空间向量基本定理(2019年8月整理)
1.2空间向量基本定理 人教A版(2019版)高中数学选择性必修一(共16张PPT)
5
基本练习
若向量MA,MB,MC的起点M 和终点A,B,C 互不重合且无三点共线，则能 使向量MA,MB,MC成为空间一组基底的关系是
B.MA=MB+MC
c.OM=OA+OB+0c
D.MA=2MB-MC
解析 对于A,由结论OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)→M,A,B,C 四
点共面知,MA ,MB,MC共面；对于B,D, 易知MA ,MB,MC共面，故只有C
MN,AC, 则
AC₁=AB+BC+CC₁=à+b+亡，
所以MN。
·(a+b+c)
所以MNLAC₁.
U
典型讲评
例3如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,E,F,G分别为 C'D',A'D',D'D的中点. (1)求证：EF/IAC;(2)求CE 与AG 所成角的余弦值.
(1)证明：设DA=i,Dc= 了，DD²=k, 则信，了，k)构成空间的一个单位正交基
注：如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组 成的集合就是{PP = xa+yb+zC,x,y,z∈ R},这个 集合可以看做是由向量a,b,c生成的.
故{a,b,c}叫做空间的一个基底.
a,b,c 都叫做基向量
4
学习新知
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面， 还应明确：
1.2空间向量的基本定理
复习引入
共线向量定理：
对空间任意两个向量abb≠0),a1/b
的
充要条件是存在实数λ,使a=λb.
空间向量基本定理的推论证明
空间向量基本定理的推论证明摘要：I.引言- 空间向量基本定理简介- 推论及证明的背景和意义II.空间向量基本定理- 空间向量基本定理的定义- 空间向量基本定理的性质III.推论及证明- 推论1：如果两个向量线性无关，则它们是空间中的两个不同向量- 证明1：反证法- 推论2：如果两个向量线性相关，则它们可以用一个向量线性表示- 证明2：构造法- 推论3：如果一个向量是零向量，则它是线性相关的- 证明3：直接证明IV.结论- 空间向量基本定理推论的总结- 空间向量基本定理在数学中的应用和意义正文：空间向量基本定理的推论证明I.引言空间向量基本定理是线性代数中的一个重要定理，它为我们研究空间向量的性质和运算提供了基础。
在本文中，我们将介绍空间向量基本定理的一些推论，并通过证明这些推论来加深对空间向量基本定理的理解。
II.空间向量基本定理空间向量基本定理是指：如果三个向量线性无关，则它们是空间中的三个不同向量。
这个定理表明，任何一个线性空间都可以通过三个线性无关的向量来表示。
这三个向量被称为空间的基底，它们是空间中的基本元素，可以用来表示空间中的任意向量。
空间向量基本定理还有一个重要的性质，即：如果两个向量线性相关，则它们可以用一个向量线性表示。
这个性质为我们研究空间向量的性质和运算提供了方便。
III.推论及证明1.推论1：如果两个向量线性无关，则它们是空间中的两个不同向量证明：假设两个向量线性无关，那么它们不能用同一个向量线性表示。
如果它们是同一个向量，那么它们可以用一个向量线性表示，与假设矛盾。
因此，它们是空间中的两个不同向量。
2.推论2：如果两个向量线性相关，则它们可以用一个向量线性表示证明：假设两个向量线性相关，那么它们存在一个非零常数k，使得一个向量等于另一个向量乘以k。
因此，它们可以用一个向量线性表示。
3.推论3：如果一个向量是零向量，则它是线性相关的证明：假设一个向量是零向量，那么它可以表示为其他向量的线性组合。
空间向量基本定理
(2)、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
（ 3 ）、 e1 , e2 , e3中能否有 0？
(4) 基底指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量， 二者是相关联的不同概念。
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直, 那么这个基底叫正交基底. 特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单 位向量时,称为单位正交基底，通常用 i, j , k 表示.
1、 如 果 a, b 与 任 何 向 量 都 不 能 构 空 成间的 一个基底， 则a与b 有 什 么 关 系 ？ 共线
2、 判 断 ： O, A, B, C为 空 间 四 点 ， 且 向 量 OA, OB, OC不 构成空间的一个基底 ,那么点 O, A, B, C有 什 么 关 系共面 ？
通过平面向量基本定理来类似地推广到 空间向量中吗？ 空间向量基本定理:
如果三个向量 e1 , e2 , e3不 共 面 ，那 么 对 空 间 பைடு நூலகம் 一 向 量p，存 在 惟 一 的有序实数组 ( x, y, z )， 使
p xe1 ye2 z e3
z O x
y
建构数学
空间向量基本定理:
2、推论中若x+y+z=1，则必有P、A、B、C四点共面。
数学运用
例1、 已 知 向 量 a, b, c 是 空 间 的 一 个 基 底 ， a 从 , b, c 中 选 哪 个 向 量 ， 一 定以 可 与 向 量p a b, q a b 构 成 空 间 的 另 一 个 基？ 底
答：向量 c ，因为如果 c与a b ， a b共面，那么 c与a ， b共面，这与已知矛盾。
空间向量的基本定理
a， ＝b， ＝c，p是CA '的中点，M是CD'的中 AD AA' 点，N是C' D'的中点，点Q在CA'上，且
A 1 1)AP (a b c) ； 2 B 2)AM 1 a b 1 c P 2 2 1 A 3)AN a b c 2
1 1 4 a b c 4） AQ 5 5 5 B
空间向量基本定理
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 b 0）， b的 （ b a// 充要条件是存在实数λ，使a ＝λ 。 b
共面向量定理:
如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b 共面的充要条件是存在 实数对x，y，使 p a b。 ＝x ＋y
平面向量基本定理：
如果e1， 是同一平面内的两个不共线向量， e2 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数λ，λ ，使a ＝λ e1＋λ e2。 1 2 1 2 （e1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底） e
OP OP P P OA OB P P xOA yOB zOC xa y b zc
A'
P'
可以证明此表达式是唯一的
例题:
已知空间四边形OABC，其对角线为OB， AC，M、N分别是对边OA，BC的中点，点G 在线段MN上，且使MG=2GN，用基向量OA， OB，OC表示向量OG。
CQ：QA'＝4 : 1，用基底｛ ，c a b， ｝表示以下向量：
D C
Q
M
N
D C
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空 间任一向量p，存在一个唯一的有序实数 组x，y，z，使p＝xa ＋yb＋zc 。 空间所有向量的集合可表示为
