全等三角形_探究题_(各种题型非常全)教学内容

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全等三角形探究题各种题型非常全

探究题讲练类型1.如图所示的4X4正方形网格中，/ 1 + Z 2+ / 3+ / 4+ / 5+Z 6+ / 7=( )A. 330°B. 315°C. 310°D. 320°2 .如图，AE丄AB且AE=AB , BC丄CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是( )A. 50B. 62C. 65D. 683.如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点P(4,4)处，两直角边与坐标轴交于点A和点B。

(1)求OA+OB的值；(2)将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA-OB的值；类型2.线段间的数量关系基础练习1 .在△ ABC中，/ ACB=90 ，AC=BC，直线MN经过点C,且AD丄MN于D，BE丄MN 于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：©△ ADC ◎△ CEB ; ® DE=AD+BE ;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ;(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.图1 圍2 图32. 将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中/ ACB= / DEB=90，/ A= / D=30°，点E落在AB 上, DE所在直线交AC所在直线于点F.(1)求证：AF+EF=DE ;(2)若将图①中的△ DBE绕点B按顺时针方向旋转角a且0°< *60° ,其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在(1 )中猜想的结论是否仍然成立；(3)若将图①中的△ DBE绕点B按顺时针方向旋转角B,且60°< B< 180°，其它条件不变，如图③•你认为(1)中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由.3. 如图〔，△ ABC的边BC在直线I上，AC丄BC,且AC=BC ; △ EFP的边FP也在直线I，边EF与边AC重合，且EF=FP .(1)在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；(2)将厶EFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ •猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3)将厶EFP沿直线I向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ.你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.例1.已知四边形ABCD 中，AB=BC，/ ABC=120，/ MBN=6°，/ MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交AD，DC (或它们的延长线)于E，F .(1)当/ MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1)，易证AE+CF=EF ；(2) 当/ MBN 绕B 点旋转到AE M CF 时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE ，CF ，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.例2.已知四边形 ABCD 中，AB 丄AD ，BC 丄CD ，AB=BC ，/ ADC=120 .将一块足够大的三角尺MNB 的30°角顶点与四边形顶点B 重合，当三角尺的30°角(/MBN )绕着点B 旋转时，它的两边分别交边 AD ，DC 所在直线于E ，F .(1)当/ MBN 绕B 点旋转到AE=CF 时(如题图1)，请直接写出AE ，CF ，EF 之间的(2) 当/MBN 绕B 点旋转到AE M CF 时(如题图2)，(1)中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE ，CF ，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由.(3) 当/MBN 绕B 点旋转到AE M CF 时(如题图3和题图4),请分别直接写出线段AE ， CF ，EF 之间的数量关系.图1图2例3.如图，在△ ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE丄GF,交AB于点E，连接EG .(1)求证：BG=CF ;(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论.练习.已知：△ ABC中，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED丄DF ,连接EF,求证：BE+FC >EF .例4. CD经过/ BCA顶点C的一条直线，CA=CB . E，F分别是直线CD上两点，且/(1)若直线CD经过/ BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若/ BCA=90，/ a =90°,则BE _____ CF ; EF __________ |BE-AF| (填> ”，或“=”;②如图2，若0°<Z BCA v 180°，请添加一个关于/ a与/ BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.(2)如图3，若直线CD经过/ BCA的外部，/ a= BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).例5 .如图①、②、③中，点E、D分别是正厶ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN 中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点.(1 )求图①中，/ APD 的度数7(2)图②中，/ APD 的度数为,图③中，/ APD 的度数为___________________________________________ 7 (3)根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正 n 边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能， 3 D 3 练习: 1. (1)已知: 如图①，在厶 AOB 和厶 COD 中，OA=OB , OC=OD , / AOB= / COD=60 , 求证：①AC=BD ;②/ APB=60度; (2)如图②，在△ AOB »△ COD 中，若 OA=OB ，OC=OD ，/ AOB= / COD a ，贝U AC 与BD 间的等量关系式为图③ ;ZAPB 的大小为 O 2.( 1)如图1，图2，图3，在△ ABC 中，分别以AB ，AC 为边，向△ ABC 外作正三角形，正四边形，正五边形，BE ，CD 相交于点O . ①如图1，求证：△ ABE ADC ; ②探究：如图1，Z BOC= ___________ ; 如图 2，Z BOC= ________________ ; 如图 3，Z BOC= ________________ ; (2)如图4，已知：AB ，AD 是以AB 为边向△ ABC 外所作正n 边形的一组邻边；AC ， AE 是以AC 为边向△ ABC 外所作正n 边形的一组邻边，BE ，CD 的延长相交于点O . ①猜想：如图4，/ BOC=36& n (用含n 的式子表示)；②根据图4,证明你的猜想.例6.如图所示，在△ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE // BC,如图①，然后将厶ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，1 i使DM= BD，EN= CE，得到图③，请解答下列问题：2 2(1 )若AB=AC，请探究下列数量关系:①在图②中，BD与CE的数量关系是_______________ ;②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、/ MAN与/ BAC的数量关系，并证明你的猜想；例7.如图，已知△ ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C点向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△ BPD与厶CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△ BPD与厶CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在厶ABC的哪条边上相遇？。

全等三角形专题讲解

CE O D B A 21C E D BA 全等三角形专题讲解专题一、全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种：1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”）2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS ”）3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ”）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知：如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．分析：由CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，得∠AEO=∠ADO=90º．由AO 平分∠BAC ，得∠EAO=∠DAO ．又AO 为公共边，所以△AEO ≌△ADO ．所以EO=DO ，AE=AD ．又∠BEO=∠CDO=90º， ∠BOE=∠COD ，所以△BOE ≌△COD ．由 AE=AD ，∠AEO=∠ADO=90º，∠BAC 为公共角，所以△EAC ≌DAO ．所以AB=AC ．又∠EAO=∠DAO ， AO 为公共边，所以△ABO ≌△ACO ．所以图中全等的三角形一共有4对．（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____．分析：要使△ABC ≌△ADE ，注意到∠1=∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，即∠BAC=∠EAC ．要使△ABC ≌△ADE ，根据SAS 可知只需AC=AE即可；根据ASA 可知只需∠B=∠D ；根据AAS 可知只需∠C=∠E ．故可添加的条件是AC=AE 或∠B=∠D 或∠C=∠E ．2143C O B A GA B F D EC（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知：如图3，AB=AC ，∠1=∠2．求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO ，要证∠BAO=∠BCO ，只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．证明：连结BC ．因为AB=AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．因为∠1=∠2，所以∠ABC -∠1＝∠ACB -∠2．因为AB=AC ，BO=CO ，AO=AO ，所以△ABO ≌△ACO ．所以∠BAO=∠CAO ，即AO 平分∠BAC ．（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．证明：过B 作BG ⊥BC 交CF 延长线于G ，所以BG ∥AC ．所以∠G=∠ACE ．因为AC ⊥BC ，CE ⊥AD ，所以∠ACE=∠ADC ．所以∠G=∠ADC ．因为AC=BC ，∠ACD ＝∠CBG=90º，所以图4△ACD ≌△CBG ．所以BG=CD=BD ．因为∠CBF=∠GBF=45º，BF=BF ，所以△GBF ≌△DBF ．所以∠G=∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案﹒(1)画出测量图案﹒O D A C B 43O E DC B A 21F ED A 21(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒(3)计算A 、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB ，这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第(3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：(1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB ，这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．(3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ．又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ．评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了学生用数学的意识﹒专题二角的平分线从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等例6 如图20，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ，BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．证法：∵AE ⊥OB ，BD ⊥OA ，∴∠ADC=∠BEC= 90． ∵∠1＝∠2，∴CD=CE ．在△ACD 和△BCE 中， ∠ADC=∠BEC ，CD=CE ，∠3＝∠4．∴△ACD ≌△BCE(ASA)，∴AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等，浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法，不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理，应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法．例7 已知：如图21，△ABC 中，BD=CD ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．图21A FH D C G B EA D CB EA F DC B E 在△BED 与△CFD 中，∠1＝∠2，∠BED ＝∠CFD ＝ 90，BD=CD ，∴△BED ≌△CFD(AAS)．∴DE ＝DF ，∴AD 平分∠BAC ．说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图22，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．求证：AE=ED ．分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E 是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．证明：过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，作EG ⊥BC ，垂足为G ，作EH ⊥CD ，垂足为H ．∵BE 平分∠ABC ，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，∴EF=EG ．同理EG =EH ．∴EF=EH ．∵AB ∥CD ，∴∠FAE=∠D ．∵EF ⊥AB ，EH ⊥CD ，∴∠AFE=∠DHE=90º．在△AFE 和△DHE 中，∠AFE=∠DHE ，EF=EH ，∠FAE=∠D ．∴△AFE ≌△DHE ．∴AE=ED ．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图23，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．证明：在AB 上截取AE=AC ，连接DE ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠CAD ．在△EAD 和△CAD 中，∠EAD=∠CAD ，AD=AD ，AE=AC ，∴△EAD ≌△CAD ．∴∠AED=∠C ，CD=DE ．∵∠C=2∠B ，∴∠AED=2∠B ．∵∠AED=∠B+∠EBD ，∴∠B=∠EDB ． ∴BE=ED ．∴BE=CD ．∵AB=AE+BE ，∴AB=AC+CD ．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例10 如图24，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F ，即可构造全等三角形．证明：延长CE 交AB 于点F ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAE=∠CAE ．∵CE ⊥AD ，∴∠FEA=∠CEA=90º．C EB A D 在△FEA 和△CEA 中，∠FAE=∠CAE ，AE=AE ，∠FEA=∠CEA ． ∴△FEA ≌△CEA ．∴∠ACE=∠AFE ．∵∠AFE=∠B+∠ECD ，∴∠ACE=∠B+∠ECD ．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形．因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形．。

