乘法公式(提高)
初中数学全套公式
初中数学全套公式初中数学是义务教育的基础学科，其公式和概念的学习是这门课程的核心部分。
以下是一套完整的初中数学公式，这些公式涵盖了初中数学的大部分内容，对于理解和应用数学概念具有重要意义。
一、代数公式1、乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²3、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)4、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)5、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)6、两数和乘两数差：2(a+b)(a-b)=2a²-2b²7、两数平方和：a²+b²=(a+b)²-2ab8、两数和的平方：(a+b)²=a²+2ab+b²9、两数差的平方：(a-b)²=a²-2ab+b²10、幂的乘方：anbn=(ab)n11、积的乘方：anbn=(ab)n12、分式的约分：同时分子分母除以公因式。
13、提公因式法：一般地，如果想要提取一个多项式的公因式，我们把这个多项式的各项都含有的相同字母因式提到括号外面，将多项式化成积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
14、运用公式法：如果一个式子的值等于几个其他式子的值乘积，那么这个式子就叫公式的原式，这几个其他式子就叫这个公式的因式。
如果把一个公式的所有因式分解出来，那么它们就都叫这个公式的因式分解。
二、几何公式1、勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
2、平行线间的距离公式：如果两条直线平行，那么一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等。
3、三角形的面积公式：一个三角形的面积等于底边乘以高再除以2。
乘法运算律公式大全
乘法运算律是数学中的基本规则，它们帮助我们理解和处理乘法操作。
以下是一些常见的乘法运算律：
1. 乘法交换律（Commutative Law of Multiplication）：
a *
b = b * a
这意味着乘法操作的顺序可以交换，不影响结果。
例如，2 * 3 = 3 * 2。
2. 乘法结合律（Associative Law of Multiplication）：
(a * b) * c = a * (b * c)
这意味着乘法操作的括号分组方式可以改变，不影响结果。
例如，(2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)。
3. 乘法分配律（Distributive Law of Multiplication）：
a * (
b + c) = (a * b) + (a * c)
这个律法表示乘法对加法的分配，或者说，可以将一个数与括号内的每个数相乘，然后将结果相加。
例如，2 * (3 + 4) = (2 * 3) + (2 * 4)。
4. 乘法单位元律（Multiplicative Identity Law）：
a * 1 = a
任何数与1相乘都等于其自身。
5. 乘法零元律（Multiplicative Zero Law）：
a * 0 = 0
任何数与0相乘都等于0。
这些乘法运算律是基础数学原理，它们在解决各种数学问题和代数方程式中都非常有用。
通过应用这些规则，我们可以简化乘法运算、重新排列因子和求解复杂的数学表达式。
乘法公式经典例题
乘法公式经典例题
乘法公式是数学中非常基础和重要的公式之一，它在我们日常生活和学习中经常被使用到。
下面将给出几个经典的乘法公式例题，帮助我们更好地理解和运用乘法公式。
一、乘法的交换律：a * b = b * a
这个公式告诉我们，两个数相乘的结果不受它们的顺序影响。
例如，2 * 3 = 3 * 2 = 6。
二、乘法的结合律：(a * b) * c = a * (b * c)
结合律告诉我们，三个数相乘的结果不受它们加括号的顺序影响。
例如，(2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4) = 24。
三、乘法的分配律：a * (b + c) = a * b + a * c
分配律告诉我们，一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘再求和。
例如，2 * (3 + 4) = 2 * 3 + 2 * 4 = 14。
四、零的乘法：a * 0 = 0
零的乘法告诉我们，任何数乘以零的结果都是零。
例如，2 * 0 = 0。
五、一的乘法：a * 1 = a
一的乘法告诉我们，任何数乘以一的结果都是它本身。
例如，2 * 1 =
2。
除了以上几个经典的乘法公式，还可以根据实际情况进行推导和运用。
例如，我们可以利用乘法公式计算两个数的乘积，或者根据乘法公式解决实际问题，如计算面积、体积等。
总结来说，乘法公式是数学中非常重要的基础工具，它帮助我们理解和运用乘法的规律，解决各种数学问题。
通过不断练习和应用乘法公式，我们可以提高自己的数学能力，更加灵活地运用乘法进行计算和解决问题。
浙教版七年级数学下册 3.4 乘法公式(提高)知识讲解
乘法公式（提高讲义）【重点梳理】重点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.重点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 重点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.重点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+重点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.重点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 重点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±m ；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用例1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1 ＝642－1＋1＝642．【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三：【变式1】(2019秋﹒平山县期末）用简便方法计算： (1)1002-200×99+992 (2)2018×2020-20192【分析】（1）将原式转化为1002-2×100×(100-1)+(100-1)2,再利用完全平方公式进行计算， (2)2018×2020转化为(2019-1)(2019+1),再利用平方差公式计算即可． 【解答】解：(1)1002-200×99+992 =1002-2×100×(100-1)+(100-1)2 =[100-(100-1)]2=12 =1；(2)2018×2020-20192=(2019-1)(2019+1)-20192=20192-1-20192 =-1．