五年级奥数学练习试卷思维培训资料 期末考试 精英班 教师版
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 行程(一) 精英班 教师版
第十讲 行程（一）在历年“小升初”与各类小学竞赛试卷中，我们不难发现，“行程问题” 的试题占应用题的比值是相当大的，所以，学好行程问题不但对应对小升初考试和各类数学竞赛有着举足重轻的关键性作用而且也为我们初中的学习打下好的基础。
本讲着重介绍行程问题中的两人及多人的相遇和追及问题。
（1） 相遇问题涉及到：速度和＝甲速＋乙速、相遇时间和路程和三个量，三者之间的关系为：路程和＝速度和×相遇时间。
（2） 追问题涉及到：速度差＝甲速－乙速（甲速＞乙速）、追及时间和路程差三个量，三者之间的关系为：路程差＝速度差×追及时间。
显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量，这是我们在小学课堂中经常解决的问题。
所以大家在做题时一定要仔细分析题中都给了那个量，让我们求什么？，例如：让我们求相遇时间，那我们的做题目的就出来了，找所求相遇时间对应的路程和及速度和。
其实行程问题并没有有同学们想象的那么复杂，只要大家善于总结，其实行程问题是一类很好玩的问题。
希望大家在做题时好好体会做题心得，这对大家分析题会有很好的帮助。
分析：两人第一次相遇需360(7545)3÷+=分，其间乙走了453135⨯=（米）．由此知，乙没走135米两人相遇一次，依次可推出第7次在CD 边相遇（如图，图中数字表示该点相遇的次数）知识说明你 想 挑 战 么？右图是一个边长90米的正方形，甲、乙两人同时从A 点出发，甲逆时针每分行75米，乙顺时针每分行45米．两人第一次在CD 边（不包括C ，D 两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？I 、两个人的相遇和追及【例1】 （★★★）小红和小强同时从家里出发相向而行。
小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A 处相遇。
若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A 处相遇。
小红和小强的家相距多远？分析：因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，推知小强第二次比第一次少走4分。
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第三讲 数论之数的整除性数的整除性是数论的基础内容，学生能否熟练掌握该内容对以后进一步深入学习数论至关重要. 本讲需要教授的内容有：1、掌握并熟练运用能被2、3、4、5、6、9、11等整除的自然数性质，这类知识在（Ⅰ、Ⅱ类）题中运用很多.2、训练对自然数的快速分解，记住并会运用几个特殊数（111、1001等）的分解情况对于解决（Ⅲ类）有很大的帮助.3、精英班、竞赛班的学生还应该掌握分式的化简方法.数论研究的是奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数——整数及其内部关系，但是从这些简单的数中诞生了“费马大定理”、“哥德巴赫猜想”和“朗兰兹纲领”这样的难题，它们吸引数学家们花费数十年、甚至整世纪努力研究，本讲我们将学习一些最基本的数论知识.想挑战吗在下面的方框中各填一个数字，使六位数 11□□11能被17和19整除，那么方框中的两位数是 .答案：17×19=323，而110011÷323余数为191，若□□00+191被323整除，商的个位为7，从而十位是1，□□00+191=5491，方框中的数为53.你还记得吗？教学目标①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……②一个数各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.以上规律仅在十进制数中成立.⑤部分特殊数的分解：111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73. 10101=3×7×13×37.Ⅰ整除与数字谜题【例1】（★★★）要使26ABCD6能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C、D分别是多少？分析：因为36=4×9，所以D6能被4整除，从而D只可能是1，3，5，7，9.要使商最小，A、B、C应尽可能小，先取A=0，B=1，又2+6+6+A+B+C+D=14+A+B+C+D=15+C+D，所以15+C+D是9的倍数，C=3，D=9时，取得最小值.[拓展]要使26ABCD6能被36整除，而且所得的商最大，那么A、B、C、D分别是多少？分析：先取A=9，则B=8，31+C+D是9的倍数，所以B+C=5或14，由于，B+C≤7+6=13，所以B+C=5，B=5，C=0时，取得最大值.【例2】（★★★祖冲之杯小学数学邀请赛）一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是 .分析：设这样的数为x，则20x-1=153a，a是整数，即20x=153a＋1，因为20x的末位数一定是0，所以a最小取3，从而x最小是23.[巩固](这一类型的题虽然也被分入Ⅰ类，但非常特殊，应当注意).一个数的20倍加7能被59整除，这样的自然数最小的是多少？分析：20x=59a-7，59a个位是7，所以a的个位是3，a=3时，x不能取整数，a=13时，x=38.【例3】（★★★★）求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除．分析：所求的数写成100a＋56的形式．由于100a＋56能被56整除，所以a能被14整除，所以a应是14的倍数．而且a的数字和等于56－5－6=45．具有数字和45的最小偶数是199998，但这个数不能被7整除．接下来数字和为45的偶数是289998和298998，但前者不能被7除尽，后者能被7整除，所以本题的答数就是29899856．[前铺]：求最小的偶数，它的各位数数字之和为40.分析：各位数数字之和为40的数，至少有5位，万位上的数至少为4，否则，各位数数字之和最多为3+9+9+9+9=39，当万位数上的数为4是，这个数只能是49999，不是偶数，所以最小的偶数只能是59998.[拓展]在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数有多少？分析：因为5×8=40，5个数字的和等于43时，其中至少有3个9，并且只有以下两种情况.(1)数字中4个9、1个7，则奇数位数字和减去偶数位数字和只能是3×9-（9+7）=11，这样的书有99979和97999，(2)数字中3个9，一个7，则奇数位数字和减去偶数位数字的和只可能是3×9-2×8=11，这样的数有98989.【例4】（★★★★）在1，2，3，……，1995，这1995个数中找出所有满足下面条件的数a来：（1995+a）能整除1995×a.分析：1995a1995+a⨯是自然数，所以1995a199519951995-=1995+a1995+a⨯⨯也是自然数，即1995+a是1995×1995的约数.因为：1995×1995=32×52×72×192，，它在1995与2×1995之间的约数有32×192=3249，7×192=2527，3×72×19=2793，52×7×19=3325，32×5×72=2205，3×52×72=3675，于是a的值有6个，即3249-1995=1254，2527-1995=532，2793-1995=798，3325-1995=1330，2205-1995=210，3675-1995=1680.Ⅱ整除与数字组合【例5】目前日期的流行记法是采用6位数字，即将表示年份的后两位数字记在最左边，中间两个数字表示记载最左边，中间两个数字表示月份，最末两位数字表示日份（遇有月或日是个位数，前面加一个0.例如2008年8月8日记作080808），那么在今年（07年）365个日期中能被45整除的日期有多少个？分析：45=9×5，所以这个六位数只能是07***5或07***0，其中千位只能是0或1，十位上只能是0、1、2，对于07***5，千位、百位、十位上数字和为6或15、24，由于千位只能是0或1，十位上只能是0、1、2，所以三位数字之和不可能为15、24，如果为6，那么有070605、070515、070425三种情况；对于07***0，千位、百位、十位上数字和为2或11或20，由于千位只能是0或1，十位上只能是0、1、2，所以三位数字之和不可能为20，如果为11，那么只有070920、070830两种情况.如果三位数字之和为2，那么只有070110、071010两种情况，所以在今年（07年）365个日期中能被45整除的日期有7个.称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3， (18)除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是．分析：这个十全数能被10整除，个位数必为0；能被4整除，十位数必为偶数，末两位只能是20．设这个十全数为4876abcd20．由于它能被11整除，必有b＋d-(a＋c)=10，所以b、d是9和5；a、c是3和1，这个十全数只能是4 876 391 520，4 876 351 920，4 876 193 520，4 876 153 920中的一个．经检验，它是4 876 391 520．【例7】（★★俄罗斯数学奥林匹克）为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3．在密码中2的数目比3多，而且密码能被3或4所整除．试求出这个密码．分析：密码中的2比3要多，所以2可能有4、5、6或7个．当2有4个时，密码的数字和为17；当2有5个时，数字和为16；当2有6个时，数字和为15；当2有7个时，数字和为14．我们知道如果一个数能被3整除，那么它的数字和也能被3整除，所以2应当有6个，这样3就只能有1个．另外，一个数能被4整除，那么它的末两位数也应当能被4整除，所以末两位数必定是为32．所以，密码是2222232．[拓展] 为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是1、2就是3．在密码中1的数目比2多，2的数目比3多，而且密码能被3或16所整除．试问密码是多少？