高中数学 第一章《回归分析的基本思想及其初步应用》教案2 新人教A版选修12
【分析】2020学年高中数学第一章统计案例11回归分析的基本思想及其初步应用教学案新人教A版选修12
【关键字】分析1.1 回归分析的基本思想及其初步应用[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P2～P8的内容，回答下列问题．(1)在数学《必修3》中，我们利用返回分析的方法对两个具有线性相关关系的变量进行了研究，其步骤是什么？所求出的线性返回方程是什么？提示：步骤为：画出两个变量的散点图，求返回直线方程，并用返回直线方程进行预报．线性返回方程为＝x＋.(2)所有的两个相关变量都可以求返回方程吗？提示：不一定．2．归纳总结，核心必记(1)返回分析返回分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)返回直线方程方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的返回方程，其中，是待定参数，其最小二乘估计分别为：其中＝i，＝i，(，)称为样本点的中心．(3)线性返回模型线性返回模型用y＝bx＋a＋e来表示，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差．(4)刻画返回效果的方式相关指数R2R2＝1－∑i＝1ny i－y^i2∑i＝1ny i－y2，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好[问题思考](1)通过教材P2中的例1计算出的返回方程＝0.849x－85.712可以预报身高为的女大学生的体重为60.3.请问，身高为的女大学生的体重一定是吗？为什么？提示：不一定．从散点图可以看出，样本点散布在一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y＝bx＋a表示．(2)下列说法正确的有哪些？①在线性返回模型中，e是bx＋a预报真实值y的随机误差，它是一个可观测的量；②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；③用R2来刻画返回效果，R2越小，拟合的效果越好；④在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，返回方程的预报精度越高．提示：e是一个不可观测的量，故①不正确；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差，故③不正确；②④是正确的．[课前反思](1)返回分析的定义是什么？如何求返回直线方程？(2)线性返回模型是什么？(3)残差、残差图的定义是什么？如何作残差图？(4)残差平方和和相关指数R2的定义是什么？它们与返回效果有什么关系？[思考] 求线性返回方程的步骤是什么？名师指津：(1)列表表示xi，yi，xiyi，x；(2)计算，，，iyi；(3)代入公式计算，的值；(4)写出线性返回方程．讲一讲1．(链接教材P2－例1)某种产品的广告费用支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据：x/百万元24568y/百万元3040605070(1)画出散点图；(2)求线性返回方程；(3)试预测广告费用支出为10百万元时的销售额．[尝试解答] (1)散点图如图所示：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：i 12345合计x i2456825y i3040605070250x i y i60160300300560 1 380x2i416253664145所以，＝＝5，＝＝50，＝145，iyi＝1 380.于是可得＝＝＝6.5，＝－＝50－6.5×5＝17.5.所以所求的线性返回方程为＝6.5x＋17.5.(3)根据(2)中求得的线性返回方程，当广告费用支出为10百万元时，＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．(1)求线性返回方程前必须判断两个变量是否线性相关，如果两个变量本身不具备相关关系，或者它们之间的相关关系不显著，那么即使求出返回方程也是毫无意义的．(2)写出返回直线方程＝x＋，并用返回直线方程进行预测说明：当x取x0时，由线性返回方程可得0的值，从而可进行相应的判断．练一练1．某班5名学生的数学和物理成绩如下表：学生学科成绩A B C D E数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．解：(1)如图所示．(2)因为x＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8，∑i ＝15x i y i ＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054，∑i ＝15x 2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174. 所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x 2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625，a ^＝y －b ^x －≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 故y 对x 的回归直线方程是y ^＝0.625x ＋22.05. (3)x ＝96，则y ^＝0.625×96＋22.05≈82， 即可以预测他的物理成绩是82.[思考] 如何用残差图、残差平方和、相关指数R 2分析拟合效果？名师指津：残差图的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高；残差平方和越小，模型拟合效果越好；R 2越接近于1，模型拟合效果越好．讲一讲2．假定小麦基本苗数x 与成熟期有效穗y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y39.442.942.943.149.2(1)以x (2)求y 与x 之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗； (3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求R 2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？ [尝试解答] (1)散点图如下．(2)由(1)中散点图看出，样本点大致分布在一条直线的附近，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.x ＝30.36，y ＝43.5，∑i ＝15x 2i ＝5 101.56，∑i ＝15y 2i ＝9 511.43. x －y －＝1 320.66，x 2＝921.729 6，∑i ＝15x i y i ＝6 746.76.则b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2≈0.29，a ^＝y －b ^x ≈34.70.故所求的回归直线方程为y ^＝0.29x ＋34.70. 当x ＝56.7时，y ^＝0.29×56.7＋34.70＝51.143. 估计成熟期有效穗为51.143.(3)由于y ^i ＝b ^x i ＋a ^，可以算得e ^i ＝y i －y ^i 分别为e ^1＝0.35，e ^2＝0.718，e ^3＝－0.5，e ^4＝－2.214，e ^5＝1.624，残差平方和：∑i ＝15e ^2i ≈8.43.(4)∑i ＝15(y i －y )2＝50.18，故R 2＝1－8.4350.18≈0.832.所以解释变量小麦基本苗数对总效应约贡献了83.2%，残差变量贡献了约1－83.2%＝16.8%.(1)利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差e ^1，e ^2，…，e ^n 来判断模型拟合的效果．(2)若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合度越高，回归方程预报精确度越高．练一练2．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：次数(x ) 30 33 35 37 39 44 46 50 成绩(y )3034373942464851(1)作出散点图； (2)求出线性回归方程；(3)作出残差图，并说明模型的拟合效果； (4)计算R 2，并说明其含义．