最新导数在零点中的应用、根的个数问题

1 (1,3) 3 (3,)
y/ +
0
-
0
+
Y
O
1
3
X
y 增函数 Y 极大 减函数 Y 极小 增函数
-10
值-6
值-10
作出函数的 f (x) x3 6x2 9x 10 草图可知，函数
f (x) 的图象与 X 轴仅有一个交点，则 f (x) 仅有一
个零点。注意：本类型题的特点是找出函数 f (x) 的 图象与 X 轴交点的情况，
则 y f (x)
A 在区间 (1 ,1), (1, e) 内均有零点。 e
B 在区间 (1 ,1), (1, e) 内均无零点。 e
C 在区间 (1 ,1) 内有零点，在区间 (1, e) 内无零点。 e
D 在区间 (1 ,1) 内无零点，在区间 (1, e) 内有零点。
e
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在点 x 3处有极小值1 ln3＜ 00,又 f (1) 1 , f e e 1
3
3
1 , f e e 1 0, f (1) 1 1 0 .
3
3
e 3e ___________________________
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1．函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数⇔函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 交点个数．
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【解析】选 D.本小题考查导数的应用，基础题。
由题得 f `(x) 1 1 x 3 ，令 f `(x) 0 得 x 3 ；
3 x 3x
令 f `(x) 0 得 0 x 3 ； f `(x) 0 得 x 3 ，故知函数
f ( x) 在区间 (0,3) 上为减函数，在区间 (3, ) 为增函数，
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不符合题意，排除 A，C. 当 a＝－43时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当 x∈(－ ∞，－32)时，f′(x)<0；x∈(－32，0)时，f′(x)>0；x∈(0，＋∞) 时，f′(x)<0，注意 f(0)＝1，f(－32)＝－54，则 f(x)的大致图像如图 ②所示． 不符合题意，排除 D.
二、能力提升
1 确定函数
f (x) x3 6x 2 9x 10 零点的个数
解： f (x) x3 6x 2 9x 10 ，
f / (x) 3x2 12x 9 3(x 1)(x 3)
令 f (x) 0 ,得 x1 1, x2 3 列出 x,y/,y 的对应值表如
下：
x (,1)
答案：-10<a<-6
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零点问题：
【对点练 7】 (2014·新课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝ax3－3x2 ＋1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0>0，则 a 的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
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【解析】 利用 f′(x)＝3ax2－6x 结合题意，可利用特殊值 法求解．
f′(x)＝3ax2－6x， 当 a＝3 时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)， 则当 x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；x∈(0，23)时，f′(x)<0；x ∈(23，＋∞)时，f′(x)>0，注意 f(0)＝1，f(23)＝59>0，则 f(x)的大 致图像如图①所示．
3.函数 f (x) x2 在下列区间是否存在零点（Ｂ）
（A）（-3，-1）；（B）（-1，2）；
（C）（2，3）； （D）（3，4）。
一 、知识回顾与巩固训练
函数零点的定义：
对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点。
方程的根与函数的零点的关系
方程 f (x) 0 有实数根 函数 y f (x)的图象与 x 轴有交点 函数 y f (x)有零点．
导数专题1
导数在函数零点中的应用
一 、知识回顾与巩固训练
1、函数 f(x)=x3-16x 的零点为( D )
A. (0,0),(4,0)
B. 0,4
C. (-4 ,0), (0,0),(4,0)
D. –4 ,0,4
源自文库
2、
f
(x)
lg
x
1 x 零点所在区间是（
Ｂ）.
A. (0,1] B. (1,10] C. (10,100] D. (100,)
x (,1)
1
(1,3)
(3,)
3
y/
+
0
-
0
+
y 增函数 y极大值 6 a 减函数 y极小值 10 a 增函数
然后再结合函数 f (x) 的图象与 X 轴的关系，确定分类讨论的标准，讨论极大值、 极小值与零的关系，讨论图象与 X 轴交点情况，得出如下结论：
当 y极小值 10 a 0 即 a 10 时没有 1 个交点；当 y极小值 10 a 0 即 a 10
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【答案】 B
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【例 1】（2009 天津卷理）设函数 f (x) 1 x ln x(x 0), 3
想一想，下面的题如何解？
变式一（引入参数 a）
试讨论函数
f (x) x3 6x2 9x 10 a ( a R )零点的 个数。
二、能力提升
变式一：试讨论函数 f (x) x3 6x2 9x 10 a ( a R )
零点的个数。
分析：方法 1：.直接模仿上面的解法，可得如与表格:
时仅有 2 个交点；当 y极小值 10 a 0 且 y极大值 6 a 0 即 10 a 6时有 3
个 交 点 ； 当 即 y极大值 6 a 0 a 6 时 有 2 个 交 点 ； 当 y极大值 6 a 0 即
a 6 时有 1 个交点.
二、能力提升 变式二：
❖ 若方程f(x)=x3-6x2+9x-10-a有三个零点，求a 的取值范围；