分析：密码由7为数字组成，如果有一个3的话，那么至少有二个2，如果有三个2，那么1至少有四个，总共至少有1+3+4=8个数字，所以2只有二个，1有4个，如此，各数位数字和为4+4+3=11，不是3的倍数，所以密码中只有1、2，由1、2组成的四位数中只有2112能被16整除（从个位向高数位推得），所以密码的后四位是2112，所以前三位数字和是3的倍数，只有111和222（2多于1，排除）满足条件，所以这个密码是1112112.【例8】（★★★）用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?分析：现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被¨除尽，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作B．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法：偶位奇位(1) 1，8 9，8(2) 1，9 8，8(3) 9，8 1，8(4) 8，8 1，9经过验证，第(1)种分组法满足前面的要求：A=1＋8=9，B=9＋8＋3=20，B－A=11能被11除尽．但其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第(1)分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．[拓展] 用1、2、3、4、5、6这6个数字能组成多少个被11除余5的六位数？分析：1+2+3+4+5+6=21，六位数被11除余5的话，奇数位数字和减去偶数位的数字和再减去5能被11整除，21只能分拆成13和8两个差为5的数字，所以组成的六位数的奇数位的和为13，偶数位的数字和为8，1到6这6个数字能组成13的只有6+4+3和6+5+2两种.对于其中任意一种，例如奇数位数字分别为6、4、3，偶数位数字分别为1、2、5，这种情况下的六位数一共有3×3=9种，同理另一种情况也有9种，所以用1、2、3、4、5、6这6个数字能组成18个被11除余5的六位数.【例9】（★★★★）已知一个6位数abcdef ，将它的前三位整体移到末尾变成defabc ，然后将两个六位数相加，已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①1460470；②460459；③1460459；④1460472；⑤1460466，这个和到底是多少？分析：这个和可以表示为：（a+d ）×100100+（b+e ）×10010+（c+f ）×1001，所以这个和是1001的倍数，所以这个和是7、11、13的倍数[前铺]一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?分析：设这个4位数是abcd ，则新的4位数是bcda .两个数的和为abcd +bcda =1001×a+1100×b+110×c+11×d,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数，故正确的答案为9867.Ⅲ 多位数整除【例10】（★★★香港圣公会小学数学奥林匹克）下面这个199位整数：19910010010011001位被13除，余数是多少？分析：100100能被13整除，每六位能被13整除，所以余数是1[拓展]199100000位被13除余多少？分析：19910010010011001位-199100000位=19610010011001位显而易见19610010011001位也是1001的倍数，所以也是13的倍数，所以199100000位与19910010010011001位被13除所得的余数相同,余数是1.[拓展]（★★★）49100200300470080090080074003002001共位…………被7除的余数为多少？分析：原式=1001001001001001001001001×1001001001001001001001001，由【例10】的方法1001001001001001001001001被7除余1，所以49100200300470080090080074003002001共位…………被7除的余数为1.【例11】200820082008200808n 个能被99整除，那么，n 的最小值为多少？分析：由于99=9×11，所以200820082008200808n 个能被11和9整除，200820082008200808n 个中奇位数减偶位数的差为（8-2）n+8=6n+8，当n=6、17、28……时，（3n+1）是11的倍数，所以n 的最小值是6.200820082008200808n 个各位数字之和为（2+8）×n+8=10n+8，所以当n=1、10、19、28……等数时，能被9整除，所以n 的最小值为28.[前铺]（★★全国小学数学奥林匹克）如果200520052005200501n 个能被11整除，那么n 的最小值是 .分析：200520052005200501n 个中奇数位减偶数位的差为（5－2）n ＋1=3n ＋1,当n=7时，(3n ＋1)是11的倍数，所以n 的最小值是7.【例12】（★★★★）应当在如下的问号“?”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数可被7整除?(其中数码6和5各重复了50次)666...66?555 (55)分析：可在“?”的位置上填上2或9．事实上，111111(6个1)可被7整除，因此如果将我们的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下66?55．从中减去63035，并除以10，即得3?2．此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322和392可被7整除．所以？上填2或9.[拓展]应当在如下的问号“？”的位置上填上哪个数码，才能使得所得的整数可被41整除？（其中数码2和6都重复了36次）222...22?66 (666)分析：11111=41×271，所以我们可以将数的头和尾各去掉35个数码，并不改变对41的整除性，于是还剩下2?6，在200到300之间只有246能被41整除，并且个位数字为6.所以“？”上应填入4.[拓展] 应当在如下的“□□”的位置上填上哪两个数码，才能使得所得的整数可被63整除？（其中数码2和7都重复了25次.222...22□□77 (777)分析：63=7×9，所以中间□□两个数的和能被9整除，又111111(6个1)可被7整除，所以去掉首尾24个数字后，剩下的2□□7，也能被7整除，2007=7×286+5，所以□□5也能被7整除，□□5-35能被7整除，所以两位数□□被7除余3，在两位数中被7除余3，且能被9整除的只有45. □□中所填的数是45.数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授.1、（★例1）六位数20□□08能被49整除，□□中的数是 .分析：方法一：20□□08被49除商4081余39，所以□□00+39能被49整除，□□39除以49应当商至少为11，49×11=539，所以□□中的数应该为05，当然5+49=54也成立，□□中的数可以为05也可以输542、（★★★例1）某个7位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数依次是什么？分析：2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520. 1993000÷2520=790 (2200)2520-2200=320，所以最后两位数是3、2、0.3、（★★★例2）一个数的40倍减1能被97整除，这样的自然数中最小的是 .分析：设这样的数为x ，则40x-1=97a ，a 是整数，即40x=97a ＋1，因为40x 的末位数一定是0，40x-1的末尾数一定是9，所以a 最小取7，从而x 最小是17.4、（★★★例12）已知39393939……中39一共重复了20次.那么这个数被37除得的余数是多少？ 分析：10101=3×7×13×37，所以393939是37的倍数.所以这个40位数裁掉前36位数后剩下的四位数与原来的数同余，所以只要求出3939被37除后的余数.3939=37×106+17,所以余数为17. 练习三专题展望5、（★★★★例4）在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a 整除？分析：如果2008+a能被2007-a整除，那么2008+a2007-a为自然数，2008+a2008200712007-a2007a++=-也是自然数，4015能被（2007-a）整除，所以4015=5×11×73，4015的约数中小于2007的数有1、5、11、73、55、365、803，所以当a取2006、2002、1996、1934、1952、1642、1204能使2008+a能被2007-a整除.时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系.可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的.原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了.譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的.因为历法需要的精确度较高，时间的单位"小时"、角度的单位"度"都嫌太大，必须进一步研究它们的小数.时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍.以1/60作为单位，就正好具有这个性质.譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60……数学上习惯把这个1/60的单位叫做"分"，用符号"′"来表示；把1分的1/60的单位叫做"秒"，用符号"″"来表示.时间和角度都用分、秒作小数单位.这个小数的进位制在表示有些数字时很方便.例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数.这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天.数学知识。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 行程(二) 精英班 教师版1
第十一讲 行程（二）教学目标对于相遇次数较少的行程题，学生们往往会用相遇公式，找路程和、速度和、相遇时间来求解，或者部分学生还用方程来解题。
但是对于相遇次数较多的多次相遇问题，孩子们往往感到无从下手。