2024-2025学年初中数学八年级上册(冀教版)教案第13章全等三角形

第十三章全等三角形13.1 命题与证明（1（2题教学反思例1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果a >b ，那么a 2>b 2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab <0，那么a >0，b <0. 教师引导，学生分析：可以先把原命题的条件和结论写出来，然后调换条件和结论即可得逆命题，最后判断真假性.教师提示：写逆命题并不是简简单单地把条件和结论互换即可，还要使命题的语句具有逻辑性. 解：（1）命题是真命题.逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．是真命题.（2）是假命题.逆命题为：如果a 2>b 2，那么a >b ，是假命题.（3）是真命题.逆命题为：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数，是真命题.（4）是假命题.逆命题为：如果a >0，b <0，那么ab <0.是真命题. 练习：请写出下列命题的逆命题，并指出原命题和逆命题的真假性：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.（3）如果一个数能被3整除，那么这个数也能被6整除. （4）已知两数a ,b .如果a +b >0，那么a -b <0. 学生独立完成，教师点评：（1）原命题是真命题，逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等.逆命题也为真命题.（2）原命题是真命题，逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角. 逆命题为假命题.（3）原命题是假命题，逆命题为：如果一个数能被6整除，那么这个数也能被3整除.逆命题为真命题.（4）原命题是假命题，逆命题为：如果a -b <0，那么a +b >0.逆命题为假命题. 2.证明教师提问：刚才你们是怎么判断一个命题是假命题的？学生：举反例推翻这个命题.教师：那怎么判断一个命题是真命题呢？也用举例吗？仅仅举几个例子足以说明它是真命题吗？命题有真命题，也有假命题，要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可；要说明一个命题是真命题，则需要进行推理论证，即证明.定义：要说明一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明. 例2 证明：平行于同一条直线的两条直线平行.已知：如图，直线a ，b ，c ，a ∥c ， b ∥c . 求证： a ∥b .证明：如图，作直线d ，分别与直线 a ，b ，c 相交∵ a ∥c (已知)，∴ ∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等). ∵ b ∥c (已知)，教学反思A BDCE∴ ∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等). ∴ ∠1＝∠3(等量代换). ∴ a ∥b (同位角相等，两直线平行). 即平行于同一条直线的两条直线平行.教师：通过这个题，如何做证明题？（学生讨论）证明的步骤：第一步：根据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言；第二步：根据条件、结论、图形写出已知、求证；第三步：根据基本事实、已有定理等进行证明.定义：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理.．练习：已知：如图，点O 在直线AB 上，OD ,OE 分别是BOC AOC ∠∠,的平分线. 求证：OD ⊥OE .学生独立完成，教师点评：证明：∵ 点O 在直线AB 上，∴ ∠AOC +∠BOC ＝180°(平角的定义）. ∵ OD ，OE 分别是∠AOC ，∠BOC 的平分线，∴ ∠DOC ＝21∠AOC ,∠EOC ＝ 21∠BOC （角平分线的定义）， ∴ ∠DOC +∠EOC ＝21（∠AOC +∠BOC ）＝21×180°＝90°.∴ OD ⊥OE .课堂练习1.命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b ”的逆命题是______________________．2.写出下列命题的逆命题：(1)如果两直线都和第三条直线垂直，那么这两直线平行； (2)若a ＋b >0，则a >0，b >0； (3)等腰三角形的两个底角相等．3.已知：如图，直线a ,b 被直线c 所截，∠1与∠2互补. 求证：a ∥b.参考答案1.如果3a ＝3b ，那么a ＝b.2.解： (1)如果两直线平行，那么这两直线都和第三条直线垂直.(2)若a >0，b >0，则a +b >0.(3)有两个角相等的三角形是等腰三角形．3.证明：∵ ∠1和∠3是对顶角，教学反思O∴ ∠1＝∠3.又∵ ∠1与∠2互补，∴ ∠1+∠2＝180°.∴ ∠2+∠3＝180°，∴ ∠1＝∠3（等角的补角相等）. ∴ a ∥b （同旁内角互补，两直线平行）.课堂小结（学生总结，教师点评） 1.互逆命题 2.证明证明的一般步骤：第一步，依据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言.第二步，根据图形写出已知、求证. 第三步，根据基本事实、已有定理等进行证明.布置作业完成教材第34页习题第1，2，3题.板书设计 13.1 命题与证明教学反思一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题.命题与证明互逆命题命题与证明要说明一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明.第十三章全等三角形13.2 全等图形教学目标1.理解全等图形，了解全等图形的对应点、对应边和对应角.2.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角.3.知道全等三角形的性质.教学重难点重点：了解全等图形的对应点、对应边和对应角；知道全等三角形的性质.难点：理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角.教学过程导入新课观察思考：（学生观察，教师引导）问题：如图，观察给出的五组图形.（1）每组图形中，两个图形的形状和大小各有怎样的关系？（2）先在半透明纸上画出同样大小的图形，再将每组中的一个图形叠放到另一个图形上，观察它们是否能够完全重合.（4）探究新知1.全等图形同桌两人合作完成，学生回答，教师评价.实验发现：(1)(2)(3)组中的两个图形能够完全重合，(4)(5)组中的两个图形不能完全重合．定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形.考考你对全等图形的理解：观察下面三组图形，它们是不是全等图形？（1）（2）（3）教师归纳：全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同.有关的概念：对应点当两个全等的图形重合时，互相重合的点叫对应点.如图，△ABC与△A′B′C′是两个全等三角形，点A和点A′,点B和点B′,点C和点C′分别是对应点.教学反思对应边当两个全等的图形重合时，互相重合的边叫对应边.如AB和A′B′,CB和C′B′,AC和A′C′.对应角当两个全等的图形重合时，互相重合的角叫对应角.如∠A和∠A′，∠B和∠B′, ∠C和∠C′.2.全等三角形全等的表示方法“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.如△ABC与△A′B′C′全等，记作△ABC≌△A′B′C′，读作三角形ABC全等于三角形A′B′C′.（教师提示：书写时应把对应顶点写在对应的位置上）3.全等三角形的性质根据以下几个问题归纳全等三角形有哪些性质？（教师引导，学生讨论）1.两个能够完全重合的线段有什么关系？2.两个能够完全重合的角有什么关系？3.两个全等三角形的对应边之间有什么关系？对应角之间有什么关系？师生共同归纳：全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的性质的几何语言：（学生完成填空）如图，∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝____，AC＝____，BC＝_____（全等三角形对应边_____），∠A＝_____，∠B＝_____，∠C＝_____（全等三角形对应角_____）.练习：如图1，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个全等三角形的对应角.教师引导，学生分析：找对对应点是解决此题的关键（△BOD与△COE中，B-C,D-E,O-O;△ADO与△AEO中A-A,D-E,O-O）解：△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE；△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.图1图2例已知：如图2，△ABC≌△DEF，∠A＝78°，∠B＝35°，BC＝18.(1)写出△ABC和△DEF的对应边和对应角.(2)求∠F的度数和边EF的长.（学生独立完成，教师评价）解：(1)边AB和边DE，边BC和边EF，边AC和边DF分别是对应边；教学反思AB CE DF∠A 和∠D ， ∠B 和∠DEF ， ∠ACB 和∠F 分别是对应角. (2)在△ABC 中，∵ ∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°(三角形内角和定理)， ∴ ∠ACB ＝180°-∠A -∠B ＝180°-78°-35°＝67°. ∵ △ABC ≌△DEF ，∴ ∠F ＝∠ACB ＝ 67°，EF ＝BC ＝18. 拓展：(1)全等三角形的对应元素相等．其中，对应元素包括对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、对应周长、对应面积等；(2)全等三角形的性质是证明线段相等、角相等的常用依据．课堂练习1.如图1，△ABC ≌△BAD ，如果AB ＝6 cm , BD ＝4 cm ，AD ＝5 cm ，那么BC 的长是( )A .7 cmB .5 cmC .4 cmD .无法确定2.如图2，△ABC ≌△ADE ，∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为( )A .40°B .35°C .30°D .25°3.如图3，已知△ABE ≌△ACD ，∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，下列选项不正确的是( ) A.AB ＝AC B.∠BAE ＝∠CAD C.BE ＝DC D.AD ＝CD4.如图4，△ABC ≌ △ADE ,若∠D ＝∠B ， ∠C ＝ ∠AED ，则∠DAE ＝__________.5.如图5，△ABC ≌△DEF ，且B ，C ，F ，E 在同一直线上，判断AC 与DF 的位置关系，并证明.参考答案1.B2. B3.D4.∠BAC5.解：AC ∥DF . 理由如下：∵ △ABC ≌△DEF ，∴ ∠ACB ＝∠DFE ， ∴ 180°-∠ACB ＝180°-∠DFE ，即∠ACF ＝∠DFC ，∴ AC ∥DF .教学反思A DB C A BC DE F图1 图2 图3 图4 AB C DE 图5课堂小结13.2全等图形布置作业完成教材第37页习题A组、B组.板书设计1.全等图形及相关的概念；2.全等三角形的表示方法及性质.教学反思全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形全等图形全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形的性质全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等第十三章全等三角形13.3 全等三角形的判定第1课时边边边教学目标1.进行三角形全等条件的探索，积累数学活动经验；2.掌握基本事实一，利用基本事实一证明两个三角形全等；3.会利用三角形全等证明线段相等、角相等.教学重难点重点：掌握基本事实一，利用基本事实一证明两个三角形全等；难点：会利用三角形全等证明线段相等、角相等.教学过程导入新课1.什么叫全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.2.如图，已知△ABC ≌△DEF①AB ＝DE，② BC ＝EF ，③CA ＝FD ；④∠A ＝∠D ， ⑤∠B ＝∠E ，⑥∠C ＝∠F .探究新知一、探究互动一思考1：满足上述六个条件可以保证△ABC ≌△DEF 吗？思考2：可以用较少的条件判定△ABC ≌△DEF 吗？在以上六个条件中，能否选择其中部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？教师引导，学生探究（小组合作）探究1 只给一个条件，可以分哪几种情况？能够判断两个三角形全等吗？两个三角形不全等；两个三角形不全等；结论：一个条件不能够判断两个三角形全等.探究2 只给两个条件.①两条边对应相等：若AB ＝DE ，AC ＝DF ,但两个三角形不全等；教学反思②一条边和一个角对应相等：若AB ＝DE ，∠A ＝ ∠D ，但两个三角形不全等；③两个角对应相等：若∠A ＝ ∠D ,∠C ＝ ∠AFE ，但两个三角形不全等.结论：两个条件也不能够判断两个三角形全等.探究3 给出三个条件.⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩①三角对应相等；②三边对应相等；三个条件③两边一角对应相等；④两角一边对应相等.问题有三个角对应相等的两个三角形全等吗？结论：不一定全等.小亮认为，剩下的三种情况才有可能判断两个三角形全等，你赞同他的说法吗？二、探究互动二——基本事实一问题1：准备一些长都是13 cm 的细铁丝.和同学一起，每人用一根铁丝，折成一个边长分别是3 cm ，4 cm ，6 cm 的三角形. 把你做出的三角形和同学做出的三角形进行比较，它们能重合吗?问题2：准备一些长都是13 cm 的细铁丝.和同学一起，每人用一根铁丝，余下 1 cm ，用其余部分折成边长分别是3 cm ，4 cm ，5 cm 的三角形. 再和同学做出的三角形进行比较，它们能重合吗? 小组互动，教师指导. 归纳：基本事实一：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等（可简记为“_______”或“_____”）.几何语言：如图，在△ABC 和△ DEF 中，,,,AB CA BC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝ ∴ △ABC ≌△ DEF （）.例1 如图1，已知点A ，D ，B ，F 在一条直线上，AC ＝FE ，BC ＝DE ，AD ＝FB .求证：△ABC ≌△FDE . 教师指导，学生分析：在两个三角形中分别找到对应的三条边，然后证明它们分别相等. 证明：∵ AD ＝FB ，∴ AD +DB ＝FB +DB ，即AB ＝FD .教学反思在△ABC 和△FDE 中，∵ ,,AC FE AB FD BC DE ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴ △ABC ≌△FDE (SSS ).图1 图2例2 如图2，已知：AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE . 求证：∠BAC ＝∠DAE .证明：在△ABD 和△ACE 中，∵ AB AC AD AE BD CE ＝，＝，＝，⎧⎪⎨⎪⎩∴ △ABD ≌△ACE (SSS)，∴ ∠BAD ＝∠CAE . ∴ ∠BAD ＋∠DAC ＝∠CAE ＋∠DAC ，即∠BAC ＝∠DAE .练习：1.如图，下列三角形中，与△ABC 全等的是_______.2.已知：如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝CE ．求证:(1)∠A ＝∠D ;(2)AB ∥DE . 学生独立完成，教师评价 1.③ 2.证明：（1） ∵ BF ＝CE ，∴ BF +FC ＝FC +CE ，即BC ＝EF .在△ABC 和△DEF 中， ∵,,AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴ △ABC ≌△DEF (SSS)， ∴ ∠A ＝∠D .（2）由（1）△ABC ≌△DEF ，可得∠B ＝∠E ，∴ AB ∥DE .三、三角形的稳定性问题1 问题2：观察右面两组木架，如果分别扭动它们，会得到怎样的结果？教学反思教师归纳：教学反思三角形的特性：三角形木架的形状_________，也就是说三角形是具有_____的图形.四边形的特性：四边形木架的形状_______，也就是说四边形是_________的图形.理解“稳定性”只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.想一想：在我们日常生活中，还有哪些地方运用到了三角形的稳定性？你能举出例子来吗？课堂练习1.如图1，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以判定( )A.△ABD≌△ACDB.△BDE≌△CDEC.△ABE≌△ACED.以上都不对2.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说法中正确的是( )A.稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的B.稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值C.稳定性和不稳定性均有利用价值D.以上说法都不对3.在生活中我们常常会看见如图2所示的情况加固电线杆，这是利用了三角形的________.4.如图3，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图4，D，F是线段BC上的两点，AB＝CE，AF＝DE，要使△ABF≌△ECD，还需要条件________ (填一个条件即可）.6.如图5，AD＝BC，AC＝BD.求证：∠C＝∠D .图1 图2 图3图4图5参考答案1.C2.C3.