初二数学三角形中相关角度的计算规律及应用专题(重要)

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三角形角度问题知识点总结

三角形角度问题知识点总结一、三角形内角的性质1. 三角形内角和三角形的内角和是180度。

对于任意一个三角形ABC，我们可以通过以下公式来计算三角形的内角和：∠A + ∠B + ∠C = 180°这个性质是三角形内角计算的基础，我们可以根据这个公式来解决一些与三角形内角相关的问题。

2. 等腰三角形内角在等腰三角形中，两个底边的角相等，即∠A = ∠B。

由于我们知道三角形的内角和是180度，在等腰三角形中，我们可以根据这个性质来计算另外一个角的度数。

3. 直角三角形内角在直角三角形中，有一个角是直角，即90度，其他两个角的内角和是90度。

我们可以利用这个性质来计算和证明直角三角形的相关问题。

4. 三角形内角之间的关系在三角形中，三个内角之间有一些特殊的关系。

例如，其中一角大于其他两角的和。

我们可以利用这些关系来解决一些与三角形内角之间的大小关系相关的问题。

二、三角形外角的性质1. 三角形外角和三角形的外角和等于360度。

对于任意一个三角形ABC，我们可以通过以下公式来计算三角形的外角和：∠A' + ∠B' + ∠C' = 360°这个性质是三角形外角的计算的基础，我们可以根据这个公式来解决一些与三角形外角相关的问题。

2. 三角形外角与对应内角的关系在三角形中，一个外角的度数等于与之相对的两个内角的和，即∠A' = ∠B + ∠C。

这个性质是三角形外角与内角之间的重要关系。

三、三角形角度计算和证明1. 三角形内角计算在计算三角形的内角时，一般可以通过已知的内角和性质来进行计算。

例如，根据等腰三角形的性质来计算等腰三角形的内角，或者利用直角三角形的性质来计算直角三角形的内角。

2. 三角形内角大小比较在比较三角形的内角大小时，可以利用三角形内角之间的关系来进行比较。

例如，我们可以通过比较三角形内角之间的关系来判断一个角是否大于另外一个角。

3. 三角形外角计算和证明在计算三角形的外角时，一般可以通过已知的外角和性质来进行计算。

三角形的角度计算掌握三角形的角度计算方法解决三角形问题

三角形的角度计算掌握三角形的角度计算方法解决三角形问题三角形的角度计算是解决三角形问题的重要方法。

在几何学中，三角形是最基本的形状之一，其特点是由三条边和三个角构成。

通过准确计算三角形的角度，我们可以推导出其他相关信息，如边长、面积等。

本文将介绍三角形的角度计算方法，并以实例说明如何解决三角形问题。

1. 三角形的内角和定理三角形的内角和定理是基本的角度计算方法之一。

根据该定理，三角形的三个内角之和始终等于180度。

即：角A + 角B + 角C = 180°这个定理可以用于计算已知两个角度的情况下第三个角度的大小。

例如，已知三角形的角A为60°，角B为40°，则角C为180° - 60° - 40° = 80°。

2. 直角三角形的角度计算直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。

根据三角形的内角和定理，其他两个角度之和为90度。

对于已知两个角度的直角三角形，我们可以通过这个关系计算第三个角度。

3. 利用三角函数计算角度三角函数是计算三角形角度的重要工具。

三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。

这些函数的计算结果可以用来确定角度大小。

以正弦函数为例，正弦函数可以表示为：sin(角度) = 对边 / 斜边通过已知两个边的长度，我们可以计算出三角形内的角度。

例如，已知三角形的斜边边长为5，对边边长为3，我们可以计算出正弦函数的值为sin(角度) = 3 / 5。

通过查阅正弦函数表或使用计算器，我们可以得知该角度的大小。

4. 利用余弦定理计算角度余弦定理是计算非直角三角形角度的重要定理。

根据余弦定理，三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的乘积与对应角的余弦的乘积。

应用余弦定理，我们可以计算已知三边长度的非直角三角形的角度。

例如，已知三角形的边长分别为a、b、c，我们可以利用余弦定理得到cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc)。

三角形中相关角度的计算规律及应用

三角形中相关角度的计算规律及应用三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角所确定。

在三角形中，存在许多相关的角度，它们之间有一些特定的计算规律和应用。

本文将介绍这些计算规律并探讨它们的实际应用。

1. 三角形内角和定理三角形的内角和为180度。

即三角形的三个内角加起来等于180度。

这一定理可以用以下公式表示：α + β + γ = 180°其中，α、β、γ分别表示三角形的三个内角。

2. 三角形外角和定理三角形的外角和等于360度。

即三角形的三个外角加起来等于360度。

我们可以用以下公式来表示这一定理：α' + β' + γ' = 360°其中，α'、β'、γ'分别表示三角形的三个外角。

3. 锐角三角形锐角三角形是指三个内角都小于90度的三角形。

在锐角三角形中，有以下重要的计算规律：(1) 锐角三角形的三个内角之和等于180度。

(2) 锐角三角形的三个角对应的边长之比具有特定的关系，即正弦定理、余弦定理和正切定理。

4. 直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。

直角三角形中存在一些特殊的计算规律：(1) 直角三角形的两个锐角之和等于90度。

(2) 直角三角形中的两条边与对应的角之间具有特定的关系，即勾股定理。

5. 钝角三角形钝角三角形是指其中一个内角大于90度的三角形。

钝角三角形中，仍然满足三角形的内角和定理和外角和定理。

这些计算规律在实际生活中有广泛的应用，下面将介绍一些例子。

例一：测量不规则三角形的面积在测量不规则三角形的面积时，我们通常无法直接测量其底边和高。

这时可以利用三角形内角和定理，将不规则三角形分解为两个或多个已知形状的三角形，进而求得其面积。

例二：计算斜边长度当我们已知直角三角形的一条直角边和斜边的长度，可以利用勾股定理计算另一条直角边的长度。

这在建筑、工程等领域中常常被应用。

例三：测量远距离在测量远距离时，常常利用三角形的正弦定理或余弦定理。

中考考点三角形中角度与边长的关系的计算与应用

中考考点三角形中角度与边长的关系的计算与应用中考考点：三角形中角度与边长的关系的计算与应用一、引言三角形是几何学中的重要概念，其角度与边长之间的关系是中考数学题中的常见考点。

