函数的极值与最值练习题.doc

数学分析6.4函数的极值与最大(小)值(练习)

第六章微分中值定理及其应用4 函数的极值与最大(小)值(讲义)练习题1、求下列函数的极值.(1)f(x)=2x3-x4; (2)f(x)=; (3)f(x)=; (4)f(x)=arctanx ln(1+x2).解：(1)f在R上连续，当f’(x)=6x2-4x3=0时，x=0或x=.又当x<0时，f’(x)=6x2-4x3>0；当0<x<时，f’(x)=6x2-x3>0；当x>时，f’(x)=6x2-4x3<0. ∴f有极大值f()=2×-=.(2)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=0，又x<0时，f’(x)<0；当x>0时，f’(x)>0. ∴f有极小值f(0)=0.(3)f在R+上连续，当f’(x)==0时，x=1或x=e2.又当x<1时，f’(x)<0；当1<x<e2时，f’(x)>0; 当x>e2时，f’(x)<0.∴f有极小值f(1)=0; 极大值f(e2)=4e-2.(4)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=1.又当x<1时，f’(x)>0; 当x>1时，f’(x)<0，∴f有极大值f(1)=.2、设f(x)=.(1)证明x=0是函数f的极小值点; (2)说明在f的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.证：(1)∵对任意x≠0，有f(x)=≥0，∴x=0是f的极小值点. (2)f’(x)=,令x n=(2nπ+)-1, y n=(2nπ+)-1, (n=1,2,…)，则x n, y n>0且x n=y n=0，又f’(x n)=(2nπ+)-2·[2(2nπ+)-1-1]< 0，f’(y n)=(2nπ+)-2·[4(2nπ+)-1-0]=4(2nπ+)-3>0，即f’在任一U+⁰(0,δ)内变号，∴f不满足第一充分条件.又f”(0)=0，∴f不满足第二充分条件.3、证明：若函数f在x0处有f+’(x0)<0(或>0), f-’(x0)>0(或<0), 则x0为f 的极大(小)值点.证：∵f+’(x0)=<0，∴存在某U⁰+(x0,δ1)，使当x∈U⁰+(x0,δ1)时，有<0，∴f(x)<f(x0).又∵f-’(x0)=>0，∴存在某U⁰-(x0,δ2)，使当x∈U⁰-(x0,δ2)时，有>0，∴f(x)<f(x0).取δ=min(δ1,δ2)，则当x∈U⁰(x0,δ)时有f(x)<f(x0)，∴x0为f的极大值点.同理可证若f在x0处有f+’(x0)>0, f-’(x0)<0, 则x0为f的极小值点.4、求下列函数在给定区间上的最大最小值.(1)y=x5-5x4+5x3+1, [-1,2]; (2)y=2tanx-tan2x, 当[0,]; (3)y=lnx, (0,+∞). 解：(1)y在[-1,2]上连续, 当y’=5x4-20x3+15x2=0时, x=0,x=1或x=3(舍去)，y(-1)=-10, y(0)=1, y(1)=2, y(2)=-7,∴y在[-1,2]的最大值为y(1)=2，最小值为y(-1)=-10.(2)记u=tanx，则当x∈[0,]时，u∈[0,+∞], y=2u-u2在[0,+∞)连续.当=2-2u=0时，u=1, x=arctan1=, y(0)=0, y()=1,由二次函数的性质知y在[0,]无最小值，最大值为y()=1.(3)y在(0,+∞)连续，当y’=+=0时，x=e-2.y(e-2)=<0, lnx=0, lnx=+∞.∴y在(0,+∞)无最大值，最小值为y(e-2)=.5、设f(x)在区间I连续，并且在I有唯一的极值点x0.证明：若x0是f的极大(小)值点，则x0是f(x)在I上的最大(小)值点. 解：∵f在I连续，∴若x0是f在I唯一的极大值点，则对任意的x∈I有f(x)<f(x0), ∴x0是f在I上的最大值点. 同理可证：若x0是f在I唯一的极小值点，则x0是f在I上的最小值点.6、把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大？解：设两段线长为x, 1-x，则所求矩形面积为S=x(1-x)=x-x2, x∈(0,1). 当S’=1-2x=0时，x=0.5，又S”=-2<0，∴x=0.5是S唯一的极大值点.∴当两段线长都为0.5时，矩形的面积最大为S(0.5)=0.25.7、一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积最小，问底的半径与容器的高的比例应该怎样？解：设底的半径为r, 高为h，则V=πr2h, ∴h=.容器的表面积S=πr2+2πrh=πr2+. 当S’=2πr=0时，r==h，∴当底的半径与容器的高的比例为1:1时，容器的表面积最小.8、设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为a1,a2,…,a n. 问：以怎样的数值x表示所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小？解：记S=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2，当S’=2(x-a1)+2(x-a2)+…2(x-a n)=0时，x=，又S”=2n>0，∴x=是S唯一的极小值点. 又S=+∞,∴以x=表示真值时，它与这n个数之差的平方和最小.9、求正数a，使它与其倒数之和为最小.解：记f(a)=a+, a∈(0,+∞)，当f’(a)=1=0时，a=1或a=-1(舍去).f(1)=2, f(a)=+∞, f(a)=+∞. ∴a=1为所求.10、求下列函数的极值.(1)f(x)=|x(x2-1)|; (2)f(x)=; (3)f(x)=(x-1)2(x+1)3.解：(1)f’(x)=(3x2-1)sgn(x3-x), f”(x)=6xsgn(x3-x), (x≠0,±1);当f’=0时，x=, ∵f”()=-6×=-2<0, f”()=6×()=-2<0, ∴f()=f()=是f的极大值.又f(x)≥0，∴f(0)=f(±1)=0是f的极小值.(2)当f’(x)===0时，x=±1. 当x<-1时，f’(x)<0；当1<x<1时，f’(x)>0；当x>1时，f’(x)<0.∴f(-1)=-1是f的极小值，f(1)=2是f的极大值.(3)当f’(x)=2(x-1)(x+1)3+3(x-1)2(x+1)2=(x2-1)(5x-1)(x+1)=0时，x=±1或x=0.2. 当x<-1时，f’(x)>0；当-1<x<0.2时，f’(x)>0；当0.2<x<1时，f’(x)<0；当x>1时，f’(x)>0.∴f(0.2)=1.10592是f的极大值；f(1)=0是f的极小值.11、设f(x)=alnx+bx2+x, 在x1=1,x2=2处都取得极值；试定出a与b的值；并问这时f在x1与x2是取得极大值还是极小值？解1：当f’(x)=+2bx+1==0时，x=,当=1, =2时，解得a=, b=;当=2, =1时，无解.又当0<x<1时，f’(x)>0；当1<x<2时，f’(x)<0；当x>2时，f’(x)>0.∴a=, b=，且f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.解2：f’(x)=+2bx+1，∵f在x1=1,x2=2处都取得极值，∴有, 解得：a=, b=; ∴f’(x)= 1.f”(x)=，∵f”(1)=>0，f”(2)=<0.∴f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.12、在抛物线y2=2px上哪一点的法线被抛物线所截之线段最短.解：2yy’=2p, y’=，设抛物线上一点(a,b)，则过这点的法线方程为：y-b=(x-a)，即y=. 代入x=得y=,即by2+2p2y-2pab=0，设另一交点为(a’,b’)，则b+b’=,解得b’=, a’==.法线被抛物线所截线段长度的平方为：D(b)=(a’-a)2+(b’-b)2=()2+(b)2=.当D’(b)===0时，b=±p，a==p，∴抛物线在(p,±p)的法线被抛物线所截之线段最短.13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=a千米的B城(如图). AC=d千米. 轮船运费单价是m元/千米. 火车运费单价是n元/千米(n>m). 试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省.解：设CM=x，则AM=d-x，在Rt△BCM中，BM=. 总运费f(x)=m(d-x)+n当f’(x)=-m=0时，x=.又f(0)=md+na, f(d)= n,f()=md+a< md+na=f(0). 令m=nsinθ, 则md+aθ+nacosθ=n sin(θ+φ)≤n=f(d). (φ=arcsin). ∴f()是f(x)在[0,d]上的最小值，即离C点千米处修铁路运费最省。

掌握函数的极值与最值练习题

掌握函数的极值与最值练习题在数学中，函数的极值与最值是一个非常重要的概念。

掌握函数的极值与最值对于解决许多实际问题、优化设计以及理解数学理论都有着至关重要的作用。

本文将给大家提供一些函数的极值与最值的练习题，以帮助大家更好地理解和掌握这一概念。

1. 已知函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4，求函数 f(x) 的极值点。

解：首先，我们需要求解函数 f(x) 的导数 f'(x)：f'(x) = 6x^2 - 6x - 12.将 f'(x) 置为零，我们可以解得：6x^2 - 6x - 12 = 0,x^2 - x - 2 = 0,(x - 2)(x + 1) = 0.从中我们得到两个解：x = 2 和 x = -1.接下来，我们需要判断这两个解对应的是极大值还是极小值。

为此，我们可以观察二次项系数的正负情况。

由于二次项系数为正，即6x^2，所以这个二次函数开口朝上，即曲线在极小值点时取得最小值。

因此，函数 f(x) 的极值点为极小值点，分别是 x = 2 和 x = -1。

2. 已知函数 g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 3，求函数 g(x) 的最值。

解：首先，我们需要求解函数 g(x) 的导数 g'(x)：g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x.我们需要找到导数为零的点，即求解方程：4x^3 - 12x^2 + 8x = 0,x(4x^2 - 12x + 8) = 0.再进一步化简，我们可以得到：x(x^2 - 3x + 2) = 0.通过因式分解，我们可以求解得到三个解：x = 0，x = 1 和 x = 2.接下来，我们需要判断这三个解对应的是极大值还是极小值。

同样，观察三次项系数的正负情况。

由于三次项系数为正，即 4x^3，所以这个三次函数开口朝上，即曲线在极小值点时取得最小值。

因此，函数 g(x) 的最小值对应的 x 值为 x = 2，即 g(2) = 2^4 - 4 *2^3 + 4 * 2^2 + 3 = 7.综上所述，函数 g(x) 的最小值为 7.通过以上两个练习题，我们可以看出，找到函数的极值与最值需要通过导数来解决。

导数与极值最大值与最小值问题练习题

导数与极值最大值与最小值问题练习题在微积分中，导数与极值问题是一类经典且重要的题型。

通过求取导数，我们可以确定函数的极值点，即最大值和最小值。

本文将给出一些导数与极值问题的练习题，帮助读者加深对该类型问题的理解与应用。

练习题一：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的极值点。

解析：首先，我们需要求出函数的导数f'(x)。

对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，导数为f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

接下来，我们将导数f'(x)置为零，求得极值点。

即，3x^2 - 12x + 9= 0。

通过求解这个方程，我们得到x = 1和x = 3两个解。

然后，我们需要分别计算这两个x值对应的函数值f(x)。

当x = 1时，f(x) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 6；当x = 3时，f(x) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3)+ 2 = -2。

综上所述，在函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2中，极小值为-2，极大值为6，对应的x值分别为1和3。

