2019-2020宝山区一模数学解析
2020宝山高三数学一模试卷+答案
宝山区2019学年第一学期期末 高三年级数学学科教学质量监测试卷（120分钟，150分）考生注意：1．本试卷包括试卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；2．在本试卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 3．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1．若()12z i i +=（i 是虚数单位），则z = .2．已知 4251λλ-=-，则λ= ．3．函数13(1)x y x -=≤的反函数是 ．4．2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有 场比赛．5．以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 ．6．在()531(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为 ．7．不等式22236x x x x -->--的解集是 ．8．已知方程()220x kx k R -+=∈的两个虚数根为12,x x ，若122x x -=，则k = ．9．已知直线l 过点()1,0-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为 ．10．有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是 cm .（钢的密度为37.9/g cm ，精确到0.1cm ）．11．已知{}n a ，{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 的前三项是799，，，则10c ＝ ． 12．已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为 ．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．若函数1()ln f x x a x =-+在区间()1,e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ）（A ）01a <<． （B ）11a e <<． （C ）111a e -<<． （D ）1+11a e<<．14．下列函数是偶函数，且在 [)0+∞，上单调递增的是（ ）（A ）()2()log 41x f x x =+-． （B ）()||2cos f x x x =-．（C ）221(0),()0 (0).x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩． （D ）|lg |()10x f x =． 15．已知平面αβγ、、两两垂直，直线,,a b c 满足,,a b c αβλ⊆⊆⊆，则直线,,a b c 不可能满足的是（ ）（A ）两两垂直． （B ）两两平行． （C ）两两相交． （D ）两两异面． 16．提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：()sin cos a x b x x ϕ+=+，πϕπ-<≤.下列判断错误的是（ ）（A ）当0,0a b >>时，辅助角arctanb a ϕ=. （B ）当0,0a b ><时，辅助角arctanba ϕπ=+. （C ）当0,0ab <>时，辅助角arctanba ϕπ=+. （D ）当0,0ab <<时，辅助角arctanbaϕπ=-. 三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四 边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°， DD 1＝3，E 是AB 的中点．（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).1D A18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()sin cos +cos 2f x x x x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心； （2）若()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解12,x x ，求a 的取值范围及12x x +的值.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）一家污水处理厂有A 、B 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水.A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半（精确到1小时）；（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定,处理后的污水可以排入河流.若A 、B 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定（精确到1小时）.20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知直线:(02)l x t t =<<与椭圆22142x y Γ+=：相交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记12,F F 是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的 距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标； （2）若点,M A 关于y 轴对称，当MAB ∆的面积最大时，求直线MB 的方程；（3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交 于P Q ，，证明：||||OP OQ ⋅为定值.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数），且2n a += 令ln n n b a =（*n N ∈）. （1）证明：2n b +>（2）证明：211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列，且{}n b 的通项公式是121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（3）是否存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +≥成立?若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.2019学年第一学期期末高三数学参考答案2019.12.13一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1.2. 33. 31log (01)y x x =+<≤4. 665. 9)23(22=++y x 6. 9-7. {}|4x x >- 8. 2± 9.4.5cm 11. 47-12. (P二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.C 14.A 15.B 16.B三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17.解:（1）001sin 60sin 602EBCD S AB AD AE AD =⋅-⋅=，……………4分1113C EBCD V S AA -=⋅= …………………………………6分（2）211+910EB ==，由余弦定理得201+422cos1207EC =-⨯=，所以217+916EC ==， ……………………………………………8分因为11//AD B C ，所以11B C E θ∠=即为所求异面直线1C E 和AD 所成的角.……………………10分由余弦定理得5cos 8θ==， ………………………………13分所以，异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5arccos 8. ……………………14分18.解：（1）()2cos 21sin cos sin 222x f x x x x x -=-+=+， 所以()1sin 262f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， …………………………………2分 因而()f x 的最小正周期22T ππ==. …………………………………4分 令()11sin 2622f x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，解得212k x ππ=-，1所以()f x 的对称中心是12122k k Z ππ⎛⎫--∈⎪⎝⎭，，.……………………6分 （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，………………………………8分 由0262x ππ≤+≤，解得06x π≤≤，所以，()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的递减区间是62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，， 递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. …………………………………10分当()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解时，a 的取值范围是10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，……12分 此时，12263x x ππ+==. …………………………………14分19.解: (1)设开始时每个池中的污物为0a ， 用,n n a b 表示n 小时后，A ，B 两池剩余的污物量,则10.10.9n n n n a a a a +=-=，所以00.9nn a a =，…………………………2分 同理00.81nn b a =.由题意000.92nn a a a ==,………………………………………………………4分 两边取对数得ln 0.56.587ln 0.9n =≈≈小时. …………………………………6分(2)设n 小时后,A 池污物余0ra ，则B 池污物余()00.2r a -，……………7分由题意()00000.90.810.2nn nn a a ra b a r a ⎧==⎪⎨==-⎪⎩， …………………………………8分 化简得0.81+0.90.2n n =或0.81+0.90.2n n≤， 即()20.9+0.90.20n n -=，………………………………………………………10分解得10.92n-+=， …………………………………………………………12分两边取对数得ln0.916.7717n =≈≈． ………………………13分答：A 池要用7小时才能把污物的量减少一半；要经过17小时后把两池水混合才能符合环保规定. ……………………………………………………………………14分20.解：（1）()1F，)2F ，由题意知，M在抛物线2y =-上，…………………………………2分由222142y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩解得6M x =.……………………………………4分（2）由题意A t ⎛ ⎝，M t ⎛- ⎝，,B t ⎛ ⎝，…………6分则122MAB S t ∆=⨯⨯=， (8)分所以当t =时，MAB ∆的面积最大， (9)分 此时()M ，)1B -，解得直线MB 的方程为2y x =-. …………………………………………10分 （3）设00(,)M xy ，由A t ⎛ ⎝，,B t ⎛ ⎝.0MA k =，所以，直线)000:MA y y x x -=-，令0y =得，0P x t y x x -=-11分同理得0Q x t y x x -=所以00||||OP OQ x x ⋅=-……………………12分计算()()22200000202222002||||2222x t x y x t y OP OQ x t ty y --⋅=-+-+-+，………………………14分 又220022x y -=-，因而2200||||24OP OQ x y ⋅=+=.………………………16分21.解：（1）由题意()211ln ln lnn n n a a a ++=+，即()2112n n n b b b ++=+，……………1分 由于11a =，2a e =，2n a +=所以，当2n ≥时，1n a >，且{}n a 递增， ………………………………………2分 因而0n b >，且1n n b b +≠ ………………………………………………………………3分 所以2n b +>………………………………………………………………………4分（2）因为()1121111122n n n n n n n n n b b bb b b b b b +++++++--==---，………………………………6分 又2121ln ln 1b b a a -=-=，所以211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列. ……………………………………………7分所以()111211122n n n n b b b b --+⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得+1+221132n n b ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ……………………………………………9分所以121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，经检验，1,2n =均成立. ………………10分（3）当2n ≥时，因为0n b >，所以+1111311222111122nn n n n b t b --⎛⎫-- ⎪⎝⎭<==-⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………………12分 只需要求+1n nbb 的最小值.因为1111224n -⎛⎫-≤-≤⎪⎝⎭， …………………………………………13分 所以+113311122122211+122n n n b b -=-≥-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，…………………………………16分 又211102b b =>=， 所以，对任意自然数*n N ∈均有112n n b b +≥成立，……………………………17分 所以t 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦………………………………………………………18分。
2020年上海市宝山区中考数学一模试卷(完美解析版)
2020年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 符号sinA表示（）A. ∠A的正弦B. ∠A的余弦C. ∠A的正切D. ∠A的余切【答案]A【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案．【详解】符号sinA表示∠A的正弦．故选：A【点睛】考查了锐角三角函数的定义．在RtABC中，∠C=90°.(1) 正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.(2) 余弦：锐角A的邻边忙亏斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA.(3) 正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA.(4) 三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．2. 如果2a =-3b ，那么ab=（）2 3B. -32C. 5D. —1A. -【答案]B【详解】此题应该有一个前提条件是A、 B均不为0,即使有这个条件，当2a =-3b 时，所以此题选B3. 二次函数y = 1- 2x2的图像的开口方向（）A. 向左B. 向右C. 向上D. 向下【答案]D【分析】分析题目，本题可以根据二次函数的性质来解答；由抛物线解析式可知，二次项系数a=-2<0, 可知抛物线开口向下4. 直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA=67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（）A. 俯角 67°方向B. 俯角 23°方向C. 仰角 67°方向D. 仰角 23°方向【答案】D.【解析】∠B == 90°，∠BCA == 67°，得∠BAG==23°从低处A处看高处C处，点C在点A的仰角23°方向故选：D.【点睛］此题考查了仰角以及俯角的定义，仰角是向上春的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角5. 已知 a⃗，b⃗⃗为非零向量，如 b⃗⃗=-5a⃗，那么向量 a⃗与b⃗⃗的方向关系是（）A. a⃗ // b⃗⃗，并且a⃗和b⃗⃗方向一致B. a⃗// b⃗⃗，并且a⃗和b⃗⃗方向相反C. a⃗和b⃗⃗方向互相垂直D. a⃗和b⃗⃗之间夹角的正切值为 5【答案】B【解析】由 b⃗⃗=-5a⃗，-5<0，得 b⃗⃗//-5a⃗且方向相反，所以a⃗// b⃗⃗，并且a⃗和b⃗⃗方向相反故选：B6. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以其边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，如果AB=2，那么此莱洛三角形（即阴影部分）的面积（）A. π + √3B. π -√3C. 2π -2√D. 2π-√【答案】D【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积＝三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，。
2019年上海市宝山区中考数学一模试卷含答案解析
2019年上海市宝山区中考数学一模试卷一.选择题1．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，tanA=，下列判断正确的是( )A．∠A=30°B．AC=C．AB=2 D．AC=22．抛物线y=﹣4x2+5的开口方向( )A．向上 B．向下 C．向左 D．向右3．如图，D、E在△ABC的边上，如果ED∥BC，AE：BE=1：2，BC=6，那么的模为( )A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．34．已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为（﹣3，4），则点M与⊙O的位置关系为( )A．M在⊙O上B．M在⊙O内C．M在⊙O外D．M在⊙O右上方5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为( )A．26°B．64°C．52°D．128°6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A．ac＞0 B．当x＞﹣1时，y＜0 C．b=2a D．9a+3b+c=0二.填空题7．如果：，那么：=__________．8．两个相似比为1：4的相似三角形的一组对应边上的中线比为__________．9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件是__________．10．如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD=__________．11．计算：2（3+4）﹣5=__________．12．如图，菱形ABCD的边长为10，sin∠BAC=，则对角线AC的长为__________．13．抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是__________．14．若A（1，2），B（3，2），C（0，5），D（m，5）是抛物线y=ax2+bx+c图象上的四点，则m=__________．15．已知A（4，y1）、B（﹣4，y2）是抛物线y=（x+3）2﹣2的图象上两点，则y1__________y2．16．已知⊙O中一条长为24的弦的弦心距为5，则此圆的半径长为__________．17．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正弦值为__________．18．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，﹣3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为__________（面积单位）．三.解答题（8+8+8+8+10+10+12+14）19．计算：﹣．20．已知某二次函数的对称轴平行于y轴，图象顶点为A（1，0），且与y轴交于点B（0，1）（1）求该二次函数的解析式；（2）设C为该二次函数图象上横坐标为2的点，记=，=，试用、表示．21．如图是某个大型商场的自动扶梯侧面示意图，已知自动扶梯AC的坡度为1：2，AC的长度为5米，AB为底楼地面，CD为二楼侧面，EF为二楼楼顶，当然有EF∥AB∥CD，E为自动扶梯AC的最高端C的正上方，过C的直线EG⊥AB于G，在自动扶梯的底端A 测得E的仰角为42°，求该商场二楼的楼高CE．（参考数据：sin42°=，cos42°=，tan42°=）22．如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，若AC=2，AE=3，CE=，求弧BD的长度．（保留π）23．如图，D为△ABC边AB上一点，且CD分△ABC为两个相似比为1：的一对相似三角形；（不妨如图假设左小右大），求：（1）△BCD与△ACD的面积比；（2）△ABC的各内角度数．24．如图，△ABC中，AB=AC=6，F为BC的中点，D为CA延长线上一点，∠DFE=∠B．（1）求证：=；（2）若EF∥CD，求DE的长度．25．（1）已知二次函数y=（x﹣1）（x﹣3）的图象如图，请根据图象直接写出该二次函数图象经过怎样的左右平移，新图象通过坐标原点？（2）在关于二次函数图象的研究中，秦篆晔同学发现抛物线y=ax2﹣bx+c（a≠0）和抛物线y=ax2﹣bx+c（a≠0）关于y轴对称，基于协作共享，秦同学将其发现口诀化“a、c不变，b 相反”供大家分享，而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了“a、c相反，b不变”，并按此法误写，然而按此误写的抛物线恰巧与原抛物线也对称，请你写出小胡同学所写的与原抛物y=（x﹣1）（x﹣3）的对称图形的解析式，并研究其与原抛物线的具体对称情况；（3）抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）与x轴从左到右交于A、B两点，与y轴交于点C，M是其对称轴上一点，点N在x轴上，当点N满足怎样的条件，以点N、B、C为顶点的三角形与△MAB有可能相似，请写出所有满足条件的点N的坐标；（4）E、F为抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）上两点，且E、F关于D（，0）对称，请直接写出E、F两点的坐标．26．（14分）如图点C在以AB为直径的半圆的圆周上，若AB=4，∠ABC=30°，D为边AB 上一动点，点E和D关于AC对称，当D与A重合时，F为EC的延长线上满足CF=EC的点，当D与A不重合时，F为EC的延长线与过D且垂直于DE的直线的交点，（1）当D与A不重合时，CF=EC的结论是否成立？试证明你的判断．（2）设AD=x，EF=y 求y关于x的函数及其定义域；（3）如存在E或F恰好落在弧AC或弧BC上时，求出此时AD的值；如不存在，则请说明理由．（4）请直接写出当D从A运动到B时，线段EF扫过的面积．2019年上海市宝山区中考数学一模试卷一.选择题1．