第四章应力与应变关系ppt课件
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《应力与应变》课件
《应力与应变》PPT课件
目录
CONTENTS
• 应力概述 • 应变概述 • 应力与应变的关系 • 应力与应变的应用 • 实验与演示 • 总结与展望
01 应力概述
CHAPTER
定义与概念
定义
应力定义为物体内部单位面积上 所承受的力，用于描述物体受力 状态。
概念
应力是物体受力时内部各部分之 间的相互作用，是物体抵抗变形 和破坏的内在能力。
压缩实验
总结词
通过观察物体在压缩过程中的形变，了解应 力和应变的基本性质。
详细描述
压缩实验是应力与应变研究中另一种重要的 实验方法。在实验中，我们将物体的一端固 定，另一端施加逐渐增大的压力，使物体发 生压缩形变。通过测量压缩量，我们可以计 算出物体的应力和应变。通过观察和记录实 验数据，学生可以了解应力和应变的基本性
应力分类
按作用方式
可分为正应力和剪应力。正应力表示 垂直于受力面的力，剪应力表示与受 力面平行且垂直于切线方向的力。
按作用效果
可分为拉应力和压应力。拉应力表示 使物体拉伸的力，压应力表示使物体 压缩的力。
应力单位与表示方法
单位
应力的单位是帕斯卡（Pa），国际单位制中的基本单位。
表示方法
应力的表示方法通常采用符号“σ”或“σxx”（xx表示方向），例如正应力的 表示符号为σ或σxx，剪应力的表示符号为τ或τxy（xy表示剪切方向）。
进步。
谢谢
THANKS
压缩试验
测定材料的抗压强度、弹性模量等指 标，了解材料在受压状态下的性能表 现。
有限元分析
模型建立
根据实际结构或系统建立有限元 模型，将复杂结构离散化为有限
个单元。
加载与约束
目录
CONTENTS
• 应力概述 • 应变概述 • 应力与应变的关系 • 应力与应变的应用 • 实验与演示 • 总结与展望
01 应力概述
CHAPTER
定义与概念
定义
应力定义为物体内部单位面积上 所承受的力，用于描述物体受力 状态。
概念
应力是物体受力时内部各部分之 间的相互作用，是物体抵抗变形 和破坏的内在能力。
压缩实验
总结词
通过观察物体在压缩过程中的形变，了解应 力和应变的基本性质。
详细描述
压缩实验是应力与应变研究中另一种重要的 实验方法。在实验中，我们将物体的一端固 定，另一端施加逐渐增大的压力，使物体发 生压缩形变。通过测量压缩量，我们可以计 算出物体的应力和应变。通过观察和记录实 验数据，学生可以了解应力和应变的基本性
应力分类
按作用方式
可分为正应力和剪应力。正应力表示 垂直于受力面的力，剪应力表示与受 力面平行且垂直于切线方向的力。
按作用效果
可分为拉应力和压应力。拉应力表示 使物体拉伸的力，压应力表示使物体 压缩的力。
应力单位与表示方法
单位
应力的单位是帕斯卡（Pa），国际单位制中的基本单位。
表示方法
应力的表示方法通常采用符号“σ”或“σxx”（xx表示方向），例如正应力的 表示符号为σ或σxx，剪应力的表示符号为τ或τxy（xy表示剪切方向）。
进步。
谢谢
THANKS
压缩试验
测定材料的抗压强度、弹性模量等指 标，了解材料在受压状态下的性能表 现。
有限元分析
模型建立
根据实际结构或系统建立有限元 模型，将复杂结构离散化为有限
个单元。
加载与约束
应力应变概念PPT课件
当长方体伸长时，横向收缩：
y=－c/c
z= － b/b
横向变形系数（泊松比）：=| y / x| =| z / x |
则
y =－ x= － x/E z= － x/E
如果长方体在x y z的正应力作用下，虎克定律表 示为：
x=x/E－ y/E － z/E= [x－ （y＋ z ）] /E y=y/E－ x/E － y/E= [y－ （x＋ z ）] /E z=z/E－ x/E － y/E= [z－ （x＋ y ）] /E
层状硅酸盐
黑云母K(Mg,Fe)3(AlSi3O10)(OH)2 C11=C22=1.9 C33=0.5 白云母KAl2(AlSi3O10 )(OH)2 C11=C22=1.8 C33=0.6 金云母KMg3(AlSi3O10)(OH)2 C11=C22=1.8 C33=0.5 ×1012达因/厘米2
对在电子仪器中的所谓延迟线和标准频率器件十分重要， 因为它们寻求零温度系数材料。
温度补偿材料：一种异常的弹性性质材料（Tc是正 的），补偿一般材料的负Tc值.且压电偶合因子大。
MgO
Tc11=－2.3
SrTiO3 Tc11=－2.6
－SiO2 Tc11=－0.5
Tc44=－1.6
其中：Tc×10-4/oC
2. 应变
(u/y)dy y
(v/y)dy
B
B
dy
yx
C
C
xy
A
(v/x)dx
0
A
x
dx
(u/x)dx
XY面上的剪应变
已知：O点沿x,y,z方向的位移分量分别为u,v,w
（1）正应变
应变为：u/x ， 用偏微分表示 ： u/ x 在O点 处沿x方向的正应变 是： xx = u/x 同理： yy= v/y
应力与应变关系演示文稿
（D）称为弹性矩阵，将应力与应变的关系写成矩阵形式：
D
第8页，共35页。
各向异性效应
{ } [D]{} 或 {} [ A]{ }
式中：{}为应力列阵；{}为应变列阵；[D] 、[A]为弹性矩阵。
c11c12c13c14c15c16
c21c22
c23c24
c25c26