稳定性4.C5.BD＝CF(答案不唯一)如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”)内容解题思路应用边边边注意事项三角形的稳定性结合图形找隐含条件和现有条件，找出三边对应相等1.证明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.2.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中6.证明：连接AB（图略）,在△ABD和△BAC中，,,, AD BC BD AC AB BA ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABD≌△BAC(SSS)，∴∠D＝∠C.课堂小结1.基本事实一；2.基本事实一的应用；3.三角形的稳定性.布置作业完成教材第40页习题.板书设计13.3全等三角形的判定第1课时边边边教学反思第十三章全等三角形13.3 全等三角形的判定第2课时边角边教学目标教学反思1.探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”；2.会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用；3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件.教学重难点重点：会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用；难点：了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件.教学过程旧知回顾回顾基本事实一的内容.导入新课问题情境小明不小心将一块大脸猫的玻璃摔成了三块(如图所示)，为了配一块和原来完全一样的玻璃，他带哪一块玻璃就可以了? 你能替他解决这个难题吗? 带着问题我们还是一块儿来学习一下这节课的内容吧!探究新知观察思考：问题1：画一个三角形，使它的两条边长分别是1.5cm，2.5cm，并且使长为1. 5cm的这条边所对的角是30°.小明的画图过程如图所示.小明根据所给的条件，画出了两个形状不同的三角形，这说明两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等时，这两个三角形不一定全等．那么两边和它们的夹角对应相等，这两个三角形又将是怎样的呢?问题2：已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′.(1)将△ABC叠放在△A′B′C′上，使顶点B与顶点B′重合，边BC落在边B′C′上，点A与点A′在边B′C′的同侧．点C与点C′是否重合，边BC与边B′C′是否重合? 边BA 是否落在边B ′A ′上，点A 与点A ′是否重合? (2)由“两点确定一条直线”，能不能得到边AC 与边A ′C ′重合，△ABC 和△A ′B ′C ′全等？教师引导，学生自主探索. 归纳：基本事实二如果两个三角形的________和它们的______对应相等，那么这两个三角形全等.（可简写成“________”或“_____”）几何语言：在△ABC 和△ DEF 中， ____________AB A AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝，∠＝，＝， ∴ △ABC ≌△ DEF （______）．例已知：如图，AD ∥BC ，AD ＝CB . 求证：△ADC ≌△CBA . 教师引导，学生分析：由两条直线平行可得内错角相等，还有隐含条件AC是公共边，可由SAS 证得结论.证明：∵AD ∥BC (已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等).在△ADC 和△CBA 中，∵(),12(),(),AD CB AC CA ⎧⎪⎨⎪⎩＝已知∠＝∠已推出＝公共边 ∴△ADC ≌△CBA (SAS ).三角形全等在实际生活中也有很广泛的应用.下图是一种测量工具的示意图．其中AB ＝CD ，并且AB ,CD 的中点O 被固定在一起， AB ,CD 可以绕点O 张合.在图中，只要量出AC 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少．这是为什么？请把你的想法和同学进行交流．原理：SAS. 练习：在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：如图，在△AOB 和△DOC 中， AO ＝DO (已知)，______＝________( )，BO ＝CO (已知)，∴ △AOB ≌△DOC （）.学生独立完成，教师评价.答案：∠ AOB ∠ DOC 对顶角相等 SAS 课堂练习 1.如图，△ABC 中，已知AD 垂直于BC ，D 为BC 的中点，则下列结论不正确的是( ) A . △ABD ≌△ACD B . ∠B ＝∠CC . AD 是∠BAC 的平分线 D . △ABC 是等边三角形2.如果两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形( )A .一定全等B .一定不全等C .不一定全等D .面积相等 3.如图1，AB ，CD ，EF 交于点O ，且它们都被点O 平分，则图中共有______对全等教学反思内容应用边角边如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等.（简写成 “边角边”或“SAS ”)1.“SSA ”不能作为判断三角形全等的依据;2. 根据已知条件，找到图形中的隐含条件，如公共边，公共角，对顶角，邻补角，外角，平角等，证明三角形全等.三角形.图1 图2 4.如图2，△ABC 和△EFD 分别在线段AE 的两侧，点C ，D 在线段AE 上，AC ＝DE ，AB ∥EF ，AB ＝EF .求证：△ABC ≌△EFD .5.某大学计划为新生配备如图3所示的折叠凳，图4是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB 和CD 的长相等，O 是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD 设计为30 cm ，则由以上信息可推得CB 的长度是多少？参考答案 1.D 2.C 3.34.证明：∵ AB ∥EF ，∴ ∠A ＝∠E .在△ABC 和△EFD 中，,,,AC ED A E AB EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠＝∠＝∴ △ABC ≌△EFD （SAS ）.5.解：∵ O 是AB ，CD 的中点，∴ OA ＝OB ,OD ＝OC .∴ CB ＝AD .在△AOD 和△BOC 中，OA OB AOD BOC OD OC ⎧⎪⎨⎪⎩＝,∠＝∠，＝， ∴ △AOD ≌△BOC (SAS ). ∵ AD ＝30 cm ,∴ CB ＝AD ＝30 cm.课堂小结1.基本事实二；2.SAS 的应用. 布置作业完成教材第43页习题.板书设计 13.3 全等三角形的判定第2课时边角边教学反思第十三章全等三角形13.3 全等三角形的判定第3课时角边角、角角边教学目标1.分不同情况探索“两角一边”条件下两个三角形是否全等；2.掌握AAS 或ASA ，并会利用其证明两个三角形全等；3.会利用三角形全等证明线段相等、角相等.教学重难点重点：掌握AAS 或ASA ，并会利用其证明两个三角形全等；难点：分不同情况探索“两角一边”条件下两个三角形是否全等.教学过程导入新课探究新知1.角边角、角角边问题1：如图，在△ABC和△A ′B ′C ′中，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′.∠C ＝∠C ′.把△ABC 和△A ′B ′C ′叠放在一起，它们能够完全重合吗? 问题2：提出你的猜想，并试着说明理由.学生讨论会发现：将△ABC 叠放在△A ′B ′C ′上，使边BC 落在边B ′C ′上，顶点A 与顶点A ′在边B ′C ′的同侧．由BC ＝B ′C ′可得边BC 与边B ′C ′完全重合．因为∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′ ，∠B 的另一边BA 落在边B ′A ′上， ∠C 的另一边落在边C ′A ′上，所以∠B 与∠B ′完全重合， ∠C 与∠C ′完全重合．由于“两条直线相交只有一个交点”，所以点A 与点A ′重合.所以， △ABC 和△A ′B ′C ′全等. 归纳：基本事实三如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等.（可简写成“角边角”或“ASA ”）几何语言：如图，在△ABC 和△ DEF 中，∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，教学反思∴ △ABC ≌△ DEF （ASA ）．问题3：已知：如问题1中的图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中， ∠A ＝∠A ′， ∠B ＝ ∠B ′，BC ＝B ′C ′. 求证： △ABC ≌△A ′B ′C ′.教师引导，学生观察：可将∠A ＝∠A ′这个条件转化为∠C ＝∠C ′. 证明：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠ A ′ ＋∠ B ′ ＋∠ C ′ ＝180°(三角形内角和定理)，又∵ ∠A ＝∠A ′， ∠B ＝ ∠B ′(已知)， ∴ ∠C ＝∠C ′(等量代换).在△ABC 和△A ′B ′C ′中，,,,B B BC B C C C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩′′′′ ∴ △ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA ). 想一想：从中我们可以得到什么规律？归纳：全等三角形的判定定理如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.（可简写成“角角边”或“AAS ”）几何语言：在△ABC 和△ DEF 中，∠B ＝∠E ，∠A ＝∠D ，BC ＝EF ， ∴ △ABC ≌△ DEF （AAS ）．例已知：如图，AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，BC ∥EF . 求证：△ABC ≌△DEF .教师引导，学生分析.通过BC ∥EF ，可得∠ABC ＝∠E ，再根据等量代换可得AB ＝DE .证明：∵ AD ＝BE (已知)，∴ AB ＝DE (等式的性质). ∵ BC ∥EF (已知)， ∴∠ABC ＝∠E (两直线平行，同位角相等).在△ABC 和△DEF 中，,A FDE AB DE ABC E ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠∴ △ABC ≌△DEF (ASA ). 练习：1.如图1，已知△ABC 的三条边和三个角，则甲、乙两个三角形中和△ABC 全等的图形是( )A.甲B.乙C.甲、乙D.甲、乙都不是图1 图22.如图2，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点O ,AE ＝AD ，要使△ABE ≌△ACD ，根据“AAS ”需添加的一个条件是___________. 学生独立完成，教师评价.答案：1.B 2.∠B ＝∠C （答案不唯一）课堂练习1.在△ABC 与△A ′B ′C ′中，已知∠A ＝44°，∠B ＝67°，∠C ′＝69°，∠A ′教学反思＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形________________.2.如图1，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝________.图1 图23.如图2，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若BD＝2cm，CF＝4cm，则AB的长为( )A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm4.如图3，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：△ABC≌△ABD.5.已知：如图4，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2, 求证：AB＝AD.图3 图4参考答案1.全等2.33.C4.证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD.在△ABC和△ABD中，12,,, AB ABABC ABD ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠＝∠＝∠∴△ABC≌△ABD（ASA）. 5.证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90 °.在△ABC和△ADC中，12B DAC AC⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，∠＝∠，＝（公共边）,∴△ABC≌△ADC（AAS)，∴AB＝AD.课堂小结1.角边角、角角边的内容；2.利用角边角、角角边解决问题.布置作业完成教材第47页习题.教学反思板书设计13.3全等三角形的判定第3课时角边角、角角边教学反思角边角角角边内容应用如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成“ASA”)如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成“AAS”)注意“AAS”“ASA”中两角与边的区别第十三章全等三角形13.3 全等三角形的判定第4课时具有特殊位置关系的三角形全等教学目标1.会从图形变换的角度，认识两个可能全等的三角形的位置关系；2.会综合运用本节学过的基本事实及相关定理证明两个三角形全等.教学重难点重点：会从图形变换的角度，认识两个可能全等的三角形的位置关系；难点：会综合运用本节学过的基本事实及相关定理证明两个三角形全等. 教学过程导入新课1.图形的变换---平移、旋转；2.三角形全等的几个基本事实. 探究新知问题：如图，每组图形中的两个三角形都是全等三角形.观察每组中的两个三角形，请你说出其中一个三角形经过怎样的变换(平移或旋转)后，能够与另一个三角形重合.学生讨论会发现：（1）、（2）图通过平移重合；（3）、（4）、（5）、（6）通过旋转重合. 归纳：实际上，在我们遇到的两个全等三角形中，有些图形具有特殊的位置关系，即其中一个三角形是由另一个三角形经过平移或旋转(有时是两种变换) 得到的.发现两个三角形间的这种特殊关系，能够帮助我们找到命题证明的途径，较快地解决问题.例1 已知：如图，在△ABC 中， D 是BC 的中点，DE ∥AB，交AC 于点 E ，DF ∥AC ，交AB 于点F .求证：△BDF≌△DCE .教师引导，学生分析：将△BDF 沿BC 方向向右平移可使△BDF △DCE 重合. 证明：∵ D 是BC 的中点(已知)，∴ BD ＝DC (线段中点定义∵ DE ∥AB ，DF ∥AC ，(已知)∴ ∠B ＝∠EDC ，∠BDF ＝∠C ，(两直线平行，同位角相等)在△BDF 和△DCE 中，B EDC BD DC BDF C ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠，∴ △BDF ≌△DCE (ASA ).例2 已知：如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F . 求证：DE ＝FE .教师引导，学生分析：将△ADE 绕点E 旋转，可与△CFE 重合.证明：∵CF ∥AB (已知)，∴∠A ＝∠ECF (两直线平行，内错角相等). 在△EAD 和△ECF 中，教学反思,A ECF AE CE AED CEF ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠ ∴△EAD ≌△ECF (ASA ).∴DE ＝FE (全等三角形的对应边相等). 练习： 1.如图1，由∠1＝∠2，BC ＝DC ，AC ＝EC ，得△ABC ≌△EDC 的根据是( ) A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS图1 图2 2.已知：如图2，AB ∥CD ,AD ∥BC . 求证：AB ＝CD ,AD ＝BC .学生独立完成，教师评价.答案：1.A2.证明：连接AC （图略），∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAC ＝∠ACB.∵ AB ∥CD ，∴ ∠BAC ＝∠DCA. 在△BAC 和△DCA 中,BAC DCA AC CA BCA DAC ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠，∴ △BAC ≌△DCA ， ∴ AB ＝CD ,AD ＝BC . 课堂练习 1. 如图1，在△ABC 中，分别以AC ，BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE ，BD 交于点O ，则∠AOB 的度数为________．2.如图2，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC 与∠DFE 的度数和是( )A.60°B.90°C.120°D.150° 图1 图2 图3 图4 3.如图3，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB ＝AD ，BC ＝DC .将仪器上的点A与∠PR Q 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C画一条射线AE ，AE 就是∠PR Q 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC ，这样就有∠Q A E ＝∠P AE .则说明这两个三角形全等的依据是( )A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS4.如图4,AE ＝AC ,AB ＝AD ,∠EAB ＝∠CAD ,试说明:∠B ＝∠D.参考答案 1.120° 2.B 3.D 4.证明：∵ ∠ EAB ＝∠ CAD ，∴ ∠ EAB +∠ BAD ＝∠ CAD +∠ BAD ，即∠ EAD ＝∠ CAB .教学反思。

