关于静电场电势零点选取的探讨

∫
p
p o
E ・ di必须是收敛的 。有了这
个条件 ,在实际的电势计算中 ,我们必须考虑具体的 情况 。 2. 1 点电荷电势零点的选取 一个点电荷 q在距离它为 r处的 P 点产生的电 势 Vp 。
π 4
1 1 〔 〕=
0
q
r
r0
π 4
0
r
,这样电场中的各点电势
就是一个关于 r的函数 , 给定一个 r, 该点的电势就 有了确定的值 。 可见 ,在计算点电荷产生的电势时 ,不能选取场 源电荷本身所在的位置为电势零点 (见讨论 1 ) , 通 常选取无限远处为电势零点 (见讨论 2 ) , 得出电场 中距离场源电荷为 r的一点的电势 : V p =
零点 ,则会得出 :
Vp = q
π 4
1 1 〔 - 〕 → - ∞,那么此时电场中任
0
r
r0
一点的电势都是一个趋于负无穷的值 , 这是没有意 义的 ,所以 ,不能选取场源电荷本身所在的位置为电 势零点 。
2. 通常选取无限远处即 r0 →∞ 处为电势零 , V p
= q
电势零点选取之后 , 电场中各点的电势应该具 有确定的值 ,并且具有物理意义 ,那么就要求计算电 势的定义式 : V p =
p r
∞
R
∞
R
2
R
1
的 ,因此在“ 无限长 ” 均匀带点直线的电场中不能选 无限远处为电势零点 。
2. 若选择轴线上 r = 0 处为电势零点 ,则 V p = E ・di =
p
r
∞
R
2
∫
0
0
0
由上例中可以看出 ,电荷分布在有限区域内 ,一 般情况下 , 可选择无限远处为电势零点 。先求出场 强的表达式 ,再利用电势和场强的关系 ,选择合适的 积分路径 ,计算出某一点的电势 。
2 静电场电势零点选取的受限性
点为电势零点 , p0 距离场源电荷 q的距离为 r0 ,则由 电势的计算式 : V p =
=
∫
p
p o
E ・di = 1
r -
E ・di ∫
r
r o
∫ π 4
r
r o
q
0
r
2
dr =
q
π 4
〔
0
1
r 0
〕
讨论 :
1. 如果此时选取 r0 = 0, 即场源电荷 q 处为电势
2. 3 无限大带电体电势零点的选取
λ ( ln0 - lnr) , ln0 也是无意义的 ,因此电 π 2 0 势零点选在轴线上也无法计算出电场中的电势分 布。
3. 若选择电场中任一点 p0 (到带电直线的距离
为 r0 )为电势零点 ,如图所示 ,则距带点直线为 r的 p 点的电势为
Vp =
p
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围空间激发的电势时 , 既不能选取无限远处为电势 零点 ,也不能选取带电直线上一点为电势零点 ,而只 能选在带点直线外一个距离带电直线有限远的确定 点上 。 ( 2 ) 式中 , 由于 r0 < ( 0, ∞) , 可选取 r0 = 1m , 则 ln1 = 0,也就是说将电势零点选在距带电直线为 1m λ 处 ,则 p 点的电势为 : V p = lnr, 此时电势的表 π 0 2 达式为最简 。 由上式看出 ,若细线带正电 (λ > 0 ) ,当场点到细 线的垂直距离 r < 1m 时 ,由于 lnr < 0,故该区域各点 的电势 VP > 0; 显然 , 在 r > 1m 的区域 , 各点的电势 VP < 0。可见 ,电势值是相对的 , 根据电势零点的不 同而变化 ,但是两点之间的电势差是绝对的 , 不随电 势零点的选取而变化 , 所以我们选择了合适的电势 零点以后就可以由电势差算出各点的电势值 。 例 2 电荷面密度为 σ的“ 无限大 ” 均匀带电平 面 ,求距平面为 r处 p 点的电势 。 由高斯定理知 ,“ 无限大 ” 均匀带电平面在两边 σ 产生的场强大小为 : E = 2 0 讨论 1. 如果选取无限远处为电势零点 , 则 , V p ∞ ∞ σ σ ( ∞ - r) ,会得出 Vp = E ・di = dr = p r 2 0 2 0
VA =
WA q0
=
A
E ・di ( 1 ) ∫
∞