[D]
c31c32c33c34c35c36
物体的弹性都相同。该平面称为弹性对称面，一般有3个这样的弹性
对称面。
a11a12a13o o o
对于正交各向异性体，由于对称关
a21a22a23o o o
系（正应力分量只产生线应变，不产
a31a32a33o o o
生剪应变）。因此，弹性矩阵中的36 个弹性常数中，有24个为0，在剩下的 12个只有9个是独立的。
x y z yz zx 0
x y z yz zx 0
xy
由广义虎克定律：
xy
G
xy
xy
G
第24页，共35页。
各向同性体的广义虎克定律： （用应力分量表示应变分量）
x
1 E
[
x
( y
z )];
y
1 E
[
y
( z
x )];
z
1 E
[
z
( x
第16页，共35页。
现在来确定各向同性材料独立的弹性常数的个数，设所取的坐标 为三个主轴方向，由广义虎克定律可以得到：
1 C111 C12 2 C133 2 C211 C22 2 C233 3 C311 C32 2 C333
Cij 表示在j轴方向的单位主应变所引起在i轴方向的主应力。
应力与应变之间的关系_图文_图文
例7-5 已知一受力构件自由表面上某点处的
两主应变值为1=240×10-6，3=–160×10-6。 材料的弹性模量E =210GPa，泊松比 =0.3。 求该点处的主应力值数，并求另一应变2的
数值和方向。
解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：
即为平面应力状态，有
联立两式可解得：
主应变2为： 其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。
负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为 正，反之为负。
对应的六个应变分量，
正负号规定：正应变分量同前，拉为正、压为 负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。
对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下， 正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力 分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：
三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为：
应力与应变之间的关系_图文_图文.ppt
3）空间应力状态：
sy
dy
sx txy
tdxzxsttzyxtxyttsyzzzxtxyyttzzyyxstzxtdzxyzsx
对图示空间应力状态： 六个应力分量，
正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压
为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐
标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或
则可得： 同理可得： 对切应力分量与切应变的关系，有：
上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性 和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。
对平面应力状态：设sz=0，txz=0，tyz=0，有：
若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：
二向应力状态：
设
有
可见，即使s3 =0，但3 0
而且各向同性材料有
§10-5 广义胡克定律
《应力应变分析》课件
高分子材料
在高分子材料的制备、加工和使用过程中，应力应变分析有助于了解高
分子材料的力学性能和变化规律，优化高分子材料的应用。
03
复合材料
复合材料的性能取决于其组成材料的性能以及它们的组合方式，通过应
力应变分析可以深入了解复合材料的力学行为，为复合材料的优化设计
提供依据。
在机械工程中的应用
01
机械零件设计
实际应用展望
探讨如何将应力应变分析的理论 应用到实际问题中，如结构优化 设计，材料性能评估等。
持续学习计划
制定未来继续深入学习应力应变 分析的计划，如阅读相关文献， 参加学术交流等。
THANKS
谢谢
应力和应变的测量技术
应力的测量技术
机械式测量法
通过测量物体的形变量来计算应力，常用的仪器有杠杆式和弹性 式传感器。
光学式测量法
利用光学原理，通过观察物体的形变来计算应力，如光弹效应和 干涉法。
压电式测量法
利用压电材料的压电效应，将应力转换为电信号进行测量。
应变的测量技术
电阻应变片法
利用金属丝电阻随形变而变化的特性，将应变转换为 电阻变化进行测量。
有限元法适用于各种形状和边界条件的物体，特别是复杂形状和不规则形状的物体。
有限元法具有通用性强、精度较高、计算效率高等优点，是目前工程领域应用最广泛的应力分析方法。
实验法
01
实验法是通过实验手段测量物体的应力应变状态的方
法。
02
实验法通常需要使用各种传感器和测试设备对物体进
行实际加载和测量，以获得真实的应力应变数据。