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，tanA=，下列判断正确的是( )A．∠A=30°B．AC=C．AB=2 D．AC=2【考点】解直角三角形．【专题】探究型．【分析】根据在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，tanA=，可以得到AC、BC的长，同时tanA=，tan30°=，可以判断∠A是否等于30°，从而可以得到问题的答案．【解答】解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，tanA=，tanA=，∴AC=，∴AB=，∵tanA=，tan30°=，∴∠A≠30°，故选D．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出各边之间的关系，进而判断选项是否正确．2．抛物线y=﹣4x2+5的开口方向( )A．向上 B．向下 C．向左 D．向右【考点】二次函数的性质．【专题】探究型．【分析】根据抛物线y=﹣4x2+5，可知二次项系数是﹣4，从而可以得到该函数的开口方向．【解答】解：∵抛物线y=﹣4x2+5，﹣4＜0，∴该抛物线的开口向下，故选B．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是由二次项系数可以判断抛物线的开口方向．3．如图，D、E在△ABC的边上，如果ED∥BC，AE：BE=1：2，BC=6，那么的模为( )A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【考点】*平面向量．【分析】由ED∥BC，可证得△AED∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例，求得ED：BC=1：3，则可得=﹣，又由BC=6，即可求得的模．【解答】解：∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴ED：BC=AE：AB，∵AE：BE=1：2，∴AE：AB=1：3，∴ED：BC=1：3，∴=﹣，∵BC=6，∴||=||=2．故选C．【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意利用相似三角形的性质，求得=是解此题的关键．4．已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为（﹣3，4），则点M与⊙O的位置关系为( )A．M在⊙O上B．M在⊙O内C．M在⊙O外D．M在⊙O右上方【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】根据勾股定理，可得OM的长，根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：OM==5，OM=r=5．故选：A．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为( )A．26°B．64°C．52°D．128°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】先利用互余计算出∠B=64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB=∠B=64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=26°，∴∠B=64°，∵CB=CD，∴∠CDB=∠B=64°，∴∠BCD=180°﹣64°﹣64°=52°，∴的度数为52°．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A．ac＞0 B．当x＞﹣1时，y＜0 C．b=2a D．9a+3b+c=0【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】A、由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置即可确定a、c的符号；B、根据抛物线与x轴的交点，可得出y＜0时，x的取值范围；C、根据抛物线的对称轴直接得出答案；D、根据抛物线与x轴的交点和抛物线的对称轴，即可得出抛物线与x轴的另一个交点，然后把x=3代入方程即可求得相应的y的符号．【解答】解：A、由抛物线的开口向上，得a＞0，抛物线与y轴负半轴相交，得c＜0，则ac＜0，故本选项错误；B、根据抛物线与x轴的交点，可得出y＜0时，﹣1＜x＜3，故本选项错误；C、根据抛物线的对称轴x=﹣=1，直接得出b=﹣2a，故本选项错误；D、根据抛物线与x轴的一个交点（﹣1，0）和抛物线的对称轴x=1，即可得出抛物线与x 轴的另一个交点（3，0），然后把x=3代入方程即9a+3b+c=0，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．二.填空题7．如果：，那么：=．【考点】分式的基本性质．【专题】计算题．【分析】由已知可知，2a=3b，再代入所求式进行化简．【解答】解：∵，∴2a=3b，∴===．故答案为．【点评】本题的关键是找到a，b的关系．8．两个相似比为1：4的相似三角形的一组对应边上的中线比为1：4．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，∴这两个相似三角形的一组对应边上的中线比为1：4，故答案为：1：4．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件是∠AED=∠B 或∠ADE=∠C或．【考点】相似三角形的判定．【专题】压轴题；开放型．【分析】由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可．【解答】解：∵∠A=∠A，当∠AED=∠B，∴△AED∽△ABC，∵∠A=∠A，当∠ADE=∠C，∴△AED∽△ABC，∵∠A=∠A，当，∴△AED∽△ABC，故答案为：∠AED=∠B或∠ADE=∠C或．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．10．如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD=6．【考点】射影定理．【分析】根据射影定理得到等积式，代入已知数据计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，CD⊥AB，∴CD2=BD•AD=36，∴CD=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是射影定理的应用，掌握直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项是解题的关键．11．计算：2（3+4）﹣5=+8．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：2（3+4）﹣5=6+8﹣5=+8．故答案为：+8．【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号法则是解此题的关键．12．如图，菱形ABCD的边长为10，sin∠BAC=，则对角线AC的长为16．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的性质可知AC⊥BD，解三角形求出BO的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出AC的长．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，在Rt△AOB中，∵AB=10，sin∠BAC=，∴sin∠BAC==，∴BO=×10=6，∴AB2=OB2+AO2，∴AO===8，∴AC=2AO=16．故答案为：16．【点评】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、解直角三角形的知识；解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题难度不大．13．抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（3，4）．【考点】二次函数的性质．【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．【解答】解：y=﹣2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．故答案为：（3，4）．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．14．若A（1，2），B（3，2），C（0，5），D（m，5）是抛物线y=ax2+bx+c图象上的四点，则m=4．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据对称点A（1，2），B（3，2）得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后根据对称点C（0，5），D（m，5）得出=2，即可求得m的值．【解答】解：∵A（1，2），B（3，2）是抛物线y=ax2+bx+c图象上的点，∴抛物线的对称轴为直线x==2，∵C（0，5），D（m，5）是对称点，∴=2，解得m=4故答案为4．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：根据对称点（x1，m）、（x2，m）得到抛物线的对称轴为直线x=．15．已知A（4，y1）、B（﹣4，y2）是抛物线y=（x+3）2﹣2的图象上两点，则y1＞y2．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先求得函数y=（x+3）2﹣2的对称轴为x=﹣3，再判断A（4，y1）、B（﹣4，y2）离对称轴的远近，从而判断出y1与y2的大小关系．【解答】解：由y=（x+3）2﹣2可知抛物线的对称轴为直线x=﹣3，∵抛物线开口向上，而点A（4，y1）到对称轴的距离比B（﹣4，y2）远，∴y1＞y2．故答案为＞．【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．16．已知⊙O中一条长为24的弦的弦心距为5，则此圆的半径长为13．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】利用垂径定理得到C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，在直角三角形AOC 中，由AC与OC的长，利用勾股定理求出OA的长即可．【解答】解：如图所示，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，AC=12，OC=5，根据勾股定理得：AO===13，即此圆的半径长为13；故答案为：13．【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出AO是解本题的关键．17．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正弦值为．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE，CE=BD=6，于是可判断△ADE为等边三角形，所以DE=AD=5，作CH⊥DE于H，如图，设DH=x，则HE=DE﹣DH=5﹣x，利用勾股定理得到42﹣x2=62﹣（5﹣x）2，解得x=，则可计算出CH=，然后根据正弦的定义求解．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，∴∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE，CE=BD=6，∵△ADE为等边三角形，∴DE=AD=5，作CH⊥DE于H，如图，设DH=x，则HE=DE﹣DH=5﹣x在Rt△CDH中，CH2=CD2﹣DH2=42﹣x2，在Rt△CEH中，CH2=CE2﹣EH2=62﹣（5﹣x）2，∴42﹣x2=62﹣（5﹣x）2，解得x=，在Rt△CDH中，CH==，∴sin∠CDH===，即sin∠CDH=．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是求C点到DE的距离．18．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，﹣3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为9（面积单位）．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】由图象可知曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积，求得四边形OCBD的面积即可．【解答】解；∵曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积，∴曲线CMB在平移过程中扫过的面积=OC•OB+OC•BD=×3×3+×3×3=9，故答案为9．【点评】题考查了二次函数图象与几何变换，由图象可知曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积是解题的关键．三.解答题（8+8+8+8+10+10+12+14）19．计算：﹣．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=﹣=﹣=+﹣=+．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20．已知某二次函数的对称轴平行于y轴，图象顶点为A（1，0），且与y轴交于点B（0，1）（1）求该二次函数的解析式；（2）设C为该二次函数图象上横坐标为2的点，记=，=，试用、表示．【考点】*平面向量；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）由图象顶点为A（1，0），首先可设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣1）2，又由与y轴交于点B（0，1），可利用待定系数法求得答案；（2）首先求得点C的坐标，然后根据题意作出图形，易求得，然后由三角形法则，求得答案．【解答】解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣1）2，∵与y轴交于点B（0，1），∴a=1，∴该二次函数的解析式为：y=（x﹣1）2；（2）∵C为该二次函数图象上横坐标为2的点，∴y=（2﹣1）2=1，∴C点坐标为：（2，1），∴BC∥x轴，∴=2=2，∴=+=+2．【点评】此题考查了平面向量的知识、待定系数法求函数的解析式以及点与二次函数的关系．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．21．如图是某个大型商场的自动扶梯侧面示意图，已知自动扶梯AC的坡度为1：2，AC的长度为5米，AB为底楼地面，CD为二楼侧面，EF为二楼楼顶，当然有EF∥AB∥CD，E为自动扶梯AC的最高端C的正上方，过C的直线EG⊥AB于G，在自动扶梯的底端A 测得E的仰角为42°，求该商场二楼的楼高CE．（参考数据：sin42°=，cos42°=，tan42°=）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据AC的坡度得出AG=2CG，由勾股定理得出CG2+AG2=AC2，求出CG、AG，再由三角函数得出EG，即可得出结果．【解答】解：根据题意得：AG=2CG，∵∠AGE=90°，∴由勾股定理得：CG2+AG2=AC2，即CG2+（2CG）2=（5）2，解得：CG=5（米），∴AG=10米，∵tan∠EAG=，∴EG=AG•tan42°，∴CE=EG﹣CG=AG•tan42°﹣CG=10×﹣5=4﹣5（米）；答：该商场二楼的楼高CE为（4﹣5）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、坡度、勾股定理、三角函数；由勾股定理求出AG是解决问题的关键．22．如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，若AC=2，AE=3，CE=，求弧BD的长度．（保留π）【考点】垂径定理；勾股定理；弧长的计算．【分析】连接OC，先根据勾股定理的逆定理得出△ACE是直角三角形，再由垂径定理得出CE=DE，，由三角函数求出∠A=30°，由圆周角定理求出∠BOC，由弧长公式得出的长度=的长度=π即可．【解答】解：∵AC=2，AE=3，CE=，∴AE2+CE2=AC2，∴△ACE是直角三角形，∠AEC=90°，∴CD⊥AB，sin∠A==，∴，∠A=30°，连接OC，如图所示：则∠BOC=2∠A=60°，OC===2，∴的长度=的长度==π．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的逆定理、三角函数、弧长公式等知识；熟练掌握勾股定理的逆定理，由垂径定理得出是解决问题的关键．23．如图，D为△ABC边AB上一点，且CD分△ABC为两个相似比为1：的一对相似三角形；（不妨如图假设左小右大），求：（1）△BCD与△ACD的面积比；（2）△ABC的各内角度数．【考点】相似三角形的性质；解直角三角形．【分析】（1）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答；（2）根据锐角三角函数的概念解答即可．【解答】解：（1）∵△BCD和△CAD的相似比为1：，∴△BCD和△CAD的面积比为1：3；（2）∵△BCD∽△CAD，∴∠BDC=∠ADC=90°，tanA===，∴∠A=30°，tanB==，∴∠B=60°，∴∠ACB=90°．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方以及锐角三角函数的概念是解题的关键．24．如图，△ABC中，AB=AC=6，F为BC的中点，D为CA延长线上一点，∠DFE=∠B．（1）求证：=；（2）若EF∥CD，求DE的长度．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据外角的性质得到∠EFB=∠FDC，由等腰三角形的性质得到∠C=∠B，证得△CDF∽△BFE，根据相似三角形的性质得到；（2）根据平行线的性质得到∠EFD=∠FDC，∠C=∠EFB，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，等量代换得到∠FDC=∠C，推出DF=CF，得到BF=DF，推出△DF≌△BFE，根据全等三角形的性质得到结论．【解答】（1）证明：∵∠DFB=∠DEF+∠EFB=∠C+∠FDC，∴∠EFB=∠FDC，∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴△CDF∽△BFE，∴；（2）解：∵EF∥CD，∴∠EFD=∠FDC，∠C=∠EFB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠FDC=∠C，∴DF=CF，∴BF=DF，∴EF=AC=3，∠DFE=∠BFE，在△DFE与△BFE中，，∴△DF≌△BFE，∴DE=BE=3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．25．（1）已知二次函数y=（x﹣1）（x﹣3）的图象如图，请根据图象直接写出该二次函数图象经过怎样的左右平移，新图象通过坐标原点？（2）在关于二次函数图象的研究中，秦篆晔同学发现抛物线y=ax2﹣bx+c（a≠0）和抛物线y=ax2﹣bx+c（a≠0）关于y轴对称，基于协作共享，秦同学将其发现口诀化“a、c不变，b 相反”供大家分享，而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了“a、c相反，b不变”，并按此法误写，然而按此误写的抛物线恰巧与原抛物线也对称，请你写出小胡同学所写的与原抛物y=（x﹣1）（x﹣3）的对称图形的解析式，并研究其与原抛物线的具体对称情况；（3）抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）与x轴从左到右交于A、B两点，与y轴交于点C，M是其对称轴上一点，点N在x轴上，当点N满足怎样的条件，以点N、B、C为顶点的三角形与△MAB有可能相似，请写出所有满足条件的点N的坐标；（4）E、F为抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）上两点，且E、F关于D（，0）对称，请直接写出E、F两点的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）首先求得抛物线与x轴的交点，即可求得平移的方向和距离；（2）根据“a、c相反，b不变”，即可求得对应的函数解析式，然后确定顶点即可判断；（3）△MAB中M是在抛物线的对称轴上，则△MAB为等腰三角形，则△NBC是等腰三角形，同时根据∠OBC=45°，即已知等腰△NBC的一个角的度数，据此即可讨论，求解；（4）设E的坐标是（a，a2﹣4a+3），由点E与F关于点D（，0）对称，则可得F的坐标，然后根据点E和点F的纵坐标互为相反数即可列方程求解．【解答】解：（1）二次函数y=（x﹣1）（x﹣3）与x轴的交点是（1，0）和（3，0）．抛物线向左平移1个单位长度或3个单位长度即可使新图象经过坐标原点；（2）y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．∵小胡同学听成了a与c相反，b不变．∴y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x+2）2+1，顶点坐标是（﹣2，1），故与原抛物线关于原点对称；（3）∵△MAB中M是在抛物线的对称轴上，∴MA=MB，即△MAB为等腰三角形，又∵△MAB与△NBC相似，∴△NBC是等腰三角形．∵N在x轴上，∴∠CBN=45°或135°．当∠CBN=135°时，即N点在B的右侧且BC=BN，则N的坐标是（3+3，0）；当∠CBN=45°时，即N在点B的左侧，若△MAB的底角为45°，此时三角形为等腰直角三角形，则N的坐标是（0，0）或（﹣3，0）；若△MAB的顶角是45°时，在△NBC中，BC=BN=3，则N的坐标是（3﹣3，0）；（4）设E的坐标是（a，a2﹣4a+3），由点E与F关于点D（，0）对称，则可得F（3﹣a，a2﹣2a），∴点E和点F的纵坐标互为相反数，即a2﹣4a+3+a2﹣2a=0，解得：a1=，a2=（舍去），∴E的纵坐标是（，），F的坐标是（，﹣）．【点评】本题考查了二次函数与等腰三角形的性质，相似三角形的性质，正确理解△NBC 是等腰三角形是本题的关键．26．（14分）如图点C在以AB为直径的半圆的圆周上，若AB=4，∠ABC=30°，D为边AB 上一动点，点E和D关于AC对称，当D与A重合时，F为EC的延长线上满足CF=EC的点，当D与A不重合时，F为EC的延长线与过D且垂直于DE的直线的交点，（1）当D与A不重合时，CF=EC的结论是否成立？试证明你的判断．（2）设AD=x，EF=y 求y关于x的函数及其定义域；（3）如存在E或F恰好落在弧AC或弧BC上时，求出此时AD的值；如不存在，则请说明理由．（4）请直接写出当D从A运动到B时，线段EF扫过的面积．【考点】圆的综合题．（1）设DE交AC于M，DF交BC于N．由轴对称图形的性质可知EM=DM，ED⊥AC，【分析】然后可证明AC∥DF，由平行线分线成比例定理可知；（2）①当D与A不重合时．先证明四边形CNDM是矩形，从而得到MD∥BC，由平行线的性质可知∠ADM=∠ABC=30°，由特殊锐角三角函数可知ED=，DN==（4﹣x）=2﹣，然后由平行线分线段成比例定理可知DN=NF，从而得到DF=2DN=4﹣x，最后在Rt△EFD中，由勾股定理可求得y与x的函数关系式；②当D与A重合时，y=2AC=4；（3）①当点E在弧AC上时．由题意可知∠CAD=60°，由点E与点D关于AC对称可知：∠EAD=120°，故此点E不在弧AC上，故当且仅当点D与点A重合是，点E也与点A重合时，成立；②当点F在上时，如图3所示，连接BF、AF．由题意可知∠FDB=60°，由（2）可知DF=2DN，DB=2DN，故此DF=DB，从而可证明△DFB为等边三角形，于是得到DB=DF，然后再证明AD=DF，从而可知点D与点O重合，于是得到AD==2；（4）由（2）可知∠EAD=2∠CAD=120°，故此点E运动的轨迹为一条线段，由（3）可知∠FBD=60°，故此点F运动的轨迹也是一条线段，然后画出图形，最后利用三角形的面积公式即可求得答案．【解答】解：（1）成立．如图1所示：设DE交AC于M，DF交BC于N．∵点E与点D关于AC对称，∴EM=DM，ED⊥AC．又∵DE⊥DF，∴AC∥DF．∴．∴CE=CF．（2）①当D与A不重合时．∵∠CMD=∠MDN=∠MCN=90°，∴四边形CNDM是矩形．∴MD∥BC．∴∠ADM=∠ABC=30°．∵在Rt△AMD中，∠ADM=30°，∴MD==．∴ED=．在Rt△BDN中，∠DBN=30°，∴DN==（4﹣x）=2﹣．∵MD∥BC，∴．∴DN=NF．∴DF=2DN=4﹣x．在Rt△EDF中，由勾股定理可知EF=y===2（0＜x≤4）；②当D与A重合时，如图2所示；∵CF=EF，∴y=2AC=4．（3）①当点E在弧AC上时．∵∠CAD=60°，点E与点D关于AC对称，∴∠EAD=∠DAM=60°．∴∠EAD=120°．∵当点E在弧AC上时，∠EAD≤90°，∴此种情况不成立．故当且仅当点D与点A重合是，点E也与点A重合时，成立．∴AD=0．②当点F在上时，如图3所示，连接BF、AF．∵∠DBN=30°，∠BND=90°，∴∠FDB=60°．∵由（2）可知DF=2DN，DB=2DN，∴DF=DB．∴△DFB为等边三角形．∴∠DBF=60°，∠DFB=60°．∴∠AFD=30°．∵AB是圆O的直径，∴∠AFB=90°．∵∠CFA=∠CBA=30°，∴∠CFB=120°．∴∠CFB+∠FBD=180°．∴∠CF∥DB．∴∠FAD=∠CFA=30°．∴∠FAD=∠AFD=30°．∴AD=DF=DB．∴点D与点O重合．∴AD==2．综上所述，AD=0或AD=2．（4）如图4所示；E、F的初始位置为E1、F1，E1与A点重合，E、F的终止位置为E2、F2，F2与B点重合．∵由（2）可知∠EAD=2∠CAD=120°，∴点E运动的轨迹为线段AE1．∵由（3）可知∠FBD=60°，∴点F运动的轨迹为线段BF2．∴阴影部分的面积即为所求，S=2××AC•BC=2××2×2=4．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了轴对称图形的性质、平行线分线段成比例定理、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，根据∠EAD和∠FBD为固定值，判断点E、F运动的轨迹都是一条线段是解题的关键．。