人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形》全章教案

12． 1 全等三角形教学目标： 1 了解全等形及全等三角形的的概念；2理解全等三角形的性质3在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉，4学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣重点：探究全等三角形的性质难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角教学过程：观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。

能够完全重合的两个图形叫做全等形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

“全等”用表示，读作“全等于”两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如ABC和 DEF 全等时，点 A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点，记作ABC DEF把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角思考：如上图， 12。

1-1 ABC DEF ，对应边有什么关系？对应角呢？全等三角形性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

思考：（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角BCACoOA DB DACDCBD AB（2）将ABC 沿直线BC平移，得到DEF ，说出你得到的结论，说明理由？ADB EC F（3）如图，ABE ACD , AB与AC，AD与AE是对应边，已知： A 43 , B 30 ，求ADC 的大小。

ADECB小结：作业： P33—1，2，312．2三角形全等的判定(1)教学目标①经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．②掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性．③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．教学难点三角形全等条件的探索过程．一、复习过程，引入新知多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．二、创设情境，提出问题根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢?组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳．三、建立模型，探索发现出示探究 1，先任意画一个△ ABC，再画一个△ A'B'C' ，使△ ABC与△ A'B'C' ，满足上述条件中的一个或两个．你画出的△ A'B'C' 与△ ABC一定全等吗 ?让学生按照下面给出的条件作出三角形．(1)三角形的两个角分别是 30°、 50°．(2)三角形的两条边分别是 4cm，6cm．(3)三角形的一个角为 30°，—条边为 3cm．再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．出示探究 2，先任意画出一个△ A'B'C' ，使 A'B' ＝AB，B'C' ＝BC，C'A' ＝CA，把画好的△ A'B'C' 剪下，放到△ ABC上，它们全等吗 ?让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A'B'C' ，并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等．四、应用新知，体验成功实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的．鼓励学生举出生活中的实例．给出例 l ，如下图△ ABC是一个钢架， AB＝AC，AD是连接点 A 与 BC中点D 的支架，求证△ ABD≌△ ACD．AB D C让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．例 2如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：①以 A 为圆心画弧，分别交角的两边于点 B 和点 C；②分别以点 B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点 D；③画射线 AD．AD就是∠ BAC的平分线．你能说明该画法正确的理由吗?例3 如图四边形 ABCD中， AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形 ABCD分成两个相互全等的三角形吗 ?你有几种方法 ?你能证明你的方法吗 ?试一试．A DB C五、巩固练习教科书第 37 页的思考及练习．六、反思小结回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．七、布置作业1．必做题：教科书第43 页习题 12．2 中的第 1、2 题．2．选做题：教科书第44 页第 9 题．12.2三角形全等的判定(2)教学目标①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力．②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．教学难点指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．知识重点应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等．教学过程（师生活动）一、创设情境，引入课题多媒体出示探究3：已知任意△ ABC，画△ A'B'C' ，使 A'B' ＝AB，A'C' ＝AC，∠A' ＝∠ A．教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的△A'B'C' ，剪下放在△ ABC 上，观察这两个三角形是否全等．二、交流对话，探求新知根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边．三、应用新知，体验成功出示例 2，如图，有—池塘，要测池塘两端A、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC并延长到 D，使 CD＝ CA，连接 BC并延长到E，使 CE＝CB．连接 DE，那么量出 DE的长就是 A、B 的距离，为什么 ?让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据．(若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析：要想证 AB＝DE，只需证△ ABC≌△ DEC△ABC与△ DEC全等的条件现有还需要)明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．补充例题：1、已知：如图 AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAEA求证：△ABD≌△ ACE B证明 : ∵∠ BAC=∠DAE（已知）CD E∠ BAC+ ∠ CAD= ∠ DAE+ ∠CAD∴∠ BAD=∠CAE在△ ABD与△ ACEAB=AC（已知）∠BAD= ∠CAE （已证）AD=AE（已知）∴△ ABD≌△ ACE（SAS)思考：求证： 1.BD=CE2.∠B=∠C3.∠ADB=∠AEC变式 1：已知：如图， AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE.BA求证：C⑴ △DAC≌△EAB1. BE=DCFMDE2.∠B= ∠ C3.∠ D= ∠ E4.BE⊥CD四、再次探究，释解疑惑出示探究 4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么 ?让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．教师演示：方法 ( 一) 教科书 39 页图 12.2-7 ．方法 (二)通过画图，让学生更直观地获得结论．五、巩固练习教科书第 39 页，练习 (1)(2)．六、小结提高1．判定三角形全等的方法；2．证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构．七、布置作业1．必做题：教科书第43 页，习题 12．2 第 3、4 题．2．选做题：教科书第44 页第 10 题．3．备选题：(1)小明做了一个如图所示的风筝，测得 DE＝DF，EH＝FH，你能发现哪些结沦 ? 并说明理由．(2)如图，∠ 1＝∠ 2，AB＝AD，AE＝AC，求证 BC＝DE．12.2三角形全等的判定(3)教学目标①探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等．②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．③敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难．教学重点理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”．教学难点探究出“ ASA”“AAS”以及它们的应用．教学过程（师生活动）创设情境复习：师：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些?生：“SSS”“SAS”师：那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否也可能全等呢 ?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。

第12章全等三角形-一边一角构造全等(教案)

-对应角的概念，即两个全等三角形中，角度相等的角是哪些。
-如何通过测量边长和角度来确定两个三角形是否满足SSS和SAS条件。
-应用全等三角形的性质解决实际问题：重点在于学生能够将全等三角形的性质应用于解决具体的几何问题，例如计算未知边长或角度。
2.教学难点
-理解全等三角形的判定过程：难点在于学生需要理解全等判定不是简单的图形比较，而是一个逻辑推理过程。以下是具体的难点细节：
-难以将全等三角形的性质灵活运用于不同的解题场景。
-在解决综合问题时，难以决定使用哪种全等判定方法。
在教学过程中，需要通过具体的例题、图形演示和实际操作，帮助学生明确重点，突破难点。教师应设计不同难度的练习题，从基础的概念巩固到综合应用题，逐步引导学生深入理解全等三角形的判定和应用。同时，应鼓励学生主动参与，通过小组讨论、上台演示等方式，提高他们对核心知识的掌握程度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调SSS和SAS这两个全等判定的重点。对于难点部分，比如对应边和对应角的识别，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用模型或纸片来构造全等三角形，从而演示全等的基本原理。
-难以区分SSS和SAS条件，特别是在实际应用中。
-难以理解全等判定中的“对应”概念，容易混淆哪些边和角是需要比较的。
-难以从给定的信息中识别出可用于全等判定的要素。
-在实际问题中识别和应用全等三角形：难点在于学生需要将理论知识和实际问题联系起来，以下为具体的难点：
-难以从复杂的实际问题中抽象出全等三角形的模型。

专题02 全等三角形(专题详解)(解析版)

专题02 全等三角形专题详解专题02 全等三角形专题详解 (1)12.1 全等三角形 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 全等形的概念及性质 (2)知识点2 全等形的定义和表示方法 (2)知识点3 全等三角形的性质与拓展 (2)知识点4 全等变换的保形性 (2)12.2三角形全等的判定 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 全等三角形判定条件 (3)二、典型题型 (4)题型1 全等三角形的判定 (4)三、添加辅助线方法 (5)方法1 关于中点的辅助线 (5)方法2 作垂线构造全等求点的坐标 (12)方法3 截长补短法（往往需证2次全等） (14)12.3角平分线的性质 (17)知识框架 (17)一、基础知识点 (17)知识点1 角平分线的性质 (17)知识点2 角平分线的判定 (17)知识点3 三角形的内心和旁心 (17)二、典型题型 (17)题型1 角平分线的性质和定义的应用 (17)题型2 三角形内心的应用 (18)三、添加辅助线方法 (20)方法1 角平分线上的点向两边作垂线 (20)方法2 过边上的点向两边作垂线 (22)方法3 过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形 (24)方法4 利用角平分线的性质，在角两边截长补短 (25)12.1 全等三角形知识框架一、基础知识点知识点1 全等形的概念及性质1）全等形：能够完全重合的两个图形2）全等形的性质：①形状相同；②大小相同注：①全等图形与其所在的位置无关（只要通过平移、旋转、翻折后能够使两个图形完成重合即可）。

对称图形要求更苛刻些。

②因两图形完全相等，故图形所有对应条件都相同（例：周长、面积、对应角角度等皆相等）知识点2 全等形的定义和表示方法1）全等三角形：能够完全重合的三角形（长得完全一样的三角形）2）表示方法：①△ABC≌△DEF（读作：三角形ABC全等于三角形DEF）②顶点需要一一对应（即长得一样的在描述中至于同等地位）③从书写中，我们根据一一对应的关系，可得：a.点A与点D为对应顶点，点B与点E为对应顶点，点C与点F为对应顶点；b.∠A与∠D为对应角，∠B与∠E为对应角，∠C与∠F为对应角；c.AB与DE为对应边，AC与DF为对应边，BC与EF为对应边。

《全等三角形》单元教学设计-精品教案(推荐)

全等三角形1课时
探索三角形全等的条件8课时
小结与思考2课时
第1课时教学设计（其他课时同）
课题全等图形
新授课章/单元复习课□专题复习课□
课型
习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□
1.教学内容分析
2.学习者分析
本节课是在学生掌握了三角形有关知识的基础上，重点研究了全等三角形的有关概念、表示方法及对
观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？
在课堂上观察学生对概念的理解程度，评价学生的掌握情况，通过问题的设置评价学生对概念的理解，通过课堂例题的解决过程评价学生的掌握，最后可以通过当堂训练的完成情况评价学生的学习情况。

6.学习活动设计教师活动
学生活动
环节一：（一）、创设情境，引入新课教师活动1
1、请同学们观察几组图片，这些图片有何特征？
学生活动1
通过观察我们发现，这些图形中有些是完全一样的，如果把它们叠在一起，它们就能重合.
通过设置有趣的生活图片，让学生通过观察、举例，对全等图形有一个感性认识。

学生发现每组图片能够完全重合在一起，进而得出全等图形的概念。

这样做不仅有利于激发学生的学习兴趣，而且让学生知道生活中的一些图形是全等图形。

环节二：（二）、探究新知，得出结论教师活动2
1、完成课本“议一议”。

观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？
学生活动2
1. 这两组图形都不是全等图形，全等图形的形状和大小都相同。

得出全等图形的两个基本特征。

2. 类比全等图形的特征得出全等三。

全等三角形_探究题_(各种题型非常全)

探究题讲练类型1．如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）A．330°B．315°C．310°D．320°2．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．50 B．62 C．65 D．683.如图，在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在点P(4,4)处,两直角边与坐标轴交于点A和点B。