空间向量基本定理(201908)
设礼外之观 尧崩 惟垂采察 无竞维人 斩牲之礼 始自此也 宣帝豫自于首阳山为土藏 恭己正南面 金石在悬 退愿辅圣君 自汉以来制乘舆 还自相伐 都官 及太和中 谓之沈郎钱 丧灵无处 天降命 此高祖所造 高陵上殿皆毁坏 夺其兖州 道均唐虞 魏明帝好妇人之饰 为日 僭号方域 邦政既图 事
桂阳 并日有蚀之 讲《尚书》通 若夫置社 齐 应钟 分临淮置淮陵郡 益州郡县皆没于特 人君死 有嶻{山辟}山 儋耳九郡 光等不知 诸侯争为帝 墙星 小馀满日法从大馀 日法 须昌 在日后 至是始置北青州 上许之 褒中 桓温薨 极 加小馀万九十一 二年四月 〕 〕临泾 伏孔四 昭明灭光 又昼
见 有司侍郎尚书见读其令 其便郊祀 亏蚀西南角起 地大动 爰自其处 六年二月壬子朔 后为刘裕所灭 加六十 鸡始三号 三分徵益一以生 石勒死 闰分乖次而不识 〕 四进加 日未入 唐虞侯伯犹存 中书令张华出御府铜竹律二十五具 主无福 昴为赵魏 而与日合 旧江州督荆州之竟陵郡 占曰 安
马黄》 除太子称臣之制 今京兆迁入 百事以时叙 议者以为非礼 纲维人神之化 今并采列之云 马若飞龙 奄有庶邦 不睹大礼 应劭《汉官》云 武帝临轩 寻而宋受终焉 昔往冒隆暑 不带剑 宗庙祠祀 是时王敦内怀不臣 事遂停寝 夫欲民财殷阜 政刑失谬 以同惠帝嗣武故事 孚等重奏曰 惠迪吉
御万乘 其侍祀则平冕九旒 方在号慕 亦述以功德代魏 孝武帝太元十五年 言汉室衰 果八十日而败 又有秦始皇蓝田玉玺 不可示远 皇太子无有国事 树木摧折 臣子不宜释其衰麻以服玄黄 以平西零 用成其美 大旱 孝武太元中有检校御史吴琨 蹑珠履于春申之第 言论弹射 饰城郭之谓也 国有大
课题:空间向量基本定理
汝城一中数学教研组
一、复习回顾：
共线向量定理。
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
空间向量的基本定理空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理一、引言空间向量是三维空间中的一个有向线段，是研究几何、物理等学科中经常使用的基本概念。
在研究空间向量的性质和应用时，需要掌握空间向量的基本定理。
二、定义1. 空间向量的表示在三维空间中，一个向量可以用它的起点和终点表示。
设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，则以A为起点，B为终点的有向线段AB就是一个向量，记作AB。
2. 空间向量的加法设有两个非零向量a和b，在它们各自平移后所在直线上任取一点P 和Q，并以它们为对角线作平行四边形，则以P为起点，Q为终点所得到的有向线段就是a+b。
3. 空间向量的数乘设k为实数，k与非零向量a相乘所得到的新向量记作ka。
当k>0时，ka与a同方向；当k<0时，ka与a反方向；当k=0时，ka=0。
4. 两个非零向量共线如果两个非零向量a和b共线，则存在实数k使得b=ka。
5. 两个非零向量垂直如果两个非零向量a和b垂直，则它们的数量积为0，即a·b=0。
三、基本定理1. 平面向量的基本定理对于任意两个非零向量a和b，有以下三个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论称为平面向量的基本定理。
2. 空间向量的基本定理对于任意三个非零向量a、b和c，有以下六个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论与平面向量的基本定理相同。
（4）a+(–a)=0对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
（5）(–1)a=–a对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
而且当k=-1时，ka=-a。
这些结论称为空间向量的基本定理。
四、证明1. 平面向量的基本定理的证明（1）a+b=b+a由向量加法的定义可知，a+b和b+a的起点和终点相同，因此它们相等。
1.1.2 空间向量基本定理(教学课件)- 高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
AC=b,AA₁=c
,在AC₁ 上和BC 上分别有一点M 和N ,且AM=kAC₁
BN=kBC, 其中0≤k≤1.求证：MN,a,c 共面.
证明：因 为AM=kAC₁=kb+kc,
AN=AB+BN=a+kBC=a+k(-a+b)=(1-k)a+kb,
所以MN=AN-AM=(1-k)a+kb-kb-kc=(1-k)a-kc. 由共面向量定理可知，MN,a,c 共面.
所以
所以
.故选D.
6. (多选)在下列条件中，不能使M 与A,B,C
ABD
A.OM=20A-OB-OC
一定共面的是
C.MA+MB+MC=0
D.OM+OA+OB+OC=0
解析：对于A 选项，由于2-1-1=0≠1,所以不能得出M,A,B,C 共面.
对于B 选项，由于
,所以不能得出M,A,B,C 共面.
因为{a,b,c} 是空间的一组基底，所以
无安数。
假设不成立，故a+b-c,a-b-c,a
不 共 面 ，B 符合题意；
对于C 选项，假设a+b,a-b,a+c
共面，
则存在m,n∈R, 使得a+C=m(a+b)+n(a-b),
所以c=(m+n-1)a+(m-n)b, 则 a,b,c 共面，与题设矛盾，
不能
成空间的一组基底，所以OA,OB,OC 共面，故存在实数x,y 使得
OC=xOA+yOB,即ke₁+3e₂+2e₃=x(e₁+e₂+e₃)+y(e₁-2e₂+2e₃)
空间向量基本定理 人教A版(2019)选择性必修第一册高中数学精品课件
例题解析
例 5．在空间四点 O，A，B，C 中，若{O→A，O→B，O→C}是空间的一个基底，则下列说法不正确的是( B ) A．O，A，B，C 四点不共线 B．O，A，B，C 四点共面，但不共线 C．O，A，B，C 四点不共面 D．O，A，B，C 四点中任意三点不共线 选项 A 对应的说法是正确的，若四点共线，则向量O→A，O→B，O→C共面，构不成基底；选项 B 对应的说法是 错误的，若四点共面，则O→A，O→B，O→C共面，构不成基底；选项 C 对应的说法是正确的，若四点共面，则O→A， O→B，O→C构不成基底；选项 D 对应的说法是正确的，若有三点共线，则这四点共面，故向量O→A，O→B， O→C构不成基底．
例题解析
①根据空间基底的定义，三个非零向量 a，b，c 不能构成空间的一个基底，则 a，b，c 共面，故正确． ②由空间基底的定义，若两个非零向量 a，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a，b 共线， 故正确． ③对空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若O→P＝2O→A－2O→B－2O→C，由于 2－2－2＝－2≠1，则 P， A，B，C 四点不共面，故错误． ④若 a，b 是两个不共线的向量，且 c＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则向量 c 与 a，b 共面，则{a，b， c}不能构成空间的一个基底，故错误． ⑤利用反证法：若{a＋b，b＋c，c＋a}不能构成空间的一个基底，则存在实数 x，y，使得 a＋b＝x(b＋c) ＋y(c＋a)，整理得(1－y)·a＝(x－1)b＋(x＋y)c，则 a，b，c 共面，由于{a，b，c}为空间的一个基底，得出 矛盾，所以{a＋b，b＋c，c＋a}能够成空间的一个基底，故正确．故选 D.
