二次函数九种类型
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精品
类另个一定型个点二定距点离之，将和与军最已小知饮的直马点线。有问个题交点，这个交点就是使得这个动点到两
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1
型二：将军饮马问题： 如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y= 2 x+2相交于A、C两点，抛物线与 x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC的周
长最小，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
此类问题有一个动点在一条直线上运动，在直线的一侧有两个定点，
先找出其中一个定点关于这条直线的对称点，然后连接这个对称点和
另一个定点，与已知直线有个交点，这个交点就是使得这个动点到两
个定点距离之和最小的点。
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1
如图所示，抛物线y=- x2- x+2和直线y= x+2相交于A、C两点，抛物线与
此类问题分别以三角形的三条边为底边分三种情况进行讨论， 其中要应用两点之间的距离公式等知识。
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1
如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y=2 x+2相交于A、C两点，抛
x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PB
腰三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
型三：直角三角形的分类讨论：
此类问题分别以三角形的三条边为斜边(或三个顶点为直角顶点） 分三种情况进行讨论，其中要应用勾股定理等知识。
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1
如图所示，抛物线y=-2x2-2x+2和直线y=2x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC为直角
三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
22
2
x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC的周
长最小，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
精品
针对训练
1. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax 2+bx与直线 y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上一动点，当PB+PO最小时， 求出点P坐标，及PB+PO的最小值
精品
此类问题分别以已知的线段为边及对角线进行讨论，其中要应用 线类段型 的中五点：坐平标行公四式边等。形的分类讨论：
1 3 1 此类问题分别以已知的线段为边及对角线进行讨论，其中要应用 如图所线示段，的抛中点物坐线标y公=式- 等x。2- x+2和直线y= x+2相交于A、C两点，抛物线与
标系中三角形的面积一般用铅直高乘以水平宽
再类乘型以二一分之利一用来求二。次函数表达式求最大值得问题
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1
如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y= 2 x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在直线AC的上方的抛物线上是否存在点P,使得△ PAC
：利的面用积二最大次，函如果数存表在请达求式出P求点坐最标大，如值果的不存问在题，请说明理由。
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针对练习
1. 如图，二次函数y=x 2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐 标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）． （1）求抛物线的解析式 （2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛 物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在， 求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由． （3）在二次函数上有一动点P，过点P作PM⊥x轴交线段BD于点M， 判断PM有最大值还是有最小值，如有，求出线段PM长度的最大值 或最小值．
精品
类分型三种三情况直进角行三讨论角，形其分中要类应用勾股定理等知识。
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如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y= 2 x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC为直角
三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
精品
此类问题分别以三角形的三条边为底边分三种情况进行讨论，
其类中要型应用四两点等之间腰的距三离公角式形等知分识。类讨论
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如图所示，抛物线y=- x2- x+2和直线y= x+2相交于A、C两点，抛物线与
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x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC为等
类腰型三四角形：，如等果腰存在三请求角出P形点坐的标，分如类果不讨存在论，：请说明理由。
的面积最大，如果存在请求出P点坐Fra Baidu bibliotek，如果不存在，请说明理由。
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针对练习
1. 某拱桥横截面为抛物线形，将抛物线放置在平面直角 坐标系中如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴 交于C点，且抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3． （1）求△ABC的面积； （2）若动点D在第一象限的抛物线上，求△BDC面积最 大时D点的坐标，并求出△BDC的最大面积。
精品
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+3与x轴 交于A（-4，0）、B（-l，0）两点，与y轴交于点C，点D 是第三象限的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点D的横坐标为m，△ACD的面积为S求出S与m的 函数关系式，并确定m为何值时S有最大值，最大值是多 少？ （3）若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P使得 ∠APC=90°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在， 请说明理由．
精品
1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x 2+bx+c经过点 A（-1，0），B（3，0），与y轴相交于点C． （1）求这条抛物线的解析式； （2）经过点D（2，2）直线与抛物线交于M，N两点， 若线段MN正好被直线BC平分，求直线MN的解析式； （3）直线x=a上存在点P，使得△PBC为等腰三角形？ 若这样的点P有且只有三个，请直接写出符合条件的a 值及其取值范围
把图形面积用二次函数表达式表示出来，然后
利用函数表达式求最值补充知识：平面直角坐
标系中三角形的面积一般用铅直高乘以水平宽
再乘以二分之一来求。
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如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y= 2 x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在直线AC的上方的抛物线上是否存在点P,使得△ PAC