（1）求OA+OB的值；（2）将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA-OB的值；类型2.线段间的数量关系基础练习1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．3.如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．例1.已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC （或它们的延长线）于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．：例2.已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ADC=120°．将一块足够大的三角尺MNB的30°角顶点与四边形顶点B重合，当三角尺的30°角（∠MBN）绕着点B旋转时，它的两边分别交边AD，DC所在直线于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如题图1），请直接写出AE，CF，EF之间的数量关系．（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图2），（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图3和题图4），请分别直接写出线段AE，CF，EF之间的数量关系．例3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．（1）求证：BG=CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．练习.已知：△ABC中，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：BE+FC＞EF．例4．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE ______CF；EF __________|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_________________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．例5．如图①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点．（1）求图①中，∠APD的度数______________；（2）图②中，∠APD的度数为______________，图③中，∠APD的度数为________________；（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．练习：1．（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为______________；∠APB的大小为______________；．（1）若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是____________；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；例7．如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？。

全等三角形讲义知识点+典型例题(完美打印版)

BPAa专题三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形：作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形：作图依据------ASA%③ 已知三边作三角形：作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .，【例2】作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a ，b ，c.'求作：△ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m ，n, ∠ .求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.…【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.@随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．3．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角#C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半%C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。

专题12.1 全等三角形(解析版)

专题12.1 全等三角形1.基本概念（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （注意对应的顶点写在对应的位置上）（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.【例题1】如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．求证：BD＝CE．【答案】见解析。

【解析】证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD．又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE（ASA）．∴BD＝CE．【点拨】在利用角边角判定该定理证明全等后，全等三角形对应边相等。

【例题2】已知，如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，BC∥EF．则不正确的等式是（）A．AC=DF B．AD=BE C．DF=EF D．BC=EF【答案】C．【解析】A．∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF，故此结论正确；B．∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE；∵DB是公共边，∴AB﹣BD=DE﹣BD，即AD=BE；故此结论正确；C．∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF，故此结论DF=EF错误；D．∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，故此结论正确。

【点拨】考查平行线性质，全等三角形对应边相等。

【例题3】如图，若△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠F=35°，则∠E等于（）A．35°B．45°C．60°D．100°【答案】D．【解析】∵△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠F=35°∴∠D=∠A=45°∴∠E=180°﹣∠D﹣∠F=100°．【点拨】全等三角形对应角相等。

专题01 全等三角形【考题猜想,35题12种题型】(解析版)

专题01 全等三角形（35题12种题型）一、全等图形的识别（共2小题）1．（2022秋·河南驻马店·八年级校考期中）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；B、两个图形能完全重合，属于全等图形，故此选项符合题意；C、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；D、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．2．（2022秋·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．③和④【答案】A【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：①、②和④都可以完全重合，因此全等的图形是①和②．故选：A．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．二、利用全等三角形求正方形网格中的角度之和（共2小题）3．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点∠-∠-∠的度数为（）．均为格点，则123A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】B【分析】根据网格特点，可得出190∠=o ，24∠∠=，3445∠+∠=o ，进而可求解．【详解】解：如图，则190∠=o ，24∠∠=，3445∠+∠=o ，∴123∠-∠-∠904545=-=o o o ，故选：B ．【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．4．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】B 【分析】首先利用SAS 定理判定△ABC ≌△DBE ，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB ，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．【详解】∵在△ABC 和△DBE 中AB BD A D AC ED ìï∠∠íïî＝＝＝，∴△ABC ≌△DBE （SAS ），∴∠3=∠ACB ，∵∠ACB+∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠2=45°∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，故选B ．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．三、全等三角形的识别（共2小题）5．（2022秋·四川乐山·八年级统考期中）已知ABC DEF ≌△△，且A ∠与D ∠是对应角，B ∠和E ∠是对应角，则下列说法中正确的是（）A ．AC 与DF 是对应边B ．AC 与DE 是对应边C ．AC 与EF 是对应边D ．不能确定AC 的对应边【答案】A【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案．【详解】解：A Q ∠与D ∠是对应角，B ∠和E ∠是对应角，C \∠和F ∠是对应角，AC \与DF 是对应边，故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．6．（2022秋·河南开封·八年级统考期末）下列说法中，正确的有（）①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等 ④若ABC DEF ≌△△，则A D ∠=∠，AB EF=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】根据全等的定义和性质判断即可．【详解】①形状大小都相同的两个图形是全等形，故①错误；②面积相等的两个图形不一定是全等形，故②错误；③全等三角形的周长相等，面积相等，是对的，故③正确；④若ABC DEF ≌△△，则A D ∠=∠，AB DE =，故④错误；故正确的有1个．故选：A【点睛】此题考查全等三角形的定义和性质，解题关键是掌握全等三角形的定义．四、全等三角形的性质（共3小题）7．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期中）如图，在ABC V 中，D ，E 分别是边AC ，BC 上的点，若ADB EDB EDC V V V ≌≌，则C ∠的度数为（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【答案】D 【分析】根据EDB EDC V V ≌，推出90,DEB DEC DBE DCE ∠=∠=°∠=∠，再由ADB EDB V V ≌，得到90,DAB DEB DBA DBE ∠=∠=°∠=∠，利用直角三角形中两个锐角互余即可得出.【详解】∵EDB EDC V V ≌，∠DEB +∠DEC =180°，∴90,DEB DEC DBE DCE ∠=∠=°∠=∠，又∵ADB EDB V V ≌，∴90,DAB DEB DBA DBE∠=∠=°∠=∠∴90DBA DBE DCE ∠+∠+∠=°，即30DBA DBE DCE ∠=∠=∠=°故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形两个锐角和等于90°，掌握全等的性质是解题的关键.8．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，若ABC ADE △△≌则下列结论中不成立的是（）A ．BAD CAE ∠=∠B ．BAD CDE ∠=∠C ．DA 平分BDE ∠D ．AC DE=【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质得出∠B ＝∠ADE ，∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AD ，∠E ＝∠C ，再逐个判断即可．【详解】解：A ．∵△ABC ≌△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC −∠DAC ＝∠DAE −∠DAC ，∴∠BAD ＝∠CAE ，故本选项不符合题意；B ．如图，∵△ABC ≌△ADE ，∴∠C ＝∠E ，∵∠AOE ＝∠DOC ，∠E ＋∠CAE ＋∠AOE ＝180°，∠C ＋∠COD ＋∠CDE ＝180°，∴∠CAE ＝∠CDE ，∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＝∠CDE ，故本选项不符合题意；C ．∵△ABC ≌△ADE ，∴∠B ＝∠ADE ，AB ＝AD ，∴∠B ＝∠BDA ，∴∠BDA ＝∠ADE ，∴AD 平分∠BDE ，故本选项不符合题意；D ．∵△ABC ≌△ADE ，∴BC ＝DE ，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．9．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则123∠+∠+∠的度数是（）A ．90oB ．120oC ．135oD ．180o【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理和三角形的外角可得123456360,578180°°∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=，即123360180°°∠+∠+∠=-．【详解】解：如图所示：∵图中是三个全等三角形，∴48,67∠=∠∠=∠,又∵三角形ABC 的外角和123456360°=∠+∠+∠+∠+∠+∠=，又578180°∠+∠+∠=，即564180∠+∠+∠=°，∴123360180018°°∠+∠+=∠=-°，故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形性质以及三角形的内角和定理，解题关键点：熟记全等三角形的性质．五、利用“SSS”证明两个三角形全等（共4小题）10．（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在AOB ∠的两边OA 、OB 上分别在取OC OD =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是AOB ∠的平分线．这里构造全等三角形的依据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可．【详解】解：由题意可知,OC OD MC MD==在OCM ODM △和△中OC OD OM OMMC MD =ìï=íï=î∴OCM ODM @△△(SSS )∴COM DOM∠=∠∴OM 就是AOB ∠的平分线故选：D【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．11．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）如图，通过尺规作图得到A O B AOB '''∠=∠的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA 【答案】A△△【分析】根据作图过程利用SSS可以证明OCD≌【详解】解：根据作图过程可知，14．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期中）如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=°，25B D ∠=∠=°，120EAB ∠=°，则EGF ∠的度数为（）A．120°B．135A．60°B．【答案】B【分析】先证△BAE ≌△CAD ，得出∠B=∠C，再证∠CFB=∠BAC=90°即可．【详解】解：∵AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，∴∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAE=∠CAD ，在△BAE 和△CAD 中，BA CA BAE CAD AE AD =ìï∠=∠íï=î,∴△BAE ≌△CAD ，∴∠B=∠C ，∵∠BGA=∠CGF ，∴∠CFB=∠BAC=90°,∴∠BFD =90°,故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是确定全等三角形并通过8字型导角求出度数．16．（2022秋·四川凉山·八年级统考期末）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CE ，BE ＝CF ，若∠A ＝50°，则∠DEF 的度数是（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】B 【分析】首先证明△DBE ≌△ECF ，进而得到∠EFC ＝∠DEB ，再根据三角形内角和计算出∠CFE ＋∠FEC 的度数，进而得到∠DEB ＋∠FEC 的度数，然后可算出∠DEF 的度数．【详解】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△DBE 和△ECF 中，BD CE B C BE CF =ìï∠=∠íï=î，∴△DBE ≌△ECF （SAS ），∴∠EFC ＝∠DEB ，∵∠A ＝50°，∴∠C ＝（180°−50°）÷2＝65°，∴∠CFE ＋∠FEC ＝180°−65°＝115°，∴∠DEB ＋∠FEC ＝115°，∴∠DEF ＝180°−115°＝65°，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和是180°．17．（2022秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，已知C D ∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③12∠=∠；④B E ∠∠=．其中能使ABC V ≌AED △的条件有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．【详解】解：①C D ∠∠=Q ，AC AD =，AB AE =，ABC \V 和AED △不一定全等，故①不符合题意；②C D ∠∠=Q ，AC AD =，BC DE =，ABC \V ≌()SAS AED V ，故②符合题意；③12∠∠=Q ，12EAB EAB ∠∠∠∠\+=+，CAB DAE ∠∠\=，C D ∠∠=Q ，AC AD =，ABC \V ≌()ASA AED V ，故③符合题意；④B E ∠∠=Q ，C D ∠=∠，AC AD =，ABC \V ≌()D AAS AE V ，故④符合题意；所以，增加上列条件，其中能使ABC V ≌AED △的条件有3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．七、利用“SSS”证明两个三角形全等（共3小题）A ．3cm 2B ．4cm 【答案】C 【分析】证△ABP ≌△EBP ，推出12S PBC S ABC D =D ，代入求出即可．∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠EBP ，∵AP ⊥BP ，∴∠APB ＝∠EPB ＝90°，在△ABP 和△EBP 中，∠ABP ＝∠EBPA ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAA【答案】C 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B ；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E 上；得∠A =∠D ，∵AC =DF ，∴∠ACB =∠DFE =90°，∴判定△ABC ≌△DFE 的理由是ASA ．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键．21．（2021秋·吉林长春·八年级统考期中）如图，在ABC V 中，过点A 作ABC ∠的平分线的垂线AD 交ABC V 内部于点P ，交边BC 于点D ，连结CP ，若ABP V ，CDP △的面积分别为4、2，则ABC V 的面积是（）A ．24B ．12C ．8D ．6【答案】B 【分析】根据ASA 可证ABP DBP @V V ，由全等的性质可得，AP DP =，即P 是AD 中点，由等底同高可得，DBP ABP S S =V V ，APC DPC S S =V V ，从而计算ABC ABP DBP APC DPC S S S S S =+++V V V V V ，故得出答案．【详解】由题可得：ABP DBP ∠=∠，BP AD ^，90BPA BPD \∠=∠=°，在ABP V 与DBP V 中，ABP DBP BP BPBPA BPD ∠=∠ìï=íï∠=∠î，()ABP DBP ASA \@V V ，AP DP \=，4DBP ABP S S \==V V ，2APC DPC S S ==V V ，442212ABC ABP DBP APC DPC S S S S S \=+++=+++=V V V V V ．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，求等底同高的面积，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．八、利用“AAS”证明两个三角形全等（共小题）A ．50B ．62【答案】A 【分析】由AE AB ^，EF FH ^，BG ^以证明EFA ABG @V V ，所以AF BG =，A ．30B ．32【答案】B 【分析】根据角的和差关系可得∠AEF =∠BAG ，利用可证明△CDH ≌△BCG ，可得CH =BG ，CG =DH 形EFHD -2S △ABC ，利用梯形和三角形面积公式即可得答案．24．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 是高，能直接判断ABD ACD @△△的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．HLD ．ASA【答案】C【分析】根据直角三角形的全等证明即可判断．【详解】证明：∵AD ⊥BC∴ABD △和ACD V 是直角三角形，∵AB AC =，AD =AD （公共边），所以ABD △≌ACD V （HL ）故选C【点睛】本题主要考查直角三角形的全等证明，掌握直角三角形的全等证明方法是解题的关键．25．（2023春·河北张家口·八年级统考期中）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，DB ＝DC ，DE AB ^，DF AC ^，垂足分别为E ，F ，DE ＝DF ．求证：Rt Rt DEB DFC ≌△△．以下是排乱的证明过程：①∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，②∴()Rt Rt DEB DFC HL ≌△△．③∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，④∵在Rt DEB △和Rt DFC △中，DB DC DE DF =ìí=î，证明步骤正确的顺序是（）A ．③→②→①→④B ．③→①→④→②C ．①→②→④→③D ．①→④→③→②【答案】B【分析】根据垂直定义得出∠BED =∠CFD =90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【详解】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED =∠CFD =90°，在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，BD CD DE DF =ìí=î，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC （HL ），即选项B 正确；选项A 、选项C 、选项D 都错误；故选：B ．【点睛】本题考查了垂直定义和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ．26．（2022·辽宁葫芦岛·八年级校考期中）如图，CA ⊥AB ，垂足为点A ，AB ＝12米，AC ＝6米，射线BM ⊥AB ，垂足为点B ，动点E 从A 点出发以2米/秒沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED ＝CB ，当点E 经过t 秒时，由点D 、E 、B 组成的三角形与△BCA 全等．请问t有几种情况？（）A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】D【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果．【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝6，∴BE＝6，∴AE＝12﹣6＝6，∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝6，∴BE＝6，∴AE＝12+6＝18，∴点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，∵AB＝12，∴BE＝12，∴AE＝12+12＝24，∴点E的运动时间为24÷2＝12（秒），综上所述t的值为：0，3，9，12．共4种情况．故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在于找到所有符合题意的情况．27．（2021秋·河北沧州·八年级统考期末）如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向DF的长度相等，则（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF．其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D 【分析】由已知条件判断两个直角三角形全等，根据全等三角形的性质逐一分析即可.【详解】解：由题意知90BAC EDF ∠=∠=o在Rt BAC V 和Rt EDF V 中：∵BC EF AC DF=ìí=î∴Rt BAC Rt EDF @△△(HL )∴AB DE =，ABC DEF∠=∠∴（1）、（3）正确∵+90DEF DFE ∠∠=o ，ABC DEF∠=∠∴+90ABC DFE ∠∠=o∴（2）正确故选：D【点睛】本题考查两个直角三角形全等的判定和性质，牢记相关的定理和性质内容是解题的关键．十、添加一个条件使两个三角形全等（共小题）28．（2023春·湖南衡阳·八年级校考期末）如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B =∠E ，BF =EC ，添加一个条件，不能判断△ABC ≌△DEF 的是（）A ．AB =DEB ．∠A =∠DC ．AC =DFD ．AC ∥FD【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．【详解】解：Q BF =EC ，BC EF\=A. 添加一个条件AB =DE ，又,BC EF B E=∠=∠Q ()ABC DEF SAS ∴△≌△故A 不符合题意；B. 添加一个条件∠A =∠D又,BC EF B E=∠=∠Q ()ABC DEF AAS \V V ≌故B 不符合题意；C. 添加一个条件AC =DF ，不能判断△ABC ≌△DEF ，故C 符合题意；D. 添加一个条件AC ∥FDACB EFD\∠=∠又,BC EF B E=∠=∠Q ()ABC DEF ASA \V V ≌故D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．29．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，点B 、E 在线段CD 上，若A DEF ∠=∠，则添加下列条件，不一定能使ABC EFD V V ≌的是（）A ．C D ∠=∠，AC DE=B ．BC DF =，AC DE =C ．ABC DFE ∠=∠，AC DE=D ．AC DE =，AB EF=【答案】B 【分析】利用三角形全等的判定方法进行分析即可．【详解】解：A ．添加∠C =∠D ，AC =DE 可利用ASA 判定△ABC ≌△EFD ，故此选项不合题意；B ．添加BC =FD ，AC =ED 不能判定△ABC ≌△EFD ，故此选项符合题意；C ．添加∠ABC =∠DFE ，AC =DE 可利用AAS 判定△ABC ≌△EFD ，故此选项不合题意；D ．添加AC =DE ，AB =EF 可利用SAS 判定△ABC ≌△EFD ，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS，直角三角形可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．十一、尺规作图与三角形全等（共3小题）故答案为：④．【点睛】本题考查了利用SSS 定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．31．（2021秋·浙江宁波·八年级统考期末）已知：两边及其夹角，线段a ，c ，a ∠．求作：ABC V ，使BC a =，AB c =，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．请你根据所学的知识，说明尺规作图作出ABC a ∠=∠，用到的是三角形全等判定定理中的______，作出的ABC V 是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的______．【答案】作图见解析；SSS ，SAS ．【分析】（1）首先根据一个角等于已知角的方法作∠B=∠α，再在角的两边分别截取BC=a ，AB=c ，再连接AC ；（2）根据三角形全等的判定定理可得．【详解】解：（1）如图所示：（2）尺规作图作出∠ABC=∠α，用到的是三角形全等判定定理中的SSS ，作出的△ABC 是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的SAS ．【点睛】本题主要考查用尺规作三角形，全等三角形的判定定理，关键是掌握作一个角等于已知角的方法以及全等三角形的判定方法．32．（2021秋·重庆梁平·八年级校联考期中）用尺规作图的方法，画出与下面△ABC 全等的△DEF （保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】分析根据SSS 画一个△DEF 与△ABC 全等即可．【详解】作法：作射线EM，在EM上截取线段EF，使EF=BC；分别以E点和F点为圆心，以BA、CA长为半径画弧，两弧相交于D点；连接ED，FD．则△DE F即为所求作的三角形．【点睛】本题主要考查了利用尺规作图法作全等三角形．可以根据全等三角形的判定方法SSS，SAS，ASA 选择一种方法即可．熟练掌握基本的尺规作图是解题的关键．十二、证明两个三角形全等（共3小题）33．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A=∠D，AB//DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB=DE；乙说：添加AC//DF；丙说：添加BE=CF．（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________；（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．【答案】（1）甲、丙；（2）见详解【分析】（1）根据平行线的性质，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A=∠D，只需要添加一个能得出对应边相等的条件，即可证明两个三角形全等，添加AC//DF不能证明△ABC≌△DEF；（2）添加AB=DE，再由条件AB∥DE可得∠B＝∠DEC，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．【详解】（1）解：∵AB//DE，∴∠B＝∠DEC，又∵∠A=∠D，∴添加AB=DE，可得△ABC≌△DEF（ASA）；添加BE=CF，可得BC=EF，可得△ABC≌△DEF（AAS）∴说法正确的是：甲、丙，故答案为：甲、丙；（2）选“甲”，理由如下：证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEC ，在△ABC 和△DEF 中A DB DEF AB DE ∠∠ìï∠∠íïî＝＝＝ ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．34．（2021秋·江西抚州·八年级统考期中）如图，从①AB AC =；②AD AE =；③BD CE =；④ADB E ∠=∠；⑤BAC DAE ∠=∠五个条件中，选出三个条件，利用全等三角形的判定定理，可使ABD ACE ≌△△，你能想出几种方法，罗列出来，并挑选其中一种方法写出你的证明过程．【答案】可选①②③或①②⑤或①④⑤或②③④或③④⑤或②④⑤ ，证明见解析【分析】根据全等三角形的判定定理，即可求解．【详解】解：可选①②③或①②⑤或①④⑤或②③④或③④⑤或②④⑤选①②③，证明：在ABD △与ACE △中，∵AB AC =，AD AE =，BD CE = ，∴()ABD ACE SSS V V ≌；选①②⑤，证明：∵BAC DAE ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠，在ABD △与ACE △中，∵AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，∴()ABD ACE SAS △≌△；选①④⑤，证明：∵BAC DAE ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠，在ABD △与ACE △中，∵ADB E ∠=∠，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，（1）求证：FC AD =；（2）若4AE =，4BE =【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）利用ASA 证明（2）根据题意，ABCD S 四边形。