解：(1)作出该运动员训练次数x 与成绩y 之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)∵x ＝39.25，y ＝40.875，∑i ＝18x 2i ＝12 656，∑i ＝18y 2i ＝13 731，∑i ＝18x i y i ＝13 180，∴b ^＝∑i ＝18x i －xy i －y∑i ＝18x i －x2＝∑i ＝18x i y i －8x －y－∑i ＝18x 2i －8x 2≈1.041 5，a ^＝y －b ^x ≈－0.003 875，∴线性回归方程为y ^＝1.041 5x －0.003 875. (3)残差分析计算得e ^1≈－1.24，e ^2≈－0.366，e ^3≈0.551，e ^4≈0.468，e ^5≈1.385，e ^6≈0.178，e^7≈0.095，e ^8≈－1.071.作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．(4)计算相关指数R 2计算相关指数R 2≈0.985 5，说明了该运动员成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的. 讲一讲3．(链接教材P 6－例2)某地区六年来轻工业产品利润总额y 与年次x 的试验数据如下表所示：年次x 1 2 3 4 5 6 利润总额y11.3511.8512.4413.0713.5914.41x0a ，b 均为正数，求y 关于x 的回归方程．[思路点拨] 解答此题可根据散点图选择恰当的拟合函数，而本题已经给出，只需将其转化为线性函数，利用最小二乘法求得回归直线方程，再将其还原为非线性回归方程即可．[尝试解答] 对y ＝ab xe 0两边取自然对数，得ln y ＝ln ae 0＋x ln b ，令z ＝ln y ，则z 与x 的数据如下表：x 1 2 3 4 5 6 z2.432.472.522.572.612.67由z ＝ln ae 0＋x ln b 及最小二乘法公式，得 ln b ≈0.047 7，ln ae 0＝2.378，即z ^＝2.378＋0.047 7x ，故y ^＝10.8×1.05x.非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：练一练3．某电容器充电后，电压达到100 V ，然后开始放电，由经验知道，此后电压U 随时间t 变化的规律用公式U ＝A e bt(b <0)表示，现测得时间t (s)时的电压U (V)如下表：t /s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U /V100755540302015101055试求：电压U 对时间t 的回归方程(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)．解：对U ＝A e bt两边取对数得ln U ＝ln A ＋bt ， 令y ＝ln U ，a ＝ln A ，x ＝t ， 则y ＝a ＋bx ，y 与x 的数据如下表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6根据表中数据画出散点图，如图所示，从图中可以看出，y 与x 具有较好的线性相关关系， 由表中数据求得x ＝5，y ≈3.045，由公式计算得b ^≈－0.313，a ^＝y －b ^x －＝4.61， 所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝－0.313x ＋4.61. 所以ln U ^＝－0.313t ＋4.61， 即U ^＝e －0.313t ＋4.61＝e －0.313t ·e 4.61，因此电压U 对时间t 的回归方程为U ^＝e －0.313t ·e 4.61.————————————[课堂归纳·感悟提升]————————1．本节课的重点是线性回归方程的求法及线性回归分析，难点是残差分析和非线性回归分析问题．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)线性回归分析，见讲1； (2)残差分析，见讲2； (3)非线性回归分析，见讲3.课下能力提升(一) [学业水平达标练]题组1 线性回归分析1．关于回归分析，下列说法错误的是( )A ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B ．线性相关系数可以是正的也可以是负的C ．在回归分析中，如果r 2＝1或r ＝±1，说明x 与y 之间完全线性相关 D ．样本相关系数r ∈(－1,1)解析：选D 样本的相关系数应满足－1≤r ≤1.2．为了研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直线l 1和l 2，已知两人计算过程中x ，y 分别相同，则下列说法正确的是( )A ．l 1与l 2一定平行B ．l 1与l 2重合C ．l 1与l 2相交于点(x ，y )D ．无法判断l 1和l 2是否相交解析：选C 回归直线一定过样本点的中心(x ，y )，故C 正确．3．若某地财政收入x 与支出y 满足回归方程y ^＝b ^x ＋a ^＋e i (单位：亿元)(i ＝1,2，…)，其中b ^＝0.8，a ^＝2，|e i |<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )A ．10亿元B ．9亿元C ．10.5亿元D ．9.5亿元解析：选C y ^＝0.8×10＋2＋e i ＝10＋e i ， ∵|e i |<0.5，∴9.5＜y ^<10.5.4．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R 2分别如下表：A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选A 相关指数R 2越大，表示回归模型的拟合效果越好．5．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润． 题组2 残差分析6．关于残差图的描述错误的是( ) A ．残差图的横坐标可以是样本编号B ．残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量C ．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D ．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小解析：选C 残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，相关指数R 2的值越大，故描述错误的是选项C.7．对变量x ，y 进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )解析：选A 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．8．在回归分析中，相关指数R 2的值越大，说明残差平方和( ) A ．越大 B ．越小 C ．可能大也可能小 D ．以上均错解析：选B 因为R 2＝1－∑i ＝1ny i －y ^i2∑i ＝1ny i －y2，所以当R 2越大时，∑i ＝1n(y i －y ^i )2越小，即残差平方和越小．9．通过下面的残差图，我们发现在采集样本点的过程中，样本点数据不准确的为( ) A ．第四个 B ．第五个 C ．第六个 D ．第七个解析：选C 由题图可知第六个数据的偏差最大，故选C.10．在一段时间内，某淘宝网店一种商品的销售价格x 元和日销售量y 件之间的一组数据为：价格x 元 22 20 18 16 14 日销售量y 件3741435056求出y 关于x 参考数据：∑i ＝15x i y i ＝3 992，∑i ＝15x 2i ＝1 660.解：作出散点图(此处略)，观察散点图，可知这些点散布在一条直线的附近，故可用线性回归模型来拟合数据．因为x ＝22＋20＋18＋16＋145＝18，y ＝37＋41＋43＋50＋565＝45.4.所以b ^＝3 992－5×18×45.41 660－5×182＝－2.35， a ^＝45.4－(－2.35)×18＝87.7.所以回归方程为y ^＝－2.35x ＋87.7.y i －y ^i 与y i －y －的值如下表：y i －y ^i 1 0.3 －2.4 －0.1 1.2 y i －y－8.4－4.4－2.44.610.6计算得∑i ＝15(y i －y ^i )2＝8.3，∑i ＝15(y i －y －)2＝229.2，所以R 2＝1－8.3229.2≈0.964.因为0.964很接近于1，所以该模型的拟合效果比较好．[能力提升综合练]1．如图所示是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是( )解析：选B 选项A 与B 中的残差图都是水平带状分布，并且选项B 的残差图散点分布集中，在更狭窄的范围内，所以B 中回归模型的拟合效果最好，选B.2．