离散数学I(2)-代数-2015剖析
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
离散数学(第2版)
离散数学（第2版）——关于数学中重要的研究方向
离散数学是一门涉及数学中各种离散对象的研究方向，包括数论、图论、代数等。
离散数学是计算机科学、通信工程和其他许多工科领域的基础，对于理解计算机算法的原理和应用具有重要意义。
本文将对离散数学（第2版）这本数学教材进行介绍。
离散数学（第2版）是由美国杜克大学的Kenneth H. Rosen所著的数学教材。
这本书共分为五章，分别是基础概念、逻辑和计算、数论、图论、代数和应用。
第一章主要介绍了离散数学的基础概念，包括逻辑基础、集合、关系和函数。
第二章介绍了逻辑和计算的相关内容，包括命题逻辑、谓词逻辑、计算机科学中的逻辑和布尔代数。
第三章是关于数论的章节，包括质数、最大公约数、最小公倍数、模运算、同余方程等内容。
第四章是关于图论的章节，包括无向图、有向图、连通图、生成树、最短路径、最小生成树等内容。
第五章是关于代数和应用的章节，包括代数系统、群、域、同余环、线性代数和代数应用等内容。
本书还附有大量的练习题，帮助读者检验自己的学习效果。
离散数学（第2版）是一本系统而全面的数学教材，涵盖了离散数学的各个方面。
它适合作为计算机科学和工科领域的数学基础教材，也可作为普及离散数学的参考书。
离散数学课件-绪论
目录
• 离散数学的概述 • 离散数学的主要分支 • 离散数学的基本概念 • 离散数学的研究方法 • 离散数学的学习意义和价值
01
离散数学的概述
离散数学的定义
• 离散数学：离散数学是研究数学结构中非连续、分离对象的数 学分支。它主要关注集合论、图论、逻辑、组合数学等领域， 用于描述和研究离散对象之间的关系和性质。
在离散数学中，形式化方法常用于描述集合、关系、图等数学对象，如集合论中的集合定义和关系定 义。
归纳法
归纳法是从个别到一般的推理方法， 通过对一些具体实例的分析，归纳出 一般规律或性质。
VS
在离散数学中，归纳法常用于证明一 些关于自然数的性质和定理，如归纳 法在证明阶乘性质中的应用。
反证法
反证法是一种间接证明方法，通过假设与要 证明的命题相矛盾的命题成立，推出矛盾， 从而证明原命题成立。
逻辑学
01
逻辑学是研究推理和论证的规则 和结构的数学分支。逻辑学为离 散数学的各个分支提供了推理和 证明的工具和方法。
02
逻辑学中的基本概念包括命题、 量词、推理规则、证明等，这些 概念为离散数学的各个分支提供 了推理和证明的工具和方法。
组合数学
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支。组合数学在计算机科学、统 计学和运筹学等领域有广泛应用。
离散数学的起源和发展
起源
离散数学的起源可以追溯到古代数学中的一些研究，如几何学和逻辑学。随着 时间的推移，离散数学的各个分支逐渐形成和发展，成为一门独立的学科。
发展
离散数学的发展与计算机科学的发展密切相关。随着计算机科学的兴起，离散 数学在理论和实践方面都得到了广泛的应用和发展。
离散数学的应用领域
离散数学中代数系统知识点梳理
离散数学中代数系统知识点梳理离散数学作为一门数学学科，研究的是离散化的对象和结构。
代数系统作为离散数学的一个重要分支，是对数学对象的代数性质进行研究的一种形式化工具。
在离散数学中，代数系统的概念和相关知识点是非常重要的。
一、代数系统的基本概念代数系统是指由集合和一组运算构成的数学结构。
其中，集合是代数系统中最基本的概念，可以是有限集或无限集；运算是指对集合中的元素进行操作并得到新的元素。
代数系统主要包括代数结构、代数运算和代数性质三个方面。
1. 代数结构：代数结构由集合和一组运算构成，可以包括加法、减法、乘法、除法等。
常见的代数结构有群、环、域等。
2. 代数运算：代数运算是指对集合中的元素进行操作，可以是二元运算也可以是多元运算。
常见的代数运算有加法、乘法、幂运算等。
3. 代数性质：代数系统具有一些特定的性质，如封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素等。
二、代数系统的分类根据代数运算的性质，代数系统可以分为群、环、域和向量空间等不同类型。
1. 群：群是一种代数系统，具有封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。
群分为有限群和无限群，可以是交换群或非交换群。
2. 环：环是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律和单位元素等性质。
环分为有限环和无限环，可以是可除环或非可除环。
3. 域：域是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
域是一种完备的代数系统，可以进行加、减、乘、除运算。
4. 向量空间：向量空间是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