【点评】考查平方差公式、完全平方公式的应用，掌握公式特征是关键．【变式2】（2019•内江）（1）填空： （a ﹣b ）（a+b ）= ；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ． （2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b+…+ab n ﹣2+b n ﹣1）= （其中n 为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2． 【答案】解：（1）（a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3+a 2b+ab 2﹣a 2b ﹣ab 2﹣b 3=a 3﹣b 3；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3﹣a 3b ﹣a 2b 2﹣ab 3﹣b 4=a 4﹣b 4；故答案为：a 2﹣b 2，a 3﹣b 3，a 4﹣b 4； （2）由（1）的规律可得：原式=a n﹣b n，故答案为：a n ﹣b n；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．例2、(2019秋﹒甘井子区期末）数学兴趣小组在“用面积验证平方差公式”时，经历了如下的探究过程：（1）小明的想法是：将边长为a 的正方形右下角剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，并用两种方式表示这两部分面积的和，请你按照小明的想法验证平方差公式．（2）小白的起法是：在边长为a 的正方形内部任意位置剪掉一个边长为b 的正方形（如图2），再将剩下部分进行适当分割，并将分割得到的几部分面积和用两种方式表示出来，请你按照小白的想法在图中用虚线画出分割线，并验证平方差公式．【考点】平方差公式的几何背景．乘法公式的几何验证方法∴①+②的面积=a 2-b 2;①+②的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a 2-b 2, ∴(a+b)(a -b)=a 2-b 2．（2）①+②的面积=(a-b)b=ab-b 2, ③+④的面积=(a-b)a=a 2-ab, ∴①+②+③+④=a 2-b 2;①+②+③+④的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a 2-b 2, ∴(a+b)(a -b)=a 2-b 2．【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键． 举一反三：【变式】(2019秋﹒南昌期末）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．（1）在图2中的阴影部分面积S 1可表示为a 2-b 2a 2-b 2,在图3中的阴影部分的面积S 2可表示为a 2-b 2a 2-b 2,由这两个阴影部分的面积得到的一个等式是BB ． A ．(a+b)2=a 2+2ab+b 2B ．a 2-b 2=(a+b)(a-b) C ．(a-b)2=a 2-2ab+b 2（2）根据你得到的等式解决下面的问题： ①计算：67.52-32.52; ②解方程：(x+2)2-(x-2)2=24．【考点】平方差公式的几何背景．【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）由正方形的面积，可得S 1=a 2-b 2;由长方形的面积，可得S 1=(a+b)(a-b)=a 2-b 2;所以a 2-b 2=(a+b)(a-b);（2）①67.52-32.52=(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100×35=3500;②展开整理，得8x=24，解得x=3，所以方程的解是x=3．【解答】解：（1）由正方形的面积，可得 S 1=a 2-b 2;由长方形的面积，可得S 1=(a+b)(a-b)=a 2-b 2; ∴a 2-b 2=(a+b)(a-b); 故答案为a 2-b 2,a 2-b 2,选B ；（2）①67.52-32.52=(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100×35=3500; ②(x+2)2-(x-2)2=24， 展开整理，得8x=24， 解得x=3， ∴方程的解是x=3．【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键．类型二、完全平方公式的应用例3、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”． 【答案与解析】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-22464129a ab a b b =+-+-+ 22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-． 【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算. 举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+； (3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---． 【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c--=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+-＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋＝－()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－例4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案与解析】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=． 即222()()()0a b b c a c -+-+-=． ∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________. 【答案】4；提示：()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.。
数学运算常用公式大全