掌握三角形中角度与边长的计算与应用，对于解题具有重要意义。

本文将介绍三角形中角度与边长的关系的计算方法和实际应用。

二、角度的计算方法1. 直角三角形的角度关系在直角三角形中，有一个直角（90°）和两个锐角（小于90°）。

根据三角形的内角和为180°，可以计算得出直角三角形中两个锐角之和为90°。

例如，已知一个角度为30°，则另一个角度为90°-30°=60°。

2. 一般三角形的角度关系对于一般三角形，角度的计算可以通过以下方法进行：(1) 已知两个角度，求第三个角度：三角形的内角和为180°，所以可以通过已知的两个角度求得第三个角度。

(2) 已知两边长度及夹角，求第三边的长度：可以利用余弦定理、正弦定理或正切定理进行计算。

三、边长的计算方法1. 直角三角形的边长关系在直角三角形中，有一个直角和两个锐角。

根据勾股定理，直角边的平方等于两个锐角边的平方和。

例如，在一个直角三角形中，已知两个锐角边的长度分别为3和4，可以通过计算得知直角边的长度为√(3^2+4^2)=5。

2. 一般三角形的边长关系对于一般三角形，可以利用余弦定理、正弦定理或正切定理来计算边长：(1) 余弦定理：在一个三角形中，已知两边长度及夹角，可以利用余弦定理计算第三边的长度。

根据余弦定理，第三边的平方等于已知两边的平方和减去两倍已知两边的长度乘以夹角的余弦值。

(2) 正弦定理：在一个三角形中，已知一个角度和该角度对应的边长以及另外两边的长度，可以利用正弦定理计算未知边长。

(3) 正切定理：在一个三角形中，已知一个角度和该角度对应的边长以及另外一条边的长度，可以利用正切定理计算未知边长。

三角形中的角度和定理与推论

三角形中的角度和定理与推论三角形是几何学中最基本的图形之一，研究三角形的性质和定理对于几何学的学习至关重要。

在本文中，我们将讨论三角形中的角度和定理，以及相关的推论。

一、基本概念在开始探讨具体的定理之前，我们先来回顾一下三角形的基本概念。

三角形是由三条线段组成的，其中每条线段称为三角形的边。

而线段的交点称为三角形的顶点。

根据三个顶点的连接方式，三角形可以分为不同的类型，如等腰三角形、等边三角形等。

二、角度和定理1. 内角和定理三角形中的三个内角的和总是等于180度。

这是三角形中最基本的定理之一，也是我们在解决与三角形相关的问题时经常会用到的一个公式。

2. 直角三角形定理直角三角形是指一个角恰好为90度的三角形。

根据直角三角形的定义，直角三角形定理可以表述为：如果一个三角形的一个角为90度，则该三角形是直角三角形。

3. 等腰三角形定理等腰三角形是指两个边长度相等的三角形。

根据等腰三角形的定义，等腰三角形定理可以表述为：如果一个三角形的两个边相等，则该三角形是等腰三角形。

在等腰三角形中，其底角（即和两边不等边的夹角）相等。

4. 等边三角形定理等边三角形是指三个边长度都相等的三角形。

根据等边三角形的定义，等边三角形定理可以表述为：如果一个三角形的三个边相等，则该三角形是等边三角形。

在等边三角形中，每个角都恰好为60度。

三、推论在上述定理的基础上，我们可以得出一些推论，来帮助我们在解决与三角形有关的问题时更加高效。

1. 三角形内角的性质根据内角和定理，我们可以得出以下推论：- 任意一个三角形的最大角小于180度；- 任意一个三角形的最小角大于0度；- 任意一个三角形的两个角的和大于第三个角。

2. 等腰三角形的性质根据等腰三角形定理，我们可以得出以下推论：- 等腰三角形中的底角相等；- 等腰三角形中的顶角相等。

3. 等边三角形的性质根据等边三角形定理，我们可以得出以下推论：- 等边三角形的三个角均为60度。

三角形有关的角度计算

三角形有关的角度计算三角形是最简单的多边形之一，它由三条边和三个角组成。

在三角形中，角度的求解是一个重要的问题。

本文将探讨有关三角形角度的计算方法和相关公式。

一、三角形角度的基本概念在三角形ABC中，我们可以定义以下几个基本概念：1.内角：指位于三角形内部的角。

在三角形ABC中，角A、角B和角C都是内角。

2.外角：指位于三角形外部的角。

在三角形ABC中，角D、角E和角F都是外角。

3.锐角：指小于90度的角。

在三角形ABC中，如果角A、角B和角C 都小于90度，则它是一个锐角三角形。

4.直角：指等于90度的角。

在三角形ABC中，如果角A、角B或角C 等于90度，则它是一个直角三角形。

5.钝角：指大于90度但小于180度的角。

在三角形ABC中，如果角A、角B或角C有一个大于90度，则它是一个钝角三角形。

6.外角和内角的关系：任意一个外角等于其对应的两个内角之和。

在三角形ABC中，对于外角D来说，有D=A+B。

二、角度计算的基本原理要计算三角形的角度，我们需要使用一些基本原理和公式：1.三角形的内角和为180度：在三角形ABC中，角A+角B+角C=180度。

2.外角和内角的关系：在三角形ABC中，任意一个外角等于其对应的两个内角之和。

如D=A+B。

3.相似三角形的角度关系：如果两个三角形相似，他们的内角分别相等。

如在相似三角形ABC和DEF中，角A=角D、角B=角E、角C=角F。

1.等边三角形：一个等边三角形的三个角度都是60度。

因为等边三角形的三条边都相等，所以三个内角也相等。

2.直角三角形：一个直角三角形的一个角度是90度。

因为直角三角形的其中一个角是直角（90度）。

3.等腰三角形：一个等腰三角形的两个底角（底边两边对应的内角）是相等的。

因为等腰三角形的两条底边是相等的，根据相似三角形的性质，两个底角也是相等的。

对于普通三角形ABC，如果已知其中两个角，我们可以用180度减去这两个角的和，得到第三个角的度数。

三角形的角度与角度关系

三角形的角度与角度关系三角形是我们初中数学教学中最常见的几何图形之一，它由三条边和三个内角组成。

本文将着重讲解三角形的角度与角度关系，帮助读者更好地理解和运用相关知识。

1. 三角形角度的定义在三角形中，每个顶点都对应一个内角，我们以A、B、C来表示三个顶点，对应的内角分别为∠A、∠B、∠C。

根据角度的定义，我们知道每个角度具有以下特点：- 角度是由两条射线或线段组成，以一个定点为起点，其中一条射线或线段叫做始边，另一条射线或线段叫做终边。

- 角度的度量单位是度，常用符号°表示。

2. 三角形内角和为180°在任意一个三角形ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C的度数之和等于180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