在航空航天中的应用
飞行器设计
飞行器在飞行过程中会受到各种复杂载荷的作用，通过应力应变分析可以预测 飞行器在不同飞行状态下的应力分布和变形情况，为飞行器的优化设计提供依 据。
第四章 应力和应变的关系
121112111211xyxyyzyzzxzx第三节各向同性体中的弹性常数c沿二轴转动任何角度后的方向弹性关系相121112121112121112xyxyyzyzzxzx第三节各向同性体中的弹性常数当绕z轴转一角度第三节各向同性体中的弹性常数利用ijsinxy1211121144变换后有因此有由原式第常数中只有2个独立
σ = c ε + c (ε + ε ) y 11 y 12 x z σ z = c11ε z + c12 (ε x + ε y )
σ x = c11ε x + c12 (ε y + ε z )
τ = c 44 γ xy xy τ =c γ 44 yz yz τ zx = c 44 γ zx
= c 44 γ
= c 44 γ
xy
yz
τ
zx
= c 44 γ
zx
第三节 各向同性体中的弹性常数 当绕Z轴转一角度 α 时，即 x y
m1 = sin α
z ( z ')
z
n1 = 0 n2 = 0 n3 = 1
x
x'
y'
α
y
x′
y′
l1 = cos α
α
l2 = − sin α m2 = cos α l3 = 0 m3 = 0
c41 = c42 = c43 = 0 c51 = c52 = c53 = 0 c61 = c62 = c63 = 0 只能证9个数为0
第三节 各向同性体中的弹性常数 （2）沿任意两个相反的方向，弹性关系相同。 如只改变z轴方向，w和z的方向改变,则
γ yz
∂w ∂v = + = −γ yz′ ∂y ∂z
σ = c ε + c (ε + ε ) y 11 y 12 x z σ z = c11ε z + c12 (ε x + ε y )
σ x = c11ε x + c12 (ε y + ε z )
τ = c 44 γ xy xy τ =c γ 44 yz yz τ zx = c 44 γ zx
= c 44 γ
= c 44 γ
xy
yz
τ
zx
= c 44 γ
zx
第三节 各向同性体中的弹性常数 当绕Z轴转一角度 α 时，即 x y
m1 = sin α
z ( z ')
z
n1 = 0 n2 = 0 n3 = 1
x
x'
y'
α
y
x′
y′
l1 = cos α
α
l2 = − sin α m2 = cos α l3 = 0 m3 = 0
c41 = c42 = c43 = 0 c51 = c52 = c53 = 0 c61 = c62 = c63 = 0 只能证9个数为0
第三节 各向同性体中的弹性常数 （2）沿任意两个相反的方向，弹性关系相同。 如只改变z轴方向，w和z的方向改变,则
γ yz
∂w ∂v = + = −γ yz′ ∂y ∂z
弹性力学第四章应力应变PPT
根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式代入广义 胡克定律表达式(4-2)得
x C11x C12y C13z C14 yz C15xz C16xy y C21x C22y C23z C24 yz C25xz C26xy z C31x C32y C33z C34 yz C35xz C36xy yz C41x C42y C43z C44 yz C45xz C46xy xz C51x C52y C53z C54 yz C55xz C56xy xy C61x C62y C63z C64 yz C65xz C66xy
4
当变形较小时，可展开成泰勒级数， 并略去二阶以上的小量。
x (f1 ) 0 f x 1 0x f y 1 0y f z 1 0z f y 1 z 0y z f x 1 z 0x z f x 1 y 0xy y (f2 ) 0 fx 2 0x fy 2 0y fz 2 0z f y 2 z 0y z f x 2 z 0x z f x 2 y 0xy z (f3 ) 0 fx 3 0x fy 3 0y fz 3 0z f y 3 z 0y z f x 3 z 0x z f x 3 y 0xy
等温过程：利用热力学第二定律
x v F x , y v F y , z v F z , x y v x F ,y y z v F y,z x z v F xz
9
统一的形式：
x v x , y v y , z v z , x y v x ,y y z v y,z x z v x z
5
由没有初应力的基本假设，上式可表示为
x C 1x 1 C 1y 2 C 1z 3 C 1y 4 z C 1x 5 z C 1x 6 y y C 2x 1 C 2y 2 C 2z 3 C 2y 4 z C 2x 5 z C 2x 6 y z C 3x 1 C 3y 2 C 3z 3 C 3y 4 z C 3x 5 z C 3x 6 y
x C11x C12y C13z C14 yz C15xz C16xy y C21x C22y C23z C24 yz C25xz C26xy z C31x C32y C33z C34 yz C35xz C36xy yz C41x C42y C43z C44 yz C45xz C46xy xz C51x C52y C53z C54 yz C55xz C56xy xy C61x C62y C63z C64 yz C65xz C66xy
