排列组合特殊元素和特殊位置讲解
完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)教学目标：1.理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。
2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一、特殊元素和特殊位置优先策略：例1：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3.由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。
若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。
有限制条件的排列组合问题1
个人坐在一排8个座位上 例8.3个人坐在一排 个座位上，若每人左右两边都有空位，那么共 个人坐在一排 个座位上，若每人左右两边都有空位， 有多少种不同的坐法。 有多少种不同的坐法。 4.某些元素顺序一定的问题 某些元素顺序一定的问题 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单 例9.某班新年联欢会原定的 个节目已排成节目单，开演前又增加了 某班新年联欢会原定的 个节目已排成节目单， 3个新节目，如果将这 个节目插入原节目单中，那么不同的插法种 个新节目， 个节目插入原节目单中， 个新节目 如果将这3个节目插入原节目单中 数有多少？ 数有多少？ 二次函数y=ax2+bx+c的系数 、b、c是取自 、1、2、3、 的系数a、 、 是取自 是取自0、 、 、 、 例10.二次函数 二次函数 的系数 4这五个数中的不同值，且a>b,这样的二次函数共有多少个 这五个数中的不同值， 这样的二次函数共有多少个? 这五个数中的不同值 这样的二次函数共有多少个 5.两个特殊元素对应两个特殊位置的问题 两个特殊元素对应两个特殊位置的问题 方法：一般采用间接法，即若有n个元素排成一排 个元素排成一排， 方法：一般采用间接法，即若有 个元素排成一排，其中某一元素 A不能排在甲位置， 某元素 不能排在乙位置， 那么共有排法种数 不能排在甲位置， 不能排在乙位置， 不能排在甲位置 某元素B不能排在乙位置 n− − 为： Ann − 2 An −11 + Ann−22 现要编排10个节目的节目单 例11.现要编排 个节目的节目单，其中节目甲不能排在第一个， 现要编排 个节目的节目单，其中节目甲不能排在第一个， 节目乙不能排在最后一个，共有多少安排方案？ 节目乙不能排在最后一个，共有多少安排方案？
二、有限制条件的组合问题 1.含与不含的问题 1.含与不含的问题 方法：含有的问题，只选取其它没限制的元素即可； 方法：含有的问题，只选取其它没限制的元素即可；不含的 问题，从总体去掉这几个元素即可。 问题，从总体去掉这几个元素即可。 现从10幅画中选取 幅张贴， 例 12.现从 幅画中选取 幅张贴， 其中某一幅画必须当选 ， 共有 现从 幅画中选取5幅张贴 其中某一幅画必须当选， 多少选取方案？ 多少选取方案？ 现从某班50人中选派一个 人代表队， 例13.现从某班 人中选派一个 人代表队，其中甲、乙两同学 现从某班 人中选派一个10人代表队 其中甲、 因有特殊情况不能参加，那么共有多少选派方案 因有特殊情况不能参加，那么共有多少选派方案? 2.“至多”、“至少”问题 至多” 至多 至少” 方法： 方法：分类讨论或间接法
高中数学排列组合经典题型全面总结版
22A A 种排法，由分步计数原理共有 222
222A A A 种排法练习题： １.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两 端，那么共有列方式的种数为 254 254A A A 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 255 255A A A 种 十.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额 分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有6 9C 种分法。 一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1 mnAn 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A 走到B 的最短路径有多少种？(37 35C =) B A 十八.数字排序问题查字典策略 例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？ 对于条件比较复杂的排列组合问题，不 易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的 结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略 处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解 决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题 解:297221 122334455=++++=A A A A A N
排列组合题型分解及技巧点拨
1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．4．排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！n－m！，这里规定0！＝1.5．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中任意取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．(3)组合数的计算公式：C m n＝A mn A m m ＝n ！m ！n －m ！＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！，由于0！＝1，所以C 0n ＝1.(4)组合数的性质：①C mn ＝C n －mn __；②C mn ＋1＝C mn __＋C m －1n __.排列组合解题的基本技巧一、特殊元素和特殊位置优先策略位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
数学排列组合知识点精要讲解
数学排列组合知识点精要讲解在我们的数学世界中，排列组合是一个既有趣又充满挑战的领域。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决各种各样的计数问题，从简单的挑选物品到复杂的任务安排，都离不开它的身影。
接下来，让我们一起深入探索排列组合的奥秘。
一、排列排列，简单来说，就是从给定的元素中选取一些，并按照一定的顺序进行排列。
例如，从 A、B、C 三个字母中选取两个进行排列，有多少种不同的排列方式呢？我们可以依次考虑每个位置的选择。
第一个位置有 3 种选择（A、B 或 C），当第一个位置确定后，第二个位置就只剩下 2 种选择了。
所以总的排列数就是 3×2 ＝ 6 种，分别是 AB、AC、BA、BC、CA、CB。
一般地，如果从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的排列数，记为 A(n, m) ，那么它的计算公式就是：A(n, m) ＝ n×（n 1)×（n 2)××（n m ＋ 1) 。
比如，从 5 个不同的元素中选取 3 个进行排列，那么排列数 A(5, 3) ＝ 5×4×3 ＝ 60 种。
在解决排列问题时，要特别注意“顺序”这个关键因素。
只要顺序不同，就算元素相同，也是不同的排列。
二、组合组合则是从给定的元素中选取一些，不考虑顺序。
还是以 A、B、C 三个字母为例，从中选取两个字母的组合，有多少种呢？这里 AB 和 BA 因为不考虑顺序，所以算是同一种组合。
所以组合数就是 3 种，分别是 AB、AC、BC。
如果从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的组合数，记为 C(n, m) ，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m!（n m)！，其中“！”表示阶乘，例如 5! ＝ 5×4×3×2×1 。
比如，从 6 个不同元素中选取 4 个的组合数 C(6, 4) ＝ 6! ／（4!×2!）＝ 15 种。
排列组合七大解题方法0925
排列组合七大解题方法一些排列组合问题条件比较多，直接使用分类或分步来考虑较为复杂，在这种情况下，掌握一些特定的解题方法和公式有助于大家快速解题。
在此，中公教育专家介绍七种解题方法，其适用范围如下：1.特殊定位法排列组合问题中，有些元素有特殊的要求，如甲必须入选或甲必须排第一位；或者有些位置有特殊的元素要求，如第一位只能站甲或乙。
此时，应该优先考虑特殊元素或者特殊位置，确定它们的选法。
