最后一段是白球”。问 A 与 B 的关系？ 解：1) 显然，B 发生必然导致A发生，所以 BA;.
2) 又因为A发生必然导致B发生，所以 AB， 由此得 A = B.
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第一章 随机事件与概率
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注 意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
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第一章 随机事件与概率
第26页
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
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第一章 随机事件与概率
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1.1.7 事件域
设Ω为样本空间，F 是由Ω的子集组成的集合 类，若F 满足以下三点,则称 F 为事件域 1. ΩF ; 2. 若 AF ，则 A F ;
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则
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• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
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第一章 随机事件与概率Fra bibliotek第3页
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象. • 特点：1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现.
乘法原理
完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方 法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法， 则完成这件事共有 m1×m2×…×mn种不同的方法.
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第一章 随机事件与概率
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1.2.3 确定概率的频率方法
随机试验可大量重复进行. 进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数， n( A) 称 f n ( A) 为事件A的频率. n 频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值). 用频率的稳定值作为该事件的概率.
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1.2.2 排列与组合公式
• 从 n 个元素中任取 r 个，求取法数. • • • • • 排列讲次序，组合不讲次序. 全排列：Pn= n! 0! = 1. 重复排列：nr n! r 选排列： Pn n(n 1)......( n r 1) (n r )!
A
n 1
n
F .
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第一章 随机事件与概率
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§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小. • 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率. • 古典定义；几何定义.
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第一章 随机事件与概率
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记号
Ω φ AB AB=φ AB AB AB
概率论
样本空间, 必然事件 不可能事件 样本点 A发生必然导致B发生 A与B互不相容 A与B至少有一发生 A与B同时发生 A发生且B不发生 A不发生、对立事件
集合论
空间 空集 元素 A是B的子集 A与B无相同元素 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A的余集
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A
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注意点(1)
基本事件互不相容，基本事件之并=Ω
A A
A A Ω
A A
A
A A
A
A B A B
AB
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第一章 随机事件与概率
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 随机事件及其运算 概率的定义及其确定方法 概率的性质 条件概率 独立性
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§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 确定性现象
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注意点(2)
A B A B B, AB A
A B A AB
A B A ( B A) A ( B AB)
A AB AB
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样本空间的分割
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1.1.5 事件间的关系
包含关系： A B, A 发生必然导致 B 发生. 相等关系: A = B A B 而且 B A. 互不相容： A 和 B不可能同时发生.
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3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 则 A 的对立事件为（ ④ ） ① 甲种产品滞销，乙种产品畅销； ② 甲、乙两种产品均畅销； ③ 甲种产品滞销； ④ 甲种产品滞销或者乙种产品畅销. 4. 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位臵， 试说明下列各对事件间的关系 AB ① A ={|xa|＜σ}，B ={x a＜σ} ② A ={x＞20}， B ={x≤22} 相容 ③ A ={x＞22}， B ={x＜19} 不相容
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1.1.4 随机变量
表示随机现象结果的变量. 常用大写字母 X、Y、Z …表示.
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事件的表示
在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了，记为A. 维恩图 ( Venn ). 事件的三种表示 用语言、用集合、用随机变量.
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1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集. 5. 随机变量 表示随机现象结果的变量. 常用大写字母 X、Y、Z …表示.
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1.1.6 事件的运算
• • • • 并： A B 交： A B = AB 差： A B 对立： A A 与 B 至少有一发生 A 与 B 同时发生 A发生但 B不发生 A 不发生
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• 随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果
会表现出一定的规律性，这种规律性称之为 统计规律性.
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1.1.2 样本空间
1. 随机试验 (E) —— 对随机现象进行的实验与观察. 它具有两个特点：随机性、重复性. 2. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果. 3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合. 4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.