2019年上海市宝山区中考数学一模试卷解析版
2019年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF=1：2，那么下列结论正确的是（）A. AC：AE=1：3B. CE：EA=1：3C. CD：EF=1：2D. AB：CD=1：2【答案】A【解析】解：∵AB∥CD∥EF，∴AC：CE=BD：DF=1：2，即CE=2AC，∴AC：CE=1：3，CE：EA=2：3．故选：A．根据平行线分线段成比例定理得到AC：CE=BD：DF=1：2，然后利用比例性质对各选项进行判断．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．2.下列命题中，正确的是（）A. 两个直角三角形一定相似B. 两个矩形一定相似C. 两个等边三角形一定相似D. 两个菱形一定相似【答案】C【解析】解：两个直角三角形不一定相似，两个矩形不一定相似，两个菱形不一定相似，而两个等边三角形一定相似．故选：C．根据相似三角形的判定方法对A、C进行判断；利用反例可对B、D进行判断．本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．3.已知二次函数y=ax2-1的图象经过点（1，-2），那么a的值为（）A. a=-2B. a=2C. a=1D. a=-1【答案】D【解析】解：把（1，-2）代入y=ax2-1得a-1=-2，解得a=-1．故选：D．把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到a的值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．4.如图，直角坐标平面内有一点P（2，4），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】解：过点P作PA⊥x轴于点A．由于点P（2，4），∴PA=4，OA=2∴cotα==．故选：B．过点P作PA⊥x轴于点A．由P点的坐标得PA、OA的长，根据余切函数的定义得结论．本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．5.设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（）A. m（n）=（mn）B. （m+n）=m+nC. m（）=m+mD. 若m=，那么=【答案】D【解析】解：A、如果m、n为实数，那么m（n）=（mn），故本选项结论正确；B、如果m、n为实数，那么（m+n）=m+n，故本选项结论正确；C、如果m、n为实数，那么m（）=m+m，故本选项结论正确；D、如果m为实数，那么若m=，那么m=0或=，故本选项结论错误．故选：D．根据平面向量的性质，即可判断A、B，C正确，根据向量的计算法则即可得D错误．此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性质是解此题的关键．6.若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A. 在⊙A内B. 在⊙A上C. 在⊙A外D. 不能确定【答案】A【解析】解：∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），∴AP==4＜5，∴点P在⊙A内，故选：A．先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.抛物线y=x2-1的顶点坐标是______．【答案】（0，-1）【解析】解：抛物线y=x2-1的顶点坐标为（0，-1）．故答案是：（0，-1）．形如y=ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y=a（x-k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x=k．8.将二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为______．【答案】直线x=3【解析】解：将二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，所得解析式为：y=2（x-3）2，故其图象的对称轴为：直线x=3．故答案为：直线x=3．直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式进而得出答案．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．9.请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：______．【答案】y=-x2+2（答案不唯一）【解析】解：∵开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式，∴可以设顶点坐标为（0，2），故解析式为：y=-x2+2（答案不唯一）．故答案为：y=-x2+2（答案不唯一）．根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，2）得出即可．本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．10.若2||=3，那么3||=______．【答案】【解析】解：由2||=3得到：||=，故3||=3×=．故答案是：．实数的乘除运算法则同样适用于向量的运算．考查了平面向量的知识，解题时，可以与实数的运算法则联系起来考虑，属于基础题．11.甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，那么图上4.5cm的两地之间的实际距离为______千米．【答案】225【解析】解：∵甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，∴比例尺==，设图上4.5cm的两地之间的实际距离为xcm，则解得x=22500000，∵22500000cm=225km，∴图上4.5cm的两地之间的实际距离为225千米．故答案为：225．依据甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，即可得到比例尺，即可得出图上4.5cm的两地之间的实际距离．本题主要考查了比例线段，解题时注意：比例尺等于图上距离与实际距离的比值．12.如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于______．【答案】1：16【解析】解：∵两个相似三角形的周长的比等于1：4，∴它们的相似比为1：4，∴它们的面积的比等于1：16．故答案为：1：16．由两个相似三角形的周长的比等于1：4，即可求得它们的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积的比．此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的对应高线、角平分线、中线的比等于相似比．13.Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，那么sin B=______．【答案】【解析】解：由题意，得sin B==，故答案为：．根据锐角的正弦等于对边比斜边，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角的正弦等于对边比斜边是解题关键．14.直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为______．【答案】12cm【解析】解：由题意得，CG=4，∵点G是△ABC的重心，∴CD=CG=6，CD是△ABC的中线，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，∴AB=2CD=12（cm），故答案为：12cm．根据三角形的重心的性质求出CD，根据直角三角形的性质计算即可．本题考查的是三角形的重心的概念和性质，直角三角形的性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．15.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD=∠CEA，若3AE=2BD，BE=1，那么DC=______．【解析】解：∵AB∥DC，∴∠ABD=∠BDC，∵∠ABD=∠CEA，∴∠AEB=∠BDC，∴∠EAB=180°-∠AEB-∠ABE，∠CBD=180°-∠ABD-∠ABE，∴∠EAB=∠CBD，∴△AEB∽△BDC，∴=，∵3AE=2BD，BE=1，∴CD=，故答案为：．根据平行线的性质得到∠ABD=∠BDC，推出△AEB∽△BDC，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，证得△AEB∽△BDC是解题的关键．16.⊙O的直径AB=6，C在AB延长线上，BC=2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是______．【答案】2≤r≤8【解析】解：∵⊙O的直径AB=6，C在AB延长线上，BC=2，∴CA=8，∵⊙C与⊙O有公共点，即⊙C与⊙O相切或相交，∴r=2或r=8或2＜r＜8，即2≤r≤8．故答案为2≤r≤8．利用⊙C与⊙O相切或相交确定r的范围．本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．17.我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于______．【答案】或【解析】解：设等腰三角形的底边长为a，|5-a|=3，解得，a=2或a=8，当a=2时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，当a=8时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，故答案为：或根据题意，可以求得底边的长，然后利用分类讨论的方法和锐角三角函数可以求得相应的角的三角函数值．本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的三角函数值．18.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为______．【答案】【解析】解：过点C'作C'D⊥BC于点D，∵A'C∥BC，∠ACB=90°，∴∠C'AC=∠ACB=90°，且C'D⊥BC，∴四边形C'DCA是矩形，∴CD=AC'，C'D=AC=4，∵折叠∴BC'=BC=5，CP=C'P，在Rt△BDC'中，BD==3∴CD=BC-BD=2∴AC'=2，在Rt△AC'P中，C'P2=C'A2+AP2，∴CP2=4+（4-CP）2，∴CP=故答案为：过点C'作C'D⊥BC于点D，通过题意可证四边形C'DCA是矩形，可得CD=AC'，C'D=AC=4，根据勾股定理可求BD=3，即CD=AC'=2，根据勾股定理可求CP的长．本题是翻折变换，考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB上一点，AC=AE=3，BC=4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACF=∠ACB=90°，∠B+∠BAC=90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF=90°，∴∠B=∠CAF，∴△ABC∽△FAC，∴=，即=，解得CF=；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC=3，BC=4，∴AB=5，则CH==，∴AH==，EH=AE-AH=，∴tan D=tan∠ECH==．【解析】（1）证△ABC∽△FAC，得=，将相关线段的长代入计算可得；（2）作CH⊥AB，先计算AB=5，据此可得CH==，AH==，EH=AE-AH=，依据tan D=tan∠ECH=可得答案．本题主要考查解直角三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造与∠D相等的角，并熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．【答案】解：原式=×+×=．【解析】直接利用特殊角的三角函数值把相关数据代入进而得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．21.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E、F在边BC上，∠EAF=∠B．求证：BF•CE=AB2．【答案】证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠EAF+∠BAE=∠BAF，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABF∽△ECA，∴AB：CE=BF：AC，∴BF•EC=AB•AC=AB2．【解析】利用两角对应成比例可得△ABF∽△ECA，对应边成比例可得相应的比例式，整理可得所求的乘积式．此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ABF∽△ECA是解此题的关键．22.如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB=9，AC=6，AD=2，AE=3．（1）求的值；（2）设=，=，求（用含、的式子表示）．【答案】解：（1）∵∠AED=∠ABC，∠A=∠A∴△ADE∽△ACB，∴===，即=．（2）=+=-+．【解析】（1）根据已知∠AED=∠ABC，∠A=∠A，进而得出△ADE∽△ACB，由该相似三角形的性质解答；（2）由三角形法则解答即可．考查了平面向量和相似三角形的判定与性质．注意：平面向量是有方向的．23.地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．【答案】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，由题意可得，BC=9.9-2.4=7.5米，QP=DC=1.5米，∠BQD=14°，则BD=BC-DC=7.5-1.5=6米，∵tan∠BQD=，∴tan14°=，即0.25=，解得，ED=18，∴AC=ED=18，∵BC=7.5，∴tan∠BAC==，即电梯AB的坡度是5：12，∵BC=7.5，AC=18，∠BCA=90°，∴AB==19.5，即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得电梯AB的坡度，然后根据勾股定理即可求得AB的长度．本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．24.如图，已知：二次函数y=x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y=x-3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP=S△BCP，求m的值．【答案】解：（1）∵y=x-3，∴x=0时，y=-3，当y=0时，x-3=0，解得x=6，∴点B（6，0），C（0，-3），∵tan∠OCA==，∴OA=2，即A（2，0），将A（2，0）代入y=x2+bx，得4+2b=0，解得b=-2，∴y=x2-2x=（x-1）2-1，则抛物线解析式为y=x2-2x，顶点P的坐标为（1，-1）；（2）如图，由平移知点P′坐标为（1，-1-m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，则M（1，-），S△ABP′=AB•P′H=×4（m+1）=2（m+1），S△BCP′=S△P′MC+S△P′MB=P′M•OB=|-1-m+|×6=3|-m|，∴2（m+1）=3|-m|，解得m=或m=．【解析】（1）先由直线解析式求出点B，C坐标，利用∠OCA正切值求得点A坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）由平移知点P′坐标为（1，-1-m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，知M（1，-），先得出S△ABP′=AB•P′H=2（m+1），S△BCP′=S△P′MC+S△P′MB=P′M•OB=3|-m|，根据S△ABP=S△BCP列出方程求解可得．本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质及三角函数的应用等知识点．25.如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC=90°，∠DAB=45°，AB∥DC，DC=3，AB=5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB 交于点F．（1）若AP=，求DE的长；（2）联结CP，若CP=EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．【答案】解：（1）如图1中，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H．∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C=180°，∵∠ABC=90°，∴∠C=∠ABC=∠H=90°，∴四边形AHCB是矩形，∴DH=CH-CD=2，∵∠HAB=90°，∠DAB=45°，∴∠HAD=∠HDA=45°∴HD=AH=2，AE=AP=，根据勾股定理得，HE==3，则ED=1；（2）连接CP，设AP=x．∵AB∥CD，∴∠EPA=∠CEP，即等腰△APE、等腰△PEC两个底角相等，∴△APE∽△PEC，∴=，即：PE2=AE•CE，而EC=2PB=2（5-x），即：PC2=CE•AP=2（5-x）x，而PC2=PB2+BC2，即：PC2=（5-x）2+22，∴2（5-x）x=（5-x）2+22，解得：x=（不合题意值已舍去），即：AP=；（3）如图3中，在线段CF上取一点G，连接EG．设∠F=α，则∠APE=∠AEP=∠BPF=90°-α，则：∠EAP=180°-2∠APE=2α，∵△ADE∽△FGE，设∠DAE=∠F=α，由∠DAB=45°，可得3α=45°，2α=30°，在Rt△ADH中，AH=DH=2，在Rt△AHE中，∠HEA=∠EAB=2α=30°，∠HAE=60°，∴HE=AH•tan∠HAE=2，EC=HC-HE=5-2，∵△ADE∽△FGE，∴∠ADC=∠EGF=135°，则∠CEG=45°，∴EG=EC=5-2，∴=，即：=，解得：FG=3-1．【解析】（1）如图，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H，在Rt△AHE中求出AE，即可求求解；（2）设：AP=x，利用△APE∽△PEC，得出PC2=CE•AP，利用勾股定理得出PC2=PB2+BC2，即可求解；（3）利用△ADE∽△FGE，得到3α=45°，进而求出相应线段的长度，再利相似比=，即可求解．本题属于三角形相似综合题，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识点，其中（3）中，利用三角形相似，确定α的大小，是本题的突破点，属于中考压轴题．。
2019年上海市宝山区中考数学一模试卷及答案(word解析版)