数学全等三角形教学设计教案

数学全等三角形教学设计教案经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。

全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。

全等三角形是几何中全等之一。

下面是整理的数学全等三角形教学设计教案【最新3篇】，倘若对您有一些参考与帮忙，请共享给最好的伙伴。

数学全等三角形教案篇一一、教学目标【学问与技能】把握三角形全等的“角角边”条件，会把“角边角”转化成“角角边”。

能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题。

【过程与方法】经过探究三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。

【情感、态度与价值观】在探究归纳论证的过程中，体会数学的严谨性，体验成功的欢乐。

二、教学重难点【教学重点】“角角边”三角形全等的探究。

【教学难点】将三角形“角边角”全等条件转化成“角角边”全等条件。

三、教学过程（一）引入新课利用复习旧知三角形“角边角”全等判定定理：两角和它们夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）（四）小结作业提问：今日有什么收获？还有什么疑问？课后作业：书后相关练习题。

数学全等三角形教案篇二全等三角形课题：全等三角形教学目标：1、学问目标：（1）知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；（2）知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；（3）能娴熟找出两个全等三角形的对应角、对应边。

2、本领目标：（1）通过全等三角形角有关概念的学习，提高同学数学概念的辨析本领；（2）通过找出全等三角形的对应元素，培育同学的识图本领。

3、情感目标：（1）通过感受全等三角形的对应美激发同学酷爱科学勇于探究的精神；（2）通过自主学习的进展体验取得数学学问的感受，培育同学勇于创新，多方位端详问题的制造技巧。

教学重点：全等三角形的性质。

教学难点：找全等三角形的对应边、对应角教学用具：直尺、微机教学方法：自学辅导式教学过程：1、全等形及全等三角形概念的引入（1）动画（几何画板）显示：问题：你能发觉这两个三角形有什么巧妙的关系吗？一般同学都能发觉这两个三角形是完全重合的。

八年级上册数学《全等三角形》知识归纳与题型突破含解析

第十二章全等三角形知识归纳与题型突破（题型清单）一、全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.四、全等三角形的判定01 思维导图02 知识速记五、全等三角形的证明思路SAS HLSSS AAS SAS ASAAAS ASA AAS→ → → →→ → → → → → 找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边六、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.七、角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

12.2三角形全等的判定(“角边角”判定三角形全等)教案

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解“角边角”（ASA）判定三角形全等的基本概念。ASA是指两个三角形中有两个角和它们夹的边分别相等，这样的两个三角形是全等的。它是判断三角形全等的重要方法之一，广泛应用于几何证明和实际问题中。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何使用ASA判定法判断两个三角形全等，并解决实际问题。
其次，小组讨论的环节中，学生们的参与度很高，大家能够积极提出自己的观点和想法。但在引导讨论的过程中，我也发现了一些问题。有些学生在讨论中偏离了主题，导致讨论效果不佳。为了改进这一点，我计划在下次的讨论中加入更多的引导性问题，帮助学生更好地聚焦于主题。
此外，实践活动环节，学生们在分组讨论和实验操作中表现出较高的兴趣。他们通过亲自动手操作，对ASA判定法的理解有了更深的体会。然而，我也注意到，在实验操作过程中，部分小组的协作效率有待提高。为了提高小组合作的效果，我打算在下一节课中加强对学生团队协作能力的培养，教他们如何更有效地分工与合作。
-能够将“角边角”（ASA）判定法应用于解决实际问题。
举例：通过具体的图形示例，让学生观察并理解在两个三角形中，如果两个角及其夹的边分别相等，那么这两个三角形全等。
2.教学难点
-难点一：理解“角边角”（ASA）判定法中的“角”指的是两个三角形中的对应角，而非任意角。
-解释：学生往往容易混淆哪些角是对应角，需要通过具体示例和图示来强化对应角的识别。
12.2三角形全等的判定（“角边角”判定三角形全等)教案
一、教学内容
本节课选自教材第十二章第二节“三角形全等的判定”，主要围绕“角边角”（ASA）判定法进行深入探讨。内容包括：
1.理解“角边角”（ASA）判定三角形全等的基本原理；