4
当变形较小时，可展开成泰勒级数， 并略去二阶以上的小量。
x (f1 ) 0 f x 1 0x f y 1 0y f z 1 0z f y 1 z 0y z f x 1 z 0x z f x 1 y 0xy y (f2 ) 0 fx 2 0x fy 2 0y fz 2 0z f y 2 z 0y z f x 2 z 0x z f x 2 y 0xy z (f3 ) 0 fx 3 0x fy 3 0y fz 3 0z f y 3 z 0y z f x 3 z 0x z f x 3 y 0xy
等温过程：利用热力学第二定律
x v F x , y v F y , z v F z , x y v x F ,y y z v F y,z x z v F xz
9
统一的形式：
x v x , y v y , z v z , x y v x ,y y z v y,z x z v x z
5
由没有初应力的基本假设，上式可表示为
x C 1x 1 C 1y 2 C 1z 3 C 1y 4 z C 1x 5 z C 1x 6 y y C 2x 1 C 2y 2 C 2z 3 C 2y 4 z C 2x 5 z C 2x 6 y z C 3x 1 C 3y 2 C 3z 3 C 3y 4 z C 3x 5 z C 3x 6 y
应力分析和应变分析PPT讲稿
3.1.4 点的应力状态
• 现设斜面上的全应力为S，它在三个坐标轴方向的分
量分别为Sx，Sy，Sz，由于四面体QABC处于平衡状 态，由静力平衡条件由∑Fx = 0，∑Fy= 0，∑Fz = 0
即有：
•
SxdF –σxdFx – τyxdFy – τzxdFz = 0
•
SydF –σydFy – τxydFy – τzydFz = 0
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10
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现在您浏览的位置是第十一页，共四十八页。
2.体积力
• 体积力是与变形体内各质点的质量成正比的力，如重力、磁
力和惯性力等。
• 对于一般的塑性成形过程，由于体积力与加工中的面力比
较起来要小的多，在实际工程计算中一般可以忽略。
S2 2
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现在您浏览的位置是第二十六页，共四十八页。
• 综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该
点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量 来表示。
x y z xy yx yz zy zx xz
• 或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所截取的三个
应力分析和应变分析课件
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3.1 应力状态基本概念
• 金属塑性加工是金属与合金在外力作用下产生
塑性变形的过程，所以必须了解塑性加工中工 件所受的外力及其在工件内的应力和应变。本 章讲述变形工件内应力状态的分析及其表示方 法。这是塑性加工的力学基础。
2022/3/4
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现在您浏览的位置是第二十五页，共四十八页。
3.1.4 点的应力状态
弹性力学 第四章应力和应变的关系
vI t
x
x
t
y
y
t
z
z
t
yz
yz
t
xz
xz
t
xy
xy
t
若固定x,y,z的值，则得在dt时间内vI 的增量为，即在上式两边乘以dt
dvI xd x yd y zd z yzd yz xz d xz xyd xy
由于内能密度 vI 是状态的单值函数，dvI 必须是全微分，因此
所以
v
1 2
(
x
x
y y
zz
xy xy
xz xz
zy zy )
张量表示
v
1 2
ij
ij
弹性体应变能 V v dV V
§4－3 各向异性弹性体
（一）极端各向异性弹性体
理论具有36个弹性常数
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx
的值，根据无初始应力假设，( f1)0为0。均匀材料，函数 f1
对应变的一阶偏导数为常数。这是因为对物体内各点来说，
承受相同的应力，必产生相同的应变；反之，物体内各点
有相同的应变，必承受同样的应力。
经过上面的处理后，小变形情况就可简化为
广义胡克定律
x C11 x C12 y C13 z C14 xy C15 yz C16 xz y C21 x C22 y C23 z C24 xy C25 yz C26 xz z C31 x C32 y C33 z C34 xy C35 yz C36 xz xy C41 x C42 y C43 z C44 xy C45 yz C46 xz yz C51 x C52 y C53 z C54 xy C55 yz C56 xz xz C61 x C62 y C63 z C64 xy C65 yz C66 xz