( 1 )上式也是计算电场中某一点电势的定义式 ,
势差的绝对性来计算 。那么如何确定电荷分布延伸 到无限远处的带电体周围空间的电势值 , 下面将用 两个例子对此类问题做以探讨 。 例 1: 计算“ 无限长 ” 均匀带电直线电场的电势 分布 。 “ 无限长 ” 直线如图放置 ,其上电荷线密度为 λ 。 分析如下 : 如图所示建立直角坐标系 。将导线 所在的位置定义为 OY轴 ,我们可以在 OX 轴上距直 线为 r处任取一点 P,求出 P点的电势 。
无限大带电体 ,比如“ 无限长 ” 的导线 , 或者“ 无 限大 ” 的平面 ,“ 无限长 ” 的圆柱面等带电体 , 这些理 想化的物理模型 , 其上面的电荷分布延伸到无限远 处 ,在计算这些带电体在周围空间产生的电势时 ,就 不能选取无限远处为电势零点 , 而只能Baidu Nhomakorabea取其周围 一点有限远处为电势零点 , 利用电势的相对性和电
但前提是选择无限远处为电势能零点 。 2. 2 有限大的带电体通常可选择无限远处为 电势零点 有限大的带电体即对一个带电体来说 , 电荷分 布在有限的区域内 。带电体来周围存在电场 , 每点 都有确定的电场强度 ,在带电体附近空间 ,电场线密 集 ,根据场强和电势的关系可知 , 在带电体附近 , 电 势的变化率较大 , 并且随着距离的增大 , E 是减小 的 ,电势的变化率也变小 , 从无限远处看此带电体 , 可以将其看成是一个点电荷 , 那么在无限远处此带 电体产生的场强 E 可以近似的认为等于零 (即 E = 0 ) ,在无穷远这个区域内 ,可以认为是等势的 ,即 V ∞ = 0。那么对于有限大的带电体 ,通常选取无限远处 为电势零点 ( V ∞ = 0 ) , 电场中其他各点的电势值即 可确定 。 例如计算均匀带电球面电场中的电势分布 。 本例可以选取无限远处为电势零点 ( V ∞ = 0 ) 。 已知均匀带电球面在空间激发的电场强度的方向沿 半径向外辐射 ,电场强度的大小为 : r > R π 0 r2 4 E2 = 0 r < R 沿半径方向积分 , P点的电势为 :
E1 = r > R 时 , Vp =
p
q
由高斯定理可知 ,“ 无限长 ” 均匀带电直线周围 λ 任一点电场强度的大小 : E = π 0r 2 讨论 :
1. 若选择无限远处为电势零点 , 则带电直线外
∫
∞
E ・di =
r
∫ π 4
∞
q
0
r
2
dr =
q
任一点 P的电势为 : V p =
0
p
π 4
r
E ・di = ∫ ∫ π 2
在 r→∞ 远处 ,场强 E →0,现在假设选取任意一点 p0
收稿日期 : 2008 - 11 - 20 作者简介 : 孙云娟 ( 1981 —)女 ,河南师范大学新联学院教师 。
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第 21 卷 第 1 期 郑州铁路职业技术学院学报 Vol . 21 No. 1 2009 年 3 月 Journal of Zhengzhou Railw ay Vocational & Technical College M ar . 2009
r
∞
∞
λ
0
dr = r
λ π 2
0
( ln ∞ - ln r)
ln ∞是发散的 , 即电势值为无限大 , 是不合理
r < R 时 , 由于球内外电场强度的函数关系不 同 ,积分必须分段进行 ,即 Vp =
E ・di = E ・dr + E ・dr = 0 ・d r ∫ ∫ ∫ ∫ q q + dr = ∫ π R 4 π r 4
∫
p0
E ・di =
r
∫ π 2
ro
λ
0
dr = π r 2
λ
0
( lnr0 - lnr) ( 2 )
r0 取 ( 0, ∞) 的任意值 , 就可以计算出对应的 P
点的电势值 。 由此可见 ,在计算“ 无限长 ” 均匀带电直线在周
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∫
∫
版社 , 2004.