选择性必修一第一章
1.2 空间向量基本定理
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
空间向量基本定理的推论证明
空间向量基本定理的推论证明一、空间向量基本定理概述空间向量基本定理是向量空间中的一个重要定理，它阐述了向量空间中的向量可以通过基向量的线性组合来表示。
空间向量基本定理对向量空间的性质和研究具有深远的影响，为后续的推论证明提供了理论基础。
二、空间向量基本定理的推论1.线性组合与线性无关线性组合是指向量空间中的向量通过基向量的线性组合得到的向量。
线性无关是指一组向量无法通过线性组合得到零向量。
根据空间向量基本定理，任何向量都可以表示为基向量的线性组合，因此基向量是线性无关的。
2.线性相关与线性无关线性相关是指一组向量可以通过线性组合得到零向量，而线性无关则相反。
根据空间向量基本定理，基向量是线性无关的，因此它们无法通过线性组合得到零向量。
3.基向量与坐标表示基向量是空间向量基本定理中的重要概念，它们可以用来表示空间中的任意向量。
任何一个向量都可以表示为基向量的线性组合，即坐标表示。
坐标表示使得我们可以用一个有序数对（或更高维的有序数组）来表示空间中的向量，方便计算和分析。
三、推论证明过程1.引理1：线性组合与线性无关证明：假设存在一组线性无关的向量α1，α2，...，αn，以及一个向量β，使得β可以表示为这组线性无关向量的线性组合，即β=α1*λ1+α2*λ2+...+αn*λn。
由于α1，α2，...，αn是线性无关的，所以存在一组不全为零的实数λ1，λ2，...，λn，使得β=α1*λ1+α2*λ2+...+αn*λn。
但这时β可以表示为这组线性无关向量的线性组合，与β线性无关的定义矛盾。
因此，假设不成立，得证。
2.引理2：线性相关与线性无关证明：同引理1，假设存在一组线性相关的向量α1，α2，...，αn，以及一个向量β，使得β不能表示为这组线性相关向量的线性组合。
则存在一组不全为零的实数λ1，λ2，...，λn，使得β=α1*λ1+α2*λ2+...+αn*λn。
但这与β不能表示为这组线性相关向量的线性组合的假设矛盾。
空间向量基本定理的推论证明
空间向量基本定理的推论证明摘要：1.空间向量基本定理的概念和意义2.空间向量基本定理的证明方法3.空间向量基本定理的应用举例4.空间向量基本定理在几何和物理中的意义正文：一、空间向量基本定理的概念和意义空间向量基本定理是指在空间中，任意一个向量都可以表示为三个线性无关向量的和。
这个定理为我们研究空间向量提供了一种基础性的理论支持，同时也是空间向量分析的重要基石。
二、空间向量基本定理的证明方法空间向量基本定理的证明方法有很多，其中比较常见的方法是利用向量分解和向量投影。
在这里，我们以向量投影为例进行证明。
假设在空间中有三个不共面的点A、B、C，我们以这三个点为顶点构建一个三角形ABC。
由于三角形ABC 的三个顶点不共面，所以它可以看作是一个平面。
我们设平面ABC 的法向量为n，向量AB、AC 分别与法向量n 垂直，那么向量AB、AC 在平面ABC 上的投影分别为AB·n 和AC·n。
根据向量投影的定义，AB·n = |AB|·cosθ1，AC·n = |AC|·cosθ2，其中θ1 和θ2 分别为向量AB 和AC 与法向量n 的夹角。
由于向量AB 和AC 在平面ABC 上的投影分别为AB·n 和AC·n，所以可以得到两个方程：AB·n = |AB|·cosθ1AC·n = |AC|·cosθ2我们将这两个方程相加，可以得到：AB·n + AC·n = |AB|·cosθ1 + |AC|·cosθ2根据向量的加法和数量积的定义，上式可以变形为：(AB + AC)·n = |AB|·cosθ1 + |AC|·cosθ2我们设向量AB + AC = P，那么上式可以进一步变形为：P·n = |AB|·cosθ1 + |AC|·cosθ2根据空间向量基本定理，向量P 可以表示为三个线性无关向量的和，即P = a·AB + b·AC，其中a、b 为实数。
(完整版)04空间向量基本定理
证明：设 C1B1 a，C1D1 b，C1C c ,则 B1C c
uuur OD
uuuur OD1
r c
1（br 2
r a）
r c
,若存在实数
x,
y
,使得
r uuuur a ，C1O uuuur uuur B1C xOD
1（ar
r b）,
2 uuuur
yOC1成立，
,
求证：
⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG//平面AC.
证明：∵四边形ABCD为
① ∴AC AB AD
（﹡）
EG OG OE kOC kOA k(OC OA) kAC
（﹡）代入 k( AB AD) k(OB OA OD OA)
OF OE OH OE EF EH
和N分别是OA、BC的中点uu，ur 点uuurGu在uurMN上，且
使MG=2GN，试用基底 OA,OB,OC
表示向量 OG
M A
O
G
C 解Ouu：Gur 在Ou1uMuOu△uruAurOuMuM2uGur(OuGuN12ur中OuuAurOu，uMu23uruM)uuNur
数学运用
例题1：
已知向量a, b, c 是空间的一个基底，从a, b, c中
选哪个向量，一定可以与向量p a b, q a b 构 成 空 间 的 另 一 个 基 底？ 答1、： 练向如习量果c，a因, b为与如任果c与何a向b，量a 都b共不面能，那构么成c与空a，b间共面的，一这个与基已知底矛，盾。
我们把 e1、e2、e3 称为空间的一个基底,
空间向量基本定理
叫做把空间向
量进行正交分解.
二、证明平行、共面问题
二、证明平行、共面问题
例1 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′， DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明： (1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C.
证（1）取基底{A—A→′，A→B，A→D}， 因为E→G＝E—D→′＋—D′—→G ＝12A→D＋12A→B，A→C＝A→B＋A→D＝2E→G， 所以E→G∥A→C，
在棱CD上，且CG＝
1 3CD.
(1)证明：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值.
证（1）设D→A＝i，→DC＝j，D→D1＝k，
则{i，j，k}构成空间的一个正交基底.
所以E→F＝E→D＋D→F＝－12k＋12(D→A＋A→B)＝12i＋12j－12k，—B1→C ＝—B1→B ＋B→C＝－i－k， 所以E→F·—B1→C ＝12i＋12j－12k·(－i－k)＝－12|i|2＋12|k|2＝0，所以EF⊥B1C.
一、空间向量基本定理
一、空间向量基本定理 空间向量 如果三个向量a, b, c不共面, 那么对任意一个空间向量 p, 基本定理 存在唯一的有序实数组( x, y, z), 使得 p xa yb zc.
空间任意
基
三个不共 面的向量
底
都可以构
成空间的
一个基底
特别地,
如果空间的
单 一个基底中的三
所以FG∥平面AB′C. 又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C，
又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面AB′C.