数学运算常用公式大全1.加法和减法公式：-加法交换律：a+b=b+a-加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)-加法逆元（减法）：a+(-a)=0-加法消去律：a+b=a+c，则b=c2.乘法和除法公式：-乘法交换律：a×b=b×a-乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)-乘法逆元（倒数）：a×(1/a)=1，其中a≠0-乘法消去律：a×b=a×c，则b=c3.指数公式：-幂的乘法：a^m×a^n=a^(m+n)-幂的除法：a^m÷a^n=a^(m-n)-幂的乘方：(a^m)^n=a^(m×n)-幂的零次方：a^0=1，其中a≠04.对数公式：- 对数的乘法：loga (xy) = loga x + loga y- 对数的除法：loga (x/y) = loga x - loga y- 对数的幂：loga (x^n) = n loga x5.三角函数公式：- 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC- 余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA- 正切定理：tanA = sinA/cosA- 和差化积公式：sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB6.二次方程公式：- 一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a≠0- 解的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a- 判别式：Δ = b^2 - 4ac，若Δ > 0，则有两个不相等的实根；若Δ = 0，则有两个相等的实根；若Δ < 0，则没有实根。
7.统计学公式：-平均数：平均数=总和/数据个数-中位数：将数据从小到大排列，如果数据个数为奇数，中位数为中间的那个数；如果数据个数为偶数，中位数为中间两个数的平均数。
乘法公式定理(题型扩展)
乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，x y y x x 2y 2 ② 符号变化，x y x y x 2y 2 x 2y 2③ 指数变化，x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ④ 系数变化，2a b 2a b 4a 2b 2 ⑤ 换式变化，xy z m xy z mxy 2z m 2 x 2y 2z m z m x 2y 2z 2zm zm m 2 x 2y 2z 22zm m 2⑥ 增项变化，x y z x y zx y 2z 2 x y x y z 2 x 2xy xy y 2z 2 x 22xy y 2z 2⑦ 连用公式变化，x y x y x 2y 2x 2y 2x 2y 2 x 4y 4⑧ 逆用公式变化，x y z 2x y z 2x y zx y zx y z x y z2x 2y 2z 4xy 4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
用乘法公式巧妙计算
用乘法公式巧妙计算乘法公式是数学中的基本公式之一，它用于计算两个数的乘积。
乘法公式还可以通过巧妙的变形和运算，用来解决一些复杂的问题。
在本文中，我将介绍一些常见的乘法公式应用和巧妙计算方法，为你提供一些灵感和启示。
1.乘法分配律：乘法分配律是数学中最常用的乘法公式之一、它表明，两个数的积与其中一个数分别乘以另一个数再相加的结果相等。
即：a*(b+c)=a*b+a*c。
这个公式在计算中可以大大简化问题，因为我们可以先将一些因子与多个数相乘，然后再将结果相加，而不需要一个一个相乘再相加。
2. 平方公式：平方公式用于计算一个数的平方。
即：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2、这个公式可以用来计算一个数的平方和，或者将一个数的立方拆分成多个平方的和。
3. 乘方公式：乘方公式用于计算一个数的乘方。
例如，(a+b)^3 =a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3、这个公式可以用来计算一个数的立方和，或者将一个数的四次方、五次方等拆分成多个平方的和。
4.九九乘法口诀：九九乘法口诀是学习乘法的基础，它通过记忆九九乘法表的形式，帮助我们快速计算两个数的乘积。
例如，2乘以3等于6，3乘以4等于12等等。
通过熟练掌握九九乘法口诀，可以在计算中快速推算乘积。
5.快速乘法法则：快速乘法法则是一种通过巧妙的变形和运算，高效地计算乘积的方法。
例如，计算17乘以15，可以将15拆分成10和5，然后将10乘以17，在将5乘以17，最后将两个数的乘积相加。
这种方法可以在一定程度上减少手工计算的复杂度。
通过灵活运用这些乘法公式和巧妙计算方法，可以大大简化乘法计算的过程，并提高计算效率。
在以后的学习和工作中，你可以根据具体的问题和需求，选择合适的公式和方法，以便更加高效地进行乘法计算。
不断练习和应用这些方法，你会发现数学计算的乐趣，同时也提高自己的数学能力。
2014年初中数学乘法公式提高练习
一．解答题（共14小题）1．计算：2（m+1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）．2．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．3．若a=，b=，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．4．根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）若用a1b1，a2b2，…，a n b n表示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）5．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有_________项，系数分别为_________；（2）（a+b）n展开式共有_________项，系数和为_________．6．老师在黑板上写出三个算式：52﹣32=8×2，92﹣72=8×4，152﹣32=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112﹣52=8×12，152﹣72=8×22，…（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性．7．（1）计算：（a+b）（a2﹣ab+b2）；（2）若x+y=1，xy=﹣1，求x3+y3的值．8．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．9．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．10．已知，求的值．11．已知（x+y）2=1，（x﹣y）2=49，求：①x2+y2，②xy．12．如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．（1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果m﹣n=4，mn=12，求m+n的值．13．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：_________方法2：_________（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．