最新导数在零点中的应用、根的个数问题
导数与函数的零点知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数与函数的零点一、知识梳理1.利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．二、例题精讲 + 随堂练习考点一判断零点的个数【例1】(2019·青岛期中)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x)x－4ln x的零点个数．解(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0. ∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a ＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)由(1)知g(x)＝x2－2x－3x－4ln x＝x－3x－4ln x－2，∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋3x2－4x＝(x－1)(x－3)x2，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0，当x>3时，g(e5)＝e5－3e5－20－2>25－1－22＝9>0.又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，故g(x)仅有1个零点．【训练1】已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝x＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.718 28….(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．(1)证明由题意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x，所以h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－2>0，所以h(1)h(2)<0，所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点．(2)解由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x.由g(x)＝x＋x知x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点．又h(x)在(1，2)内有零点，因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点．h′(x)＝e x－12x－12－1，记φ(x)＝e x－12x－12－1，则φ′(x)＝e x＋14x－32.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点，即h(x)在[0，＋∞)内至多有两个零点，则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2.考点二已知函数零点个数求参数的取值范围【例2】函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．解(1)函数f(x)＝ax＋x ln x的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝a＋ln x＋1，因为f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，当a＝－1时，f(x)＝－x＋x ln x，即f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.所以f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为y＝f(x)与y＝m＋1图象有两个不同的交点．由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，由题意得，m＋1>－1，即m>－2，①当0<x<e时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；当x>e时，f(x)>0.当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.由图象可知，m＋1<0，即m<－1，②由①②可得－2<m<－1.所以m的取值范围是(－2，－1)．【训练2】 已知函数f (x )＝e x ＋ax －a (a ∈R 且a ≠0)．(1)若f (0)＝2，求实数a 的值，并求此时f (x )在[－2，1]上的最小值； (2)若函数f (x )不存在零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意知，函数f (x )的定义域为R ， 又f (0)＝1－a ＝2，得a ＝－1，所以f (x )＝e x －x ＋1，求导得f ′(x )＝e x －1.易知f (x )在[－2，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增， 所以当x ＝0时，f (x )在[－2，1]上取得最小值2. (2)由(1)知f ′(x )＝e x ＋a ，由于e x >0， ①当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在R 上是增函数， 当x >1时，f (x )＝e x ＋a (x －1)>0； 当x <0时，取x ＝－1a ， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a <1＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －1＝－a <0. 所以函数f (x )存在零点，不满足题意． ②当a <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln(－a )． 在(－∞，ln(－a ))上，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 在(ln (－a )，＋∞)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 所以当x ＝ln(－a )时，f (x )取最小值．函数f (x )不存在零点，等价于f (ln(－a ))＝e ln(－a )＋a ln(－a )－a ＝－2a ＋a ln(－a )>0，解得－e 2<a <0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2，0)．考点三 函数零点的综合问题 【例3】 设函数f (x )＝e 2x －a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －ax (x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点；当a >0时，因为y ＝e 2x 单调递增，y ＝－ax 单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，假设存在b 满足0<b <a 4时，且b <14，f ′(b )<0， 故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明 由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0， 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)． 由于2e2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a .故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .【训练3】 (2019·天津和平区调研)已知函数f (x )＝ln x －x －m (m <－2，m 为常数)． (1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的最小值；(2)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，且x 1<x 2，证明：x 1·x 2<1.(1)解 f (x )＝ln x －x －m (m <－2)的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－xx ＝0， ∴x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，所以y ＝f (x )在(0，1)递增； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以y ＝f (x )在(1，＋∞)上递减．且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1－1e －m ，f (e)＝1－e －m ， 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －f (e)＝－2－1e ＋e>0， 函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的最小值为1－e －m .(2)证明 由(1)知x 1，x 2满足ln x －x －m ＝0，且0<x 1<1，x 2>1， ln x 1－x 1－m ＝ln x 2－x 2－m ＝0， 由题意可知ln x 2－x 2＝m <－2<ln 2－2. 又由(1)可知f (x )＝ln x －x 在(1，＋∞)递减，故x 2>2， 所以0<x 1，1x 2<1.则f (x 1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝ln x 1－x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2－1x 2 ＝ln x 2－x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2－1x 2 ＝－x 2＋1x 2＋2ln x 2.令g (x )＝－x ＋1x ＋2ln x (x >2)，则g ′(x )＝－1－1x 2＋2x ＝－x 2＋2x －1x 2＝－（x －1）2x 2≤0，当x >2时，g (x )是减函数，所以g (x )<g (2)＝－32＋ln 4.因32－ln 4＝ln e 324>ln 2.56324＝ln （1.62）324＝ln 1.634＝ln4.0964>ln 1＝0，∴g (x )<0，所以当x >2时，f (x 1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2<0， 即f (x 1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2.因为0<x 1，1x 2<1，f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 所以x 1<1x 2，故x 1x 2<1.三、课后练习1.直线x ＝t 分别与函数f (x )＝e x ＋1的图象及g (x )＝2x －1的图象相交于点A 和点B ，则|AB |的最小值为________. 解析 由题意得，|AB |＝|e t ＋1－(2t －1)| ＝|e t －2t ＋2|，令h (t )＝e t －2t ＋2，则h ′(t )＝e t －2，所以h (t )在(－∞，ln 2)上单调递减， 在(ln 2，＋∞)上单调递增， 所以h (t )min ＝h (ln 2)＝4－2ln 2>0， 即|AB |的最小值是4－2ln 2. 答案 4－2ln 22.若函数f (x )＝ax －ae x ＋1(a <0)没有零点，则实数a 的取值范围为________.解析 f ′(x )＝a e x －（ax －a ）e x e 2x ＝－a （x －2）e x (a <0).当x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0， ∴当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝ae 2＋1.若使函数f (x )没有零点，当且仅当f (2)＝ae 2＋1>0， 解之得a >－e 2，因此－e 2<a <0. 答案 (－e 2，0)3.(2019·保定调研)已知函数f (x )＝a 6x 3－a 4x 2－ax －2的图象过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，103.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－2m ＋3有3个零点，求m 的取值范围. 解 (1)因为函数f (x )＝a 6x 3－a 4x 2－ax －2的图象过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，103， 所以32a 3－4a －4a －2＝103，解得a ＝2，即f (x )＝13x 3－12x 2－2x －2， 所以f ′(x )＝x 2－x －2. 由f ′(x )>0，得x <－1或x >2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞). (2)由(1)知f (x )极大值＝f (－1)＝－13－12＋2－2＝－56， f (x )极小值＝f (2)＝83－2－4－2＝－163，由数形结合，可知要使函数g (x )＝f (x )－2m ＋3有三个零点， 则－163<2m －3<－56，解得－76<m <1312.所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，1312.4.已知函数f (x )的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示.当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 的零点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y ＝f (x )的大致图象如图所示.由于f (0)＝f (3)＝2，1<a <2，所以y ＝f (x )－a 的零点个数为4. 答案 D5.设函数f (x )＝ln x ＋m x (m >0)，讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数. 解 函数g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x >0)， 令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0). 设h (x )＝－13x 3＋x (x >0)，所以h ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1).当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0，此时h (x )在(0，1)内单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0，此时h (x )在(1，＋∞)内单调递减.所以当x ＝1时，h (x )取得极大值h (1)＝－13＋1＝23. 令h (x )＝0，即－13x 3＋x ＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝ 3. 作出函数h (x )的大致图象(如图)，结合图象知：①当m >23时，函数y ＝m 和函数y ＝h (x )的图象无交点.②当m ＝23时，函数y ＝m 和函数y ＝h (x )的图象有且仅有一个交点. ③当0<m <23时，函数y ＝m 和函数y ＝h (x )的图象有两个交点.综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23时，函数g (x )有且仅有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点.6.