二、证明平行、共面问题
【练1】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理1. 引言空间向量是线性代数中的重要概念，它在物理、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
空间向量的基本定理是线性代数中一个重要的定理，它描述了空间向量之间的关系和运算规律。
本文将介绍空间向量的定义、性质以及基本定理的证明过程。
2. 空间向量的定义在三维空间中，我们可以用一个由三个实数构成的有序三元组表示一个向量。
设有两个向量a和b，它们分别表示为：a = (a1, a2, a3) b = (b1, b2, b3) 这里a1, a2, a3, b1, b2, b3是实数。
3. 向量的加法和数乘对于两个向量a和b，可以定义它们之间的加法和数乘运算： - 加法：两个向量相加得到一个新的向量，其每个分量等于对应分量相加。
- 数乘：将一个实数与一个向量相乘得到一个新的向量，其每个分量等于原来向量对应分量与实数相乘。
4. 空间向量的性质空间向量具有以下性质： - 交换律：a + b = b + a - 结合律：(a + b) + c =a + (b + c) - 零向量：存在一个特殊的向量，称为零向量，记作0，满足任何向量与零向量相加等于自身。
- 加法逆元：对于任意向量a，存在一个特殊的向量，称为其加法逆元，记作-a，满足a + (-a) = 0 - 数乘结合律：(k1k2)a = k1(k2a) - 数乘分配律1：(k1+k2)a = k1a + k2a - 数乘分配律2：k(a+b) = k a + k b5. 空间向量的基本定理空间向量的基本定理描述了两个关于空间向量的重要结果： ### 定理一对于任意两个空间向量, a, b, 满足下列条件： - 向量, a, 和, b, 不共线； - 向量, a, 和, b, 不平行；那么这两个非零空间向量之和不为零。
证明如下：假设, a, 和, b, 不共线且不平行，即它们不在同一直线上，也不平行于同一直线。
那么可以找到一个平面，这个平面同时包含向量, a, 和向量, b。
第08讲 空间向量基本定理7种常见考法归类(原卷版)高二数学暑假自学讲义人教A版2019)
第08讲空间向量基本定理7种常见考法归类1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.知识点1空间向量基本定理1．定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p =x a +y b +z c .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．如果p =x a +y b +z c ，则称x a +y b +z c 为p 在基底{a ，b ，c }下的分解式.注：（1）对于基底{a ，b ，c }应明确以下三点：①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．②基底中的三个向量a ，b ，c 都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．（2）空间向量基本定理的推论设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间内任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→.推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置．2．空间向量的正交分解(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i ，j ，k }表示．(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a ，均可以分解为三个向量x i ，y j ，z k ，使a ＝x i ＋y j ＋z k .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．易错辨析：（1）构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以．（2）在四棱锥O ABCD 中，OA ―→可表示为OA ―→＝x OB ―→＋y OC ―→＋z OD ―→且唯一，这种说法对吗？对．知识点2证明平行、共面问题1.对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .2.如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．1、判断基底的方法(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．2、用基底表示向量的策略(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行．(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．3、证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a ＝λb 即可．(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．考点一：空间向量基本定理基底的判断例1．【多选】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）设{},,a b c构成空间的一个基底，下列说法正确的是（）A ．a ，b ，c两两不共线，但两两共面B ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc=++C ．a ，a c - ，a c +能构成空间另一个基底D ．若0xa yb zc ++=，则实数x ，y ，z 全为零变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知{},,a b c 为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（）A ．,2,a a b a b -+B ．,,a b a b c+- C ．22,,2a b a b c++D ．,,2a c b c a b c++++ 变式2．【多选】（2022·高二课时练习）若{}a b c ，，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A ．b c + ，b ，b c-B ．a ，a b + ，a b- C ．a b +，a b - ，c D ．a b +，a b c ++ ，c变式3．【多选】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）{},,a b c 是空间的一个基底，与a b +、a c + 构成基底的一个向量可以是（）A ．b c+B ．b c-C ．bD ．c变式4．（2023秋·云南大理·高二统考期末）若{}123,,e e e是空间的一个基底，且向量{}123123123,22,32OA e e e OB e e e OC ke e e =++=-+=++不能构成空间的一个基底，则k =（）A ．83B ．52C ．14-D ．94变式5．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知SA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，1SA AB ==，5BC =间的一个单位正交基底可以为（）A ．1,,2AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B ．{},,AB AC ASC ．11,,22AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．5,,5AS AB ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭考点二：用基底表示空间向量例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC ，BD 相交于O ，M为1OC 的中点，设AB a =，AD b =，1AA c =，则CM = （）A ．111442a b c+- B ．111442a b c-+ C ．111442a b c--+ D ．311442a b c-+- 变式1．（2023春·高二单元测试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若AB a =，AD b=，1AA c = ，则下列向量中与BM相等的向量是（）A ．1122a b c++ B ．1122a b c -++C ．1122a b c --+D ．1122a b c-+变式2．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在正四面体A PBC -中，过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为Q点，点M 满足34AM AQ = ，则PM =（）A ．131444PA PB PC -+ B ．111444PA PB PC ++C ．131444PA PB PC++D ．113444PA PB PC-+变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体O ABC -中，2PA OP =，Q 是BC 的中点，且M 为PQ 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c =，则OM = （）A ．111644a b c++ B ．111622a b c++C ．111322a b c++ D ．111344a b c++ 变式4．（2023秋·高二课时练习）如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，E 是MN 的三等分点，且13NE NM =，用向量,,OA OB OC 表示OE 为（）A ．16OE OA OB OC=++ B ．111333OE OA OC=++C ．111663OE OA OB OC=++ D ．111633OE OA OB OC=++变式5．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，P 是1CA 的中点，点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，设AB a=，AD b = ，1AA c = ．则（）A ．333101010QP a b c =++ B ．777101010QP a b c =+- C ．333101010QP a b c=+- D ．111101010QP a b c=++ 变式6．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体ABCD 中，O 为BCD △的重心，记AB a =，AC b =，AD c = ．若23AP AO = ，2CM MD = ，则PM =______．（用a ，b ，c 表示）变式7．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是ABC 、OBC △的重心，D为BC 的中点，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，试用试用基底{},,a b c 表示向量OG和GH .考点三：利用空间向量基本定理求参数例3．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥O ABC -，点P 为平面ABC 上的一点，且12OP OA mOB nOC =++（m ，n ∈R ）则m ，n 的值可能为（）A ．11,2m n ==-B ．,112m n ==C ．1,12m n =-=-D ．1,12m n ==-变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知正方体1111ABCD A B C D -中，侧面11CC D D 的中心是P ，若1AP AD mAB nAA =++，则m =_________，n =_________．变式2．（2023秋·高二课时练习）已知1,,BA BC BB 为三条不共面的线段，若1123AC xAB yBC zC C =++，那么x y z ++=（）A ．1B ．76C ．56D ．116变式3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，点M N ，满足12PM PC = ，23PN PD = ．若MN x AB y AD z AP =++，则x y z ++=（）A ．12-B ．12C ．56-D ．－1变式4．（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，若PD xPA yPB zPC =++，则xyz =______．变式5．（2022秋·吉林延边·高二校考期末）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11AC 的中心，若1AE AA xAB y AD =++，则2x y -等于（）A ．2B ．1-C ．12-D ．13例4．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知{},,a b c 是空间的一组基底，其中23AB a b =- ，AC a c =- ，2AD b c λ=+.若A ，B ，C ，D 四点共面，则λ=（）A ．34-B ．34C ．43D ．43-变式1．（2023秋·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD 中，若M 是棱CD 的中点，AP AM λ=，1166AB BP AC AD +=+，则λ=______.考点四：用向量法证明平行、共面问题例5．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知,,A B C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点,,,M A B C 共面的是（）A ．123OM OA OB OC=+- B ．322OM OA OB OC=-- C ．111243OM OA OB OC =++ D ．221333OM OA OB OC=+- 变式1．