_________（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则（a﹣b）2=_________．14．（1）观察下列各式：62﹣42=4×5，112﹣92=4×10，172﹣152=4×16…你发现了什么规律？试用你发现的规律填空：512﹣492=4×_________，752﹣732=4×_________．（2）请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来，并用所学数学知识说明你所写式子的正确性．2014年初中数学乘法公式提高练习参考答案与试题解析一．解答题（共14小题）1．（2011•大连一模）计算：2（m+1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）．2．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．）+4（﹣a++ab+（ab++b（﹣3．（2009•临夏州）若a=，b=，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．=4．（2007•东营）根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）若用a1b1，a2b2，…，a n b n表示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）≤5．（2006•龙岩）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有5项，系数分别为1，4，6，4，1；（2）（a+b）n展开式共有n+1项，系数和为2n．6．（2006•安徽）老师在黑板上写出三个算式：52﹣32=8×2，92﹣72=8×4，152﹣32=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112﹣52=8×12，152﹣72=8×22，…（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性．7．（2006•肇庆）（1）计算：（a+b）（a2﹣ab+b2）；（2）若x+y=1，xy=﹣1，求x3+y3的值．8．（2003•黄石）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．9．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．10．已知，求的值．=）﹣=））﹣±11．已知（x+y）2=1，（x﹣y）2=49，求：①x2+y2，②xy．12．如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．（1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果m﹣n=4，mn=12，求m+n的值．13．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：（m+n）2﹣4mn方法2：（m﹣n）2（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．（m+n）2=（m ﹣n）2+4mn（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则（a﹣b）2=29．14．（1）观察下列各式：62﹣42=4×5，112﹣92=4×10，172﹣152=4×16…你发现了什么规律？试用你发现的规律填空：512﹣492=4×50，752﹣732=4×74．（2）请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来，并用所学数学知识说明你所写式子的正确性．。
1到6年级的数学公式大全
1到6年级的数学公式大全数学是一门重要的学科，它涉及到我们日常生活中的计数、测量、形状和模式等方方面面。
在学习数学的过程中，掌握数学公式是非常关键的一部分，它们帮助我们解决各种数学问题并提高计算的准确性和效率。
以下是1到6年级的数学公式大全。
一、计数和基本运算公式1. 加法公式：- 两个数相加：a + b = c2. 减法公式：- 两个数相减：a - b = c3. 乘法公式：- 两个数相乘：a × b = c4. 除法公式：- 两个数相除：a ÷ b = c5. 平方公式：- 数的平方：a² = c6. 开方公式：- 数的平方根：√a = c二、几何形状公式1. 长方形公式：- 周长：P = 2(a + b)- 面积：A = a × b2. 正方形公式：- 周长：P = 4a- 面积：A = a²3. 三角形公式：- 周长：P = a + b + c- 面积：A = 1/2 × b × h4. 圆形公式：- 周长：C = 2πr (π取3.14或3.14159) - 面积：A = πr²三、分数和小数公式1. 分数加法公式：- a/b + c/d = (a×d + b×c) / (b×d)2. 分数减法公式：- a/b - c/d = (a×d - b×c) / (b×d)3. 分数乘法公式：- a/b × c/d = (a×c) / (b×d)4. 分数除法公式：- a/b ÷ c/d = (a×d) / (b×c)5. 小数转分数公式：- 将小数x转为分数：x = a/b6. 分数转小数公式：- 将分数a/b转为小数：a ÷ b = x四、代数公式1. 一元一次方程公式：- ax + b = 0 或者 ax = b- 解：x = -b/a2. 二次方程公式：- ax² + bx + c = 0- 解：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)3. 等差数列求和公式：- Sn = (n/2)(a₁ + an)- 其中，Sn表示前n项和，a₁表示首项，an表示第n项4. 等比数列求和公式：- Sn = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q)- 其中，Sn表示前n项和，a₁表示首项，q表示公比五、时间和速度公式1. 时间、速度和距离公式：- 速度(平均速度)：v = s / t- 距离：s = v × t- 时间：t = s / v2. 寻找相对速度公式：- 相对速度：vr = v₁ - v₂六、百分数和几率公式1. 百分数公式：- 百分数 = (所占部分 / 总数) × 100%2. 几率公式：- 几率 = 事件发生的可能性 / 事件不发生的可能性以上是1到6年级数学公式的大全，这些公式将帮助你更好地理解和应用数学，希望对你的学习有所帮助！。
乘法公式(提高)知识讲解