(2018·江苏卷改编)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点，求f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和. 解 f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )(a ∈R )， 当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立， 则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝1， 所以此时f (x )在(0，＋∞)内无零点，不满足题意. 当a >0时，由f ′(x )>0得x >a 3，由f ′(x )<0得0<x <a3，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上单调递增，又f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋1＝0，得a ＝3，所以f (x )＝2x 3－3x 2＋1，则f ′(x )＝6x (x －1)， 当x ∈(－1，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. 则f (x )max ＝f (0)＝1，f (－1)＝－4，f (1)＝0，则f (x )min ＝－4，所以f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3.7.已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的单调递增区间；(2)当0<－1a <e 时，若f (x )在区间(0，e)上的最大值为－3，求a 的值； (3)当a ＝－1时，试推断方程|f (x )|＝ln x x ＋12是否有实数根. 解 (1)由已知可知函数f (x )的定义域为{x |x >0}， 当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x (x >0)，f ′(x )＝1－xx (x >0)； 当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0. 所以f (x )的单调递增区间为(0，1).(2)因为f ′(x )＝a ＋1x (x >0)，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1a ； 由f ′(x )>0，解得0<x <－1a ；由f ′(x )<0，解得－1a <x <e.从而f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e ，所以，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3.解得a ＝－e 2.(3)由(1)知当a ＝－1时，f (x )max ＝f (1)＝－1， 所以|f (x )|≥1.令g (x )＝ln x x ＋12，则g ′(x )＝1－ln x x 2. 当0<x <e 时，g ′(x )>0； 当x >e 时，g ′(x )<0.从而g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减. 所以g (x )max ＝g (e)＝1e ＋12<1， 所以，|f (x )|>g (x )，即|f (x )|>ln x x ＋12，所以，方程|f (x )|＝ln x x ＋12没有实数根.。
考前归纳总结导数中的有关方程根的问题
导数中的有关方程根的问题一、常见基本题型：(1) 判断根的个数问题，常常转化为函数图象的交点个数问题，通过构造函数来求解，例1.已知函数221()ln(1),().1f x x g x a x =+=+-求方程()()f x g x =的根的个数. 解： 令221()()()ln(1)1h x f x g x x a x =-=+--- '2222222211()21(1)1(1)x x h x x x x x x ⎡⎤=+=+⎢⎥+-+-⎣⎦当[0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，'()0h x ≥当(,1)(1,0)x ∈-∞-⋃-时，'()0h x <因此，()h x 在(,1),(1,0)-∞--时，()h x 单调递减，在(0,1),(1,)+∞时，()h x 单调递增.又()h x 为偶函数，当(1,1)x ∈-时，()h x 极小值为(0)1h a =-当1x -→-时，()h x →-∞， 当1x +→-时，()h x →+∞当x →-∞时，()h x →+∞， 当x →+∞时，()h x →+∞故()()f x g x =的根的情况为：当10a ->时，即1a <时，原方程有2个根；当10a -=时，即1a =时，原方程有3个根；当10a -<时，即1a >时，原方程有4个根（2）已知方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的 个数问题其实质也是方程根的问题。
例1.已知32()(),(,f x ax bx b a x a b =++-是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，（1）求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少存在一个零点；（2）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x的方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值 范围.解：（1）证明：因为2()32f x ax bx b a '=++-当0a =时，12x =-符合题意； 当0a ≠时，2321b b x x a a ++-，令b t a =，则2321x tx t ++- 令2()321h x x tx t =++-，11()024h -=-<， 当1t >时，(0)10h t =->， ()y h x ∴=在1(,0)2-内有零点；当1t ≤时，(1)210h t -=-≥>，()y h x ∴=在1(1,)2--内有零点.∴当0a ≠时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点. 综上可知，函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点（2） 因为32()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以3()f x ax ax =-，2()3f x ax a '=-. 又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =，即3()f x x x =-.()f x ∴在(,),()33-∞-+∞上是单调递增函数，在[上是单调递减函数，由()0f x =解得1x =±，0x =，由1()4f x x =-解之得0x x ==作()y f x =与14y x =-的图知交点横坐标为02x x =±=当383[(0,){}x ∈时，过14y x =-图象上任意一点向左作平行于 x 轴的直线与()y f x =都只有唯一交点，当x 取其它任何值时都有两个或没有交点。
导数与不等式的证明及函数零点、方程根的问题
05 总结与展望
导数与不等式证明及函数零点、方程根问题的总结
导数与不等式证明
导数是研究函数性质的重要工具，通过导数可以研究函数的单调性、极值和最值等。不等 式证明则是数学中常见的题型，利用导数可以证明不等式，如AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式等。
函数零点问题
函数的零点是指满足$f(x)=0$的$x$值。研究函数的零点对于理解函数的性质和解决方程 的根的问题具有重要意义。通过导数可以研究函数的零点个数和位置，以及零点附近的函 数性质。
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• 应用领域的拓展：导数与不等式证明及函数零点、方程根的问题不仅在数学领 域有广泛应用，在其他学科和工程领域也有着重要的应用价值。例如，在经济 学、物理学和社会科学等领域，这些问题都可能成为重要的研究课题。
• 与其他数学分支的交叉融合：随着数学各分支之间的交叉融合，导数与不等式 证明及函数零点、方程根的问题可能会与其他数学分支产生更多的交叉点。例 如，与概率论、统计学和复分析等领域的结合可能会产生新的研究方向和应用 场景。
导数在求解函数零点、方程根中的注意事项
注意定义域
在使用导数研究函数性质 时，需要注意函数的定义 域，确保导数在定义域内 连续。
考虑多解情况
在求解函数零点或方程根 时，需要注意多解情况， 全面考虑所有可能的解。
注意函数的奇偶性
在利用导数研究函数性质 时，需要注意函数的奇偶 性，以便更准确地判断函 数的性质。
不等式
不等式是表示两个数或两个量之 间大小关系的数学表达式。
导数与不等式的性质
01
导数大于零，函数在该区间内单 调递增；导数小于零，函数在该 区间内单调递减。
02
不等式的基本性质包括传递性、 加法性质、乘法性质等。
利用导数求解函数的零点或方程的根的问题
高中数学：利用导数求解函数的零点或方程的根的问题(2019·石家庄模拟)已知函数f (x )＝2a 2ln x －x 2(a ＞0)．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)讨论函数f (x )在区间(1，e 2)上零点的个数(e 为自然对数的底数)． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2ln x －x 2，∴f ′(x )＝2x －2x ，∴f ′(1)＝0，又f (1)＝－1，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋1＝0.(2)∵f (x )＝2a 2ln x －x 2，∴f ′(x )＝2a 2x －2x ＝2a 2－2x 2x ＝－2(x －a )(x ＋a )x， ∵x ＞0，a ＞0，∴当0＜x ＜a 时，f ′(x )＞0，当x ＞a 时，f ′(x )＜0.∴f (x )在(0，a )上是增函数，在(a ，＋∞)上是减函数．(3)由(2)得f (x )max ＝f (a )＝a 2(2ln a －1)．讨论函数f (x )的零点情况如下：①当a 2(2ln a －1)＜0，即0＜a ＜e 时，函数f (x )无零点，在(1，e 2)上无零点；②当a 2(2ln a －1)＝0，即a ＝e 时，函数f (x )在(0，＋∞)内有唯一零点a ，而1＜a ＝e ＜e 2，∴f (x )在(1，e 2)内有一个零点；③当a 2(2ln a －1)＞0，即a ＞e 时，由于f (1)＝－1＜0，f (a )＝a 2(2ln a －1)＞0，f (e 2)＝2a 2lne 2－e 4＝4a 2－e 4＝(2a －e 2)(2a ＋e 2)，当2a －e 2＜0，即 e ＜a ＜e 22时，1＜e ＜a ＜e 22＜e 2，f (e 2)＜0，由函数的单调性可知，函数f (x )在(1，a )内有唯一零点x 1，在(a ，e 2)内有唯一零点x 2，∴f (x )在(1，e 2)内有两个零点．当2a －e 2≥0，即a ≥e 22＞e 时，f (e 2)≥0，而且f (e)＝2a 2·12－e＝a 2－e ＞0，f (1)＝－1＜0，由函数的单调性可知，无论a ≥e 2，还是a ＜e 2，f (x )在(1，e)内有唯一的一个零点，在(e ，e 2)内没有零点，从而f (x )在(1，e 2)内只有一个零点．综上所述，当0＜a ＜e 时，函数f (x )无零点；当a ＝e 或a ≥e 22时，函数f (x )有一个零点； 当e ＜a ＜e 22时，函数f (x )有两个零点．利用导数研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法．借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点．对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．(3)构造函数法研究函数零点．①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．(2019·南京模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋12ax 2－(a ＋1)x (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的零点个数．(2)若关于x 的方程f (x )＝12ax 2有两个不同实根x 1，x 2，求实数a的取值范围并证明x 1·x 2＞e 2.解：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋12x 2－2x (x ＞0)，f ′(x )＝1x ＋x －2＝(x －1)2x ≥0，所以函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又因为f (1)＝－32＜0，f (4)＝ln4＞0，所以函数y ＝f (x )有且仅有一个零点．(2)方程f (x )＝12ax 2有两个不同实根x 1，x 2，等价于ln x －(a ＋1)x＝0有两个不同实根x 1，x 2，得a ＋1＝ln x x ，令φ(x )＝ln x x ，则φ′(x )＝1－ln x x 2，所以φ(x )＝ln x x 在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以当x ＝e 时，φ(x )＝ln x x 取得最大值1e ，由φ(1)＝0，得当x ∈(0,1)时，φ(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)，φ(x )＞0，φ(x )的大致图象如图所示，所以当a ＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，即－1＜a ＜1e －1时， f (x )＝12ax 2有两个不同实根x 1，x 2.证明：不妨设0＜x 1＜x 2，ln x 1＝(a ＋1)x 1，ln x 2＝(a ＋1)x 2，两式相加得ln(x 1x 2)＝(a ＋1)(x 1＋x 2)，两式相减得ln x 2x 1＝(a ＋1)(x 2－x 1)， 所以ln (x 1x 2)ln x 2x 1＝x 1＋x 2x 2－x 1. 要证x 1·x 2＞e 2，只需证ln(x 1x 2)＝x 1＋x 2x 2－x 1·ln x 2x 1＞2， 即证ln x 2x 1＞2(x 2－x 1)x 1＋x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－11＋x 2x 1， 设t ＝x 2x 1(t ＞1)， 令F (t )＝ln t －2(t －1)1＋t ＝ln t ＋4t ＋1－2， 则F ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2＞0， 所以函数F (t )在(1，＋∞)上单调递增，且F (1)＝0，所以F (t )＞0，即ln t ＞2(t －1)1＋t， 所以x 1·x 2＞e 2.。
利用导数研究零点问题及方程的根的问题(学生版)