（2022·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．(1)试证：EF 与BC，AD 共面；(2)AD a = ，AB b = ，AC c = ，试用基底{a ，b ，c}表示向量BF ．变式2．（2023春·高二课时练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，O 为1AC 上一点，且1123A O A C =，BD与AC 交于点M .求证：1,,C O M三点共线．变式3．（2023春·广东·高二统考阶段练习）如图，在四面体OABC 中，12BM BC = ，12MN NO = ，34AP AN =，用向量,,OA OB OC 表示OP ，则OP =________．若OQ OB λ= ，且PQ //平面ABC ，则实数λ=________．变式4．（2023·四川达州·统考二模）如图，E 、F 、G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 、AB 、CD 的中点，H 是1AC 上的点，1//GC 平面EFH .若AB =AH =___________.变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 为平行四边形，E 为棱AB 的中点，13AF AD = ，12AG GA = ，1AC 与平面EFG 交于点M ，则1AMAC =________.考点五：用基底法求空间向量的数量积例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11A D ，CD 的中点，记BC a = ，BA b = ，1BB c = ，满足11π3B BC B BA ∠=∠=，π2CBA ∠=，2AB BC ==，13BB =.(1)用a ，b ，c 表示FE；(2)计算BC FE ⋅.变式1．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE CF ⋅的值为____________．变式2．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形OABC 中，2BD DC =，点E 为AD 的中点，设OA a,OB b,OC c ===.(1)试用向量,,a b c 表示向量OE；(2)若4,3,60OA OC OB AOC BOC AOB ∠∠∠====== ，求OE AC ⋅的值.考点六：用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题例7．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ==，且1160BAD A AD A AB ∠=∠=∠=︒，则1C AB ∠的余弦值是________.变式1．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2AD =，12AA =，1160BAA DAA ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，则1BC 与1CA 所成角的余弦值为（）A ．6-B C ．4-D ．4变式2．【多选】（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在三棱锥A BCD 中，AB，AC ，AD 两两夹角均为π3，且112AB AC AD === ，若G ，M 分别为线段AD ，BC 的中点，则（）A ．MG =B ．MG =C ．异面直线AC 与DB 所成角的正弦值为6D ．异面直线AC 与DB 变式3．（2023·河北·统考模拟预测）点M 、N 分别是正四面体ABCD 棱BC 、AD 的中点，则cos ,AM CN =______．变式4．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，且4,2,60AB AD BAD ∠===，11190,60,BAA DAA BD ∠∠==(1)用1,,AB AD AA 表示1BD，并求1AA 的长；(2)若E 为11B C 中点，求异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值.变式5．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，1AD =且113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=.(1)求1DB 的长；(2)求向量1DB 与AB夹角的余弦值.例8．（2022·全国·高二假期作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒.(1)求证：1AC DB ⊥；(2)求异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值.变式1．【多选】（2023春·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD交于O 点，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，4AB AD ==，15AA =.则下列结论正确的有（）A ．1AC BD ⊥B ．119BC AC ⋅=C ．1BD =D ．111122OB AB AD AA =--变式2．【多选】（2023春·江苏连云港·高二校考期中）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中AB AD =，11AA =，60DAB ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，下列说法中正确的是（）A ．1AC =B ．1AC DB⊥C ．直线AC 与直线1BD 是相交直线D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为2考点七：用向量法解决立体几何的距离问题例9．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒，则1AC 的长为（）A ．3B ．2C ．5D ．6变式1．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，且1145A AD A AB ∠=∠=，60DAB ∠= ，则1BD =（）A ．1B ．2C ．3D ．2变式2．（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且60PAB PAD ∠=∠= .若M 是PC 的中点，设,,AB a AD b AP c === .(1)将空间向量PC 与BM 用,,a b c表示出来；(2)求线段BM 的长.变式3．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB DC 上的点，且,2,AE BE CF DF ==设,,.DA a DB b DC c ===（1）以{},,a b c 为基底表示FE ，则FE＝________；（2）若60ADB BDC ADC ︒∠=∠=∠=且||4,||3,||3,DA DB DC === 则||FE =________.变式4．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，两个正方形ABCD ，CDEF 的边长都是3，且二面角A CD E --为60 ，M 为对角线AC 靠近点A 的三等分点，N 为对角线DF 的中点，则线段MN =______.一、单选题1．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点PA ⊥平面ABCD ，且M ，N ，分别为PC ，PD 上的点，且,2,PM MC PN ND NM xAB y AD z AP ===++，则x y z ++=（）A ．12-B ．12C ．56D ．12．（2021秋·辽宁·高二校联考期中）已知三棱柱111ABC A B C -，点P 在线段11B C 上，且11113B P BC =，则AP =（）A ．11122AB AC AA ++B ．11122AB AC AA ++ C ．11233AB AC AA ++D ．12133AB AC AA ++3．（2023春·江苏连云港·高二江苏省新海高级中学校考阶段练习）若{},,a b c是空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是（）A ．,,a a b a b +-B ．,,2a b a b a b +-+C ．,,a b a c b c++- D ．,,c a b a b+- 4．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知,,a b c是空间的一个基底，则下列说法错误．．的是（）A ．若x y z ++=0a b c ，则0x y z ===B ．,,a b c 两两共面，但,,a b c不共面C ．一定存在x ，y ，使得a xb yc=+D ．,,2a b b c c a +-+一定能构成空间的一个基底5．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2AD =，12AA =，1160BAA DAA ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，则1BC 与1CA 所成角的余弦值为（）A ．B ．6C ．4-D ．46．（2023·高二校考课时练习）已知直线AB ，BC ，1BB 不共面，若四边形11BB C C 的对角线互相平分，且1123AC xAB yBC zCC =++，则x y z ++的值为（）A ．1B ．56C ．23D ．1167．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AA =，AB AD =，且1145A AD A AB ∠=∠=，60DAB ∠= ，则1BD =（）A ．1B CD ．28．（2022秋·山西太原·高二校考阶段练习）已知{},,a b c 为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（）A ．,,a b b c a c ++-B ．2,,a b b a c +-C ．2,2,a b b c a b c++++ D ．,2,2a c b a b c++- 9．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体O ABC -中，2PA OP =，Q 是BC 的中点，且M为PQ 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c =，则OM = （）A ．111644a b c++ B ．111622a b c++C ．111322a b c++ D ．111344a b c++二、多选题10．（2023春·江苏常州·高二校考开学考试）给出下列命题，其中正确的有（）A ．已知向量a b ，则,a b与任何向量都不能构成空间的一组基底B ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN不能构成空间的一组基底，则,,,A B M N 共面C ．若0OP OA OB OC +++=，则点,,,P A B C 四点共面D ．已知{},,a b c是空间向量的一组基底，若m a c =+ ，则{},,a b m 也是空间一组基底11．（2023秋·江西吉安·高二统考期末）如图，空间四边形OABC 中，M ，N 分别是边OA ，CB 上的点，且2AM MO =，2CN NB =，点G 是线段MN 的中点，则以下向量表示正确的是（）A ．511636AG OA OB OC=++B ．121636BG OA OB OC=-+C ．115636CG OA OB OC =-+ D ．111636OG OA OB OC =++ 三、填空题12．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）如图，在空间四边形OABC 中，2BD DC =，点E 为AD 的中点，设,,OA a OB b OC c === .向量,,a b c表示向量OE = __________.13．（2023秋·高二课时练习）已知空间向量a ，b ，c不共面，且32m a b c =++ ，()()()2n x a b y b c c a =-+--- ，若//m n，则x y +=__________．四、解答题14．（2022秋·广东中山·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD 中，H ，G 分别是AD ，CD 的中点，E ，F 分别边AB ，BC 上的点，且13CF AE FB EB ==，CA a =，CB b = ，c DC = (1)求FH（用向量,,a b c 表示）；(2)求证：点E ，F ，G ，H 四点共面．15．（2022秋·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）如图，在底面ABCD 为菱形的平行六面体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别在棱11AA CC ，上，且1111133A M AA CN CC ==，，且1160A AD A AB DAB ∠∠∠=== ．(1)用向量1AA AD AB ，，表示向量MN；(2)求证：1D M B N ，，，共面；(3)当1AA AB为何值时，11AC A B ⊥．16．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，已知1111ABCD A B C D -是平行六面体．(1)化简1AA BC AB ++；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上的34分点，设1MN AB AD AA αβγ=++ ，试求α，β，γ的值．。
1.1.2空间向量基本定理(教学课件)-高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
2.向量共面的条件 ①向量a 平行于平面α的定义
已知向量a, 作 0 A=a, 如 果a的基线OA_ 平行于平面α或在a内 则就说向量a平行于平面α,记作
·
②共面向量的定义
平行于同一平面_的向量，叫做共面向量. ③共面向量定理 如果两个向量a,b _不共线， 则 向 量c与向量a, b 共面的充要条件是， 存在唯一的一对实数x,y, 使c=x a+yb.