向量空间是一种具有线性结构的代数系统。
三、代数系统的应用代数系统作为离散数学的一个重要分支，在计算机科学、密码学、通信工程等领域有着广泛的应用。
1. 计算机科学：代数系统在计算机科学中起到重要的作用，比如在数据库设计、编译原理、算法设计等方面都有应用。
代数系统可以描述和分析计算机系统的运行和性能。
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学PPT教学代数系统
试证：*，△满足吸收律
证明：x，y∈N，
x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x x≥y =x
∴*满足吸收律
x x<y
x△（x*y）=min{x，max{x，y}}=x x≥y =x
∴△满足吸收律
x x<y
12
§7.2 运算及其性质
6.等幂律 已知〈A，*〉，若x∈A，x*x=x 则称*
抽象代数学的主要内容是研究各种各样的代数系统。 它把一些形式上很不相同的代数系统，用统一的方法 描述、研究和推理，从而得到反映出它们共性的一些 本质的结论，然后再把这些结论应用到具体的代数系 统中。
3
抽象代数学在计算机中的应用
抽象代数的概念和方法也是研究计算科学的重要数学 工具。有经验和成熟的计算科学家都知道，除了数理 逻辑处，对计算科学最有用的数学分支学就是代数， 特别是抽象代数。抽象代数是关于运算的学问，是关 于计算规则的学问。
∴当且仅当x与k互质时，x有逆元
20
三、 逆元
2、逆元的性质
Th3: 对于可结合运算ο ，如果元素X有 左逆
元ｌ，
离散数学布尔代数
离散数学布尔代数离散数学（discrete mathematics）是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。
离散的含义是指不同的连接在一起的元素，主要是研究基于离散量的结构和相互间的关系，其对象一般是有限个或可数个元素。
简介离散数学在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有著广为的应用领域，同时离散数学也就是计算机专业的专业课程，例如程序设计语言、数据结构、操作系统、编程技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的自学，不但可以掌控处置线性结构的叙述工具和方法，为时程课程的自学创造条件，而且可以提升抽象思维和严苛的逻辑推理能力，为将来参予创新性的研究和研发工作奠定稳固的基础。
发展随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的已连续数学占到主流的地位已经出现了变化，离散数学的重要性逐渐被人们重新认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广为地彰显在计算机科学技术及有关专业的诸领域，从科学计算至信息处理，从理论计算机科学至计算机应用技术，从计算机软件至计算机硬件，从人工智能至心智系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机就是一个线性结构，它就可以处置线性的或线性化后了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用领域密切相关的现代科学研究领域，都遭遇着如何对线性结构建立相应的数学模型；又如何将已用已连续数量关系创建出来的数学模型线性化，从而可以由计算机予以处置。
离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说道就是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的存有一个知名的典型例子-四色定理又称四色悖论，这就是世界近代三小数学难题之一，它就是在年，由英国的一名绘图员弗南西斯·格思里明确提出的，他在展开地图着色时，辨认出了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上时相同的颜色”。
《离散数学》第5章 代数系统简介
在 M n (R) 上，对于矩阵乘法只有可逆矩阵 M M n (R) 存在逆元
M 1 ， M M 1 E 和 M 1 M E 成立， 使得 其中 E 为 n 阶 单位矩阵.
9、设 为 S 上的二元运算，如果对任意的 x, y, z S 满足以下条件 （1）若 x y x z 且 x 不是零元，则 y z ， （2）若 y x z x 且 x 不是零元，则 y z ， 就称运算 满足消去律
例如: 在幂集 P ( S ) 上的 和 是满足吸收律的.
若 算“”满足左分配律； b c a b a c a ， 则运算“ ”对运算“ ”满足右分配律.若左右分配律 均满足， 称运算“ ”对运算“ ”满足分配律. 则
5、 设 是 A 上的二元运算，若存在 a A ，有
1、若 a b b a ，则称运算“ ”在A上是可换的 ，或 者说运算“ ”满足交换律.