利用导数研究零点问题及方程的根的问题1.已知函数f x =x cos x +14x 2，f ′x 为f x 的导函数．(1)若x ∈0,π2 ,f x ≥mx 2成立，求m 的取值范围；(2)证明：函数g x =f ′x +cos x 在0,π2 上存在唯一零点．2.已知函数f x =e x+ae x-a-1x-2a∈R(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若a∈(-∞,2]，求函数f(x)在区间(-∞,2]上的零点个数.3.设函数f x =x2-ax+2sin x.(1)若a=1，求曲线y=f x的斜率为1的切线方程；(2)若f x 在区间0,2π上有唯一零点，求实数a的取值范围.4.已知f x =e x-2x.(1)求f x 的单调区间；上无实数解(2)证明：方程f x =cos x在-π2,05.已知函数f(x)=e x+sin x-cos x，f (x)为f(x)的导数.(1)证明：当x≥0时，f (x)≥2；(2)设g x =f x -2x-1，证明：g(x)有且仅有2个零点.6.已知函数f x =x2e x-a ln x，a≠0．(1)若a=1e，分析f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．7.已知函数f x =x -2 e x -ax +a ln x a ∈R ．(1)当a =-1时，求函数f x 的单调区间；(2)当a <e 时，讨论f x 的零点个数．8.函数f x =x -2 e x ,g x =13ax 3-12x 2-x +4a sin x +x +1 ln x +1 ,a >0.(1)求函数f x 在x ∈-1,2 的值域；(2)记f x ,g x 分别是f x ,g x 的导函数，记max m ,n 表示实数m ,n 的最大值，记函数F x =max f x ,g x ，讨论函数F x 的零点个数.9.设函数f x =-12x2+a-1x+a ln x+a2，a>0．(1)若a=1，求函数f x 的单调区间和最值；(2)求函数f x 的零点个数，并说明理由．10.已知函数f x =x-2sin x．(1)求f x 在0,π的极值；(2)证明：函数g x =ln x-f x 在0,π有且只有两个零点．11.已知函数f(x)=ax2-x-ln x．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在定义域内有两个不相等的零点x1,x2．①求实数a的取值范围；②证明：f x1+x2．>2-ln x1+x212.已知函数f x =e x-1-ln x-ax，a∈R.(1)当a=e-12时，求函数f x 的单调性；(2)当a>0时，若函数f x 有唯一零点x0，证明：1<x0<2.13.已知函数f x =sin x -x +a cos x ，函数g x =13x 3+12ax 2，其中a≥0.(1)判断函数f x 在0,π 上的单调性，并说明理由；(2)证明：曲线y =f x 与曲线y =g x 有且只有一个公共点.14.已知函数f x =3xx+3，g x =b sin x，曲线y=f x 和y=g x 在原点处有相同的切线l．(1)求b的值以及l的方程；(2)判断函数h x =f x -g x 在0,+∞上零点的个数，并说明理由．15.已知函数f (x )=ax ln x -2x ．(1)若f (x )在x =1处取得极值，求f (x )的单调区间；(2)若函数h (x )=f (x )x-x 2+2有1个零点，求a 的取值范围．16.已知f x =x2-x,x≥-1x+3,x<-1，g x=ln x+a．(1)存在x0满足：f x0=g x0，f x0=g x0，求a的值；(2)当a≤4时，讨论h x =f x -g x 的零点个数．17.已知函数f(x)=ln x-a+1x，g(x)=a(x-2)e1-x-1，其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0<a<53时，是否存在x1,x2，且x1≠x2，使得f x i =g x i (i=1,2)？证明你的结论.18.设函数f x =ae x+sin x-3x-2，e为自然对数的底数，a∈R.(1)若a≤0，求证：函数f x 有唯一的零点；(2)若函数f x 有唯一的零点，求a的取值范围.19.已知函数f x =e x -2a x a >0 .(1)若a =e ，讨论f x 的单调性；(2)若x 1，x 2是函数f x 的两个不同的零点，证明：1<x 1+x 2<2ln a +ln2.20.已知函数f x =log a x-x-1x+1,a>0且a≠1.(1)若a=e，求曲线y=f x 在点1,f1处的切线方程；(2)讨论函数f x 的零点个数.21.已知函数f x =a ln x +x +1x，其中a >0.(1)当a =1时，求f x 的最小值；(2)讨论方程e x +e -x -a ln ax -1ax =0根的个数.22.已知函数f x =x +b e x -a ．(b >0)在-1,f -1 处的切线l 方程为e -1x +ey +e -l =0．(1)求a ，b ，并证明函数y =f x 的图象总在切线l 的上方(除切点外)；(2)若方程f x =m 有两个实数根x 1，x 2．且x 1<x 2．证明：x 2-x 1≤1+m 1-2e 1-e．23.已知函数f x =ax+ln x，其中a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若过点P(1，0)且与曲线y=f x 相切的直线有且仅有两条，求实数a的取值范围.24.已知函数f (x )=(x -1)e x -ax 2+b ．(1)讨论f (x )的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f (x )只有一个零点①12<a ≤e 22,b >2a ；②0<a <12,b ≤2a ．25.已知函数f x =e x 1+a ln x ．(1)当f x 有两个极值点时，求a 的取值范围；(2)若a ≥32，且函数f x 的零点为x 1，证明：导函数f x 存在极小值点，记为x 2，且x 1>x 2．26.函数f(x)=x-sin x-cos x．上的极值；(1)求函数f(x)在-π,π2(2)证明：F(x)=f(x)-ln x有两个零点．27.已知函数f(x)=e x-a sin x-1在区间0,π2内有唯一极值点x1.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：f(x)在区间(0,π)内有唯一零点x2，且x2<2x1.28.已知函数f(x)=e x-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．29.已知函数f x =x3+bx 2x.(1)当b=0时，求f x 的单调区间；(2)设函数g x =2x f x +c在x=2处的切线与x轴平行，若g x 有一个绝对值不大于4的零点，证明：g x 所有零点的绝对值都不大于4.30.已知函数f(x)=ae2x-x2,a∈R．(1)设f(x)的导函数为g(x)，讨论g(x)零点的个数；(2)设f(x)的极值点为x1,x2x1<x2，若ee-2x1+x2≥λx1x2恒成立，求实数λ的取值范围．31.已知函数f x =e mx +nx m ≠0 ．当m =1时，曲线y =f x 在点0,f 0 处的切线与直线x -y +1=0垂直．(1)若f x 的最小值是1，求m 的值；(2)若A x 1,f x 1 ，B x 2f x 2 x 1<x 2 是函数f x 图象上任意两点，设直线AB 的斜率为k ．证明：方程f x =k 在x 1,x 2 上有唯一实数根．32.已知函数f x =xe nx -nx (n ∈N *且n ≥2)的图象与x 轴交于P ，Q 两点，且点P 在点Q 的左侧．(1)求点P 处的切线方程y =g x ，并证明：x ≥0时，f x ≥g x ．(2)若关于x 的方程f x =t (t 为实数)有两个正实根x 1,x 2，证明：x 1-x 2 <2t n ln n +ln n n．33.已知函数f x =xe x -a sin x a ∈R ．(1)若∀x ∈0,π，f x ≥0，求a 的取值范围；(2)当a ≥-59时，试讨论f x 在0,2π 内零点的个数，并说明理由．34.已知函数f(x)=a ln x．(1)记函数g(x)=x2-(a+2)x+f(x)，当a>2时，讨论函数g(x)的单调性；(2)设h(x)=f(x)-x2，若h(x)存在两个不同的零点x1,x2，证明：2e<a<x12 +x22(e为自然对数的底数)．35.已知函数f x =3x -1 e x -32ax 2．其中实数a ∈0,+∞ ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)求证：关于x 的方程f x +32=32ax 2-x 3有唯一实数解．。
导数研究函数零点问题
利用导数研究方程的根函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 1、已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2112y x x =++有唯一公共点. 【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数x x g ln )(=,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g'.1(1)g'x1(x)g'==⇒=k .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 (Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线1212++=x x y 有唯一公共点,过程如下.0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('===-=--=h h h e x h x h x e x h x x ，，且的导数 因此,所以,曲线y=f(x)与曲线1212++=x x y 只有唯一公共点(0,1).(证毕) 2、已知函数()1x af x x e=-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)求函数()f x 的极值; (2)当1a=的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.(1)()1x a f x e'=-, ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值. ②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =.(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>.所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值.综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值;当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值.(2)当1a=时,()11x f x x e=-+. 直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于关于x 的方程111x kx x e-=-+在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11x k x e-=(*)在R 上没有实数解.①当1k=时,方程(*)可化为10x e =,在R 上没有实数解. ②当1k ≠时,方程(*)化为11x xe k =-.令()x gx xe =,则有()()1x g x x e '=+. 令()0g x '=,得1x =-,当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:当1x =-时,()min g x e=-,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()gx 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时,方程(*)无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e -.综上,得k 的最大值为1. 3、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数． （1） 求实数k 的取值范围；（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．解：（1）由题意x k x x f )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，∴0)1()(2>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立即x k<+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， 令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，①当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意… ②当1<k 时，)(x h ，)(x h '随x 的变化情况如下表：由于02<，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2<---k k k ∴⎩⎨⎧>--<02212k k k ，解得31-<k 综上，所求k 的取值范围为31-<k4、 已知函数()()ln ()x f x e a a =+为常数是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[一1，1]上的减函数． (I)求a 的值； (II) 若()21gx t t λ≤++在x ∈[一1，1]上恒成立，求t 的取值范围． (Ⅲ) 讨论关于x 的方程2ln 2()xx ex m f x =-+的根的个数。
高三复习：利用导数研究函数的零点或方程的根(个人备选,经典实用) (1)
- 1 - ．专题．．】．利用导数研究函数的零点或方程的根．．．．．．．．．．．．．．．．专题概述：研究方程根、函数零点或图象交点的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．1.利用导数研究方程根(函数零点)的技巧(1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等. (2)根据题目要求,画出函数图像的走势规律,标明函数极(最)值的位置.(3)利用数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 2.已知函数零点个数求参数的常用方法(1)分离参数法:首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分类讨论法:结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小范围并在一起,即为所求参数范围. 3.处理函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题的常用方法(1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况;(2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,通过构造函数y=f(x)-g(x),利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.4.判断函数零点个数的常用方法(1)直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x 轴交点的个数问题． (2)分离出参数，转化为a ＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线y ＝a 与函数y ＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a 与函数g(x)的极值和最值进行比较即可．1.若函数f(x)=x 3-3x+a 有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是( C )A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.D.【解析】选C.因为f ′(x)=3x 2-3=3(x+1)(x-1).当x<-1时,f ′(x)>0,当-1<x<1时,f ′(x)<0,当x>1时,f ′(x)>0,所以当x=-1时,f(x)有极大值,当x=1时,f(x)有极小值.要使f(x)有3个不同的零点,只需解得-2<a<2.2.若函数f(x)=xlnx-a 有两个零点,则实数a 的取值范围为 ( C ) A.B.C. D. 【解析】选C.函数的定义域为(0,+∞),由f(x)=0得a=xlnx,记g(x)=xlnx. 则g ′(x)=lnx+1,由g ′(x)>0得x>,由g ′(x)<0得0<x<.所以g(x)在上单调递减,在上单调递增,- 2 - 且g(x)min =g()=-,由图可知-<a<0.3.(2021·石嘴山模拟)若函数f(x)=x 2e x-a 恰有3个零点,则实数a 的取值范围是( B ) A.B.C.(0,4e 2) D.(0,+∞) 【解析】选B.