练习题二：求函数g(x) = e^x - 4x的极值点。

解析：与前一题类似，我们首先求取函数g(x) = e^x - 4x的导数g'(x)。

根据指数函数的导数性质以及常数倍规则，我们有g'(x) = e^x - 4。

将导数g'(x)置为零，求得极值点。

即，e^x - 4 = 0。

通过求解这个方程，我们得到x = ln(4)。

接下来，计算x = ln(4)对应的函数值g(x)。

g(x) = e^x - 4x = e^(ln(4)) - 4(ln(4)) = 4 - 4ln(4)。

因此，在函数g(x) = e^x - 4x中，存在唯一的极值点x = ln(4)，对应的极值为4 - 4ln(4)。

练习题三：求函数h(x) = x^4 - 8x^2 + 16的极值点。

函数的极值、最值复习练习高三数学二轮复习

函数的极值、最值一、单项选择题1．下列函数中，不存在极值的是()A．y＝x＋1x B．y＝x exC．y＝x ln x D．y＝－2x3－x2．下列关于函数f(x)＝(3－x2)e x的结论，正确的是()A．f(－3)是极大值，f(1)是极小值B．f(x)没有最大值，也没有最小值C．f(x)有最大值，没有最小值D．f(x)有最小值，没有最大值3．已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．20 B．18 C．3 D．04．(2022·南充检测)已知函数f(x)＝x3－3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＋n等于()A．2 B．7 C．2或7 D．3或95．(2022·晋中模拟)已知函数f(x)＝2x ln x＋x2－ax＋3(a>0)，若f(x)≥0恒成立，则a的取值范围为()A．[4，＋∞) B．(4，＋∞)C．(0,4) D．(0,4]6．(2022·昆明模拟)若函数f(x)＝x2－4x＋a ln x有两个极值点，设这两个极值点为x1，x2，且x1<x2，则()A．x1∈(1,2) B．a>2C．f(x1)<－3 D．f(x1)>－3二、多项选择题7．(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则() A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线8．(2022·河北名校联盟调研)若存在正实数m，n，使得等式4m ＋a(n－3e2m)·(ln n－ln m)＝0成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是()A．－1e B.1e3 C.1e2D．2三、填空题9．函数f(x)＝x－ln|x|的极值点为________．10．已知函数f(x)＝x ln x－x＋2a＋2，若函数y＝f(x)与y＝f(f(x))有相同的值域，则实数a的取值范围是________．11．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．12．(2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2a x－e x2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是________．四、解答题13．(2022·西安交大附中模拟)已知函数f(x)＝x3－3ax＋a(a∈R)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)求函数f (x )在区间[0,3]上的最大值与最小值之差g (a )．14.(2022·许昌模拟)已知函数f (x )＝cos x －1e x .(1)求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程；(2)证明：函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上存在唯一的极大值点x 0. (参考数据：7<e 2<8，e 3>16，4π1e 2-<)答案：1．D 2.C 3.A 4.B 5.D 6.D 7．AC 8．ACD9．1 10.(－∞，0] 11.1 12.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1 13．解 (1)因为f (x )＝x 3－3ax ＋a (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )．①当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )在R 上单调递增；②当a >0时，x ∈(－∞，－a )∪(a ，＋∞)时，f ′(x )>0； x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0；故f (x )在(－∞，－a )和(a ，＋∞)上单调递增，在(－a ，a )上单调递减．(2)由(1)可知：①当a ≤0时，f (x )在[0,3]上单调递增，g (a )＝f (3)－f (0)＝27－9a ； ②当a ≥3，即a ≥9时，f (x )在[0,3]上单调递减，g (a )＝f (0)－f (3)＝9a －27；③当0<a <3，即0<a <9时，f (x )在[0，a )上单调递减，在(a ，3]上单调递增，于是f (x )min ＝f (a )＝－2a a ＋a ，又f (0)＝a ，f (3)＝27－8a .故当0<a <3时，g (a )＝27－9a ＋2a a ；当3≤a <9时，g (a )＝2a a ，综上可得，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 27－9a ，a ≤0，27－9a ＋2a a ，0<a <3，2a a ，3≤a <9，9a －27，a ≥9.14．(1)解因为f (x )＝cos x －1e x ，在x ＝0处的切点为(0,0)，求导得f ′(x )＝－sin x ＋1e x ，所以切线斜率为f ′(0)＝1，所以函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝x .(2)证明因为f (x )＝cos x －1e x ，所以f ′(x )＝－sin x ＋1e x ，因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4时，函数y 1＝－sin x ，y 2＝1e x 均单调递减，所以f ′(x )＝－sin x ＋1e x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上单调递减，因为e 2<8，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝23π611e e 22---<- ＝13e 2－12>138－12＝0，因为4π1e ,2-< 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝π4e -－22<12－22<0，根据零点存在定理可得，f ′(x )存在唯一零点x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，使得f ′(x 0)＝0e x －－sin x 0＝0，又y ＝f ′(x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上单调递减，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，x 0时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π4时，f ′(x )<0，所以x 0是函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上唯一的极大值点．。

数学分析6.4函数的极值与最大(小)值(练习)

第六章微分中值定理及其应用4 函数的极值与最大(小)值(讲义)练习题1、求下列函数的极值.(1)f(x)=2x3-x4; (2)f(x)=; (3)f(x)=; (4)f(x)=arctanx ln(1+x2).解：(1)f在R上连续，当f’(x)=6x2-4x3=0时，x=0或x=.又当x<0时，f’(x)=6x2-4x3>0；当0<x<时，f’(x)=6x2-x3>0；当x>时，f’(x)=6x2-4x3<0. ∴f有极大值f()=2×-=.(2)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=0，又x<0时，f’(x)<0；当x>0时，f’(x)>0. ∴f有极小值f(0)=0.(3)f在R+上连续，当f’(x)==0时，x=1或x=e2.又当x<1时，f’(x)<0；当1<x<e2时，f’(x)>0; 当x>e2时，f’(x)<0.∴f有极小值f(1)=0; 极大值f(e2)=4e-2.(4)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=1.又当x<1时，f’(x)>0; 当x>1时，f’(x)<0，∴f有极大值f(1)=.2、设f(x)=.(1)证明x=0是函数f的极小值点; (2)说明在f的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.证：(1)∵对任意x≠0，有f(x)=≥0，∴x=0是f的极小值点. (2)f’(x)=,令x n=(2nπ+)-1, y n=(2nπ+)-1, (n=1,2,…)，则x n, y n>0且x n=y n=0，又f’(x n)=(2nπ+)-2·[2(2nπ+)-1-1]< 0，f’(y n)=(2nπ+)-2·[4(2nπ+)-1-0]=4(2nπ+)-3>0，即f’在任一U+⁰(0,δ)内变号，∴f不满足第一充分条件.又f”(0)=0，∴f不满足第二充分条件.3、证明：若函数f在x0处有f+’(x0)<0(或>0), f-’(x0)>0(或<0), 则x0为f 的极大(小)值点.证：∵f+’(x0)=<0，∴存在某U⁰+(x0,δ1)，使当x∈U⁰+(x0,δ1)时，有<0，∴f(x)<f(x0).又∵f-’(x0)=>0，∴存在某U⁰-(x0,δ2)，使当x∈U⁰-(x0,δ2)时，有>0，∴f(x)<f(x0).取δ=min(δ1,δ2)，则当x∈U⁰(x0,δ)时有f(x)<f(x0)，∴x0为f的极大值点.同理可证若f在x0处有f+’(x0)>0, f-’(x0)<0, 则x0为f的极小值点.4、求下列函数在给定区间上的最大最小值.(1)y=x5-5x4+5x3+1, [-1,2]; (2)y=2tanx-tan2x, 当[0,]; (3)y=lnx, (0,+∞). 解：(1)y在[-1,2]上连续, 当y’=5x4-20x3+15x2=0时, x=0,x=1或x=3(舍去)，y(-1)=-10, y(0)=1, y(1)=2, y(2)=-7,∴y在[-1,2]的最大值为y(1)=2，最小值为y(-1)=-10.(2)记u=tanx，则当x∈[0,]时，u∈[0,+∞], y=2u-u2在[0,+∞)连续.当=2-2u=0时，u=1, x=arctan1=, y(0)=0, y()=1,由二次函数的性质知y在[0,]无最小值，最大值为y()=1.(3)y在(0,+∞)连续，当y’=+=0时，x=e-2.y(e-2)=<0, lnx=0, lnx=+∞.∴y在(0,+∞)无最大值，最小值为y(e-2)=.5、设f(x)在区间I连续，并且在I有唯一的极值点x0.证明：若x0是f的极大(小)值点，则x0是f(x)在I上的最大(小)值点. 解：∵f在I连续，∴若x0是f在I唯一的极大值点，则对任意的x∈I有f(x)<f(x0), ∴x0是f在I上的最大值点. 同理可证：若x0是f在I唯一的极小值点，则x0是f在I上的最小值点.6、把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大？解：设两段线长为x, 1-x，则所求矩形面积为S=x(1-x)=x-x2, x∈(0,1). 当S’=1-2x=0时，x=0.5，又S”=-2<0，∴x=0.5是S唯一的极大值点.∴当两段线长都为0.5时，矩形的面积最大为S(0.5)=0.25.7、一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积最小，问底的半径与容器的高的比例应该怎样？解：设底的半径为r, 高为h，则V=πr2h, ∴h=.容器的表面积S=πr2+2πrh=πr2+. 当S’=2πr=0时，r==h，∴当底的半径与容器的高的比例为1:1时，容器的表面积最小.8、设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为a1,a2,…,a n. 问：以怎样的数值x表示所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小？解：记S=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2，当S’=2(x-a1)+2(x-a2)+…2(x-a n)=0时，x=，又S”=2n>0，∴x=是S唯一的极小值点. 又S=+∞,∴以x=表示真值时，它与这n个数之差的平方和最小.9、求正数a，使它与其倒数之和为最小.解：记f(a)=a+, a∈(0,+∞)，当f’(a)=1=0时，a=1或a=-1(舍去).f(1)=2, f(a)=+∞, f(a)=+∞. ∴a=1为所求.10、求下列函数的极值.(1)f(x)=|x(x2-1)|; (2)f(x)=; (3)f(x)=(x-1)2(x+1)3.解：(1)f’(x)=(3x2-1)sgn(x3-x), f”(x)=6xsgn(x3-x), (x≠0,±1);当f’=0时，x=, ∵f”()=-6×=-2<0, f”()=6×()=-2<0, ∴f()=f()=是f的极大值.又f(x)≥0，∴f(0)=f(±1)=0是f的极小值.(2)当f’(x)===0时，x=±1. 当x<-1时，f’(x)<0；当1<x<1时，f’(x)>0；当x>1时，f’(x)<0.∴f(-1)=-1是f的极小值，f(1)=2是f的极大值.(3)当f’(x)=2(x-1)(x+1)3+3(x-1)2(x+1)2=(x2-1)(5x-1)(x+1)=0时，x=±1或x=0.2. 当x<-1时，f’(x)>0；当-1<x<0.2时，f’(x)>0；当0.2<x<1时，f’(x)<0；当x>1时，f’(x)>0.∴f(0.2)=1.10592是f的极大值；f(1)=0是f的极小值.11、设f(x)=alnx+bx2+x, 在x1=1,x2=2处都取得极值；试定出a与b的值；并问这时f在x1与x2是取得极大值还是极小值？解1：当f’(x)=+2bx+1==0时，x=,当=1, =2时，解得a=, b=;当=2, =1时，无解.又当0<x<1时，f’(x)>0；当1<x<2时，f’(x)<0；当x>2时，f’(x)>0.∴a=, b=，且f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.解2：f’(x)=+2bx+1，∵f在x1=1,x2=2处都取得极值，∴有, 解得：a=, b=; ∴f’(x)= 1.f”(x)=，∵f”(1)=>0，f”(2)=<0.∴f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.12、在抛物线y2=2px上哪一点的法线被抛物线所截之线段最短.解：2yy’=2p, y’=，设抛物线上一点(a,b)，则过这点的法线方程为：y-b=(x-a)，即y=. 代入x=得y=,即by2+2p2y-2pab=0，设另一交点为(a’,b’)，则b+b’=,解得b’=, a’==.法线被抛物线所截线段长度的平方为：D(b)=(a’-a)2+(b’-b)2=()2+(b)2=.当D’(b)===0时，b=±p，a==p，∴抛物线在(p,±p)的法线被抛物线所截之线段最短.13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=a千米的B城(如图). AC=d千米. 轮船运费单价是m元/千米. 火车运费单价是n元/千米(n>m). 试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省.解：设CM=x，则AM=d-x，在Rt△BCM中，BM=. 总运费f(x)=m(d-x)+n当f’(x)=-m=0时，x=.又f(0)=md+na, f(d)= n,f()=md+a< md+na=f(0). 令m=nsinθ, 则md+aθ+nacosθ=n sin(θ+φ)≤n=f(d). (φ=arcsin). ∴f()是f(x)在[0,d]上的最小值，即离C点千米处修铁路运费最省。

