计算方法第七章(特征值与特征向量)

( j p, q) i 1, 2, , n
最后，雅可比方法的计算步骤可以归纳为： （1）确定非对角绝对值最大元位置（p，q），并计算sin和 cos的值； （2）计算迭代矩阵的元素；
（3）计算特征向量；
（4）与计算精度进行比较，以决定第三节 QR 分解方法 3.1 QR 分解 设 u 为n维实单位向量，称下面矩阵为Householder矩阵：
则
(2) (3) 1 a12 a13 (3) a 2 23 (3) Q2 A1 Q2Q1 A a33 (3) 0 a 3n
埃特金加速： 可以证明：乘幂法线性收敛
mk 1 1
2 mk 1 1
2 1
[ zk 1 10 ] i [ zk 10 ] i
2 1
称为收敛率
由于
zk
线性收敛于 x1 ，于是可以对之进行埃特金加速，
( zk )i ( zk 2 )i ( zk 1 )i2 Wi ( zk )i 2( zk 1 )i ( zk 2 )i
, a
(k) pq
0
第 k 步迭代矩阵的元素为：
a a a
(k ) pj
a a
( k 1) pj
cos a
2
( k 1) qj
sin a
(k ) jp
(k ) k 1) ( k 1) k) aqj a (pj sin aqj cos a (jq ( j p, q ) (k ) pp ( k 1) pp
cos 2a a
( k 1) pp
(k 1) pq
sin cos a
( k 1) pq
(k 1) qq
sin
2 2 (k ) qp
(k ) k 1) (k 1) (k 1) aqq a (pp sin 2 2a pq sin cos aqq cos 2 (k ) pq
x a1 , g s ign(a11 )e1
, 1 s ign(a11 ) a1
2
, Q1 I 2u1u1
1 a1 1e1
2
[(a1 1e1 ) (a1 1e1 ) 2(12 1a11 )
最后求得：
Lx z k 1 Ryk x
1/ n lim mk
k
xn lim zk k max( xn )
反幂法的一个主要应用是已知矩阵的近似特征值后，求其特征 向量。 ，则 如果已求得矩阵某个特征值 m 的近似值
m
0 m m i m
(p) (q)
2.1 雅可比算法 算法的思想：
设 A 为对称矩阵，选出 A 的除对角元外的所有元素中绝对值 最大的一个，然后用前一页中的正交矩阵将此元化为零。
如此，产生一个新的阵，然后再重复上面的步骤，直到最后将 A 化为对角矩阵，则对角元就是所要求的特征值！ 将上述过程数学化，首先，记
A A0
1.2 加速技术：
2 显然，乘幂法的收敛速度依赖 ，如此比值接近1，则收敛 1
速度会很慢。
用 A－ pI 代替A，进行乘幂法。迭代速度可能会大大加快。 这叫原点移位法。
1 p 2 p i p (i 3,4,, n)
2 p 2 1 p 1
求得A pI的按模最大特征值1 , A的按模最大特征值1 1 p
，则
A1 R1 A0 R1 , A2 R2 A1R2 , , Ak Rk Ak 1Rk ,
( k 1) Ak 1 (aij )nn
,
k 1 ( k 1) a pq max aij 1i j n
选取 ，使得 Ak (a
(k ) ij nn
)
第七章
矩阵的
特征值与特征向量
第一节 乘幂法与反幂法 1.1 乘幂法：用于求矩阵的模（绝对值）最大的特征值。
记矩阵 A 的特征值为： 1 2 n
相应的特征向量为： , ,, 1 2 n 任取非零向量 则有：
z0 c11 c22 cnn ，记 zk Ak z0
的特征向量。此时，迭代为：
(i m)
于是，用反幂法可以求出 A I 的按模最小特征值及相应 m
xm lim zk k max( xm )
)y z ( A (k 1,2,, z0任意给定) m k k 1 mk max( yk ) z y / m k k k
k 1) ( k 1) k 1) (k 1) (k 1) y a (pp aqq , x sign( a (pp aqq ) 2 a pq
tg 2 x / y
cos 2 sin 2 y x2 y 2 x x y
2 2
1 cos 2 cos 2
Hx x 2 e1 ( x 2 , 0,, 0) (
将矩阵 A 记为
A (a1, a2 ,, an ) , a j (a1 j , a2 j ,, anj )
a1 1e1 u1 a1 1e1 2
于是，可以求得Householder矩阵，将 A 的第一个列向量化简。
(i 1, 2,, n)
以上是计算特征向量的埃特金加速，同样可以得到关于计算特
征值的埃特金加速，
2 mk mk 2 mk 1 Mk mk 2mk 1 mk 2
M k 1
1.3 反幂法
如果 A 非奇异，用其逆矩阵代替 A 进行乘幂法，称为反幂 法。
逆矩阵的特征值与A 互为倒数。即为：
(a
( k 1) qq
) sin cos a
(cos sin ) a
2
(k ) ( k 1) aij aij
(i, j p, q )
tg 2
k 1) 2a (pq k 1) ( k 1) a (pp aqq
k) 为使 a( ，必须 pq 0
k
为避免矩阵的求逆运算，通常也采取如下的算法：
每次迭代需要解 Ayk zk 1 ，为此，可将 A 进行LR分解， 则每次迭代只需解两个三角方程组
Ayk zk 1 (k 1, 2,, z0任意给定) mk max( yk ) z y / m k k k
则有
1 lim mk
k
lim zk x1 / max( x1 )
k
if
mk mk 1 or
zk zk 1 stop
例子：求矩阵的模最大特征值及其特征向量
1 2 1 A 2 4 1 1 1 6
计算结果 程序
%用乘幂法计算矩阵模最大的特征值和相应的特征向量 A=[-1,2,1;2,-4,1;1,1,-6] z0=[1,1,1]'; errtel=1e-6; er=1; k=0; while er>errtel k=k+1; yk=A*z0; [c,p]=max(abs(yk)); mk=yk(p) zk=yk/mk; er=norm(zk-z0); z0=zk; end k,mk,zk
于一个对角矩阵，而该对角矩阵的对角元正是 A 的特征值。
Q Q1 , QQ I
数不变。
, QAQ
（2）一个矩阵左乘一个正交矩阵或右乘一个正交矩阵，其E范
A E a trace( A A) trace( A Q QA) QA
2 i 1 j 1 2 ij