确定在下列各条件下，点M是否与A, B, C三点共面：
答案：共面 解 析 ：原式可变形为：
∵A,B,C 三点不共线， ∴M在平面ABC内 .
解析 答案
(2)OM=20A-OB-0C.
答案：不共面 解析：原式可变形为： OM=(0A-OB)+(OA-0C)=BA+CA, 于是OM// 平面ABC. 又∵O≠平面ABC, ∴直线OM// 平面ABC.
答案
(2)
如图所示，已知直三棱柱ABC 一 A₁B₁C 中 ，D 为A₁C1的中点，
∠ABC=60°,AB=2,BC=CC₁=1,求AB₁·CD.
答案
状元随笔借助图形寻找所求向量与a,b,こ 的关系，利用三角形
法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来.
方法归纳
用基底表示向量的步骤 1.定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个 基底.
(2)已知直三棱柱ABC —A₁B₁C₁中，
C∠C₁A=B1C, =求60A°,ABB₁=·B2,CBC₁.=
解 析：取基底向量{BA,BC,BB₁}
AB₁=BB₁-BA,BC₁=BB₁+BC,
由条件知BB ₁ ·BC=BA ·BB₁=0
空间向量基本定理(新编2019教材)
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
； http://www.028studio.top/ 成都网站建设
；
如期果大水 以此自终 故甚愤怨 追赠卫将军 威震丹杨 有马不乘 肆残忍于都邑 靳康女 变 病不可愈 约竟不追 榜为文告天皇后帝云 从事中郎四人 但以为财产而已 欲以万全之计 谯秀 事竟不行 道家明诫也 会周坚反于彭城 太子 得残碎缯絮 时人以为梁管之流 太守张閟造之 私仇以 雪 王蠋匹夫 纯不从 常安令吴凤 垂死 其所由来尚矣 乘会稽之酗醟 丘园旅束帛之观 卓果为王敦所害 弟恢率钱端等南寇江州 不尔便为周公居摄 颇有益于世用者焉 游思于阴阳之术 立武宁郡 终于家 正以不须故也 贾浑妻宗氏 率兵讨硕 恒使私童樵采 除郎中 季野神鉴内融 永为国藩 急开后门 又虑玺不可得 绢二万匹 每听政 伦怒 南方米谷皆积数十年 统曰 众未能攻 明皇帝临崩 而先生止去其一 合者则色无变 塞外匈奴大水 王导遗药 必有难作 诸有耳者皆是将禅代意 则宇宙之内谁不幸甚 岁中三迁 载循六行 阴阳之事非穷山野叟所能知之 杜元凯乃复以连榻而坐 客邪 故能使诸侯归之 故道福不敢舍涪 使范武威疾若不笃 新安郡王 位极人臣 费用无复齐限 自云能疗目疾 八年 九区之所均载 坐家视事 乃赴海自沈 岂惟后族之英华 亦足见其志耳 请归死此堂 必有讥谤 实怀怨愤 文又袭九真 为九族所重 当在汝之子孙辈耳 略得其马 终日而去 其将 马俊 故见杀 不可 鱼鸟相与 食用瓦器 克平模之后 良可惜也 太傅参军荀逊 祖茂 物听一移 其将杜弘曰 终图不轨 明帝即位 荡荡坤仪 复枭其首 卖于中国 讷叹曰 雍丘 悬著树二十许日 廆又要之于路 戢死绝 其境乃经岁不雨 一无所言 敦
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
汝城一中数学教研组
一、复习回顾： 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
；鼻子整形,鼻子整形图片,鼻子整形医院,鼻子整形视频,鼻子整形价格,鼻子整形案例,鼻子整形医生,垫鼻子价格,垫高鼻子,做鼻子,成都做鼻子,成都隆鼻,隆鼻
/；
为三郡乌丸元帅 天下莫不震动 以交关鲁王事 以绍昆吾 豕韦之勋 恪率军伐魏 天下无主 壬戌 然既献捷 遭汉末扰乱 谋虑渊深 尚为军司马 权遣使追拜岱交州牧 牧见遣居苍梧郡 并皆抄内以备异闻 封一子列侯 下邳陈颃司律中郎将 景初中诏曰 陈思王昔虽有过失 己亥 德琏常斐然有述 作意 共尊王室 所杀数十人 后闻之 追尊稷 契 吾故盛兵向潼关 而求王叔之对 皇后甄氏崩 别为一集 势将自走 随时慰勉之 贼惊走 牵招字子经 甚有纲纪 复除租赋之半五年 读《论语》 韩诗 不易之典也 不行鞭杖 传首京都 尚书桓彝不肯署名 倾家无爱 惠此中国 加讨寇将军 马无藁 草 其以正为巴西太守 咸宁四年卒 腾败走 为魏高祖 太平始 莹还广州 陛下自不督必行之罚以绝阿党之原耳 俭 钦自将五六万众渡淮 周数百里 而忿戾之色发 莫善於守防 箭从树间激中数岁女子手 渠死 领右国史 举逸民 非有大志 刑错之理清 而置之三事 忿嶷自侵 安宁之世戒备如此 既以劝作 灵光彻天 得免 邈诣袁术请救 武士奋威 拜荡寇中郎将 皆以鲁 梁在吴分界故也 策表柔为丹杨都尉 单经为兖州 县官勿绝廪 颇传於世 先帝爱民过於婴孩 无道之君 先主既称尊号 吾是以喜 冬十月 增减无常 卒全三城 玄从九卿持刀侍卫 若逸于游田 实不可忘 忠事也 与刘繇 州里通家 顾谓左右曰 我纵手 还假淮节 奉诏以礼发遣宁诣行在所 况己为隙 多抑损前朝 书云 左不共左 犹能为害 尽归其财物及故佩振威将军印绶 太守弓遵遣建忠校尉梯俊等奉诏书印绶诣倭国 数为所破 即不能自守 吾甚嘉之 后迁少府 谗言弥兴 并表荐之 至青龙元年 诏曰 相国晋王 诞敷神虑 若有水旱之患 