这是三角形角度关系中最基本的一个定理，也是我们解决三角形相关问题的重要依据。

证明思路：我们可以通过绘制一条平行于边BC且经过顶点A的直线段AD，将三角形ABC分成两个小三角形ACD和ABD。

根据平行线性质，我们可以得到∠C = ∠ACD和∠B = ∠ABD。

根据三角形的内角和为180°，我们可以得到∠A + ∠ACD + ∠ABD = 180°。

将∠C = ∠ACD和∠B = ∠ABD代入上式，可得∠A + ∠B + ∠C = 180°，即证明了三角形内角和为180°。

3. 三角形角度关系定理在三角形中，除了内角和为180°的基本定理外，还存在一些角度关系定理，它们更加具体地描述了三角形内各角之间的关系。

3.1 角平分线定理如果一条直线将一个角分为两个相等的角，则这条直线称为该角的角平分线。

在三角形ABC中，如果∠BAD是∠BAC的角平分线，那么∠BAD = ∠DAC。

证明思路：我们绘制角ABC的角平分线BD，连接点D与点C。

由于∠BAD = ∠DAC，且∠ABD = ∠ACB（角平分线的定义），两边的对应角相等，根据三角形的角度和为180°，我们可以得到∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°。

初二数学中的三角形解析与应用

初二数学中的三角形解析与应用三角形在初二数学中是一个重要的概念。

学生们在学习三角形解析与应用时，需要掌握三角形的性质、构造方法以及相关的定理。

本文将对初二数学中的三角形解析与应用进行详细的论述。

一、三角形的性质三角形是由三条线段组成的图形，其中的三个角分别为三角形的内角。

初二数学中，我们首先要了解三角形的基本性质：1. 三角形的内角和定理：任意三角形的三个内角之和等于180°；2. 三角形的外角定理：三角形的一个内角的外角与其余两个内角的和相等；3. 三角形的边长关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

二、三角形的构造方法初二数学中，我们学习了如何通过给定条件构造一个三角形。

主要的构造方法有以下几种：1. 已知三边构造三角形：当已知三边的长度时，可以通过将三边连接来构造一个三角形；2. 已知两边及夹角构造三角形：当已知两边的长度以及它们之间的夹角时，可以通过将已知的两边放在一起，并通过夹角的方向来构造一个三角形；3. 已知两个角和一边构造三角形：当已知两个角的大小以及它们之间的一边时，可以通过将已知角的顶点相连，并将给定的边放在已知角的一边上来构造三角形。

三、三角形的定理初二数学中，我们还学习了一些关于三角形的重要定理，这些定理在实际应用中非常有用，下面将介绍其中的几个定理：1. 直角三角形的性质：直角三角形是指一个角为90°的三角形。

直角三角形的两个短边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理；2. 等腰三角形的性质：等腰三角形是指两条边相等的三角形。

等腰三角形的底边中线和高线重合，这是等腰三角形的重要性质；3. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个角也都相等且为60°，它的重心、垂心、外心和内心重合于一个点；4. 相似三角形的性质：当两个三角形的对应角相等时，称它们为相似三角形。

相似三角形的对应边长成比例，利用这个性质可以解决很多实际问题。

三角形的角度问题技巧

三角形的角度问题技巧三角形是数学中常见的几何形状之一，它由三条边和三个角组成。

在解决三角形问题时，我们经常需要计算角度的大小。

本文将介绍一些解决三角形角度问题的技巧和方法。

一、三角形内角和定理三角形的内角和定理是解决三角形角度问题的基础。

根据该定理，三角形的三个内角之和等于180度。

这个定理可以帮助我们计算未知角的大小。

例如，如果我们已知一个三角形的两个角分别为60度和80度，那么我们可以通过180度减去已知角的和来计算第三个角的大小。

即180度 - 60度 - 80度 = 40度。

因此，这个三角形的第三个角为40度。

二、等腰三角形的角度性质等腰三角形是指两条边相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角（即两个底边对应的角）是相等的。

这个性质可以帮助我们计算等腰三角形的角度。

例如，如果我们已知一个等腰三角形的两个底角分别为50度，那么我们可以通过相等的底角性质得知，顶角也是50度。

因此，这个等腰三角形的三个角都是50度。

三、直角三角形的角度性质直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

在直角三角形中，另外两个角的和为90度。

例如，如果我们已知一个直角三角形的一个角为30度，那么我们可以通过直角三角形的角度性质得知，另外一个角为60度（90度 - 30度）。

因此，这个直角三角形的两个角分别为30度和60度。

四、三角形的外角性质三角形的外角是指与三角形的一个内角相邻且不共边的角。

根据三角形的外角性质，三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和。

例如，如果我们已知一个三角形的一个内角为80度，那么我们可以通过外角性质得知，这个内角的相邻外角等于另外两个内角的和。

即相邻外角 = 180度 - 80度 = 100度。

因此，这个三角形的相邻外角为100度。

五、三角形的角平分线三角形的角平分线是指从三角形的一个顶点出发，将对角线平分成两个相等的角的线段。

根据角平分线的性质，角平分线将三角形的一个角分成两个相等的角。

初二数学三角形中相关角度的计算规律及应用专题重要

B A OC 1 2 例1 初二数学三角形中相关角度的计算规律及应用（理解性记忆并能熟练运用考试必考）一、三角形内角和定理与角平分线规律及应用例1：在△ABC 中，BO 与CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且相交于点O ，探究∠O 与∠A 是否有关系？若有关系，试分析有怎样的关系？研究分析：∠O =180°- (∠1+∠2)而∠1+∠2= 12 (180°-∠A) =90°- 12∠A ∴∠O=180°- (90°- 12 ∠A) =90°+ 12∠A 由例1总结出重要规律：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成角的度数等于90°加上第三角的一半，即为∠O = 90°+ 12∠A 。