函数f(x)=x 2e x -a 的导数为f ′(x)=2xe x +x 2e x =xe x (x+2),令f ′(x)=0,则x=0或-2,函数在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,所以0或-2是函数f(x)的极值点,函数的极值为:f(0)=0-a=-a,f(-2)=4e -2-a=-a,函数f(x)=x 2e x -a 恰有三个零点,则实数a 的取值范围是.4.(2019届宜州调研)设f(x)＝|lnx|，若函数g(x)＝f(x)－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1eB.⎝⎛⎭⎫ln 22，eC.⎝⎛⎭⎫0，ln 22D.⎝⎛⎭⎫ln 22，1e解析：选D.令y 1＝f(x)＝|lnx|，y 2＝ax ，若函数g(x)＝f(x)－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则y 1＝f(x)＝|lnx|与y 2＝ax 的图象(图略)在区间(0，4)上有三个交点．由图象易知，当a ≤0时，不符合题意；当a>0时，易知y 1＝|lnx|与y 2＝ax 的图象在区间(0，1)上有一个交点，所以只需要y 1＝|lnx|与y 2＝ax 的图象在区间(1，4)上有两个交点即可，此时|lnx|＝lnx ，由lnx ＝ax ，得a ＝ln x x .令h(x)＝ln xx ，x ∈(1，4)，则h ′(x)＝1－ln x x 2，故函数h(x)在(1，e)上单调递增，在(e ，4)上单调递减，h(e)＝ln e e ＝1e ，h(1)＝0，h(4)＝ln 44＝ln 22，所以ln 22<a<1e，故选D ．5.已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ D ） A.()0,eB.()0,2eC.(,)e +∞D.(2,)e +∞【答案】D 【解析】函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点， 等价于()xh x xe =与1()()2g x m x =-有两个不同的交点，()g x 恒过点1(,0)2，设()g x 与()h x 相切时切点为(,)aa ae ，因为()(1)x h x e x '=+，所以切线斜率为(1)a e a +，则切线方程为(1)()a ay ae a e x a -=+-，当切线经过点1(,0)2时，解得1a =或12a =-（舍），此时切线斜率为2e ，由函数图像特征可知：函数()2xm f x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则实数m 的取值范围是(2,)e +∞，故选D ．6.若函数f(x)＝ax －aex ＋1(a<0)没有零点，则实数a 的取值范围为____(－e 2，0)____．- 3 - 解析：f ′(x)＝ae e 2x ＝e x.当a<0时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ f(x) 极小值若使函数f(x)没有零点，当且仅当f(2)＝ae2＋1>0，解得a>－e 2，所以此时－e 2<a<0，故实数a 的取值范围为(－e 2，0)．答案：(－e 2，0)7.已知f(x)＝1x ＋e x e －3，F(x)＝lnx ＋e xe－3x ＋2.(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．解：(1)f′(x)＝－1x 2＋e x e ＝x 2e x －eex 2，令f′(x)＞0，解得x ＞1，令f′(x)<0，解得0<x<1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)F′(x)＝f(x)＝1x ＋e xe－3，由(1)得∃x 1，x 2，满足0<x 1<1<x 2，使得f(x)在(0，x 1)上大于0，在(x 1，x 2)上小于0，在(x 2，＋∞)上大于0，即F(x)在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增， 而F(1)＝0，当x →0时，F(x)→－∞，当x →＋∞时，F(x)→＋∞， 画出函数F(x)的草图，如图所示．故F(x)在(0，＋∞)上的零点有3个．8.已知函数f(x)＝xln x＋ax ，x>1.(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝2，求函数f(x)的极小值；(3)若方程(2x －m)ln x ＋x ＝0，在(1，e]上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．[解析](1)f ′(x)＝ln x －1ln 2x ＋a ，由题意可得f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1ln 2x －1ln x ＝221ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-x －14.∵x ∈(1，＋∞)，∴ln x ∈(0，＋∞)，∴当1ln x －12＝0时，函数t ＝221ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-x －14的最小值为－14，∴a ≤－14. 故实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,(2)当a ＝2时，f(x)＝xln x ＋2x ，f ′(x)＝ln x －1＋2ln 2x ln 2x，令f ′(x)＝0，得2ln 2x ＋lnx －1＝0，解得lnx ＝12或lnx ＝－1(舍)，即x ＝e 12.当1<x<e 12时，f ′(x)<0，当x>e 12时，f ′(x)>0，∴f(x)的极小值为f(e 12)＝e 1212＋2e 1e ＝4e 12.(3)将方程(2x －m)lnx ＋x ＝0两边同除以lnx 得(2x －m)＋x ln x ＝0，整理得xln x＋2x ＝m ，即函数g(x)＝xln x＋2x 的图象与函数y ＝m 的图象在(1，e]上有两个不同的交点．- 4 - 由(2)可知，g(x)在(1，e 12)上单调递减，在(e 12，e]上单调递增，g(e 12)＝4e 12，g(e)＝3e ，在(1，e]上，当x →1时，x ln x →＋∞，∴4e 12<m ≤3e ，故实数m 的取值范围为(4e 12，3e]． 9.(2020年高考全国Ⅲ卷文数20)已知函数()32f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性：（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．【答案】（1）详见解析；(2)4(0,)27． 【思路导引】（1）'2()3f x x k =-，对k 分0k ≤和0k >两种情况讨论即可；（2）()fx 有三个零点，由（1）知0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解不等式组得到k 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可．【解析】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，∴()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x << 令'()0f x >，得x <x>()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增．（2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k>，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即22203203k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得4027k <<，当4027k <<>20f k =>，∴()fx 在上有唯一一个零点，同理1k --<32(1)(1)0f k k k --=--+<，∴()f x 在(1,k --上有唯一一个零点，又()fx 在(上有唯一一个零点，∴()f x 有三个零点． 综上可知k 的取值范围为4(0,)27．10.（2020•新课标Ⅰ）已知函数()(2)x f x e a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【分析】（1）当1a =时，()1x f x e '=-，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；（2）当0a 时，()0x f x e a '=->恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，不合题意；当0a >时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于0即可求得a 的取值范围． 【解答】解：由题意，()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且()x f x e a '=-． （1）当1a =时，()1x f x e '=-，令()0f x '=，解得0x =．- 5 - 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．()f x ∴在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；（2）当0a 时，()0x f x e a '=->恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，不合题意； 当0a >时，令()0f x '=，解得x lna =，当(,)x lna ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(,)x lna ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．()f x ∴的极小值也是最小值为()(2)(1)f lna a a lna a lna =-+=-+． 又当x →-∞时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞． ∴要使()f x 有两个零点，只要()0f lna <即可，则10lna +>，可得1a e>．综上，若()f x 有两个零点，则a 的取值范围是1(e，)+∞．11.(2019届贵阳摸底)已知函数f(x)＝kx －lnx(k ＞0)． (1)若k ＝1，求f(x)的单调区间；(2)(一题多解)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k 的值．解：(1)若k ＝1，则f(x)＝x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x)＝1－1x，由f ′(x)＞0，得x ＞1；由f ′(x)＜0，得0＜x ＜1，所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (2)解法一：由题意知，方程kx －ln x ＝0仅有一个实根，由kx －ln x ＝0，得k ＝ln xx(x ＞0)，令g(x)＝ln xx (x ＞0)，则g ′(x)＝1－ln x x 2，令g ′(x)＝0，则x ＝e ；当0＜x ＜e 时，g ′(x)＞0；当x ＞e 时，g ′(x)＜0. 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以g(x)max ＝g(e)＝1e.当x →＋∞时，g(x)→0，当x →0时，g(x)→－∞.又k ＞0，所以要使f(x)仅有一个零点，则k ＝1e.解法二：因为f(x)＝kx －ln x ，所以f ′(x)＝k －1x ＝kx －1x(x ＞0，k ＞0)．令f ′(x)＝0，则x ＝1k ；当0＜x ＜1k 时，f ′(x)＜0；当x ＞1k ，f ′(x)＞0.所以f(x)在⎝⎛⎭⎫0，1k 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1k ，＋∞上单调递增， 所以f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫1k ＝1－ln 1k， 因为f(x)有且只有一个零点，所以1－ln 1k ＝0，即k ＝1e.12.已知函数f(x)＝xsinx ＋acosx ＋x ，a ∈R.(1)当a ＝2时，求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)当a>2时，若方程f(x)－3＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有唯一解，求a 的取值范围.解(1)当a ＝2时，f(x)＝xsinx ＋2cosx ＋x ，所以f ′(x)＝－sinx ＋xcosx ＋1.- 6 - 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2时，1－sinx>0，xcosx>0，所以f ′(x)>0.所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2上单调递增.因此f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π，最小值为f(0)＝2. (2)当a>2时，f ′(x)＝(1－a)sinx ＋xcosx ＋1.设h(x)＝(1－a)sinx ＋xcosx ＋1， h ′(x)＝(2－a)cosx －xsinx ，因为a>2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以h ′(x)<0.所以h(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减.因为h(0)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1－a ＋1＝2－a<0，所以存在唯一的x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使h(x 0)＝0，即f ′(x 0)＝0.所以f(x)在区间[0，x 0]上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，π2上单调递减. 因为f(0)＝a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π，又因为方程f(x)－3＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有唯一解，所以2<a ≤3.13.[2020·北京市适应性测试]已知函数f(x)＝sinx －xcosx －16x 3，f ′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f ′(x)在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上不存在零点； (2)若f(x)>kx －xcosx －16x 3－1对x ∈⎛⎭⎫0，π2恒成立，求实数k 的取值范围．- 7 - 解：(1)证明：令g(x)＝lnx －x＋1(x>0)，则g(1)＝0，g ′(x)＝1x －1＝1－x x，∴当x ∈(0，1)时，g ′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)<0，函数g(x)单调递减． ∴当x ＝1时，函数g(x)取得极大值也是最大值，∴g(x)≤g(1)＝0，即ln x ≤x －1.(2)f ′(x)＝1x －2x ＋a ＝－2x 2＋ax ＋1x ，x>0.令－2x 2＋ax ＋1＝0，解得x 0＝a ＋a 2＋84(负值舍去)，在(0，x 0)上，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，在(x 0，＋∞)上，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减．∴f(x)max ＝f(x 0)． 当a ＝1时，x 0＝1，f(x)max ＝f(1)＝0，此时函数f(x)只有一个零点x ＝1.当a>1时，f(1)＝a －1>0，f ⎝⎛⎭⎫12a ＝ln 12a －14a 2＋12<12a －1－14a 2＋12＝－⎝⎛⎭⎫12a －122－14<0，f(2a)＝ln 2a －2a 2<2a －1－2a 2＝－2⎝⎛⎭⎫a －122－12<0.