专题02 全等三角形(解析版)

专题02全等三角形思维导图核心考点聚焦1、全等图形2、全等三角形的性质3、全等三角形的判定方法4、添加条件使三角形全等5、全等三角形的应用6、全等三角形与动点问题7、角平分线的性质与判定8、倍长中线模型9、证明线段和差问题10、常见的辅助线一、全等三角形的定义和基本性质1.基本定义（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2．寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：（1）图形特征法：最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角．（2）位置关系法：①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．（3）字母顺序法：根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角．3．全等三角形的性质及应用①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形对应边上的高、中线、角平分线分别相等；④全等三角形的周长相等，面积相等．二、三角形全等的判定方法及思路1．全等三角形的判定方法：“边边边”定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．“边角边”定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．“角边角”定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．“角角边”定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．“斜边、直角边”定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．2．全等三角形的证明思路：SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找一角的对边ì®ìïï®íïïï®îïï®®ìïï®ìïïííï®íïïïïï®îîïï®ìïí®ïîïî三、角平分线的性质1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等．注意：三角形的三条角平分线交于一点，到三边的距离相等．2.角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，通常连接角的顶点和该点就能得到角平分线．一、全等的几种模型（1）平移型（2）对称型（3）旋转型二、常见的几种添加辅助线构造全等三角形的方法1．倍长中线法倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，遇到一般三角形边上的中线或中点，考虑中线倍长.如图：已知：在三角形ABC 中，O 为BC 边中点，辅助线：延长AO 到点D 使AO ＝DO ，结论：△AOB ≌△DOC.证明：如图，延长AO 到点D 使AO ＝DO ，由中点可知，OB ＝OC ，在△AOB和△DOC 中，OA OD AOB DOC OB OC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AOB ≌△DOC .总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS 的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角决定的．2．截长或补短（含有线段－关系或求证两线间关系时常用）．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．基本图形，如下：在ABC △中，,AB AC AM >平分BACÐ（1）在AB 上截取AD AC =；（2）把AC 延长到点E ，使AB AE =.考点剖析考点一、全等图形例1．如图1，把大小为44´的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把44´的正方形网格分割成两个全等形．【解析】∵要求分成全等的两块，∴每块图形要包含有8个小正方形．考点二、全等三角形的性质例2．如图，A，E，C三点在同一直线上，且ABC DAE△≌△．=+；(1)求证：DE CE BC∥？并证明你的猜想．(2)猜想：当ADEV满足什么条件时DE BC【解析】（1）解：∵ABC DAE△≌△，∴BC AE=，=，AC DE∴DE AC CE AE CE BC ==+=+；（2）解：猜想，90AED Ð=°时，DE BC ∥，∵ABC DAE △≌△，∴AED BCA Ð=Ð，∵DE BC ∥，∴BCE DEC Ð=Ð，∴DEC AED Ð=Ð，又180DEC AED Ð+Ð=°，∴90AED Ð=°，∴当ADE V 是直角三角形，且90AED Ð=°时，DE BC ∥．考点三、全等三角形的判定方法例3．如图，点C ，E ，F ，B在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，AB CD ∥，AE DF =，A D Ð=Ð．(1)请判断AB 和CD 的数量关系，并说明理由；(2)若AB CF =，40B Ð=°，求D Ð的度数．【解析】（1）证明：∵AB CD ∥，∴B C Ð=Ð．在ABE △和DCF △中，∵A D B C AE DF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ABE △≌DCF △，∴AB CD =．（2）解：∵ABE △≌DCF △，∴AB CD =，BE CF =，B C Ð=Ð，∵40B Ð=°，例4．如图，已知,AB ED CD BF =∥.(1)现要从如下条件中再添加一个①AC EF =；②AB DE =；③A E Ð=Ð；④DF CB =得到ABC EDF △≌△．你添加的条件是：________．（填序号）(2)选择（1）中的一种情况进行证明．【解析】（1）解：②或③（任选一个填即可）（2）选择②证明：CD BF =Q ，CD CF BF CF \+=+，DF CB \=，∥AB ED Q ，B D \Ð=Ð，\在ABC △和EDF △中，AB DE B D DF CB =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ABC EDF \△≌△；选择③证明：CD BF =Q ，CD CF BF CF \+=+，DF CB \=，∥AB ED Q ，B D \Ð=Ð，\在ABC △和EDF △中，A E B D DF CB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AAS ABC EDF \△≌△.考点五、全等三角形的应用(1)当D 点在伞柄AP 上滑动时，处于同一平面的两条伞骨BD 和CD 相等吗？请说明理由．例6．如图，已知ABC △中，B C Ð=Ð，8AB =厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上以每秒a 厘米的速度由C 点向A 点运动，设运动时间为(t 秒)(03)t £<．(1)用含t 的代数式表示(2)若点P 、Q 的运动速度相等，经过(3)若点P 、Q 的运动速度不相等，当点【解析】（1）解：由题意得：则62PC t =-；（2）解：CQP △≌(1)将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点别为E、(F如图①)，则PE(2)把三角尺绕着点P旋转(如图②想PE与PF的大小关系，并说明理由．Ð【解析】（1）解：∵OC平分AOB\=，PE PF考点八、倍长中线模型例8．（1）在ABC △中，46AB AC==，，AD 是BC 边上的中线，则中线AD 长范围为___________；（2）如图，在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，点E F ，分别在AB AC ，上，且DE DF ^，求证：BE CF EF +>．【解析】（1）如图，延长AD 至G ，使DG AD =，连接BG ，，则2AG AD =，Q AD 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC △和GDB △中，CD BD ADC GDB AD GD =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ≌ADC GDB \△△，6BG AC \==，BG AB AG BG AB -<<+Q ，6464AG \-<<+，即210AG <<，2210AD \<<，15AD \<<，故答案为：15AD <<；（2）证明：如图，延长ED 至H 使ED DH =，连接CH ，FH ，，在BDE △和CDH △中，CD BD BDE CDH ED HD =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ≌BDE CDH \△△，BE CH \=，DE DF ^Q ，=ED HD ，EF HF \=，CF CH FH +>Q ，CF BE EF \+>．考点九、证明线段和差问题例9．如图所示，在ABC △，100A Ð=°，40ABC BD Ð=°，平分ABC Ð交AC 于点D ，延长BD 至点E ，使ED AD =，连接CE ．求证：BC AB CE =+．【解析】证明：如图所示，在BC 上取一点F 使得BF AB =，连接DF ，∵100A Ð=°，40ABC Ð=°，∴40ABC ACB Ð=Ð=°，∵BD 是ABC △的角平分线，∴20ABD FBD Ð=Ð=°，在ABD △和FBD △中，AB FB ABD FBD BD BD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ≌ABD FBD △△，∴ADB FDB AD DF ==∠∠，，又∵AD ED ADB EDC ==，∠∠，∴1801002060ADB FDB CDE Ð=Ð=Ð=°-°-°=°，FD ED =，∴18060FDC ADB FDB EDC =°--=°=∠∠∠∠，在CDE △和CDF △中，ED FD CDE CDF CD CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS CDE CDF △≌△，∴CE CF =，∴BC BF CF AB CE =+=+.考点十、常见的辅助线例10．如图，△ABC 中，AB =AC ,在AB 上取一点E ，在AC 的延长线上取一点F ，使CF =BE ,连接EF ，交BC 于点D ．求证：DE =DF ．【解析】证明：作FH P AB 交BC 延长线于H ，∵FH P AB ，∴∠FHC =∠B ，∠BED =∠HFD ．又∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ．又∠ACB =∠FCH ，∴∠FHC =∠FCH ．∴CF =HF ．又∵BE =CF ，∴HF =BE ．在△DBE 和△DHF 中，,B FHC BE HFBED HFD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△DBE ≌△DHF （ASA ）．∴DE =DF ．过关检测一、选择题1．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳，卡钳交叉点O 为AA ¢、BB ¢的中点，只要量出A B¢¢的长度，就可以知道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（）A ．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等B ．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等C ．三边分别相等的两个三角形全等D ．两点之间线段最短【答案】B【解析】Q 点O 为AA ¢、BB ¢的中点，OA OA \¢=，OB OB ¢=，由对顶角相等得AOB A OB ¢¢Ð=Ð，在AOB △和A OB ¢¢△中，OA OA AOB A OB OB OB ¢¢=ìïÐ=Ð¢¢íï=î，(SAS)≌AOB A OB ¢\¢△△，AB A B ¢\=¢，即只要量出A B ¢¢的长度，就可以知道该零件内径AB 的长度，故选B ．2．如图，AOB ADC △≌△，90O D Ð=Ð=°，70OAD Ð=°，当AO BC ∥时，则ABO Ð度数为（）A ．35°B ．40°C ．45°D ．55°【答案】A 【解析】∵AOB ADC △≌△，∴AB AC =，BAO CAD Ð=Ð，∴A ABC CB =Ð∠，设ABC ACB x Ð=Ð=，∵BC OA ∥，∴ABC BAO CAD x Ð=Ð=Ð=，180ACB CAO Ð+Ð=°，∴180ACB CAD OAD Ð+Ð+Ð=°，∵70OAD Ð=°，∴70180x x ++°=°，解得：55x =°，∴55BAO Ð=°，∵90AOB Ð=°，∴905535ABO Ð=°-°=°．故选A ．3．如图，点A ，C ，B ，D 在同一条直线上，已知：CE DF =，ACE BDF Ð=Ð，下列条件中不能判定△≌△ACE BDF 的是A ．E FÐ=ÐB ．AC BD =C ．AE BF =D ．∥AE BF【答案】C 【解析】A 、符合全等三角形的判定定理ASA ，能推出△≌△ACE BDF ，故本选项不符合题意；B 、符合全等三角形的判定定理SAS ，能推出△≌△ACE BDF ，故本选项不符合题意；C 、不符合全等三角形的判定定理，SSA 不能推出△≌△ACE BDF ，故本选项符合题意；D 、因为∥AE BF ，所以A FBD Ð=Ð，所以符合全等三角形的判定定理AAS ，能推出△≌△ACE BDF ，故本选项不符合题意．故选C ．4．如图，在△ABC 中，AC BC =，90ACB Ð=°，AD 平分BAC Ð，BE AD ^交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =；其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】,90BC AC ACB =Ð=°Q ，45CAB ABC \Ð=Ð=°，AD Q 平分BAC Ð，22.5BAE EAF \Ð=Ð=°，Q 在Rt ACD △与Rt BFC △中，90,90EAF F FBC F Ð+Ð=°Ð+Ð=°，EAF FBC \Ð=Ð，BC AC EAF FBC BCF ACD =Ð=ÐÐ=ÐQ ，，，∴Rt Rt ≌ADC BFC △△，AD BF \=，故①正确．②Q ①中Rt Rt ≌ADC BFC △△，CF CD \=，故②正确．③Q ①中Rt Rt ≌ADC BFC△△,CF CD AC CD AC CF AF \=+=+=，22.5CBF EAF Ð=Ð=°Q ，\在Rt AEF △中，9067.5F EAF Ð=°-Ð=°，45CAB Ð=°Q ，18018067.54567.5ABF F CAB \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，ABE AFE \≌△△，A ．1个B ．2个【答案】D 【解析】①ABC ÐQ 和ACB Ð的平分线相交于点EBO CBO \Ð=Ð，BCO FCO Ð=Ð∵EF BC ∥，Q 点O 是ABC △的内心，OD 1122AEF S AE OD AF \=×+×△1()2AE AF OD =+×【答案】135【解析】如图，连接AD 、BD由图可知，在DFB △和BEC △90DF BE DFB BEC FB EC =ìïÐ=Ð=°íï=î，【答案】AD AB =或3=Ð【解析】AC Q 平分DAB Ð12\Ð=Ð，又AC AC =Q ，【答案】7【解析】∵EF AB ^，∴90FEB Ð=°，∵BF AC ^，∴90ADB Ð=°，∴90F FBE Ð+Ð=°，A Ð+【答案】15° 6【解析】（1）Q 90AEC Ð=90BED DFC \Ð=Ð=°，在Rt BDE △和Rt CDF △中，【解析】设经过xQ厘米，点==AB AC24\=厘米，12BDQABC ACBÐ=Ð\要使BPD △与CQP V 全等，必须BD CP =或BP CP =，即12164x =-或4164x x =-，解得：1x =或2x =，1x =时，4BP CQ ==，414¸=；2x =时，12BD CQ ==，1226¸=；即点Q 的运动速度是4厘米/秒或6厘米/秒，故答案为：4或6.三、解答题11．如图，在ABC △中，AB AC =，D 为BC 上一点，DE AB ^，DF AC ^，垂足分别为E 、F ，且DE DF =．请选择一对你认为全等的三角形并加以证明．(1)你选择的是：△__________△≌__________；(2) 根据你的选择，请写出证明过程．【解析】（1）解：根据图形和已知条件，选择证明的全等三角形为AED AFD V V ≌，故答案为：AED ，AFD （答案不唯一）；（2）证明：DE AB ∵⊥，DF AC ^，AED \△和AFD △是直角三角形，在Rt AED △和Rt AFD △中，AD AD DE DF =ìí=î，()Rt Rt HL ≌AED AFD \△△．12．如图，点D E 、分别在线段,AB AC 上，AE AD =，不添加新的线段和字母，从下列条件①B C Ð=Ð，②BE CD =，③AB AC =，④ADC AEB Ð=Ð中选择一个使得≌ABE ACD △△．(1)你选择的一个条件是_____________（填写序号）(2)根据你的选择，请写出证明过程．【解析】（1）解：∵AE AD =，A A Ð=Ð，可以利用SAS,AAS,ASA 三种方法证明≌ABE ACD △△；故可以选择的条件可以是：①或③或④（2）选择①：在ABE △和ACD △中，A ABC AE AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS ≌ABE ACD △△；选择③在ABE △和ACD △中，AB AC A A AE AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ≌ABE ACD △△；选择④在ABE △和ACD △中，ADC AEB AE ADA A Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ABE ACD △≌△．13．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，点E ，F 分别在直线AB 的两侧，且AE BF =，A B Ð=Ð，ACE BDF Ð=Ð．(1)求证：ADE BCF △△≌．(2)若8AB =，2AC =，求CD 的长．【解析】（1）证明：在ACE △和BDF V 中，A B ACE BDF AE BF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AAS ACE BDF \≌△△．AC BD \=．AD BC \=．在ADE V 和BCF △中AE BF A B AD BC =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ≌ADE BCF \△△．（2）由（1）知ACE BDF V V ≌，2BD AC \==，8AB =Q ，4CD AB AC BD \=--=，故CD 的长为4．14．如图，ABC △的外角DAC Ð的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD AB ^于D ，PE AC ^于E ，连接BP ，CP ．(1)求证：BD CE =；(2)若6cm AB =，10cm AC =，直接写出AD 的长为______．【解析】（1）证明：Q 点P 在BC 的垂直平分线上，BP CP \=，AP Q 是DAC Ð的平分线，DP EP \=，在Rt BDP △和Rt CEP △中，BP CP DP EP =ìí=î，(1)【探究发现】图1中AC 与BM 的数量关系是 (2)【初步应用】如图2，在ABC △中，若12AB =(3)【探究提升】如图3，AD 是ABC △的中线，过点AF AC =，延长DA 交EF 于点P ，判断线段EF 与由（1）可知，(SAS)≌MDB ADC △△，8BM AC \==，在ABM △中，AB BM AM AB BM -<<+，128128AM \-<<+，即4220AD <<，210AD \<<，即BC 边上的中线AD 的取值范围为210AD <<；（3）2EF AD =，EF AD ^，理由如下：如图3，延长AD 到M ，使得DM AD =，连接BM ，由（1）可知，(SAS)BDM CDA △≌△，BM AC \=，AC AF =Q ，BM AF \=，由（2）可知，AC BM ∥，180BAC ABM \Ð+Ð=°，AE AB ^Q 、AF AC ^，90BAE FAC \Ð=Ð=°，180BAC EAF \Ð+Ð=°，ABM EAF \Ð=Ð，在ABM △和EAF △中，AB EA ABM EAF BM AF =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)ABM EAF \△≌△，AM EF \=，BAM E Ð=Ð，AD DM =Q ，2AM AD \=，2EF AD \=，EAM BAM BAE E APE Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，90APE BAE \Ð=Ð=°，EF AD \^．。