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析：选B 样本点的中心是(3.5,42)， 则a ^＝y －－b ^x －＝42－9.4×3.5＝9.1， 所以回归直线方程是y ^＝9.4x ＋9.1， 把x ＝6代入得y ^＝65.5.3．某饮料店的日销售收入y (单位：百元)与当天平均气温x (单位：度)之间有下列数据：x －2 －1 0 1 2 y54221甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x 与y 之间的三个线性回归方程：①y ^＝－x ＋2.8，②y ^＝－x ＋3，③y ^＝－1.2x ＋2.6；其中正确的是( )A ．①B ．②C ．③D ．①③解析：选A 回归方程y ^＝b ^x ＋a ^表示的直线必过点(x ，y )，即必过点(0,2.8)，而给出的三个线性回归方程中，只有①表示的直线过点(0,2.8)，故正确的是①，故选A.4．已知x 与y 之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6 y21334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ′＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′解析：选C 过(1,0)和(2,2)的直线方程为y ′＝2x －2， 画出六点的散点图，回归直线的大概位置如图所示， 显然，b ′>b ^，a ^>a ′，故选C.5．某种商品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下关系：(单位：万元)x 2 4 5 6 8 y3040605070y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，当广告费支出5万元时，残差为________．解析：当广告费x ＝5时，y ^＝6.5×5＋17.5＝50，残差为60－50＝10. 答案：106．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R 2≈0.85，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．解析：由相关指数R 2的意义可知，R 2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%.答案：85% 15%7．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 解：(1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝110x i ＝110×80＝8，y ＝1n ∑i ＝110y i ＝110×20＝2， 所以b ^＝∑i ＝110x i y i －n x －y－∑i ＝110x 2i －n x －2＝184－10×8×2720－10×82＝2480＝0.3， a ^＝y －b ^x －＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)将x ＝7代入回归方程，可以预测家庭的月储蓄约为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
高中数学 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用课件 新人教A版选修12
关系做一下调整来模拟回归关系：
Y=bx+a+e 其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差
如何产 生的？
第七页，共26页。
质量误差
身高(shēn ɡāo)X(cm) 体重(tǐzhòng)y(kg)
饮食习惯
运动(yùndòng)习惯
第八页，共26页。
线性回归模型y=bx+a+e与我们了的一次函数模型不同之处在 于(zàiyú)多了一个随机误差e，y的值有它们一起决定
关指数R2来刻画回归的效果：
n
( yi yˆ )2
残差平方和
R2
1
i 1 n
( yi y)2
i 1
总体(zǒngtǐ)偏差
平方和
显然，当R2的值越大，说明残差所占的比例越小，回归效果约好；反 之,回归效果越差。一般(yībān)的，当R2越接近于1,说明解释变量和预 报变量之间的相关性越强,如果同一个问题,采用不同的回归方法分析, 我们可以通过选择R2大的来作为回归模型
回归平方和
(regression sun of squares)
第十五页，共26页。
你会计算上面的总体偏差(piānchā)平方和、残差平方和、回归平方和吗
354
128.361
225.639
第十六页，共26页。
有了这些评估效应的方法，我们就可以利用它们来刻画总体
(zǒngtǐ)效应，事实上，为了将我们的计算简化，我们又引入相
50 0 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 温度的平方
y=0.367t-202.54 不适合利用(lìyòng)线性回归
为什么这样(zhèyàng)
高中数学 第一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及初步应用说课稿 新人教A版选修12
回归分析的基本思想及初步应用课标理解以及教学应对：回归分析是高中阶段较难的一个内容，它属于统计学部分。
在教学中，抓住统计学的基本思想“用样本数据估计总体的数据”，让学生知道统计学知识的这个共性;展现概率统计学的应用功能——“分析统计出来的数据为决策提供依据”；让学生体会学以致用。
学生在学过必修三《两个变量的线性关系》的基础上，为学习本节做了很好的铺垫，在教学中从这个基础出发，逐渐展开，分析对比，扩展出必修三中两变量分析过程中没有的“通过误差分析判断是否需要重新建模”这步，通过完善已学内容完成新课教学，从实质上降低本节内容难度。
通过本节的学习，也为后一节“独立性检验的基本思想”的建立提供一个很好的参照模板。
教材理解及教学应对：本节的重点为：回归分析思想的建立，利用最小思想二乘法求回归直线斜率及截距、，残差分析、求相关指数；难在计算和回归思想的建立，在“两难”的情况下，择“一难”即“回归思想建立”作为突破口，回归思想的建立重在逻辑思维的提升，步骤套路的形成，反而比求刻板、复杂回归方程的斜率及截距，相关指数等等更简单，也更具有趣味性，学生在攻克“回归思想建立”的难关后，增强了掌握本节内容了自信心，在“突破口”的带动作用下，促使学生自己在技巧性不是很强的计算方面下功夫，故而使这节内容是在学生脑海里“枝繁叶茂”。
学生学情及教学应对：针对公安一种大多数学生基础较好，本节课没用在公式推导，计算展示上花过多时间，更注重思想的形成和探究能力的培养，为了使少数基础薄弱的学生也能跟得上，本节课多次采用归纳类比法，使得知识模块之间更清晰明了和问题解决也“有模可参”，从而降低了知识内容的难度。
教法：本节课主要采用“问题探究法”引导课堂内容层层推进，力求每个问题与前后知识都紧密联系、承上启下，确保整节课内容主干清晰、逻辑严密。
每个问题都有完整的“发现问题分析问题解决问题”过程。
而且在问题探究的过程中，采用归纳类比法，比如由“线性回归方程”提出“非线性回归方程”，以及“在什么情形是选择非线性回归模型分析两变量关系？”问题的提出都是“举一反三”。
高中数学回归分析的基本思想及其初步应用教案1 新人教A版选修1-2
1、1回归分析的基本思想及其初步应用。
教学目标：通过典型案例，掌握回归分析的基本步骤。
教学重点：熟练掌握回归分析的步骤。
教学难点：求回归系数 a , b教学方法：讲练。
教学过程：一、复习引入：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
二、新课:1、回归分析的基本步骤：(1) 画出两个变量的散点图。
(2) 求回归直线方程。
(3) 用回归直线方程进行预报。
2、举例：例1、题（略） 用小黑板给出。
解：(1) 作散点图，由于问题是根据身高预报体重，因此要求身高与体重的回归直线方程，取身高为自变量x 。
体重为因变量 y ，作散点图（如图）（2）列表求 ,ˆ0.849ˆ85.712x yba ≈≈-回归直线方程 y=0.849x-85.712对于身高172cm 女大学生，由回归方程可以预报体重为y=0.849*172-85.712=60.316(kg) 预测身高为172cm 的女大学生的体重为约60。
316kg问题：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60。
316kg 吗?（留下一节课学习） 例2：（提示后做练习、作业）研究某灌溉渠道水的流速y 与水深x 之间的关系，测得一组数据如下：水深xm 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 流速ym/s1.70 1.79 1.88 1.952.03 2.10 2.16 2.21（1）求y 对x 的回归直线方程；（2）预测水深为1。