例题1： 1名老师和6名学生排成一排，要求老师不能站在两端，那么有多少种不同的排法？A．720 B.3600 C.4320 D.7200中公解析：此题答案为B。
此题中特殊元素是老师，特殊位置是两端，可优先考虑。
2.反面考虑法有些题目所给的特殊条件较多或者较为复杂，直接考虑需要分许多类，而它的反面却往往只有一种或者两种情况，此时我们先求出反面的情况，然后将总情况数减去反面情况数就可以了。
例题2：从6名男生、5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同选法？A．240 B.310 C.720 D.1080中公解析：此题答案为B。
从反面考虑，“男女至少各1名”的反面是“只选男生或只选女生”。
从6名男生、5名女生中任选4人的所有情况共有 =330种。
故所求为330-20=310种不同选法。
3.捆绑法在排列问题中，如果题中要求两个或多个元素“相邻”时，可将这几个元素捆绑在一起，作为一个整体进行考虑。
例题3： 6个人站成一排，要求甲、乙必须相邻，那么有多少种不同的排法？A．280 B.120 C.240 D.3604.插空法在排列问题中，如果题中要求两个或多个元素“不相邻”时，可先将其余无限制的n个元素进行排列，再将不相邻的元素插入无限制元素之间及两端所形成的（n+1）个“空”中。
如果所有元素完全相同，即为组合问题，则不需要进行排列，只需要将不相邻的元素插入空中即可。
例题4： 6人站成一排，要求甲、乙必须不相邻，有多少种不同的排法？A．240 B.480 C.360 D.720由乘法原理，不同的排法共有24×20=480种。
排列组合题型及解法
排列组合应用题题型及解法排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；处理排列组合应用题的一般步骤：（1）明确要完成的是一件什么事情（审题）（2）有序还是无须（3）分步还是分类。
下面就谈一谈排列组合应用题的题型及解题策略。
一、特殊元素、特殊位置，优先法1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.2、五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有多少种？3、从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有多少种？4、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是多少？5、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有多少种？二、相邻问题，捆绑法、插空法（1）全相邻问题，捆绑法1、6名同学站在一排，其中甲乙两人必须排在一起的不同排法有多少种？2、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法？3、记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有多少种？（2）全不相邻，插空法1、高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是多少？2、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目表，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少种排法？3、用1、2、3、4、5、6组成无重复数字的6位数，要求1、2、3三个数字中任何两个数字不相邻，问有多少种排法？（3）不全相邻问题，排除法1、五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人中有两人相邻，有多少种排法？三、顺序一定，除法或分类处理1、7个人站成一排，其中甲要在乙前面，乙要在丙前面，有多少种排法？2、某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
典型排列组合问题的处理方法
严子超（贵州省毕节市民族中学 ５５１７００）严子超２００５年毕业于贵州师范大学数学与应用数学专业，理学学士，中小学一级教师，市级骨干教师。
排列组合是高中数学中比较独特的内容，是教学中的一个难点，也是高考的热点．其解题思路既有一般规律性、又有很强的技巧性．在解题过程中极易“重复”或“遗漏”．因此在解排列组合问题时，要善于提炼方法、归纳总结、举一反三、触类旁通．本文针对一些常见题型和思维方法加以归纳，供参考．１．特殊元素或特殊位置“优先法” 对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，可从这些特殊元素或特殊位置入手，先处理特殊元素或特殊位置，再处理其它元素或位置．例１ １名歌手和４名观众排成一排照相留念，若歌手不排在两端，共有多少种不同的排法解法１ 优先考虑特殊位置，先排两端．从４名观众中选２人排两端，有Ａ２４种不同的排法，再排剩下的三个位置，有Ａ３３种不同的排法，由分步计数原理知，共有不同的排法Ａ２４·Ａ３３＝７２（种）．解法２ 优先考虑特殊元素，先排歌手．因为歌手不排在两端，所以歌手只能从剩下的３个位置选１个排，有Ａ１３种排法，然后４名观众站在另外４个位置，有Ａ４４种不同排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ１３·Ａ４４＝７２（种）．注 对特殊元素或特殊位置作特殊的照顾，容易找到通向成功之路的入口处．若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素；若以位置分析为主，要先满足特殊位置的要求，再处理其它位置．如果特殊元素或特殊位置不止一个时，要注意正确的分类和分步，避免重复和遗漏．２．元素相邻问题“捆绑法” 要求某些元素必须相邻的问题，可采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素捆绑在一起视为“一个元素”与其它元素进行排列，然后再将这些相邻的元素进行内部排列．例２ 有８本不同的书，其中数学书３本，英语书２本，其它书３本，若将这些书排成一排放在书架上，则数学书恰好排在一起，英语书也恰好排在一起，共有多少种不同的排法？解 将数学书与英语书分别捆在一起看成两个不同的元素，再与其它３本书一起排列，有Ａ５５种不同排法，再将３本数学书内部进行自排有Ａ３３种排法，２本英语书内部进行自排有Ａ２２种排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ５５Ａ３３Ａ２２＝１４４０（种）．注 要求某些元素必须排在一起的问题，要先把相邻元素进行捆绑．处理此类问题一般遵循“先整体，后局部”的原则．３．元素不相邻问题“插空法” 要求某些元素不相邻的问题，可先排其它没有限制条件的元素，然后在已经排好的元素·４１·２０２０１２之间的间隙和两端的空位插入不相邻的元素，使问题得以解决．例３ ４名学生和２位老师站成一排合影，２位老师不相邻的不同排法共有多少种？解 分两步进行：第一步，由于２位老师不相邻，所以先将４名学生排序，有Ａ４４种不同排法．第二步，将２位老师分别插入４名学生之间的间隙及首尾两个空位中，有Ａ２５种不同排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ４４·Ａ２５＝４８０（种）．注 “元素不相邻问题”也称为“元素相离问题”，处理时先把没有位置要求的元素进行排列，再把不相邻元素插入已排好的各元素之间和两端的空位中．４．选排混合问题“先选后排法” 对于排列问题与组合问题混在一起时，应先用组合公式将符合题意的元素选出，再利用排列公式进行排列．例４ 从１，２，３，４，５，６，７这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中共有多少个不同的奇数？解 先从１，３，５，７四个奇数中选择两个有Ｃ２４种不同选法，再从２，４，６三个偶数中选择两个有Ｃ２３种不同选法，由于个位数字必须是奇数，所以先排个位有Ｃ１２种排法，其余三个元素进行十位，百位，千位三个位置的全排．由分步计数原理可知，共有不同的奇数Ｃ２４Ｃ２３Ｃ１２Ａ３３＝２１６（个）．注 从几类元素中取出符合题意的若干元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法来处理．此方法是解决排列组合混合问题最基本的方法．５．正难反易问题“间接法” “间接法”又称“排除法”、“总体淘汰法”．有些问题从正面考虑较为错综复杂而不易得出答案时，可以从反面入手考虑，往往会取得意想不到的效果．即先不考虑题目限制条件，求出所有的排列数，然后再排除不符合条件的排列数．一般解含有“至少”、“至多”等限制条件的排列组合问题，可用此方法．例５ 某校开设Ａ类选修课３门，Ｂ类选修课４门，某同学从中共选３门，若要求两类课程中各至少选一门，则共有多少种不同的选法？解 先不考虑限制条件，从７门选修课中选３门共有Ｃ３７种不同选法，所选３门选修课均为Ａ类有Ｃ３３种不同选法，均为Ｂ类有Ｃ３４种不同选法，由分步计数原理可知，共有不同的选法Ｃ３７－Ｃ３３－Ｃ３４＝３０（种）．注 对某些排列组合问题，从正面直接考虑比较复杂，而其反面情况却比较简单，可考虑从问题的反面入手，会让你进入“柳暗花明”的境界．６．