2019年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分），×=1=去分母得，x+1=（x﹣1）（x+2）﹣1去分母得，x+5=2x﹣5去分母得，（x﹣2）2﹣x+2=x（x+2）去分母得，2（x﹣1）=x+32数学试卷5．（4分）（2019•宝山区一模）如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）2．．．．﹣﹣二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2019•宝山区一模）使有意义的x的取值范围是x≥5．数学试卷8．（4分）（2019•宝山区一模）不等式组的解集是﹣1≤x＜．解：＜＜．9．（4分）（2019•宝山区一模）分解因式a2﹣ab﹣3a+3b=（a﹣3）（a﹣b）．10．（4分）（2019•宝山区一模）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4=0的一个根为0，则m值是﹣2．11．（4分）（2019•宝山区一模）在平面直角坐标系中．把抛物线y=2x2﹣1的图象向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为y=2（x+2）2﹣1．12．（4分）（2019•苏州）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1＞y2（填“＞”、“＜”或“=”）．13．（4分）（2019•长春）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为18．数学试卷14．（4分）（2019•宝山区一模）如图，正方形ABCD中，M是边BC上一点，且BM=BC，若，，则=﹣（用和表示）先表示出、，然后即可得出的表达式．解：=，==BM=BC=，===﹣=﹣故答案为：﹣．本题考查了平面向量的知识，根据线段比表示出是解答本题的关键，另外要熟练掌握向量的加减15．（4分）（2019•宝山区一模）某坡面的坡度为1：，则坡角是60度．：16．（4分）（2004•临沂）如图，菱形ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE=DF=BD，若四边形AECF为正方形，则tan∠ABE=．ABE=计算即可．EF=2AO=EF=aBDEF=BDBD=4BO=BD=2ABE==．17．（4分）（2019•宝山区一模）在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x2+x﹣3=0的解，也可以在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣3和直线y=﹣x，用它们交点的横坐标来求该方程的解．所以求方程的近似解也可以利用熟悉的函数y=和y=x2﹣3的图象交点的横坐标来求得．的近似解也可以利用熟悉的函数的交点得出．∴求方程的近似解也可以利用熟悉的函数：和数学试卷y=18．（4分）（2019•宝山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标为O（0，0），A（2，0），B（2，2），C（4，2），D（4，4），E（0，4），若如图过点M（1，2）的直线MP（与y轴交于点P）将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线MP的函数表达式是y=x+．S（×联立得，，解得x+．y=x+三、（本大题共8题，第19-22题每题8分，第23、24题每题10分，第25题12分，第26题14分，满分78分）19．（8分）（2019•宝山区一模）计算：．﹣×﹣8+=1+3×8+=1+3﹣8+2=4﹣20．（8分）（2019•宝山区一模）二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C（1）求m的值和点B的坐标（2）求△ABC的面积．数学试卷AB×21．（8分）（2003•上海）将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求重叠部分四边形DBCF的面积．×=2）AC=BC=3AC12=1222．（8分）（2019•宝山区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC，（1）求证：；（2）求∠EDF的度数．=；===数学试卷23．（10分）（2019•宝山区一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE 的延长线交BC的延长线于点F，EF=5，∠B的正切值为（1）求证：△BDF∽△DCF；（2）求BC的长．等及正切函数的定义得到==B=（（B==，得到方程（===tan，DF=（（=，（BC=24．（10分）（2019•宝山区一模）在对口扶贫活动中，企业甲将经营状况良好的某消费品专卖店，以188万元的优惠价转让给了尚有120万无息贷款还没有偿还的小型福利企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支5.6万元后，逐步偿还转让费（不计利息），维持乙企业的正常运转每月除职工最低生活费外，还需其他开支2.4万元，从企业甲提供的相关资料中可知这种热门（2）当商品的销售单价为多少元时，扣除各类费用后的月利润余额最大？（3）企业乙依靠该店，能否在3年内脱贫（偿还所有债务）？，解得：数学试卷25．（12分）（2019•宝山区一模）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A（A在O右侧），顶点为B．艾思轲同学用一把宽3cm的矩形直尺对抛物线进行如下测量：（1）量得OA=3cm，（2）当把直尺的左边与抛物线的对称抽重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合时（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5cm．艾思轲同学将A的坐标记作（3，0），然后利用上述结论尝试完成下列各题：（1）写出抛物线的对称轴；（2）求出该抛物线的解析式；（3）探究抛物线的对称轴上是否存在使△ACD周长最小的点D；（4）然后又将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图2），直尺的两边交x轴于点H，G，交抛物线于E，F，探究梯形EFGH的面积S与线段EF的长度是否存在函数关系．同学：如上述（3）（4）结论存在，请你帮艾思轲同学一起完成，如上述（3）（4）结论不存在，请你告诉艾思轲同学结论不存在的理由．，即x=，设抛物线的解析式为顶点式坐标为（，代入，求出点a=y=）﹣（﹣﹣y=x﹣x=a EF=3，则=S=，即；x=）+3=，点﹣﹣a=y=）（﹣，y=），即y=﹣的坐标（，）代入，m=，解得，y=x=时，×=，，﹣（（（HG=a a+（a 又∵（）﹣（a a EF==3=﹣数学试卷S=，即26．（14分）（2019•宝山区一模）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上，OP=m（m为常数且m≠0），移动直角三角板，两边分别交射线OA，OB与点C，D （1）如图，当点C、D都不与点O重合时，求证：PC=PD；（2）联结CD，交OM于E，设CD=x，PE=y，求y与x之间的函数关系式；（3）如图，若三角板的一条直角边与射线OB交于点D，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，F，且△PDF与△OCD相似，求OD的长．，=x y= OD=DF=OP=mOG=OP=mOD=OG+DG=+1数学试卷。
2019-2020学年上海市宝山区初三数学一模(试卷+参考答案)
2019学年第一学期期末考试九年级数学试卷（满分150分，考试时间100分钟 2020.1）考生注意：1． 本试卷含四个大题，共25题；2． 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3． 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一. 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．符号A sin 表示………………………………………………………………… （ ） A ．∠A 的正弦； B ．∠A 的余弦； C ．∠A 的正切； D ．∠A 的余切．2．如果b a 32-=，那么ba=………………………………………………………（ ） A ．3-； B ．2-； C ．5； D ．1-．3．二次函数221x y -=的图像的开口方向…………………………………… （ ） A ． 向左； B ． 向右； C ．向上； D ．向下．4．直角梯形ABCD 如图放置，AB 、CD 为水平线，BC ⊥AB ，如果∠BCA =67°，从低处A 处看高处C 处，那么点C 在点A 的……………… （ ） A ．俯角67°方向； B ．俯角23°方向； C ．仰角67°方向； D ．仰角23°方向． 5．已知a 、b 为非零向量，如果5b a =-，那么向量a 与b 的方向关系是……………………………………… （ ）a b a b a b a b C ．a 和b 方向互相垂直； D ．a 和b 之间夹角的正切值为5． 6．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以其 边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，如果AB =2，那么此莱洛三角形（即阴影部分）的面积………（ ） A ．3+π B ． 3-π C ．322-π D ．32-π第6题图第4题图ABDECCA BD 二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7． 已知1:2=3：x ，那么x = ▲ ．8．如果两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们某一对对应边上的高之比为 ▲ ． 9．如图，△ABC 中∠C =90°，如果CD ⊥AB 于D ，那么AC 是AD 和 ▲ 的比例中项． 10．在△ABC 中，AB BC CA ++= ▲ ．11．点A 和点B 在同一平面上，如果从A 观察B ，B 在A 的北偏东14°方向，那么从B 观察A ，A 在B 的 ▲ 方向．12．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BD 是∠ABC 的平分线．如果x AC =，那么=CD ▲ （用x 表示）．13．如图，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，联结BE ．如果BE =9，BC =12，那么cosC = ▲ ． 14．若抛物线2()(1)y x m m =-++的顶点在第二象限，则m 的取值范围为 ▲ ． 15．二次函数=y 322++x x 的图像与y 轴的交点坐标是__▲__．16. 如图，已知正方形ABCD 的各个顶点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，如果P 是AB 的中点，PD 与AB 交于E 点，那么PEDE＝ ▲ ． 17. 如图，点C 是长度为8的线段AB 上一动点，如果AC <BC ，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作等边△ACD 、△BCE ，联结DE ，当△CDE 的面积为33时，线段AC 的长度是 ▲ ．18. 如图，点A 在直线x y 43=上，如果把抛物线2x y =沿OA 方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为 ▲ ．第9题图第18题图第16题图第17题图第12题图第13题图三、（本大题共7题，第19--22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19． （本题满分10分）计算：21245cos 260tan 6-︒-︒20．（本题满分10分，每小题各5分）已知：抛物线m x x y +-=22与y 轴交于点C(0,-2)，点D 和点C 关于抛物线对称轴对称． （1）求此抛物线的解析式和点D 的坐标；（2）如果点M 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，求△MCD 的周长．第20题图21．（本题满分10分，每小题各5分）某仓储中心有一个坡度为2:1=i 的斜坡AB ，顶部A 处的高AC 为4米，B 、C 在同一水平地面上，其横截面如图．（1）求该斜坡的坡面AB 的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG 的长方体货柜，其中长 DE =2.5米，高EF =2米.该货柜沿斜坡向下时，点D 离BC 所 在水平面的高度不断变化，求当BF =3.5米时，点D 离BC 所在水平面的高度DH ．22．（本题满分10分，每小题各5分）如图，直线l :3y x =，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1B ，以原点O 为圆心，O 1B 为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 的垂线交直线l 于点2B ，以原点O 为圆心，O 2B 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去． 求：（1）点1B 的坐标和∠1A O 1B 的度数； （2）弦43A B 的弦心距的长度．第21题图第22题图23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，△ABC 中，AB=AC ，AM 为BC 边的中线，点D 在边A C 上，联结BD 交AM 于 点F ，延长BD 至点E ，使得DCADDE BD =，联结CE ． 求证：（1）∠ECD=2∠BAM ；（2） BF 是DF 和EF 的比例中项．24．（本题共12分，每小题各4分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数)1(2-+=x x a y 的图像交于点A （1，a ）和点B （﹣1，﹣a ）．（1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y 随着x 的增大而增大，求a 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图像的顶点为Q ，当Q 在以AB 为直径的圆上时，求a 的值．第23题图25．（本题共14分，其中第（1）、（3）小题各4分，第（2）小题6分）如图，OC 是△ABC 中AB 边的中线，∠ABC=36°，点D 为OC 上一点，如果OD ＝k ·OC ，过D 作DE ∥CA 交于BA 点E ，点M 是DE 的中点．将△ODE 绕点O 顺时针旋转α度（其中︒<<︒1800α）后，射线OM 交直线BC 于点N ．（1）如果△ABC 的面积为26，求△ODE 的面积（用k 的代数式表示）；（2）当N 和B 不重合时，请探究∠ONB 的度数y 与旋转角α的度数之间的函数关系式； （3）写出当△ONB 为等腰三角形时，旋转角α的度数．第25题图2019学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1． A ； 2．B ； 3．D ； 4．D ； 5． B ； 6．C ； 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．6； 8．1:2； 9．AB ； 10．0； 11．南偏西14°； 12．x 31-； 13．32；14．01<<-m ； 15．（3,0）； 16．212-； 17．2； 18．3)4(2+-=x y . 三、简答题（本大题共7题，第19--22题每题10分；第23、24题每题12分．第25题14分；满分78分） 19．解：原式=2236-- ……………………6分=2)23)(23()23(6-+-+⋅ ……………………2分=322221218+=-+ ……………………2分20．（1）∵点C(0,-2)在抛物线m x x y +-=22上，∴2-=m ，此抛物线的解析式为222--=x x y ……………………………2分 ∵222--=x x y =3)1(2--=x y ，∴对称轴为直线1=x ，………………1分 和点C 关于抛物线对称轴对称的点D 的坐标为：D （2，-2）．………………2分 （2）根据题意点M 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，∴M （1,0）……………2分 ∴MC=MD=52122=+， CD=2 …………………………2分 △MCD 的周长为252+． ……………………………………………………1分 21. 解：（1）根据题意斜坡高AC 为4m ，2:1=i ，∴水平宽度BC =8；……………2分坡面AB=5422=+BC AC ………………………………………………3分（2）过D 作DH ⊥BC 于H 交AB 于点M∵∠DMG =∠BAC ∠DGM =∠BCA∴△ DGM ∽△BCA …………………………1分 ∵ 矩形DEFG 中长DE =2.5m ，高EF =2m BF =3.5m∴GM=1， DM=5， FM=1.5， BM=5， MH=5 …………………3分 点D 离BC 所在水平面的高度为52米 。
2019-2020学年上海市宝山区高三年级一模考试数学试卷
2019-2020学年上海市宝山区高三一模考试数学试卷2019.12一、填空题（本大题共12题，每题4分，127-每题5分，共54分）1. 若i i z 2)1(=+ （i 是虚数单位），则=||z . 【答案】2 【解析】i ii z +=+=112，得到2=||z 2.已知5124=--λλ，则=λ . 【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ3.函数)1(31<=-x y x 的反函数是 .【答案】1log 3+=xy ，]1,0(∈x【解析】y x ,互换，13-=y x ⇒1log 3+=x y ]1,0(∈x 4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有 场球赛.【答案】66【解析】单循环66212=C 5.以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 . 【答案】9)23(22=++y x 【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 6.在)1()1(35x x +-的展开式中,3x 的系数为 .【答案】9-【解析】335532359)(1x x C x C -=+-⋅7.不等式63|2|22-->--x x x x 的解集是 .【答案】),4(-∞-【解析】63222-->+-x x x x ⇒4->x8.已知方程)(022R k kx x ∈=+-的两个虚根为21,x x ，若2||21=-x x ，则=k .【答案】2± 【解析】228||221±=⇒=-=∆-=-k k x x9.已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为 . 【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=10.有一个空心钢球，质量为g 142，测得外直径为cm 5，则它的内直径是 cm .【答案】5.4 【解析】由题意得，142]34)25(34[9.733=⋅-⋅x ππ⇒5.42≈x ， 11. 已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n b a c ⋅=，若{}n c 前三项是7、9、9，则=10c . 【答案】47-【解析】z yn xn c n ++=2，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++9399247z y x z y x z y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=351z y x ⇒352++-=n n c n ，4710-=c 12.已知0>>b a ,那么，当代数式)(162b a b a -+ 取最小值时，点),(b a P 的坐标为 . 【答案】)2,22( 【解析】22()()24b a b a b a b +--≤=Q 1664)(16222≥+≥-+∴aa b a b a 当且仅当⎩⎨⎧=-=82a b a b 即⎩⎨⎧==222b a 时取等号，可求得点P 坐标 二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） 【A 】01a << 【B 】11a e<< 【C 】 【D 】 【答案】C 【解析】由零点存在性定理得：1(1)(1)0a a e -+-+<解得：111a e -<< 14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ）【A 】2()log (41)x f x x =+- 【B 】()2cos f x x x =-1e -1<a <11e +1<a <1【C 】221(0)0(0))(x x x f x x +≠=⎧⎪=⎨⎪⎩ 【D 】lg ()10x f x = 【答案】A 【解析】222411()log (41)log log (2)22x xx x x f x x +=+-==+,()()f x f x ∴-=∴是偶函数，由复合函数单调性知()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴ 选A15．已知平面,,αβγ两两垂直，直线,,a b c 满足,,a b c αβγ⊆⊆⊆,则直线,,a b c 不可能满足的是（ ）【A 】两两垂直 【B 】两两平行 【C 】两两相交 【D 】两两异面【答案】B【解析】可以借助墙角模型16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下:sin cos ),a x b x x ϕπϕπ+=+-<≤下列判断错误的是（ ）【A 】当0,0a b >>时，辅助角arctanb aϕ= 【B 】当0,0a b ><时，辅助角arctan b aϕπ=+ 【C 】当0,0a b <>时，辅助角arctan b aϕπ=+ 【D 】当0,0a b <<时，辅助角arctan b aϕπ=- 【答案】B 【解析】sin cos )a x b x x x x ϕ⎫+==+⎪⎭其中cos b aϕϕϕ===； 当0,0a b ><时，cos 0,sin 0,ϕϕϕ><∴∈Q 第四象限，所以B 错。
详解及答案：2019年上海市宝山区高三上学期期末教学质量监测(一模)数学试题
根据题意求出复数 z，然后可求出 z ．
【详解】∵ (1+ i) z = 2i ，
∴ z = 2i = 2i(1− i) =i(1− i) =1+ i ， 1+ i (1+ i)(1− i)
∴ z= 1−i．
故答案为：1 − i ． 【点睛】解答本题的关键是求出复数 z 的代数形式，然后再根据共轭复数的概念求解，属于基础题．
即可．
【详解】解：设点 ( x, y) 在 y = f ( x) 的图象上，则 ( x, y) 关于直线 y = −x 对称的点 (− y, −x) 在 y = lnx 的图象上，
得到 −x= ln (− y) ，∴− y = e−x ，∴ y =−e−x ， f ( x) = −e−x ，
故答案为： −e−x ．
12.函数 y = f ( x) 与 y = lnx 的图象关于直线 y = −x 对称，则 f ( x) = ______．
【答案】 −e−x
【解析】 【分析】
设点 ( x, y) 在 y = f ( x) 的图象上，则 ( x, y) 关于直线 y = −x 对称的点 (− y, −x) 在 y = lnx 的图象上，代入后解出 y
A. 2
B. −1
C. 4
D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
在所给的已知式中，令 x = 0 ，可得 a0 + a1 + a2 + a3 的值．
【详解】解：等式1+ x + x2 + x3 = a0 + a1 (1− x) + a2 (1− x)2 + a3 (1− x)3 对一切 x ∈ R 都成立，其中 a0 ， a1 ， a2 ，
2020上海市宝山区高考数学一模试卷答案解析与点睛(18页)