专题18 全等三角形(归纳与讲解)(原卷版)

专题18 全等三角形【专题目录】技巧1：全等三角形判定的三种类型技巧2：构造全等三角形的六种常用方法技巧3：证明三角形全等的四种思路【题型】一、全等三角形的性质【题型】二、全等三角形的判定（SSS）【题型】三、全等三角形的判定（SAS）【题型】四、全等三角形的判定（AAS）【题型】五、全等三角形的判定（ASA）【题型】六、全等三角形的判定（HL）【题型】七、全等三角形综合问题【题型】八、角平分线的判定定理【考纲要求】1、了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素2、掌握并能应用“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”四种方法判断全等【考点总结】一、全等三角形及其性质【考点总结】二、全等三角形的判定【技巧归纳】技巧1：全等三角形判定的三种类型【类型】一、已知一边一角型题型1：一次全等型1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD 交AD的延长线于点F，且BE＝CF.求证：AD是△ABC的中线．题型2：两次全等型2．如图，∠C＝∠D，AC＝AD.求证：BC＝BD.【类型】二、已知两边型题型1：一次全等型3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE ＝BD，BD的延长线与AE交于点F，试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明理由．题型2：两次全等型4．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD.求证：△ACF≌△BDE.【类型】三、已知两角型题型1：一次全等型5．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，BE＝CD.求证：OB ＝OC.题型2：两次全等型6．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.技巧2：构造全等三角形的六种常用方法【类型】一、翻折法1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.【类型】二、构造法2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.【类型】三、旋转法3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．【类型】四、平行线法4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.【类型】五、倍长中线法5．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB＋AC>2AD；(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．【类型】六、截长补短法6．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CB A，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.技巧3：证明三角形全等的四种思路【类型】一、条件充足时直接用判定方法1．(2014·武汉)如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：AB∥CD.【类型】二、条件不足时添加条件再用判定方法2．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AF＝DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．【类型】三、非三角形问题中构造全等三角形用判定方法3．如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，∠1＝∠2，CA＝CB.求证：(1)∠3＋∠4＝180°；(2)OA＋OB＝2OM.【类型】四、实际问题中建立全等三角形模型用判定方法4．如图，要测量AB的长，因为无法过河接近点A，可以在AB所在直线外任取一点D，在AB的延长线上任取一点E，连接ED和BD，并且延长BD到G，使DG＝BD，延长ED到F，使DF＝ED，连接FG，并延长FG到H，使H、D、A在一条直线上，则HG＝AB，试说明理由．【题型讲解】【题型】一、全等三角形的性质例1、如图所示，①ABD①①CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A ．①ABD 和①CDB 的面积相等 B ．①ABD 和①CDB 的周长相等C ．①A+①ABD ＝①C+①CBDD ．AD①BC ，且AD ＝BC【题型】二、全等三角形的判定（SSS ）例2、如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =，求证：CB CD =．【题型】三、全等三角形的判定（SAS ）例3、如图，已知//AB CD ，AB CD =，BE CF =．求证：（1）ABF DCE ∆≅∆；（2）//AF DE ．【题型】四、全等三角形的判定（AAS ）例4、如图，AC 是①BAE 的平分线，点D 是线段AC 上的一点，①C ＝①E ，AB ＝AD ．求证：BC ＝DE ．【题型】五、全等三角形的判定（ASA）例5、如图，AB＝AC，AB①AC，AD①AE，且①ABD＝①ACE.求证：BD＝CE.【题型】七、全等三角形综合问题例7、如图AB=AC，CD①AB于D，BE①AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．【题型】八、角平分线的判定定理例8、如图，Rt①ABC中，①C=90°，AD平分①BAC，交BC于点D，AB=10，S①ABD=15，则CD的长为（）A．3B．4C．5D．6全等三角形（达标训练）一、单选题1．如图，平行四边形ABCD 中，100C ∠=︒，点E 在CD 上，且AE AD =，则DAE ∠的度数是（）A ．20︒B ．30︒C ．40︒D ．80︒2．如图，在Rt ABC 中，9030C A E ∠∠＝，＝，为AB 上一点且4AE EB EF AC ⊥＝，于F ，连结FB ，则tan =CFB ∠（）A ．BCD 3．如图，在ABC 中，DE 垂直平分BC ，若6428CDE A ∠=︒∠=︒，，则ABD ∠的度数为（）A ．100︒B ．128︒C ．108︒D ．98︒5．如图，点D 是AC 的垂直平分线与BC 边的交点，作DE AB ⊥于点E ，若68BAC ∠=︒，36C ∠=︒，则ADE ∠的度数为（）A ．56︒B ．58︒C ．60︒D ．62︒二、填空题6．如图，以Rt ABC 的斜边BC 为一边在ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO，如果AB =4，AO =BC ＝_____．7．已知边长为4的等边ABC ，D ，E ，F 分别为边AB ，BC ，AC 的中点，P 为线段DE 上一动点，则PF PC +的最小值为______．三、解答题8．如图，在等边ABC 中，点P 是ABC 内一点，点Q 是ABC 外一点，连接AP 、BP 、AQ 、CQ 、PQ ，其中ABP ACQ ∠=∠，.BP CQ =试判断APQ △的形状并证明你的结论．全等三角形（提升测评）一、单选题1．如图，将①ABC 绕点A 逆时针旋转40°得到①ADE ，其中点D 恰好落在BC 边上，则①ADE 等于（）A ．40︒B ．50?C ．60?D ．70︒2．如图，在ABCD 中，5AB =，7BC =，BE 平分ABC ∠交AD 于E ，CF 平分BCD ∠交AD 于F ，则EF 等于（）A ．1B ．1.5C ．2D ．33．如图，已知AB ＝CD ，若使①ABC ①①DCB ，则不能添加下列选项中的（）A ．①ABC ＝①DCB B ．BO ＝COC ．AO ＝DOD ．①A ＝①D4．如图，在边长为6的正方形ABCD 中，P 是边AD 的中点，E 是边AB 上的一个动点(不与A 重合)，以线段AE 为边在正方形内作等边AEF △，M 是边EF 的中点，连接PM ，则在点E 运动过程中，PM 的最小值是（）A ．32B C D ．35．如图，点O 为ABC 的内心，60B ︒∠=，BC AB ≠，点M ，N 分别为AB ，BC 上的点，且OM ON =．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：120MON ∠=︒；乙：四边形OMBN 的面积为定值；丙：当MN BC ⊥时，MON △的周长有最小值．则下列说法正确的是（）A ．只有甲正确B ．只有乙错误C ．乙、丙都正确D ．只有丙错误二、填空题6．如图，在Rt ①ABC 中，①ACB ＝90°，①A ＝30°，AB ＝6，按以下步骤作图： ①以B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ；①分别以E 、F 为圆心，以大于12EF 的长为半径作弧，两弧相交于点P ； ①作射线BP ，交边AC 于D 点．则点D 到AB 的距离为_______．三、解答题7．如图，在四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，=AD DE ，CE AD DE BC ∥，∥，作BF CD ∥交线段DE 于点F ，连接AF ，求证：ΔΔDAF EDC ．。