顺序一定问题“先排后除法” “先排后除法”也称为“缩倍法”．要求某些元素必须保持一定顺序的排列问题，可以采用缩小倍数的方法来处理．即先把顺序一定的元素与其它元素一起进行全排列，再用全排列数除以顺序一定元素的全排列数．例６ 某工程队有６项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这６项工程的不同排法共有多少种解 依题意，丁必须在丙完成后立即进行，故可以把两个视为一个大元素，先不管其它限制条件，使其与其它四个进行排列，共有Ａ５５种排法，在所有这些排法中，甲，乙，丙相对顺序固定共有Ａ３３种排法，·５１·２０２０１２由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ５５Ａ３３＝２０（种）．注 对“定序型”问题，若将ｎ个元素排成一排，其中要求ｍ（ｍ≤ｎ）个元素顺序一定．可先将ｎ个元素进行全排列有Ａｎｎ种排法，ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的全排列有Ａｍｍ种排法，由于要求ｍ个元素顺序一定，因此只能取其中的某一种排法，则共有ＡｎｎＡｍｍ种不同排列方法．７．标号排位问题“分步处理法” 把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题．要求某些元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，再排下一个元素，如此继续下去，依次即可完成．例７ 毕业前夕，同室四人各写了一张毕业赠言，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的毕业赠言，则四张毕业赠言共有多少种不同的分配方式？解 设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的毕业赠言分别标号为１，２，３，４．第一步，甲取其中一张，有３种方式；第二步，假设甲取２号，则乙的取法可分两类：（１）乙取１号，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，（２）乙取３号或４号（２种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的．由分步计数原理可知，四张毕业赠言共有不同的分配方式３×（１＋２）＝９（种）．注 本例实际上也属于错位排列问题，即把编号为１至４的４个小球放入编号为１到４的４个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不相同，共有多少种不同的放法８．可重复排列问题“求幂法” “求幂法”又称为“住旅店法”，允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排各元素的位置，一般地：把ｎ个不同元素没有限制地放入到ｍ个不同的盒子中，共有ｍｎ种不同的方法．例８ 现有６名同学去听同时进行的５个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，共有多少种不同的选法？解 因为每位同学均有５个课外知识讲座可以选择，第一名同学有５种选法，第二名同学有５种选法，以此类推．问题就转化为：将６个不同的元素没有限制地放入到５个不同的盒子中，由分步计数原理可知，共有不同的选法５×５×５×５×５×５＝５６（种）．注 允许可以重复排列的问题，实际上就是信箱模型．一般地，把ｎ封不同的信投到ｍ个不同的信箱的排列数共有ｍｎ种．９．不同元素分配问题“先分组后分配法” 对于不同元素的分配问题，可以按需分配（即定人又定数可以直接取），也可以按照先分组再分配的方式处理．分组时，如果是平均分组，则要注意去除组间顺序，避免重复计数．例９ 将６位志愿者分成４组，其中两个组各２人，另两个组各１人，分赴世博会的四个不同场馆服务，共有多少种不同的分配方案？解 先分组，由于有２个是平均分组，所以两个两人组的分法有Ｃ２６Ｃ２４Ａ２２种，两个１人组的分法有Ｃ１２Ｃ１１Ａ２２种，由分步计数原理再进行分配，共有不同的分配方案Ｃ２６Ｃ２４Ａ２２·Ｃ１２Ｃ１１Ａ２２·Ａ４４＝１０８０（种）．·６１·２０２０１２注 在分组时，组与组无顺序．若有平均分组，一定要除以平均分组的组数的阶乘，避免重复计数．１０．相同元素分配问题“隔板法” 对于相同元素的分配问题，可以采用“隔板法”来处理．问题的一般形式：ｎ个相同小球放入ｍ（ｍ≤ｎ）个不同的盒子里，有多少种放法？（１）若要求每个盒子里至少放一个小球，则问题等价于ｎ个相同的小球排成一排，从ｎ－１个间隙中插入ｍ－１块隔板，把它们隔成ｍ段即可，共有Ｃｍ－１ｎ－１种不同的放法．（２）若允许某些盒子空着，则相当于在ｎ＋ｍ－１个位置中，选ｍ－１个位置称为隔板，把ｎ个位置分成ｍ份，共有Ｃｎ－１ｎ＋ｍ－１种不同的放法．例１０ 某校准备参加２０２０年高中数学联赛，把１０个选手名额分配到高三年级的８个教学班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案？解 因为１０个名额没有差别，所以问题等价于把１０个相同小球放入８个盒子里，每个盒子至少有一个小球的放法种数．就是把１０个名额看成１０个相同的小球分成８堆，每堆至少一个，可以在１０个小球的９个空位中插入７块木板，每一种插法对应着一种分配方案，因此，不同的分配方案共有Ｃ７９＝３６种．注 运用隔板法必须同时具备两个条件：①所有元素必须相同；②所有元素必须分完．同时还要注意，盒子是否有空．１１．多排问题“一排法” 把元素排成几排的排列问题称为多排问题．如果没有其他条件限制，可归结为一排考虑，再分段处理．例１１ ８名同学排成前后两排，每排４名，其中男生甲和女生乙要排在前排，男生丙排在后排，共有多少种不同的排法？解 男生甲和女生乙在前半段四个位置中选排２个，有Ａ２４种排法，男生丙排在后半段的四个位置中，有Ａ１４种排法，其余５名同学在剩下的５个位置上任意排列，有Ａ５５种排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ１４Ａ２４Ａ５５＝５７６０（种）．注 一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排来处理．１２．圆排问题“线排法” 把ｎ个不同元素放在圆周上的ｎ个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首、尾之分，因此可将某个元素固定展成线排，其它的ｍ－１元素全排列．即总数为（ｎ－１）！种．例１２ ５对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，共有多少种不同的站法？解 首先可让５位姐姐站成一圈，属于圆排列问题，有Ａ４４种站法，然后在让妹妹插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有２种方式，由分步计数原理可知，共有不同的站法２４×２５＝７６８（种）．注 对于普通圆排列：ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ；ａ２，ａ３，ａ４，…，ａｎ，…；ａｎ，…，ａｎ－１在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，所以ｎ个元素的圆排列数有ｎ！ｎ种．特别地，从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素作圆形排列，共有１ｍＡｍｎ种不同的排法．总之，排列组合问题不仅内容抽象，解法灵活多变，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，只要我们平时认真分析，思考，遵循排列组合问题的解题原则，寻找解题的最佳策略，就能轻松解决问题，从而在解题中立于不败之地．·７１·２０２０１２。
5.排列组合讲解
例3，5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有 种。
[解析]将3名老师捆绑起来看成一个元素，与5名学生排列，有 种排法；而3名老师之间又有 种排法，故满足条件的排法共有 种。
例4，计划展出10幅不同的画，其中一幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种？
A、 56种 B、57种 C、58种 D、 60种
[解析]从高位向低位依次考虑，分3类：
①当首位是2时，若千位是4、5，则有 个；若千位是3，百位是4、5，则有 个；若千位是3，百位是1，则只有一个数即23154，故当首位是2时，共有12+4+1=17个。
[解析]先将4名学生平均分成两组（属平均分组），有 = 种分法；再将这两组学生安排到该年级6个班中的两个班有 种。所以不同的安排方法有 ，故选B项。
10，复杂问题——转换法：
对于有些较为复杂的排列、组合问题，若不能用以上方法解决，可以采取等价转换的方法，转化为其它问题然后解决。
例5，有10个学生，其中4人中任意两个不能站在一起，有多少种排列次序？
[解析]先将其余6人进行排列，有 种；再把不相邻的4人分别排在前6人形成的7个空隙中，有 种。所以共有 种排列次序。
例6，有4名男生，3名女生站成一排，任何两名女生彼此不相邻，有多少不同的排法？