∴函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫12a ，1和区间(1，2a)上各有一个零点．综上可得，当a ＝1时，函数f(x)只有一个零点x ＝1； 当a>1时，函数f(x)有两个零点．1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x 轴(或直线y ＝k)在该区间上的交点问题；(2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象．再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)＜0.2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步，利用导数证明该函数在该区间上单调；第二步，证明端点的导数值异号． 3.已知函数有零点求参数范围常用的方法(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，再利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围； (2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．1.已知函数()25xf x ex --=-的零点位于区间(),1m m +，m ∈Z 上，则42log m m +=（ D ）A.14-B.14C.12 D.34【答案】D.【解析】易知函数()f x 单调递减，因为()2210f e -=->，()130f e -=-<，由零点存在定理可知，函数()f x 的零点在区间()2,1--内，则2m =-．所以2441132log 2log 2424mm -+=+=+=．故选:D ． 2.若函数2()32f x x x a =-+在[)0,+∞上有2个零点，则实数a 的取值范围为（ D ）A.99,88⎛⎫-⎪⎝⎭ B.90,8⎛⎤⎥⎝⎦C.9,08⎛⎫-⎪⎝⎭D.90,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D.【解析】因为二次函数2()32f x x x a =-+开口向上，且对称轴为32x =，- 8 - 若2()32f x x x a =-+在[0,+∞上有2个零点，只需(0)0302f f ≥⎧⎪⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩，即0992042a a ≥⎧⎪⎨-+<⎪⎩，解得098a a ≥⎧⎪⎨<⎪⎩，即908a ≤<，故选：D. 3.（2020•广东二模）已知21()cos 1()2f x ax x a R =+-∈，若函数()f x 有唯一零点，则a 的范围为( D )A.(,0)-∞B.(-∞，0][1，)+∞C.(-∞，1][1，)+∞D.(,0)[1-∞，)+∞【分析】求导，构造辅助函数()()sin g x f x x ax ='=-+，则()cos g x x a '=-+，当1a 时，可知()g x 在R 上单调递增，(0)0g =，即可判断()f x 在[0，)+∞上为增函数，在(,0)-∞上为减函数，由()0f x =，即可证明，当1a 时，()f x 有唯一的零点；然后验证0a =时，函数的零点的个数，判断选项即可． 【解答】解：因为()sin ()f x x ax x R '=-+∈．令()sin g x x ax =-+，则()cos g x x a '=-+， 所以当1a 时，()cos 0g x x a '=-+，即()g x 在R 上单调递增，又(0)sin 00g =-=，所以[0x ∈，)+∞，()0f x '，当(,0)x ∈-∞，()0f x '<， 所以()f x 在[0，)+∞上为增函数，在(,0)-∞上为减函数， 又(0)0f =，所以当[0x ∈，)+∞，()0f x ，当(,0)x ∈-∞，对x R ∈恒成立，即当1a 时，()0f x ，且当且仅当0x =，()0f x =，故当1a 时，()f x 有唯一的零点；排除A ，当0a =时，()cos 1f x x =-，令()0f x =，可得cos 1x =，有无数解，所以0a =，不成立，排除BC ， 故选：D ．4.（多选题）函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()g x f x x a =-+只有一个零点，则a 可能取的值有（ ABC ）A ．2B ．2-C ．0D ．1【答案】ABC【解析】∵()()g x f x x a =-+只有一个零点，∴函数()y f x =与函数y x a =-有一个交点，作函数函数()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩与函数y x a =-的图象如下，结合图象可知，当0a ≤时；函数()y f x =与函数y x a =-有一个交点；当0a >时，ln(1)y x =-，可得11y x '=-，令111x =-可得2x =，所以函数在2x =时，直线与ln(1)y x =-相切，可得2a =.综合得：0a ≤或2a =.故选：ABC.5.（2020•西安二模）已知函数()(x f x e kx m k =--、m 为实数，e 为自然对数的底数， 2.71828)e ≈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当2k =，1m =时，判断函数()f x 零点的个数并证明．- 9 -（2）先由导数与单调性关系分析函数的性质，然后结合函数零点判定定理即可求解． 【解答】解：（1）()x f x e k '=-，①0k 时，()0f x '>恒成立，故()f x 的单调递增区间(,)-∞+∞，没有单调递减区间； ②0k >时，易得，当x lnk >时，()0f x '>，当x lnk <时，()0f x '<， 故函数的单调递增区间(,)lnk +∞，单调递减区间(,)lnk -∞，（2）当2k =，1m =时，()21x f x e x =--的零点个数为2个，证明如下： 由（1）在(,2)ln -∞单调递减，且(0)0f =， 故()f x 在(,2)ln -∞有且仅有1个零点，又因为()f x 在(2,)ln +∞上单调递增且f （1）30e =-<，f （2）250e =->且()f x 在[1，2]上连续不间断， 故()f x 在[1，2]上有且仅有1个零点． 综上()f x 有且仅有2个零点．6.函数f(x)＝ax ＋xlnx 在x ＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；(2)若y ＝f(x)－m －1在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意知，f ′(x)＝a ＋lnx ＋1(x>0)，f ′(1)＝a ＋1＝0，解得a ＝－1，当a ＝－1时，f(x)＝－x ＋xlnx ， 即f ′(x)＝lnx ，令f ′(x)>0，解得x>1；令f ′(x)<0，解得0<x<1.所以f(x)在x ＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．(2)y ＝f(x)－m －1在(0，＋∞)上有两个不同的零点，可转化为f(x)＝m ＋1在(0，＋∞)上有两个不同的根，也可转化为y ＝f(x)与y ＝m ＋1的图象有两个不同的交点，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min ＝f(1)＝－1，由题意得，m ＋1>－1，即m>－2，① 当0<x<1时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0； 当x>0且x →0时，f(x)→0； 当x →＋∞时，显然f(x)→＋∞.如图，由图象可知，m ＋1<0，即m<－1，② 由①②可得－2<m<－1.故实数m 的取值范围为(－2，－1)．7.(2019·福建三明联考)设a 为实数，函数f(x)＝－x 3＋3x ＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a ，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)f ′(x)＝－3x 2＋3，令f ′(x)＝0，得x ＝－1或x ＝1.∵当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x)<0；当x ∈(－1,1)时，f ′(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0， ∴f(x)的极小值为f(－1)＝a －2，极大值为f(1)＝a ＋2.图1(2)由(1)得，f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x →－∞时，f(x )→＋∞；f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且当x →＋∞时，f(x )→－∞，而a ＋2>a －2，即函数的极大值大于极小值，∴当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x 轴恰好有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，图2如图1所示．∴a ＋2＝0，即a ＝－2.- 10 - 如图2所示．∴a －2＝0，即a ＝2.综上所述，当a ＝2或a ＝－2时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根． 8.(2020届大同调研)已知函数f(x)＝2lnx －x 2＋ax(a ∈R)． (1)当a ＝2时，求f(x)的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－ax ＋m 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f(x)＝2lnx －x 2＋2x ，f ′(x)＝2x－2x ＋2，则k ＝f ′(1)＝2.∵f(1)＝1，∴切点坐标为(1，1)．所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.(2)由题意得，g(x)＝2lnx －x 2＋m ，则g ′(x)＝2x －2x ＝－2（x ＋1）（x －1）x.∵x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，∴令g ′(x)＝0，得x ＝1. 当1e≤x<1时，g ′(x)>0，g(x)单调递增；当1<x ≤e 时，g ′(x)<0，g(x)单调递减． 故g(x)在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有最大值g(1)＝m －1.又g ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2，g(e)＝m ＋2－e 2，g(e)－g ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－e 2＋1e 2<0，则g(e)<g ⎝⎛⎭⎫1e ， ∴g(x)在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最小值是g(e)．g(x)在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个不同的零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝m －1>0，g ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e 2， ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，2＋1e 2.。
导数零点问题精编版
函数零点问题知识点：1.零点的定义：函数 的零点方程 的根(解) 与 轴的交点的横坐标（注意函数的零点是一个实数）2.零点的推广：函数 的零点方程 的根(解)方程 的根(解)函数 与函数 图像交点的横坐标.3.我们通常利用导数来研究函数的零点,注意导函数的零点与原函数的极值点之前的关系.1. 已知函数， 若函数在为增函数，求的取值范围； 讨论方程解的个数，并说明理由.x a x x f ln 21)(2-=)(R a ∈)(x f ),1(+∞a 0)(=x f2. 已知函数()()ln ()x f x e a a =+为常数是R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[一1，1]上的减函数．(I)求a 的值；(II) 若()21g x t t λ≤++在x ∈[一1，1]上恒成立，求t 的取值范围． (Ⅲ) 讨论关于x 的方程2ln 2()x x ex m f x =-+的根的个数。
3. 若,ln 6)(m x x g +=问是否存在实数m ，使得y= f （x ）=28x x -+的图象与 （ ）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.4. 已知函数－,求在区间上的最大值是否存在实数m，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。
5. 已知函数－在处取得极值.求函数的解析式；求证：对于区间－，上任意两个自变量的值x1，x2，都有－；若过点，－可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围.6．奇函数cx bx ax x f ++=23)(的图象E 过点)210,22(),2,2(B A -两点. 求)(x f 的表达式；求)(x f 的单调区间；若方程0)(=+m x f 有三个不同的实根，求m 的取值范围.7．已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。
利用导数研究函数的零点或方程的根教师版
利用导数研究函数的零点或方程的根判断函数的零点个数(1)根据题意构造函数金)，其中广(x)=0可解;；(2利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；⑶结合心)的图象(或草图)及零点存在性左理得犬力=0的根的个数典型例题⑴根据函数的零点求解参数范围：根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位巻，通过数形结合的思想去分析问题.进而得到参数应满足的不等式(组)，从而得解典型例题(2)温馨提醒：任利用分离参数法的时候要特别注意参数前面的系数的符号问题，一般情况下在确保系数恒为正或者负的时候适宜分离，否则需要分类讨论.1.设函数Av)=ln W&讨论函数&(")=/(")专零点的个数解⑴ 函数或x)=/(x)-扌=£一箸一扌(x>0).令 g(x)=O,得"?=-护+*©>0).设力(X)=£x3+x(xR), .・.”(x)二二(x-l)(x+l).当xW(O,l)时,”(x)>0,此时加X)在(0,1)內单调递增；1 o当xG(t+oo)时”(x)v0,此时力(x)在(!,+«>)内单调递减，••当x=l吋/(x)取得极大值力(1)=寸1专§y川严一~01 \ x令h(x)=Q f即■护+x=0,解得a=0或x=Vl函数心)的图象如图所示.由图可知：①当加>|时,函数3=7??和函数y=g(x)的图象无交点；②当加=|时,函数和函数j=g(x)的图象有且仅有一个交点；③当g”v|时,函数尸加和函数j=g(x)的图象有两个交点；④当7?1<0吋，函数)=加和函数］= 或V)的图象有且仅有一个交点.综上所述，当加>|时,函数g(x)无零点;当加岭或m<0时，函数g(x)有且仅有一个零点;当0v加<|时,函数炎)有两个零点.2•已知a^R9函数/(x)=e v—av(e=2.718 28…是自然对数的底数)若函数F(.V)=/(・Y)-(R —2处+21n w+a) 在区间(o, g内无零点，求实数“的最大值.2 _2解：法一由已知得 F(x)=67(x-1)-2111 x,且 F(l)=0・则 F(x)=a—■二=一^二，x>0.①当穴0时，F' (x)<0, F(x)在区间(0, +8)上单调递减，结合F(l)=0知，当赵0,扌)时，F(x)>0. 所以F(x)在(0,寻内无零点.②当Q0时，令F(x)=0,得若禺时,即呻0, 4]时,F(x)在(0, *)上是减函数.又x-*0时，F(x)-* + 8.要使F(x)在(0,扌)内无零点，只需彳扌)=一号一21n*^0,则0<a£41n2.若II时，即a>4时，则F(x)在(0,寸)上是减函数，在(：，上是增函数-.