[ 2 ]程守洙 ,江之永 . 普通物理学 (第六版上册 ) [M ]. 北京 : 高等教育
出版社 , 2006.
[ 3 ]胡盘新 . 大学物理解题方法与技巧 [M ]. 上海 : 上海交通大学 , 2004. [ 4 ]谢桂香 . 静电场电势零点的选择 [ J ]. 长春师范学院学报 , 2007 ( 2) , 26 ( 1) .
q
我们知道 ,点电荷 q 在周围空间产生的场强的 大小 E =
q
π 4
0
r
。
电场中某一点的电势在数值上就等于单位正电 荷放在该点处的电势能 , 也等于单位正电荷从该点 经过任意路径到无限远处时电场力所做的功 。 例如表示电场中 A 点的电势 :
π 4
0
r
2
,可见 ,随着距离的增大 , E 是变小 ,
选在场源电荷 (即点电荷处 ) , 而要选在除此之外的 位置 。 ( 3 )在计算电荷分布为有限的带电体在周围空 间产生的电势时 , 一般选择无限远处一点为电势零 点。 ( 4 )电势零点选取的原则是使计算的电势值有 意义 ,并且使电势的表达式尽可能简洁 。 ( 5 )电势大小的正负与电势零点的选取密切相 关。 在理论上 ,计算一个有限大小的带电体所激发 的电场中各点的电势时 , 通常选无限远处的一点为 电势零点 , 但在实际问题中 , 常选择地球的电势为 零 ,其他带电体的电势都是相对于地球而言的 。这 样的规定有很多方便之处 : 一方面可以在任何地方 都能方便地和地球比较而确定各个带电体的电势 ; 另一方面 ,地球是一个半径很大的导体 ,在这样的导 体上增减一些电荷对其电势的影响是很小的 , 因此 地球的电势比较稳定 。在工业上 , 消除静音的重要 措施之一就是“ 接地 ” , 这使带电体的电势和地球一 致 ,带电体上的电荷就会传到地球上去而不会一直 积累起来 。为了安全用电 , 实验室中和工厂企业中 很多电气设备和仪器 (如马达 、 示波器等 ) 的外壳在 使用时也都接地 , 这样可以防止当电气设备因绝缘 不良而使外壳带电时引起的触电事故 。 总之 ,电势零点的选取具有灵活性 ,但是要根据 实际问题选择合适的电势零点 , 使得计算得出的电 势值有意义 ,并且得到最简的表达式 。 参考文献
关于静电场电势零点选取的探讨
孙云娟
(河南师范大学新联学院 河南新乡 453007 )
摘 要 : 电势是物理学中一个重要的概念 ,从理论上讲 ,在计算电势时 ,电势零点的选取是任意的 ,然而在 有些情况下 ,电势零点的选取却是受限制的 ,本文将探讨如何选取合适的电势零点 。 关键词 : 电势 无限远 电势零点 1 引言 静电场是一个保守场 ,电势是相对的物理量 ,电 势的大小取决于电势零点的选取 , 只有在确定了电 势零点之后 , 才能确定某一点的电势值 。从理论上 讲 ,电势零点和重力势能零点的选取一样 ,都是任意 的 。选择不同的电势零点 , 电场中某一点的电势就 具有不同的值 。但是 ,在实际电势的计算中 , 电势零 点的选取并不是任意的 ,也是有限制的 ,本文将具体 讨论静电场电势零点选取的受限性 , 以及针对不同 的带电体 ,如何选择电势零点 。
[ 1 ]王济民 ,罗春荣 ,陈长乐 . 新编大学物理 (上册 ) [M ]. 北京 : 科学出
∫
∫
→∞ 的结论 ,显然是不正确的 。 2. 选择有限远处 P0 点为电势零点 ,则由 , p0 ro σ σ ( r0 - r) , 当 r0 取 Vp = E ・di = dr = p r 2 0 2 0 ( 0, ∞)的任意一个值时 , p 点的电势具有相应的值 。 当 r0 →0 时 , 即 P0 点选择在无限大的均匀带电平面 σ 上 ,此时 , V p = r ,为最简的电势表达式 。 2 0 3 关于静电场电势零点的选取 由以上例题可以看出 ,虽然从理论上讲 , 在计算 电势时 ,电势零点的选取是任意的 ,但是要具体问题