2020上海市宝山区高考数学一模试卷数学试题一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.23lim 1n n n →∞+=+___________ 【答案】2【解析】【分析】上下同除以n 求解即可. 【详解】32232lim lim 21111n n n n n n →∞→∞++===++ 故答案为2【点睛】本题主要考查分式类的极限,属于基础题型.2.设全集U =R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，{}|2B x x =≥，则U A C B =I __．【答案】{}1,0,1-【解析】【分析】直接根据交集和补集的定义求解，先求U C B ，再求U A C B ⋂．【详解】解：∵全集U =R ，集合{}|2B x x =≥，∴{}()|2,2U C B x x =<=-∞，又{}1,0,1,2,3A =-，∴{}1,0,1U A C B =-I ，故答案为：{}1,0,1-．【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，属于基础题．3.不等式102x x +<+的解集为__． 【答案】()2,1--【解析】【分析】102x x +<⇔+()()120x x ++<且20x +≠，再根据一元二次不等式的解法求解． 【详解】解：不等式102x x +<⇔+()()120x x ++<且20x +≠， 解得：21x -<<-，∴原不等式组的解集为()2,1--，故答案为：()2,1--．【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，通常转化为整式不等式求解，也可以对分母进行讨论求解，属于基础题．4.椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为______. 【答案】6【解析】【分析】消参求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【详解】将5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩变形为cos 5sin 4x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 平方相加消去参数θ可得：2212516x y +=， 所以，c ==3，所以，焦距为2c ＝6．故答案为6．【点睛】本题考查椭圆的参数方程，考查椭圆的性质，正确转化为普通方程是关键．5.设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =__． 【答案】1i +【解析】【分析】设(,)z x yi x y R =+∈，，则z x yi =-，代入后根据复数代数形式的四则运算化简求值． 【详解】解：设(,)z x yi x y R =+∈，，∴z x yi =-． 则()223z z x yi x yi i +=++-=-，即33x yi i -=-，∴1x =，1y =，因此，1z i =+．故答案：1i +．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算，属于基础题．6.若函数cos sin sin cos x x y x x =的最小正周期为a π，则实数a 的值为__．【答案】1【解析】分析】 cos sin sin cos x x y x x=22cos sin x x =-，再根据二倍角公式化简，从而求出参数的值． 【详解】解：∵22cos sin cos 2y x x x =-=，T a ππ==，∴1a =，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、性质，属于基础题．7.若点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，则()f x 的反函数为_________.【答案】12x y -=【解析】【分析】 由点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，求得2a =，得到21log y x =+，再根据反函数的求法，即可求解.【详解】由点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，即41log 8a =+，即log 83a =，解得2a =， 即21log y x =+，所以2log 1x y =-，即12y x -=，【所以函数21log y x =+的反函数为12x y -=.故答案为12x y -=.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及反函数的求解，其中解答中熟记对数的运算性质，熟练应用反函数的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.已知向量()1,2a =v ，()0,3b =v ，则b v 在a v 的方向上的投影为__．【答案】5【解析】【分析】直接根据b r 在a r 的方向上的投影为cos a b b a θ⋅=r rr r 与数量积的坐标表示求值． 【详解】解：由于向量()1,2a =r ，()0,3b =r ，则b r 在a r 的方向上的投影为cos a b ba θ⋅==v v v v =． 【点睛】本题主要考查平面向量投影的定义以及数量积的坐标表示，属于基础题．9.已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为__．【答案】18π【解析】【分析】由题意可得底面直径和母线长均为6，再根据扇形的面积公式求值．【详解】解：由题意得：底面直径和母线长均为6，1236182S ππ⨯⨯⨯==侧． 故答案为18π．【点睛】本题主要考查圆锥的三视图以及圆锥的侧面积公式，属于基础题．10.某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为______.（结果用最简分数表示）【答案】57【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求出三人均为男生或三人均为女生包含的基本事件数，再根据对立事件的概率公式求解．【详解】解：某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，基本事件总数3735n C ==，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，∴在选出的3人中男、女生均有的概率：337537C P C C -=35107535-==， 故答案为：57． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，通常数据较大时用组合数表示结果，属于基础题．11.设常数0a >，若9a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中5x 的系数为144，则a =__． 【答案】2【解析】【分析】 利用公式()9921990,1,2,,9r r r r r r r a T C x C a x r x --+⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令925r -=即可求值． 【详解】解：()9921990,1,2,,9rrr r r r r a T C x C a x r x --+⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭． 令925r -=，解得2r =，则229144C a =，0a >，解得2a =．故答案为：2．【点睛】本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为______．【答案】6【解析】【分析】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29，得出满足题意的组数，即可得出结论．【详解】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29， ∵n ＜2a 1+n-1，且二者一奇一偶，∴（n ，2a 1+n-1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组；同理d=-1时，也有三组．综上所述，共6组．故答案为6．【点睛】本题考查组合知识的运用，考查等差数列的求和公式，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.若a R ∈， i 为虚数单位，则“1a =”是“复数()()()123a a a i -+++为纯虚数”的（ ）A. 充要条件B. 必要非充分条件C. 充分非必要条件D. 既非充分又非必要条件 【答案】C【解析】当1a = 时,复数(1)(2)(3)4a a a i i -+++= 为纯虚数,当复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数时,1a = 或2a =-,所以选C.14.某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为( )A. 80B. 96C. 108D. 110 【答案】C【解析】【分析】设高二总人数为x 人，由总人数及抽样比列方程组求解即可．【详解】设高二总人数为x 人，抽取的样本中有高二学生y 人则高三总人数为()50x -个，由题可得：()500501*********x x y x ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩，解得：108y =. 故选C【点睛】本题主要考查了分层抽样中的比例关系，考查方程思想，属于基础题．15.设,M N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若,M N 为互斥事件，且()15P M =，()14P N =，则()920P M N =U ；（2）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（3）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（4）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（5）若()12P M =，()13P N =，()56P MN =，则,M N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件的加法公式，易判断（1）的正误；根据相互对立事件的概率和为1 ，结合相互独立事件,M N 的概率满足()()()P MN P M P N =⋅，可判断（2）、（3）、（4）、（5 ）的正误.【详解】若,M N 为互斥事件，且()()11,54P M P N ==， 则()1195420P M N =+=U ， 故（1）正确；若()()()111,,236P M P N P MN === 则由相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件，故（2）正确；若()()()111,,236P M P N P MN ===， 则()()()()()11,2P M P M P MN P M P N =-==⋅ 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件，故（3）正确；若()()()111,,236P M P N P MN === ， 当,M N 为相互独立事件时，()()()11211,=2233P N P N P MN =-==⨯ 故（4）错误； 若()()()115,,236P M P N P MN === 则()()()()()1,16P MN P M P N P MN P MN =⋅==- 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N相互独立事件，故（5）正确.故选D. 【点睛】本题考查互斥事件、对立事件和独立事件的概率，属于基础题.16.在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次函数，三点()()2,22f --+、()()0,02f +、()()2,22f +均位于“04⊕型带状区域”，如果点(),1t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数()y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52 D. 2【答案】C【解析】【分析】设()2f x ax bx c =++，求出t 的范围，求出()f t ，再根据不等式的性质求最大值． 【详解】解：设()2f x ax bx c =++，∵三点()()2,22f --+、()()0,02f +、()()2,22f +均位于“04⊕型带状区域”，∴()[]220,4f -+∈，()[]020,4f +∈，()[]220,4f +∈，∴()22f -≤，()02f ≤，()22f ≤， ∵()()()2422420f a b c f a b c f c ⎧-=-+⎪=++⎨⎪=⎩，∴()()()()()()222082240f f f a f f b c f ⎧+--=⎪⎪⎪--=⎨⎪=⎪⎪⎩， ∵点(),1t t +位于“13-⊕型带状区域”，∴[]11,3t +∈-，∴[]2,2t ∈-，∴2t ≤，故()()()()()()()2222022084f f f f f y f t t t f +----==++ ()()()222224220884t t t t t f f f +--=+-+ ()()()222224220884t t t t t f f f +--≤+-+ ()()2111224442t t t t t ≤++-+- ()()()2111224442t t t t t =++-+- ()21551222t =--+≤， 故选：C ．【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，考查二次函数的性质以及不等式的性质，求函数最值问题，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）求异面直线1A C 与AB 所成的角的大小．【答案】（1）（2）3arccos10 【解析】【分析】（1）设正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a ，高为h ，由底面积和侧面积公式列出方程组，求出3a =，4h =，由此能求出正三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）由11//AB A B 知11B AC ∠是异面直线1A C 与AB 所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线1A C 与AB 所成的角．【详解】解：（1）设正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a ，高为h ，则2336ah =⎪=⎩， 解得3a =，4h =， ∴正三棱柱111ABC A B C -的体积4ABC V S h ∆=⋅==； （2）∵正三棱柱111ABC A B C -，∴11//AB A B ， ∴11B AC ∠是异面直线1A C 与AB 所成的角（或所成角的补角），连结1B C，则11AC B C == 在等腰11A B C ∆中，12111332cos 2105A B B AC AC ∠===， ∵()110,A BC π∠∈，∴113arcco 10C s A B ∠=， ∴异面直线1A C 与AB 所成的角为3arccos10． 【点睛】本题主要考查正三棱柱的体积的求法以及异面直线所成角的求法，属于中档题． 18.已知椭圆C长轴长为()2,0-；（1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B两点，且AB =l 的倾斜角．【答案】（1）22162x y += （2）4π或34π 【解析】 【分析】（1）由题意可设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，则2c =，2a =即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l 的方程为：()2y k x =-，将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得k 的值，即可求得直线l 的倾斜角．【详解】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆方程为：()222210x ya b a b+=>>，则2c =，2a =a =2b ==，∴C 的标准方程22162x y +=；（2）由题意可知：椭圆的右焦点()2,0，设直线l 的方程为：()2y k x =-，设点()11,A x y ，()22,B x y ，的()222162y k x x y⎧=-⎪⎨+=⎪⎩；整理得：()222231121260k x k x k +-+-=， 韦达定理可知：21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+，AB =)22131k k +==+，由AB =)22131k k +=+21k =，故1k =±，经检验，1k =±，符合题意，因此直线l 的倾斜角为4π或34π． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．19.设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且()*430n n x S n N--=∈；（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足()*1n n n y y x n N+-=∈，且12y =，求满足不等式559n y >的最小正整数n 的值． 【答案】（1）143n n x -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）5【解析】 【分析】（1）由()*430n n x S n N--=∈可得1n =时，11430x x --=，解得1x ．2n ≥时，由43nn Sx =-可得1n n n x S S -=-，得143n n x x -=，利用等比数列的通项公式即可得出； （2）1143n n n n y y x -+⎛⎫-== ⎪⎝⎭，且12y =，利用累加法与等比数列的求和公式即可得出n y ，代入不等式559n y >化简即可得出． 【详解】解：（1）∵()*430n n x S n N--=∈，∴1n =时，11430x x --=，解得11x =．2n ≥时，由43n n S x =-，∴()114343n n n n n x S S x x --=-=---，∴143n n x x -=， ∴数列{}n x 是公比为43的等比数列， ∴143n n x -⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）1143n n n n y y x -+⎛⎫-== ⎪⎝⎭，且12y =，∴()()()121321n n n y y y y y y y y -=+-+-+⋅⋅⋅+-122414443212433313n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++⋅⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-14313n -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，当1n =时也满足，∴14313n n y -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，不等式559n y >，化为：1346443273n -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴13n ->，解得4n >， ∴满足不等式559n y >的最小正整数n 的值为5． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了累加法求通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20.设函数()()()lg f x x m m R =+∈； （1）当2m =时，解不等式11f x ⎛⎫>⎪⎝⎭； （2）若()01f =，且()xf x λ=+在闭区间[]2,3上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图象过点()98,2，且不等式()cos 2lg 2nf x ⎡⎤<⎣⎦对任意n N ∈均成立，求实数x 的取值集合．【答案】（1）1|08x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ （2）1lg12,lg1324⎡--⎢⎣⎦ （3）32222,22nn k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，k ∈N ，n N ∈ 【解析】【分析】（1）根据对数的运算解不等式即可；（2）根据()01f =可得()f x 的解析式，由()x f x λ=+分离变量可得()lg 10xx λ=+-，令()()lg 10xF x x =+-，它在闭区间[]2,3上的值域即为λ的范围；（3）函数()f x 的图象过点()98,2，求()f x 的解析式，可得()()lg 2f x x =+，则不等式()cos 2lg 2nf x ⎡⎤<⎣⎦转化为()()lg 2cos 212n x g +<，求解x ，又∵20x +>，即2x >-，n N ∈，讨论k 的范围可得答案．【详解】解：函数()()()lg f x x m m R =+∈； （1）当2m =时，()()lg 2f x x =+， 那么：不等式11f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭；即1lg 2lg10x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，可得：1210x +>，且120x+>， 解得：108x <<，∴不等式的解集为1|08x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； （2）∵()01f =，可得10m =， ∴()()lg 10f x x =+，()x f x λ=+，即()lg 10xx λ+=+在闭区间[]2,3上有实数解，可得()lg 10xx λ=+-，令()()lg 10x F x x =+-，求在闭区间[]2,3上的值域，根据指数和对数的性质可知：()F x 是增函数，∴()F x 在闭区间[]2,3上值域为1lg12,lg1324⎡--⎢⎣⎦，故得实数λ的范围是1lg12,lg1324⎡--⎢⎣⎦； （3）∵函数()f x 的图象过点()98,2， 则有：()2lg 98m =+， ∴2m =，故()()lg 2f x x =+，那么：不等式()cos 2lg 2nf x ⎡⎤<⎣⎦转化为()()lg 2cos 212nxg +<，即()()2cos 20cos 20n nx x ⎧+>⎪⎨<⎪⎩，∴322222nx k k ππππ+<<+，n N ∈， 解得：3222222n nk k x ππππ++<<，n N ∈， 又∵20x +>，即2x >-，∴2222nk ππ+≥-，n N ∈，解得：14k ≥-， ∵k Z ∈， ∴0k ≥，故得任意n N ∈均成立，实数x 的取值集合为32222,22nnk k ππππ⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，k ∈N ，n N ∈． 【点睛】本题考查了对数的性质及其运算以及不等式恒成立的问题在对数与三角函数中的运用，考查推理能力与计算能力，属于难题．21.设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{}|,A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{}0,1,2A =，{}1,3B =-，试用列举法表示A B +；的（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，122,,993B ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由．【答案】（1）{}1,0,1,3,4,5- （2）92（3）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义{}|,A B a b a A b B +=+∈∈，结合已知中的集合A 、B ，可得答案；（2）曲线2221119x y n n n +=-+-表示双曲线，进而可得23n a n =，2n S n =，则0m n k S S S λ+->222m n k λ+⇔>，结合3m n k +=且m n ≠及基本不等式，可得22292m n k +>进而得到答案； （3）设整数集合(){}*|1,,2nn A x x F n N n ==-⋅∈≥，其中{}n F 为斐波那契数列，即121F F ==，21n n n F F F ++=+，*n N ∈，①由21n n n F F F ++=-得：()()()2121111nn n n n n F F F ++++-⋅=-⋅+-⋅，可得A 是自生集；②对于任意2n ≥，对于任一正整数[]211,1n t F +∈-，存在集合A 的一个有限子集{}12,,,m a a a ⋅⋅⋅，使得12m t a a a =++⋅⋅⋅+，（21i n a F +<，1,2,,i m =⋅⋅⋅），再用数学归纳法证明集合A 又是*N 的基底集．【详解】解：（1）∵{}|,A B a b a A b B +=+∈∈； 当{}0,1,2A =，{}1,3B =-时，{}1,0,1,3,4,5A B +=-；（2）曲线2221119x y n n n +=-+-，即2221119x y n n n -=-+-，在2n ≥时表示双曲线，故23na n ==， ∴21233n n na a a a ++++⋅⋅⋅+=，∵122,,993B ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭， ∴A B +中的所有元素之和为()1231223993n n S a a a a n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅++--- ⎪⎝⎭2233n nn n +=⋅-=，∴0m n k S S S λ+->222m n kλ+⇔>， ∵3m n k +=，且m n ≠，∴()()2222229m n m n k m n ++=+2299221mn m n =>++， ∴92λ≤， 即实数λ的最大值为92； （3）存在一个整数集合既是自生集又是*N 的基底集，理由如下：设整数集合(){}*|1,,2nn A x x F n N n ==-⋅∈≥，其中{}n F 为斐波那契数列，即121F F ==，21n n n F F F ++=+，*n N ∈， 下证：整数集合A 既是自生集又是*N 的基底集， ①由21n n n F F F ++=-得：()()()2121111nn n n n n F F F ++++-⋅=-⋅+-⋅，故A 是自生集；②对于任意2n ≥，对于任一正整数[]211,1n t F +∈-，存在集合A 的一个有限子集{}12,,,m a a a ⋅⋅⋅， 使得12m t a a a =++⋅⋅⋅+，（21i n a F +<，1,2,,i m =⋅⋅⋅），当2n =时，由11=，2312=+-，33=，431=+，知结论成立； 假设结论对n k =时成立，则1n k =+时，只须对任何整数[]2123,k k m F F ++∈讨论，若22k m F +<，则22k m F π+=+，()21,0k F π+∈-， 故21'k F m π+=-+，[)21'1,k m F +∈，由归纳假设，'m 可以表示为集合A 中有限个绝对值小于21k F +的元素的和． 因为()()222122212221'11'k k k k k k m F F m F F m ++++++=-+=-⋅+-⋅+，所以m 可以表示为集合A 中有限个绝对值小于23k F +的元素的和． 若22k m F +=，则结论显然成立．若2223k k F m F ++<<，则22'k m F m +=+，[)21'1,k m F +∈，由归纳假设知，m 可以表示为集合A 中有限个绝对值小于23k F +的元素的和． 所以，当1n k =+时结论也成立； 由于斐波那契数列是无界的，所以，任一个正整数都可以表示成集合A 的一个有限子集中所有元素的和． 因此集合A 又是*N 的基底集．【点睛】本题考查的知识点是新定义“自生集”和“*N 的基底集”，双曲线的性质，数列求和，集合的元素，本题综合性强，转化困难，属于难题．。