•.F(x)min令 0(a)=2—a —21n亍，则 0，(a)= —1+牙=二^卫<0,： "(a)在(4, +8)上是减函数，则(p(a)<(p⑷二21112 —2<0. 因此怡)v°，所以F(x)在皿(0,訥一定有零点，不合题意，舍去.综上，函数F(x)在(0,寻内无零点，应有aW41n2,所以实数a的最大值为41n2.法二当 a£0 时，同法一当 a>0 时，xG(0,务F，匕)<0： x£, +°°),F' (x)>0.所以F(x)在(0,上单调递减，在(亍，+8)上单调递增-因此F(x)mm=F(j)①若詰1,即(Xa^2时，F(x)在(0,扌)内是减函数•因此，当赵0,寻时，F(x)>F(l)=0,所以F(x)在(0,舟)内无零点.②若壬vl,即a>2时，F(A)mm=/(|)<F(l)=O.要使函数F(x)在(0,劝内无零点，只需越)=一号一2诘20, 则2vaW41n2-综上，函数F(x)在1：0, 訓无零点，应有aW41n2,所以实数a的最大值是41n2.祈题好题创练与理富1. [2020年高考全国I卷文数20】已知函数/(x) = e v-^(x+2)・(1)当“ =1时，讨论.f(x)的单调性；(2)若/(X)有两个零点，求4的取值范围.【解析】(1)当“ =1 时，f(x) = e x-(x + 2), f(x) = e r-l,令 f (-V)<0 ,解得xvO,令 f (x) >0,解得x>0,・•• M 的减区间为(P,O),增区间为(O,+s).(2)若/(x)有两个零点，即e x-a(x + 2) = 0有两个解，从方程可知，x = 2不成立，即« =— 有两个解.x + 2 ， ・ e x(x + 2}- 令/?(X )=——(xH —2),则有h (x) = 一-一J x+2 (x + 2)- 令 /? (x) > 0 .解得x>-l » 令h (X)< 0 ,解得兀 v-2或一2 vxv-l,•••函数/心)在(YO ,—2)和(-2,-1)上单调递减，在(一1,乜)上单调递增，且当XV —2时，/?(x)vO,而ex \x->-2* 时，-> +°° > 当时，h(x) -HO , •••当“= ---- 有两个解时，有么>力(一1)= 一,x + 2 e•••满足条件的“的取值范II 是：(lac)・e2. [2020年高考全国ID 卷文数20】已知函数f(x) = ^-kx + k 2. (1)讨论/(X)的单调性：(2)若f(x)有三个零点，求k 的取值范围. 【解析】(1)由题，f \x) = 3x 2-k 9当k<0时，f\x)>0恒成立…在(YO ,P )上单调递增;单调递增.当0 vkv 帶时，>/F> j|,且/•(攸)=疋>0,.・j(x)在(j £,仮)上有唯一一个零点,_" + 1)"U + 2)2令 f W >0,得x v 或x>心)在(一」£,(2)由(1)知，/(X)有三个零点，则k>0,且<八占)>。
第09讲 利用导数研究函数的零点问题及方程的根(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考
第09讲利用导数研究函数的零点问题及方程的根（6类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数证明函数的单调性2能结合零点的定义及零点存在性定理解决零点问题3能结合方程的根的定义用导数解决方程的根的问题【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习利用导数研究函数零点的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.(2)数形结合法求解零点对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.(3)构造函数法研究函数零点①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．利用导数研究函数方程的根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围.(2)数形结合法求解零点（方程的根）对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.(3)构造函数法研究函数零点（方程的根）①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数()()21ln R 2f x x ax a =-Î.(1)当1a =时，求()f x 的最大值；(2)讨论函数()f x 在区间21,e éùëû上零点的个数.2．（2024·湖南长沙·三模）已知函数()()e 1,ln ,xf x xg x x mx m =-=-ÎR .(1)求()f x 的最小值；(2)设函数()()()h x f x g x =-，讨论()h x 零点的个数.3．（2024·河北保定·二模）已知函数()sin cos f x a x x x =+.(1)若0a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()π,πx Î-，试讨论()f x 的零点个数.1．（2024·山东·模拟预测）已知函数()1e 4xf x =-(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线l 在y 轴上的截距；(2)探究()f x 的零点个数．2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数()()e sin 1xf x a x x =+--.(1)当12a =时，求()f x 的单调区间；(2)当1a =时，判断()f x 的零点个数.3．（2024·河南·模拟预测）已知函数()()20,e x ax f x a a =¹ÎR ．(1)求()f x 的极大值；(2)若1a =，求()()cos g x f x x =-在区间π,2024π2éù-êúëû上的零点个数．1．（2022·全国·高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+．(1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．2．（2022·全国·高考真题）已知函数()()ln 1exf x x ax -=++(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间()()1,0,0,-+¥各恰有一个零点，求a 的取值范围．3．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数()32113f x x x =-++．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()()g x f x k k =-ÎR 有且仅有三个零点，求k 的取值范围．4．（2024·广东茂名·一模）设函数()e sin xf x a x =+，[)0,x Î+¥.(1)当1a =-时，()1f x bx ³+在[)0,¥+上恒成立，求实数b 的取值范围；(2)若()0,a f x >在[)0,¥+上存在零点，求实数a 的取值范围.1．（2024·广东汕头·三模）已知函数2)()(e x f x x ax =-.(1)若曲线()y f x =在=1x -处的切线与y 轴垂直，求()y f x =的极值.(2)若()f x 在(0,)+¥只有一个零点，求a .2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数()32,f x x ax a =-+ÎR .(1)若2x =-是函数()f x 的极值点，求a 的值，并求其单调区间；(2)若函数()f x 在1,33éùêúëû上仅有2个零点，求a 的取值范围．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数()ln f x x kx =+的单调递增区间为()0,1．(1)求函数()f x 的图象在点()()e,e f 处的切线方程；(2)若函数()()e xaxg x f x =-有两个零点，求实数a 的取值范围．4．（2024·安徽·三模）已知函数()e e (1),0x x f x a a x a -=--+>．(1)求证：()f x 至多只有一个零点；(2)当01a <<时，12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，若()()120f x kf x +>成立，求实数k 的取值范围．1．（2024·浙江温州·一模）已知()11e xf x -=（0x >）.(1)求导函数()f x ¢的最值；(2)试讨论关于x 的方程()f x kx =（0k >）的根的个数，并说明理由.1．（2024·山西·模拟预测）已知函数()sin ln(1)f x x x ax =++-，且()y f x =与x 轴相切于坐标原点．(1)求实数a 的值及()f x 的最大值；(2)证明：当π,π6x éùÎêúëû时，1()22f x x +>；(3)判断关于x 的方程()0f x x +=实数根的个数，并证明．2．（2024·河南信阳·一模）已知函数()ln(1)3mf x x x =++．(1)若3m =-，求证：()0f x £；(2)讨论关于x 的方程2π()sin 03π2x f x +=在(1,2)-上的根的情况．1．（2024·贵州贵阳·二模）已知函数1()ln ,2f x ax x a x=+ÎR .(1)当1a =时.求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程;(2)若方程31()2f x x x=+存两个不等的实数根，求a 的取值范围.2．（2024·山东烟台·三模）已知函数()()e xf x x a a =+ÎR .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当3a =时，若方程()()()1f x x xm f x x f x -+=+-有三个不等的实根，求实数m 的取值范围.1．（2023·广东梅州·三模）已知函数()2e xf x ax =-，a ÎR ，()f x ¢为函数()f x 的导函数.(1)讨论函数()f x ¢的单调性；(2)若方程()()22f x f x ax ¢+=-在()0,1上有实根，求a 的取值范围.2．（2024·全国·模拟预测）已知函数e ()xf x ax b =+的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为210x y ++=．(1)求,a b 的值；(2)若()21mf x x =-有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围．1．（2021·全国·高考真题）已知0a >且1a ¹，函数()(0)ax x f x x a =>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．2．（2022·全国·高考真题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．1．（2024·江苏·模拟预测）已知函数()2ln 3f x a x x =++在1x =处的切线经过原点.(1)判断函数()f x 的单调性；(2)求证：函数()f x 的图象与直线5y x =有且只有一个交点.2．（2024·陕西西安·二模）设函数21()(1)e 2x f x ax x =+-.(1)当1a £时，讨论()f x 的单调性；(2)若[2,2]x Î-时，函数()f x 的图像与e x y =的图像仅只有一个公共点，求a 的取值范围.3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()log a axf x x =.(1)当2a =时，求()f x 的单调区间；(2)证明：若曲线()y f x =与直线21y a =有且仅有两个交点，求a 的取值范围.1．（2023·全国·高考真题）函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(),2-¥-B ．(),3-¥-C ．()4,1--D ．()3,0-2．（2024·全国·高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心3．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线4．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，()f x 恰 有2个零点；②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点；④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．1．（2024·四川绵阳·模拟预测）函数()e x f kx b x =--恰好有一零点0x ，且0k b >>，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,0)-¥B ．(0,1)C ．(,1)-¥D ．(1,)+¥2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知0w >，若函数()ln ,0,3πsin ,π03x x x f x x x w ì->ïï=íæöï+-££ç÷ïèøî有4个零点，则w 的取值范围是（ ）A ．47,33æùçúèûB ．47,33éö÷êëøC ．710,33æùçúèûD ．710,33éö÷êëø3．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数()31f x x ax =-+，a ÎR ，则（ ）A ．若()f x 有极值点，则0a £B ．当1a =时，()f x 有一个零点C ．()()2f x f x =--D ．当1a =时，曲线()y f x =上斜率为2的切线是直线21y x =-4．（2024·安徽·模拟预测）若关于x 的方程()eln e ln e xxm m x x +=+-有解，则实数m 的最大值为 .5．（2024·天津北辰·三模）若函数22()233(3)f x a x a x x =----有四个零点，则实数a 的取值范围为 .一、单选题1．（2023·陕西西安·模拟预测）方程e 1x a x -=+有两个不等的实数解，则a 的取值范围为（ ）A．æöç÷ç÷èøB ．211,e æö--ç÷èøC ．21,0e æö-ç÷èøD ．1,0e æö-ç÷èø2．（2024·四川凉山·二模）若()sin cos 1f x x x x =+-，π,π2x éùÎ-êúëû，则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、多选题3．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数3()1f x x x =++，则（ ）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x有一个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线4．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数()e xxf x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的极值点为11,e æö-ç÷èøB ．()f x 的极值点为1C ．直线2214e e y x =-是曲线()y f x =的一条切线D ．()f x 有两个零点三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）方程()1ln 0x x k -++=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为 ．6．（2024·山西·三模）已知函数12,0()e ,0x x x f x x x ì+>ï=íï£î，若函数()()()g x f x x m m =-+ÎR 恰有一个零点，则m 的取值范围是.7．（23-24高三上·四川内江·期末）已知函数()324f x x x t =+-，若函数()f x 的图象与曲线25y x =有三个交点，则t 的取值范围是 .四、解答题8．（2023·广西河池·模拟预测）已知函数()()22ln f x x x ax a =-+ÎR (1)当1a =时，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()f x 与直线y ax a =-在1,e e éùêúëû上有两个不同的交点，求实数a 的取值范围．