19-20 第5章 5.6 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

5.6函数y＝A sin(ωx＋φ)

5.6.1匀速圆周运动的数学模型

5.6.2函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象

学习目标核心素养1.理解参数A，ω，φ对函数y＝A sin(ωx ＋φ)的图

象的影响；能够将y＝sin x的图象进行变换得到y ＝A sin(ωx＋φ)，x ∈R 的图象．(难点)

2.能根据y＝A sin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．(重点)

3.求函数解析式时φ值的确定．(易错点) 1.通过函数图象的变换，培养直观想象素养.

2.借助函数的图象求解析式，提升数学运算素养.

1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响3．A(A＞0)对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响

1．把函数y＝sin x的图象向左平移π

3个单位长度后所得图象的解析式为

( )

A ．y ＝sin x －π

3 B ．y ＝sin x ＋π

3 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －π3

D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x ＋π3

D [根据图象变换的方法，y ＝sin x 的图象向左平移π

3个单位长度后得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x ＋π3的图象．] 2．为了得到函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R 的图象，只需将函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，

x ∈R 的图象上的所有点( )

A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B ．横坐标缩短到原来的1

2倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的1

2倍，横坐标不变

A [函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －π6的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不

变，得到y ＝4sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12x －π6的图象．]

3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为5，则A ＝________. 4 [由已知得A ＋1＝5，故A ＝4.]

三角函数图象之间的变换

【例1】 (1)将函数y ＝2cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．

(2)将y ＝sin x 的图象怎样变换可得到函数y ＝2sin2x ＋π

4＋1的图象？ [思路点拨] (1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．

(2)法一：y ＝sin x →纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移． 法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．

(1)y ＝－2cos 2x －3 [y ＝2cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π3个单位长度，

得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤

2⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝2cos(2x ＋π)＝－2cos 2x ， 再向下平移3个单位长度得y ＝－2cos 2x －3的图象．]

(2)[解] 法一：(先伸缩法)①把y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin x 的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝2sin 2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π

8个单位，得y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x ＋π8的图象； ④将所得图象沿y 轴向上平移1个单位， 得y ＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π4＋1的图象．

法二：(先平移法)①将y ＝sin x 的图象沿x 轴向左平移π

4个单位，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋π4的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π4的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象；④将所得图象沿y 轴向上平移1个单位，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象．

由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：

(1)y ＝sin x ――――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)

――――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．

(2)y ＝sin x ――――→周期变换y ＝sin ωx ――――→相位变换

y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛

⎭⎪⎫x ＋φω＝sin(ωx ＋

φ)――――→振幅变换

y ＝A sin(ωx ＋φ)．

提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|

ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．

1．(1)要得到y ＝cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( )

A ．向左平移π

8个单位 B ．向右平移π

8个单位 C ．向左平移π

4个单位

D ．向右平移π

4个单位

(2)把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π

6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12x ＋π3，则f (x )

的解析式是( )

A ．f (x )＝3cos x

B ．f (x )＝3sin x

C ．f (x )＝3cos x ＋3

D ．f (x )＝sin 3x

(1)A (2)A [(1)因为y ＝cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π4

＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋π2＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝sin 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋π8，

所以将y ＝sin 2x 的图象向左平移π

8个单位， 得到y ＝cos ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x －π4的图象．