[解析]由于要求女生不相邻，应先排男生，有 种；然后在男生形成的5个空隙中分别安排3名女生，有 种，所以共有 种。
师：在上面解题过程中，很好的运用了有条件限制的位置优先的原则，这种解法是直接法还有其他方法吗？
分别在排头、排尾的4种情况．
解排列组合问题常用方法(二十种)
解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。
末位和首位有特殊要求。
先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。
由分步计数原理得113344288C C A =。
变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。
由分步计数原理得25451440A A =。
二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。
先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理得522522480A A A =。
变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。
三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。
分两步。
第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。
变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。
排列组合问题常用方法(上课用)
甲乙都在前排： 1、都在左面4个座位 A22 3 =6种
2、都在右面4个座位 同上，6种
3、分列在中间3个的左右 A22 4 4 =32种
一共6+6+32=44种 甲乙都在后排： A(22)*(10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)=110种 甲乙分列在前后两排 A(22)*12*8=192种 一共44+110+192=346种
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４ 幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两 端，那么共有陈列方式的种数为_A_22_A_55_A_44 _
2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女 生也相邻的排法有_A_22_A_55_A_55 _种
十五.实际操作穷举策略
练习： 1.把6名实习生分配到6个车间实习,共有
多少种不同的分法？
2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法共有 多少种？
一.特殊元素和特殊位置优先策略
（特殊元素（或位置）分析法）
例1.由0到9这10个数字，可以组成多少个 (1) 没有重复数字的三位数？ (2) 没有重复数字的三位奇数？ (3) 没有重复数字的三位偶数？
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2
3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五
个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且
恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.
有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有__C_52__种
还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
排列组合常见22类题型解题策略(解析版)
排列组合常见22类题型解题策略考点01：特殊元素和特殊位置优先策略1.贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA ”.村BA 给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA 西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有( )种表演顺序.A.A 88 B.C 28A 66C.A 22A 66D.A 28A 66【答案】C【分析】先确定贵州两名球员的顺序，再确定其余6人的表演顺序即可.【详解】由题意易知，一共有8个人需要排列.先确定贵州两名球员的顺序为A 22，在确定其余6人顺序为A 66，由分步乘法原理可得一共有A 22A 66种顺序.故选：C .2.云南省大理州于2023年5月4日至10日成功举办了三月街民族节活动.在活动期间，有6名志愿者报名参加了三月街民族节志愿服务活动，活动结束后6名志愿者排成一排合影，则甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为.【答案】15/0.2【分析】先根据全排列求出所有的基本事件个数，然后利用特殊元素优先考虑结合相邻元素捆绑法求解满足题意的基本事件个数，利用古典概型概率公式求解即可.【详解】6名志愿者排成一排合影共有A 66中排法，而乙、丙志愿者相邻，甲志愿者不在两边的排法有C 13⋅A 44⋅A 22种排法，故甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为C 13⋅A 44⋅A 22A 66=15.故答案为：15考点02：相邻元素捆绑策略3.2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分3:0战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有()A.18种 B.24种C.30种D.36种【答案】C【分析】分别计算丙站在左端时和丙不站在左端时的情况，即可得到答案.【详解】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有A 33=6种站法；当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，有A 12A 22A 33=24种站法，所以一共有6+24=30种不同的站法．故选：C4.为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为(用数字作答)．【答案】12【分析】利用捆绑求得正确答案.【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为A22A33=12种.故答案为：12考点03：不相邻问题插空策略5.现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为()A.A35A55B.A77-A55A33C.A44A35D.A77-A35【答案】B【分析】用排除法，即7人的全排列减去3个女生都不相邻的情形(用插空法求三女生全不相邻的排法).【详解】7个人全排列诚去3个女生全部相邻的情形，即A77-A55A33，故选：B.6.夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有种.【答案】12【分析】先将心电图、血压测量两项全排列，再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，最后将抽血放在第一位即可.【详解】解：由题意得：将心电图、血压测量两项全排列，有A22=2种情况，再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，有A23=6种情况最后将抽血放在第一位，有1种情况，所以共有2×6×1=12种情况，故答案为：12考点04：定序问题倍缩空位插入策略7.7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定(可以相邻，也可以不相邻)，共有种不同的排法．【答案】840【分析】利用排列求出不同的排法总数.【详解】对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有A77A33=840种不同的方法．故答案为：840.8.五名学生站成一排，其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻)的站法种数为．【答案】60【分析】根据甲站在乙左边和右边的方法数相同易得．【详解】五名学生站成一排，甲站在乙的左边与丫在右边的相同，因此方法数A552=60．故答案为：60．考点05：重排问题求幂策略9.一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？【答案】49【分析】将信封投入邮筒，是分步问题，每封信都有4种不同的方法，由分步乘法计数原理计算可得答案【详解】第一封信投入邮筒有4种可能第二封信投入邮筒有4种可能⋯第九封信投入邮筒有4种可能由分步乘法计数原理可知，共有49种不同的投法【点睛】本题主要考查分步计数原理与分类计数原理的运用，解题时，注意分析题意，认清是分步问题还是分类问题，这是解题的关键.10.