类另个一定型个点二定距点离之，将和与军最已小知饮的直马点线。有问个题交点，这个交点就是使得这个动点到两
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型二：将军饮马问题： 如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y= 2 x+2相交于A、C两点，抛物线与 x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC的周
长最小，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
此类问题有一个动点在一条直线上运动，在直线的一侧有两个定点，
先找出其中一个定点关于这条直线的对称点，然后连接这个对称点和
另一个定点，与已知直线有个交点，这个交点就是使得这个动点到两
个定点距离之和最小的点。
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如图所示，抛物线y=- x2- x+2和直线y= x+2相交于A、C两点，抛物线与
此类问题分别以三角形的三条边为底边分三种情况进行讨论， 其中要应用两点之间的距离公式等知识。
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如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y=2 x+2相交于A、C两点，抛
x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PB
腰三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
型三：直角三角形的分类讨论：
此类问题分别以三角形的三条边为斜边(或三个顶点为直角顶点） 分三种情况进行讨论，其中要应用勾股定理等知识。
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如图所示，抛物线y=-2x2-2x+2和直线y=2x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC为直角
三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
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x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC的周
长最小，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
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针对训练
1. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax 2+bx与直线 y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上一动点，当PB+PO最小时， 求出点P坐标，及PB+PO的最小值
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此类问题分别以已知的线段为边及对角线进行讨论，其中要应用 线类段型 的中五点：坐平标行公四式边等。形的分类讨论：
1 3 1 此类问题分别以已知的线段为边及对角线进行讨论，其中要应用 如图所线示段，的抛中点物坐线标y公=式- 等x。2- x+2和直线y= x+2相交于A、C两点，抛物线与
标系中三角形的面积一般用铅直高乘以水平宽
再类乘型以二一分之利一用来求二。次函数表达式求最大值得问题
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1
如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y= 2 x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在直线AC的上方的抛物线上是否存在点P,使得△ PAC
：利的面用积二最大次，函如果数存表在请达求式出P求点坐最标大，如值果的不存问在题，请说明理由。
精品
针对练习
1. 如图，二次函数y=x 2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐 标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）． （1）求抛物线的解析式 （2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛 物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在， 求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由． （3）在二次函数上有一动点P，过点P作PM⊥x轴交线段BD于点M， 判断PM有最大值还是有最小值，如有，求出线段PM长度的最大值 或最小值．
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类分型三种三情况直进角行三讨论角，形其分中要类应用勾股定理等知识。
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如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y= 2 x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC为直角
三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
精品
此类问题分别以三角形的三条边为底边分三种情况进行讨论，
其类中要型应用四两点等之间腰的距三离公角式形等知分识。类讨论
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如图所示，抛物线y=- x2- x+2和直线y= x+2相交于A、C两点，抛物线与
22
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x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC为等
类腰型三四角形：，如等果腰存在三请求角出P形点坐的标，分如类果不讨存在论，：请说明理由。
的面积最大，如果存在请求出P点坐Fra Baidu bibliotek，如果不存在，请说明理由。
精品
针对练习
1. 某拱桥横截面为抛物线形，将抛物线放置在平面直角 坐标系中如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴 交于C点，且抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3． （1）求△ABC的面积； （2）若动点D在第一象限的抛物线上，求△BDC面积最 大时D点的坐标，并求出△BDC的最大面积。
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1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+3与x轴 交于A（-4，0）、B（-l，0）两点，与y轴交于点C，点D 是第三象限的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点D的横坐标为m，△ACD的面积为S求出S与m的 函数关系式，并确定m为何值时S有最大值，最大值是多 少？ （3）若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P使得 ∠APC=90°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在， 请说明理由．
精品
1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x 2+bx+c经过点 A（-1，0），B（3，0），与y轴相交于点C． （1）求这条抛物线的解析式； （2）经过点D（2，2）直线与抛物线交于M，N两点， 若线段MN正好被直线BC平分，求直线MN的解析式； （3）直线x=a上存在点P，使得△PBC为等腰三角形？ 若这样的点P有且只有三个，请直接写出符合条件的a 值及其取值范围
把图形面积用二次函数表达式表示出来，然后
利用函数表达式求最值补充知识：平面直角坐
标系中三角形的面积一般用铅直高乘以水平宽
再乘以二分之一来求。
13
1
如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y= 2 x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在直线AC的上方的抛物线上是否存在点P,使得△ PAC