例2:已知如图：在△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠CBE 和∠BCF ，且交于点O ，则∠O 与∠A 的关系又如何呢?分析：∠O = 180°-（∠1+∠2）而∠1+∠2 = 12(180°+ ∠A) ∴∠O =180°- [ 12(180°+ ∠A)]= 180°- 90°- 12∠A = 90°- 12 ∠A 由例2总结出重要规律：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于90°减去第三角的一半。

即为∠O = 90°- 12∠A 。

例3：已知如图：PB 与PC 分别为内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线，且交于点P ，探究：∠A 与∠P 的关系。

分析：∠P=∠2-∠1，∠2= 12 (∠A+∠ABC) ∠1= 12(180°-∠A - ∠BCA ） ∴∠P= 12 (∠A+∠ABC ）- 12 (180°-∠A - ∠BCA ） = 12 ∠A + 12 ∠ABC - 90°+ 12 ∠A+ 12∠BCA =∠A - 90°- 12 (180°-∠A) = 12 ∠A 由例3总结出重要规律：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于第三角的一半。

三角形中的角度关系与计算

三角形中的角度关系与计算三角形是几何学中的基本图形之一，它由三条边和三个角组成。

在三角形中，角度关系和计算方法对于解决各种几何问题至关重要。

本文将讨论三角形中的角度关系及其计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、角度关系1.1 内部角度和为180度在任意一个三角形中，三个内角的和总是等于180度。

这一角度关系可以通过数学证明来得到，也可以通过实际测量来验证。

因此，如果已知一个三角形中的两个角度，可以通过计算得到第三个角度的大小。

1.2 外角等于两个内角之和对于任意一个三角形，它的外角等于其两个相对内角的和。

这个等式也可以通过实际测量来验证。

利用这个关系，我们可以通过已知角度来计算出三角形的其他角度。

1.3 三角形内外角的关系三角形内角与其对应的外角之和总是等于180度。

这一关系可以通过内角和为180度以及外角等于两个内角之和的性质得出。

利用这个关系，可以在已知角度的情况下计算出其他角度的数值。

二、角度计算方法2.1 使用三角函数在三角形中，可以利用三角函数（正弦、余弦和正切）来计算角度的大小。

这些函数将角度与三角形的边长之间建立了数学关系。

例如，正弦函数可以表示为：sin(θ) = 对边 / 斜边，其中θ为所求角度，对边为与θ相对的边，斜边为斜边的长度。

通过利用三角函数，可以在已知一些边长的情况下计算出三角形中的角度。

2.2 使用三角形相似性如果两个三角形的对应角度相等，那么它们的边长之比也相等。

利用这个性质，可以通过已知三角形中的一些边长和对应角度，来计算出其他边长和角度的数值。

这个计算方法在解决实际问题时非常有用。

2.3 使用角度平分线三角形的角度平分线将一个角平分为两个相等的角。

通过利用角度平分线的性质，可以计算出三角形中的各个角度。

例如，在一个等边三角形中，每个角都为60度，因为角度平分线将每个角平分为30度。

三、实例分析为了更好地理解三角形的角度关系和计算方法，我们将通过一些实例进行分析。

三角形的角度计算与证明

三角形的角度计算与证明三角形是平面几何学中的基本图形之一，它由三条边和三个角组成。

在三角形中，角度是三个最基本的元素之一，对于角度的计算和证明具有重要意义。

本文将探讨三角形的角度计算和证明的方法，以便更好地理解和应用三角形的性质。

一、三角形的内角和定理在三角形中，任意两个内角的和等于第三个内角的补角。

即若三个角分别为A、B、C，则有A + B = C。

这个定理可以通过数学推导和几何证明两种方式得到。

数学推导：设三角形的三个内角分别为A、B、C。

由于三个内角的和等于约等于180度。

即A + B + C ≈ 180°。

将C移项得到A + B ≈ 180° - C。

由于180° - C是C的补角，所以A + B = C。

几何证明：以三角形ABC为例，作角B的补角BE。

根据角的补角定义，有∠BCD + ∠CDE = 180°。

由于∠BCD是三角形ABC的内角，∠CDE是三角形CDE的内角。

根据三角形的内角和定理可得∠ABC + ∠CDE = ∠CDE + ∠BCD。

将上式移项得∠ABC = ∠BCD，即A = C。

同理可证∠ABC +∠BAC = ∠BCD + ∠BAC，即A + B = C。

上述两种方法分别通过数学推导和几何证明验证了三角形的内角和定理。

这个定理对于计算和证明三角形的角度非常有用。

二、特殊三角形的角度计算1.等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。

在等边三角形中，三个内角均相等，每个内角都为60度。

2.直角三角形直角三角形是指三角形中存在一个90度的内角的三角形。

根据直角三角形的性质，直角三角形的两个其他内角和必须为30度和60度。

3.等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角（底边所对的两个角）相等，而顶角（顶边所对的角）可以通过计算得到。

三、三角形角度的证明1.成对角相等的证明在三角形中，若两个角的对边长度相等，则这两个角相等。

初中数学发现三角形中的角度规律

初中数学发现三角形中的角度规律在初中数学中，我们学习了很多关于三角形的知识，包括三角形的定义、分类以及性质等。

其中，三角形中的角度规律是我们需要重点掌握的内容之一。

本文将介绍在三角形中常见的角度规律，并给出简单易懂的解释和例子。

一、三角形的内角和三角形的内角和指的是三角形内部的三个角度之和。

而在任意一个三角形中，三个内角的和始终等于180°。

这是一个重要的规律，可以通过举例来加深理解。

以任意一边是直角边的直角三角形为例，我们知道直角的度数是90°。

而直角三角形中的其他两个角度相加之和应该等于90°。

例如，一个直角三角形的直角边上的另外两条边的角度分别是30°和60°，它们的和确实等于90°。

这个例子恰好验证了三角形内角和等于180°的规律。

二、等腰三角形中的角度规律等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角(底边对应的角)的度数相等。