95m 时水的流速是多少？解：（略）三、小结四、作业： 例2、 预习。
高中数学 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用课件 新人教A版选修12
标
课 前
转速x(转/秒) 16 14 12 8
自
主
每小时生产有缺
课 时
导 学
11 9 8 5 陷的零件数y(件)
作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
新课标 ·数学 选修1-2
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
1.在平面直角坐标系中作出散点图．
析
教
学
方
【提示】
当 堂
案
双
设
基
计
达
标
课
前
自
课
主
时
导
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
新课标 ·数学 选修1-2
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
作
学
辨 析
教
学
当
方
堂
案
设
●三维目标
双 基
计
1．知识与技能
达 标
课 前
通过典型案例的探究，了解回归分析的基本思想，会对
自 主
两个变量进行回归分析，明确解决回归模型的基本步骤，并
课 时
导 学
对具体问题进行回归分析以解决实际应用问题．了解最小二
作 业
乘法的推导，解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的
湖北省巴东一中高中数学1.1回归分析的基本思想及其初步应用第1课时教案新人教版选修12
§1.1 回归分析的基本思想及其初步（一）【学情分析】：教学对象是高二文科学生，学生已经初步学会用最小二乘法建立线性回归模型的知识，并能用所学知识解决一些简单的实际问题。
回归分析是数理统计中的重要内容，在教学中，要结合实例进行相关性检验，理解只有两个变量相关性显著时，回归方程才具有实际意义。
在起点低的班级中注重让学生参与实践，结合画图表的方法整理数据，鼓励学生通过收集数据，经历数据处理的过程，从而认识统计方法的特点，达到学习的目的。
【教学目标】：（1）知识与技能：回忆线性回归模型与函数模型的差异，理解用最小二乘法求回归模型的步骤，了解判断两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。
（2）过程与方法：本节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线方程。
（3）情感态度与价值观：从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。
【教学重点】：1、了解线性回归模型与函数模型的差异；2、了解两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。
【教学难点】：1、了解线性回归模型与一次函数模型的差异；2、了解偏差平方和分解的思想。
【课前准备】：课件【教学过程设计】：∑n练习与测试1． 设有一个回归方程为x y5.22ˆ-=，则变量x 增加一个单位时，则（ C ） A ．y 平均增加5.2个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少5.2个单位 D ．y 平均减少2个单位 2． 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ B ）A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上 3． 已知x 与y则y 与x 的线性回归方程为a x b yˆˆ+=必过（ D ） A ．（2，2）点 B ．（1.5，0）点 C ．（1，2）点 D ．（1.5，4）点4． 已知两个相关变量x 与y 具有线性相关关系，当x 取值1，2，3，4时，通过观测得到y 的值分别为1.2，4.9，8.1，12.8，这组样本点的中心是（ D ）A ．(2，4.9)B ．(3，8.1)C ．(2.5，7)D ．(2.5，6.75)5． 一位母亲记录了儿子3—9岁的身高，数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ C ） A ．身高一定是145.83cm B ．身高在145.83cm 以上 C ．身高在145.83cm 左右 D ．身高在145.83cm 以下6． 在一次实验中，测得（x ，y ）的四组值分别是A （1，2）、B （2，3）、C （3，4）D （4，5），则y 与x之间的回归直线方程为（ A ）A ．1ˆ+=x yB ．2ˆ+=x yC ．12ˆ+=x yD ． 1ˆ-=x y 7． 有下列关系：⑴人的年龄与其拥有的财富之间的关系；⑵曲线上的点与该点的坐标之间的关系；⑶苹果的产量与气候之间的关系；⑷森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑸学生与其学号之间的关系。
人教A版高中数学选修高二新课程回归分析的基本思想及其初步应用教案新(2)
1.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学过程：一、复习准备：1. 给出例3：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的回归方程.2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.二、讲授新课：1. 探究非线性回归方程的确定： ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模.② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，而z 与x 间的关线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=.⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行.其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 2. 小结：用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤. 三、巩固练习：为了研究某种细菌随时间天数x /天繁殖个数（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；（2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性回归方程为0.69 1.112ˆy=e x +.）。
高中数学 专题1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(第3课时)教案 新人教A版选修12
回归分析的基本思想及其初步应用（第三课时）【学情分析】：学生已经学会建立回归模型的基本步骤，并有检验回归方程的拟合精确度的方法，并能解决一些实际问题。
两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，通过探究使学生体会对回归模型的选择，非线性模型可以通过变换转化为线性回归模型，让学生直观的观察、思考，借助于线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系，并通过回归分析体会不同模型拟合数据的效果。
【教学目标】：（1）知识与技能：了解回归模型的选择；进一步理解非线性模型通过变换转化为线性回归模型；体会不同模型拟合数据的效果。
（2）过程与方法：从实例出发，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足，从而有进行回归分析的必要性，通过学习相关指数，用相关指数来刻画回归的效果，进而归纳出回归分析的一般步骤，并对具体问题进行回归分析，用于解决实际问题。
（3）情感态度与价值观：任何事物都是相对的，但又有一定的规律性，我们只要从实际出发，不断探求事物的内在联系，就会找出其中的规律性，形成解决实际问题的方法和能力。
【教学重点】：1、加深体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型；2、了解在解决问题的过程中寻找更好的模型的方法。
【教学难点】：1、了解常用函数的图像特点，选择不同的模型建模；2、通过比较相关指数对不同的模型进行比较。
【课前准备】：课件【教学过程设计】：，通过画散点图（如下图）的散点图并不分布在一条直线的周围，关系，这个结论还可以用残差分析得到。
i yˆi i i y y e ˆˆ-=()22ˆˆy y e -=从图中可看出指数函数模型的残差点比较均匀地落在水平的带状域中，所以指数函数模型拟合精度较二次函数模型的高。