但是，通过本讲的学习后，能让学生掌握了一种行之有效、非常简单的解决此类问题的方法，即运用比例来解。
知识说明距离、速度、时间这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离＝速度×时间。
显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量，这是我们在小学课堂中经常解决的问题。
同时对于三者之间的关系，我们还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比。
举个例子：设甲、乙两个人，路程为：；速度为：；时间为：时有如下关系：S S 乙甲、V V 乙甲、t 乙甲、t （1）当t 相同时；（2）当v 相同时；（3）当s 相同时S S V V =乙乙甲甲：：t S S =乙乙甲甲：：t 。
t V =乙乙甲甲：V ：t 注：本知识点请老师在课上为学生作简单的推导和讲解。
尤其是（1）是我们这次讲课的重点。
这种思考问题的方法在小学数学竞赛和小升初考试中经常用到。
分析：可以整体的分析从开始到第二次相遇小新走的路程为：3x ，正南走的路程为：3y ，小新和正南二人的路程差为：3（x －y ）；分开考虑小新一共走的路程为：一个全程＋y ＋3，正南一共走的路程为：一个全程＋x －3，两个人的路程差为：（一个全程＋y ＋6）－（一个全程＋x －6）＝y －x ＋12.综合列式为：3（x －y ）＝y －x ＋12，得到：x －y ＝3，由于，x ＋y ＝24，所以甲＝13.5（千米），乙＝10.5（千米），所以甲：乙＝13.5：10.5＝9：7。
想挑战吗？Ａ．Ｂ两地相距24米，小新和正南俩人分别由Ａ．Ｂ两地同时相向而行，往返一次，小新比正南早返回原地，途中两人第一次相遇于Ｃ点，第二次相遇于点Ｄ，ＣＤ相距6千米，则小新和正南两人的速度比是为多少？【你还记得么？】甲、乙二人分别从A 、B 两地同时相向而行，乙的速度是甲的，二人相遇后继续行23进，甲到B 地、乙到A 地后立即返回。
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第五讲 包含与排除本讲的知识要点及需要学生掌握的解题方法：① 包含排除法的内容。
（了解）② 包含排除法的简单应用。
（掌握）③ 设关键未知项解。
（掌握）要求学生知道基本公式的内容（弄清楚具体题目中的量分别是公式中的哪一部分），而且会熟练运用；能够用公式与韦恩图结合解题（要求学生弄清楚韦恩图中每一部分代表的含义）。
容斥原理的要领：多算的要减去、少算的要补上。
有些题目不一定与公式完全吻合，那么分析题目时要弄清楚哪些是多算的，哪些是少算了的，也有些问题需要转化成它的反面情况去考虑。
教师讲课时分析：画四个圆能将长方形划分为14个部分，因为两个圆只可能有两个交点，第四个圆与其余三个圆最多只能有6个交点，这六个交点将圆周分为6段圆弧，每段圆弧将三个圆的情况下6个划区分为两部分，所以，四个圆的情况最多只能比原先三个圆的情况的划区数目多6，所以四个圆的情况只能将长方形划分为14个部分.同样的五个圆能将长方形划分为14+8=22个部分，六个圆能将长方形划分为22+10=32个部分，n 个圆能将长方形划分为2+2+4+6+8……（2n-4）+（2n-2）=n 2-n+2 [评注] 韦恩图在包含与排除中运用广泛，但它只适用于三个圆和四个圆以下的情况，如果有四组不完全相关性质划分集合，根据乘法原理它们会将集合划分为2×2×2×2=16种类别.这是四个圆划分长方形无法办到的，一般小学奥数题中最多出现三组不完全相关性质划分集合的情况，用韦恩图足够了.万一出现四组不完全相关性质的情况，不推荐使用韦恩图. 教学目标包含排除法：① 若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图），其中C 为重复部分，则图中的数量等于A+B-C. 即：A ∪B=A+B- A ∩B ，其中A ∩B=C.② 若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图）， 则图中的数量等于A+B+C-（A 与B 重叠部分+ B 与C 重叠部分+ C 与A 重叠部分）+A 、B 、C 三者重叠的部分.即：A ∪B ∪C=A+B+C-（A ∩B+B ∩C+C ∩A ）+ A ∩B ∩C.以上概念中符号解释：“∪”表示并集，“A ∪B ”表示A 并B ，通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 的元素的数量（集合），“A ∪B ∪C ” 通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 、或属于C 的元素数量.“∩”表示交集，“A ∪B ”表示A 交B ，通俗的讲表示所有即属于A 、又属于B 的元素的数量（集合），“A ∩B ∩C ”通俗的讲表示所有即属于A ，又属于B ，还属于C 的元素数量Ⅰ 基本类型【例1】 在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图，三个圆等大），它们的面积都是100cm 2，并知A 、B 两圆重叠的面积是20cm 2，A 、C 两圆重叠的面积为45cm 2，B 、C 两圆重叠的面积为31cm 2,三个圆共同重叠的面积为15cm 2，求盖住桌子的总面积。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 (10)
第四讲 奇数与偶数本讲需要学生掌握并熟练运用以下知识. 1、奇数与偶数的四则运算性质（掌握并熟练运用）；2、利用奇偶数的性质巧妙运用反证法等数学方法（掌握并熟练运用）.奇数与偶数问题一般分为两类，一类（Ⅰ）主要考查运用奇数与偶数的四则运算性质的能力，这一类题往往有常规解法，通常只要经过简单的逻辑判断便能得出答案，教师在讲授这类题型时应该着重强调奇数与偶数的四则运算性质在这一类题中的运用，另一类题（Ⅱ）条件隐含，需要特殊的逻辑思维过程，奇偶数有时候仅仅作为一种判断模型，这类题说简单很简单，说难很难，完全靠学生悟性，教师应当注重思维引导.想挑战吗？奇数与偶数作为数学概念非常简单和浅显，但奇数与偶数在解题过程中的妙用却有很多，学会这些妙用，首先应该复习一下奇数与偶数的一些性质：① 偶数±偶书=偶数；偶数±奇数=奇数；奇数±偶数=奇数；奇数±奇数=偶数.② 偶书×偶数=偶数；偶数×奇数=偶数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数.③偶数个偶数相加减还是偶数；偶数个奇数相加减也是偶数；奇数个偶数相加减还是偶数；奇数个奇数相加减还是奇数；专题精讲 教学目标 有一只蚂蚁停在某个正方体的一个顶角上，每一天，这只蚂蚁都从正方体的一个顶角爬过一条棱到达另一个端点，那么这只蚂蚁是否有可能在10天后恰好到对顶角？ 分析：不可能，蚂蚁如果要爬到对顶点，必须竖直棱、横向棱、纵向棱都爬奇数次，而3个奇数的和为奇数，所以不可能在10天后恰好到达对顶角.也可以对正方体的 8个顶点进行相间染色,用染色的方法进行解释.【例1】（★）能否从、四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于28.分析：因为3，5，7都是奇数，而且5个奇数的和还是奇数，不可能等于偶数22，所以不能.[巩固]：能否从1、3、5、7、9、11、13、15这8个数中选出3个数来，使它们的和为24？分析：不能，奇数个奇数相加的和为奇数不可能为偶数.【例2】是否存在自然数a、b、c，使得（a-b）（b-c）（a-c）=27043？分析：不存在.如果(a-b)、(b-c)中有一个偶数则原式不成立，如果（a-b）、（b-c）为奇数，那么a-c=(a-b)+(b-c)为偶数还是不成立.[拓展]是否存在自然数a、b、c,使得（5a-3b）（5b-3c）（25a-9c）=36342？分析：不存在，（25a-9c）=5（5a-3b）+3（5b-3c），所以如果（5a-3b）、（5b-3c）为奇数，那么（25a-9c）为偶数，所以（5a-3b）、（5b-3c）、（25a-9c）三个数中不可能都是奇数，所以不存在符合条件的a、b、c.[拓展]是否存在自然数a、b、c、d,使得（a-b）（b-c）（c-d）（a-d）=36342？分析：不存在.因为（a-d）=（a-b）+（b-c）+（c-d），所以如果（a-b）、（b-c）、（c-d）、（a-d）这四个数中有三个数是奇数，那么第四个数一定也是奇数，所以（a-b）、（b-c）、（c-d）、（a-d）中偶数不可能单独出现，所以这四个数的积要么是4的倍数，要么是奇数，而36342既不是4的倍数，也不是奇数，所以不可能存在自然数a、b、c、d使等式成立.【例3】（★★★）用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：a×b×c×d-a=2001a×b×c×d-b=2003a×b×c×d-c=2005a×b×c×d-d=2007试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在.分析：a、b、c、d中如果有一个偶数，那么以偶数作为减数的等式等号左边值应该为偶数，与右边的奇数出现矛盾，如果a、b、c、d都是奇数，那么四条式子的等号左边都是偶数，四条等式都不成立.【例4】（★★★）（圣彼得堡数学奥林匹克）沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．分析：任何相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个，所以任何相邻两丛植物上所结浆果数目和都是奇数．这样一来，8丛植物上所结的浆果总数是4个奇数之和，必为偶数，所以不可能结有225个浆果．[拓展] 能否将1～16这16个自然数填入4×4的方格表中(每个小方格只填一个数)，使得各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数?如果能填，请给出一种填法；如果不能填，请说明理由．分析：不能．将所有的行和与列和相加，所得之和为4×4的方格表中所有数之和的2倍．即为(1＋2＋3＋…＋15×16)×2=16×17．而8个连续的自然数之和设为k＋(k＋1)＋(k＋2)＋(k＋3)＋(k＋4)＋(k＋5)＋(k＋6)＋(k＋7)=8k＋28若4×4方格表中各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数，应有8k＋28=16×17，即2k＋7=4×17 ①显然①式左端为奇数，右端为偶数，得出矛盾．所以不能实现题设要求的填数法．【例5】（★★★）有7只正立的茶杯，要求全部翻过来.规定每次翻动其中6只.