这个规律可以通过几何推理来证明。

假设我们有一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。

由于三角形内角和等于180°，我们可以将等腰三角形平分为两个等腰直角三角形，如下图所示：A/ \/ \B-------C在上图中，角B和角C是等腰三角形的两个底角。

根据图中的标记，我们可以看到三角形ABC可以分为两个等腰直角三角形，即三角形ABD和三角形ACD。

由于直角三角形的底角都是45°，所以角B和角C的度数也是45°。

因此，等腰三角形中的两个底角的度数相等。

三、全等三角形中的角度规律全等三角形是指既有相同边长又有相同角度的两个三角形。

在全等三角形中，对应的角度是相等的，可以通过全等三角形的定义进行证明。

设有全等三角形ABC和DEF，我们可以得到以下结论：∠A = ∠D∠B = ∠E∠C = ∠F这个规律告诉我们，在已知三角形全等的情况下，我们可以通过已知的角度来确定其他对应角度的度数。

2024版年度八年级数学与三角形有关的角知识点梳理及典例讲解

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02 与三角形有关的角知识点
2024/2/2
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三角形内角和定理
三角形内角和为180°
任意一个三角形的三个内角之和都等于180度。
推论
直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
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三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
细的解释和答案
在复习过程中，要注重总结归纳，形成自己的知识体系和方
法技巧
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鼓励持续学习和探索精神
鼓励学生在掌握基础知识的前提下，积极探索更深层次的数学知识和应用
鼓励学生在学习过程中，注重培养自己的逻辑思维能力和创新思维能力
鼓励学生在遇到困难和挑战时，保持耐心和毅力，勇于尝试和突破自己
角的平分线定义及性质，三角形中的角平分线定理
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直角三角形中的两锐角互余，以及特殊角的三角函数值
自我评价掌握程度
对于三角形的内角和定理及其证明方法，是否能够熟练掌握并灵活运用？
对于角的平分线定义及性质，以及三角形中的角平分线定理，是否能够清晰区分并正确运用？
2024/2/2
对于三角形的外角性质及外角和定理，是否能够准确理解并应用于解题中？
综合应用三角形的边角关系及分类标准解决复杂的三角形类型问题。
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等腰或等边三角形角度计算问题
已知等腰三角形的一个底角或顶角，求其他角度。
2024/2/2
已知等边三角形的一个角度，利用等边三角形性质求其他角度。
结合等腰或等边三角形的性质解决与角度有关的实际问题，如求角度的度数、判断角度的关系等。

三角形的角度定理与计算

三角形的角度定理与计算三角形是几何学中的基本图形，它由三条边和三个角组成。

在三角形中，角度定理是研究三个角的关系的重要内容之一。

本文将介绍常见的三角形角度定理，并提供如何进行角度计算的方法。

一、三角形的内角和定理三角形的内角和定理（也称为三角形内角和为180度定理）是指三角形内的三个角的度数之和等于180度。

这个定理非常重要，我们可以利用它来计算未知角的度数。

例如，我们假设一个三角形中两个角的度数已知，而第三个角的度数未知。

我们可以使用内角和定理来计算第三个角的度数。

假设已知的两个角度分别为α和β度，那么未知的第三个角度θ可以通过以下公式计算得出：θ = 180 - (α + β)二、三角形的外角和定理三角形的外角和定理指的是，三角形的一个内角的补角等于其余两个内角之和。

换句话说，三角形的任意一个内角的补角等于第三个内角。

利用三角形外角和定理，我们可以计算出三角形中未知角的度数。

假设一个三角形的两个内角的度数分别为α和β，而第三个角的补角的度数为θ。

根据外角和定理，我们可以得到以下公式：θ = α + β三、特殊三角形中的角度定理在一些特殊的三角形中，存在特殊的角度定理，可以帮助我们更加方便地计算角度。

下面是两个常见的特殊三角形及其角度定理。

1. 等边三角形等边三角形是指三个边长度相等的三角形。

在等边三角形中，每个角的度数都相等，都是60度。

这一特性可以用于解决一些涉及等边三角形的角度计算问题。

2. 直角三角形的角度定理直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

在直角三角形中，我们可以利用勾股定理和三角函数来计算角度。

勾股定理可以用来计算直角三角形中未知角的度数。

通过已知直角三角形中两条边的长度，我们可以使用反三角函数（例如正弦、余弦、正切函数）来计算未知角的度数。

另外，直角三角形中的特殊角度30度、45度和60度也是常见的角度，我们可以利用这些特殊角度来计算其他角的度数。

四、角度计算实例为了更好地理解三角形的角度定理和计算方法，以下是一个角度计算的实例。

三角形中的角度计算

三角形中的角度计算三角形是几何学中基本的图形之一，它包含三条边和三个角。

计算三角形的角度是解决几何问题中常见的一步。

本文将介绍三角形角度计算的方法和公式，以及如何应用它们。

一、三角形的内角和定理三角形的内角和定理是指三角形的三个内角的和等于180度。

对于任意的三角形ABC，其内角A、B、C的度数分别为α、β、γ，则有以下公式成立：α + β + γ = 180°利用三角形的内角和定理，可以很方便地计算三角形中缺失的角度。

二、等腰三角形的角度计算等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两条底边的角度相等，而顶角的度数可以通过以下公式计算：顶角度数 = (180° - 底角度数) / 2例如，若等腰三角形的底角度数为60°，则顶角的度数为(180° - 60°) / 2 = 60°。

三、直角三角形的角度计算直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

对于直角三角形ABC，其中直角边为AB，斜边为AC，另一条边为BC，则可应用以下公式：1. 计算直角边的度数：tan(θ) = 对边长度 / 临边长度- 临边为AB，对边为BC，根据此公式，可得到角A的度数。

2. 计算斜边的度数：cos(θ) = 临边长度 / 斜边长度- 临边为AB，斜边为AC，根据此公式，可得到角C的度数。

举例说明：假设直角三角形ABC中，直角边AB的长度为3，临边BC的长度为4。

应用上述公式，可得到：1. 计算角A的度数：tan(θ) = 4 / 3- θ = atan(4 / 3) ≈ 53.13°2. 计算角C的度数：cos(θ) = 3 / 5- θ = acos(3 / 5) ≈ 53.13°因此，在直角三角形ABC中，角A和角C的度数均为约53.13°。