通过学生自己动手计算感受，归纳判断模型拟合效果的方法：⑴可以通过变换后的散点图观察两个新变量之间是否存在线性回归方程；⑵通过残差分析比较两种模型的拟合效果。
一般情况下，比较两个模型的残差比较困难（某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反），故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果。
人教版高中数学选修(1-2)-1.1《回归分析的基本思想及其初步应用》教学教案
1.1回归分析的基本思想及其初步应用学习目标：（1）通过对实际问题的分析，了解回归分析的必要性与回归分析的一般步骤；了解线性回归模型与函数模型的区别；（2）尝试做散点图，求回归直线方程；（3）能用所学的知识对实际问题进行回归分析，体会回归分析的实际价值与基本思想；了解判断刻画回归模型拟合好坏的方法――相关指数和残差分析。
学习重难点：（1）求回归直线方程，会用所学的知识对实际问题进行回归分析.（2）掌握回归分析的实际价值与基本思想.（3）能运用自己所学的知识对具体案例进行检验与说明.（4）残差变量的解释；（5）偏差平方和分解的思想；学习内容：一、基础知识梳理1.回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。
求回归直线方程的一般步骤：作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系→②求回归系数→③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明.2.回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
建立回归模型的基本步骤是：①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）③由经验确定回归方程的类型.④按一定规则估计回归方程中的参数（最小二乘法）；⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，后模型是否合适等.3.利用统计方法解决实际问题的基本步骤：（1）提出问题；（2）收集数据；（3）分析整理数据；（4）进行预测或决策。
4.残差变量e的主要来源：（1）用线性回归模型近似真实模型（真实模型是客观存在的，通常我们并不知道真实模型到底是什么）所引起的误差。
可能存在非线性的函数能够更好地描述y与x之间的关系，但是现在却用线性函数来表述这种关系，结果就会产生误差。
这种由于模型近似所引起的误差包含在e中。
高中数学第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及初步应用2教案新人教A版选修12
高中数学第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及初步应用2教案新人教 A 版选修12【学情分析】：学生已掌握建立线性回归模型的知识，并能用所学知识解决一些简单的实际问题。
在教学中，要结合实例让学生了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和。
初步了解可以通过求回归模型的相关指数或利用残差分析不同的回归模型的拟合精确度。
在起点低的班级中注重让学生参与实践，鼓励学生通过收集数据，经历数据处理的过程，从而进一步体会回归分析中的数理计算，初步形成运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。
让学生直观的观察、思考，借助于线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系。
【教学目标】：（1 ）知识与技能：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和；了解偏差平方和分解的思想；了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析；了解非线性模型通过变换转化为线性回归模型。
（2 ）过程与方法：本节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足，从而有进行回归分析的必要性，进而学习相关指数，用相关指数来刻画回归的效果。
（3）情感态度与价值观：从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。
【教学重点】：1、了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析；2、通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。
【教学难点】：1、解释残差变量的含义；2、了解偏差平方和分解的思想。
【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、创设情境二、探究新知1由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响。
2.问题一：为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和。
数学《回归分析的基本思想及其初步应用》教案(新人教A版2)高二(最新编写)
y)2
。
（ 2）学习要领： ①注意 yi 、 μyi 、 y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引
起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即
n
n
n
(yi y)2
( yi μyi )2
( μyi y)2 ；③当总偏
i1
i1
i1
差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④
(B) y 平均增加 2 个单位
(C) y 平均减少 2.5 个单位
(D) y 平均减少 2 个单位
3.已知 x 与 y 之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则 y 与 x 的线性回归方程为 y=bx+a 必过（
）
(A) （2，2）点 (B) （1.5，0）点 (C)（1，2）点 (D) （1.5，4）点平方和、回归平方和：
（ 1）总偏差平方和 ：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即 SST
n
残差平方和： 回归值与样本值差的平方和，即 SSE ( yi μyi ) 2
i1
。
n
( yi
i1
y) 2
。
回归平方和： 相应回归值与样本均值差的平方和，即
SSR
n
(μyi
1. 提问：“名师出高徒” 这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？
这两者之间是否有关？
2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系。回归分析是对具有
相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据
作散点图 求回归
高中数学新人教版A版精品教案《1.1 回归分析的基本思想及其初步应用》
教学设计一、教学目标【知识与技能】了解线性回归模型与函数模型的区别；正确理解回归方程的预报结果；能从残差分析和相关指数2R的角度分析回归模型的拟合效果。
【过程与方法】在对典型案例探究过程中，学会借助计算机中的Ece软件处理数据及作图，充分经历“做数学”的过程。
【情感、态度与价值观】通过对典型案例的探究，进一步体会回归分析的基本思想，了解回归分析的实际应用，感受数学“源于生活，用于生活”，提高学习兴趣。
经历数据处理的全过程，培养对数据的直观感觉，养成科学严谨、认真仔细的学习态度，同时也不断增强应用现代化技术手段处理数据的能力。
二、教学重、难点【重点】了解回归模型和函数模型的区别；了解模型拟合效果的分析工具——残差分析和相关指数2R。
【难点】解释、分析残差变量；理解2R的含义三、教学过程（一）知识链接1、两个变量间的关系分为：__________、__________、_________2、如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的_________，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系 3、回归分析的步骤：①_______________②_______________③______________4、求回归直线方程：____________________其中ˆˆ,a b是待定参数 由最小二乘法公式得：5、回归直线方程恒过点__________________【设计意图】课前通过智慧课堂平台给学生分享一个微视频，并要求结合微视频完成学案上的知识链接。