有4名新冠疫情防控志愿者，每人从3个不同的社区中选择1个进行服务.则不同的选择办法共有种.【答案】81【分析】利用分步计数原理求解即可．【详解】解：每名新冠疫情防控志愿者都有3种不同的选择方法，根据分步计数原理可知，不同的选择方法共有34=81(种)．故答案为：81．考点06：环排问题线排策略11.8人围桌而坐，共有种坐法.【答案】5040【分析】根据圆桌的特点，没有首尾之分，因此要固定一人位置，再排其余7人，求出答案．【详解】围桌而坐与坐成一排不同，围桌而坐没有首尾之分，因此固定一人并从此位置把圆形展成直线，则其余7人共有(8-1)！=7！=5040(种)排法.故答案为：504012.有10个人围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法？【答案】362880种【分析】分析可知，要求的圆排列数，只需要求出全排列数，再除以10就可以了，即可得解.【详解】将10个人进行编号为1~10，按照一定的顺序站成一圈，就形成了一个圆排列，分别以1、2、3、4、5、6、7、8、9、10号作为开头将这个圆排列打开，就可以得到10种排列：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10；⋯；10、1、2、3、4、5、6、7、8、9.这就是说，这个圆排列对应了10个排列，因此，要求的圆排列数，只需要求出全排列数，再除以10就可以了，即不同的坐法种数为A101010=362880种.考点07：多排问题直排策略13.8人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有排法.【答案】5760【详解】按照前排甲、乙，后排丙，其余5人的顺序考虑，共有A24A14A55=5760种，故填5760.14.6个女生其中有1个领唱和2个男生分成两排表演．(1)若每排4人，共有多少种不同的排法？(2)领唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？【答案】(1)40320种；(2)5760种.【分析】(1)从8人中选4人站在前排，另4人站在后排，再将前后排4人各自全排列，即得解；(2)除领唱外，从5个女生中选3人站在前排，另4人站在后排，再将前后排4人各自全排列，即得解.【详解】(1)要完成这件事分三步．第一步，从8人中选4人站在前排，另4人站在后排，共有C48种不同的排法；第二步，前排4人进行全排列，有A44种不同的排法；第三步，后排4人进行全排列，有A44种不同的排法．由分步乘法计数原理知，有C48A44A44=40320(种)不同的排法．(2)要完成这件事分三步．第一步，除领唱外，从5个女生中选3人站在前排，另4人站在后排，共有C35种不同的排法；第二步，前排4人进行全排列，有A44种不同的排法；第三步，后排4人进行全排列，有A44种不同的排法．有C35A44A44=5760(种)不同的排法．考点08：排列组合混合问题先选后排策略15.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有种不同的装法.【答案】240【分析】依据不均匀分组问题去求解即可解决.【详解】从5个球中选出2个，共有C25种方法，把选出的2个球看作一个元素，其他3个球各看作一个元素，再把4个不同的元素装入4个不同的盒内有A44种方法，所以共有C25A44=240种不同的装法.故答案为：24016.将5名实习教师分配到高二年级的3个班实习，每班至少一名，则不同的分配方案有种.【答案】150【分析】根据题意，分两种情况讨论：①将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，②将5名教师分成三组，一组3人，另两组都是1人，由组合数公式计算可得每种情况下的分配方案数目，由分类计数原理计算可得答案【详解】解：将5名老师分组，可分成三组，一组1人，另两组都是2人，则有C15⋅C24⋅C22⋅A33A22=90种分配方案，将5名教师分成三组，一组3人，另两组都是1人，则有C35⋅A33=60种分配方案．所以共有90+60=150种不同的分配方案，故答案为：150．考点09：小集团问题先整体局部策略17.用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数夹在1，5这两个奇数之间，这样的五位数有个.【答案】8【分析】依据特殊元素优先原则分步去完成即可.【详解】先把1，2，4，5当作一个小集团与3排列共有A22种排法，再排小集团内部共有A22×A22种排法，所以满足条件的五位数共有A22×A22×A22=8(个).故答案为：818.甲、乙、丙、丁4人坐成一排拍照，要求甲、乙两人位于丙的同侧，则共有种不同的坐法.【答案】16【分析】先排甲乙，再排丙，最后安排丁可得答案.【详解】先排甲乙，共有A22种方法，产生3个空位，要求甲、乙两人位于丙的同侧，故丙有2种选择，三人排好后，产生4个空位，故丁有4种选择，所以共有A22×2×4=16种不同的做法.故答案为：16.考点10：元素相同问题隔板策略19.有10个运动员名额分给7个班，每班至少一个名额，共有种分配方案.【答案】84【分析】以挡板法去求解即可.【详解】10个名额没有差别，把它们看成是10个圆圈排成一排，相邻圆圈之间形成9个空隙.在9个空隙中选6个空隙放入6个隔板，即可把圆圈(名额)分成7份，对应分给7个班级，即可达到题意要求.每一种插板的放置方法对应一种分法，共有C69=84种分法.故答案为：8420.某校高三年级有6个班，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．求这10个名额有多少种不同的分配方法．【答案】126(种)【分析】运用相同元素分组分配问题的解决方法依次分类讨论即可.【详解】除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：①4个名额全部分给某一个班，有C16种分法；②4个名额分给两个班，每班2个，有C26种分法；③4个名额分给两个班，其中一个班1个，一个班3个，共有A26种分法；④4个名额分给三个班，其中一个班2个，其余两个班每班1个，共有C16⋅C25种分法；⑤4个名额分给四个班，每班1个，共有C46种分法．故共有C16+C26+A26+C16⋅C25+C46=126(种)分配方法．考点11：正难则反总体淘汰策略21.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有．【答案】51【详解】从这10个数中取出3个不同的偶数的取法有C35种；取出1个偶数和2个不同奇数的取法有C15C25种．从这10个数中取出3个数，使其和为小于10的偶数，有如下9种不同取法：0,1,3，1,2,5，1,3,4．；0,1,5，0,3,5；0,2,6，1,2,3，0,2,4；0,1,7因此，符合题设要求的不同取法有C35+C15C25-9=51种．22.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有A.240种B.180种C.120种D.60种【答案】A【分析】首先确定取出一双同色手套的情况数；再求解出剩余2只手套的取法数；根据分步乘法计数原理可求得结果.【详解】取出的一双同色手套的颜色共有C 16=6种情况在剩余的5双手套中，取不同颜色的2只共有：C 110C 182=40种取法∴任取4只，恰好有一双同色的取法有：6×40=240种取法故选：A【点睛】本题考查组合计数问题的求解，涉及到分步乘法计数原理的应用；易错点是在取不同颜色的2只手套时，忽略无顺序的问题，造成情况重复.考点12：平均分组问题除法策略23.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种(数字作答)．【解析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有C 24C 12C 11A 23;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A 33所以满足条件得分配的方案有C 24C 12C 11A 22⋅A 33=36说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.24.有5名学生志愿者到2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为()A.10种B.20种C.30种D.40种【答案】C【分析】先将5名学生分成两组，再分配即可求解.【详解】将5名学生分成两组可以有两类，一组4人，一组1人，则有C 45A 22=10，一组3人，一组2人，则有C 35A 22=20，所以不同的安排方法为10+20=30种，故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键点是先分组后分配，5名学生分成两组，即一组4人，一组1人和一组3人，一组2人，再分配即可.考点13：合理分类与分步策略25.