9．（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知()ln f x x =，(1)求()f x x的极值；(2)若函数()y f x ax =-存在两个零点，求a 的取值范围.10．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数()32113f x x x =-++．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()()g x f x k k =-ÎR 有且仅有三个零点，求k 的取值范围．一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知过点(2,0)-的直线与函数2()e 2x f x x +=+的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（ ）A ．(,1)-¥-B ．(,0)-¥C ．(1,0)-D ．(1,)-+¥2．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数()e ,0e ,0x a x f x x x -ì+>ï=íï<î，若方程()e 0f x x +=存在三个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),e -¥B ．(),e -¥-C ．(),2e -¥-D ．(),2e -¥二、填空题3．（2024·重庆·模拟预测）若函数e ()e x x f x a =+的图象与函数e ()e xxg x x =+的图象有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围为．4．（2024·湖北黄冈·二模）已知函数()()e 1e kxf x k =--与函数()()1e ln 1xg x x--=的图象有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为 .5．（2024·福建泉州·一模）已知函数()(1)e e x x f x x a =-+-有且只有两个零点，则a 的范围．三、解答题6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知()sin cos f x x x a x =-在π2x =时取得极大值．(1)讨论()f x 在[]π,π-上的单调性；(2)令()24sin 4cos 4h x x x x x =--+，试判断()h x 在R 上零点的个数．7．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2e =-+x f x x a ，x ÎR ，()()2x f x x x j =+-.(1)若()x j 的最小值为0，求a 的值；(2)当0.25a <时，证明：方程()2f x x =在()0,¥+上有解.8．（2024·广东梅州·二模）已知函数()e xf x =，()21g x x =+，()sin 1h x a x =+（0a >）．(1)证明：当()0,x Î+¥时，()()f x g x >；(2)讨论函数()()()F x f x h x =-在()0,π上的零点个数．1．2．3．4．9．（2024·广西南宁·二模）已知函数()ln f x x ax =-(1)若()f x 在定义域内单调递增，求a 的取值范围，(2)若函数()()1g x f x x =-+恰有两个零点，求a 的取值范围，10．（2024·广西贺州·一模）已知函数()ln ,2a f x x x a x=++ÎR ．(1)若12a >-，讨论()f x 的单调性；(2)若关于x 的方程2()ef x =有且只有一个解，求a 的取值范围．1．（2022·浙江·高考真题）设函数e ()ln (0)2f x x x x=+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ÎR ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a æö<-<-ç÷èø；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea a x x a --+<+<-．（注：e 2.71828=L 是自然对数的底数）2．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点①21,222e a b a <£>；②10,22a b a <<£．3．（2021·浙江·高考真题）设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()x f x a bx e x =-+Î（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，满足2212ln 2b b e x x e b>+.(注： 2.71828e =×××是自然对数的底数)4．（2020·全国·高考真题）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．5．（2020·全国·高考真题）已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．6．（2020·全国·高考真题）已知函数()(2)x f x e a x =-+.（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.7．（2019·全国·高考真题）已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.8．（2019·全国·高考真题）已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．9．（2019·全国·高考真题）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x ¢为()f x 的导数．证明：（1）()f x ¢在区间(1,2p-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．10．（2018·江苏·高考真题）若函数()()3221f x x ax a R =-+Î在()0,+¥内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．。
利用导数讨论方程根的存在性及个数的一般方法
利用导数讨论方程根的存在性及个数的一般方法摘要：函数的零点就是方程的根，也是曲线与x轴的交点的横坐标，所以函数的零点、方程的根、曲线与x轴的交点的横坐标之间是可以相互转化的。
有些函数较为复杂，无法直接求出函数的零点或者对应方程的根，此时我们就需要利用导数法，来讨论函数曲线与轴的交点情况.下面我们结合实例来探讨一下如何运用导数法讨论函数的零点或者方程的根的问题。
关键词：数形结合，函数的导数与函数图像，罗尔定理，根的存在性定理方程的（实）根，也称为函数的零点，它是曲线与轴交点的横坐标。
在讨论方程的根的存在性及个数的问题上，导数是一个很好的工具。
这一类问题上关键是将方程的问题转化成函数的零点或者函数图像交点问题，利用导数讨论函数的性质结合零点定理及函数图像来解决问题。
1.如何判别方程存在根？解题思路（1）利用连续函数的根值定理（零点定理）若题给出可导条件时，往往须先用导数的有关知识或中值定理，进而再用根值定理。
若满足根值定理的条件，则可判定方程在区间内至少存在一个根。
推广根值定理中的闭区间，可推广至开区间或无限区间，，。
这里以无限区间为例来说明：设在内连续若，，且与异号或若，则在内至少存在一个根。
（2）利用罗尔定理根据已给方程，做辅助函数，使，验证在上满足罗尔定理的条件。
则在上至少存在一个根。
用广义罗尔定理也可，这实际上是把罗尔定理中的区间，推广至无限区间。
例1设，求证：方程在区间与内各至少有一个实根。
解已知方程可改写作设因为在上连续，且 ,所以由根值定理，存在，使得，是方程的根。
同理可证，存在，使得，是方程的根。
1.如何判断方程实根的个数？解题思路1.用导数确定函数的增减区间及极值，考查曲线与轴交点的个数。
2.用二阶导数确定曲线是上凹（或下凹），以确定线与轴有两个交点（图1）。
图11.用罗尔定理估计方程根的个数：设在上连续，在可导若没有零点，则在内最多只有一个根。
若有一个（个）零点，则在内至多有两个个根。
函数与导数之零点问题(解析版)
函数与导数之零点问题一．考情分析零点问题涉及到函数与方程，但函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f (x )＝0的解就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标,函数y ＝f (x )也可以看作二元方程f (x )－y ＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：②是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性 质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.二．经验分享1.确定函数f (x )零点个数(方程f (x )＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f (x )在R 上的零点个数，一般由对应的二次方程f (x )＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f (x )在[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f (a )·f (b )＜0，则y ＝f (x )在区间(a ，b )内有唯一零点．2.导数研究函数图象交点及零点问题利用导数来探讨函数)(x f y =的图象与函数)(x g y =的图象的交点问题，有以下几个步骤： ①构造函数)()()(x g x f x h -=； ②求导)('x h ；③研究函数)(x h 的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）； ④画出函数)(x h 的草图，观察与x 轴的交点情况，列不等式；⑤解不等式得解.探讨函数)(x f y =的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.三、题型分析（一）确定函数的零点与方程根的个数问题例1.【四川省成都七中2020届高三上半期考试，理科数学，12】函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，周期是4，当[]2,0∈x 时，3)(2+-=x x f ，则方程0log )(2=-x x f 的根个数为（ ）A.3B.4C.5D.6 【答案】C【解析】)(x f 是定义在R 上的偶函数，周期是4，当[]2,0∈x 时，3)(2+-=x x f ，根据性质我们可以画出函数图像，方程0log )(2=-x x f 的根个数转化成⎩⎨⎧==x y x f y 2log )(的交点个数，有图像可以看出，一共有5个交点，ABCDE.其中我x=8处是要仔细看图，是易错点。
导数在研究函数零点中的运用
导数在研究函数零点问题中的运用导数是研究函数图像和性质的有力工具，利用导数可以确定函数的单调性、极值，描绘出函数的图象，而借助函数的图象，则可判断函数的零点个数（方程的根）；把函数的“零点存在性定理”与函数的单调性有机的结合在一起，则可说明或证明函数零点的存在性和唯一性。
下面就谈谈导数在研究函数零点问题中的一些运用。
一、如何运用导数来判断函数的零点个数用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。
例1. 讨论函数32()6910f x x x x a =-+--()a R ∈零点的个数？解：)3)(1(39123)(2/--=+-=x x x x x f令0)(=x f ,得3,121==x x当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：由上表知：()(1)6f x f a ==--极大值 ()(3)10f x f a ==--极小值 下面讨论函数)(x f 的零点个数情况（1）当()100,10f x a a =--><-极小值即时，函数)(x f 有1个零点； （2）当()100,10f x a a =--==-极小值即时，函数)(x f 有2个零点； （3）当()0()0f x f x >⎧⎪⎨<⎪⎩极大值极小值 ，即106a -<<-时， 函数)(x f 有3个零点；（4）当()60f x a =--=极大值，即6a =-时，函数)(x f 有2个零点；（5）当()0()0f x f x <⎧⎪⎨<⎪⎩极大值极小值 ，即6a >-时， 函数)(x f 有1个零点；综上得：当10a <-或6a >-时，函数)(x f 有1个零点；当10a =-或6a =-时，函数)(x f 有2个零点；当106a -<<-时， 函数)(x f 有3个零点；例2.设函数2()x xf x c e=+(e =2.71828是自然对数的底数,c R ∈). 试讨论关于x 的方程ln ()x f x =根的个数.解：方程ln ()x f x =根的个数等价于方程2ln x x xe c --=根的个数令2()ln x g x x xe -=-，则：222ln (1)()(1)ln (01x x x xe x g x e x x xe x ---⎧->⎪=-=⎨⎪--<<故1x >时，函数()g x 为增函数。
利用导数探究方程根的个数问题
2
2
h' (x) (4x 5)( x 1) 2(x 1)
x (0,1), h'(x) 0,即h(x)在（0,1）
x (1,2), h' (x) 0,即h(x)在（1,2）
h(0) b 0
由题意得h(1)
ln
2
1 2
b
0
h(2) ln 3 1 b 0
2020/6/17
思考题
1. 已知函数f(x)=x3-x2-x+a的图象与x轴仅
即求函数f (x) x3 3x2在[1,1]的值域
又由思考 4知，f (x)在（1,0）, (0,1)
又f (1) 4, f (0) 0, f (1) 2
f (x)max f (0) 0 f (x)min f (1) 4 4 a 0时，f (x) a有解
2020/6/17
2020/6/17
新课
例：已知函数 f(x)=x3-3x2 +1
思考1： 画出函数的草图？
2020/6/17
新课
例：已知函数 f(x)=x3-3x2 +1
思考2：方程x3-3x2+1 =0在R上有几个根 ？
2020/6/17
新课
例：已知函数 f(x)=x3-3x2 +1
思考3：方程 x3 + 1 = 3x2 在（0,2）内有几个根？
有一个交点，求实数a的取值范围.
2.已知f (x) lnx, g(x) a , (a 0) x
是否存在实数m,使得y
g(
x
2a 2
) 1
m
1,
与y f (1 x2 )的图像恰有4个不同的交点，
求实数m的取值范围.
导数与函数的零点方程的根
导数与零点核心知识零点定义f (x)=0
等价形式
y=f (x)有零点⇔ f (x)=0有根⇔y=f (x)与x轴有交点
主要题型
判断零点个数 判断方程根个数 根据零点个数或方程根个数求参数
考点一: 函数零点个数的判断、证明
已知函数 f (x) ln x a2x2 ax(a .1) （1）证明：函数 f (x)在区间(1, +∞)上是减函数；
【证明】当a=1时，f (x)=lnx－x2+x (x>0).
f (x) 1 2x 1 x 1 2x2 x
x
- (2x 1)(x 1) x
令f ʹ(x)>0, 解得0<x<1，
令f ʹ(x)<0, 解得 x >1.
∴f (x)在（0,1）上单调递增， 在(1，+∞)上单调递减. ∴且f (1)=0， ∴函数f (x)只有一个零点.
(1,+∞)是函数 f(x)的减区间
吗？
攻略
思路 一
• 求f (x)减区间 • 判断“ (1,+∞)⊆减区
间”是否成立
思路 二• f ʹ (x)≤0在(1,+∞)恒成立
考点一: 函数零点个数的判断、证明
已知函数 f (x) ln x a2x2 ax(a .1) （1）证明：函数 f (x)在区间(1, +∞)上是减函数；
攻略
• f ʹ(1)=0 • 在1的两侧导函
数符号异号
考点二: 已知零点个数求参数范 围
已知x＝1是函数 f (x) 1 ax3 3 x2 (a 1)x 的5一个极值点. 32
（2）若曲线 y＝f (x) 与直线 y＝2x＋m有三个交点，求实数 m 的取值范围.