课上，学生对照课件自主订正。
目的是通过有效的复习回顾，为本节课的学习打下坚实的基础。
（二） 情境引入1、观看一段新闻报道——广东省紫金县多人感染丙肝事件2、从高二9、10班的所有女生中随机选取8名，其身高和体重数据如下表：的女生的体重【设计意图】短视频的链接是为了引入课题，同时也能有效的激发学生的好奇心和求知欲，调动学生的学习热情。
高中数学选修1-2教案3：1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二) (2)教学设计
回归分析的基本思想及其初步应用【教学目标】：（1）知识与技能：了解回归模型的选择；进一步理解非线性模型通过变换转化为线性回归模型；体会不同模型拟合数据的效果。
（2）过程与方法：从实例出发，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足，从而有进行回归分析的必要性，通过学习相关指数，用相关指数来刻画回归的效果，进而归纳出回归分析的一般步骤，并对具体问题进行回归分析，用于解决实际问题。
（3）情感态度与价值观：任何事物都是相对的，但又有一定的规律性，我们只要从实际出发，不断探求事物的内在联系，就会找出其中的规律性，形成解决实际问题的方法和能力。
【教学重点】：1.加深体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型；2.了解在解决问题的过程中寻找更好的模型的方法。
【教学难点】：1.了解常用函数的图像特点，选择不同的模型建模；2.通过比较相关指数对不同的模型进行比较。
教学过程问题导学一、求线性回归方程活动与探究1某工厂1～8月份某种产品的产量与成本的统计数据见下表：以产量为x，成本为y．(1)画出散点图；(2)y与x是否具有线性相关关系？若有，求出其回归方程．迁移与应用1．(2013海南海口模拟)在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，则y与x之间的回归直线方程为()A．＝x＋1 B．＝x＋2C．＝2x＋1 D．＝x－12．某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下关系：(1)y与x是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出回归直线方程．(方程的斜率精确到个位)(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．(1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．二、线性回归分析活动与探究2某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：(1)作出散点图；(2)求出线性回归方程；(3)作出残差图，并说明模型的拟合效果；(4)计算R2，并说明其含义．迁移与应用1．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元2．在一段时间内，某种商品的价格x(元)和需求量y(件)之间的一组数据为：且知x与y具有线性相关关系，求出y对x的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏．“相关指数R2、残差图”在回归分析中的作用：(1)相关指数R2是用来刻画回归效果的，由R2＝1－可知R2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好．(2)残差图也是用来刻画回归效果的，判断依据是：残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．三、非线性回归分析活动与探究3下表为收集到的一组数据：(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．迁移与应用1．在彩色显影中，由经验知形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式y＝e b xA(b＜0)表示，现测得试验数据如下：则y对x的回归方程是__________．2．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：试建立y与x之间的回归方程．非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．[答案] 课前·预习导学 【预习导引】1．(1)确定性 非确定性 (2)相关 (3) ＝1221ni ii n i i x ynx yx nx==--∑∑ －样本点的中心 (4)随机误差 解释变量 预报变量 预习交流1 D2．y i －bx i －a y i －i y i －x i －3．1－ 解释变量 预报变量 1预习交流2 提示：散点图可以说明变量间有无线性相关关系，只能粗略地说明两个变量之间关系的密切程度，而相关指数R 2能精确地描述两个变量之间的密切程度．预习交流3 提示：(1)回归方程只适用于所研究的样本的总体． (2)所建立的回归方程一般都有时间性． (3)样本的取值范围会影响回归方程的适用范围．(4)不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值．事实上，它是预报变量的可能取值的平均值．课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：画出散点图，观察图形的形状得x 与y 是否具有线性相关关系．把数值代入回归系数公式求回归方程．解：(1)由表画出散点图，如图所示．(2)从上图可看出，这些点基本上散布在一条直线附近，可以认为x 和y 线性相关关系显著，下面求其回归方程，首先列出下表．＝6.85，＝157.25．∴＝81822188i ii ii x yx yxx ==--∑∑＝≈22.17， ＝－＝157.25－22.17×6.85≈5.39，故线性回归方程为＝22.17x ＋5.39． 迁移与应用 1．A [解析]方法一：＝＝，＝＝．故＝＝＝1，＝－＝－＝1．因此，＝x＋1，故选A．方法二：也可由回归直线方程一定过点(，)，即，代入验证可排除B，C，D．故应选A．2．[解析](1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．设回归直线为＝x＋，由题知＝42.5，＝34，则求得＝＝≈－3．＝－＝34－(－3)×42.5＝161.5．∴＝－3x＋161.5．(2)依题意有P＝(－3x＋161. 5)(x－30)＝－3x2＋251.5x－4 845＝－32＋－4 845．∴当x＝≈42时，P有最大值，约为426．即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．活动与探究2思路分析：先画出散点图，确定是否具有线性相关关系，求出回归方程，再求出残差，确定模型的拟合的效果和R2的含义．[解析](1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2) ＝39.25，＝40.875，＝12 656，＝13 731，y i＝13 180，i∴＝＝≈1.041 5，＝－＝－0.003 875，∴线性回归方程为＝1.041 5x－0.003 875．(3)作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．(4)计算得相关指数R2≈0.985 5，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．迁移与应用1．B[解析]∵＝－＝－9.4×＝9.1，∴回归方程为＝9.4x ＋9.1．令x ＝6，得＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 2．[解析]＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，521ii x=∑＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，521ii y=∑＝122＋102＋72＋52＋32＝327，i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，∴＝51522155i ii ii x yx y xx ==--∑∑＝＝＝－1.15．∴＝7.4＋1.15×18＝28.1，∴回归直线方程为＝－1.15x ＋28.1． 列出残差表为：∴(y i －i )2＝0.3， (y i －)2＝53.2，R 2＝1－≈0.994．故R 2≈0.994说明拟合效果较好．活动与探究3 思路分析：先由数值表作出散点图，然后根据散点的形状模拟出近似函数，进而转化为线性函数，由数值表求出回归函数．[解析](1)作出散点图如图，从散点图可以看出x 与y 不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线21e c x y c =的周围，其中c 1，c 2为待定的参数．