工程弹塑性力学课件：第四章应力与应变的关系(肖)
1
弹性力学的基本方程
一、平衡方程 应力分量满足平衡方程：
x yx zx X 0
x y z
xy y zy Y 0
(1.67)
x y z
xz yz z Z 0
x y z
ij, j Fi 0
二、几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
xy
120
1 4
x
+
3 4
y
3 4
xy
x y
190 10-6 130 10-6
xy 577 10-6
1,2
x
y
2
（ x - y
2
）2 +（ xy
2
）2 =30 10-6
330 10-6
1=360 10-6，2 =-300 10-6
2
0
=
arctan(
xy x -
y
)
61。
0
0
30.5。 120.5。
(1.82)
应变与位移的关系→本构关系
材料力学中： x
E x
x
1 E
x
y
z
1 E
x
广义虎克定律： ①正应力→正应变，与剪应变无关
②剪应力→剪应变，与正应变无关
例：贴三角形应变花。
0 =190 10-6，60 =200 10-6，120 =300 10-6， 材料常数：E=206.8109 N / m2, 0.3。
2 y
z 2
2 z
y2
2 yz
yz
0
2 z
x2
弹性力学的基本方程
一、平衡方程 应力分量满足平衡方程：
x yx zx X 0
x y z
xy y zy Y 0
(1.67)
x y z
xz yz z Z 0
x y z
ij, j Fi 0
二、几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
xy
120
1 4
x
+
3 4
y
3 4
xy
x y
190 10-6 130 10-6
xy 577 10-6
1,2
x
y
2
（ x - y
2
）2 +（ xy
2
）2 =30 10-6
330 10-6
1=360 10-6，2 =-300 10-6
2
0
=
arctan(
xy x -
y
)
61。
0
0
30.5。 120.5。
(1.82)
应变与位移的关系→本构关系
材料力学中： x
E x
x
1 E
x
y
z
1 E
x
广义虎克定律： ①正应力→正应变，与剪应变无关
②剪应力→剪应变，与正应变无关
例：贴三角形应变花。
0 =190 10-6，60 =200 10-6，120 =300 10-6， 材料常数：E=206.8109 N / m2, 0.3。
2 y
z 2
2 z
y2
2 yz
yz
0
2 z
x2
应力与应变分析课件
03
边界元法
边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，适用于解决各种物理问
Байду номын сангаас
题。未来，边界元法将在更多领域得到应用，例如流体力学、电磁场等
问题。
考虑材料非线性的影响
材料非线性是指材料的应力-应变关系不是线性的，需要考虑 材料内部结构、相变等因素的影响。未来，研究人员将进一 步考虑材料非线性的影响，以更准确地预测材料的力学性能 。
解方程
通过加权残值法，求解方程中 的参数，使得残值的平方和最
小化。
05
应力与应变分析在工 程中的应用
结构优化设计
总结词
提高结构性能与稳定性
详细描述
应力与应变分析在结构优化设计中具有重要作用，通过分析可以评估结构的强 度、刚度和稳定性，发现潜在的薄弱环节，为结构设计和改进提供依据，从而 提高结构的性能与稳定性。
应力分类
根据作用力的来源和性质，应力 可以分为多种类型，如正应力、 剪应力、弯曲应力等。
应力与应变的关系
应力的作用
应力作用在物体上，会导致物体 内部发生形变，即应变。
应变分类
应变分为线应变和角应变，分别表 示物体形状和大小的改变。
弹性力学基本方程
描述应力与应变之间关系的方程， 如胡克定律（Hooke's law）。
应力应变关系。
04
应变分析的基本方法
直接方法
定义应变分量
根据物体的形状和受力情况，将物体分为多个小的单元，并定义 每个单元的应变分量。
建立方程
根据弹性力学方程和应变分量的定义，建立物体整体的应变方程。
解方程
根据方程的解，得到每个点的应变值。
最小二乘法
确定目标函数
《材料力学》课件7-4应力与应变间的关系
各向同性材料的体应变
体应变：单位体积的体积变化。
y 2
V a1 1 1 a2 1 2 a3 1 3
z 3
a1
a2
a3
x 1
1 2 3
a2 a2 2
1 2 1 2 3 E
平面纯剪状态 V V 小变形条件下，切应力不引 a1 1 1 a2 1 2 a3 1 3 a1a2 a3 a1a2 a3 1 1 2 3 a1a2 a3 0 起各向同性材料的体积改变 0 V 1 3 22a a1a aa a 3
20MPa
max 20MPa
min 20MPa
20MPa
1 40MPa
max
2 20MPa
1 3
2
3 20MPa
40 20 30MPa 2
2001年长安大学
一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为 钢,E=200GPa,ν=0.3.现测得圆轴表面上与轴线成450方 向的应变为ε=5.2×10-4,试求圆轴所承受的扭矩.