试问此事能否办成？若茶杯是10只，每次只翻动7只，又能否把正立的茶杯全部翻过来？分析：（1）每一次操作都只能改变偶数个茶杯的放置状态，被翻过来的茶杯永远是偶数，所以不能将所有正立的茶杯翻过来.（2）能，将10个杯子编号后，分四次将所有杯子全部翻过来.第一次翻编号为1、2、3、7、8、9、10的杯子，第二次翻编号为4、5、6、7、8、9、10的杯子，第三次翻编号为1、2、3、4、5、7、8的杯子，第三次翻编号为1、2、3、4、5、9、10的杯子.[拓展] 有7面时钟，都指向12点，现在做一些操作，每次将其中六面钟往前或往后拨6小时，那么是否有可能将这7面钟都归于6点？分析：这道题与原题无任何区别，过渡到下一拓展.[拓展]有9面时钟，其中有3面指向12点，有三面指向3点，另外三面指向6点，现在做一些操作，每次将其中两面钟往前或往后拨3小时，那么是否有可能将这9面钟都归于6点？分析：不可能,不妨将一面种往前或往后拨3小时称为一个操作，那么将这9面钟归于6点，需要经过奇数个操作，但是，每次都要进行两个操作，因此不可能经过若干次偶数个操作完成技术个操作.【例6】（★★★奥数网原创）36盏灯排成6×6的方阵，这36盏灯中只有9盏灯是亮着的，现在作一些操作，每次操作拉一下同一行或同一列灯的开关，请问能否经过若干次操作，使这36盏灯全部亮.分析：不能，每一次改变6盏灯的状态，无论这6盏灯原来的状态如何，等只能增加或减少偶数盏亮着的灯，所以无论拉多少次都不能将这36盏灯全部亮.[拓展]如果36盏灯当中有两盏灯是亮着的，那么是否有可能经过若干次操作，使这36盏灯全部亮.分析：不能，如果两盏灯是亮着，而且经过若干次操作，使这36盏灯全部亮的话，那么原来亮着得灯要拉偶数下，原来不亮的灯要拉奇数下，两盏灯若在同一行（或同一列），那么该行（或该列）被拉的次数，与这两盏灯所在的列（或行）被拉的次数同奇偶，与其他列（或行）被拉的次数的奇偶性质相反，那么其他行（或列）被拉的次数无论是奇数还是偶数，都不能使该行所有灯同熄同亮，若两盏原来两着的灯【例7】有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 (2)
第二讲立体图形（一）卷Ⅰ（一）巧解复杂的组合图形表面积【例1】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【例2】边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？【例3】（奥数网原创题）按照上题的堆法一直堆到N层（N＞3），要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则N的最小值是多少？（二）表面积的最值问题【例4】一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？【例5】边长分别是3、5、8的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？【例6】用10块长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?【例7】要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？（1）当b=2h时，按图几打包？（2）当b＜2h时，按图几打包？（3）当b＞2h时，按图几打包？卷Ⅱ（三）立体图形的切、拼、挖【例8】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1/2厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为1/4厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【例9】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【例10】有一个棱长为 5 cm的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（右上图），求这个立体图形的内、外表面的总面积．【例11】如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积．【例12】如图，用455个棱长为1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下371个小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是多少？（三）展开图【例13】在小于16 的自然数中选出6个不同的数，分别写在正方体的6个面上，要求各组相对的两个面上的数的乘积都相等，下图是正方体的展开图，并填上了1，请将其它数填上。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 抽屉原理 精英班 教师版
第九讲 抽屉原理教学目标1、 典型抽屉原理的巩固和提高。
2、 熟练掌握最不利原则的应用。
3、 学会利用枚举、排列组合、图形计数构造抽屉解决问题。
知识说明抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。
它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.在每年的希望杯考试和小升初中抽屉原理的题目常常以填空题和口算题的形式出现，同学们一定要打好基础掌握好这一类经典题型。
那么，这一讲我就来巩固学习抽屉原则以及它的典型应用。
抽屉原理推广到一般情形有以下两种表现形式。
抽屉原理1：将多于n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
例：有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。
抽屉原理2：将多于m×n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。
例：如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。
道理很简单。
如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。
剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子。
分析：把两种颜色看成两个“抽屉”根据抽屉原理2可知，至少有三个面被涂上相同的颜色.专题精讲想挑 战 吗？给正方形涂上红色或蓝色的油漆，试证：正方形至少有三个面被涂上相同的颜色.Ⅰ、抽屉原理的典型应用解题思路：做抽屉问题关键是确定“抽屉”和“苹果”，当题目中出现多个对象时，通常数量较多者为“苹果”，数量较少者为“抽屉”。
苹果÷抽屉＝商……余数，得到的结论为：至少有一个抽屉里有（商＋1）个苹果。
【例1】（★★★）证明：（1）任意28个人中，至少有3个人的属相相同。
（2）要想保证至少4个人的属相相同，至少有几个人？（3）要想保证至少5个人的属相相同，但不能保证有6个人的属相相同，那么总人数应该在什么范围内？分析：（1）把12种属相看作12个抽屉，28÷12＝2……4，根据抽屉原理，至少有3个人的属相相同。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 数论综合 (2)
第七讲数论综合内容概述在近几年的北京重点中学小升初分班考试中，数论题目的分值大都超过了行程问题，占据了考试内容最显著的地位！数论题目灵活多变，能较充分考察你思维的开拓性、方法技巧的综合运用能力、创新及细心程度，易于分开学生层次。
数论问题按知识体系大体可分为：整除问题、余数问题、奇偶问题、质数合数、约数倍数，这几大板块我们在之前的学习中已经都接触过了，但它们并不是数论的全部，细心的你会发现在数论这个大家族中还有一些“特别身影”，它们也是帮你解决数论问题的法宝。
这节课，我们将和大家一起通过例题研讨来认识一些“新朋友”！小数学家们让我们出发吧！Ⅰ：似曾相识的新朋友——最大和最小【例1】如右图所示，依靠墙做为一边，阿呆用长28米的铁丝围一个长方形鸡笼，怎样分配长与宽，使围成的长方形面积最大?最大面积是多少?（要求围成的边长都是整米数）分析：教师讲解此题时，须先介绍一下此节课的引题—附加1，让学生体会领悟做题思路，并强化总结出的两个重要结论。
设长方形和墙平行的一边长为x，另一边为y，则有x+2y=28，列表分析可得x=14，y=7时，面积最大为98。
上题中若在长方形非墙的一边上留出一个1米宽的门，那么我们又该如何解决这个问题呢？其实就相当于用28+1=29米的铁丝，依靠墙做为一边，围长方形，使面积最大的问题。
解决方法一样！【例2】有两个三位数，构成它们的六个数码互不相同。
已知这两个三位数之和等于1771，求这两个三位数之积的最大可能值。
分析：两个数的和一定，差越小，积越大，那么两数应该为885和886，构成它们的六个数码互不相同，所以百位上填写8和9，还剩下1771-800-900=71，为使差最小，71尽量多地给800，试验可得结果：904×867=783768。
【例3】（首师大附中分班考题）将23分成若干个自然数的和（允许有相同的），使得这些自然数的乘积达到最大，这个乘积是什么？分析：将任意一个数分解，使得这些自然数的乘积达到最大都是分解成若干个3，余2则×2；余1则最后一个3×1换成2×2。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 (16)