大学函数练习题

大学函数练习题题目一：求函数的极值1. 给定函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4，求f(x)的极值点及对应的极值。

解析：为了求函数的极值，首先需要求解导数为零的点。

对函数f(x)求导可得f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。

将f'(x)设置为0并解方程，可以得到x = -1和x = 3两个根。

接下来，我们可以通过计算f(-1)、f(3)和f(x)在这两个点的导数值，来判断这些点是否为极值点。

当x = -1时，f(-1) = 15，而f'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) - 12 = 0。

所以x = -1是一个极小值点。

当x = 3时，f(3) = 22，而f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 0。

所以x = 3也是一个极小值点。

因此，f(x)的极小值分别为x = -1时的f(-1) = 15，和x = 3时的f(3) = 22。

题目二：求函数的渐近线2. 给定函数g(x) = (x^2 - 9) / (x - 3)，求g(x)的水平渐近线、垂直渐近线以及斜渐近线。

解析：首先，我们需要判断函数g(x)是否有水平渐近线。

水平渐近线的存在取决于函数在无穷远处的行为。

当x趋向于正无穷大时，g(x)的表达式可以简化为g(x) = (x^2 - 9) / x。

根据极限的概念，当x趋向于正无穷大时，g(x)无穷接近于x，因此函数g(x)的水平渐近线是y = x。

接下来，我们需要判断函数g(x)是否有垂直渐近线。

垂直渐近线的存在取决于函数在某一点的极限是否为无穷大。

当x趋向于3时，g(x)的分母(x - 3)趋向于零，而分子(x^2 - 9) = (x - 3)(x + 3)不趋向于零。

因此，这个函数g(x)在x = 3处没有定义，也即在x = 3处有一个垂直渐近线。

最后，我们需要判断函数g(x)是否有斜渐近线。

斜渐近线的存在取决于函数在无穷远处的行为。

函数的极值与最值练习题.docx

函数的极值与最值练习题一、选择题I.下列说法正确的是A.⅛⅞∕倘户0时.则危0）为Jlr）的极大值8.当/ （Xn）=O时,则从3）为/U）的微小便C当/ （W旬时，则J IU）为.心）的极值D.当凡喻为函数HX）的极值Ilf （.哂存在时，则有f （.r ll）=09.下列四个函数,在尸0处取得极值的函数是Φy=F ②y=F+1 ③y=W ④产2'A©g） B.②® C.③④ D.φg）10函数严上T的极大值为l+x^A.3B.4C.2D.511函数J=F—3K的极大伯为砥微小值为",则m+n为A.0 Bl C.2 D.412>=ln:.t+21n.r+2 的微小值为A.e-B.0C.-l Dl13）=2√-3r+«的极大值为6,那么“等于A.6B.0C.5 Dl二、填空题14函数KV）=√*-3f+7的极大（ft为.8,曲线j=3√-5x,共有个极值.9.若函数产F+αP+bx+27在广一1时有极大俏，在户3时有微小值，则a= _____ b= _____ .10.g½>=2√-3√-12.r+5 fl：［0, 3］上的最小值是.H.函数AD=Sin2x-x在［- 9 ］上的最大值为：最小f⅛为__________12.在半径为K的圈内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______ 时，它的面枳呆人.三、解答也E已知函数/W=/+#+於+c,当X=-I时，取得极大值7：当x=3时,取得微小伯.求这个微小值及a、/，、C的值.14.设产"）为三次南数，FL图象关于原点对称,当尸;时，贸X）的微小值为- 1,求函数的解析式.15.己知x = 2是函数/(X)=(ΛJ+av-2a-3*的一个极侑点(^=2.718∙∙∙). (I)求实数〃的值：(ID求函数/(Λ)在K W弓.3］的描大值和W小值.16、已知三次函数Rx)=aχ3∙6aχ2+b.问是否存在实数a.b.使f(x)在［∙1,2∣上取得最大伯3, 般小值-29,若存在,求出&b的值:若不存在，请说明理由.。

高考数学必考点专项第9练导数与函数的极值、最值(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)