例如：在实数集R上，通常的加法和乘法都满足交换律，但减法 和除法不满足交换律.因为2和4都是实数.因为2-4≠4-2.在幂集 P(S)上 , , 都满足交换律，但相对补不满足交换律.
2、若a b c a b c，则称运算“*”在A上是可结合 的.或称“*”满足结合律.
这些相当于前缀表示法，但对二元运算用得较多的还是 a1 a2 b .我们在本书中所涉及的代数运算仅限于一元. 和二元运算．
如果集合Ｓ是有穷集，Ｓ上的一元和二元运算也可以用 运算表给出.表5―1和表5－2是一元和二元运算表的一 般形式.
表5－1
表5－1
例2、(2) 设 S 0,1, 2,3, 4 ，定义 S 上的两个 二元运算如下：
离散数学(第2版)
成书过程
修订过程
出版工作
《离散数学（第2版）》由屈婉玲、耿素云、张立昂担任主编。具体编写分工如下：第1章~第5章、第14章~ 第18由耿素云完成，第6章~第13章由屈婉玲完成，第19章由张立昂完成 。
离散数学（第2版）
高等教育出版社出版的图书
01 成书过程
03 教材目录 05 教材特色
目录
02 内容简介 04 教学资源 06 作者简介
《离散数学（第2版）》是由屈婉玲、耿素云、张立昂主编，2015年由高等教育出版社出版的普通高等教育 “十一五”国家级规划教材。该教材可作为普通高等学校计算机科学与技术、软件工程、信息与计算科学等专业 本科生离散数学课程教材，也可以供其他专业学生和科技人员参考。
2015年3月24日，该教材由高等教育出版社出版 。
内容简介
《离散数学（第2版）》分为6大部分共19个章节的内容。此外，在每一章节下还设有习题。 第1部分数理逻辑：主要包括命题逻辑的基本概念、命题逻辑等值演算、命题逻辑的推理理论、一阶逻辑基本 概念、一阶逻辑等值演算与推理。 第2部分集合论：主要包括集合代数、二元关系、函数。 第3部分代数结构：主要包括代数系统、群与环、格与布尔代数。 第4部分组合数学：主要包括基本的组合计数公式、递推方程与生成函数 第5部分图论：主要包括图的基本概念，欧拉图与哈密顿图，树，平面图，支配集、覆盖集、独立集、匹配与 着色。 第6部分初等数论：主要包括初等数论 。
作者简介
屈婉玲：女，博士生导师，北京大学信息科学技术学院、软件与微电子学院教授，主要从事算法设计与分析、 软件形式化方法方面的研究。获得2004年度北京市优秀教师奖 。
离散数学导论
离散数学导论离散数学是数学的一个分支，侧重于非连续或离散的数值和结构。
它与连续数学形成对比，连续数学主要关注于连续的数值和结构。
离散数学在计算机科学、信息技术、通信工程和其他领域中有着广泛的应用。
本文将介绍离散数学的一些基本概念和主要应用领域。
一、排列与组合排列和组合是离散数学中的基本概念，它们用于确定事物的排列方式和组合方式。
排列是指从一组事物中选取一部分进行排列，而组合是指从一组事物中选取一部分进行组合。
排列和组合在算法设计、密码学和概率论等领域中有着重要的应用。
二、图论图论是研究图和网络结构的数学分支。
图由节点（顶点）和连接节点的边组成。
图论可以用于描述和解决各种实际问题，如交通网络、社交网络和通信网络等。
图论的一些重要概念包括图的遍历、最短路径和最小生成树等。
三、布尔代数布尔代数是一种逻辑系统，用于描述逻辑关系和逻辑运算。
它主要关注真值逻辑，即真和假的组合和运算。
布尔代数在计算机科学、电路设计和逻辑推理等方面有广泛的应用。
布尔代数的基本运算包括与、或、非和异或等。
四、数论数论是研究整数性质的数学分支。
它涉及素数、最大公约数、同余关系和数论函数等内容。
数论在密码学、编码理论和算法设计等领域中有着重要的应用。
例如，RSA加密算法就是基于数论的。
五、概率论概率论是研究随机事件及其概率分布的数学分支。
它主要关注事件发生的可能性，以及如何计算和描述这种可能性。
概率论在统计学、决策分析和风险评估等领域中有广泛的应用。
一些重要的概念包括条件概率、期望值和方差等。
六、离散数学在计算机科学中的应用离散数学在计算机科学中有着广泛且重要的应用。
例如，图论可以用于设计和分析网络算法；概率论可以用于设计和分析随机算法；布尔代数可以用于逻辑电路设计和布尔函数优化等。
离散数学的基本概念和方法为计算机科学的发展提供了理论基础。