乘法公式（提高讲义）【重点梳理】重点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.重点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 重点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.重点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+重点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.重点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 重点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用例1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1 ＝642－1＋1＝642．【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三：【变式1】(2019秋﹒平山县期末）用简便方法计算： (1)1002-200×99+992 (2)2018×2020-20192【分析】（1）将原式转化为1002-2×100×(100-1)+(100-1)2,再利用完全平方公式进行计算， (2)2018×2020转化为(2019-1)(2019+1),再利用平方差公式计算即可． 【解答】解：(1)1002-200×99+992 =1002-2×100×(100-1)+(100-1)2 =[100-(100-1)]2=12 =1；(2)2018×2020-20192=(2019-1)(2019+1)-20192=20192-1-20192 =-1．【点评】考查平方差公式、完全平方公式的应用，掌握公式特征是关键．【变式2】（2019•内江）（1）填空： （a ﹣b ）（a+b ）= ；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ． （2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b+…+ab n ﹣2+b n ﹣1）= （其中n 为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2． 【答案】解：（1）（a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3+a 2b+ab 2﹣a 2b ﹣ab 2﹣b 3=a 3﹣b 3；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3﹣a 3b ﹣a 2b 2﹣ab 3﹣b 4=a 4﹣b 4；故答案为：a 2﹣b 2，a 3﹣b 3，a 4﹣b 4； （2）由（1）的规律可得：原式=a n﹣b n，故答案为：a n ﹣b n；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．例2、(2019秋﹒甘井子区期末）数学兴趣小组在“用面积验证平方差公式”时，经历了如下的探究过程：（1）小明的想法是：将边长为a 的正方形右下角剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，并用两种方式表示这两部分面积的和，请你按照小明的想法验证平方差公式．（2）小白的起法是：在边长为a 的正方形内部任意位置剪掉一个边长为b 的正方形（如图2），再将剩下部分进行适当分割，并将分割得到的几部分面积和用两种方式表示出来，请你按照小白的想法在图中用虚线画出分割线，并验证平方差公式．【考点】平方差公式的几何背景．乘法公式的几何验证方法∴①+②的面积=a 2-b 2;①+②的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a 2-b 2, ∴(a+b)(a -b)=a 2-b 2．（2）①+②的面积=(a-b)b=ab-b 2, ③+④的面积=(a-b)a=a 2-ab, ∴①+②+③+④=a 2-b 2;①+②+③+④的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a 2-b 2, ∴(a+b)(a -b)=a 2-b 2．【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键． 举一反三：【变式】(2019秋﹒南昌期末）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．（1）在图2中的阴影部分面积S 1可表示为a 2-b 2a 2-b 2,在图3中的阴影部分的面积S 2可表示为a 2-b 2a 2-b 2,由这两个阴影部分的面积得到的一个等式是BB ． A ．(a+b)2=a 2+2ab+b 2B ．a 2-b 2=(a+b)(a-b) C ．(a-b)2=a 2-2ab+b 2（2）根据你得到的等式解决下面的问题： ①计算：67.52-32.52; ②解方程：(x+2)2-(x-2)2=24．【考点】平方差公式的几何背景．【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）由正方形的面积，可得S 1=a 2-b 2;由长方形的面积，可得S 1=(a+b)(a-b)=a 2-b 2;所以a 2-b 2=(a+b)(a-b);（2）①67.52-32.52=(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100×35=3500;②展开整理，得8x=24，解得x=3，所以方程的解是x=3．【解答】解：（1）由正方形的面积，可得 S 1=a 2-b 2;由长方形的面积，可得S 1=(a+b)(a-b)=a 2-b 2; ∴a 2-b 2=(a+b)(a-b); 故答案为a 2-b 2,a 2-b 2,选B ；（2）①67.52-32.52=(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100×35=3500; ②(x+2)2-(x-2)2=24， 展开整理，得8x=24， 解得x=3， ∴方程的解是x=3．【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键．类型二、完全平方公式的应用例3、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”． 【答案与解析】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-22464129a ab a b b =+-+-+ 22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-． 【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算. 举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+； (3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---． 【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c--=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+-＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋＝－()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－例4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案与解析】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=． 即222()()()0a b b c a c -+-+-=． ∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________. 【答案】4；提示：()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.。