高考数学必考点专项第9练导数与函数的极值、最值习题精选一、单选题1. 若2x =-是函数2-1()=(+-1)x f x x ax e 的极值点，则()f x 的极小值为( ) A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 12. 正项等比数列中的14031,a a 是函数的极值点，则20166log a = ( ) A. 1 B. 2D. 1-3. 若在上有两个极值点，则a 的取值范围为( )A.B.C.D.4. 已知函数3221()13f x x ax b x =+++，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79 B. 13C. 59D.235. 设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则( ) A. a b <B. a b >C. 2ab a <D. 2ab a >二、多选题6. 已知()f x 是定义在(0,3)上的连续可导函数.若()f x 的最大值为(1)f ，则( )321()4633f x x x x =-+-A. (1)0f '=B. ()f x -在1x =-处有最大值C. ()f x -在1x =处有极小值D. ()f x --在1x =-处有最大值7. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是( )A. 2π是的一个周期；B. 在上有3个零点；C.的最大值为334； D. 在上是增函数．8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则“对于任意的(0,1],x ∈不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-恒成立”的充分不必要条件可以是( )A. 10a e-<B.4312ea e <C.3211e a e <D.1a e e< 三、填空题9. 函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为__________.10. 函数()ln f x x =的定义域为__________，最大值为__________. 11. 若直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，且0a >，则实数b 的最小值是__________.()f x ()f x [0,2]π()f x ()f x12. 已知函数在上无极值，则a =__________，()f x 在上的最小值是__________.13. 已知函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，对于任意x R ∈均有()+2()=mx 4f x g x -，若()3lnx 0f x --对任意(0,+)x ∈∞都成立，则实数m 的取值范围是__________. 四、解答题14. 已知函数2()12.f x x =-(1)求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；(2)设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．15. 已知函数232().xf x x a-=+ (1)若0a =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；(2)若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值.16. 已知函数21()ln (1)(0).2f x a x a x x a =-++->(1)讨论()f x 的单调性； (2)若21()2f x x ax b -++恒成立，求实数ab 的最大值．17. 已知函数2().xf x e ax x =+-(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x 时，31()12f x x +，求a 的取值范围．18. 已知函数()sin ln()f x x a x b =++，()g x 是()f x 的导函数.(1)若0a >，当1b =时，函数()g x 在(,4)π内有唯一的极小值，求a 的取值范围； (2)若1a =-，1e 2b π<<-，试研究()f x 的零点个数.19. 已知函数，(1)若，求的最值；(2)若存在使得，求实数m 的取值范围.20. 已知函数，其中0.m >(1)讨论函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，是否存在实数a 使得恒成立，如果存在请求出实数a 的取值范围，如果不存在请说明理由．()f x ()f x ()f x答案和解析1.【答案】A解：函数2-1()=(+-1)x f x x ax e ，可得-12-1()=(2+)+(+-1)x x f x x a ex ax e '，又2x =-是函数2-1()=(+-1)x f x x ax e的极值点，可得-3-3(-2)=(-4+)+(4-2-1)=0f a e a e '，即-4++(3-2)=0a a ，解得 1.a =- 可得2-1()=(+-2)x f x x x e'，令()=0f x '，解得12x =-，2=1.x当2x <-或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(-2,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，可知=1x 时，函数取得极小值，即21-1(1)=(1-1-1) 1.f e =-故选.A2.【答案】A解：321()4633f x x x x =-+-， 2()860f x x x ∴'=-+=，1a ，4031a 是函数321()4633f x x x x =-+-的极值点， 140316a a ∴⋅=，又0n a >，2016a ∴=20161.∴=故选.A3.【答案】D解：令sin x t =，(0,1],t ∈ 则2120.t t a -+-= 令，(0,1];t ∈当(0,1],a ∈函数()g t 在上与y a =只有一个交点，(1)0,sin g t x ==对应的x 值有两个.故而(0,1].a ∈ 故选.D4.【答案】D解：求导数可得22()2f x x ax b '=++，要满足题意需2220x ax b ++=有两不等实根，即224()0a b ∆=->，即a b >，又a ，b 的取法共339⨯=种，其中满足a b >的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6种，故所求的概率为6293P == 故选D5.【答案】D解：因为0a ≠，()Ⅰ所以当a b =时，函数在单调，无极值，不合条件；()Ⅱ当a b ≠时，因为，所以，①若0a >并且a b <时，23a ba +<，由，得：x a <或23a bx +>，由，得：23a ba x +<<，所以这时在上单调递增，在上单调递减，x a =是函数的极大值点，符合条件；②若0a >，并且a b >时，23a ba +>，由，得：23a bx +<或x a >，由，得：23a bx a +<<，所以这时在上单调递减，在上单调递增，x a =是函数的极小值点，不符合条件；③若0a <，并且a b <时，23a ba +<，由，得：23a ba x +<<，由，得：x a <或23a bx +>，这时在上单调递减，在上单调递增，x a =是函数的极小值()0f x '>()0f x '<()f x ()f x ()0f x '>()0f x '<()f x (,)a +∞()f x ()0f x '>()0f x '<()f x ()f x点，不符合条件；④若0a <，并且a b >时，23a ba +>，由，得：23a bx a +<<，由，得：23a bx +<或x a >，所以这时在上单调递增，在上单调递减，x a =是函数的极大值点，符合条件；因此，若x a =为函数的极大值点，则a ，b 必须满足条件：0a >并且a b <或0a <并且.a b >由此可见，A ，B 均错误；又总有成立，所以C 错误，D 正确.故选.D6.【答案】ABC解：()f x 是定义在(0,3)上的连续可导函数.若()f x 的最大值为(1)f ，则()f x 在1x =处取得极大值，故(1)0f '=，故A 正确；将()y f x =的图象关于y 轴翻折得到()y f x =-，所以()f x -在1x =-处有最大值，故B 正确；将()y f x =的图象关于x 轴翻折得到()y f x =-，所以()f x -在1x =处有极小值，故C 正确；将()y f x =的图象关于y 轴翻折，再关于x 轴翻折得到()y f x =--，此时()y f x =与()y f x =--关于原点对称，()0f x '>()0f x '<()f x (,)a +∞()f x 2()()()f x a x a x b =--所以()f x --在1x =-处有最小值，故D 错误，故选.ABC7.【答案】ABC解：11(2)sin(2)sin 2(2)sin sin 222f x x x x x πππ+=+++=+，A 正确；由()0f x =得到sin sin cos 0x x x +=，sin 0x ∴=或1cos 0x +=，x k π∴=，或2x k ππ=+，k Z ∈，∴函数()f x 在[0,2]π上有三个零点0，π，2π，B 正确；()cos cos 2f x x x '=+，∴当3x π=时，()0f x '=，且当03x π<<时()0f x '>，当3x ππ<<时，()0f x '<，()f x ∴在3x π=时取得最大值，121()sin sin 33232f πππ=+==，C 正确，由上述求解知函数在[,]32ππ上一定递减，D 错误.故选.ABC8.【答案】CD解：因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-即为22(2)(ln )(ln )xf ae x f x x x f x x x +--=-对于任意的(0,1]x ∈恒成立，所以22ln xae x x x x +-，也即ln 20xae x x x+-+对于任意的(0,1]x ∈恒成立.令，则，当0a 时，在(0,1]x ∈恒成立，所以在单调递增，又当0x →时，，所以不成立；令，则在(0,1]x ∈恒成立，所以在单调递增，所以，即1.x x e e所以当1ae时，0xae x -在(0,1]x ∈恒成立，所以在(0,1]x ∈恒成立，所以在单调递减，所以有成立，故1ae时在(0,1]x ∈恒成立；当10a e<<时，存在，使得000xae x -=，所以当00x x <<时，0x ae x ->，所以，所以在单调递减；当01x x <时，0x ae x -<，所以，所以在单调递增.所以，因为000xae x -=，所以00x aex =，且，所以，所以由，可得31ae ，所以311a e e<时在(0,1]x ∈恒成立.综上所述，31ae 时在(0,1]x ∈恒成立.所以“对于任意的(0,1],x ∈不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-恒成立”的充分不必要条件可以是.CD 故选：.CD()g x (0,1]()h x (0,1]()g x (0,1]()g x ()g x9.【答案】1解：函数()|21|2ln f x x x =--的定义域为(0,)+∞，当102x<时，()|21|2ln 212ln f x x x x x =--=-+-，此时函数()f x 在1(0,]2上为减函数，所以111()()212ln 2ln 2222f x f =-⨯+-=；当12x >时，()|21|2ln 212ln f x x x x x =--=--，则22(1)()2x f x x x-'=-=，当1(,1)2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴当1x =时()f x 取得最小值，为(1)2112ln11f =⨯--=，2ln 2ln 4ln 1e =>=，∴函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为1.故答案为：1.10.【答案】(0,1]0 解：由，得0 1.x <∴函数()1ln f x x x =-⋅的定义域为(0,1]；令1x t -=，[0,1),t ∈则21x t =-，函数()1ln f x x x =-⋅化为2()ln(1)g t t t =⋅-，[0,1),t ∈2222()ln(1)01t g t t t-'=-+-， ()g t ∴在[0,1)上为减函数，则max ()(0)0g t g ==，则函数()ln f x x =的最大值为0，故答案为(0,1]；0.11.【答案】2-解：2ln y a x =的导数为2a y x'=，由于直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，设切点为(,)m n ，则22am=，m a ∴=，又22ln m b a m +=，2ln 2(0)b a a a a ∴=->，2(ln 1)22ln b a a '=+-=，当1a >时，0b '>，函数b 递增，当01a <<时，0b '<，函数b 递减，1a ∴=为极小值点，也为最小值点， b ∴的最小值为2ln12 2.-=-故答案为： 2.-12.【答案】232π-【解答】函数()f x 的导数为22()cos 2(2)sin 1(12sin )(2)sin 12sin f x a x a x a a x a x a a x '=++--=-++--=-(2)sin 1(2sin 1)(sin 1).a x x a x ++-=---当1sin 2x =，即[,]622x πππ=∈-时，()0.f x '=所以要使()f x 在[,]22ππ-上无极值，则2a =，此时2()(2sin 1)0f x x '=--恒成立，即()f x 单调递减，故在区间[,]22ππ-上()f x 的最小值为3().22f ππ=- 13.【答案】解：由已知得……①，所以，又因为为奇函数，为偶函数，所以……②，①②联立解得，，将代入不等式得3ln 0mx x --，对任意都成立，即3ln xmx x+，对任意都成立，设，则，令，解得21x e =，由()0h x '>得2lnx 0-->，得210x e<<，由()0h x '<得2lnx 0--<，得21e x >， ()f x ()g x (0,)x ∈+∞(0,)x ∈+∞()0h x '=所以在区间上单调递增，在区间21(,)e +∞上单调递减，所以的最大值为，即2m e ，所以实数m 的取值范围是故答案为14.【答案】解：2(1)()12f x x =-的导函数()2f x x '=-，令切点为(,)m n ，可得切线的斜率为22m -=-，1m ∴=，12111n ∴=-=，∴切线的方程为213y x =-+；(2)曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线的斜率为2k t =-，切线方程为2(12)2()y t t x t --=--，令0x =，可得212y t =+，令0y =，可得162x t t=+， 2116()||(12)22S t t t t∴=⋅+⋅+，由()()S t S t -=，可知()S t 为偶函数，不妨设0t >，则2112()()(12)4S t t t t=++， 2222211443(4)(12)()(324)44t t S t t t t-+∴'=+-=⋅，由()0S t '=，得2t =，当2t >时，()0S t '>，()S t 单调递增；当02t <<时，()0S t '<，()S t 单调递减，则()S t 在2t =处取得极小值，且为最小值32，()h x ()h x所以()S t 的最小值为32.15.【答案】解：(1)当0a =时，232()xf x x-=， 24322(32)26()x x x x f x x x ----'==，因此(1)1f =，()4f x '=-，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为14(1)y x -=--，即为45y x =-+；(2)因为232()xf x x a-=+的导数为2222()2(32)()()x a x x f x x a -+--'=+，而函数()f x 在1x =-处取得极值，所以(1)0f '-=，即2820(1)aa -=+，解得4a =，因此232()4xf x x -=+，222(1)(4)().(4)x x f x x +-'=+ 由()0f x '>得4x >或1x <-；由()0f x '<得14x -<<，因此函数()f x 在和上单调递增，在上单调递减，所以函数()f x 在1x =-处取得极大值1，在4x =处取得极小值1.4-又因为当32x <时，()0f x >；当32x <时，()0f x <，作函数()y f x =的图象如下图，由图可知：函数()f x 在1x =-处取得最大值1；在4x =处取得最小值1.4- 所以函数()f x 的单调递增区间为和，单调递减区间为；()f x 的最大值为1，最小值为1.4-16.【答案】解：，(0,0)a x >>，①1a =时，，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减；②01a <<时，由()0f x '>，解得：1a x <<，()f x ∴在(,1)a 上单调递增，在(0,)a ，(1,)+∞上单调递减；③1a >时，同理()f x 在(1,)a 上单调递增，在(0,1)，(,)a +∞上单调递减；21(2)()2f x x ax b -++恒成立，ln 0a x x b ∴-+恒成立，令()ln g x a x x b =-+，则()a xg x x-'=， ()g x ∴在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减．max ()()ln 0g x g a a a a b ∴==-+，ln b a a a ∴-，22ln ab a a a ∴-，令22()ln (0)h x x x x x =->，则()(12ln )h x x x '=-，()h x ∴在上单调递增，在)+∞上单调递减，max ()2e h x h e e ∴==-=， .2e ab∴ 即ab 的最大值为.2e17.【答案】解：(1)当1a =时，2()x f x e x x =+-，()21x f x e x '=+-，设()()g x f x ='，因为()20xg x e '=+>，可得()g x 在R 上递增，即()f x '在R 上递增，因为(0)0f '=，所以当0x >时，()0f x '>；当0x <时，()0f x '<，所以()f x 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞；(2)当0x 时，31()12f x x +恒成立， ①当0x =时，不等式恒成立，可得a R ∈；②当0x >时，可得32112xx x e a x++-恒成立，设32112()x x x e h x x++-=，则231(2)(1)2()x x e x x h x x ----'=，可设21()12x m x e x x =---，可得()1x m x e x '=--，令()()t x m x ='，()1x t x e '=-，由0x ，可得()0t x '恒成立，可得()m x '在(0,)+∞递增，所以min ()(0)0m x m '='=，即()0m x '恒成立，即()m x 在(0,)+∞递增，所以min ()(0)0m x m ==，再令()0h x '=，可得2x =，当02x <<时，()0h x '>，()h x 在(0,2)递增；2x >时，()0h x '<，()h x 在(2,)+∞递减，所以2max7()(2)4e h x h -==，所以274e a -，综上可得a 的取值范围是27[,).4e -+∞18.【答案】解：(1)当1b =时，()sin ln (1)f x x a x =++，()()cos 1ag x f x x x ='=++，在单调递增，2()0(1)a g ππ'=-<+，(4)sin 425ag '=--，当(4)sin 4025ag '=--时，()g x 在(,4)π单调递减，无极值；当(4)sin 4025ag '=-->时，0(,4)x π∃∈，使得0()0g x '=，从而()g x 在0(,)x π单调递减，在0(,4)x 单调递增，0x 为()g x 唯一的极小值点，所以；(2)当1a =-时，()sin ln()f x x x b =-+，(1,)2b e π∈-，可知，时，()0f x <，无零点；所以只需研究(,)b π-上()f x 零点情况；()(,)2ii x ππ∈时，1()cos 0f x x x b'=-<+，可知()f x 单调递减，(,4)π()1ln()1ln()02222f b e ππππ=-+>-+-=，()0f π<，存在唯一的(,)2s ππ∈，使得()0f s =；()iii 当(,)2x b π∈-，令1()()cos h x f x x x b'==-+，则21()sin ()h x x x b '=-++单调递减，且21(0)00h b '=+>，21()102()2h b ππ'=-+<+，则1(0,)2x π∃∈，使得1()0h x '=，则在1(,)b x -单调递增，1(,)2x π单调递减，并且lim ()0x bf x +→-'<，，1()022f b ππ'=-<+，所以2(,0)x b ∃∈-，2()0f x '=，3(0,)2x π∃∈，3()0f x '=，且知在单调递减，在单调递增，在3(,)2x π单调递减，又因为lim ()0x bf x +→->，，()02f π>，(,0)m b ∃∈-，()0f m =，(0,)2n π∃∈，()0f n =，综上所述，由()()()i ii iii 可知，()f x 有3个零点.19.【答案】的定义域为，，令，得1x =，当时，，单调递减；()f x '()f x (0,)+∞()0f x '=()0f x '<()f x当时，，单调递增又，所以，； (2)由题意知：只需，由(1)知在单调递减，单调递增，①若01m <，则在单调递减，则只需，即2ln 210m m m m e--+，记，01m <，因为，所以在单调递减，单调递增，而，，所以在01m <恒成立，又因为2ln 0m m ，所以2ln 210m m m m e--+对任意01m <恒成立. ②若1m >，，只需，即，解得1ln3m <，综上，20.【答案】解：，定义域为所以，(0,)x ∈+∞，令，(0,)x ∈+∞，对于方程，164m ∆=-，①当04m <<时，0∆>，有两个根，为12x =22x =120x x <<()0f x '>()f x ()f x (0,1)(1,)+∞()f x (0,)+∞2()4g x x x m =-+在和上；在上，所以函数的单调增区间为和；单调减区间为， ②当4m 时，0∆，恒成立，所以函数的单调增区间为，无减区间. (2)由(1)知，若有两个极值点，则04m <<，又1x ，2x 是240x x m -+=的两个根，则124x x +=，12x x m ⋅= 所以214x x =-，，由(1)知，124x m=--，，恒成立，，令，，只要即可；，令则，，令，则，所以在上单调递减，在1(,2)e上单调递增．，所以存在12a e -，使得恒成立． ()0f x '>()0f x '<()f x ()f x (0,)+∞()f x (0,2)t ∈min ()a h t ()h t。

函数的极值和最值(习题)

【巩固练习】1.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是2.设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜bC. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 3.设函数f （x ）=2x+lnx 则（） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 4.函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 A （-1,1] B （0,1] C[1，+∞） D （0，+∞）5.已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④6．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是___________。

7．函数y=1+3x-x 3的极大值是_______，极小值是________。

8．函数f(x)=12x-x 3在区间[-3,3]上的最小值是_____ 。

9．函数f(x)=ln(1+x)-x 的最大值为________。

10．函数y=x+2cosx 在区间1[0,]2上的最大值是________ 。

11．已知函数f(x)=x 3-3ax 2-9a 2x(a ≠0)，求f(x)的极大值与极小值。

12．已知函数f(x)=ax 3+3x 2-x+1在R 上是减函数，求a 的取值范围。

导数与函数的极值、最值最新习题(含解析)