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有种选派方法(填数字).【答案】199【分析】求出既会唱歌又会跳舞的演员人数为3，然后对所选的既会唱歌又会跳舞的演员人数进行分类讨论，并对所选的既会唱歌又会跳舞的演员进行安排，结合组合计数原理与分类加法计数原理可得结果.【详解】设既会唱歌又会跳舞的演员人数为x ，则8+5-x =10，解得x =3，所以，只会唱歌的演员人数为5，只会跳舞的演员人数为2，①若既会唱歌又会跳舞的演员一个人都没选，则不同的选派方法种数为C25C22=10；②若既会唱歌又会跳舞的演员只选了1个人，则这个人要么唱歌，要么伴舞，此时，不同的选派方法种数为C13C15C22+C25C12=75；③若既会唱歌又会跳舞的演员选了2个人，则这2个人可以同时唱歌、同时伴舞或1人唱歌1人伴舞，此时，不同的选派方法种数为C23C25+C22+2C15C12=93；④若既会唱歌又会跳舞的演员全选，则这3个人有2人唱歌1人伴舞或2人伴舞1人唱歌，此时，不同的选派方法种数为C23C12+C23C15=21.综上所述，不同的选派方法种数为10+75+93+21=199.故答案为：199.26.3个大人和2个小孩乘船游玩，现有船3只，1号船最多装3人，2号船最多装2人，3号船最多装1人，可从中任选2只或3只船乘坐，但一只船上不能只有小孩，则有种不同的分乘方法.【答案】27【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理结合排列、组合列式计算作答.【详解】选2只船游玩，1号船坐2大人，1小孩有C23A22；1号船坐1大人，2小孩有C13，选3只船游玩，每只船各坐1大人，1号船坐1小孩有A33A22；每只船各坐1大人，1号船坐2小孩有A33，由分类加法计数原理得不同的分乘方法种数是：C23A22+C13+A33A22+A33=27.故答案为：27考点14：构造模型策略27.某排共有10个座位，安排4人就坐.若每人左右两边都有空位，则不同的坐法有种(用数字回答).【答案】120【分析】用插空法，6张空位放在那里，4人插到空位中间可得．【详解】由题意6张空位放在那里，4人插到空位中间的方法数为A45=120．故答案为：120．【点睛】本题考查排列的应用，解题方法是插空法．相当于不相邻问题．28.马路上有编号为1，2，3⋯，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【答案】10【分析】在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯即可得解.【详解】把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C35种方法，所以满足条件的关灯方案有10种．考点15：实际操作穷举策略29.同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有()A.6种B.8种C.9种D.12种【答案】C【分析】直接分类列举，再按照分类加法计数原理计算即可.【详解】设四张贺卡分别记为A、B、C、D，由题意，某人(不妨设A卡的供卡人)取卡的情况有3种，据此将卡的分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行，为了避免重复或遗漏，我们用“树状图”表示如下：∴共有9种不同的分配方式.故选：C.30.某校本学期迎来了某师范大学数学系甲、乙、丙、丁共4名实习教师，若将这4名实习教师分配到高一年级编号为1，2，3，4的4个班级实习，每班安排1名实习教师，且甲教师要安排在1班或2班，则不同的分配方案有A.6种B.9种C.12种D.24种【答案】C【详解】试题分析：根据题意，分2步进行分析：①由于甲教师要安排在1班或2班，则甲有2种情况可选，②将剩下的3人全排列、安排在其他三个班级，有A33=6种情况，则不同的分配方案有2×6=12种；故选C．考点：排列、组合的实际应用．考点16：分解与合成策略31.30030能被个不同正偶数整除．【答案】32【分析】根据题意，先把30030分解成质因数，再结合计数原理即可求解.【详解】先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为C05+C15+C25+C35+C45+C55=32个．故答案为：32.32.一个集合有5个元素．(1)这个集合的含有3个元素的子集有多少个？(2)这个集合的子集共有多少个？【答案】(1)10，(2)32【分析】根据集合子集中的元素的不重复性，可以利用组合数公式求解【详解】解：(1)这个集合的含有3个元素的子集有C35=10个；(2)这个集合的子集包括有含有0个元素、1个元素、2个元素、3个元素、4个元素和5个元素，所以这个集合的子集共有C05+C15+C25+C35+C45+C55=25=32个，考点17：化归策略33.全民运动会开幕式上，25名运动员需要排列成5×5方队入场，现从中选三人，要求这三人既不在同一行也不在同一列，则不同的选法有种(用数字作答).【答案】600【分析】先从5列中选择3列，从某一列中任选一个人甲，从另一列中选一个与甲不同行的人，从剩下一列中选一个与甲、乙都不同行的丙，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】从5列中选择3列的选法种数为C35=10种，从某一列中任选一个人甲有5种结果，从另一列中选一个与甲不同行的人乙有4种结果，从剩下一列中选一个与甲、乙都不同行的丙有3种结果，根据分步乘法计数原理可知，共有10×5×4×3=600种.故答案为：600.34.16名社区志愿者组成4行4列的方阵，现从中选出2人，要求他们既不在同一行又不在同一列，则不同的选法种数为.【答案】72【分析】根据组合的定义，结合题意进行求解即可.【详解】从16人中选出2人，共有C216=16×152=120种选法，若选出的2人既不在同一行又不在同一列，则共有C216-2×4×C24=72种选法.故答案为：72.考点18：走楼梯问题(分类法与插空法相结合)35.某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从A处到达他所在的班级B处(所有楼道间是连通的)，则最短路程不同的走法数为()A.5B.10C.15D.21【答案】D【分析】利用组合数可求最短路程不同的走法数.【详解】从A到B共需走7步，其中横步(向右)有2步，竖直向上的有5步，故最短路程的不同走法数为C27=21．故选：D.【点睛】本题考查组合的应用，注意把实际问题转化为组合问题，本题属于基础题.36.小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。
解排列组合问题的技巧
解排列组合问题的技巧一、特殊元素和特殊位置——优先策略例1：由0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位，共有C；然后排首位，共有C最后排其它位置，共有A。
由分步计数原理得CCA=288.二、相邻问题——捆绑策略例2：7人站成一排，其中甲乙相邻，且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有AAA=480种不同的排法。
三、不相邻问题——插空策略例3：一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？解：分两步进行：第一步，排2个相声和3个独唱共有A种，第二步，将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间，包含首尾两个空位，共有A种不同的方法。
由分步计数原理，节目的不同顺序共有AA=43200种。
四、定序问题——倍缩空位插入策略例4：7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法？法1：倍缩法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：=840法2：空位法：设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有A=480种方法。
法3：插入法：先排甲乙丙三个人，共有1种排法，再把其余四人依次插入，共有4×5×6×7=840方法。
五、重排问题——求幂策略例5：把6名实习生分配到7个不同车间实习，共有多少种不同的分法？解：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推，由分步计数原理共有7=117649种不同的排法。
排列组合的10类模板题型