(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z ＝ln y ，则有变换后的样本点应分布在直线z ＝bx ＋a ，a ＝ln c 1，b ＝c 2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y 与x 之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：求得回归直线方程为＝0.272x －3.849，∴＝e 0.272x －3.849．残差(3)当x ＝40时，y ＝e 0.272x －3.849≈1 131．迁移与应用 1．$0.151.73e xy -= [解析]由题给的经验公式y ＝e b x A ，两边取自然对数，便得ln y ＝ln A ＋．与线性回归直线方程相对照，只要取u ＝，v ＝ln y ，a ＝ln A ，就有v ＝a ＋bu ，这是v 对u 的线性回归方程．对此我们已经掌握了一套相关性检验，求a 与回归系数b 的方法．题目所给数据经变量置换u ＝，v ＝ln y 变成如下表所示的数据：|r |≈0.998＞0.75，故v与u之间具有很强的线性相关关系，求回归直线方程是有意义的．由表中数据可得≈－0.15，≈0.55，即＝0.55－0.15u．把u与v换回原来的变量x与y，即u＝，v＝ln y，故ln ＝0.55－，即＝0.150.55e x-＝e0.550.15e x-≈0.151.73e x-．这就是y对x的回归曲线方程．2．[解析]画出散点图如图所示．根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设y＝，令t＝，则y＝kt，原数据变为：由置换后的数值表作散点图如下：由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系．列表如下：所以＝1.55，＝7.2．所以＝≈4.134 4，＝－≈0.8．所以＝4.134 4t＋0.8．所以y与x的回归方程是＝＋0.8．当堂检测1．(2012湖南高考，理4)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为$y ＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg[答案]D[解析]D选项中，若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重约为0.85×170－85.71＝58.79(kg)．故D不正确．3．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y对x的线性回归方程为()A．y＝x－1 B．y＝x＋1C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176[答案]C[解析]法一：由线性回归直线方程过样本中心(176,176)，排除A ，B[答案]，结合选项可得C 为正确[答案]．法二：将表中的五组数值分别代入选项验证，可知y ＝88＋12x最适合．3．在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型．通过计算得R 2的值如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的R 2为0.98B ．模型2的R 2为0.80C ．模型3的R 2为0.50D ．模型4的R 2为0.25 [答案]A[解析]R 2越接近于1，则该模型的拟合效果就越好，精度越高．4．若对于变量y 与x 的10组统计数据的回归模型中，R 2＝0.95，又知残差平方和为120.53，那么101i =∑(y i －y )2的值为______．[答案]2 410.6[解析]依题意有0.95＝1－1021120.53()ii y y =-∑，所以1021()ii yy =-∑＝2 410.6．4． 假设关于某设备的使用年限x (年)和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计数据．若由此资料可知y 对x 呈线性相关关系，试求： (1)回归直线方程；[解析]由题表中数据列成下表：于是51522215112.35451.2390545i ii ii x y x ybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑$，$a＝y －bx $＝5－1.23×4＝0.08， 所以回归直线方程为$y＝bx $＋$a ＝1.23x ＋0.08．(2)估计使用年限为10年时，维修费用为多少？ [答案]当x ＝10时，$y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，估计使用10年时的维修费用为12.38万元． 课堂小结：（学生总结） 板书设计：（略） 教后记：。
高中数学新人教版A版精品教案《3.1 回归分析的基本思想及其初步应用》2
回归分析的基本思想及其初步应用一、知识目标：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用，培养学生分析和解决实际问题的能力学生在学习必修3概率统计内容的基础上，有兴趣进一步理解统计的基本思想。
再加上图形计算器的使用，更增加了学生们学习统计的可操作性。
学生们兴趣高涨。
二、教学重、难点：重点：了解线性回归模型与函数模型的区别；回归模型拟合好坏的刻画——相关指数和残差分析。
难点：残差变量的解释；相关指数和残差分析的思想。
三、教学过程：（一）典例分析例1（线性回归问题）从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。
例2（非线性回归问题）一只红铃虫的产卵数和温度有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立与之间的回归方程。
（三）知识讲解：1、相关定义随机误差残差相关指数2、建立回归模型的基本步骤：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。
（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（3）由经验确定回归方程的类型（4）按一定规则估计回归方程中的参数（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
（四）练习反馈牛刀小试1．设有一个回归方程为y ^＝2－2.5x ，当变量x 增加一个单位时( )A ．y 平均增加2.5个单位B ．y 平均增加2个单位C ．y 平均减少2.5个单位D ．y 平均减少2个单位2．在两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是A ．模型1的相关指数R2为B ．模型2的相关指数R2为C ．模型3的相关指数R2为D ．模型4的相关指数R2为3、某班5名学生的数学和物理成绩如表：错误! A B C D E 数学成绩 88 76 73 66 63 物理成绩78657164611画出散点图；2求物理成绩对数学成绩的回归方程；3一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．4、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：编号 1234 5 6 7 8 9 10 零件数/个 10 2021 0 40 50 60 70 80 90 100 加工时间/分6268758189951021081151221建立回归模型，并残差分析，计算相关指数；2你认为这个模型能较好地刻画零件数和加工时间的关系吗？ （五）课后作业为了研究某种细菌随时间变化，繁殖的个数，收集数据如下：天数/天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数/个612254995190（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图； （2）试求出预报变量对解释变量的回归方程（答案：所求非线性回归方程为）。
人教A版高中数学选修回归分析的基本思想及其初步应用教案新(2)
