离散型随机变量的数学期望(均值)

当z
0时,
FZ (z)
0,
当 z 0 时.
fZ (z)
3 , 当 z 0 时, (z 1)3
0,
当 z 0 时.
第九讲 二维变量函数的分布与期望
3. 最大值与最小值的分布 设随机变量X与Y 独立，它们的分布函数分别为FX (x) 及 FY ( y),
求 max( X ,Y ) 及 min( X ,Y )的分布.
(1) 最大值的分布 (最大小于号，小于都小于）
Fmax (z) P( max( X ,Y ) z ) P[( X Y z ) ( Y X z )] P(X z,Y z)
P( X z) P(Y z) FX (z)FY (z)
(2) 最小值的分布 （最小大于号，大于都大于） Fmin (z) P( min ( X ,Y ) z ) 1 P( min ( X ,Y ) z )
第九讲 二维变量函数的分布与期望
本次课讲授：第二章第十一节，第十二节， 第三章第一节，
下次课讲第三章第二节，第三节，第四节； 下次上课时交作业P29—P30 重点：二维变量函数的分布 难点：二维随机变量函数的分布。
第九讲 二维变量函数的分布与期望
一、X、Y是连续型随机变量时：和的分布
1.连续变量和的分布函数：
(
x,
y)
2
x 0,
y,
0
x 1, 0 y 1 其它
（1）求P( X 2Y )
y
(2)求Z X Y的概率密度
解 ：(1)根 据 联 合 分 布 的 定 义
G
0
x
P[(X ,Y ) G] f (x, y)dxdy
G
由 已知 ， 被 积函 数f ( x, y)非 零的 区域G由 ：
f (x, y)
x2
8 y2
1 3
,
x 0,y 0;
0,
其它.
O
zx
求Z X 2 Y 2的分布。
解 考虑 Z 的分布函数 FZ z PZ z P X 2 Y 2 z
当 z 0 时, 显然有 FZ (z) 0, 从而有 f Z (z) 0.
z
0时 ，FZ
(z)
1 (2 x z x)dx 1 (2 z)dx (2 z)2
z 1
z1
2z z2
即：fZ (z) (2 z)2
0,
0 z 1 1 z2
其它
第九讲 二维变量函数的分布与期望
2. 平方和的分布 设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为 f (x, y), 寻求 Z X 2 Y 2 的分布。
0
1
x
第九讲 二维变量函数的分布与期望 0 z 1时，1 x z : 即：
z
z
fZ (z) 0 f ( x, y)dx 0 f ( x, z x)dx
z
0
(2
x
z
x)dx
z
0
(2
z)dx
2z
z2
1 z 2时，z 1 x 1 :即：
1
1
fZ (z) z1 f ( x, y)dx z1 f ( x, z x)dx
f ( x, z x)dx
由 已 知f ( x, y)非 零 积 分 区 域 ：
z
0 x 1,0 y z x 1;
即 非 零 的f ( x, y)的 （X , Z )
2
z x1
区 域 为0 x 1，x z x 1. 由 此 在( X , Z )平 面 上 确 定
1G
zx
x的 积 分 区 间 （ 如 图G）
x
O
z g( x, y)的 区 域D的( X ,Y )的 分 布
如 上 式 所 示 。 特 殊 地Z X Y时 ，
可 求 对 图 示 区 域D进 行 的( X ,Y )的 二 重 积 分
第九讲 二维变量函数的分布与期望
即：Fz (z)
z x
dx f
x, y dy
由此可得：fZ z
Fmax(z) Fi (z)
i 1
n
Fmin (z) 1 [1 Fi (z)]
i 1
特别地, 若 X1 , X 2 , , X n 独立同分布,设它们的分布函数为F z,
设Z为连续随机变量 X 与 Y 的和, Z X Y , 求 fZ (z), FZ z .
考虑随机变量 Z X Y 的分布函数：
y
FZ z PZ z PX Y z f (x, y)dxdy x yz
因 此 ， 对 于Z g( X ,Y )求Z的 分 布 的
思 路 是 ： 视z为 定 值 ， 求G内 满 足
1 P[(X Y z) (Y X z)]
第九讲 二维变量函数的分布与期望
1 P(X z,Y z) 1 P(X z) P(Y z)
1 1 P( X z) 1 P(Y z)
1 1 FX (z) 1 FY (z)
推广到有限多个独立随机变量的情形, 有
n
f x, z xdx
f z y, ydy.
特殊地，如果X 与Y 独立，则
f (x, z x) fX (x) fY (z x)
fZ
z
f
X
x fY
z
x d x.
或
fZ
z
fX
z
y fY
y dy.
第九讲 二维变量函数的分布与期望
例9-1-1（07数学一，11分）
已 知(
X ,Y
)的 概 率 密 度 为f
0 x 1,0 y 1，x 2 y组 成（ 如 图） 。即 ：
0 y x ,0 x 1 2
第九讲 二维变量函数的分布与期望
1
x
P[ X
2Y ]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
( x,
y)dxdy
0
dx 2 0
(2
x
y)dy
G
1
0 ( x
5 8
x2 )dx
7 24
(2)Z X Y ,解 该 题 要 用 卷 积 分 公 式， 即fZ (z)
f
x2 y2z
( x,
y)dxdy
x2
y2z
(x2
8 y2
1)3
dxdy
做极坐标变量代换
第九讲 二维变量函数的分布与期望
x y
y cos r sin
,则f
(
x,
y)
(r
8 2
1)3
.
则：FZ
(z)
8
2 d
0
zr 0 (r 2 1)3 dr
1 1
(z 1)2
1
1 (z 1)2
,
考虑 Z 的分布函数：
FZ z PZ z PX 2 Y 2 z
当 z 0 时, 显然有 FZ (z) 0, 从而有 f Z (z) 0.
当 z 0时,
FZ (z) f ( x, y)dxdy x2 y2 z
f
z
z
F
Z
(
z
)
第九讲 二维变量函数的分布与期望
例9-1-2 设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为 y