上海市宝山区2019-2020学年中考一诊数学试题含解析
上海市宝山区2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如果菱形的一边长是8，那么它的周长是（ ） A ．16B ．32C ．16D ．322．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．83．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点E ，点G 是AC 上的任意一点，延长AG 交DC 的延长线于点F ，连接,,GC GD AD .若25BAD ∠=︒，则AGD ∠等于（ ）A ．55︒B ．65︒C ．75︒D ．85︒5a 是同类二次根式的是（ ） A 2a B 2a C 4a D 4a +6．如图在△ABC 中，AC ＝BC ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，若BD ＝6，AE ＝5，则sin ∠EDC 的值为（ ）A．35B．725C ．45D．24257．正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（）A．30°B．60°C．120°D．180°8．一次函数y=ax+b与反比例函数a byx-=，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（）A．B．C．D．9．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（）A．15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．15022503y yx x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．15022503x yy x⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D．15022503y yx x⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩10．如图，在射线AB上顺次取两点C，D，使AC=CD=1，以CD为边作矩形CDEF，DE=2，将射线AB 绕点A沿逆时针方向旋转，旋转角记为α（其中0°＜α＜45°），旋转后记作射线AB′，射线AB′分别交矩形CDEF的边CF，DE于点G，H．若CG=x，EH=y，则下列函数图象中，能反映y与x之间关系的是（）A．B．C．D．11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值是( )A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣112．为了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班9名学生进行了调查，有关数据如下表．则这9名学生每周做家务劳动的时间的众数及中位数分别是（）每周做家务的时间（小时）0 1 2 3 4人数（人） 2 2 3 1 1A．3，2.5 B．1，2 C．3，3 D．2，2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图,在△ABC中,AB≠AC．D,E分别为边AB,AC上的点.AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件:______,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)14．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝1x的图象上．若点B在反比例函数y＝kx的图象上，则k的值为_____．15．股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是_____． 16．若反比例函数2ky x-=的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是__. 17．把抛物线y=x 2﹣2x+3沿x 轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为 ．18．2017年端午小长假的第一天，永州市共接待旅客约275 000人次，请将275 000用科学记数法表示为___________________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）如图，ABC △中AB AC =，AD BC ⊥于D ，点E F 、分别是AB CD 、的中点.(1)求证：四边形AEDF 是菱形(2)如果10AB AC BC ===，求四边形AEDF 的面积S20．（6分）如图，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，AD=AE ．求证：BE=CD ．21．（6分）某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）：整理、分析过程如下，请补充完整．（1）按如下分数段整理、描述这两组数据：成绩x学生70≤x≤7475≤x≤7980≤x≤8485≤x≤8990≤x≤9495≤x≤100甲______ ______ ______ ______ ______ ______乙 1 1 4 2 1 1（2）两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示：学生极差平均数中位数众数方差甲______ 83.7 ______ 86 13.21乙24 83.7 82 ______ 46.21（3）若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选______（填“甲”或“乙），理由为______．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中有三点（1，2），（3，1），（-2，-1），其中有两点同时在反比例函数kyx的图象上，将这两点分别记为A，B，另一点记为C，（1）求出k的值；（2）求直线AB对应的一次函数的表达式；（3）设点C关于直线AB的对称点为D，P是x轴上的一个动点，直接写出PC＋PD的最小值（不必说明理由）．23．（8分）用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．设在同一家复印店一次复印文件的页数为x(x为非负整数)．(1)根据题意，填写下表：一次复印页数(页) 5 10 20 30 …甲复印店收费(元) 0.5 2 …乙复印店收费(元) 0.6 2.4 …(2)设在甲复印店复印收费y1元，在乙复印店复印收费y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；(3)当x＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．24．（10分）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；若OC=3，OA=5，求AB的长．25．（10分）如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．求证：CD是⊙O的切线；若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．26．（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.操作发现如图1，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在BC边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S1．则S1与S1的数量关系是．猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S1的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．拓展探究已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDC,请直接写出相应的BF的长27．（12分）如图抛物线y=ax2+bx，过点A（4，0）和点B（6，23），四边形OCBA是平行四边形，点M（t，0）为x轴正半轴上的点，点N为射线AB上的点，且AN=OM，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）当△AMN的周长最小时，求t的值；（3）如图②，过点M作ME⊥x轴，交抛物线y=ax2+bx于点E，连接EM，AE，当△AME与△DOC 相似时．请直接写出所有符合条件的点M坐标．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】根据菱形的四边相等，可得周长【详解】菱形的四边相等∴菱形的周长=4×8=32故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质，并灵活掌握及运用菱形的性质2．B【解析】【分析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题. 【详解】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴AC AD AB AC，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.3．A【解析】【分析】根据三视图的定义即可判断．【详解】根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．故选A．【点睛】本题考查三视图，解题的关键是根据立体图的形状作出三视图，本题属于基础题型．4．B【解析】【分析】连接BD，利用直径得出∠ABD=65°，进而利用圆周角定理解答即可．【详解】连接BD，∵AB是直径，∠BAD=25°，∴∠ABD=90°-25°=65°，∴∠AGD=∠ABD=65°，故选B．【点睛】此题考查圆周角定理，关键是利用直径得出∠ABD=65°．5．C【解析】【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．【详解】A2a=|a|aB2a a不是同类二次根式；C4a=a a是同类二次根式；+a不是同类二次根式．D4a故选C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．6．A【解析】【分析】由等腰三角形三线合一的性质得出AD=DB=6，∠BDC=∠ADC=90°，由AE=5，DE∥BC知AC=2AE=10，∠EDC=∠BCD，再根据正弦函数的概念求解可得．【详解】∵△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，∵AE＝5，DE∥BC，∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝63105 BDBC==，故选：A．【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质及直角三角形的性质等知识点．7．C【解析】【分析】求出正三角形的中心角即可得解【详解】正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为120°，故选C．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，掌握正多边形的中心角的求解是解题的关键8．C【解析】【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置．【详解】A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a bx-的图象过一、三象限，所以此选项不正确；B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，满足ab<0，∴a−b<0，∴反比例函数y=a bx-的图象过二、四象限，所以此选项不正确；C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a bx-的图象过一、三象限，所以此选项正确；D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab>0，与已知相矛盾所以此选项不正确；故选C.【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a、b的大小9．A【解析】【分析】设甲的钱数为x，人数为y，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，依题意，得：15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩．故选A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．10．D【解析】∵四边形CDEF是矩形，∴CF∥DE，∴△ACG∽△ADH，∴CG AC DH AD=，∵AC=CD=1，∴AD=2，∴12xDH=，∴DH=2x，∵DE=2，∴y=2﹣2x，∵0°＜α＜45°，∴0＜x＜1，故选D．11．C【解析】试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根，()224241440b ac m m ∆=-=--⨯⨯=-<，解得： 1.m >故选C ．12．D【解析】试题解析：表中数据为从小到大排列．数据1小时出现了三次最多为众数；1处在第5位为中位数． 所以本题这组数据的中位数是1，众数是1．故选D ．考点：1.众数；1.中位数.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．//DF AC 或BFD A ∠=∠【解析】因为3AC AD =，3AB AE =,A A ∠=∠ ，所以ADE ∆ACB ~∆ ,欲使FDB ∆与ADE ∆相似，只需要FDB ∆与ACB ∆相似即可，则可以添加的条件有：∠A=∠BDF ，或者∠C=∠BDF,等等，答案不唯一.【方法点睛】在解决本题目，直接处理FDB ∆与ADE ∆，无从下手，没有公共边或者公共角，稍作转化，通过ADE ∆ACB ~∆，FDB ∆得与ACB ∆相似.这时，柳暗花明，迎刃而解.14．﹣2【解析】【分析】要求函数的解析式只要求出B 点的坐标就可以，过点A ，B 作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，分别于C ，D ．根据条件得到△ACO ∽△ODB ，得到：BD OD OB OC AC OA===1，然后用待定系数法即可． 【详解】过点A ，B 作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，分别于C ，D ．∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°．∵∠DBO+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC ．∵∠BDO=∠ACO=90°，∴△BDO ∽△OCA ． ∴BD OD OB OC AC OA==, ∵OB=1OA ，∴BD=1m ，OD=1n ．因为点A 在反比例函数y=2x 的图象上， ∴mn=1．∵点B 在反比例函数y=k x的图象上， ∴B 点的坐标是（-1n ，1m ）．∴k=-1n•1m=-4mn=-2．故答案为-2．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点B 的坐标（用含n 的式子表示）是解题的关键．15．2(110%)(1)1x -+=.【解析】【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，设这两天此股票股价的平均增长率为x ，每天相对于前一天就上涨到1+x ，由此列出方程解答即可．【详解】设这两天此股票股价的平均增长率为x ，由题意得（1﹣10%）（1+x ）2＝1．故答案为：（1﹣10%）（1+x ）2＝1．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为()21a x b ±=．16．k>1【分析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定1-k的符号，即可解答．【详解】∵反比例函数y＝2kx的图象在第二、四象限，∴1-k＜0，∴k＞1．故答案为：k＞1．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键．17．y=（x﹣3）2+2【解析】【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【详解】解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，2）．向右平移2个单位长度后的顶点坐标为（3，2），得到的抛物线的解析式是y=（x﹣3）2+2，故答案为：y=（x﹣3）2+2.【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．18．1．75×2【解析】试题解析：175 000=1．75×2．考点：科学计数法----表示较大的数三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．(1)证明见解析；.【解析】【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=12AB=AE，DF=12AC=AF，再根据AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE=AF=DE=DF，进而判定四边形AEDF是菱形；（2）根据等边三角形的性质得出EF=5，AEDF的面积S．解：（1）∵AD ⊥BC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴Rt △ABD 中，DE=12AB=AE ， Rt △ACD 中，DF=12AC=AF ， 又∵AB=AC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点， ∴AE=AF ，∴AE=AF=DE=DF ，∴四边形AEDF 是菱形；（2）如图，∵AB=AC=BC=10，∴EF=5，3，∴菱形AEDF 的面积S=12EF•AD ＝12×5×32532． 【点睛】 本题考查菱形的判定与性质的运用，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形；菱形的面积等于对角线长乘积的一半．20．证明过程见解析【解析】【分析】要证明BE=CD ，只要证明AB=AC 即可，由条件可以求得△AEC 和△ADB 全等，从而可以证得结论．【详解】∵BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，∴∠ADB=∠AEC=90°，在△ADB 和△AEC 中，ADB AEC AD AEA A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADB ≌△AEC （ASA ）又∵AD=AE，∴BE=CD．考点：全等三角形的判定与性质．21．（1）0，1，4，5，0，0；（2）14，84.5，1；（3）甲，理由见解析【解析】【分析】(1)根据折线统计图数字进行填表即可；(2)根据稽查，中位数，众数的计算方法，求得甲成绩的极差，中位数，乙成绩的极差，众数即可；(3)可分别从平均数、方差、极差三方面进行比较．【详解】(1)由图可知：甲的成绩为：75，84，89，82，86，1，86，83，85，86，∴70⩽x⩽74无，共0个；75⩽x⩽79之间有75，共1个；80⩽x⩽84之间有84，82，1，83，共4个；85⩽x⩽89之间有89，86，86，85，86，共5个；90⩽x⩽94之间和95⩽x⩽100无，共0个．故答案为0；1；4；5；0；0；(2)由图可知：甲的最高分为89分，最低分为75分，极差为89−75=14分；∵甲的成绩为从低到高排列为：75，1，82，83，84，85，86，86，86，89，∴中位数为12（84＋85）＝84.5；∵乙的成绩为从低到高排列为：72，76，1，1，1，83，87，89，91，96，1出现3次，乙成绩的众数为1．故答案为14；84.5；1；（3）甲，理由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定；两人的平均数相同且甲的极差小于乙，说明甲成绩变化范围小．或：乙，理由：在90≤x≤100的分数段中，乙的次数大于甲．（答案不唯一，理由须支撑推断结论）故答案为：甲，两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定．【点睛】此题考查折线统计图，统计表，平均数，中位数，众数，方差，极差，解题关键在于掌握运算法则以及会用这些知识来评价这组数据．22．（2）2；（2）y=x+2；（3【分析】（2）确定A、B、C的坐标即可解决问题；（2）理由待定系数法即可解决问题；（3）作D关于x轴的对称点D′（0，-4），连接CD′交x轴于P，此时PC+PD的值最小，最小值=CD′的长．【详解】解：（2）∵反比例函数y=kx的图象上的点横坐标与纵坐标的积相同，∴A（2，2），B（-2，-2），C（3，2）∴k=2．（2）设直线AB的解析式为y=mx+n，则有221 m nm n++⎧⎨-+-⎩＝，解得11mn⎧⎨⎩＝＝，∴直线AB的解析式为y=x+2．（3）∵C、D关于直线AB对称，∴D（0，4）作D关于x轴的对称点D′（0，-4），连接CD′交x轴于P，此时PC+PD的值最小，最小值223+5=34【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征，一次函数的性质、反比例函数的性质、轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用轴对称解决最短问题．23．（1）1，3；1.2，3.3；（2）见解析；（3）顾客在乙复印店复印花费少.【解析】【分析】（1）根据收费标准，列代数式求得即可；（2）根据收费等于每页收费乘以页数即可求得y1=0.1x（x≥0）；当一次复印页数不超过20时，根据收费（3）设y=y1-y2，得到y与x的函数关系，根据y与x的函数关系式即可作出判断．