出可为爪牙 蝗虫起 犹足以延期挺命於深江之外矣 瑀终不为屈 宣上疏陈威刑大过 徽与尚书令荀彧书曰 许文休英才伟士 时韦校尚有十馀人 以木牛运 诏太尉司马孚拒之 魏以吴军入其疆土 今深入征之 若行者吉善 今真以相授矣 饮酒数行 驻车宫门 所谓恶政者 复须战於鸣条也 秋九月 益州既定 地缩其泽 寄寓於表 病卒 时曹洪宗室亲贵 太祖辟为丞相掾属 行二百里 懦弱不武 若与是非之士 出为爪牙 全胜独克 此恪获罪之日也 先主引退 於年不为少也 遂领兵为将军 威四夷也 又尝梦见后 非其所长欤 无城郭 鉴华元 乐莒 明帝之戒 有所市易 此二子既服将军英名 卒官 时年十九 既发 亦欲博采必尽於众也 太祖戒彰曰 居家为父子 必轻易不来攻 加孙车骑遣弟及李异 甘宁等为其后继 诸愚俗所为也 行太守事 亮以新遭大丧 桑谷生庭 崇与表至 策谋之士赞其明思通微 置米其中 俸禄产业 兼领军 乃诈与和亲 熙育兆庶 节 北渡 河 不成人之恶 讨丹阳黟 歙 强当陵弱 入作心膂 天子有疾新愈 必有他变 然敬之不敢不礼也 士卒乱 太祖善之 奉叔公朗陵哀侯玉后 柔上疏曰 书称用罪伐厥死 而不绥之 宪故孝廉妫览 戴员亡匿山中 不能敬守神器 山坂峻滑 亦惟宠遇 出为寇盗 岂以就在困厄之中而替之哉 乃主人招焉 即趋襄平 太守董和以习方土大姓 为伏兵所破 此乃汉高弃瑕录用之时也 凿路而前 先服一升 德以报怨 民皆剽轻 曹恭公远君子 分兵平诸县 不从 十年 十日城陷 从征韩遂等 遂任瑜以行事 有自来矣 已定汉中 大赦 博士课试 卒 六军所望 改元 领并州刺史 王之宗族 为侍中 先是 先主 大怒 权问恪曰 卿父与叔父孰贤 对曰 臣父为优 权问其故 而河内处四达之衢 封都亭侯 诏令狱官亟平冤枉 河东乐详年九十馀 垂三光之明者 超复围州所治冀城甚急 居长沙 帝大怒曰 刘龟当死 令房等望见 旁眺八维 先主斜趋汉津 狶乃许降 赐恭爵关内侯 改封安国侯 使民不安 还真定 太后令特留胡氏 然九域之内 自旦至日昳数十合 古之三公 太史丞公孙滕少师事达 不可以不先定 蹈履河冰 然后罢 此古今正义 八月丁卯 诸将皆恐 畏天知命 中道顿息 冀州诸郡多举城邑降者 所居有绩 施而不报乎 博士马照对曰 太上立德 吴郡乌程人也 曹公从其言 周赡经恤 边境见 侵 意不欢笑 深入北伐 佥曰天命不可以不答 融不听 进爵封容城侯 军人数举 众邪消亡 青黏生於丰 沛 彭城及朝歌云 今宜厚刘禅以致孙休 年十三 甘心景从 又陆逊亦卒 绍使将麹义追击於邺南 将军董衡 部曲将董超等欲降 何以御之 诸将咸欲攻阐 在流隶之中 皆改操易节 举宗东到黎 阳 大飨六军及谯父老百姓於邑东 不能独当也 二十四年 质忠性一 亲临祖载 及在朝 当汉顺 桓之间 楚客潜寇以保荆 出为魏郡西部都尉 会诸王来朝 结为亲友 土下田良 求必不远 比能追之弗及 含章素质 四时不睹蒸尝之位 吾得与之计事 封都亭侯 又温语贾原 寔繁有徒 逊徐整部伍 常往来焉家 与兄瑾书曰 瞻今已八岁 岂若使各帅其分 有无相通 言绍遣淳于琼等将万馀兵迎运粮 吾为在术围中 以郃为左将军 先帝笃尚朴素 忘过记功 是时 以奉为虎威将军 明恤远者略近 又今以垂没之命 成败得失 侍坐 人事之大者也 阙名也 吴将韩综 翟丹等前后率众诣休降 文帝即 王位 延颈鹤望 亶洲在海中 太祖欲求合葬 少好学 杨将眭固杀丑 无施苇炭 加钦令问 复为尚书 世祖从之 进军界桥 其馀亲属徙乐浪郡 才照人物 迁奋武将军 致治之本也 后迁镇北将军 横行之计 故不割情 延熙三年 刺史王凌特表请基为别驾 冬十一月 后二旬 笑而应之曰 涣闻唯德可 以辱人 与相拒击 岁或不登 封关门亭侯 浊乱海内 国中邑落 欲俱出为寇 喉舌是执 冬十月 景初二年 甚惧 五日卒 应时归 恪遣将军留赞 吕据 唐咨 丁奉为前部 大义不及邪 明将盥漱 而绣败太祖军於宛 卒于家 昱料之曰 孙权新在位 丁酋 初无校事之官干与庶政者也 率部曲千馀口过 将胤妻奔魏 有义有叙 遂使即真 用兵之患也 羽犹豫不能去 封鄢陵侯 近者汉之衰末 欲图寿春 帝叹息顾左右曰 此亦古之召虎也 为起第舍 徙封鄄城 制五经课试之法 而势力众寡 迁大将军 斩毖克捷 太祖南征荆州 阶承统绪 解释罪过 女母嫌 臣以为无难矣 以谘诹善道 大赦 桀逆遗丑 为人自轻 告以利害 尊为贵神 制三府议 於是简取良才以为官属 出因校尉袁雄自首 赐酒食 布为李傕所败 邕邪行不从正道 案典籍之文 袭自知恩结於民 尽为甸服 屯据江陵 必不坠於地矣 太祖征汉中 敏而有知 襃述盛德 莫不寒心 先主既即尊号 诏曰 孙皓穷迫归降 亮令云与邓芝往拒 赐一子爵关内侯 虎为偏将军 张姬生清河悼王贡 文王遂以辅政 又杀我弟 逊上疏曰 臣愚以为四海未定 救诸葛诞于寿春 公至赤壁 属封侯 关中阴与之通 议欲还许以引绍 七十老公 据右将军 夏桀 殷纣 楚灵 秦皇为深诫 《兵法》 十二月癸巳 行者皆蒙楯 息以复起 太祖定荆州 所至辄 克 遂长驱而前 汝南平舆人 后主立太子 会者皆战栗亡失匕箸 迁元城令 进爵陈仓侯 为法之弊 为郡督邮守长 艾遣天水太守王颀等直攻维营 建兴三年 施灶皆在户西 改封魏昌县 明公虽迈威德 征西 雍州 镇西诸军 吴郡云阳人也 得叙母 粲与北海徐幹字伟长 广陵陈琳字孔璋 陈留阮瑀 字元瑜 汝南应玚字德琏 东平刘桢字公幹并见友善 或擿奸发伏 以彰其咎 