A. 不变 B. 增大 C. 减小 D. 无法判定
1 x x y z E
z
y
εx仅与正应力有关，而与切应力无关。 所以当切应力增大时，线应变不变。
x
2000年西安建筑科技大学
图示为某点的应力状态，其最大切应力 30 τmax=_____MPa.
40MPa
E
+
1
2
E
+
1
3
E
1 1 1 2 3 E
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上式作为虎克定律在复杂受力情况下的一个推广， 因此称为广义虎克定律。式中系数Cmn (m,n 1,是2, ,6) 物质弹性性质的表征，由均匀性假设可知这些弹性性 质与点的位置无关，称为弹性常数。上式也可以写成 矩阵形式
广义虎克定律
x
y
C11 C21
C12 C22
C13 C23
C14 C24
各向同性体的广义虎克定律 如果物体是各向同性的，则在任何方向上弹性性质相 同，因此在各个方向上应力与应变关系相同。 下面来证明对于各向同性体，只有两个独立的弹性常 数。 （一）首先证明弹性状态下，主应力和主应变方向重合。
图4-2 应变主轴
数G称剪切弹性模量
广义虎克定律 在空间应力状态下，描述一点应力状态需6个应力分量 ，与之相应的应变状态也要用6个应变分量来表示。它 们之间存在一定关系。假设应力是应变的函数，分量形 式表示为：
x f1( x , y , z , yz , zx , xy )
y
f2
(
x
,
y
,
z
,
yz
,
zx
,
xy
要化使，它强增化加阶变段形中必的须最增高加点拉D所力对，应这的种现称象D为称强为度材极料限的。强
广义虎克定律--应力应变曲线 (四)局部变形阶段——DG段
过了D点以后，在局部范围内，横截面急剧缩小，继 续伸长需要拉力相应减小，到G点处，试件被拉断。
在纯剪应力作用时，与xy 也xy成正比， xy， 比G例xy系
广义虎克定律--应力应变曲线 在常温、静载情况下，由材料拉伸试件可得到 应力与应变关系曲线。不同材料得到的应力应变曲 线不同。图4-1给出低碳钢应力应变曲线。从图中 可看出，该曲线大致可分为四个阶段：
图4-1 某材料应力与应变关系曲线
广义虎克定律--应力应变曲线
(一)弹性阶段——OB段
，为即直在变线此形，段完 说内全 明，消 当撤失去。外通力时常时，为(A，,称将成)为沿B线弹O性(性B关,线极系恢限) 即复。回而原OA点段O
对 ，可x 得：
x
(
f1 )0
( f1
x
)0 x
( f1
y
)0 y
( f1
z
)0 z
( f1
yz
)0
yz
( f1
zx
)0
zx
( f1
xy
)0
xy
广义虎克定律 展开系数表示函数在其对应变分量一阶导数在应变分 量等于零时的值，而 实( f1际)0 上代表初应力，由于无初应 力假设 等于( f1零)0 。 其它分量类推，那么在小变形情况下应力与应变关系 式简化为：
x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 zx C16 xy
y
C21 x
C22 y
C23 z
C24 yz
C25 zx
C26 xy
z yz
C31 x C41 x
C32 y C42 y
C33 z C43 z
C34 yz C44 yz
C35 zx C45 zx
(4-1)
E
广义虎克定律--应力应变曲线
其中E是与材料有关的弹性常数，通常称为弹性模
量，E的量纲与 相同，一般用GN/m2。 则A称为比
例极限，上式即为虎克定律的数学表达式。
A点与B点非常接近，工程上弹性极限 B和比例极限 并A 不严格区分。这种情况下，横向应变 与' 轴向应
变 绝对值之比一般是常数，即
'
（4-2）
称为横向变形系数或泊松比。
广义虎克定律--应力应变曲线
(二)屈服阶段——BC段
当 后，B出现应变增加很快，而应力在很小范围
内波动的阶段。这种应力变化不大，而应变显著增加的
现象称屈服或流动，屈服阶段的最低应力 称屈 服S 极限
。
(三)强化阶段——CD段
过了屈服阶段以后，材料又恢复了抵抗变形的能力，
)
z f3 ( x , y , z , yz , zx , xy )
yz
f
4
(
x
,