【详解】解：（1）当x=10时，甲复印店收费为：0，1×10=1；乙复印店收费为：0.12×10=1.2；当x=30时，甲复印店收费为：0，1×30=3；乙复印店收费为：0.12×20+0.09×10=3.3；故答案为1，3；1.2，3.3；（2）y1=0.1x（x≥0）；y2=0.12x0x20 0.09x+0.6x20≤≤⎧⎨>⎩（）（）；（3）顾客在乙复印店复印花费少；当x＞70时，y1=0.1x，y2=0.09x+0.6，设y=y1﹣y2，∴y1﹣y2=0.1x﹣（0.09x+0.6）=0.01x﹣0.6，设y=0.01x﹣0.6，由0.01＞0，则y随x的增大而增大，当x=70时，y=0.1∴x＞70时，y＞0.1，∴y1＞y2，∴当x＞70时，顾客在乙复印店复印花费少．【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，列出函数关系式是解题的关键．24．(1)26°;(2)1.【解析】试题分析：（1）根据垂径定理，得到»»AD DB=，再根据圆周角与圆心角的关系，得知∠E=12∠O，据此即可求出∠DEB的度数；（2）由垂径定理可知，AB=2AC，在Rt△AOC中，OC=3，OA=5，由勾股定理求AC即可得到AB的长．试题解析：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴»»AD DB=，∴∠DEB=12∠AOD=12×52°=26°；（2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴AC=BC，即AB=2AC，在Rt△AOC中，，考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．25．（1）证明见解析；（2）阴影部分面积为43π【解析】【分析】（1）连接OC ，易证∠BCD=∠OCA ，由于AB 是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为r ，AB=2r ，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：△OAC 的面积以及扇形OAC 的面积即可求出阴影部分面积.【详解】（1）如图，连接OC ，∵OA=OC ，∴∠BAC=∠OCA ，∵∠BCD=∠BAC ，∴∠BCD=∠OCA ，∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°∴∠OCD=90°∵OC 是半径，∴CD 是⊙O 的切线（2）设⊙O 的半径为r ，∴AB=2r ，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴OD=2r ，∠COB=60°∴r+2=2r ，∴r=2，∠AOC=120°∴BC=2，∴由勾股定理可知：易求S △AOC =12××S 扇形OAC =120443603ππ⨯=，∴阴影部分面积为43π-【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.26．解：（1）①DE ∥AC ．②12S S =．（1）12S S =仍然成立，证明见解析；（3）3或2．【解析】【详解】（1）①由旋转可知：AC=DC ，∵∠C=90°，∠B=∠DCE=30°，∴∠DAC=∠CDE=20°．∴△ADC 是等边三角形．∴∠DCA=20°．∴∠DCA=∠CDE=20°．∴DE ∥AC ．②过D 作DN ⊥AC 交AC 于点N ，过E 作EM ⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ．由①可知：△ADC 是等边三角形, DE ∥AC ，∴DN=CF,DN=EM ．∴CF=EM ．∵∠C=90°，∠B =30°∴AB=1AC ．又∵AD=AC∴BD=AC ． ∵1211S CF BD S AC EM 22=⋅=⋅， ∴12S S =．（1）如图，过点D 作DM ⊥BC 于M ，过点A 作AN ⊥CE 交EC 的延长线于N ，∴BC=CE ，AC=CD ，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，∴∠ACN=∠DCM ，∵在△ACN 和△DCM 中，ACN DCM CMD N AC CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∴△ACN ≌△DCM （AAS ），∴AN=DM ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S 1=S 1；（3）如图，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形，所以BE=DF 1，且BE 、DF 1上的高相等，此时S △DCF1=S △BDE ；过点D 作DF 1⊥BD ，∵∠ABC=20°，F 1D ∥BE ，∴∠F 1F 1D=∠ABC=20°，∵BF 1=DF 1，∠F 1BD=12∠ABC=30°，∠F 1DB=90°， ∴∠F 1DF 1=∠ABC=20°，∴△DF 1F 1是等边三角形，∴DF 1=DF 1，过点D 作DG ⊥BC 于G ，∵BD=CD ，∠ABC=20°，点D 是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=12×20°=30°，BG=12BC=92， ∴∴∠CDF 1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，∠CDF 1=320°-150°-20°=150°，∴∠CDF 1=∠CDF 1，∵在△CDF 1和△CDF 1中，1212DF DF CDF CDF CD CD ⎧⎪∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDF 1≌△CDF 1（SAS ），∴点F 1也是所求的点，∵∠ABC=20°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×20°=30°，又∵BD=33，∴BE=12×33÷cos30°=3，∴BF1=3，BF1=BF1+F1F1=3+3=2，故BF的长为3或2．27．（1）3223，点D的坐标为（223）；（2）t=2；（3）M点的坐标为（2，0）或（6，0）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；利用配方法把一般式化为顶点式得到点D的坐标；（2）连接AC，如图①，先计算出AB=4，则判断平行四边形OCBA为菱形，再证明△AOC和△ACB都是等边三角形，接着证明△OCM≌△ACN得到CM=CN，∠OCM=∠ACN，则判断△CMN为等边三角形得到MN=CM，于是△AMN的周长=OA+CM，由于CM⊥OA时，CM的值最小，△AMN的周长最小，从而得到t的值；（3）先利用勾股定理的逆定理证明△OCD为直角三角形，∠COD=90°，设M（t，0），则E（t，3223t），根据相似三角形的判定方法，当AM MEOC OD=时，△AME∽△COD，即|t-4|：4=|36t2-233t |：33，当AM MEOD OC=时，△AME∽△DOC，即|t-4|：433=|36t2-233t |：4，然后分别解绝对值方程可得到对应的M点的坐标．【详解】解：（1）把A（4，0）和B（6，3y=ax2+bx得164036623a b a b +⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝，解得323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线解析式为y=36x 2-233x ； ∵y=3x 2-23x =3(x -2) 2-23； ∴点D 的坐标为（2，-23）； （2）连接AC ，如图①，()2246(23)-+，而OA=4，∴平行四边形OCBA 为菱形，∴OC=BC=4，∴C （2，3，∴()2224(23)-+，∴OC=OA=AC=AB=BC ，∴△AOC 和△ACB 都是等边三角形，∴∠AOC=∠COB=∠OCA=60°，而OC=AC ，OM=AN ，∴△OCM ≌△ACN ，∴CM=CN ，∠OCM=∠ACN ，∵∠OCM+∠ACM=60°，∴∠ACN+∠ACM=60°，∴△CMN 为等边三角形，∴MN=CM ，∴△AMN 的周长=AM+AN+MN=OM+AM+MN=OA+CM=4+CM ，当CM ⊥OA 时，CM 的值最小，△AMN 的周长最小，此时OM=2，∴t=2；（3）∵C （2，，D （2，），∴，∵3=，OC=4， ∴OD 2+OC 2=CD 2，∴△OCD 为直角三角形，∠COD=90°，设M （t ，0），则E （t 2）， ∵∠AME=∠COD ，∴当AM ME OC OD =时，△AME ∽△COD ，即|t-4|：2t |， 整理得|16t 2-23t|=13|t-4|， 解方程16t 2-23t =13（t-4）得t 1=4（舍去），t 2=2，此时M 点坐标为（2，0）； 解方程16t 2-23t =-13（t-4）得t 1=4（舍去），t 2=-2（舍去）；当AM ME OD OC =时，△AME ∽△DOC ，即|t-4|2t |：4，整理得|16t 2-23t |=|t-4|， 解方程16t 2-23t =t-4得t 1=4（舍去），t 2=6，此时M 点坐标为（6，0）； 解方程16t 2-23t =-（t-4）得t 1=4（舍去），t 2=-6（舍去）； 综上所述，M 点的坐标为（2，0）或（6，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、平行四边形的性质和菱形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；熟练掌握相似三角形的判定方法；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。
2020届上海市宝山区高三一模数学试题解析
绝密★启用前2020届上海市宝山区高三一模数学试题解析学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．若函数1()ln f x x a x =-+在区间(1)e ，上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ）A ．01a <<B ．11a e<<C ．111a e -<<D ．111a e+<<解：函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， ∵(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e =-+>， 可得111a e -<<故选：C ．2．下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．2()log (41)x f x x =+-B ．()||2cos f x x x =-C ．2210()0x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩D ．|lg |()10x f x =解：对于2241:()log (41)log 4x xx A f x x x -+-=++=+2222log (41)log 2log (41)()x x x x x f x =+-+=+-=．且2222(2)11()log (41)log log (2)22x xxx xf x x +=+-==+， Q 当0x …时，函数122x xy =+单调递增，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，故A 正确； :0B x >时，()2cos f x x x =-，令()12sin 0f x x '=->，得(0x ∈，52)(266k k ππππ++⋃，*22)()k k N ππ+∈，故B 不正确； :0C x ≠时，2212x x +…，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立，∴不满足在[)0,+∞上单调递增，故C 不正确；对于D ：|lg |()10x f x =定义域为()0,∞+，由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D 错；故选：A ． 点评：考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于基础题；3．已知平面γβα、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ） A ．两两垂直 B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面解：设l αβ=I ，且l 与,a b 均不重合假设：////a b c ，由//a b 可得：//a β，//b α 又l αβ=I ，可知//a l ，//b l 又////a b c ，可得：//c l因为,,αβγ两两互相垂直，可知l 与γ相交，即l 与c 相交或异面 若l 与a 或b 重合，同理可得l 与c 相交或异面 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项：B 点评：本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.4．提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x j ++，πϕπ-<<，下列判断错误的是（ ）A ．当0a >，0b >时，辅助角arctan baϕ=B ．当0a >，0b <时，辅助角arctan b aϕπ=+ C ．当0a <，0b >时，辅助角arctan b aϕπ=+D ．当0a <，0b <时，辅助角arctan b aϕπ=- 解：解：因为cos ϕ=sin ϕ=tan baϕ=，(,]ϕππ∈- 对于A ，因为0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限02πϕ∴<<，0b a>Q，arctan (0,)2b a π∴∈，故A 选项正确；对于B ，因为0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限02πϕ∴-<<；0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故B 选项错误； 对于C ，因为0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限2πϕπ∴<<；0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故C 选项正确； 对于D ，因为0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限2ππϕ∴-<<-，0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴-∈--，故D 选项正确； 故选：B ． 点评：本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力，属于中档题．二、填空题5．若(1)2z i i +=（i 是虚数单位），则||z =________．根据复数代数形式的运算性质先求出z ，再根据模的计算公式求解即可． 解：解：∵(1)2z i i +=，∴21iz i ==+()()()21111i i i i i -=++-，∴||z ==点评：本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题． 6．已知4251λλ-=-，则λ=________答案：3由行列式的计算公式化简求解即可． 解： 解：4251λλ-=-Q()()4125λλ∴-⨯-⨯-=，解得3λ=，故答案为：3． 点评：本题考查二阶行列式的计算，属于基础题． 7．函数13x y -=（1x ≤）的反函数是________ 答案：31log ,(0,1]y x x =+∈首先求出函数的值域，再利用反函数的求法，先反解x ，再对换x ，y ，求出即可． 解：解：13(1)x y x -=Q …，(]0,1y ∴∈，得31log x y -=，x ，y 对换，得31log y x =+，(]0,1x ∈，故答案为：31log y x =+，(]0,1x ∈， 点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．8．2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_______ 场球赛. 答案：66直接利用组合数的应用求出结果． 解：解：根据题意利用组合数得2121211662C ⨯==．点评：本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________答案：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程． 解：解：抛物线26y x =-的焦点坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线的方程为32x =，所以焦点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．故答案为：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．点评：本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 10．在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为________ 答案：9-利用二项展开式把5(1)x -展开，再求展开式中3x 的系数． 解：解：53(1)(1)x x -+()()2345315101051x x x x x x =-+-+-+()()23453234515101051510105x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-则含3x 的项有310x -与3x 两项∴展开式中3x 的系数为1109-=-．故答案为：9-．点评：本题考查了二项式系数的性质与应用问题，属于基础题． 11．不等式22|2|36x x x x -->--的解集是________ 答案：(4,)-+∞将不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--，再根据220x x -+>恒成立，则原不等式等价于22236x x x x -+>--解得即可； 解：解：不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--， 由于函数22y x x =-+的图象在x 轴上方，所以220x x -+>恒成立，所以22236x x x x -+>--， 解得4x >-，故不等式的解集为(4,)-+∞． 故答案为：(4,)-+∞ 点评：本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12．已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x -=，则k =_____ 答案：2±由题意设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈，利用根与系数的关系结合12||2x x -=求得a 与b 的值，则k 可求． 解：解：Q 方程程220x kx -+=的两个虚根为1x 、2x ， 可设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈．122x x a k ∴+==，22122x x a b =+=，12||2x x -=Q ，|2|2bi ∴=， 联立解得：1b =±，1a =±．2k ∴=±．。
2019-2020学年上海市宝山区初三数学第一学期中考一模试卷及解析
2019-2020学年上海市宝山区初三数学第一学期中考一模试卷一、选择题1．符号sin A 表示( ) A ．A ∠的正弦 B ．A ∠的余弦 C ．A ∠的正切 D ．A ∠的余切2．如果23a b =-，那么(ab = ) A ．23-B ．32-C ．5D ．1-3．二次函数212y x =-的图象的开口方向( ) A ．向左B ．向右C ．向上D ．向下4．直角梯形ABCD 如图放置，AB 、CD 为水平线，BC AB ⊥，如果67BCA ∠=︒，从低处A 处看高处C 处，那么点C 在点A 的( )A ．俯角67︒方向B ．俯角23︒方向C ．仰角67︒方向D ．仰角23︒方向5．已知a ，b 为非零向量，如果5b a =-，那么向量a 与b 的方向关系是( ) A ．//a b ，并且a 和b 方向一致 B ．//a b ，并且a 和b 方向相反 C ．a 和b 方向互相垂直D ．a 和b 之间夹角的正切值为56．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若2AB =，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为( )A ．3π+B ．3πC ．23π-D ．223π-二、填空题7．已知1:23:x =，那么x = ．8．如果两个相似三角形的周长比为1:2，那么它们某一对对应边上的高之比为 ． 9．如图，ABC ∆中90C ∠=︒，如果CD AB ⊥于D ，那么AC 是AD 和 的比例中项．10．在ABC ∆中，AB BC CA ++= ．11．点A 和点B 在同一平面上，如果从A 观察B ，B 在A 的北偏东14︒方向，那么从B 观察A ，A 在B 的 方向．12．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，如果AC x =，那么CD = （用x 表示）．13．如图，ABC ∆中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE ．若9BE =，12BC =，则cos C = ．14．若抛物线2()(1)y x m m =-++的顶点在第二象限，则m 的取值范围为 ． 15．二次函数223y x x =++的图象与y 轴的交点坐标是 ．16．如图，已知正方形ABCD 的各个顶点A 、B 、C 、D 都在O 上，如果P 是AB 的中点，PD 与AB 交于E 点，那么PEDE= ．17．如图，点C 是长度为8的线段AB 上一动点，如果AC BC <，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作等边ACD ∆、BCE ∆，联结DE ，当CDE ∆的面积为33时，线段AC 的长度是 ．18．如图，点A 在直线34y x =上，如果把抛物线2y x =沿OA 方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为 ．三、解答题19．计算：1262tan 602cos 45-︒-︒20．已知：抛物线22y x x m =-+与y 轴交于点(0,2)C -，点D 和点C 关于抛物线对称轴对称． （1）求此抛物线的解析式和点D 的坐标；（2）如果点M 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，求MCD ∆的周长．21．某仓储中心有一个坡度为1:2i =的斜坡AB ，顶部A 处的高AC 为4米，B 、C 在同一水平地面上，其横截面如图．（1）求该斜坡的坡面AB 的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG 的长方体货柜，其中长 2.5DE =米，高2EF =米，该货柜沿斜坡向下时，点D 离BC 所在水平面的高度不断变化，求当 3.5BF =米时，点D 离BC 所在水平面的高度DH ．22．如图，直线:3l y x =，点1A 坐标为(1,0)，过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 的垂线交直线l 于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，⋯，按此做法进行下去． 求：（1）点1B 的坐标和11AOB ∠的度数； （2）弦43A B 的弦心距的长度．23．如图，ABC ∆中，AB AC =，AM 为BC 边的中线，点D 在边AC 上，联结BD 交AM 于点F ，延长BD 至点E ，使得BD ADDE DC=，联结CE ．求证： （1）2ECD BAM ∠=∠；（2）BF 是DF 和EF 的比例中项．