导数与函数的极值、最值课时作业一、选择题1．如图2是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：图2①－2是函数y＝f(x)的极值点；②1是函数y＝f(x)的极值点；③y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零；④函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增．则正确命题的序号是()A．①③B．②④C．②③D．①④解析：根据导函数图象可知，－2是导函数的零点且－2的左右两侧导函数符号异号，故－2是极值点；1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致；0处的导函数值即为此点的切线斜率，显然为正值，导函数在(－2，2)上恒大于或等于零，故为函数的增区间，所以选D.答案：D2．设f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，则函数f(x)()A．仅有一个极小值B．仅有一个极大值C．有无数个极值D．没有极值解析：由f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，得f′(x)＝x－1＋sin(1－x)．设g(x)＝x－1＋sin(1－x)，则g′(x)＝1－cos(1－x)≥0.所以g(x)为增函数，且g(1)＝0.所以当x∈(－∞，1)时，g(x)<0，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，则f(x)单调递增．又f′(1)＝0，所以函数f(x)仅有一个极小值f(1)．故选A.答案：A3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝()A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3 解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎨⎧f ′（1）＝3＋2a ＋b ＝0，f （1）＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，即⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，a ＋b ＋a 2＝9，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故函数f (x )单调递增，无极值．不符合题意．∴a ＝4.故选C. 答案：C 4．函数f (x )＝2＋ln x x ＋1在[1e ，e]上的最小值为 ( ) A ．1 B.e 1＋e C.21＋e D.31＋e解析：∵f ′(x )＝x ＋1x －（2＋ln x ）（x ＋1）2＝1x－1－ln x （x ＋1）2，∴当e ≥x >1时，f ′(x )<0；当1e ≤x ＜1时，f ′(x )＞0. 所以f (x )的最小值为min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （1e ），f （e ）＝min{e 1＋e ，31＋e }＝e 1＋e ，选B.答案：B5．若函数f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(0，62)B ．(1，62)C ．(－62，62)D ．(63，1)∪(1，62) 解析：∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x ， ∴f ′(x )＝2(a ＋1)e 2x －2e x ＋a －1，∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点， ∴f ′(x )＝0有两个不等实根，设t ＝e x >0，则关于t 的方程2(a ＋1)t 2－2t ＋a －1＝0有两个不等正根，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －12（a ＋1）>0，22（a ＋1）>0，4－8（a －1）（a ＋1）>0⇒1<a <62，∴实数a 的取值范围是(1，62)，故选B. 答案：B 6.图1如图1，可导函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )，设h (x )＝f (x )－g (x )，则下列说法正确的是( )A ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极大值点B ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极小值点C ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是h (x )的极值点D ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0是h (x )的极值点解析：由题意可得函数f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)， ∴h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， ∴h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)， ∴h ′(x 0)＝f ′(x 0)－f ′(x 0)＝0. 又当x <x 0时，f ′(x )<f ′(x 0)，故h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x >x 0时，f ′(x )>f ′(x 0)，故h ′(x )>0，h (x )单调递增．∴x ＝x 0是h (x )的极小值点．故选B. 答案：B7．若函数g (x )＝mx ＋sin xe x 在区间(0，2π)内有一个极大值和一个极小值，则实数m 的取值范围是 ( )A ．[－e －2π，e －π2)B ．(－e －π，e －2π)C ．(－e π，e －5π2) D ．(－e －3π，e π) 解析：函数g (x )＝mx ＋sin xe x ，求导得g ′(x )＝m ＋cos x －sin xe x. 令f (x )＝m ＋cos x －sin x e x，则f ′(x )＝－2cos xe x .易知，当x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(π2，3π2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(3π2，2π)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．且f (0)＝m ＋1，f (π2)＝m －e －π2，f (3π2)＝m ＋e －3π2， f (2π)＝m ＋e －2π，有f (π2)<f (2π)，f (0)>f (3π2)．根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （π2）＝m －e －π2<0，f （2π）＝m ＋e －2π≥0，解得－e－2π≤m <e －π2.故选A.答案：A8．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是 ( )A ．－4，－15B ．5，－15C ．5，－4D ．5，－16 解析：由题意知y ′＝6x 2－6x －12，令y ′>0，解得x >2或x <－1，故函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，2]上递减，在[2，3]上递增，当x＝0时，y＝5；当x＝3时，y＝－4；当x＝2时，y＝－15.由此得函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，－15.故选B.答案：B9．若函数f(x)＝13x3－⎝⎛⎭⎪⎫1＋b2x2＋2bx在区间[－3，1]上不是单调函数，则f(x)在R上的极小值为()A．2b－43 B.32b－23C．0 D．b2－16b3解析：由题意得f′(x)＝(x－b)(x－2)．因为f(x)在区间[－3，1]上不是单调函数，所以－3<b<1.由f′(x)>0，解得x>2或x<b；由f′(x)<0，解得b<x<2.所以f(x)的极小值为f(2)＝2b－43.故选A.答案：A10．已知函数f(x)＝ln x＋a，g(x)＝ax＋b＋1，若∀x>0，f(x)≤g(x)，则ba的最小值是()A．1＋e B．1－e C．e－1D．2e－1解析：由题意，∀x>0，f(x)≤g(x)，即ln x＋a≤ax＋b＋1，即ln x－ax＋a≤b＋1，设h(x)＝ln x－ax＋a，则h′(x)＝1x－a，当a≤0时，h′(x)＝1x－a>0，函数h(x)单调递增，无最大值，不合题意；当a>0时，令h′(x)＝1x－a＝0，解得x＝1a，当x∈(0，1a)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；当x∈(1a，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减，所以h(x)max＝h(1a)＝－ln a＋a－1，故－ln a＋a－1≤b＋1，即－ln a＋a－b－2≤0，令ba＝k，则b＝ak，所以－ln a＋(1－k)a－2≤0，设φ(a)＝－ln a＋(1－k)a－2，则φ′(a)＝－1a＋(1－k)，若1－k≤0，则φ′(a)<0，此时φ(a)单调递减，无最小值，所以k＜1，由φ′(a)＝0，得a＝11－k，此时φ(a)min＝ln(1－k)－1≤0，解得k≥1－e，所以k的小值为1－e，故选B.答案：B11．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()A．－13 B．－15 C．10 D．15解析：∵f′(x)＝－3x2＋2ax，函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，∴－12＋4a＝0，解得a＝3，∴f′(x)＝－3x2＋6x，f(x)＝－3x3＋3x2－4，∴n∈[－1，1]时，f′(n)＝－3n2＋6n，当n＝－1时，f′(n)最小，最小为－9，当m∈[－1，1]时，f(m)＝－m3＋3m2－4，f′(m)＝－3m2＋6m，令f′(m)＝0，得m＝0或m＝2，所以当m＝0时，f(m)最小，最小为－4，故f(m)＋f′(n)的最小值为－9＋(－4)＝－13.故选A.答案：A12．设函数y＝f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知当m≤2时，f(x)＝16x3－12mx2＋x在(－1，2)上是“凸函数”，则f(x)在(－1，2)上() A．既有极大值，也有极小值B．没有极大值，有极小值C．有极大值，没有极小值D．没有极大值，也没有极小值解析：由题设可知，f″(x)<0在(－1，2)上恒成立，由于f ′(x )＝12x 2－mx ＋1，从而f ″(x )＝x －m ，所以有x －m <0在(－1，2)上恒成立，故知m ≥2，又因为m ≤2，所以m ＝2，从而f (x )＝16x 3－x 2＋x ，f ′(x )＝12x 2－2x ＋1＝0，得x 1＝2－2∈(－1，2)，x 2＝2＋2∉(－1，2)，且当x ∈(－1，2－2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2－2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )在x ＝2－2处取得极大值，没有极小值．答案：C 二、填空题13．已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f (x )在[12，2]上的最大值等于________．解析：∵函数f (x )＝1－xx ＋ln x ， ∴f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2.故f (x )在[12，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，又∵f (12)＝1－ln2，f (2)＝ln2－12，f (1)＝0， f (12)－f (2)＝32－2ln2>0，∴f (x )max ＝1－ln2，故答案为1－ln2. 答案：1－ln214．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．解析：求导得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝2处取得极值，所以f ′(2)＝3·22＋6a ·2＋3b ＝0，即4a ＋b ＋4＝0 ①，又因为图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行，所以f ′(1)＝3＋6a ＋3b ＝－3，即2a ＋b ＋2＝0 ②，联立①②可得a ＝－1，b ＝0，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，当f ′(x )>0时，x <0或x >2；当f ′(x )<0时，0<x <2，∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)，因此求出函数的极大值为f (0)＝c ，极小值为f (2)＝c －4，故函数的极大值与极小值的差为c －(c －4)＝4，故答案为4. 答案：415．若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．解析：由f ′(x )＝6x 2－2ax ＝0，得x ＝0或x ＝a3，因为函数f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点且f (0)＝1，所以a 3>0，f (a 3)＝0，因此2(a 3)3－a (a3)2＋1＝0，a ＝3.从而函数f (x )在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，所以f (x )max ＝f (0)，f (x )min ＝min{f (－1)，f (1)}＝f (－1)，f (x )max ＋f (x )min ＝f (0)＋f (－1)＝1－4＝－3.答案：－316．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1，(1)若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为6，则实数a ＝________；(2)若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， ∴f ′(1)＝3a ＋9＝6，∴a ＝－1.函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)＝0在(－1，3)内有不同的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－12（a ＋6）>0，f ′（－1）＝－a ＋9>0，f ′（3）＝7a ＋33>0，－1<－2a 6<3，∴－337<a <－3.答案：－1 (－337，－3) 三、解答题17．已知函数f (x )＝x ＋ax ln x (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )＝x ＋ax ln x 存在极大值，且极大值点为1，证明：f (x )≤e －x ＋x 2. 解：(1)由题意x >0，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ，①当a ＝0时，f (x )＝x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a >0时，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递增，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )<0，当x ∈(e －1－1a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，e －1－1a )上单调递减，函数f (x )在(e －1－1a ，＋∞)上单调递增；③当a <0，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递减，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e －1－1a 上单调递增，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞上单调递减． (2)由f ′(1)＝0，得a ＝－1，令h (x )＝e －x ＋x 2－x ＋x ln x ，则h ′(x )＝－e －x ＋2x ＋ln x ，h ″(x )＝e －x ＋2＋1x >0，∴h ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，∵h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－e －1e ＋2e －1＜0，h ′(1)＝－e －1＋2＞0， ∴∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，使得h ′(x 0)＝0，即－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0. ∴当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，∴h (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )≥h (x 0)．由－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，得e －x 0＝2x 0＋ln x 0， ∴h (x 0)＝e －x 0＋x 20－x 0＋x 0ln x 0 ＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)．当x 0＋ln x 0<0时，ln x 0<－x 0⇒x 0<e －x 0 ⇒－e －x 0＋x 0<0，所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0<0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾；当x 0＋ln x 0>0时，ln x 0>－x 0⇒x 0>e －x 0⇒－e －x 0＋x 0>0，所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0>0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾；当x 0＋ln x 0＝0时，ln x 0＝－x 0⇒x 0＝e －x 0⇒－e －x 0＋x 0＝0，得－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，故x 0＋ln x 0＝0成立，得h (x 0)＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)＝0，所以h (x )≥0，即f (x )≤e －x ＋x 2.18．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数y ＝f (x )的单调区间和最小值；(2)若函数F (x )＝f （x ）－a x 在[1，e]上的最小值为32，求a 的值； (3)若k ∈Z ，且f (x )＋x －k (x －1)>0对任意x >1恒成立，求k 的最大值．解：(1)f (x )的单调增区间为[1e ，＋∞)，单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ， f (x )min ＝f (1e )＝－1e .(2)F (x )＝ln x －ax ，F ′(x )＝x ＋a x 2，(ⅰ)当a ≥0时，F ′(x )>0，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉[0，＋∞)，舍去．(ⅱ)当a <0时，F (x )在(0，－a )在上单调递减，在(－a ，＋∞)上单调递增，①若a ∈(－1，0)，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉(－1，0)，舍去；②若a ∈[－e ，－1]，F (x )在[1，－a ]上单调递减，在[－a ，e]上单调递增，所以F (x )min ＝F (－a )＝ln(－a )＋1＝32，解得a ＝－e ∈[－e ，－1]；③若a ∈(－∞，－e), F (x )在[1，e]上单调递减， F (x )min ＝F (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e 2∉(－∞，－e)，舍去．综上所述， a ＝－ e.(3)由题意得，k (x －1)<x ＋x ln x 对任意x >1恒成立，即k <x ln x ＋x x －1对任意x >1恒成立．令h (x )＝x ln x ＋x x －1，则h ′(x )＝x －ln x －2（x －1）2，令φ(x )＝x －ln x －2(x >1)，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，所以函数φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，因为方程φ(x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一的实根x 0，且x 0∈(3，4)，当1<x <x 0时，φ(x )<0，即h ′(x )<0，当x >x 0时，φ(x )>0，即h ′(x )>0.所以函数h (x )在(1，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．所以h (x )min ＝h (x 0)＝x 0（1＋ln x 0）x 0－1＝x 0（1＋x 0－2）x 0－1＝x 0∈(3，4)，所以k <g (x )min ＝x 0，又因为x 0∈(3，4)，故整数k 的最大值为3.19．高三模拟考试)已知函数f (x )＝－4x 3＋ax ，x ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，求实数a 的取值集合．解：(1)f ′(x )＝－12x 2＋a .当a ＝0时，f (x )＝－4x 3在R 上单调递减；当a <0时，f ′(x )＝－12x 2＋a <0，即f (x )＝－4x 3＋ax 在R 上单调递减；当a >0时，f ′(x )＝－12x 2＋a ＝0，解得x 1＝36a ，x 2＝－3a 6，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6时，f ′(x )<0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6时，f ′(x )>0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞时，f ′(x )<0， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减．综上，当a ≤0时，f (x )在R 上单调递减；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减；在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减． (2)∵函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，∴对任意x ∈[－1，1]，f (x )≤1恒成立，即－4x 3＋ax ≤1对任意x ∈[－1，1]恒成立，变形可得ax ≤1＋4x 3.当x ＝0时，a ·0≤1＋4·03，即0≤1，可得a ∈R ；当x ∈(0，1]时，a ≤1x ＋4x 2，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2min，令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，g ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时， g ′(x )>0. 因此，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3， ∴a ≤3.当x ∈[－1，0)时，a ≥1x ＋4x 2，则a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2max，令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2，当x ∈[－1，0)时，g ′(x )<0，因此，g (x )max ＝g (－1)＝3，∴a ≥3.综上，a＝3.∴a的取值集合为{3}。

