【数学】上海2016-2017年高三下七校联考试卷--2017.03

2017届七校联考调研试卷（数学）

2017.03

一. 填空题

1. 若关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵为32111m ⎛⎫

⎪⎝⎭，若5x D =，则实数m =

2. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石， 验得米内夹谷，抽样取来一把，数得254粒内夹谷28粒，则这堆米内夹谷约为 石

3. 已知复数11z =，2||2z =，12z z 是正实数，则复数2z =

4. 在9(a x -的二项展开式中，3x 的系数为94

，则实数a 的值为 5. 在Rt ABC ∆中，90A =︒，1AB =，2AC =，D 是斜边BC 上一点，且2BD DC =， 则()AD AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r

6. 已知集合12{|log (2)0}A x x =+<，{|()()0}B x x a x b =--<，若“3a =-”是

“A B ≠∅I ”的充分条件，则实数b 的取值范围是

7. 已知M 是球O 半径OP 的中点，过M 作垂直于OP 的平面，截球面得圆1O ，则以圆1O 为大圆的球与球O 的体积的比值是

8. 从集合11

{,,2,3}32

中任取一个数记为a ，从集合{2,1,1,2}--中任取一个数记为b ，则函

数x y a b =+的图像经过第三象限的概率是 9. 已知0m >，0n >，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22

(1)(1)1x y -+-=相切， 则m n +的取值范围是

10. 如图，在地上有同样大小的5块积木，一堆2个，

一堆3个，要把积木一块一块地全部放到某个盒子里，

每次只能取其中一堆最上面的一块，则不同的取法有

种（用数字作答） 11. 定义11222n n n a a a H n

-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“均值”，已知数列{}n b 的“均值” 12n n H +=，记数列{}n b kn -的前n 项和为n S ，若5n S S ≤对任意正整数n 恒成立，则实数k 的范围为

12. 已知函数()||||f x x a m x a =-++（01m <<，,m a R ∈），若对于任意的实数x 不 等式()2f x ≥恒成立时，实数a 的取值范围是{|5a a ≤-或5}a ≥，则所有满足条件的m 组 成的集合是

二. 选择题

13. 已知两点(0,0)O ，(,)Q a b ，点1P 是线段OQ 的中点，点2P 是线段1QP 的中点，3P 是

线段12P P 的中点，⋅⋅⋅，2n P +是线段1n n P

P +的中点，则点n P 的极限位置应是（ ） A. (,)22a b B. (,)33a b C. 22(

,)33a b D. 33(,)44a b 14. 已知函数1()sin()62f x x πω=-

+（0ω>），且1()2f α=-，1()2f β=，若||αβ- 的最小值为

34π，则函数的单调递增区间为（ ） A. [2,2]2k k π

πππ-++，k Z ∈ B. [3,3]2k k ππππ-++，k Z ∈ C. 5[2,2]2k k ππππ++，k Z ∈ D. 5[3,3]2

k k ππππ++，k Z ∈ 15. 已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下列命题正确的是（ ）

A. 若αβ⊥，βγ⊥，则α∥γ

B. 若m α，n β，m ∥n ，则α∥β

C. 若m 、n 是异面直线，m α，m ∥β，n β，n ∥α，则α∥β

D. 平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β

16. 若点P 是ABC ∆的外心，且0PA PB PC λ++=u u u r u u u r u u u r r ，120C ∠=︒，则实数λ的值为（ ）

A.

12 B. 12

- C. 1- D. 1

三. 解答题

17. 如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知AE ⊥底面BCFE ，DF ∥AE ，1DF AE ==，

CE =，

四边形ABCD 是正方形； （1）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体EABC 是否为鳖臑，若是，写出其每一面的直角，并证明：若不是，说明理由；

（2）求四面体EABC 的体积；

18. 一幢高楼上安放了一块高约10米的LED 广告屏，一测量爱好者在与高楼底部同一水平线上的C 处测得广告屏顶端A 处的仰角为31.80°，再向大楼前进20米到D 处，测得广告屏顶端A 处的仰角为37.78°（人的高度忽略不计）；

（1）求大楼的高度（从地面到广告屏顶端）（精确到1米）；

（2）若大楼的前方是一片公园空地，空地上可以安放一些长椅，为使坐在其中一个长椅上观看广告最清晰（长椅的高度忽略不计），长椅需安置在距大楼底部E 处多远？已知视角AMB ∠（M 为观测者的位置，B 为广告屏底部）越大，观看得越清晰；

19. 已知双曲线C 经过点(2,3)，

它的渐近线方程为y =，椭圆1C 与双曲线C 有相同的焦点，椭圆1C 的短轴长与双曲线C 的实轴长相等；

（1）求双曲线C 和椭圆1C 的方程；

（2）经过椭圆1C 左焦点F 的直线l 与椭圆1C 交于A 、B 两点，是否存在定点D ，使得无论AB 怎样运动，都有ADF BDF ∠=∠？若存在，求出D 坐标，若不存在，请说明理由；

20. 已知函数()x F x e =满足()()()F x g x h x =+，且()g x 、()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数；

（1）求函数()h x 的反函数；

（2）已知()(1)x g x ϕ=-，若函数()x ϕ在[1,3]-上满足(21)()2

a a ϕϕ+>-，求实数a 的

取值范围；

（3）若对于任意(0,2]x ∈不等式(2)()0g x ah x -≥恒成立，求实数a 的取值范围；

21. 若存在常数k （*k N ∈，2k ≥），d 、t （,d t R ∈），使得无穷数列{}n a 满足 *1*

n

n n n a d N k a n ta N k

+⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，则称数列{}n a 为“段差比数列”，其中常数k 、d 、t 分别叫做 段长、段差、段比，设数列{}n b 为“段差比数列”；

（1）已知{}n b 的首项、段长、段差、段比分别为1、2、d 、t ，若{}n b 是等比数列，求d 、t 的值；

（2）已知{}n b 的首项、段长、段差、段比分别为1、3、3、3、1，其前3n 项和为3n S ，若

不等式133n n S λ-≤⋅对*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围；

（3）是否存在首项为b ，段差为d （0d ≠）的“段差比数列” {}n b ，对任意正整数n 都有6n n b b +=，若存在，写出所有满足条件的{}n b 的段长k 和段比t 组成的有序数组(,)k t ，若不存在，说明理由；

参考答案