y
,
z
,
yz
,
zx
,ห้องสมุดไป่ตู้
xy
)
zx
f5
(
x
,
y
,
z
,
yz
,
zx
,
xy
)
xy f6 ( x , y , z , yz , zx , xy )
（4-3a）
广义虎克定律
在小变形条件下，应变分量都是微量，(a)式在应变 为零附近做Taylor展开后，忽略2阶以上的微量，例如
第四章应力与应变关系
第四章 应力与应变关系
4.1 广义虎克定律 4.2 工程弹性常数及相互间关系式 4.3 简单和复杂应力状态下弹性应变能和应变能密度 4.4 能量密度与能通量密度
应力与应变关系
在前几章中，从静力学、动力学和几何学的观点分 别研究了应力和应变。前面知道联结应力分量(6个)与 位移分量(3个)有3个方程，联结应变分量(6个)与位移 分量(3个)有6个方程，15个未知数9个方程，还需要6 个方程才能求解弹性动力学问题。
C15 C25
C16 C26
x y
z
yz
CC3411
C32 C42
C33 C43
C34 C44
C35 C45
C36 C46
z yz
zx
C51
C52
C53
C54
C55
C56
zx
xy C61 C62 C63 C64 C65 C66 xy
(4-4)
可以证明对各向异性体，由于应变能存在，也只有 21个弹性常数独立，对各向同性体，只有两个弹性常 数独立。
C36 xy C46 xy
（4-3b）
zx
C51 x
C52 y
C53 z
C54 yz
C55 zx
C56 xy
xy C61 x C62 y C63 z C64 yz C65 zx C66 xy
广义虎克定律
上式表明在弹性体内，任一点的每一应力分量都是 6个应变分量的线性函数，反之亦然。简单拉伸实验已 指出在弹性极限以内，应力与应变呈线性关系，与上 式一致。
X
x
yx
y
zx
z
X
2u
t 2
xy
x
y
y
zy
z
Y
2v t 2
xz
x
yz
y
z
z
Z
2w t 2
平衡运动微分方程
应力与应变关系
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w
x
几何方程
应力与应变关系
要解决弹性动力学问题，还要研究应力与应变的关 系，这种关系通常被称为物理方程或本构方程。即还 需要补充应力与应变关系(6个方程)。应力与应变的关 系反映物质固有的物理特性，应力分量与应变分量的 一一对应关系，在线性弹性范围内，便是广义虎克定 律。
广义虎克定律
x
y
C11 C21
C12 C22
C13 C23
C14 C24
各向同性体的广义虎克定律 如果物体是各向同性的，则在任何方向上弹性性质相 同，因此在各个方向上应力与应变关系相同。 下面来证明对于各向同性体，只有两个独立的弹性常 数。 （一）首先证明弹性状态下，主应力和主应变方向重合。
图4-2 应变主轴
数G称剪切弹性模量
广义虎克定律 在空间应力状态下，描述一点应力状态需6个应力分量 ，与之相应的应变状态也要用6个应变分量来表示。它 们之间存在一定关系。假设应力是应变的函数，分量形 式表示为：
x f1( x , y , z , yz , zx , xy )
y
f2
(
x
,
y
,
z
,
yz
,
zx
,
xy
要化使，它强增化加阶变段形中必的须最增高加点拉D所力对，应这的种现称象D为称强为度材极料限的。强
广义虎克定律--应力应变曲线 (四)局部变形阶段——DG段
过了D点以后，在局部范围内，横截面急剧缩小，继 续伸长需要拉力相应减小，到G点处，试件被拉断。
在纯剪应力作用时，与xy 也xy成正比， xy， 比G例xy系
广义虎克定律--应力应变曲线 在常温、静载情况下，由材料拉伸试件可得到 应力与应变关系曲线。不同材料得到的应力应变曲 线不同。图4-1给出低碳钢应力应变曲线。从图中 可看出，该曲线大致可分为四个阶段：
图4-1 某材料应力与应变关系曲线
广义虎克定律--应力应变曲线
(一)弹性阶段——OB段
，为即直在变线此形，段完 说内全 明，消 当撤失去。外通力时常时，为(A，,称将成)为沿B线弹O性(性B关,线极系恢限) 即复。回而原OA点段O
对 ，可x 得：
x
(
f1 )0
( f1