函数极值和最值计算练习题

函数极值和最值计算练习题在微积分中，函数的极值和最值是非常重要的概念。

通过求取函数的导数，我们可以找到函数的极值点以及取得最值的点。

在本文中，我们将通过几个练习题来帮助大家熟练掌握函数极值和最值的计算方法。

练习一：考虑函数f(x) = 3x^2 - 12x + 5。

1. 求函数f(x)的导数f'(x)。

2. 通过求解方程f'(x) = 0，找到函数f(x)的极值点。

3. 判断函数f(x)在极值点处取得的极值是极大值还是极小值。

解答一：1. 函数f(x)的导数f'(x)为f'(x) = 6x - 12。

2. 通过求解方程f'(x) = 0，我们有6x - 12 = 0，解得x = 2。

因此，函数f(x)的极值点为x = 2。

3. 要判断函数f(x)在极值点处取得的极值是极大值还是极小值，我们可以用二阶导数来进行判别。

计算函数f(x)的二阶导数f''(x)，有f''(x) = 6。

由于f''(x)大于0，所以函数f(x)在极值点x = 2处取得的是极小值。

练习二：考虑函数g(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 12。

1. 求函数g(x)的导数g'(x)。

2. 通过求解方程g'(x) = 0，找到函数g(x)的极值点。

3. 判断函数g(x)在极值点处取得的极值是极大值还是极小值。

解答二：1. 函数g(x)的导数g'(x)为g'(x) = 3x^2 - 18x + 24。

2. 通过求解方程g'(x) = 0，我们有3x^2 - 18x + 24 = 0，化简得x^2 - 6x + 8 = 0，进一步解得(x - 2)(x - 4) = 0。

解得x = 2或x = 4。

因此，函数g(x)的极值点为x = 2和x = 4。

3. 计算函数g(x)的二阶导数g''(x)，有g''(x) = 6x - 18。

极限与最值、极值练习题

极限与最值、极值练习题
本文档旨在提供一些关于极限与最值、极值练题的完整版指导。

以下是一些练题示例，供您练和巩固相关概念。

1. 极限计算题
问题 1
求函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 的极限 $\lim_{x \to 1} f(x)$。

问题 2
已知函数 $g(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 1} - x$，求 $\lim_{x \to -1}
g(x)$。

2. 极大值和极小值问题
问题 1
一边长为 $x$ 的长方形的周长为 $2x + 20$。

求这个长方形的
最大面积。

问题 2
已知函数 $h(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，求函数在区间 $[-1, 3]$ 上的
最小值和最大值。

3. 极值问题
问题 1
已知函数 $k(x) = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 2x + 1$，求函数的极大值和极小值。

问题 2
求函数 $f(x) = |x - 2| - |x + 2|$ 的极大值和极小值。

总结
本文档提供了一些关于极限与最值、极值的练题以供练和参考。

通过完成这些练题，您可以加深对相关概念和问题的理解，并提升
在研究中遇到类似问题时的解决能力。

请注意，这些是练题的答案并不包含解题过程。

在实际研究中，我们鼓励您通过理论知识和解题技巧，自己尝试解答这些问题，并
与参考答案进行对比和验证。

祝您研究愉快！。

完整版)导数与极值、最值练习题

完整版)导数与极值、最值练习题三、知识新授一）函数极值的概念函数极值指的是函数在某个点上的最大值或最小值，包括极大值和极小值。

二）函数极值的求法：1）确定函数的定义域，并求出函数的导数f'(x)；2）解方程f'(x)=0，得到方程的根x（可能不止一个）；3）如果在x附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则f(x)是极大值；反之，则f(x)是极小值。

题型一图像问题1、函数f(x)的导函数图像如下图所示，则函数f(x)在图示区间上（）第二题图）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点2、函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、若函数f(x)=x+bx+c的图像的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图像可能为（）图略）4、设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图像如下图所示，则y=f(x)的图像可能是（）图略）A。

B。

C。

D。

5、已知函数f(x)的导函数f'(x)的图像如右图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是（）图略）6、f'(x)是f(x)的导函数，f'(x)的图像如图所示，则f(x)的图像只可能是（）图略）A。

B。

C。

D。

7、如果函数y=f(x)的图像如图，那么导函数y=f'(x)的图像可能是（）图略）ABCD8、如图所示是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)图像，则下列哪一个判断可能是正确的（）图略）A．在区间(-2,0)内y=f(x)为增函数B．在区间(0,3)内y=f(x)为减函数C．在区间(4,+∞)内y=f(x)为增函数D．当x=2时y=f(x)有极小值9、如果函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数y=f(x)在区间(-3,-1/2)内单调递增；②函数y=f(x)在区间(-1/2,2)内单调递减。

专题07 导数与函数的极值、最值(课时训练)原卷版

专题07 导数与函数的极值、最值A 组基础巩固1．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））已知函数()2e 2ln xf x k x kx x=+-，若 2x = 是函数 ()f x 的唯一极值点，则实数 k 的取值范围是（）A ．(]02，B ．[)2+∞，C ．e ,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．2e ,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ 2．（2022·江西南昌·高二期末（文））函数()y f x =的导函数()f x '的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =在(),0∞-上单调递增B ．函数()y f x =的递减区间为()3,5C ．函数()y f x =在3x =处取得极大值D ．函数()y f x =在4x =处取得极小值3．（2022·山西吕梁·）已知函数3()4f x ax x b =-+在2x =处取得极小值43-，则ab =（）A ．43B ．43-C ．83D ．83-4．（2022·江西宜春·高三期末（理））设函数()2sin cos 4x f x x x x =+-，则下列是函数f （x ）极大值点的是（） A ．53πB ．-53π C ．23πD ．-π35．（2021·山西吕梁·一模（理））“6c =”是“函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2022·福建福州·高二期末）函数()ln f x x x =-在区间（0，e ）上的极小值为（） A ．－eB ．1－eC ．－1D ．17．（2022·江西南昌·高二期末（文））已知等差数列{}n a 中的3a 、7a 是函数()321261f x x x x =-+-的两个不同的极值点，则25log a 的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．38．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()2ln f x x ax =-的极值为12-，则=a （）A ．eB ．1e 2C ．12D ．149．（2022·福建福州·高二期末）已知函数()()2f x x x c =-在2x =处有极小值，则c 的值为（） A ．2B ．4C ．6D ．2或610．（2022·重庆八中高二期末）已知函数()32f x x x =-+在[]1,m -上的最小值为0，则m 的取值范围是（） A ．()0,1B ．[]0,1C ．()0,∞+D ．[)1,+∞11．（2022·江西吉安·高二期末（文））若1x =是函数()()21e x f x x ax =+-的一个极值点，则()f x 的极大值为（）A ．e -B ．1e -C ．2eD ．25e -12．（2022·安徽阜阳·高三期末（文））若函数2()4ln f x x x a x =-+有唯一的极值点，则实数a 的取值范围为（） A ．(,0)-∞B ．(,0){2}-∞C ．(,0]-∞D ．(,0]{2}-∞13．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知函数()21ln 2f x ax x x a =-+有且只有一个极值点，则实数a 构成的集合是___________.14．（2021·江苏·高二专题练习）已知3x =是函数()32322f x ax x =-+的一个极值点，不等式()[]24b f x x <∈，，时恒成立，则b 的取值范围为_______ 15．（2022·全国·高三专题练习）若函数3()31f x x x =--在区间(2,23)a a -+上有最大值，则实数a 的取值范围是_________．16．（2021·河南南阳·高三期末（文））已知函数()21ln 2f x x x mx =+有两个极值点，则实数m 的取值范围为___________.17．（2021·全国·高二课时练习）函数()3231f x x x =-+的极小值为______．18．（2021·湖南·临澧县第一中学高三阶段练习）已知函数()21()ln 22g x a x x ax =-+-，且()1,x ∀∈+∞，()0<g x 恒成立，则实数a 的取值范围是_____________.19．（2021·全国·高二课时练习）设函数3()4f x ax bx =++在2x =处取得极小值，曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线与直线15y x =-互相垂直，则函数()y f x =在(],0-∞上的最大值为__________．B 组能力提升20．（2022·江苏苏州·高三期末）（多选题）已知函数3211()132f x x ax =++，则（） A ．a ∀∈R ，函数()f x 在R 上均有极值 B ．a ∃∈R ，使得函数()f x 在R 上无极值C ．a ∀∈R ，函数()f x 在(,0)-∞上有且仅有一个零点D ．a ∃∈R ，使得函数()f x 在(,0)-∞上有两个零点21．（2021·全国全国·模拟预测）（多选题）已知函数21()2x f x x x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．当2x <-()0f x <B ．a ∀∈R ，方程()f x a =有实根C ．方程()f x a =有3个不同实根的一个必要不充分条件是“0a <”D ．若10a >，20a <且方程1()f x a =有1个实根，方程2()f x a =有2个实根，则121a a =-22．（2021·山东省胶州市第一中学高三阶段练习）（多选题）已知函数()2sin f x x x =+，则下列说法正确的是（） A ．()f x 只有一个极值点 B ．设()()()g x f x f x =⋅-，则()g x 与()f x 的单调性相同C ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 有且只有两个零点23．（2021·河北·高三阶段练习）（多选题）已知函数()2ln f x x x =，下列说法正确的是（）A ．当1x >时，()0f x >；当01x <<时，()0f x <B ．函数()f x 的减区间为(e ，增区间为),e +∞C ．函数()f x 的值域1,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1f x x ≥-恒成立24．（2021·天津市红桥区教师发展中心高二期末）函数2()ln (21)f x x ax a x =+-+.（0a >） (1)设1a =时，求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 的极值.25．（2022·四川绵阳·二模（理））已知函数2()(2)e x f x x ax x =---.(1)当12a =-时，求函数()f x 的极值；(2)若曲线()f x 在()2,1-上任意一点处切线的倾斜角均为钝角，求实数a 的取值范围.26．（2022·河南焦作·一模（文））已知函数()()e ln 1=-+xf x k x ，R k ∈．(1)若12x =是()f x 的极值点，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； (2)证明：当()0,e k ∈时，()0f x >．27．（2021·安徽·淮南第一中学高三阶段练习（理））已知函数()()221ln f x x a x a x =---，其中a ∈R .(1)求函数()y f x =的极值；(2)若函数()f x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.28．（2022·山东潍坊·高三期末）已知函数()()()()22133e 2x f x a x x x x a -=++++∈R ．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程；(2)若函数f （x ）有三个极值点1x ，2x ，3x ，且321x x x <<．证明：3121120x x x ++>．29．（2022·重庆南开中学高二期末）已知3x =是函数()3291f x x ax x =--+的一个极值点.(1)求实数a 的值；(2)求函数()f x 在区间[]2,0-上的最大值和最小值.30．（2022·重庆八中高二期末）已知函数()e 1x f x x =+. (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的极值.。