sin 2 sin 2 cos
实际计算中，一般预先给一个计算精度 ，当第 m 步满足

停止计算，这时，
i j 1

n
( m) aij
Am Rm Rm1 R1 AR1 Rm R P AP 1 m m m
则对角阵的对角元为特征值近似值，矩阵 P 的列向量为特征向
(2) (2) 1 a12 a12 Q1 A Q1 (a1 , a2 ,, an ) (2) (2) (2) a22 a2 n 1 a2 (2) (2) (1e1 , a2 , , an ) A1 (2) (2) an 2 ann
n
n
2 E
AE A
2
2 E
A Q


2 E
) ( AQ

2 E
AQ
2 E
下面的矩阵是一个 n 阶正交矩阵：
1 cos sin R ( p, q, ) 1 sin cos 1
量近似值。实际计算中，矩阵 P 是按如下步骤计算：
P0 I , Pk Pk 1Rk (k 1, 2,, m)
(k ) ( k 1) ( k 1) pip pip cos aiq sin (k ) ( k 1) ( k 1) piq pip sin piq cos (k ) ( k 1) pij pij
对矩阵 A1 又再重复前面的过程，即求出Householder矩阵 H 2
(2) (2) (2) H2 (a22 ,, an ) e (2 ,0,,0) 2 2 1
于是，我们记
1 0 Q2 H 2
(3) a12 (3) (2) a2 n 1 a12 (3) a3n 2 (3) ann
k 1 1 1
zk c
( zk 1 )i 1 lim k ( z ) k i
这里， ( z )i 表示向量的第 i 个分量
具体计算时，对于任意取的初始向量，按以下格式计算：
yk Azk 1 (k 1, 2, , z0任意给定) mk max( yk ) ( yk中绝对值最大的分量), z y / m k k k
1 lim mk k m m
通常，初值选为：
z0 Le e (1,1, ,1)
这里，矩阵 L 为 角矩阵。
I LR 分解中的单位下三 A m
第二节 对称矩阵的雅可比方法 两个重要的基本性质：
（1）如 A 为实对称矩阵，则一定存在正交矩阵 Q ，使之相似
1/ n 1/ n1 1/ 1
用 A 的逆进行乘幂法，得到 1/ n 迭代格式为：
yk A1 zk 1 (k 1, 2,, z0任意给定) mk max( yk ) ( yk中绝对值最大的分量), z y / m k k k
1/ n lim mk
H I 2uu
容易验证Householder矩阵为正交阵，同时又是对称阵：
HH I , H H
对任意的向量 x 以及单位向量 g，存在Householder矩阵，使
Hx x 2 g
u
x x 2 g x x 2 g
2 x i , 0,, 0) i 1 n
特别，取 g = e = ( 1 , 0 , …… , 0)
在这里，我们通常，限制
k 1) (k 1) / 4 ，如果 a(pp aqq ，
k 1) ( k 1) 当 a( 时，取 ，当 0 a pq 0 时， /4 / 4 pq
在具体计算第 k 步迭代矩阵的元素时，需要计算正弦值和余弦 值，通常按如下步骤计算：