第二讲立体图形（一）教学目标1掌握常见立体图形表面积的求法．2掌握几类典型组合立体图形表面积的求法．3鼓励学生多思考，勤动手，多画图，注重“数形结合以此来培养学生的空间想象能力．专题精讲对于长、正方体等简单的立方体和其体积、表面积的计算方法，都是相对比较简单的，今天我们一起将这部分内容掌握后着重对其进行拓展研究．如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱．1．在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．）2．长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S长方体＝2（ab＋bc＋ac）；长方体的体积：V长方体＝abc．3．正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么：S正方体=6a2，V正方体=a3．在墙角处有若干个体积都等于1的正方体堆成如图的立体图形（每个正方体都可独立地搬走，但如果抽走下面的正方体，上面的正方体就会自动落下去），有人希望搬走其中部分正方体，但从上面和前面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，则最多可以搬走多少个小正方体？答案：留下靠墙及地面上的正方体，其余均可搬走共1+3+6=10块.想挑战吗？Ⅰ、涂色与简单的表面积计算：【例1】右图是4×5×6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？分析：三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共（4-2）×4+（5-2）×4+（6-2）×4=36块；一面涂红的表面中间部分：（4-2）×（5-2）×2+（4-2）×（6-2）×2+（5-2）×（6-2）×2=52块．【例2】（05年清华附培训试题）将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？分析：长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；所以原长方体的表面积是：（3×5+3×5+3×3）3×2=78平方厘米．[前铺]如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少?分析：原来正方体的表面积为5×5×6=150．现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，所以减少的面积就是12．[拓展]右图是由27块小正方体构成的 3×3×3的正方体．如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的．这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍．问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？分析：对于由n3块小正方体构成的n×n×n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12×（n－2）块，一面涂有红色的有6×（n－2）2块，没有涂色的有（n-2）3块．由题设条件，一点红色也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即（n-2）3＝8×8，解得n＝6．【例3】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？分析：我们从三个方向（前后、左右、上下）考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10×10×6=600．[拓展] 在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？分析：对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：50×50×6=15000（平方厘米）．【例4】（北京市第十二届迎春杯）一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？分析：截去一个小正方体，表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少，所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7与8的小正方体(如图所示)，这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多．剩下部分的表面积最小是：15×15×6-7×7×2=1252．想想为什么不是15×15×6-7×7-8×8 ？Ⅱ、巧解复杂的组合图形表面积【例5】如右图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口的边长． 分析：原来正方体的表面积为：6×3a×3a＝6×9a2（平方厘米），六个边长为a的小正方形的面积为（减少部分）：6×a×a＝6a2（平方厘米）； 挖成的每个长方体空洞增加的侧面积为：a×a×4×2＝8a2（平方厘米）； 根据题意可得：54a2－6a2＋3×8a2＝2592，解得a2＝36（平方厘米），故a＝6厘米．[前铺]：把大正方形的边长由3a 变成4a，表面积变成4320，其他条件不变再由学生来练习，可得答案a=6．[前铺]如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．分析：我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向（左右、前后方向）：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：5×5×2=50（平方分米）；侧面：5×5×4＝100（平方分米），4×4×4=64（平方分米）．这个立体图形的表面积为：50+100+64=214（平方分米）．【例6】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？分析：4×4＋（1×1＋2×2＋4×4）×4=100（平方米）．【例7】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1/2厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为1/4厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？分析：我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2×2×2＝8（平方厘米）；左右方向、前后方向：2×2×4=16（平方厘米），1×1×4＝4（平方厘米），1/2×1/2×4=1（平方厘米），1/4×1/4×4=1/4 （平方厘米），这个立体图形的表面积为：8+16+4+1+1/4=29又1/4 （平方厘米）.【例8】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.求这个立体图形的表面积．分析：从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2个上面+2个左面+2个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：（9＋8＋10）×2＝54（平方厘米）．【例9】边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？分析：这个图形的表面积是俯视面、左视面、上视面得到的图形面积的2倍. 该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是15平方厘米，该图形的总表面积为90立方厘米．【例10】（首师大附小升初考试分班试题）一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？分析：锯一次净增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数×2=增加的面数. 原正方体表面积：1×1×6=6（平方米）一共据了多少次（2－1）＋（3－1）＋（4－1）=6次，6＋1×1×2×6=18（平方米）.【例11】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60每片又锯成4长条，块长方体表面积的和是多少平方米?分析：我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1×l=1(平方米)，所以表面积增加了9×2×1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6×1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．[拓展]（我爱数学夏令营活动试题）有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成左图的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.分析：三个小正方体拼接成图中的样子，减少了小正方体的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为16÷4=4平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小正方体体积（即所成形体的体积）是3×23=24立方厘米.【例12】有一个棱长为 5 cm的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（右上图），求这个立体图形的内、外表面的总面积．分析：将此带孔的正方体看做由八个8cm3的正方体（8个顶点）和12个1cm3的正方体（12条棱）粘成的．每个正方体有两个面粘接，减少表面积4cm2，所以总的表面积为：（4×6）×8＋6×12－4×12＝216（cm2）．[拓展]边长分别是3、5、8的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？分析：三个正方体两两拼接时，最多重合3个正方形面，其中边长为3的正方体与边长为5和边长为8的正方体其它两个正方体重合的面积不超过边长为3的正方形，三个正方形表面积和为6×3×3+6×5×5+6×8×的重合面面积不超过边长为5的正方形，8-2×2×3×3-2×5×5=502.专题展望练习二1. 用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?分析：该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．该图形的表面积等于(9+7+7)×2=46个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米．2. 有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？分析：大立方体的表面积是20×20×20×6=2400平方厘米．挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：（2454－2400）÷6=9平方厘米，说明小正方体的棱长是3．3. 