总结离散数学是一门基础而重要的学科，它在计算机科学、信息技术和其他领域中有着广泛的应用。
本文介绍了离散数学的一些基本概念和主要应用领域，包括排列与组合、图论、布尔代数、数论和概率论等。
离散数学代数系统总结
离散数学代数系统总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象和离散结构。
而代数系统是离散数学的一个重要分支，它研究的是一类具有特定性质的运算集合。
在这篇文章中，我们将从代数系统的基本概念、性质和应用几个方面对离散数学中的代数系统进行总结。
一、代数系统的基本概念代数系统是指一个非空集合A，以及在这个集合上定义的一个或多个运算。
根据运算的性质，代数系统可以分为不同的类型，包括群、环、域等。
其中，群是最基本的代数系统，它具有封闭性、结合律、单位元、逆元等性质。
环则在群的基础上增加了乘法运算，并满足了分配律。
域是环的一种扩充，它除了满足环的性质外，还具有乘法逆元。
二、代数系统的性质1. 封闭性：代数系统中的运算结果仍属于该系统，即对于任意a、b∈A，a运算b的结果仍然属于A。
2. 结合律：对于代数系统中的任意元素a、b、c，(a运算b)运算c 与a运算(b运算c)的结果相同。
3. 单位元：代数系统中存在一个元素e，对于任意元素a，a运算e与e运算a的结果均为a。
4. 逆元：代数系统中的每个元素a都存在一个逆元，使得a运算它的逆元等于单位元。
5. 交换律：对于代数系统中的任意元素a、b，a运算b与b运算a 的结果相同。
这些性质是代数系统的基本特征，不同类型的代数系统在这些性质上有所区别，比如群具有结合律和单位元，但不一定满足交换律。
三、代数系统的应用代数系统在数学及其他学科中有着广泛的应用。
以下是几个代数系统应用的例子：1. 编码理论：代数系统的运算可以用于编码和解码信息，例如循环冗余校验码（CRC）就是通过代数系统中的运算实现数据校验。
2. 密码学：代数系统中的数学运算被广泛应用于密码学中，用于加密和解密信息，保护数据的安全。
3. 图论：代数系统的概念和性质在图论中有着重要的应用，例如邻接矩阵和关联矩阵可以用于描述和分析图的结构和特性。
4. 计算机科学：代数系统在计算机科学中有着广泛的应用，例如布尔代数在逻辑电路设计和逻辑编程中的应用。
《离散数学》 第10章 代数系统
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定义10.1.7 设 ，*为集合A上的两个可交换二元运算， 若对任意x，y∈A，都有x （x*y）=x和x* （x y）=x，则 称运算 和运算*是可吸收的，或称运算 和运算*满足
例如，A=｛所有整数｝，B=｛所有不等于零的整
数｝，C=｛所有有理数｝，则
f： A×B→C，
(a,b) a b
是一个A×B到C的代数运算，也就是普通的除法。
10.1 二元运算及其性质
10.1.1 二元运算
定义10.1.2 设A为集合，如果f是A×A到A的代数运算，则称f 是A上的一个二元运算，也称作集合A对于代数运算f来说是 封闭的。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
例10.1.7 设R为实数集， 为集合R上的二元运算，对任意
的a，b∈R，a b=a+2b，问这个运算满足交换律、结合律
吗？
解 因为2 3=2+2×3=8，而3 2=3+2×2=7，2 3≠3 2，故
该运算不满足交换律。
又=2因+2为×（（23+32）×44）=（=223+，2×（32）3+）2×44≠=216（，3而42）（，3故4）该运
算也不满足结合律。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定义10.1.6 设 ，*为集合A上的两个二元运算，若对任意 x，y，z∈A，有x（y*z） = （x y）*（x z）和（y*z） x的=，（或y称x运）算*（z对x）运成算立*满，足则分称配运律算。 对运算*是可分配
《离散数学》课教学方法体会
浅谈《离散数学》课的教学方法与体会摘要：离散数学是一门理论性很强的基础课程，它在计算机科学及相关领域中有着广泛的应用背景。
该课程内容涵盖面广，包含若干独立分支，知识点多，概念抽象，学习难度较大。