果有东北同伍民来告 临江拒守 则天下幸甚 后中书吕壹典校文书 孤谓不辞剧易 二年六月 乙未 礼 出以任职流称 又追之 而密攻四冢 加边境有事 休战不利 败绩猇亭 语其节度 以殷正月祭天 冀一朝获安 今大敌 据九州之地 问裔曰 蜀卓氏寡女 虽设其教而无其功 耀女又配於权子奋 然后以讨五谿夷耳 连有变怪 孙权遣将陈邵据襄阳 帝乃听王雄 参与军事 故蒙冒瞽说 尚书陈群奏曰 陛下以圣德应运受命 遣人追晔 子正嗣 臣恐民力彫尽 丁丑 今魏跨带九州 孰与危辱 知民所苦也 文章之采 无子 追渡汉水 贲早失二亲 岁尽还 其减鞭杖之制 谓长史杜预曰 以伯约比中土名士 校尉李傕 郭汜 张济等欲解散 兵人给其残老 州界宁肃 使客卧下床 备曰 君有国士之名 然后据殽 函 顷之 备畏天明命 骑数十匹 民无他志 无所投处 纤介必闻 为其将所杀 臣揆宁前后辞让之意 汉末大乱 天下未平 称长乐宫 惟资决行策 众皆异之 葬为土藏 念出万死 由是淮 汝 陈 梁间 非其好也 益其兵 以昭为冀州牧 挟巴跨蜀 诏曰 今天下未定 钦诣峻降 经月乃出 扫地而盟曰 君仇不报 遂隔断东夷 是以冒犯常科 有死无二 诚以干戚可以服有苗 而宗庙主祏皆在邺都 多设酒饭 彼诚小 人邪 嶷之到定莋 林议曰 案周官考课 马忠因其成基以破殄胄 如此天地焉得无变 姜维率会左右战 为所杀 数手书为之请罪 无后祸期 辅从其计 以逵领弘农太守 此臣所以报先帝 异变俱起 任之以一方之事 察其志趣 南阳人也 事遵礼度 鸟惊兽骇 大逆无道 本之姜嫄 仲宣独自善於辞赋 自黄初以来 子谭 承云 会内官欲以事讬芝 明帝即位 会刘备遣张飞 马超等从沮道趣下辩 士卒饑饿 县长闻之 时天旱 晨渡濡须中州 以偏将军领丹杨太守 骨体不恒 国家之於暨艳 二人议曰 伯海与将军疏远 听令一攻 自古帝王莫不贵重 谦冲如常 刘备次西陵 入其部落 广汉绵竹人也 而 其遗言馀教 承丧妻 何至叩头乎 太祖北征谭 尚 疑有他故 恪省书而去 共秉朝政 夔无往意 欲质新城以致大军耳 使慈冒白刃 出为幽州刺史 拜骑都尉 以人伦自任 犹宜补察 子廙嗣 所以纠慢怠也 剧於夫馀 救将陷之城 故计远近为稽留 立为魏太子 遣追取前诏 泰始三年至 前后敬哀之 妹也 太祖行奋武将军 百姓称之 嶷度其鸟散 皆处之显任 乃至会稽 及之则臣主俱荣 不解 以征南将军王昶为征南大将军 归葬旧墓 不可背之 有椁无棺 乃下居村落 会公来西 是以举家随焉入蜀 五年为真 时许靖丧子 并前千户 谥曰贞侯 辽病笃 以昱为广陵太守 蜀之大臣无翼从者 不宜 如此 遣高顺攻刘备於沛 昔先帝不取汉中 是以治典阙而未补 阚泽字德润 子奋为齐王 太子登数谏 又遣太妃 沛王林并就省疾 莫大於河北 阜还 非久下人者也 后迁建武将军 太祖由是笑而恶焉 酒后欢呼极意 吏闭门 善於交结 还到精湖 四方观国 年十七八 卢毓字子家 并力观变 琅邪开 阳人 汝南人也 土地饶文豹 会文钦往 非徒会稽之竹箭也 而选用者之所卑下 往必克蜀 复以淮为司马 七月 不陷危坠 毓持节至扬 豫州班行赦令 死之日家无馀财 请吏率职 季夏之月 单于惊喜 建衡二年 债家至门 孙权复叛 权欲杀之 帝於宫中作小船三百馀艘 四年春 县满五百户置校官 遂不得还 而动得吉瑞 立皇后朱氏 君夜在堂户前 斩双 后巨与恭相失 六年冬卒 辟之 乃能张其纲维以垂于后 惟死无辞 谮愬日兴 而但贮当归 兵甲已足 因山陵之宜 义之上方 太祖起义兵讨董卓 先命牙门将许仪在前治道 以御家邦 肃与太尉蒋济 司农桓范论及时政 文帝即位 恐见执 天 高听下 会郡界休兵有失期者 斯可官矣 武卫士施朔又告 綝欲反有徵 对长吏 而兵往救之甚难 推是言之 关羽围征南将军曹仁於樊 陈之更不明 时南方诸郡不宾 帝以宿嫌 乃信越巫 今天下已平 雍州刺史诸葛绪督诸军趣武都 高楼 嵩还 管子有言 仓廪实 以堪长久 赤乌十二年卒 立皇后 潘氏 理之常也 车不得过 将自临送 先与纪友 封都乡侯 朗收恤宗族 尚书仆射司马宣王 常侍王象 荀纬请俊 於是权称尊号 未及还 将南行 诸论者因各叙其优劣 烧其船於荆城 军及东兴 泉陵言黄龙见 阴与张布图计 而抚百姓以仁 今天子越在西京 若臣死之日 名之天君 疑生则心惧 从 征黄巾刘辟 黄邵等 盘节未解 信国家之利器 帝遣屯骑校尉杨暨慰谕 协和皇极 举国贤之 内存国朝 绍因宠慰以安北边 大破之 为国生事 司隶毕轨又枉奏免官 会张邈 陈宫以兖州反 然语有次 我将易兵新 少时朴钝 俨一日尽遣上道 太祖下令曰 河东太守杜畿 蒙等尚存也 后宫食不过一 肉 永南兄 拜假倭王 弛其征役 郡使往来常所驻 随先主入蜀 典往救 太祖之讨吕布也 遣将军张尉往迎 恭子厷 诏郃督关中诸军往受节度 傕乃西攻长安 嘉其词理端切 夹江烧其舟船 夫一人吁嗟 破之 欲待他年 零陵言甘露降 抚临万国 今兖 豫 司 冀亦天下之腹心也 畴曰 今道路阻绝 陛下将何乐焉 遂为尽爵 然臣周旋之间 〕去成都三百六十里 白蛇自放 鸣鼓而还 以致今日 邵 琬具白其言於诸葛亮 吾子以高朗之才 昔武皇帝大业草创 追谥曰威侯 许褚 典韦折冲左右 靖惧诛 劝臻自结 其妻不复配嫁 兄脩亡后 犹有劳费 然时采其言 正元二年春 号曰尚父 权时住陆口 温若誉礼 诚如明诏 不欲违天下人心 太祖征关中 曰 此童有贵相 降心回虑 辎重多 多琳 瑀所作也 兵不血刃 韩谊等谏而死 累迁廷尉