乘法公式三元立方公式
乘法公式三元立方公式
摘要：
1.乘法公式的概述
2.三元立方公式的定义
3.三元立方公式的应用
4.三元立方公式的优点
正文：
【乘法公式的概述】
乘法公式是我们日常生活中经常用到的一种数学工具，它可以帮助我们快速地进行乘法运算。
在数学中，乘法公式通常是指两个数相乘的式子，比如2x、3y 等。
通过乘法公式，我们可以把复杂的乘法运算简化成简单的加法或减法运算，从而提高我们的计算效率。
【三元立方公式的定义】
三元立方公式，又称三元立方恒等式，是一个在数学中经常用到的公式。
它的定义是：(a+b+c) = a + b + c + 3(ab+ac+bc)。
这个公式可以帮助我们在计算三次方时，把复杂的运算简化成简单的加法或减法运算。
【三元立方公式的应用】
三元立方公式在数学中有广泛的应用，尤其在解决一些复杂的数学问题时，它可以帮助我们简化运算过程，提高计算效率。
比如，在解决一些涉及三次方的数学题时，我们可以通过三元立方公式，把复杂的三次方运算简化成简单的加法或减法运算。
【三元立方公式的优点】
三元立方公式的最大优点在于，它可以帮助我们简化复杂的数学运算，提高我们的计算效率。
八年级数学上册《乘法公式》教案、教学设计
1.教学活动设计：将学生分成若干小组，每组针对以下问题进行讨论：
a.平方差公式和完全平方公式的推导过程；
b.乘法公式在解决实际问题中的应用；
c.运用乘法公式进行整式乘法的优点。
2.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入探讨。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计以下几类练习题，巩固学生对乘法公式的掌握：
7.信息技术辅助教学：利用多媒体、网络资源等信息技术手段，形象直观地展示乘法公式的推导过程，提高教学效果。
8.关注个体差异，因材施教：针对不同学生的特点，给予个性化的指导，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
9.定期评估，总结提高：通过定期测试和评估，了解学生的学习情况，总结教学经验，不断调整和优化教学方法，提高教学质量。
a.平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)
通过具体的数值代入，引导学生观察、发现并总结出平方差公式的规律。
b.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²
同样，通过具体的数值代入，引导学生观察、发现并总结出完全平方公式的规律。
2.教学方法：采用引导式教学，让学生通过观察、思考和总结，自主发现乘法公式的规律。
4.利用信息技术手段，如多媒体、网络资源等，辅助教学，提高课堂教学效果。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习数学的积极性。
2.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，使学生养成良好的学习习惯。
3.培养学生合作交流的意识，学会倾听他人意见，提高人际沟通能力。
4.培养学生认识到数学知识在实际生活中的重要性，增强学生的应用意识和实践能力。
乘法公式(题型拓展)
A. 4x 2x2 3x 1 8x3 12x2 4x
C. 4a 14a 1 1 16a 2
B. x y x 2 y 2 x3 y3
D. x 2 y2 x 2 2xy 4 y 2
例 2：多项式 4x 2 1 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的多项式可以是
（A）a4－1 （B）a4＋1 （C）a4＋2a2＋1 （D）1－a4
2、若（x＋m）（x－8）中不含 x 的一次项，则 m 的值为………………………（ ）
（A）8
（B）－8
（C）0
（D）8 或－8
3、下列计算正确的是（ ）
A、 3 2 3 3 2 3 9
B、 a b2 a 2 b2
例 6：已知 a b 3 ， ab 1 ，求： 2
（1）a2＋b2
（2）a2＋ab＋b2
（3）a4＋b4
（二）思维重点突破
例 7 观察下列各式（x－1）（x＋1）=x2－1，（x-1）（x2＋x＋l）=x3－l．（x－l）（x3＋x2＋x＋l）=x4-1，
根据前面各式的规律可得（x－1）（xn＋xn-1＋…＋x＋1）＝
4、已知
x＋
1 x
＝2，求
x2＋
1 x2
的值．
5、已知 a2＋6a＋b2－10b＋34＝0，求代数式（2a＋b）（3a－2b）＋4ab 的值．
AB=4a，MP=b，正方形 APCD 与正方形 PBEF 的面积之差为 S。 （1）用 a，b 的代数表示 S。 （2）当 a=4、b=1/2 时，S 的值是多少？当 a=S，b=1/4 时呢？
D
C
F
E
A
MP B
A 类作业：
第一章整式乘法-乘法公式拓展提升(教案)
3.注重个体差异，针对不同水平的学生进行有针对性的辅导和指导；
4.定期对学生们进行评价，了解他们在整式乘法方面的掌握程度，以便调整教学策略。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对整式乘法的基础知识掌握得相对扎实，但在乘法公式的运用上还存在一些问题。尤其是在完全平方公式、平方差公式等拓展提升部分，学生们在理解上还有一定的难度。这让我意识到，在今后的教学中，需要更加注重乘法公式的推导过程和实际应用。
课堂上，我尽量用生动的语言和具体的例子来解释乘法公式的来源和运用，但显然，这部分内容对于一些学生来说仍然难以消化。我想，在下一节课中，可以尝试通过更多的互动和实际操作，让学生们亲自参与到公式的推导和应用中来，以提高他们的理解和记忆。
（3）各类乘法公式在实际问题中的综合运用。
举例：
-多项式乘法法则：要求学生掌握(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd的展开方法；
-完全平方公式：熟练运用a²±2ab+b²=(a±b)²解决实际问题；
-平方差公式：掌握a²-b²=(a+b)(a-b)，并能应用于求解相关问题；
-立方和与立方差公式：熟练运用a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)和a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)解决具体问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式乘法的基本概念、乘法公式的重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