x
)0 x
( f1
y
)0 y
( f1
z
)0 z
( f1
yz
)0
yz
( f1
zx
)0
zx
( f1
xy
)0
xy
广义虎克定律 展开系数表示函数在其对应变分量一阶导数在应变分 量等于零时的值，而 实( f1际)0 上代表初应力，由于无初应 力假设 等于( f1零)0 。 其它分量类推，那么在小变形情况下应力与应变关系 式简化为：
x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 zx C16 xy
y
C21 x
C22 y
C23 z
C24 yz
C25 zx
C26 xy
z yz
C31 x C41 x
C32 y C42 y
C33 z C43 z
C34 yz C44 yz
C35 zx C45 zx
(4-1)
E
广义虎克定律--应力应变曲线
其中E是与材料有关的弹性常数，通常称为弹性模
量，E的量纲与 相同，一般用GN/m2。 则A称为比
例极限，上式即为虎克定律的数学表达式。
A点与B点非常接近，工程上弹性极限 B和比例极限 并A 不严格区分。这种情况下，横向应变 与' 轴向应
变 绝对值之比一般是常数，即
'
（4-2）
称为横向变形系数或泊松比。
广义虎克定律--应力应变曲线
(二)屈服阶段——BC段
当 后，B出现应变增加很快，而应力在很小范围
内波动的阶段。这种应力变化不大，而应变显著增加的
现象称屈服或流动，屈服阶段的最低应力 称屈 服S 极限
。
(三)强化阶段——CD段
过了屈服阶段以后，材料又恢复了抵抗变形的能力，
)
z f3 ( x , y , z , yz , zx , xy )
yz
f
4
(
x
,
y
,
z
,
yz
,
zx
,ห้องสมุดไป่ตู้
xy
)
zx
f5
(
x
,
y
,
z
,
yz
,
zx
,
xy
)
xy f6 ( x , y , z , yz , zx , xy )
（4-3a）
广义虎克定律
在小变形条件下，应变分量都是微量，(a)式在应变 为零附近做Taylor展开后，忽略2阶以上的微量，例如
第四章应力与应变关系
第四章 应力与应变关系
4.1 广义虎克定律 4.2 工程弹性常数及相互间关系式 4.3 简单和复杂应力状态下弹性应变能和应变能密度 4.4 能量密度与能通量密度
应力与应变关系
在前几章中，从静力学、动力学和几何学的观点分 别研究了应力和应变。前面知道联结应力分量(6个)与 位移分量(3个)有3个方程，联结应变分量(6个)与位移 分量(3个)有6个方程，15个未知数9个方程，还需要6 个方程才能求解弹性动力学问题。
C15 C25
C16 C26
x y
z
yz
CC3411
C32 C42
C33 C43
C34 C44
C35 C45
C36 C46
z yz
zx
C51
C52
C53
C54
C55
C56
zx
xy C61 C62 C63 C64 C65 C66 xy
(4-4)
可以证明对各向异性体，由于应变能存在，也只有 21个弹性常数独立，对各向同性体，只有两个弹性常 数独立。
C36 xy C46 xy
（4-3b）
zx
C51 x
C52 y
C53 z
C54 yz
C55 zx
C56 xy
xy C61 x C62 y C63 z C64 yz C65 zx C66 xy
广义虎克定律
上式表明在弹性体内，任一点的每一应力分量都是 6个应变分量的线性函数，反之亦然。简单拉伸实验已 指出在弹性极限以内，应力与应变呈线性关系，与上 式一致。
X
x
yx
y
zx
z
X
2u
t 2
xy
x
y
y
zy
z
Y
2v t 2
xz
x
yz
y
z
z
Z
2w t 2
平衡运动微分方程
应力与应变关系
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w
x
几何方程
应力与应变关系
要解决弹性动力学问题，还要研究应力与应变的关 系，这种关系通常被称为物理方程或本构方程。即还 需要补充应力与应变关系(6个方程)。应力与应变的关 系反映物质固有的物理特性，应力分量与应变分量的 一一对应关系，在线性弹性范围内，便是广义虎克定 律。