排列组合的十类模板题型一.特殊元素特殊位置优先法例1.(1) 5人从左到右站成一排，其中甲不站排头，有多少种不同的站法？ (2) 5人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的站法？解析：(1) （法一）1444A A （法二）5454A A -(2) （法一）①若甲站在排尾 44A ②若甲不站排尾 113333A A A共有78种（法二）间接法 5443544378A A A A --+=例2.南大医院有内科医生12名，外科医生8名，现派5人赴云南参加支边医疗队（1）某内科医生必须参加，某外科医生不能参加，问共有多少种选法？ （2）至少有1名内科医生和至少有一名外科医生参加，问共有多少种选法？二．相邻问题的捆绑法，不相邻问题的插空法例3. 7人站成一排照相，按下列要求，问有多少种不同的排法？（1）要求甲、乙、丙三人相邻（2）要求甲、乙、丙三人不相邻练习1．有3名女生和4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，问共有多少种不同的排法？2． 5位母亲带领5名儿童站成一排，要求儿童不相邻，母亲不站排头，问共有多少种不同的站法？例4. 马路上有编号1,2,3,…9的九只路灯，为节约用电，现要求关掉其中3盏，但不能同时关掉相邻的2只或3只，也不能关掉两端的路灯，问有多少种不同的关灯方式？三．定序问题用“除法”例5.① 5男3女排成一排，若女的顺序一定，则共有多少种不同的排法？② 5男3女排成一排，若男的顺序一定，则共有多少种不同的排法？③ 5男3女排成一排，若甲在乙前，则共有多少种不同的排法？④5男3女排成一排，若甲在乙、丙之间，则共有多少种不同的排法？四．分组、分配问题例6.将12本不同的书，按下列要求，共有多少种不同的分法？（1）分成3本一组，4本一组，5本一组（2）分成3组，每组4本（3）分成3本，3本，6本三组练习有6本不同的书，按下列要求，有多少种不同的方法？①分给甲乙丙三人，每人2本②分给甲乙丙三人，甲1本，乙2本，丙3本③分给甲乙丙三人，如果一人1本，一人2本，一人3本④分给4个人，其中两人各1本，两人各2本⑤分给甲乙丙三人，每人至少一本五．袜子（手套）问题例7.从5双不同的袜子中，（1）任取4只，有多少种不同的取法？（2）所取的4只，任意两只都不同号，有多少种不同的取法？（3）所取的4只，有一双同号的，有多少种不同的取法？（4）使至少有2只袜子同号，问有多少种不同的取法？六．多面手问题例8．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人既能当钳工，又能当车工，现从11人中选4人当车工，4人当钳工，问有多少种不同的选法？练习有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人只会既会划左舷，也会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人，平均分在左、右舷划船，问有多少种不同的选法？七．隔板法例9.将12个完全相同的小球，装入3个盒子中，不能有剩余，并且每个盒子至少装一个小球，有多少种装法？ 练习有10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，有多少种分法？八．错位排列问题例10. 有5人排成一排，重新站队时，各人都不站在原来的位置，问有多少种不同的站法？九．构造组合模型例11.从5×6方格中的顶点A 到顶点B 的最短路线有多少条？ 练习从一楼到二楼的楼梯有17阶，上楼梯时可以一步一阶，也可以一步两阶，若用11步走完这楼梯，则有多少种不同的走法？AB十．数字问题例12.用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数（1）可以组成多少个不同的奇数？（2）可以组成多少个不同的偶数？（3）可以组成多少个被5整除的数？（4）可以组成多少个被3整除的数？（5）大于31250的数字有多少个？。
排列组合方法技巧总汇
总结排列组合题型一．直接法1．特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =240 2．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252 二． 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432（个） 三． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A ⨯=100中插入方法。
四． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×44A =576练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（3324A C ）2． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（1928129A C ⋅）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列）五． 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
活用特殊元素、特殊位置法解题
即 ［［［［［口
ｆ
１ ２， ４、 、 ３、 ５
ｆ
１ ５ ３
（） 甲， ２只选 先填甲， ｃ种 ， 有 ： 再从除甲、 乙外的四个元
素中 个，在 下的３ 空 中， ： 则Ｎ Ｃ・ 选３ 填 剩 个 位 有Ａ种， ２ ： ＝ Ａ
＝
图３
７ ２；
（） ３只选乙，３ ：Ａ ：２ Ｎ＝ ・＝７ ； ｃ
听那悦耳 至极的剪纸声
想 起 月 光 下的 姥 姥
还 是 那 月光 下 的 话 语
无论何时 ， 无论何地 ， 只要忆及那 清清爽爽的剪 纸声 ， 我 ２“ ．一头老牛定定地站着 ，出神地望着一只欢蹦着远 去
的心境与梦境就立刻变得有声有色” 。） 的小兔子 ， 联结它们的是一片开阔的草地 。” 师： 如果 ， 让你给这幅剪纸取个名儿 ， 你会取什么名Ｊ ？ Ｌ ３ 学们 ， 同 姥姥寄给我 的剪纸 ， 想对我说什么呀？看到剪
（） ４选甲、 先填甲、 乙， 乙有 Ａ 种 ， ： 再填剩下 ２ 个空位， 有
第一步 ， 先从 １３５中选 １ 、、 个填末位 ， ｃ种 ； 有
第二步 ， 再从 １３ ５中剩下 的 ２个元 素 ， 、、 还有 ２ ４四个 ．
元素 中选 １ 个填首位 ， ｃ 种 ； 有
Ａ种， ； ： ２ ： 则Ｎ Ａ ・ ＝ ； ＝ Ａ ７
还是 那 慈祥 的 面 容 好那恬静的微笑 真 想
再一次回到姥姥身边
除的六位数？ 分析 ：１ 首位 、 （） 末位受 到条件限制 ． 元素 Ｏ ｌ３ ５受到 、 、．
条件 限制 。 进一步发现 ： 首位 、 末位可填元素的集合是真子集 关系 ， 因而， 从特殊位置人手（ 分步计数 原理 ） ： 首位 末位
（完整版）排列组合方法归纳
（完整版）排列组合⽅法归纳排列组合⽅法总结1、【特殊元素、特殊位置】优先法在排列、组合问题中，如果某些元素或位置有特殊要求，则⼀般需要优先满⾜要求。
例：有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为（）解析：五位奇数的末尾必须是奇数，还有⾸位不能为0，都应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置，先安排末位共有13C ；然后排⾸位共计有14C ；最后排其他位置共计有34A ；由分步计数原理得.288341413=A C C 2、【相邻问题】捆绑法题⽬中规定相邻的⼏个元素捆绑成⼀个组，当作⼀个⼤元素参与排列.例：,,,,A B C D E 五⼈并排站成⼀排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（）解析：把,A B 视为⼀⼈，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4⼈的全排列，4424A =种，3、【相离问题】插空法元素相离（即不相邻）问题，可先把⽆位置要求的⼏个元素全排列，再把规定的相离的⼏个元素插⼊上述⼏个元素的空位和两端.例：七⼈并排站成⼀⾏，如果甲⼄两⼈必须不相邻，那么不同的排法种数有（）解析：除甲⼄外，其余5个排列数为55A 种，再⽤甲⼄去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种 4、【选排问题】先选后排法从⼏类元素中取出符合题意的⼏个元素，再安排到⼀定的位置上，可⽤先选后排法.例：四个不同球放⼊编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有⼀个空盒的放法有多少种？解析：先取:四个球中选两个为⼀组(捆绑法)，其余两个球各⾃为⼀组的⽅法有24C 种，再排：在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有2344144C A =种. 5、【相同元素分配问题】隔板法将n 个相同的元素分成m 份(m,n 均为正整数)，每份⾄少⼀个元素，可以⽤ m-1块隔板插⼊n 个元素排成⼀排的n-1个空隙中，所有分法数为:11--m n C 。
例：（1）10个三好⽣名额分到7个班级，每个班级⾄少⼀个名额，有多少种不同分配⽅案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的⼩球分成7堆，每堆⾄少⼀个，可以在10个⼩球的9个空位中插⼊6块⽊板，每⼀种插法对应着⼀种分配⽅案故共有不同的分配⽅案为为6984C =种（2）5本不同的书，全部分给4个学⽣，每个学⽣⾄少⼀本，不同的分法种数为（）如果你希望成功，以恒⼼为良友，以经验为参谋，以⼩⼼为兄弟，以希望为哨兵6、【平均分组问题】消序法平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是⼀种情况，所以分组后⼀定要消除顺序（除以n n A ，n 为均分的组数），避免重复计数。