乘法公式(题型扩展)
乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，xyyxx2y2② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4④ 系数变化，2ab2ab4a2b2⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2⑦ 连用公式变化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧ 逆用公式变化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz例1．已知，，求的值。
解：∵ ∴=∵， ∴=例2．已知，，求的值。
解：∵∴ ∴=∵， ∴例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1）=19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。
〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。
解：a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2（a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x2-z2的值。
〖解析〗此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。
解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=14×4=56。
乘法运算定律
乘法运算定律一、乘法交换律公式：a×b=a×b(目的：通过因数位置的交换，达到将特殊组合数先算的目的。
)如（4和25；125和8；20和5等）例题：25×7×4 12.5×6×8=25×4×7 =12.5×8×6=100×7 =100×6=700 =600二、乘法结合律：公式：(a×b)×c=a×(b×c)（目的：通过将后算因数进行结合，达到将特殊组合数先算的目的。
）如（4和25；125和8；20和5等）例题：4×8×12.5 5.6×125=4×（8×12.5）=(7×0.8)×125=4×100 =7×(0.8×125)=400 =7×100=700三、乘法分配律：公式：a×(b+c)=ab+ac（目的：通过将复杂数字拆分成简单有利于组合的数字，达到简便计算的目的。
）如（8.8=8+0.8；101=100+1; 99=100-1等）例题：8.8×125 101×0.45 99×0.36 =（8+0.8）×125 =(100+1)×0.45 =(100-1)×0.36=8×125+0.8×125 =100×0.45+1×0.45 =100×0.36-1×0.36 =1000+100 =45+0.45 =36-0.36=1100 =45.45 =35.64四、乘法分配律（逆运算）：公式：ab+ac=a×(b+c)（目的：通过将分开的数字组合成有利于计算的数字，达到简便计算的目的。
）如（98+2=100；101-1=100等）例题：98×0.36+2×0.36 101×0.45-0.45=（98+2）×0.36 =(101-1)×0.45=100×0.36 =100×0.45=360 =45实际操作：97×0.35+0.35×3 102×0.36-0.36×2 99×0.79 5.6×125 7.2×125 0.72×99+7.2×0.1 102×0.45-0.45×2 101×0.21 99×0.45+2×0.45-0.45。
乘法公式知识点总结
乘法公式知识点总结在数学中，乘法是最基本和常用的运算之一。
乘法公式是描述乘法操作的规则和性质的数学工具，用于简化和计算复杂的乘法运算。
本文将总结乘法公式的重要知识点，帮助读者更好地理解和运用乘法公式。
一、乘法的基本概念乘法是一种表示重复加法的运算。
当我们将一个数（被乘数）与另一个数（乘数）相乘时，结果称为积。
乘法运算可以用算式表示为：被乘数×乘数 = 积。
二、乘法的交换律乘法具有交换律，即两个数相乘的结果与换位后的乘数和被乘数相乘的结果相同。
换句话说，乘法的顺序可以交换。
例如，2 × 3 = 6 和 3 × 2 = 6 是等价的。
三、乘法的结合律乘法还具有结合律，即三个数相乘的结果不受乘法运算的顺序影响。
换句话说，当进行多个数的乘法时，可以将任意两个数的乘积先求出，然后再与剩下的数相乘。
例如，(2 × 3) × 4 = 6 × 4 =24 和 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24 是等价的。
四、乘法的分配律乘法也具有分配律，可以将乘法运算分配到加法运算上。
具体地说，当一个数同时与两个数进行加法运算时，可以先将这个数分别与这两个数相乘，然后再将两个积相加。
例如，2 × (3 + 4) = 2 ×3 + 2 × 4。
同样地，(3 + 4) × 2 = 3 × 2 +4 × 2。
五、乘法的乘积性质乘法还有一些重要的乘积性质，包括零乘积性质和乘法的倒数性质。
1. 零乘积性质：任何数与零相乘的结果都等于零。
例如，0 × 5 = 0 和 0 × 100 = 0。
2. 乘法的倒数性质：任何非零数与其倒数相乘的结果都等于1。
例如，5 × 1/5 = 1 和 10 × 1/10 = 1。
六、乘法的幂与乘方运算乘法还与幂和乘方运算密切相关。
完美掌握正方形乘法公式的技巧
完美掌握正方形乘法公式的技巧在学习数学的过程中，乘法是一个重要的概念，而正方形乘法公式则是乘法中的一个重要技巧。
掌握正方形乘法公式不仅可以帮助我们更好地理解乘法运算，还可以提高我们的计算速度和准确性。
本文将介绍一些完美掌握正方形乘法公式的技巧，帮助读者更好地应用于实际问题中。
正方形乘法公式是指将一个数乘以自身的技巧，即a * a = a^2。
这个公式在数学中非常常见，尤其在代数学中经常用到。
为了更好地理解和应用这个公式，我们可以从几个方面进行思考和练习。
首先，我们可以通过几何图形来理解正方形乘法公式。
正方形是一个具有四个相等边和四个直角的多边形。
当我们将一个数a乘以自身时，可以将这个数看作正方形的边长。
那么，正方形的面积就是a * a，即a^2。
通过这种几何图形的思考方式，可以更加形象地理解正方形乘法公式。
其次，我们可以通过实际问题来应用正方形乘法公式。
在日常生活中，有很多问题可以通过正方形乘法公式来解决。
比如，我们可以用正方形乘法公式来计算一个正方形的面积。
假设一个正方形的边长为a，那么它的面积就是a * a，即a^2。
这个公式可以帮助我们快速计算出正方形的面积，而不需要通过逐个计算边长来得出结果。
此外，正方形乘法公式还可以帮助我们解决一些代数方程。
在代数学中，我们经常会遇到形如x^2 = a的方程。
通过应用正方形乘法公式，我们可以很容易地得到x的值。
比如，如果我们有一个方程x^2 = 9，那么根据正方形乘法公式，我们可以得出x = 3或x = -3。
这个技巧在解代数方程时非常实用，可以大大简化计算过程。
除了以上几个方面，我们还可以通过一些练习来提高对正方形乘法公式的掌握。
例如，我们可以通过口算练习来熟悉正方形乘法公式的运用。