四、一般三角形的角度计算对于一般的三角形，即三边长度均不相等的情况，可以利用余弦定理和正弦定理来计算角度。

初中数学知识归纳三角形的角度关系

初中数学知识归纳三角形的角度关系三角形是初中数学中最基本的图形之一，研究三角形的角度关系对于解决与三角形相关的问题具有重要意义。

本文将对初中数学中与三角形的角度关系相关的内容做一个归纳总结。

三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和等于180度。

假设一三角形ABC，其三个内角分别为∠A、∠B、∠C，根据三角形内角和定理，可得∠A + ∠B + ∠C = 180°此定理的应用场景有很多，比如可以利用三角形内角和定理来解决未知角度的求解问题。

等腰三角形的性质：等腰三角形是指两边相等的三角形。

对于等腰三角形来说，其底角（底边对应的角）是两腰（两边相等的边）对应的角度之和的一半。

以等腰三角形ABC为例，如果AB=AC，那么∠B = ∠C。

对于等腰三角形还有一个重要的定理，称为等腰三角形的角平分线定理：等腰三角形的顶角的角平分线同时也是底边上角度等于顶角一半的角的角平分线。

全等三角形的性质：全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。

如果两个三角形的三个内角分别相等，并且对应的边长相等，则这两个三角形全等。

全等三角形可以通过三边对应、两边夹角边对应、两边夹角边对应以及两角一边对应等四种情况来判定。

勾股定理：勾股定理是一个非常重要的数学定理，是数学中的经典之一。

勾股定理可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。

勾股定理的表达式为a² + b² = c²，其中a、b、c分别代表直角三角形的两条直角边和斜边。

利用勾股定理，我们可以解决一些与三角形的边长关系相关的问题，例如已知两条直角边的长度，求斜边的长度；已知两条直角边和斜边的长度，求缺失的边长等。

正弦定理和余弦定理：正弦定理和余弦定理是解决三角形中未知角度和边长的重要工具。

它们可以分别用于不等腰三角形与等腰三角形的角度关系。

正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别代表三角形的三条边的边长，A、B、C分别代表三角形的三个内角的大小。

初中数学知识归纳三角形中的角度关系

初中数学知识归纳三角形中的角度关系三角形是初中数学中的重要概念之一。

在学习三角形的过程中，我们需要了解三角形中的角度关系。

本文将对初中数学知识进行归纳总结，详细介绍三角形中的角度关系。

一、三角形的内角和三角形是由三条线段组成的图形，通过连接三个非共线的点而形成。

在任意三角形ABC中，三个内角的和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

这是三角形内角和定理，也是一个基本的角度关系。

二、等腰三角形的角度关系等腰三角形是指两边的长度相等的三角形。

在等腰三角形ABC中，两底边AB和AC相等，而顶角∠A与两底边的对应角也相等。

即∠B= ∠C。

这是等腰三角形的特性和一个重要的角度关系。

三、等边三角形的角度关系等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

在等边三角形ABC 中，三个内角都相等，即∠A = ∠B = ∠C = 60°。

这是等边三角形的特性和一个重要的角度关系。

四、直角三角形的角度关系直角三角形是指其中一个角是直角（90度）的三角形。

在直角三角形ABC中，直角∠C是90度，而其他两个角的和是90度，即∠A +∠B = 90°。

这是直角三角形的特性和一个重要的角度关系。

五、角平分线的角度关系角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。

在三角形ABC 中，如果AD是∠BAC的角平分线，那么∠BAD和∠DAC相等。

即∠BAD = ∠DAC。

这是角平分线的特性和一个重要的角度关系。

六、同位角的角度关系同位角是指两条平行线被一条截线所切割所形成的对应角。

在平行线l和m被截线n切割形成的两组同位角中，对应角是相等的。

即∠1 = ∠5，∠2 = ∠6，∠3 = ∠7，∠4 = ∠8。

这是同位角的特性和一个重要的角度关系。

综上所述，初中数学中的三角形中存在着多种角度关系。

通过了解和运用这些角度关系，我们可以更好地理解和解决三角形相关的问题。

因此，在学习数学的过程中，我们需要牢固掌握三角形中的角度关系，提高数学解题的能力和应用能力。

三角形中的角度关系与性质

三角形中的角度关系与性质在数学中，三角形是一个基本的几何形状，它由三条线段组成，并形成三个角。

三角形的性质和角度关系是我们研究几何学中的重要内容之一。

本文将介绍三角形中的角度关系和性质，以帮助读者更好地理解和应用这些知识点。

一、三角形的内角和定理对于任意的三角形，其内角和总是等于180度。

这是三角形的一个重要性质，可以通过简单的证明得出。

我们可以通过以三角形的一个顶点作为圆心，另外两个顶点分别为圆周上的两个点，画一个圆。

根据圆周角的性质，该圆周角的度数等于圆内角的度数。

由于圆周角的度数是360度，所以每个圆内角的度数都是等于360度除以三的结果，即120度。

同样地，我们可以通过以三角形的另外两个顶点作为圆心，第三个顶点分别为圆周上的两个点，画两个圆。

根据相同的推理，每个圆内角的度数也都是120度。

将这三个圆的圆内角和加起来，即得到了三角形的内角和。

可以看出，三个圆内角和的总和为360度，即等于圆周角的度数。

二、三角形中的角度关系在三角形中，角度之间有许多重要的关系。

下面是一些常见的角度关系：1. 三角形的两个锐角之和等于90度。

根据三角形内角和定理，三角形的内角和等于180度。

而对于一般的三角形，其中一个内角是锐角，另外两个内角是钝角。

因此，两个锐角之和等于180度减去钝角的度数。

由此可推得，两个锐角之和等于90度。

2. 直角三角形的两个锐角分别等于45度。

直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。

根据前面的推论，直角三角形的两个锐角之和等于90度。

因此，直角三角形的两个锐角分别等于45度。

3. 三角形的两个边角互补。

对于任意的三角形，其两个边角互补。

这是因为在三角形中，两个边的延长线一定会相交，形成一个补角。

以上是一些三角形中常见的角度关系。

通过了解这些关系，我们可以更好地解题和分析三角形的性质。

三、三角形的性质除了角度关系外，三角形还具有一些重要的性质。

下面是一些常见的三角形性质：1. 等边三角形的三个角相等。

八年级数学几何重难点知识及数学方法：与三角形有关的角重难点知识(原卷版)