3.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程：一、复习准备：1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课：1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()ni i SST y y ==-∑.残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21()ni i i SSE y y ==-∑.回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21()ni i SSR y y ==-∑.（2）学习要领：①注意i y 、i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即222111()()()nnni i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好. 2. 教学例题：为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.（答案：52211521()155110.8451000()i i i ii y y R yy ==-=-=-=-∑∑，221R =-521521()18010.821000()ii i ii yy yy ==-=-=-∑∑，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.）3. 小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.。
高中数学选修1-2《回归分析的基本思想及其初步应用》教案
高中数学选修1-2《回归分析的基本思想及其初步应用》教案教学目标：1.了解回归分析的基本概念和方法，学会使用回归分析方法对一些实际问题作出预测和分析。
2.能够正确理解和使用回归分析的基本统计量，包括相关系数、判定系数和残差等。
3.能够理解和描述回归分析的假设条件和前提条件，掌握回归分析的模型建立过程，并能正确应用到实际问题中。
教学重点：1.回归分析的基本概念和方法。
2.回归分析的统计量及其含义。
3.回归分析的模型建立过程。
教学难点：1.应用回归分析方法对实际问题进行预测和分析。
2.掌握回归分析模型的建立方法。
教学方法：1.讲授法2.实例分析法3.互动式教学法教学内容：第一节回归分析的基本概念和方法1.回归分析的概念和意义。
2.回归分析的基本模型和方程式。
3.单变量和多变量回归分析的区别和应用。
4.回归分析的基本假设条件和前提条件。
第二节回归分析的统计量及其含义1.相关系数的概念和计算方法。
2.判定系数的定义和计算方法。
3.残差的概念和含义。
4.其他相关统计量的应用。
第三节回归分析的模型建立过程1.数据的收集和清理。
2.变量的筛选和筛选标准。
3.模型的构建和检验。
4.模型的应用和预测。
教学方式：1.讲授。
通过讲解回归分析的概念、方法、统计量和模型建立过程等内容，让学生了解回归分析的基本概念和方法，为后续的案例分析打下基础。
2.案例分析。
通过实例分析法，将回归分析的理论知识与实际问题相结合，并引导学生从实际问题中理解和掌握回归分析的方法和应用。
3.互动式教学。
引导学生在互动交流中，理解和掌握回归分析的基本概念和方法，加深对回归分析的理解和认识。
教学评估：教师根据学生在课堂上的表现和课下的练习情况，对学生进行综合评价。
主要考核内容包括：学生对回归分析的概念和方法的理解程度、学生对回归分析应用的掌握情况、学生对回归分析的模型建立和检验能力、学生的综合分析和判断能力等。
据此评价学生的成绩，并作出相应的教学反思和改进。
人教A版 选修1-2 回归分析的基本思想及其初步应用(二 教案
和、回归平方和：
（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即
残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即
回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即
（2）学习要领：
①注意 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即使
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
对于x与y的线性关系，进行统计分析，现有两种模型，
， 试比较哪一种模型的拟合效果比较好。
解答：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论
所以选择前一种效果比较好。
2.在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70，男性54人，女性中有43人要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动，男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人的主要休闲方式是运动，（1）根据以上数据建立一个2*2的列联表，（2）判断性别与休闲是否有关系。
一、复习准备
1：由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响
2：为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和SST、残差平方和SSE、回归平方和SSR。
3为了刻画回归效果是否最好，我们引入 。
③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数R来刻画回归的效果， ，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率, 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好
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高中数学 第一章《回归分析的基本思想及其初步应用》教
案2 新人教A 版选修12
1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）
教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程：
一、复习准备：
1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.
2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课：
1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：
（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()n
i i SST y y ==-∑.
残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21
()n
i i i SSE y y ==-∑.
回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21
()n
i i SSR y y ==-∑.
（2）学习要领：①注意i y 、i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即2
2
21
1
1
()()()n
n
n
i i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；
③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数2
212
1
()1()n
i
i i n i
i y
y R y
y ==-=-
-∑∑来刻画回
归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2
R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好. 2. 教学例题：
例2 关于x 与Y 有如下数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70
为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，
717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.
分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.
（答案：
5
22115
2
1()155110.845
1000
()i i i i
i y y R y
y ==-=-
=-=-∑∑，
221R =-
5
2
1
52
1
()180
10.821000
()i
i i i
i y
y y
y ==-=-=-∑∑，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.）
3. 小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.。