如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？分析：大立方体的表面积是20×20×20×6=2400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但厘米又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：（2454－2400）÷6=9平方厘米，说明小正方体的棱长是3，它的体积是3×3×3=27，因此剩余的部分体积是20×20×20－27×3=7919．4. 一个正方体的棱长为3厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积.分析：挖去六个小正方体后，大正方体的中心部分即与其主体脱离，这时得到的新玩具是镂空的.把这个玩具分成20部分，8个“角”和12条“梁”，每个“角”为棱长1厘米的小正方体，它外露部分的面积为：12×3=3（平方厘米），则8个“角”外露部分的面积为：3×8=24（平方厘米）．每条“梁”为棱长1厘米的小正方体，它外露部分的面积为：12×4＝4（平方厘米），则12条“梁”外露部分的面积为： 4×12=48（平方厘米）．这个玩具的表面积为：24＋48=72（平方厘米）．5. （小数报数学竞赛决赛）右图是一个表面被涂上红色的棱长为lO厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？分析：10×10×6=600(平方厘米)．6. 用6块右图所示（单位：cm）的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？分析：最小：66cm2；最大：（1×2+1×3+2×3）×2×6-1×2×5×2=112.数学知识 蛋型拼板．一种蛋形图板，可以分割成如下图所示的九块板，利用这九块板可以拼成各种各样的图形．国外称之为“魔蛋”．用蛋形拼板拼成的几种动物的造型．你会拼吗？拼拼看． 三角板拼图．用四块形状、大小完全一样的直角三角形纸板（如右图），拼拼搭搭（不能重叠），能出现许多边长不同的正方形． 你会拼吗？拼拼看．。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料牛吃草问题 精英班 教师版
那么80天24公顷可提供草：288＋38.4×80＝3360；所以共需要牛的头数是：3360÷80＝42（头）牛。
6人4天6×4＝24：原有酒－4天自然减少的酒
4人5天4×5＝20：原有酒－5天自然减少的酒
从上面看出：1天减少的酒为（24－20）÷（5－4）＝4，可供4人喝一天。
原有酒为：24＋4×4＝40，由4个人来喝需要：40÷4＝10（天）。
【例2】有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的2倍追乙车，5小时后甲车追上乙车，如果甲车以现在速度的3倍追乙车，3小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？
原有砖的数量为：180－6×9＝126；
设原有x名工人，根据题意可得：126＋（6＋4）×6＝6ｘ＋（ｘ－6）×4；解得：x＝21，所以原来应该派21名工人。
【巩固】某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙6天可以把砖运完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起搬，还需要在搬几天？
分析：设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
18头牛16天18×16＝288：原有草量＋16天自然增加的草量
27头牛8天27×8＝216：原有草量＋8天自然增加的草量
从上看出：2000平方米的牧场上16－8＝8天生长草量＝288－216＝72，即1天生长草量＝72÷8＝9；
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 期末考试 精英班 教师版
第十五讲 期末考试考试时间：90分钟总 分 值：100分+20分姓 名：得 分：一、填一填（每空5分，共5×10＝50分）1. 在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么，“努力力争”四个汉字所代表的四个数字的和是 5 .2. 有9个连续的的质数，它们的和为偶数，则其中后5个数的平均数是 16.63. 一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出 19 张牌才能保证：至少有5张牌的花色相同.4. 烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙19块饼，至少需要 57 分钟。
5. 期末结束老师买来许多乒乓球拍，羽毛球拍和跳绳做礼物奖励全班学生，全班共有66个同学，老师预计每个人至少分得一件礼物,最多分得两件礼物，问至少有 8 名同学所分得的礼物的种类是完全一样的。
6. 有10个学生向老师请教问题，老师解答第一个人的问题要1分钟，解答第二个人的问题需要2分钟，解答第三个人的问题要3分钟……，如此下去，如果安排两个老师来答疑，如何巧妙安排这10个人提问，使他们总的费时时间最少，最少的时间是 125 分钟。
7. 甲、乙二人同时从同一点A 出发，在A 、B 两地间往返，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米。
二人第一次相遇后，都继续前进，分别到达B 、A 两地后又立即按原速度返回。
从开始走到第三次相遇，共用了6小时。
A 、B 两地相距 9 千米。
8. 把125本书分给五二班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有41 人。
9. 一片匀速生长的草地，可供5头牛吃30天，或者可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃 6 天。
10. 在一条公路上，每隔10千米有一座仓库（如右图），共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么要集中到 D 仓库运费最少，最少是 1530 元。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 统筹优化 精英班 教师版
第十四讲 统筹优化其实统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率。
我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义。
比如，想泡壶茶喝。
当时的情况是：开水没有；水壶要洗，茶壶茶杯要洗；火生了，茶叶也有了。
怎么办？办法甲：洗好水壶，灌上凉水，放在火上；在等待水开的时间里，洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶；等水开了，泡茶喝。
办法乙：先做好一些准备工作，洗水壶，洗茶壶茶杯，拿茶叶；一切就绪，灌水烧水；坐待水开了泡茶喝。
办法丙：洗净水壶，灌上凉水，放在火上，坐待水开；水开了之后，急急忙忙找茶叶，洗茶壶茶杯，泡茶喝。
哪一种办法省时间？我们能一眼看出第一种办法好，后两种办法都窝了工。
在实际生活中，我们科学的利用统筹安排的方法可以大大节省时间、人力、物力以及资源，提高做事的效率。
分析：“小往大处靠”的原则来解决，A 点向C 点集中，因为根据“小往大处靠”的原则，虽然A 点40人比C 点20人多，但是人最多的点是E 点，所以大方向是向E 点的方向靠拢。
那么B 点当然也要向C 点靠拢。
C 点就有80人了.此时人数最多的点变成了C 点了.D 、E 又变成小势力了，因此还是“小往大处靠”的原则，看大方向，E 点要向D 点靠拢.此时D 点变成85人了。
那么D 点比此时C 点的80人多了.C 点又变成小势力了.所以最终要集中在D 点.也就是学校要设在D 点.【你会利用时间么？】（2000年《小学生数学报》数学邀请赛）烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？分析：先将两块饼同时放人锅内一起烙，3分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再放人第三块，又烙了3分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分钟，锅内两块饼均烙熟．这样烙3块饼，用去9分钟，所以烙21块饼，至少用21÷3×9＝63（分钟）． 知识说明想挑战吗？ 右图是A ，B ，C ，D ，E 五个村之间的道路示意图，○中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离（单位：千米）。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 期末考试
7 26
61
11
，那么按从大到小排列时，第 3 个数是_
26
.
0.42 4
2. 如果 A 22222221 , B= 66666664 ，那么，A 和 B 中较大的数是 B 33333332 99999997
3. 已知 x=1.9+1.99+1.999+…+1.9999999999。求ｘ的整数部分 19
(190 240) (20 23) 10 （秒），教师可以帮助学生画图理解。
5. 你和小新做游戏，桌上有 81 根火柴，每次每人可以取 1~4 根，谁取到最后一根谁输，你有必胜的方 法么？你先取火柴还是后取，怎么取？ 分析：让小新取第 81 根，那么你必须取第 80 根，只要你取到第 80 根你就赢了，所以应该让小新先取， 然后你和他凑“5”。
三、附加题目（每题 10 分，从三道题目中选择两道来做，三道题目全部做也只得满分 20 分。 共 10×2=20 分）
1. 24 < 111 < 7 在上式的方框内填入一个整数，使两端的不等号成立，那么要填的整数是多少? 31 口 9
11. 杂货店只有一个打气筒，要给三种车打气：给一辆自行车打足气需要 4 分钟，给一辆三轮车打足气 需要 6 分钟，给一辆板车打足气需要 5 分钟，现在有三种车各一辆，如果每辆车打完气起就走，怎么 安排三辆车的打气顺序，才能使三辆车总共需要的时间（包括打气和等候时间）最省 先给打气最短 的自行车打气，然后给板车打气，最后给三轮车打气， 最少要花 28 分钟。
x y 10 5x 2 y 36
x 8
解得：
y
2
即小白有 2 次没有完成动作。可用盈亏思想解答.