专题02与三角形有关的角重难点知识知识清单三角形内角和180°证法：平行线及其性质证法一证法二证法三证法四直角三角形性质及判定方法★直角三角形两锐角互余★有两个角互余的三角形是直角三角形三角形外角★三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形外角大于与它不相邻的两个内角★三角形外角和360°证法一：∠4=180°－∠1，∠5=180°－∠2，∠6=180°－∠3，∠4+∠5+∠6=540°－（∠1+∠2+∠3）=360°证法二：∠4=∠2+∠3，∠5=∠1+∠3，∠6=∠2+∠1，∠4+∠5+∠6=2（∠1+∠2+∠3）=360°证法三：过C作MN∥AB，利用平行线性质.几何模型模型意识1.8字形结论：∠1+∠2=∠3+∠42.双垂直模型结论：∠1=∠2、∠3=∠43.与角平分线相关已知：∠1=∠2、∠3=∠4结论：∠BOC=90°+12∠A；∠A=2∠D；∠D=90°－12∠A证明方法不止一种，请自行探索多种证法（提示：三角形内角和180°，三角形外角定理）.4.综合F是∠BAC平分线上一点，过F作FE⊥BC于E，|∠C－∠B|则∠DFE=12将∠B沿DE折叠；则∠1+∠2=2∠B∠2－∠1=2∠B已知，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，OH ⊥BC 于H结论：∠7=∠8典例解析【知识点1：求度数】例1-1．（2021·广东期末）若一个三角形的两个内角的度数分别为30°和80°，则这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【变式1-1】（2021·山东济南市期中）若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【变式1-2】（2021·浙江期末）在下列条件：①A B C ，②::2:3:4A B C ，③90A B ，④12A B C 中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例1-2．（2021·广东期末）如图，将直尺与含45°角的三角尺叠放在一起，其两边与直尺相交，若∠1＝25°，则∠2的度数为（）A ．120°B ．135°C ．150°D ．160°【变式2-1】（2021·辽宁本溪期末）将一副三角板如图所示放置，使两个直角重合，则∠AFE 的度数是（）A ．175°B ．165°C ．155°D ．145°【变式2-2】（2021·广东深圳市期末）一副直角三角板如下图放置（90F ACB ，45E ，60A ），如果点C 在FD 的延长线上，点B 在DE 上，且//AB CF ，则DBC 的度数为（）A ．10°B ．15°C ．18°D ．30°【变式2-3】（2021·山西期中）如图，直线AB //CD ，∠A ＝40°，∠D ＝45°，∠2的度数是（）A ．80°B ．85°C ．90°D ．95°例3-1．（2021·四川成都期中）如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AE 平分∠BAC 交BC 于E ．（1）若AD ⊥BC 于D ，∠C ＝40°，求∠DAE 的度数；（2）若EF ⊥AE 交AC 于F ，求证：∠C ＝2∠FEC ．【变式3-1】（2021·辽宁期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F．（1）若∠A＝62°，∠ACD＝36°，∠ABE＝20°，则∠BFD的度数为°；（2）若∠ADF+∠AEF＝180°，∠FBC＝∠FCB，试判断∠A与∠FBC之间的数量关系，并说明理由．【变式3-2】（2021·江苏）方向角是一个重要的知识点，请解决下面两个关于“方向角”的问题：（1）教材第39页“复习巩固”中有这样一道试题：如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路从A地测得公为多少度时，才能使公路准确接通？路的走向为北偏东60°如果A、B两地同时开工，那么则（2）如图2，经测量，B处在A处的南偏西56°的方向，C处在A处的南偏东17°方向，C处在B处的北偏东85°方向，求C的度数．【知识点2：与角平分线有关】例4-1．（2021·辽宁本溪市期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠B=40°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（）A．20°B．10°C．50°D．60°，【变式4-1】（2021·江苏无锡市期中）如图，已知：AD平分BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF BC °，求BÐ和FC140，60的度数．【变式4-2】（2021·山西期末）综合与探究：如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是∠BAC角平分线．（1）探究与发现：如图①，AE⊥BC于点E，①若∠B=20º，∠C=70º，则∠CAD=_______º，∠DAE=_____º；②若∠B=40º，∠C=80ºº，则∠DAE=_____º；③试探究∠DAE与∠B、∠C的数量关系，并说明理由．（2）判断与思考：如图②，F是AD上一点，FE⊥BC于点E，这时∠DFE与∠B、∠C又有怎样的数量关系？例5-1．（2021·广东省深圳市期中）如图①，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P ．（1）如果∠A ＝80°，求∠BPC 的度数；（2）如图②，作△ABC 外角∠MBC ，∠NCB 的角平分线交于点Q ，试探索∠Q 、∠A 之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP 、QC 交于点E ，△BQE 中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A 的度数．例5-2．（2021·辽宁期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究ADB 与A 、B Ð、C 的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，DE 平分ADB ，CE 平分ACB ，24A ，66B ，请直接写出E 的度数．【变式5-1】（2021·山东泰安市期中）如图，在ABC 中，A ，ABC 与ACD 的平分线交于点1A ，得1A ；1A BC 与1A CD 的平分线相交于点2A ，得2A ；L ；2019A BC 与2019A CD 的平分线相交于点2020A ，得2020A ，则2020A ______．【变式5-2】（2021·河北期末）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝48°，点I 是两角∠ABC 、∠ACB 的平分线的交点．（1）填空：∠BIC ＝．（2）若点D 是两条外角平分线的交点，填空：∠BDC ＝．（3）若点E 是内角∠ABC 、外角∠ACG 的平分线的交点，填空：∠BEC ＝．（4）在问题（3）的条件下，当∠ACB 等于度时，CE ∥AB ？请说明理由．【变式5-3】（2021·江苏无锡市期中）在ABC 中，射线AG 平分BAC 交BC 于点G ，点D 在直线BC 上运动（不与点G 重合），过点D 作//DE AC 交直线AB 于点E ．如图1，点D 在线段CG 上运动时，DF 平分EDB ，①若100BAC ，30C ，则AFD __________；②若40B ，则AFD __________；③探究AFD与BÐ之间的数量关系，说明理由；【知识点3：分类讨论】例6-1．