19-20 第5章 5.6 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

5.6函数y＝A sin(ωx＋φ)5.6.1匀速圆周运动的数学模型5.6.2函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象学习目标核心素养1.理解参数A，ω，φ对函数y＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响；能够将y＝sin x的图象进行变换得到y ＝A sin(ωx＋φ)，x ∈R 的图象．(难点)2.能根据y＝A sin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．(重点)3.求函数解析式时φ值的确定．(易错点) 1.通过函数图象的变换，培养直观想象素养.2.借助函数的图象求解析式，提升数学运算素养.1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响3．A(A＞0)对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响1．把函数y＝sin x的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为( )A ．y ＝sin x －π3 B ．y ＝sin x ＋π3 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3D [根据图象变换的方法，y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度后得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．] 2．为了得到函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R 的图象，只需将函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R 的图象上的所有点( )A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变A [函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象．]3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为5，则A ＝________. 4 [由已知得A ＋1＝5，故A ＝4.]三角函数图象之间的变换【例1】 (1)将函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．(2)将y ＝sin x 的图象怎样变换可得到函数y ＝2sin2x ＋π4＋1的图象？ [思路点拨] (1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．(2)法一：y ＝sin x →纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移． 法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．(1)y ＝－2cos 2x －3 [y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π3个单位长度，得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝2cos(2x ＋π)＝－2cos 2x ， 再向下平移3个单位长度得y ＝－2cos 2x －3的图象．](2)[解] 法一：(先伸缩法)①把y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin x 的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝2sin 2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位，得y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8的图象； ④将所得图象沿y 轴向上平移1个单位， 得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象．法二：(先平移法)①将y ＝sin x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象；④将所得图象沿y 轴向上平移1个单位，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――――→周期变换y ＝sin ωx ――――→相位变换y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω＝sin(ωx ＋φ)――――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．1．(1)要得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位 C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位(2)把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝3sin xC ．f (x )＝3cos x ＋3D ．f (x )＝sin 3x(1)A (2)A [(1)因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8，所以将y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位， 得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象．(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3 ――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3――――――→向左平移π6个单位y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝3cos x ．]已知函数图象求解析式【例2】 (1)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4＋4B ．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋4C ．y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4＋2D ．y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋2(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，且图象如图所示，求其解析式．[思路点拨] 由最大(小)值求A 和B ，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ. (1)A [由函数f (x )的最大值和最小值得 A ＋B ＝6，－A ＋B ＝2，所以A ＝2，B ＝4， 函数f (x )的周期为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫－π2×4＝4π，又ω＞0， 所以ω＝12，又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，6在函数f (x )的图象上所以6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＋4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，所以φ＝2k π－π4，k ∈Z ，又|φ|＜π2 所以φ＝－π4，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4＋4.](2)[解] 法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，又由点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－π6×2＋φ＝0得φ＝π3，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二：(方程法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，－π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又因为|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π3，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法三：(变换法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，且f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位而得到的，解析式为f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.确定函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口.“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：,“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；,“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；,“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；,“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；,“第五点”为ωx ＋φ＝2π.2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，求f (x )的解析式．[解] 由最低点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.在x 轴上两相邻交点之间的距离为π2，故T 2＝π2，即T ＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.三角函数图象与性质的综合应用[探究问题]1．如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴方程？ 提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x 轴．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝k π－φω(k ∈Z )．2．如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称中心？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)图象的对称中心即函数图象与x 轴的交点．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )成中心对称；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫(2k ＋1)π－2φ2ω，0(k ∈Z )成中心对称． 【例3】 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝( ) A.23 B.143 C.263 D.383(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．[思路点拨] (1)先由题目条件分析函数f (x )图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求ω的值．(2)先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.(1)B [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以直线x ＝π6＋π32＝π4是函数f (x )图象的一条对称轴，又因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以当x ＝π4时，f (x )取得最小值．所以π4ω＋π3＝2k π－π2，k ∈Z ，解得ω＝8k －103，(k ∈Z ) 又因为T ＝2πω≥π3－π6＝π6，所以ω≤12，又因为ω＞0， 所以k ＝1，即ω＝8－103＝143.](2)[解] 由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，∴f (x )在x ＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1. 依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝π2. 由f (x )的图象关于点M 对称，可知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，即3π4ω＋π2＝k π，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π. ∴ω≤2，又ω＞0，∴k ＝1时，ω＝23；k ＝2时，ω＝2. 故φ＝π2，ω＝2或23.1．将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数”改为“在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上为增函数”，试求ω的最大值．[解] 因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝sin φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0. 因为f (x )＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω上是增函数．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，于是⎩⎪⎨⎪⎧ω＞0，－3π2≥－π2ωπ2≤π2ω，，解得0＜ω≤13，所以ω的最大值为13.2．本例(2)中增加条件“ω＞1”，求函数y ＝f 2(x )＋sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8的最大值．[解] 由条件知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8得2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22y ＝f 2(x )＋sin 2x ＝cos 22x ＋sin 2x ＝1－sin 22x ＋sin 2x ＝－(sin 2x －12)2＋54 所以当sin 2x ＝12时y max ＝54.1．正弦余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和余弦型函数y ＝A cos(ωx ＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数，当φ＝k π±π2(k ∈Z )时为偶函数；对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数，当φ＝k π±π2(k ∈Z )时为奇函数．2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x 的系数转变为正数，再求单调区间．1．准确理解“图象变换法”(1)由y ＝sin x 到y ＝sin (x ＋φ)的图象变换称为相位变换，由y ＝sin x 到y ＝sin ωx 图象的变换称为周期变换；由y ＝sin x 到y ＝A sin x 图象的变换称为振幅变换．(2)由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，其变换途径有两条，注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：①是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．②是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．(3)类似地y ＝A cos (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象也可以由y ＝cos x 的图象变换得到．2．由y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象性质或部分图象确定解析式的关键在于确定参数A ，ω，φ.其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解.1．思考辨析(1)y ＝sin 3x 的图象向左平移π4个单位所得图象的解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.( ) (2)y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y ＝sin 2x .( )(3)y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y ＝12sin x ．( )[提示] (1)错误．y ＝sin 3x 的图象向左平移π4个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋34π. (2)错误．y ＝sin 2x 应改为y ＝sin 12x . (3)错误．y ＝12sin x 应改为y ＝2sin x . [答案] (1)× (2)× (3)×2．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________．12 [函数y ＝cos x 纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍y ＝cos 12x .所以ω＝12.] 3．由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．π3 2π3 [y ＝3sin x ―――――→向左平移π3个单位y ＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ――――――――――→横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，y ＝3sin x ――――――――→横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ――――――――→向左平移2π3个单位y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.] 4．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋3(x ∈R )，用图象变换法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．[解]。