排列组合问题
排列、组合问题的解答策略一、特殊优先法对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，可以从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，在满足其他元素或位置。
1.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名中选2名安排在第二、四位置，共有多少不同的方法？2.将标号为1,2，-----，10的10个球放入标号为1,2，-----，10的10个盒子内，每盒放一个球，则恰有3个球的标号与盒子标号不一致的方法有多少种？3.1名老师，4名学生排成一排照相，若老师不在两端，则共有多少排法？4.安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人一天，其中甲、乙都不安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有多少种？二、合理分类、准确分步对于较复杂的排列、组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况进行合理分类、准确分步，一边有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生。
1.学校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C三门至多选一门，每人选修4门，共有多少不同选法？2.某天的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育，第一节不排体育，第六节不排数学，共有多少排法？3.从班委会5名成员中选出3名，分别担任学习委员、文娱委员、体育委员，其中甲、乙不担任文娱委员，有多少不同选法？4.从8名教师中派4人到四个不同地区支教，每地一人，其中甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，共有多少种不同的方案？三、选排问题先选后排法对于排列、组合的混合问题，易先用组合选出元素，再进形排列。
1.有5男3女，从中选5个担任5门学科代表，求符合下列条件的选法（1）有女生但人数少于男生；（2）某女生一定担任语文课代表；（3）某男生一定在内，但不担任数学科代表；（4）某女一定任语文课代表，某男一定任课代表，但不是数学。
2.在1,2,3,4,5组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的有多少个？3.已知集合A={5}，B={1,2}，C={1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素组成空间点的坐标，共得到多少不同的点？四、相邻问题的捆绑法对于某些元素要求相邻排列的问题，可将相邻元素捆绑并看做一个元素，再与其它元素进行排列，然后对相邻元素进行自排。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊
位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）．
特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置
C2 4
9
特殊元素（或位置）优先安排
例 将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车 不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上， 那么不同的停放方法有（ ）
（A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种
A 解： 4 4
A31
A31
A33
78
A55 2 A44 A33 78
练习题
1. 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种 葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里， 问有多少不同的种法？
例:七个同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的 排法共有多少种？
解法一：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2 位同学站在排头和排尾有A52种方法；第二步 从余下的5位 同学中选5位进行排列（全排列）有A55种方法 ，所以一共 有A52 A55 ＝2400种排列方法． 解法二：若甲站在排头有A66种方法；若乙站在排尾有A66 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有A55种方法．所 以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有 A77 － 2 A66 ＋ A55=2400种．
同时学，有几种选法？ （2）有两门特别的课，至少选
学其中的一门，有几种选法？
回目录
（1）有两门课时间冲突,不能 同时学，有几种选法？
解法一：
C2 4
C1 2
C1 4
14
解法二：
C2 6
1
14
回目录
（2）有两门特别的课，至少 选学其中的一门，有几种选法？
解法一：
C1 2
C1 4
C2 2
9
解法二：
C2 6
位置先分排析末法和位元共素有分_C_析31_法是解决排列组合问题最
常用然也后是排最基首本位的共方有法_C,_41若_ 以元素分析为主,需先 安主排,需最特先后殊满排元足素其特,它殊再位位处置置理的其共要它有求元_A_4素,3_再C.处若41 理以其位A它置43 位分置析。为C31 若有由多分个步约束计条数件原，理往得往C是31C考41虑A4一3 =个28约8束条件的
又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优
先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类； 1) 0排在末尾时，有 A24 个；
2) 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排
十位有 A12A13A13 个；
由分类计数原理，共有偶数 30 个.
回目录
学生要从六门课中选学两门： （1）有两门课时间冲突，不能
0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中， 不能被５整除的数共有P41 P42 + P41 P31 P4=2 192(个)．
小结：1、“在”与“不在”可以相互转化。 解决某些元素在某些位置上用“定位法”，解 决某些元素不在某些位置上一般用“间接法” 或转化为“在”的问题求解。
2、排列组合应用题极易出现“重”、“漏” 现象，而重”、“漏”错误常发生在该不该 分类、有无次序的问题上。为了更好地防 “重”堵“漏”，在做题时需认真分析自己 做题思路，也可改变解题角度，利用一题多 解核对答案
中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建
A 方案共有（1 4
A44
）种。
（4）(2005 ·全国II ·理)在由数字0，1，2，3， 4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能 被５整除的数共有__19_2__________个．
种解，：情不况能2被、5首整位除不的是有5两的种有情P况41 ：P情31 况P1种4、2 ，首故位在为由5有数字P41 P42
同时还要兼顾其它条件
回目录
解题技巧
“特殊元素、特殊位置优先安排法”
对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元 素，再考虑其它元素。
例2 用0，1，2，3，4这五个数，组成没 有重复数字的三位数，B其中偶数共有（ ）
A.24
B.30
C.40
D.60
分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，
回目录选择=结果汇报结束源自谢谢观看！ 欢迎提出您的宝贵意见！
A A2 5 1440 45
练习 （1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个 无重复数字的五位数？
A51 A54 600
（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重 复数字的五位奇数？
A31 A41 A43 288
（3）(2005 ·北京·文)五个工程队承建某项工程
的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其