该文结合近年来从事离散数学课程教学的实际，从教学内容、教学方法和教学资源等方面，探讨了如何提高离散数学课程的教学水平和质量，以利于学生后续课程的学习和今后的科学研究。
关键词：离散数学教学质量教学方法教学资源中图分类号：g4 文献标识码：a 文章编号：1674-098x（2012）12（a）-0-02众所周知，当今很多学科的研究与发展都和计算机相关，而离散数学作为信息与计算科学专业重要的基础理论课程之一，着重培养学生的抽象思维能力和严谨的逻辑推理能力，并使他们掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法。
学生只有掌握了离散数学中的相关理论知识，才能在随后的课程学习中更好地发挥和拓展相关的设计技术和编程技术等，从而更好地驾驭计算机知识。
离散数学课程主要包括集合论、数理逻辑、代数结构与图论、组合数学等。
由于这门课各个章节相对独立，内容之间缺少联系，知识点呈现多、散、抽象等特点，这些都会给教师和学生在学习上带来很大的困难，大多数学生在开始学时不知道要学习什么，学完之后也不知道怎么应用。
以下内容是笔者近年来从事离散数学课程教学的实际，从教学内容、教学方法、教学手段等方面进行了一些初步探讨，浅谈一些自己的体会和做法。
1 提高学生对《离散数学》课程的认识，调动学生的学习积极性离散数学课程是一门基础性课程，该课程内容包含了数学的多个分支，初学者感到内容多，头绪杂，知识的联系较为松散，而且《离散数学》中叙述问题的方式，尤其是解题方法等，和学生以前的连续的学习方法完全不同，学生在学的时候会比较吃力；此外，许多学生没有认识到离散数学课对后续诸多主干课程（例如，数据结构、操作系统、数据库、编译原理、软件工程）的指导性作用，看不到该课程的实际应用价值，对该课程缺乏学习兴趣和学习主动性，学习效果不甚理想。
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的逆元为 B的逆元为B
16
定理
定理 设为S上的二元运算，el、er分别为运 算的左单位元和右单位元，则有 el = er = e 且e 为S上关于运算的唯一的单位元。
P225 定理15.2
17
定理
定理 设为S上的二元运算，l和r分别为运
算的左零元和右零元，则有
l = r = 且为S上关于运算的唯一的零元。
x(xy)＝x x(xy)＝x
则称运算和满足吸收律。 10
例题
集合 Z,Q,R Mn(R)
P(B)
运算
分配律
普通加法+与乘法 矩阵加法+与乘法
对+可分配 +对不分配
对+可分配 +对不分配
并∪与交∩
∪对∩可分配 ∩对∪可分配
交∩与对称差 ∩对可分配
吸收律 无 无 有 无
11
二元运算中的特异元素—单位元
二元运算的运算表
a1
a2
…
an
a1
a1a1 a1a2
…
a1an
a2
a2a1 a2a2
…
a2an
…
…
…
…
…
an
ana1 ana2
…
anan
3
例
例 设S={1,2}，给出P(S)上的运算和~的运算表 ，
其中全集为S。
的运算表
~的运算表
{1} {2} {1,2} {1} {2} {1,2}
ai ~ ai {1,2}
20
消去律
定义 设为S上的二元运算，如果对于任意的
x,y,z∈S，满足以下条件： （1）若xy ＝xz且x ，则y ＝z （左消去律） （2）若yx ＝ zx且x ，则y＝z （右消去律）
则称运算满足消去律。(P226 定义15.8) 例如： 整数集合上的加法和乘法都满足消去律。 幂集P(S)上的并和交运算一般不满足消去律。
定义 设为S上的二元运算， 如 果 存 在 元 素 el（ 或 er）S， 使 得 对 任 意
x∈S都有 elx = x (或xer = x)
则称el (或er)是S中关于运算的一个左单位元 (或右单位元)。
(P224-225 定义15.6) 若e∈S关于运算既是左单位元又是右单位元，
则称e为S上关于运算的单位元。单位元也叫 做幺元。
13
二元运算中的特异元素—逆元
定义 设为S上的二元运算，eS为运算的单 位元，对于x∈S，
如果存在yl（或yr）∈S使得 ylx＝e（或xyr＝e）
则称yl（或yr）是x的左逆元（或右逆元）。 若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，则称