函数的极值与最大(小)值

函数的极值与最大（小）值一、单选题1．（2021·全国·高二课时练习）若函数()32f x x ax x =++（x ∈R ）不存在极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．((),3,−∞+∞B ．(),3,⎡−∞+∞⎣C ．(D ．⎡⎣2．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()f x 的导函数为()'f x ，则“()00f x '=”是“函数()f x 在0x x =处有极值”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．（2021·湖北·高三月考）已知函数()33f x x x =−，若函数()f x 在区间()2,8m m −上有最大值，则实数m的取值范围为（）A ．(3,−B ．()3,1−−C ．()D ．[)2,1−4．（2021·四川成都·高三月考（理））已知定义在R 上的函数()f x 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．()f x 有极小值B ．()f x 有最大值C ．()f x 是奇函数D ．()f x 是偶函数5．（2021·湖南·高三月考）已知f (x )＝13x 3＋(a －1)x 2＋x ＋1没有极值，则实数a 的取值范围是（）A ．[0，1]B ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C ．[0，2]D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)6．（2021·全国·高二课前预习）连续函数()y f x =在[],a b 上（） A ．极大值一定比极小值大 B ．极大值一定是最大值 C ．最大值一定是极大值 D ．最大值一定大于极小值7．（2021·全国·高二课时练习）函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，其导函数()'f x 在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极大值点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2021·辽宁丹东·高三期中）当11x −≤≤时，331ax x ≥−，则a 的取值范围为（） A ．(],4−∞ B ．[]2,4 C ．[)2,+∞ D ．{}4二、多选题9．（2021·全国·高二课时练习）（多选）函数()xf x x =（0x >），我们可以作变形：()ln ln e e xx x x x f x x ===，所以()x f x x =可看作是由函数()e t p t =和()ln g x x x =复合而成的，即()xf x x =（0x >）为初等函数．对于初等函数()1x h x x =（0x >）的说法正确的是（） A ．无极小值 B ．有极小值1 C ．无极大值D ．有极大值1e e10．（2021·全国·高二课时练习）（多选）已知函数()3223f x x x x =−+−，若过点()1,P m −（m Z ∈）可作曲线()y f x =的三条切线，则m 的值可以为（） A ．4B ．5C ．6D ．711．（2021·全国·高二课时练习）（多选）如图为函数()f x 的导函数的图象，则下列判断正确的是（）A ．()f x 在1x =处取得极大值B ．1x =−是()f x 的极小值点C ．()f x 在()2,4上单调递减，在()1,2−上单调递增D ．2x =是()f x 的极小值点12．（2021·山东·高三月考）定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()212()f x xf x x '+=，(1)0f =，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个零点C ．若21()f x k x <−在(0,)+∞上恒成立，则e2>kD ．(1)f f f <<三、填空题 13．（2021·陕西·西安中学高三月考（理））已知函数()cos f x x x x =−，则()f x 在区间[0,]π上的最大值是________.14．（2021·河南·高三月考（理））若函数()3221f x x ax a x =−−+的极小值为4,−则整数a =___________.15．（2021·吉林·长春十一高高三月考（理））已知函数()1ln x f x x +=在区间()3,40a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值，则实数a 的取值范围是_________．16．（2021·河北省唐县第一中学高三月考）已知关于x 的不等式()e1ln 1xxx x λλ+>+在()0,∞+上恒成立，则实数λ的取值范围为_________．四、解答题17．（2021·江苏仪征·高二期中）已知函数()2ln f x a x bx x =++在1x =处的切线方程620x y −−=．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间与极小值．18．（2021·四川·内江市教育科学研究所高二期末（文））已知函数()3f x ax bx =+在1x =处有极值2．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间12,2⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的最值．19．（2021·全国·高二课时练习）已知2()(1)e x f x x =−，求()f x 的极值点以及极值、最值点以及最值．20．（2021·全国·高二单元测试）在①()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线斜率为1；②()10f '=；③()f x 有两个极值点-1，1这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答.已知()()2e 12x m f x x x =−+. （1）若______，求实数m 的值；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. （2）若0m >，讨论()f x 的单调性.21．（2021·全国·高三期中）已知函数()()1ln 0f x a x a x=+>. （1）求函数()f x 的极值；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为2e？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.22．（2021·吉林吉林·高三月考（理））已知函数()2x x f x e=，()ln a g x x x =+()0a >. （1）求函数()f x 的极值；（2）()1,0x ∀∈−∞，()20,x ∃∈+∞，使()()12f x g x =成立，求a 的取值范围.。