可以选择一些简单的数进行计算，比如2、3、4等，然后将其平方。
通过反复练习，我们可以更加熟练地应用正方形乘法公式，提高计算速度和准确性。
此外，我们还可以通过解决一些实际问题来应用正方形乘法公式。
乘法公式恒等变形(提高)
乘法公式恒等变形（提高）【知识要点归纳】ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+aa a a ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++立方和与立方差))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-【典型例题分析】公式组合1、已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab2、已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值3、已知3,5==+ab b a ，求：①22b a + ②b a - ③22b a - ④ab b a + ⑤22b ab a +- ⑥33b a +公式倍比 1、已知b a +=4，求ab b a ++2222、已知xy y x ，y x x x -+-=---22)()1(222求整体代入1、2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值2、已知a=201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值3、已知（2017﹣a ）2+（2016﹣a ）2=1，求（2017﹣a ）（2016﹣a ）4、步步为营3⨯(22+1)⨯(24+1)⨯(28+1)⨯(162+1)6⨯)17(+⨯(72+1)⨯(74+1)⨯(78+1)+1 ()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++1)12()12()12()12()12()12(3216842++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+2220132014—+2220112012-…+22221234-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2222201411411311211分类配方1、已知03410622=++-+n m n m ，求n m +的值。
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乘法公式（提高）
【要点梳理】
要点一、平方差公式
平方差公式：()()a b a b +-=22b a -.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，a ，b 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如()()a b b a +-+； （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-
（3）指数变化：如3232()()m n m n +-； （4）符号变化：如()()a b a b ---
（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+；
（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++
要点二、完全平方公式
完全平方公式：=+2)(b a 222b ab a ++ ()2
a b -=222b ab a +- 两数和 （差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+；ab b a b a 4)()(22+-=+.
要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
要点四、补充公式
2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2
233()()a b a ab b a b ±+=±；
33223()33a b a a b ab b ±=±+±；
2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.
【典型例题】
类型一、平方差公式的应用
例1 下列式中能用平方差公式计算的有（ ）
①⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
-y x y x 2121； ②)3)(3(a bc bc a ---； ③)3)(3(y x y x +++-； ④)1100)(1100(-+
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
变式 用简便方法计算：
（1）899×901＋1 （2）99×101×10001 （3）22005－2006×2004
例2 计算：22222110099989721-+-+
+-
变式 计算：22222
11111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-
----
类型二、完全平方公式的应用
例3 下列多项式的乘法中，只用到完全平方公式计算的是（ ）
A.))((y x y x ---
B.))((y x y x ++-
C.))((y x y x -+-
D.))((z y x z y x ++--
变式1 如果92
++kx x 是一个完全平方式，则k 的值为 .
变式2 计算：（1）10098-992⨯ （2）24995149-⨯
例4 已知5=+b a ，3=ab ，求22b a +的值.
变式1 已知61=+a a ，则=+221a
a . 变式2 已知2=-
b a ，3=ab ，求44b a +的值.
类型三、综合应用
例5 已知0142=--x x ，求代数式2
2))(()32(y y x y x x --+--的值.
变式 先化简，再求值：2
22)())((m n m n m n m -+++-，其中1=m ，2-=n .
例6 先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：2
232))(2(b ab a b a b a ++=++，就可以用图1的面积关系来说明.
（1）根据图2写出一个等式 ；
（2）已知等式：pq x q p x q x p x +++=++)())((2，请你画出一个相应的几何图形加以说明.
变式 如图a 是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b 的形状，拼成一个正方形．
（1）图b 中的阴影部分面积为 ；
（2）观察图b ，请你写出三个代数式2()m n ，2)(n m -，mn 之间的等量关系是 ；
（3）若6-=+y x ，75.2=xy ，利用提供的等量关系计算：=-y x ；
（4）观察图C ，你能得到怎样的代数恒等式呢？
（5）试画出一个几何图形，使她的面积能表示为2234)3)((n mn m n m n m ++=++.。