y为x的逆元。 如果x的逆元存在，则称x是可逆的。
P225 定义15.7
14
特异元素的实例
集合
运算
单位元
零元
Z,Q,R
普通加法 普通乘法
Mn(R)
矩阵加法 矩阵乘法
并∪
P(B)
交∩
逆元
15
特异元素的实例
集合
运算
单位元
零元
逆元
Z,Q,R
普通加法 普通乘法
0 1
无 0
Mn(R)
矩阵加法 矩阵乘法
n阶全0矩阵 n阶单位矩阵
无 n阶全0矩阵
并∪
P(B)
交∩
B
B
x的逆元x x的逆元x1
7
例题
集合
运算
Z,Q,R Mn(R) P(B)
AA
普通加法+ 普通乘法
矩阵加法+ 矩阵乘法
并∪ 交∩ 相对补 对称差
函数复合
交换律 结合律
幂等律
8
例题
Hale Waihona Puke 集合运算Z,Q,R Mn(R) P(B)
AA
普通加法+ 普通乘法
矩阵加法+ 矩阵乘法
并∪ 交∩ 对称差
函数复合
交换律 结合律
有
有
有
有
有
有
无
有
有
有
有
有
有
有
无
有
幂等律
无 无
无 无
有 有 无
无
9
二元运算的性质
定义 设和为S上两个二元运算，如果对于任意
的x,y,z∈S，有
x(yz) ＝ (xy) (xz) (yz)x ＝ (yx) (zx)
（左分配律） （右分配律）
则称运算对运算满足分配律。
P224 定义15.5
定义 设和为S上两个可交换的二元运算，如果 对于任意的x,y∈S，都有
12
二元运算中的特异元素—零元
定义 设为S上的二元运算， 如果存在元素θl（或θr）∈S，使得对任意x∈S都有
θlx = θl (或xθr = θr)， 则称θl (或θr)是S上关于运算的左零元(或右零元)。 若θ∈S关于运算既是左零元又是右零元，则称θ为S 上关于运算的零元。
P225 定义15.6
第十五章 代数系统
1
二元运算及其性质
定义(P222 定义15.1)设A为集合，函数 f： A×A→A 称为A上的二元运算。
例 f:N×N→N，f(<x,y>)＝x + y
f:N×N→N，f(<x,y>)＝x–y
定义(定义15.2) 设A为集合，函数 f：An→A 称为A上的n元运算。
2
二元运算的表示
P225 定理15.3
18
定理
定理 设为S上的二元运算，e 和分别为运
算的单位元和零元，如果S至少有两个元素，
则e。
P225 定理15.4
19
定理
定理 设为S上可结合的二元运算，e为该运
算的单位元，对于x∈S，如果存在左逆元yl
和右逆元yr，则有 yl = yr= y
且y是x的唯一的逆元。 P226 定理15.5
定义 非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,…, fk组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记 做<S, f1, f2, …, fk>。(P227 定义15.9上一行)
21
例
例 设A={a,b,c}，A上的二元运算、、如表所示。 (1)说明、、运算是否满足交换律、结合律、消
去律和幂等律。 (2)求出关于、、运算的单位元、零元和所有可
逆元素的逆元。
abc aabc bbca ccab
abc aabc bbbb ccbc
abc aabc babc cabc
22
代数系统
{1} {1} {1,2} {2}
{1} {2}
{2} {2} {1,2} {1} {1,2} {1,2} {2} {1}
{2} {1}
{1,2}
4
例
例 设S={1,2,3,4}，定义S上的二元运算如下： x y＝(xy) mod 5， x,y∈S 求运算的运算表。
1234 11234 22413 33142 44321
5
二元运算的性质
定义 设为S上的二元运算，如果对于任意的 x,y∈S 都 有 xy=yx， 则 称 运 算 在 S 上 满 足 交换律。
定义 设为S上的二元运算，如果对于任意的 x,y,z∈S都有 (xy)z=x(yz)，则称运算在S 上满足结合律。(P223 定义15.3)
6
二元运算的性质
定义 设为S上的二元运算，如果对于任意的 x∈S有xx=x，则称运算在S上满足幂等律。 如果S中的某些x满足xx=x，则称x为运算 的幂等元。(P223定义15.3)