五年级下册思维拓展班期末测试
五年级下册思维拓展班期末测试1、360乘一个非零自然数a得到的积是一个完全平方数，那么a的最小值是多少？2、在四边形ABCD中，AO:OC=2:5，OD：OB=1:2，已知四边形ABCD的面积是42，求三角形AOD的面积是______。
3、（1）19911007除以9的余数是多少？（2）1357×1234+24681除以4的余数是多少？4、蛋糕的价格是80元。
因赶上六一儿童节，商家想促销扩大销量，又要保证自己的成本，所以先涨价1/10，再降价1/8，此时蛋糕的售价是多少？5、将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图如左图，从左面看到的视图如中间图所示，从上面看到的视图如右图，则这堆木块最少共有块。
6、一批手套，小海和小夕合作需要8小时，小海单独做需要12小时，小夕如果单独做，需要多长时间？7、下图是自然数列排成的数表，按照这个规律，第14行的D列是______。
8、有一个带盖的长方体木箱，体积是0.576立方米，它的长是12分米，宽是8分米，做这样一个木箱至少需要多少平方米木板？9、一起学网校准备毕业节目，同学们准备了5个歌唱类节目，和4个舞蹈类节目，任何两个舞蹈类节目不得相邻，有多少种不同的排法？10、如图所示，将一个长方体平均截成三段，段长2米，表面积增加了16平方米，原长方体的体积是多少？11、一个水池，有甲、乙两个进水口。
单独打开甲进水口，需要36小时灌满水池；单独打开乙进水口，需要9小时灌满水池。
如果打开甲进水口一个小时，然后打开乙进水口一个小时，再打开甲进水口一个小时.....，需要个小时才能注满水池。
12、在黑板上写下1-15共15个数，每次任意擦去其中两个数，再写上它们两个数的和减1.例如，擦掉5和11，再写上15.经过若干次后，黑板上只剩下一个数，这个数是？。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料
五年级奥数学练习试卷思维培训资料义务教育基础课程小学教学资料第一讲直线型面积（一）卷Ⅰ把图中的十字形纸在不剪断的情况下，做成一个长方形（可以使用剪刀和浆糊）.想挑战祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福同学们快乐成长，能够取得好成绩，为祖国奉献力量祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福同学们快乐成长，能够取得好成绩，为祖国奉献力量【例1】如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若S △ADE=1，求△BEF 的面积．【例2】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC=2DE ，F 是DG 的中点．四边形EFGC 的面积是多少平方厘米?【例3】如图，长方形ABCD 中，BE:EC=2:3，DF:FC=1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．【例4】如图，在平行四边形ABCD 中，BE=EC ，CF=2FD ．求阴影面积与空白面积的比．专题精讲GF ED CBAGFED CBAE DCBA卷Ⅱ【例5】（奥数网原创题）如图，60AOB BOC ∠=∠=，在射线OB 上任取一点P ，使得OP=6，过P 点能做几条直线交射线OA 、OC 于M 、N ，使得OM 、ON 均为正整数．【例6】奥数网原创题）如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．【例7】如图，已知AE=15AC ，CD=14BC ，BF=16AB ，那么DEF ABC三角形的面积三角形的面积等于多少?【例8】（奥数网原创题）如图，在△ABC 中，延长BD=AB ，CE=12BC ，F 是AC 的中点，若△ABC 的面积是2，则△DEF 的面积是多少？F EDCB AFEDCBAFEDCBA【例9】（奥数网原创题）如图，平行四边形ABCD ，BE=AB ，CF=2CB ，GD=3DC ，HA=4AD ，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比.【例10】如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．HG FED CBA HG FED C BA卷Ⅲ【例11】（全国华罗庚金杯数学邀请赛）2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那么直角三角形中，最短的直角边长度是几米？【例12】（2004全国华罗庚金杯数学邀请赛）如图，P是正方形ABCD外面一点，PB=12厘米，△APB的面积是90平方厘米，△CPB 的面积是48平方厘米.请问：正方形ABCD的面积是多少平方厘米？【例13】如图所示，直角三角形PQR的直角边为5厘米，9厘米.问：图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？【例14】如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形EFGH各边的中点，分别以大正方形各边的一半为直径向外作半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半圆，形成8个“月牙形”，这8个“月牙形”的总面积为5平方厘米.问大正方形EFGH的面积是多少平方厘米？1.如图，1,5,4,,ABCBC BD AC EC DG GS SE AF FG ======，求FGSS.2. （例1、5）如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？3. （例3）如右图，正方形ABCD 的边长为l ，E 、F 分别是BC 、DC 的中点，求四边形MECN 的面积为多少？4. （例3）如图，长方形ABCD 中，E 为AD 中点，AF 与BE 、BD 分别交于G 、H ，已知AH=5cm ，HF=3cm ，求AG ．5. （例11）（2004全国华罗庚金杯数学邀请赛）如图，智能机器猫从平面上的O 点出发，按下列规律行走：由O 向东走12厘米到1A ，由1A 向北走24厘米到2A ，由2A 向西走36厘米到3A ，由3A 向南走48厘米到4A ，……依此规律到达的6A 点与O 点的距离是多少厘米？练习一GED CBA HGF E DCBASGF E DCBA6. （例13）（2005全国华罗庚金杯数学邀请赛）如图1，长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平，如图2所示，求重叠部分（阴影部分）的面积.拼图欣赏七巧板是我国传统的启智游戏之一，又名智慧板．它是由正方形、平行四边形和三角形等七块简单几何图板组成，可以拼出各种各样的几何图形和许许多多美丽而有趣的图案．拼简单几何图形：拼各种造型：你能拼成其他动物的造型吗？拼拼看．数学知识。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料 综合试卷 (16)
综合评价（八）一精学精练1.填空1）6和9的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
2）能被2,3,5整除的最大三位数是（）。
3）当M（）时它等于0，当M（）时它就是这个分数的分数单位。
4）2.03里面有（）个。
5）一个分数，分子除以4，要想使分数的大小不变，分母应该（）。
6）的分数单位是（），它有（）个这样的分数单位。
7）在分母是6的分数中，其中最简分数有（）。
8）10÷14=。
9）在100克水中加入20克的盐，盐占盐水的。
10）一个最简分数，把它的分子扩大3倍，分母缩小3倍后等于，这个分数是（）。
11）5吨30千克=（）吨=（）千克 2米15厘米=（）厘米=（）米 4千米500米=（）千米=（）米 1小时36分=（）小时=（）分答案：1）3，18 。
2）990 。
3）0,1 。
4）203 。
5）除以4。
6），。
7），。
8)10 ，7， 20 。
9）。
10）。
11）5.03 ，5030 ，215 ，2.15 ，4.5，4500 ，1.6 ，96 。
2.判断1）个位上是3、6、9的数都能被3整除。
（）2）自然数里不是奇数就是偶数。
（）3）两个自然数中，有一个数是1，这两个数必然是互质数。
（）4）除2以外，所有的偶数都是合数。
（）答案：1）×。
2）√。
3）√。
4）√。
二活学活用1.修一条长8米的小路，第一天修米，第二天修米，第三天修多少米才能完成任务？答案：米2.一台拖拉机耕一块7.8亩的地，第一天耕亩，第二天比第一天多耕亩，第三天耕多少亩才能耕完这块地？答案：亩3.五、六年级同学去植树，六年级植树200棵，比五年级植的2倍还多20棵，五年级植树多少棵？答案：90棵。
4.甲乙两辆汽车从相距650千米的两地同时相对开出，5小时后相遇，甲车每小时行75千米，乙车每小时行多少千米？答案：55千米/时5.一个立方体水缸的容积是360升，如果把一满缸水倒入长1.2米，宽0.6米的长方体水箱中，水面高多少米？答案： 5分米。
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第十五讲 期末考试
考试时间：90分钟
总 分 值：100分+20分
姓 名：
得 分：
一、填一填（每空5分，共5×10＝50分）
1. 在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数
字．那么，“努力力争”四个汉字所代表的四个数字的和是 5 .