最新导数在零点中的应用、根的个数问题
变变式式三二（（方方程程问问题题））试若讨方论程方程
x 6x 9x 10 a x33 6x2 92x 10 a 0(aR)解的情况。
在[1，3]上有实数解，求 a 的取值范围。
Y
10 a 6
O
1
3
-6
X
X
-10
变式四（改变参数的位置）： 若方程 x3 ax2 9x 0 在[1，3]上有 实数解，求 a 的取值范围。
x (,1)
1
(1,3)
(3,)
3
y/
+
0
-
0
+
y 增函数 y极大值 6 a 减函数 y极小值 10 a 增函数
然后再结合函数 f (x) 的图象与 X 轴的关系，确定分类讨论的标准，讨论极大值、 极小值与零的关系，讨论图象与 X 轴交点情况，得出如下结论：
当 y极小值 10 a 0 即 a 10 时没有 1 个交点；当 y极小值 10 a 0 即 a 10
导数专题1
导数在函数零点中的应用
一 、知识回顾与巩固训练
1、函数 f(x)=x3-16x 的零点为( D )
A. (0,0),(4,0)
B. 0,4
C. (-4 ,0), (0,0),(4,0)
D. –4 ,0,4
2、
f
(x)
lg
x
1 x 零点所在区间是（
Ｂ）.
A. (0,1] B. (1,10] C. (10,100] D. (100,)
【解析】
令
g(x)
＝
fx ex
，
则
g′(x)
＝
f′x·ex－fx·ex ex2
导数之零点和极值点个数问题
导数之零点和极值点个数问题导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数为零的点被称为函数的零点，而在零点处函数可能达到极值。
在本文中，我们将探讨导数的零点和极值点个数问题，并深入理解这些概念。
1. 导数的零点和极值点：导数为零的点被称为函数的零点，它表示了函数在该点的变化率为零。
零点可以分为两种情况：一种是局部极值点，另一种是拐点。
2. 局部极值点：当函数在某一点的导数为零时，该点可能是一个局部极小值点或者一个局部极大值点。
为了确定具体的极值类型，我们需要通过二阶导数进行进一步判断。
3. 二阶导数的作用：二阶导数描述了函数的曲率变化，它可以告诉我们函数在某一点的凸性。
如果二阶导数大于零，说明函数在该点为凸函数，该点为局部极小值点；如果二阶导数小于零，说明函数在该点为凹函数，该点为局部极大值点。
4. 拐点：当函数的二阶导数为零时，该点称为拐点。
拐点表示了函数曲线的凹凸性发生变化的位置。
5. 求解零点和极值点的方法：要找到函数的零点和极值点，我们可以通过求解导数为零的方程来进行。
解方程可以得到函数的零点，然后再通过二阶导数的符号来判断极值点的类型。
总结：导数的零点和极值点个数问题是微积分中常见的问题。
对于一个连续可导的函数，导数为零的点可能是局部极值点或者拐点。
通过二阶导数的符号，我们可以进一步确定极值点的类型。
求解零点和极值点可以帮助我们了解函数的变化趋势和特点。
个人观点和理解：导数的零点和极值点问题是微积分中的经典问题，它们具有重要的实际应用价值。
通过研究导数的零点和极值点，我们可以深入了解函数的变化规律，为问题的求解提供重要线索。
对于解析函数，导数的零点和极值点问题还可以用于优化、最大化和最小化等实际问题的求解。
掌握导数的零点和极值点问题对于更深入地理解微积分及其应用具有重要意义。
敬请期待下一篇文章，我们将继续探讨微积分中的其他重要概念和问题。
[1] 求解函数的零点和极值点一直是微积分中常见的问题。
零点定理根的个数
零点定理根的个数我们来了解一下零点定理的基本概念。
零点定理是说，如果一个函数在某个区间内连续，并且在该区间的两个端点处函数值异号，那么在这个区间内至少存在一个根。
这个根的个数可以是1个，也可以是多个，但至少存在一个。
接下来，我们来看一些具体的例子，以帮助理解零点定理的应用。
假设我们有一个函数f(x) = x^2 - 4x + 3，我们要求这个函数在区间[0, 3]内的根的个数。
首先，我们可以计算一下函数在区间的两个端点处的函数值：f(0) = 3，f(3) = 0。
我们可以发现，这两个函数值异号，因此根据零点定理，这个函数在区间[0, 3]内至少存在一个根。
我们可以求解这个方程，得到x = 1，所以在区间[0, 3]内有一个根。
再举一个例子，假设我们有一个函数g(x) = sin(x)，我们要求这个函数在区间[0, π]内的根的个数。
我们知道，sin(x)函数在区间[0, π]内的函数值从正数逐渐减小到负数，因此在这个区间内至少存在一个根。
我们可以求解这个方程，得到x = π/2，所以在区间[0, π]内有一个根。
通过以上两个例子，我们可以看到，零点定理可以帮助我们判断一个函数在某个区间内有多少个根。
当然，零点定理只是判断根的存在性，并没有给出根的具体值。
对于一些复杂的函数，我们可能需要借助其他方法来求解根的值。
除了零点定理，还有一些其他的定理也可以用来判断函数的根的个数。
例如，中值定理和柯西中值定理等。
这些定理在微积分中都有重要的应用，可以帮助我们更好地理解函数的性质。
总结一下，零点定理是微积分中的重要定理之一，它可以帮助我们判断一个函数在某个区间内有多少个根。
通过计算函数在区间的两个端点处的函数值，我们可以判断根的存在性。
当然，对于一些复杂的函数，我们可能需要借助其他方法来求解根的值。
除了零点定理，还有一些其他的定理也可以用来判断函数的根的个数。
这些定理在微积分中具有重要的应用，可以帮助我们更好地理解函数的性质。
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想一想，下面的题如何解？
变式一（引入参数 a）
试讨论函数
f (x) x3 6x2 9x 10 a ( a R )零点的 个数。
二、能力提升
变式一：试讨论函数 f (x) x3 6x2 9x 10 a ( a R )
零点的个数。
分析：方法 1：.直接模仿上面的解法，可得如与表格:
二、能力提升
1 确定函数
f (x) x3 6x 2 9x 10 零点的个数
解： f (x) x3 6x 2 9x 10 ，
f / (x) 3x2 12x 9 3(x 1)(x 3)
令 f (x) 0 ,得 x1 1, x2 3 列出 x,y/,y 的对应值表如
下：
x (,1)
___________________________ _______________________
【答案】 B
___________________________ _______________________
【例 1】（2009 天津卷理）设函数 f (x) 1 x ln x(x 0), 3
在点 x 3处有极小值1 ln3＜ 00,又 f (1) 1 , f e e 1
3
3
1 , f e e 1 0, f (1) 1 1 0 .
3
3
e 3e ___________________________
_______________________
1．函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数⇔函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 交点个数．
1 (1,3) 3 (3,)
y/ +
0
-
0
+
Y
O
1
3
X
y 增函数 Y 极大 减函数 Y 极小 增函数
-10
值-6
值-10
作出函数的 f (x) x3 6x2 9x 10 草图可知，函数
f (x) 的图象与 X 轴仅有一个交点，则 f (x) 仅有一
个零点。注意：本类型题的特点是找出函数 f (x) 的 图象与 X 轴交点的情况，
___________________________ _______________________
【解析】 利用 f′(x)＝3ax2－6x 结合题意，可利用特殊值 法求解．
f′(x)＝3ax2－6x， 当 a＝3 时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)， 则当 x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；x∈(0，23)时，f′(x)<0；x ∈(23，＋∞)时，f′(x)>0，注意 f(0)＝1，f(23)＝59>0，则 f(x)的大 致图像如图①所示．
3.函数 f (x) x2 在下列区间是否存在零点（Ｂ）
（A）（-3，-1）；（B）（-1，2）；
（C）（2，3）； （D）（3，4）。
一 、知识回顾与巩固训练
函数零点的定义：
对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点。
方程的根与函数的零点的关系
方程 f (x) 0 有实数根 函数 y f (x)的图象与 x 轴有交点 函数 y f (x)有零点．
时仅有 2 个交点；当 y极小值 10 a 0 且 y极大值 6 a 0 即 10 a 6时有 3
个 交 点 ； 当 即 y极大值 6 a 0 a 6 时 有 2 个 交 点 ； 当 y极大值 6 a 0 即
a 6 时有 1 个交点.
二、能力提升 变式二：
❖ 若方程f(x)=x3-6x2+9x-10-a有三个零点，求a 的取值范围；
___________________________ _______________________
不符合题意，排除 A，C. 当 a＝－43时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当 x∈(－ ∞，－32)时，f′(x)<0；x∈(－32，0)时，f′(x)>0；x∈(0，＋∞) 时，f′(x)<0，注意 f(0)＝1，f(－32)＝－54，则 f(x)的大致图像如图 ②所示． 不符合题意，排除 D.
答案：-10<a<-6
___________________________ _______________________
零点问题：
【对点练 7】 (2014·新课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝ax3－3x2 ＋1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0>0，则 a 的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
导数专题1
导数在函数零点中的应用
一 、知识回顾与巩固训练
1、函数 f(x)=x3-16x 的零点为( D )
A. (0,0),(4,0)
B. 0,4
C. (-4 ,0), (0,0),(4,0)
D. –4 ,0,4
2、
f
(x)
lg
x
1 x 零点所在区间是（
Ｂ）.
A. (0,1] B. (1,10] C. (10,100] D. (100,)
_______________________
【解析】选 D.本小题考查导数的应用，基础题。
由题得 f `(x) 1 1 x 3 ，令 f `(x) 0 得 x 3 ；
3 x 3x
令 f `(x) 0 得 0 x 3 ； f `(x) 0 得 x 3 ，故知函数
f ( x) 在区间 (0,3) 上为减函数，在区间 (3, ) 为增函数，
x (,1)
1
(1,3)
(3,)
3
y/
+
0
-
0
+
y 增函数 y极大值 6 a 减函数 y极小值 10 a 增函数
然后再结合函数 f (x) 的图象与 X 轴的关系，确定分类讨论的标准，讨论极大值、 极小值与零的关系，讨论图象与 X 轴交点情况，得出如下结论：
当 y极小值 10 a 0 即 a 10 时没有 1 个交点；当 y极小值 10 a 0 即 a 10
则 y f (x)
A 在区间 (1 ,1), (1, e) 内均有零点。 e
B 在区间 (1 ,1), (1, e) 内均无零点。 e
C 在区间 (1 ,1) 内有零点，在区间 (1, e) 内无零点。 e
D 在区间 (1 ,1) 内无零点，在区间 (1, e) 内有零点。
e
___________________________