《导数与极值、最值关系》能力练习题

《导数与极值、最值关系》能力练习题一、单选题1．若1x =是函数()xf x e ax =-的极值点，则方程()f x a =在()2,+∞的不同实根个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．02．函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极大值3-，则+a b 的值等于（）A ．9B ．6C ．3D ．23．已知函数()ln f x x ax =-的图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，则()f x 的极大值为（）A ．ln21--B ．ln21-+C ．1-D ．14．已知1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，则函数()f x 的极小值为（）A ．0B ．1-C ．2D ．45．已知函数()2()xf x x a e =-，则“1a ≥-”是“()f x 有极值”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是（）A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．已知32()f x x px qx =++的图像与x 轴相切于非原点的一点，且f (x )极小值=-4，那么p ，q 值分别为（）A ．8，6B ．9，6C ．4，2D ．6，98．若函数321()13f x x x =+-在区间(,3)m m +上存在最小值，则实数m 的取值范围是（） A ．[5,0)-B ．(5,0)-C ．[3,0)-D ．(3,0)-9．已知函数2(1)1ax y x x =>-有最大值4-，则a 的值为（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-10．若函数322312y x x x m =--+在[0，3]上的最大值为5，则m =（）A ．3B ．4C ．5D ．811．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[-2，1]上的最大值为92，则m 等于（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．5212．已知函数2()(0)x f x a x a =>+在[1,)+∞上的最大值为3，则a 的值为（）A ．31-B ．34C ．43D ．31+13．已知函数()2()xf x x a e =+有最小值，则函数()y f x '=的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．不确定14．已知定义在[,]m n 上的函数()f x ，其导函数()'f x 的大致图象如图所示，则下列叙述正确的个数为（）①函数()f x 的值域为[(),()]f d f n ；②函数()f x 在[,]a b 上递增，在[,]b d 上递减； ③()f x 的极大值点为x c =，极小值点为x e =；④()f x 有两个零点. A ．0B ．1C ．2D ．315．已知函数()()211x f x x ax e-=+-在(),2x ∈-∞-单调递增，在()2,1x ∈-单调递减，则函数()f x 在[]2,2x ∈-的值域是（） A ．[]1,e - B ．31,5e -⎡⎤-⎣⎦C ．11,e ---⎡⎤⎣⎦D ．35,e e -⎡⎤⎣⎦二、填空题 16．若函数321()53f x x ax x =-+-无极值点，则实数a 的取值范围是_________． 17．若函数2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<在(0,1)上有极值点，则m 的取值范围为___________. 18．已知函数在()3223(,)f x x mx nx m m n R =+++∈，1x =-时取得极小值0，则m n +=__________． 19．已知函数()()321233f x x ax a x =++++在(),-∞+∞上存在极值点，则实数a 的取值范围是_____________.20．已知()3222f x x cx c x =-+在2x =处有极小值，则常数c 的值为___________.21．已知32()263f x x x =-+，对任意的2][2x ∈-，都有()f x a ≤，则a 的取值范围为_______.22．已知函数()1ln x f x x =+在区间1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0a >）上存在最大值，则实数a 的取值范围是_______.23．若函数()33f x x x =-在区间()25,a a -上有最大值，则实数a 的取值范围是______.24．若函数()3213f x x x =-在区间(),4a a +内存在最大值，则实数a 的取值范围是________．三、解答题 25．已知.函数.e 为自然对数的底．（1）当时取得最小值,求的值;（2）令，求函数在点P 处的切线方程．26．已知函数32()3()f x x ax x a =-+∈R 在1x =处有极值.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.27．已知函数e 1()ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中k 为常数， 2.71828e =…为自然对数的底数. （1）若2e k =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间(1,2)上单调，求k 的取值范围.28．已知32()1f x x ax bx =+++在1x =与1=3x -时取得极值．（1）求,a b 的值；（2）求()f x 的极大值和极小值；（3）求()f x 在[]1,2-上的最大值与最小值.29．已知函数()2ln f x a x bx =-，a ､b R ∈，若()f x 在1x =处与直线12y相切. （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值.30．设函数3()65,f x x x x R =-+∈.（1）求(2)f '的值；（2）求()f x 的单调区间和极值；（3）若关于x 的方程()f x a =有3个不同实根，求实数a 的取值范围.《导数与极值、最值关系》能力练习题参考答案1．A 【解析】由()'x f x e a =-，得()10'=-=f e a ，则a e =，()xf x e ex =-，函数()f x 在()2,+∞，()()'0,f x f x >单调递增，()222f e e e =-<,函数()y f x =与y a =的交点个数为1个.故选A ．2．B 【解析】由题意得2()1222f x x ax b '=--，因为()f x 在1x =处有极大值3-，所以(1)12220(1)4223f a b f a b =--=⎧⎨=--+=-'⎩，解得3,3a b ==，所以6a b +=，故选：B 3．A 【解析】因为()ln f x x ax =-，所以1()f x a x'=-，又因为函数()f x 在图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，所以(1)1f a b =-=--，(1)11f a ='-=-，解得2a =，1b =.由112()2x f x x x-'=-=，102x <<，()0f x '>，12x >，()0f x '<，知()f x 在12x =处取得极大值，11ln 1ln 2122f ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭.故选：A. 4．B 【解析】由题意，函数32()3f x ax x =-，可得2()363(2)f x ax x x ax '=-=-，因为1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，则()01f '=，即31(2)0a ⨯⨯-=，解得2a =，可得()6(1)f x x x '=-，当0x <或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，所以函数的极小值为32(1)21311f =⨯-=-⨯.故选：B.5．B 【解析】()2()20xf x x x a e '=-=+，220x x a +-=，44a ．若440a ∆=+≤，1a ≤-则()2()20x f x x x a e '=+-≥恒成立，()f x 为增函数，无极值；若440a ∆=+>，即1a >-，则()f x 有两个极值．所以“1a ≥-”是“()f x 有极值”的必要不充分条件．故选:B6．D 【解析】因为32()33[(2)1]f x x ax a x =++++，所以2()363(2)f x x ax a '=+++，函数()f x 有极大值又有极小值，()0f x ∴'=有两个不相等是实数根，∴23636(2)0a a ∆=-+>，化为220a a -->，解得2a >或1a <-．则a 的取值范围是(-∞，1)(2-，)+∞．故选：D ．7．D 【解析】设切点为()(),00a a ≠，()2()f x x x px q =++，由题意得：20x px q ++=有两个相等实根，所以()2223()2f x x x a x ax a x =--+=，()()2233()4f x x ax a x a x a '-+-=-=，令()0f x '=，得3ax =或x a =，因为f (x )极小值=-4，而()04f a =≠-，所以()43a f =-，即2433a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得3a =-，所以32()69f x x x x =++，所以6,9p q ==.故选：D 8．D 【解析】函数321()13f x x x =+-的导函数为2()2f x x x =+'，令()0f x '=，得2x =-或0x =，故()f x 在(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，则0x =为极小值点，2x =-为极大值点.由()f x 在区间(,3)m m +上存在最小值，可得03m m <<+，解得30m -<<，此时32211()1(3)11(0)33f m m m m m f =+-=+->-=，因此实数m 的取值范围是(3,0)-，故选：D.9．B 【解析】因为函数2(1)1ax y x x =>-，所以2222222(1)2111(1)(1)(1)ax ax x ax ax ax y a x x x x '⎛⎫⎡⎤---====- ⎪⎢⎥----⎣'⎦⎝⎭，令0y '=，解得2x =或0x =（舍去）.若函数在区间(1,)+∞上有最大值4-，则最大值必然在2x =处取得，所以441a=-，解得1a =-，此时2(2)(1)x x y x '--=-，当12x <<时，0y '>，当2x >时，0y '<，所以当2x =时y 取得最大值4-，故选：B.10．C 【解析】()()26612612y x x x x '=--=+-，当[]0,2x ∈时，0y '<，函数单调递减，当[]2,3x ∈时，0y '>，函数单调递增，当0x =时，y m =，当3x =时，9y m =-，则函数在[]0,3上的最大值为m ，则5m =.故选：C.11．C 【解析】'2333(1)y x x x x =+=+，易知，当10x -<<时，'0y <，当21x -<<-或01x <<时，'0y >，所以函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在(2,1)--，(0,1)上单调递增，在(1,0)-上单调递减，又当1x =-时，12y m =+，当1x =时，52y m =+，所以最大值为5922m +=，解得2m =.故选：C 12．A 【解析】由2()x f x x a =+，得()222()a x f x x a '-=+，当1a >时，若x >()0,()f x f x '<单调递减，若1x <<()0,()f x f x '>单调递增，故当x =()f x 有最大值=，解得314a =<，不符合题意.当1a =时，函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，最大值为1(1)2f =，不符合题意.当01a <<时，函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.此时最大值为1(1)1f a ==+，解得31a ，符合题意.故a 1.故选：A .13．C 【解析】由题意，()2()2xf x x a e x +'=+，因为函数()f x 有最小值，且0x e >，所以函数存在单调递减区间，即()0f x '<有解，所以220x x a ++=有两个不等实根，所以函数()y f x '=的零点个数为2.故选：C.14．B 【解析】根据导函数()'f x 的图象可知，当[,)x m c ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在[,]m c 上单调递增，当(,)x c e ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在[,]c e 上单调递减，当(,]x e n ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,]e n 上单调递增，故②错误，③正确，根据单调性可知，函数的最小值为()f m 或()f e ，最大值为()f c 或()f n ，故①错误，当()0>f m 且()0f e >时，函数无零点，故④错误.故选：B.15．A 【解析】由()()2121x x a x a ef x -⎡⎤=+++-⎣⎦'，由已知可得()201f a '-=⇒=-，则()()211x f x x x e -=--，()()212x f x x x e -'=+-，当[]2,1x ∈-，()()0f x f x '<⇒单调递减，当(]1,2x ∈，()()0f x f x '>⇒单调递增，则()()min 11f x f ==-，()325f e --=，()2f e =，()()max 2f x f e ==，综上：()[]1,f x e ∈-.故选：A16．[]1,1-【解析】因为321()53f x x ax x =-+-，所以2()21f x x ax '=-+，因为函数321()53f x x ax x =-+-无极值点，所以2240a，解得11a -≤≤，实数a 的取值范围是[]1,1-，17．(2,0)-【解析】因为2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<，所以()22(0)x f x m e x m '=⋅-+<，因为函数2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<在(0,1)上有极值点，所以()22(0)xf x m e x m '=⋅-+<在(0,1)上有零点，因为(0),22x y m e m x y =⋅-=<+在(0,1)上都递减，所以()'f x 在(0,1)上为减函数，所以(0)20(1)0f m f me =+>⎧⎨=<''⎩，解得20m -<<.18．11【解析】322()3f x x mx nx m =+++，2()36f x x mx n ∴'=++，依题意可得(1)0(1)0f f -=⎧⎨'-=⎩即2130360m n m m n ⎧-+-+=⎨-+=⎩，解得29m n =⎧⎨=⎩或13m n =⎧⎨=⎩，当1m =，3n =时函数32()331f x x x x =+++，22()3633(1)0f x x x x '=++=+，函数在R 上单调递增，函数无极值，故舍去；所以29m n =⎧⎨=⎩，所以11+=m n ．19．{|1a a <-或}2a >【解析】由题可知：()222f x x ax a '=+++，因为函数()f x 在(),-∞+∞上存在极值点，所以()0f x '=有解，所以()244120a a ∆=-⨯⨯+≥，则1a ≤-或2a ≥，当1a =-或2a =时，函数()y f x ='与x 轴只有一个交点，即()0f x '≥，所以函数()f x 在(),-∞+∞单调递增，没有极值点，故舍去，所以1a <-或2a >，即{|1a a <-或}2a >20．2【解析】由()3222f x x cx c x =-+知，()2234f x x cx c '=-+，因为()f x 在2x =处取极小值，所以()221280f c c '=-+=，解得2c =或6c =，当2c =时，2()384(32)(2)f x x x x x ==-'-+-，()f x 在2x =处取极小值，符合题意，当6c =时，2()324363(2)(6)f x x x x x '=-+=--，()f x 在2x =处取极大值，不符合题意，综上知，2c =.21．[3)+∞，【解析】由2()6120f x x x '=-=得0x =或2x =，在区间[-2,0)上()'0f x >,()f x 单调递增；在(0,2)内时()()'0,f x f x <单调递减.又(2)37f -=-，(0)3f =，(2)5f =-，∴max ()3f x =，又()f x a ≤对于任意的x ∈[-2,2]恒成立，∴3a ≥，即a 的取值范围是[)3,+∞ 22．112a <<【解析】因为()1ln x f x x +=，0x >，所以()2ln x f x x '=-.当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，所以函数()f x 在1x =处取得极大值.因为函数()f x 在区间1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0a >）上存在最大值，所以1112a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得112a <<. 23．()1,2-【解析】由题意得：233fxx ，令()0f x '<解得11x -<<；令()0f x '>解得1x <-或1x >，所以函数在(),1-∞-上是增函数，在()1,1-上是减函数，在()1,+∞上是增函数，故函数在1x =-处取到极大值2，所以极大值必是区间()25,a a -上的最大值，∴251a a -<-<，解得-1a 2<<.检验满足题意24．(]4,1--【解析】由题可知：()22f x x x '=-．令()00'>⇒<f x x 或2x >，令()002'<⇒<<f x x ，所以函数()f x 在()0,2单调递减，在()(),0,2,-∞+∞单调递增，故函数的极大值为()00f =，所以在开区间(),4a a +内的最大值一定是()00f =，又()()300f f ==，所以0443a a a <<+⎧⎨+≤⎩，得实数a 的取值范围是(]4,1--．25．【解析】（1），由得，由得，（2），26．【解析】（1）∵2()361f x x ax '=-+，函数32()3f x x ax x =-+在1x =处有极值，∴()10f '=，解得23a =(经检验，符合题意). （2）由（1）知32()2=-+f x x x x ，则2()341(1)(31)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得11x =，213x =. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1(1,)+∞()'f x+-+()f x极大值极小值∴函数()f x 的单调增区间为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，单调减区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.27．【解析】（1）2222(1)e 11(1)e 1()x x x x x f x k k x x x x x ---⎛⎫'=--+=- ⎪⎝⎭，即()2(1)()x x e k f x x--'= 当2e k =时()22(1)()x x e e f x x--'=，0x >。

高考数学复习专题练习22---函数的极值与最值

axa>12，当 x∈(－2,0)时，f (x)的最小值为 1，则 a 的值为(
)
A．1 B．2 C．3 D．－1
12．已知函数 f (x)＝22mx2x－ex4－x，1，x>x0≤，0，若不等式 f (x)＋m≥0 对任意实数 x 恒成立，其中 m>0.则( )
e A．m 的最小值为e－2
3/8
6/8
即直线 y＝－2ax 与函数 y＝ex 的图象有两个交点，设函数 g(x)＝kx 与函数 h(x)＝ex 的图象相切，切点为(x0，y0)，作函数 y＝ex 的图象，
因为
h′(x)＝ex，则 ex0
＝k，所以xy00＝
ex0 x0
＝k＝ ex0
，
解得 x0＝1，即切点为(1，e)，此时 k＝e，由图象知直线 y＝－2ax 与函数 y＝ex 的图象有两个交点时，
B．3 或－9
C．3
D．－3
3．(2019·哈尔滨市第六中学期末)若函数 f (x)＝ex－ax－a2 在 R 上有小于 0 的极值
点，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(－∞，－1)
D．(1，＋∞)
4．函数 f (x)＝(2x2－tx)ex(t 为常数且 t>0)的图象大致为( )
1 ∴0<a<2，
1 令 f′(x)>0，则 0<x<a，
∴f (x)在0，1a 上单调递增；
1 令 f′(x)<0，则 x>a，
∴f (x)在1a，2 上单调递减．
∴f (x)max＝f 1a＝ln1a－a·1a＝－1，∴ln1a＝0，得 a＝1.]
12．A [由 f (x)＝22mx2x－ex4－x，1，x>x0≤，0，当 x≤0 时，f′(x)＝2mex＋2mxex ＝2(1＋x)mex，

求函数极值的练习题

函数的极值练习题一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.下列说法正确的是A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=02.下列四个函数，在x =0处取得极值的函数是①y =x 3 ②y =x 2+1 ③y =|x | ④y =2xA.①②B.②③C.③④D.①③3.函数y =216xx 的极大值为4.函数y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为=ln 2x +2ln x +2的极小值为－1 C.－1=2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）7.函数f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________.8.曲线y =3x 5－5x 3共有___________个极值.9.函数y =－x 3+48x －3的极大值为___________；极小值为___________.10.函数f (x )=x －3223x 的极大值是___________，极小值是___________. 11.若函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1时有极大值，在x =3时有极小值，则a =___________,b =___________.三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）12.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,当x =－1时，取得极大值7；当x =3时，取得极小值.求这个极小值及a 、b 、c 的值.13.函数f (x )=x +xa +b 有极小值2，求a 、b 应满足的条件.114.设y=f(x)为三次函数，且图象关于原点对称，当x=时，f(x)的极小值为－1，求函数的解析式.2函数的极值7. 7 8.两－131 10. 0 －21 11.－3 －9 12.解：f ′(x )=3x 2+2ax +b .据题意，－1，3是方程3x 2+2ax +b =0的两个根，由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-3313231ba ∴a =－3,b =－9，∴f (x )=x 3－3x 2－9x +c ∵f (－1)=7,∴c =2，极小值f (3)=33－3×32－9×3+2=－25∴极小值为－25，a =－3,b =－9,c =2.13.解：f ′(x )=22x a x - 由题意可知f ′(x )=0有实根，即x 2－a =0有实根∴a >0，∴x =a 或x =－a ，∴f ′(x )=2))((x a x a x -+ 令f ′(x )>0,得x <－a 或x >a ; 令f ′(x )<0,得－a <x <a 且x ≠0. ∴f (x )在x =－a 时取得极大值；f (x )在x =a 时取得极小值2. ∴a +aa +b =2，即2a +b =2 ∴a 、b 应满足的条件为a >0,b =2(1－a ).14.解：设函数解析式为f (x )=ax 3+bx ，f ′(x )=3ax 2+b∵f ′(21)=0,f (21)=－1 得⎩⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+34128043b a b a b a 解得 ∴f (x )=4x 3－3x。

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