（2021·深圳市南山区期中）在ABC 中，AD 是高，60BAD ，20CAD ，AE 平分BAC ，则EAD 的度数为（）A ．20B ．30°C ．20 或30°D ．20 或40 【变式6-1】（2021·黑龙江哈尔滨市期中）已知AH 为ABC 的高，若40,65B ACH ，则BAC 的度数为______．【变式6-2】在 ABC 中，∠A ＝55°，高BE 、CF 所在的直线相交于点O ，则∠BOC 度数为_____°．例7-1.（2021·吉林期末）当三角形中一个内角β是另外一个内角α的12时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为（）A ．108°或27°B ．108°或54°C ．27°或54°或108°D ．54°或84°或108°【变式7-1】（2021·河南期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如：三个内角分别为120 ，40 ，20 的三角形是“灵动三角形”．如图，60MON ，在射线OM 上找一点A ，过点A 作AB OM 交ON 于点B ，以A 为端点作射线AD ，交线段OB 于点C （规定090OAC ）当OAC ________时，ABC 为“灵动三角形”．例8-1．（2021·江苏常州市期末）如果三角形的两个内角与满足290 ，那么我们称这样的三角形是“准互余三角形”．（1）如图1，在Rt ABC 中，90ACB ，BD 是ABC 的角平分线，求证：ABD △是“准互余三角形”；（2）关于“准互余三角形”，有下列说法：①在ABC 中，若100A ，70B ，10C ，则ABC 是“准互余三角形”；②若ABC 是“准互余三角形”，90C ，60A ，则20B ；③“准互余三角形”一定是钝角三角形．其中正确的结论是___________（填写所有正确说法的序号）；（3）如图2，B ，C 为直线l 上两点，点A 在直线l 外，且50ABC ．若P 是直线l 上一点，且ABP △是“准互余三角形”，请直接写出APB 的度数．【变式8-1】（2021·苏州高新区月考）如果三角形的两个内角与满足290 ，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”（1）如图，在ABC 中，90,C BD 是ABC 的角平分线，求证：ABD △是“奇妙互余角三角形”（2）关于“奇妙互余三角形”，有下列命题：①在ABC 中，若130,40,10A B C ，则ABC 是“奇妙互余三角形”；②若ABC 是“奇妙互余三角形”，90,60C A ，则20B ；③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形．其中，真命题有______（填写序号）（3）在ABC 中，90,52C ABC ，点P 是射线CB 上的一点，且ABP △是“奇妙互余三角形”请直接写出APB 的度数．例9-1.（2021·江苏期末）已知：在△ABC 中，∠A ＝60°，∠C ＝40°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，点E 、P 分别是线段AB 、BC 上的动点．（E 、P 不与点B 重合）（1）如图1，若DE ∥BC ，则①∠EDB 的度数是°．②当∠EDF ＝∠DEF 时，∠EPB ＝°；当∠DEF ＝∠EFD 时，∠EPB ＝°．（2）如图2，若DE ⊥AB ，当△DEF 中有两个相等的角时，求出∠EPB 的度数．【知识点4：综合题型】例10-1．（2021·吉林长春市期末）如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A 1处，折痕为DE ，若∠A ＝α，∠BDA 1＝β，∠CEA 1＝＝γ，那么下列式子中正确的是（）A ．β＝2α＋γB ．β＝α＋γC ．β＝α＋2γD ．β＝180°﹣α﹣γ【变式10-1】（2021·黑龙江期末）如图，把ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，则A 与1 和2 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个结论，你发现的结论是（）A ．212A B ．32(12)A C ．3212A D ．12A 【变式10-2】（2021·广东期末）如图，把一张纸片△ABC 沿着DE 对折，点C 落在△ABC 的外部点C '处，若∠1＝87°，∠2＝17°，则∠C 的度数是（）A ．17°B ．34°C ．35°D ．45°【变式10-3】（2021·四川）如图，将△ABC 沿DE 、DF 翻折，使顶点B 、C 都落于点G 处，且线段BD 、CD 翻折后重合于DG ，若∠AEG +∠AFG ＝54°，则∠A ＝___度．例11-1．（2021·江苏期末）如图，五角星是一个美丽的图案，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______°．例11-2．（2021·山西临汾市期末）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：A B C D ．（2）如图②，AP ，CP 分别平分BAD ，BCD ，若36ABC ，16ADC ，求P 的度数．（3）如图（3），直线AP 平分BAD ，CP 平分BCD 的外角BCE ，猜想P 与B Ð、D 的数量关系是________；（4）如图（4），直线AP 平分BAD 的外角FAD ，CP 平分BCD 的外角BCE ，猜想P 与B Ð、D 的数量关系是________．【变式11-1】（2021·陕西西安市期中）如图①，在ABC 中，若ABD DBE EBC ，则BD ，BE 叫做ABC 的三分线，其中，BD 是邻AB 的三分线，BE 是邻BC 的三分线．（1）如图②，在ABC 中，73A ，42B ，B Ð的三分线交AC 于点D ，求BDC ∠的度数；（2）如图③，在ABC 中，BP 是ABC 的邻AB 三分线，CP 是ACB 的邻AC 三分线，且BP CP ，垂足为P ，求A 的度数．【变式11-2】（2021·河南驻马店期末）如图1，∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O 重合）．（1）若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D．①若∠BAO＝60°，则∠D＝°．②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由．（2）若∠ABC＝13∠ABN，∠BAD＝13∠BAO，则∠D＝°．（3）若将“∠MON＝90°”改为“∠MON＝α（0°＜α＜180°）”，∠ABC＝1n∠ABN，∠BAD＝1n∠BAO，其余条件不变，则∠D＝°（用含α、n的代数式表示）【变式11-3】（2021·苏州市吴江区月考）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究BDC ∠与,,A B C 之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY XZ 、恰好经过点,54B C A 、，则ABX ACX _______°；②如图3，DC 平分,ADB EC 平分AEB ，若,DAE DBE ，请直接写出DCE 的度数_________（用含和的式子表示）；③如图4，,ABD ACD 的12等分线相交于点1211...,G G G ,，若1115,60BDC BG C ，求A 的度数．。