2. 有9个连续的的质数，它们的和为偶数，则其中后5个数的平均数是 16.6
3. 一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出 19 张牌才能保证：至少有5张牌的花色相同.
4. 烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼
的锅来烙19块饼，至少需要 57 分钟。
5. 期末结束老师买来许多乒乓球拍，羽毛球拍和跳绳做礼物奖励全班学生，全班共有66个同学，老师
预计每个人至少分得一件礼物,最多分得两件礼物，问至少有 8 名同学所分得的礼物的种类是完全一样的。
6. 有10个学生向老师请教问题，老师解答第一个人的问题要1分钟，解答第二个人的问题需要2分钟，
解答第三个人的问题要3分钟……，如此下去，如果安排两个老师来答疑，如何巧妙安排这10个人提问，使他们总的费时时间最少，最少的时间是 125 分钟。
7. 甲、乙二人同时从同一点A 出发，在A 、B 两地间往返，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米。
二人第一次相遇后，都继续前进，分别到达B 、A 两地后又立即按原速度返回。
从开始走到第三次相遇，共用了6小时。
A 、B 两地相距 9 千米。
8. 把125本书分给五二班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有 41
人。
9. 一片匀速生长的草地，可供5头牛吃30天，或者可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃 6 天。
10. 在一条公路上，每隔10千米有一座仓库（如右图），共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重
量.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么要集中到 D 仓库运费最少，最少是 1530 元。
E
60吨10吨20吨30吨10吨B
二、大显身手（每题10分，共10×5＝50分）
1. 甲、乙两车同时从A ，B 两地相向而行，在距B 地54千米处相遇．他们各自到达对方车站后立即返
回原地，途中又在距A 地42千米处相遇．（1）AB 两道的距离是多少千米？（2）两次相遇地点的距离．
分析：（1）第一次相遇两车共行了A ， B 间的一个单程，其中乙行了54千米；第二次相遇两车共行了A ，B 间的3个单程，乙行了54×3＝162（千米），乙行的路程又等于一个单程加42千米．故A ，B 间的距离为162－42＝120（千米）。
（2）两个相遇点之间距离为120－54－42=24千米．
2. 一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃6
天，而4只羊的吃草量相当于l 头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃多少天?
分析：设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
16头牛 15天 16×15＝240：原有草量＋15天生长的草量 100只羊（25头牛） 6天 25×6＝150： 原有草量＋6天生长的草量 从上易发现：1天生长的草量＝10；那么原有草量：150－10×6＝90；
8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下的10头牛吃原有草90只需9天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天。
3. 北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本地外，北京可以支援外地10台，上海可以支
持外地4台．现决定给重庆8台，汉口6台，若每台计算机的运费如右表，上海和北京制造的机器完全相同，应该怎样调运运费最省，最省的运费是多少百元？
分析：上表中第一行的差价为8－4＝4（百元），第二行的差价为5－3＝2（百元）。
说明从北京给重庆多发1台机器要多付运费4百元，
而从上海给重庆多发1台机器要多付运费2百元。
所以应尽量把北
京的产品运往汉口，而汉口只要6台，于是可知北京调往汉口6台，
其余4台调往重庆，上海4台全部调往重庆，总运费为：4×6＋8×
4＋5×4＝76（百元）。
35
84重庆汉口上海发站
运费/百元
到站北京
4. 甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米.甲、乙两人从A 地，丙一人从B 地同时相
向出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲，A 、B 两地相距多少米？
分析：线段示意图如下：当乙和丙相遇时，乙和甲相距：(70+50)×2=240(米)，从3人同时出发到乙、丙相遇经过：240÷(60-50)=24(分)，即实线的时间为24分，A 、B 两地相距：（60+70）×24=130×24=3120(米).
丙
丙
甲
乙B A
5. 一个农夫有面积为4公顷、8公顷和12公顷的三块牧场.三块牧场上的草长得一样密，而且长得一
样快.农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛10天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到8公顷的牧场,牛30天可吃完草．问：若农夫将这8头牛赶到12公顷的牧场，这块牧场够这些牛吃几天?
分析：设1头牛1天吃草量为“１”，可以将不同的公顷数统计为单位量“1”公顷来解决。
原条件： 4公顷 8头牛 10天 8公顷 8头牛 30天
可转化为：相当于把4公顷草地分割成4块每块一公顷有2头牛来吃，所以吃的时间不变 相当于把8公顷草地分割成8块每块一公顷有1头牛来吃，所以吃的时间不变
1公顷 2头牛 10天 2×10＝20：1公顷原有草量＋10天1公顷新生草量
1公顷 1头牛 30天 1×30＝30：1公顷原有草量＋30天1公顷新生草量
从上易得：1天1公顷新生草量＝（30－20）÷（30－10）＝0.5；1公顷原有草量＝20－0.5×10＝15； 1天12公顷新生草量＝0.5×12＝6；12公顷原有草量＝15×12＝180
8头牛里，若有6头牛去吃每天生长的草，剩下2头牛需要180÷2=90（天）可将原有草吃完，即它可供8头牛吃90天。
三、附加题目（每题10分，从三道题目中选择两道来做，三道题目全部做也只得满分20分。
共10×2=20分）
1. 老师在黑板上出了两道题，规定每道题做对得2分，没有做得1分，做错的0分。
老师说：“可以
肯定全班同学中至少有6名同学各题的得分都相同。
”那么，同学们请算算这个班至少有多少个人？
分析：同学做两道题的得分情况为“抽屉”，用（a,b ）表示各题的得分情况，其中a ，b 表示一题和二题的得分，那么抽屉共有：（2，2）（2，1）（1，2）（2，0）（0，2）（1，1）（1，0）（0，1）（0，0）这9种情况，求学生数量即“苹果”数为：9×5＋1＝46（人）。
2. 甲乙二人分别从A 、B 两地同时相向而行，甲的速度是乙的1.5倍。
二人相遇后继续行进，甲到B
地、乙到A 地后立即返回，已知二人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，那么A 、B 两地相距多少千米？
B
C
D
A
分析：因为甲的速度是乙的1.5倍。
所以 1.532S V V ===乙乙甲甲：S ：：1：
，第一次相遇甲乙走一个全程甲走3份在C 点相遇，由此推出,第三次相遇甲乙共走：3×2－1＝5（个全程），甲走了：3×5＝15（份）
在B 点，第四次相遇甲乙共走：4×2－1＝7（个全程），甲走了：3×7＝21（份）在D 点,已知BD 是20千米，所以AB 的长度是20÷4×（2+3）＝25（千米）。
3. 一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如
果让牛和羊去吃，30天将草吃尽。
已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。
现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？
分析：设1头马1天吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
马和牛 15天 15天马和牛吃草量＝原有草量＋15天新长草量 （１） 马和羊 20天 20天马和羊吃草量＝原有草量＋20天新长草量 （２） 牛和羊（同马） 30天 30马（牛和羊）吃＝原有草量＋30天新长草量 （３） 由（１）×２－（３）可得： 30天牛吃草量＝原有草量 牛每天吃草量＝原有草量÷30； 由（3）分析知道：30天羊吃草量＝30天新长草量，羊每天吃草量＝每天新长草量； 讲分析的结果带入（2）得：原有草量＝20，带入（3）30天牛吃草量＝20得牛每天吃草量＝23
这样如果马、牛和羊一起吃，可以让羊去吃新生草，马和牛吃原有草可以吃：20÷（1＋2
3
）＝12（天）。