24．在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数2(1)y a x x =+-的图象交于点(1,)A a 和点(1,)B a --．（1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y 随着x 的增大而增大，求a 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当Q 在以AB 为直径的圆上时，求a 的值．25．如图，OC 是ABC ∆中AB 边的中线，36ABC ∠=︒，点D 为OC 上一点，如果OD k OC =，过D 作//DE CA 交于BA 点E ，点M 是DE 的中点，将ODE ∆绕点O 顺时针旋转α度（其中0180)α︒<<︒后，射线OM 交直线BC 于点N ．（1）如果ABC ∆的面积为26，求ODE ∆的面积（用k 的代数式表示）；（2）当N 和B 不重合时，请探究ONB ∠的度数y 与旋转角α的度数之间的函数关系式； （3）写出当ONB ∆为等腰三角形时，旋转角α的度数．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：符号sin A 表示A ∠的正弦． 故选：A ．2．【解答】解：23a b =-，∴32a b =-． 故选：B ．3．【解答】解：二次函数212y x =-中20-<，∴图象开口向下，故选：D ．4．【解答】解：BC AB ⊥，67BCA ∠=︒， 9023BAC BCA ∴∠=︒-∠=︒，从低处A 处看高处C 处，那么点C 在点A 的仰角23︒方向； 故选：D ．5．【解答】解：知a ，b 为非零向量，如果5b a =-，∴//a b ，a 与b 的方向相反，故选：B ．6．【解答】解：过A 作AD BC ⊥于D ，ABC ∆是等边三角形，2AB AC BC ∴===，60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=︒， AD BC ⊥，1BD CD ∴==，33AD BD =ABC ∴∆的面积为1123322BC AD ⨯⨯=⨯，260223603BACS ππ⨯==扇形，∴莱洛三角形的面积23232233Sππ=⨯-⨯=-，故选：D．二、填空题7．【解答】解：1:23:x=，∴132x =，6x∴=．故答案为：6．8．【解答】解：两个相似三角形的周长比为1:2，∴两个相似三角形的相似比为1:2，∴它们某一对对应边上的高之比为1:2，故答案为：1:2．9．【解答】解：90C∠=︒，CD AB⊥，2AC AD AB∴=，AC∴是AD和AB的比例中项，故答案为：AB．10．【解答】解：0AB BC CA AC CA++=+=．故答案为：0．11．【解答】解：由题意可知，114∠=︒，//AC BD，1214∴∠=∠=︒，根据方向角的概念可知，由点B测点A的方向为南偏西14︒方向．故答案为：南偏西14︒．12．【解答】解：在Rt ABC∆中，90C∠=︒，30A∠=︒，60ABC ∴∠=︒，BD 平分ABC ∠，30ABD CBD ∴∠=∠=︒，A ABD ∴∠=∠，AD BD ∴=，2DB DC =，2AD DC ∴=，13CD AC ∴=， ∴13CD x =-，故答案为13x -．13．【解答】解：DE 是BC 的垂直平分线， CE BE ∴=， CD BD ∴=， 9BE =，12BC =， 6CD ∴=，9CE =，62cos 93CD C CE ∴===， 故答案为23． 14．【解答】解：2()(1)y x m m =-++，∴顶点为(,1)m m +，顶点在第二象限， 0m ∴<，10m +>， 10m ∴-<<，故答案为10m -<<．15．【解答】解：由图象与y 轴相交则0x =，代入得：y =，∴与y 轴交点坐标是；故答案为．16．【解答】解：连接OP ，交AB 于点F ，连接AC ． 根据垂径定理的推论，得OP AB ⊥，AF BF =．根据90︒的圆周角所对的弦是直径，则AC 为直径． 设正方形的边长是1，则2AC =，圆的半径是22． 根据正方形的性质，得45OAF ∠=︒． 所以12OF =，212PF -=．//OP AD ，∴212PE PF DE AD -==． 故答案为212-．17．【解答】解：作DH EC ⊥于H ．设AC x =，则8BC EC x ==-．ACD ∆，ECB ∆都是等边三角形， 60ACD ECB ∴∠=∠=︒， 60DCE ∴∠=︒，1sin 60332DCE S EC CD ∆∴=︒= ∴13(8)3322x x -= 解得2x =或6（舍弃）， 2AC ∴=，故答案为2．18．【解答】解：如图，过点A 作AB x ⊥轴于B ， 点A 在直线34y x =上，5OA =， 4OB ∴=，3AB =，∴点A 的坐标为(4,3)，∴平移后的抛物线解析式是2(4)3y x =-+．故答案为2(4)3y x =-+．三、解答题19．【解答】解：原式622322-⨯6(32)2(32)(32)⨯+=--+32232= 2223=20．【解答】解：（1）抛物线22y x x m =-+与y 轴交于点(0,2)C -， 2m ∴=-，∴此抛物线的解析式为222y x x =--，抛物线的解析式为2222(1)3y x x x =--=--，∴抛物线的对称轴为直线1x =．点D 与C 关于抛物线的对称轴对称，∴点D 的坐标为(2,2)-．（2）抛物线的对称轴为直线1x =． (1,0)M ∴，22125MC MD ∴=+= 2CD =，MCD ∴∆的周长为：225+21．【解答】解：（1）坡度为1:2i =，4AC m =， 428BC m ∴=⨯=．AB ∴=)；（2）DGM BHM ∠=∠，DMG BMH ∠=∠， GDM HBM ∴∠=∠， ∴12GM GD =， 2DG EF m ==，1GM m ∴=，DM ∴== 3.5(2.51)5BM BF FM m =+=+-=， 设MH xm =，则2BH xm =，222(2)5x x ∴+=，x ∴=，DH ∴=．22．【解答】解：（1）直线的解析式y =，11111tan A B AOB OA ∴∠= 1160AOB ∴∠=︒，11OA =，11A B ∴=212OA OB ==，1B ∴．（2）连接43A B ，作43OH A B ⊥于H ．由题意11OA =，22OA =，34OA =，48OA =，43OA OB =，43OH A B ⊥，4431302A OH A OB ∴∠=∠=︒，4cos308OH OA ∴=︒==23．【解答】证明：（1）AB AC =，AM 为BC 边的中线， 2BAC BAM ∴∠=∠， BD ADDE DC =，ADB CDE ∠=∠，ADB CDE ∴∆∆∽，BAC ECD ∴∠=∠，2ECD BAM ∴∠=∠；（2）如图，连接CF ，AB AC =，AM 为BC 边的中线，AM ∴是BC 的垂直平分线，BF CF ∴=，且AB AC =，AF AF =，()ABF ACF SSS ∆≅∆ABF ACF ∴∠=∠，由（1）可知：ADB CDE ∆∆∽，ABF E ∴∠=∠，ACF E ∴∠=∠，且EFC DFC ∠=∠，DCF CEF ∴∆∆∽，∴DF CFCF EF =，且BF CF =，2BF DF EF ∴=，BF ∴是DF 和EF 的比例中项．24．【解答】解：（1）设直线AB 的解析式为：y kx b =+，由题意可得a k b a k b =+⎧⎨-=-+⎩0b ∴=，k a =，∴直线AB 的解析式为：y ax =，∴当0x =时，0y =，∴直线AB 与y 轴的交点坐标(0,0)；（2）反比例函数过点(1,)A a ，∴反比例函数解析式为：a y x=， 要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大， 0a ∴<． 二次函数2215(1)()24y a x x a x a =+-=+-， ∴对称轴为：直线12x =-． 要使二次函数2(1)y a x x =+-满足上述条件，在0a <的情况下，x 必须在对称轴的左边，即12x -时，才能使得y 随着x 的增大而增大．综上所述，0a <且12x -； （3）二次函数2215(1)()24y a x x a x a =+-=+-， ∴顶点1(2Q -，5)4a -， Q 在以AB 为直径的圆上，OA OQ ∴=，222215()()124a a ∴-+-=+，a ∴=25．【解答】解：（1）OC 是ABC ∆中AB 边的中线，ABC ∆的面积为26， 13OAC S ∆∴=， //DE AC ，ODE OCA ∴∆∆∽，OEM OAC ∠=∠，∴2()DEO OAC S OD S OC∆∆=，且OD k OC =， 213ODE S k ∆∴=，（2）ODE OCA ∆∆∽，∴OE OD DE k OA OC AC===， OC 是ABC ∆中AB 边的中线，点M 是DE 的中点， 2AB AO ∴=，12EM DE =， ∴2OE k EM AB AC==，且OEM OAC ∠=∠， OEM BAC ∴∆∆∽，36EOM ABC ∴∠=∠=︒，如图2，当0144α<<︒时，AON B ONB ∠=∠+∠，AOE EOM B ONB ∴∠+∠=∠+∠y α∴=如图3，当144180α︒<<︒时，36(180)BON EOM BOE α∠=∠-∠=︒-︒-144NOB α∴∠=-︒，36(144)180BNO ABC NOB αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-；（3）当0144α<<︒时，若OB ON =，则36ABC BNO α∠=∠=︒=， 若OB BN =，则18036722ONB α︒-︒∠==︒=， 若ON BN =，则36ABC BON ∠=∠=︒，180236108ONB α∴∠=︒-⨯︒=︒=，当144180α︒<<︒时，若OB BN =，则18180N NOB α∠=∠=︒=︒-， 162α∴=︒．。
上海市宝山区2019-2020学年中考第一次质量检测数学试题含解析
上海市宝山区2019-2020学年中考第一次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图所示是8个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为2x <．则k 的取值范围为（ ） A ．1k < B ．1k ³ C ．1k > D ．1k <3．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα4．若△ABC 与△DEF 相似，相似比为2：3，则这两个三角形的面积比为（ ）A ．2：3B ．3：2C ．4：9D ．9：45．如图，矩形ABCD 的顶点A 、C 分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（）A．25本B．20本C．15本D．10本7．方程（m–2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠±2B．m=2 C．m=–2 D．m≠28．下列说法中正确的是（）A．检测一批灯泡的使用寿命适宜用普查.B．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是12，如果抛掷10次，就一定有5次正面朝上.C．“367人中有两人是同月同日生”为必然事件. D．“多边形内角和与外角和相等”是不可能事件.9．如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN 交AB 于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（）A．90°B．95°C．105°D．110°10．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．12B．1 C．33D311．如图，在△ABC中，AC=BC，点D在BC的延长线上，AE∥BD，点ED在AC同侧，若∠CAE=118°，则∠B 的大小为（ ）A ．31°B ．32°C ．59°D ．62°12．下列因式分解正确的是( )A ．()2211x x +=+B ．()22211x x x +-=- C ．()()22x 22x 1x 1=-+- D ．()2212x x x x -+=-+ 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x 分钟，那么可列出的方程是_____________.14．如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于__________.15．同时掷两粒骰子，都是六点向上的概率是_____．16．若圆锥的地面半径为5cm ，侧面积为265cm π，则圆锥的母线是__________cm ．17．如图，已知点C 为反比例函数6y x=-上的一点，过点C 向坐标轴引垂线，垂足分别为A 、B ，那么四边形AOBC 的面积为___________．18．计算：2sin 245°﹣tan45°＝______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图,已知□ABCD 的面积为S ，点P 、Q 时是▱ABCD 对角线BD 的三等分点，延长AQ 、AP ，分别交BC ，CD 于点E ，F ，连结EF 。
上海市宝山区2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
上海市宝山区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC 的周长为()A．16 B．14 C．12 D．102．已知在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，且AC=BD，下列四个命题中真命题是（）A．若AB=CD，则四边形ABCD一定是等腰梯形；B．若∠DBC=∠ACB，则四边形ABCD一定是等腰梯形；C．若AO COOB OD=，则四边形ABCD一定是矩形；D．若AC⊥BD且AO=OD，则四边形ABCD一定是正方形．3．将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（）A．y=（x+2）2﹣5 B．y=（x+2）2+5 C．y=（x﹣2）2﹣5 D．y=（x﹣2）2+54．π这个数是( )A．整数B．分数C．有理数D．无理数5．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（）A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B．抛一枚硬币，出现正面的概率C．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率D．任意写一个整数，它能被2整除的概率6．青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积是2500000 平方千米．将2500000 用科学记数法表示应为（）A．70.2510⨯B．72.510⨯C．62.510⨯D．52510⨯7．如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（）A．15πB．24πC．20πD．10π8．如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为()A．B．C．D．9．已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+ 的值是（）A．0 B．C．2+D．2﹣10．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（）A．方有两个相等的实数根B．方程有一根等于0C．方程两根之和等于0 D．方程两根之积等于011．甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A．甲超市的利润逐月减少B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C．8月份两家超市利润相同D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市12．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A ．200米B ．2003米C ．2203米D ．100(31)+米二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．若圆锥的母线长为４cm ，其侧面积212cm π，则圆锥底面半径为 cm ．14．如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，∠A=25°，D 是AB 上一点，将Rt △ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B′处，则∠ADB′等于_____．15．若分式22x x +的值为正，则实数x 的取值范围是__________________. 16．若x 2+kx+81是完全平方式，则k 的值应是________．17．现有三张分别标有数字2、3、4的卡片，它们除了数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a （不放回）；从剩下的卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b ，则点（a,b ）在直线11+22y x = 图象上的概率为__． 18．如图，直线y=2x+4与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，以OB 为边在y 轴右侧作等边三角形OBC ，将点C 向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB 上，则点C′的坐标为 ．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，菱形ABCD 中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°, ∠EGF 的顶点G 在菱形对角线AC 上运动，角的两边分别交边BC 、CD 于E 、F ．（1）如图甲，当顶点G 运动到与点A 重合时，求证：EC+CF=BC ；（2）知识探究：①如图乙，当顶点G 运动到AC 的中点时，请直接写出线段EC 、CF 与BC 的数量关系（不需要写出证明过程）；②如图丙，在顶点G运动的过程中，若ACtGC=，探究线段EC、CF与BC的数量关系；（3）问题解决：如图丙，已知菱形的边长为8，BG=7，CF=65，当t＞2时，求EC的长度．20．（6分）解不等式组：21512x xxx+>⎧⎪⎨+-≥⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．21．（6分）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．（cos80°≈0.17，sin80°≈0.98，2≈1.414）（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？22．（8分）某商店销售两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需280元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需210元．（Ⅰ）求这两种品牌计算器的单价；（Ⅱ）开学前，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的九折销售，B品牌计算器10个以上超出部分按原价的七折销售．设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B 品牌的计算器需要y2元，分别求出y1，y2关于x的函数关系式．（Ⅲ）某校准备集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过15个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．23．（8分）如图，ABC∆在方格纸中.（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使(2,3)A ，(6,2)C ，并求出B 点坐标；（2）以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC ∆放大，画出放大后的图形'''A B C ∆； （3）计算'''A B C ∆的面积S .24．（10分）如图，在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上一个动点（不与点,A C 重合），连接PB 过点P 作PF PB ⊥，交直线DC 于点F ．作PE AC ⊥交直线DC 于点E ，连接,AE BF ．（1）由题意易知，ADC ABC ∆∆≌，观察图，请猜想另外两组全等的三角形∆ ∆≌ ；∆ ∆≌ ；（2）求证：四边形AEFB 是平行四边形；（3）已知22AB =，PFB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．25．（10分）如图，△ACB 与△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D 为AB 边上的一点，（1）求证：△ACE ≌△BCD ；（2）若DE=13，BD=12，求线段AB 的长．26．（12分）如图，点O 为Rt △ABC 斜边AB 上的一点，以OA 为半径的⊙O 与BC 切于点D ，与AC 交于点E ，连接AD.求证：AD平分∠BAC；若∠BAC=60∘，OA=4，求阴影部分的面积(结果保留π).27．（12分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高CD的长．(结果精确到0.1 m)参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】根据切线长定理进行求解即可.【详解】∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BC＝5，∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，故选B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键. 2．C【解析】A、因为满足本选项条件的四边形ABCD有可能是矩形，因此A中命题不一定成立；B、因为满足本选项条件的四边形ABCD有可能是矩形，因此B中命题不一定成立；C、因为由AO COBO OD结合AO+CO=AC=BD=BO+OD可证得AO=CO，BO=DO，由此即可证得此时四边形ABCD是矩形，因此C中命题一定成立；D、因为满足本选项条件的四边形ABCD有可能是等腰梯形，由此D中命题不一定成立. 故选C.3．A【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣1．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．4．D【解析】【分析】由于圆周率π是一个无限不循环的小数，由此即可求解．【详解】解：实数π是一个无限不循环的小数．所以是无理数．故选D．【点睛】本题主要考查无理数的概念，π是常见的一种无理数的形式，比较简单．5．C【解析】解：A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，故此选项错误；B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项错误；C．从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：11123=+≈0.33；故此选项正确；D．任意写出一个整数，能被2整除的概率为12，故此选项错误．故选C．6．C【解析】分析：在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便．解答：解：根据题意：2500000=2.5×1．故选C．7．B【解析】解：根据三视图得到该几何体为圆锥，其中圆锥的高为4，母线长为5，圆锥底面圆的直径为6，所以圆锥的底面圆的面积=π×（62）2=9π，圆锥的侧面积=12×5×π×6=15π，所以圆锥的全面积=9π+15π=24π．故选B．点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．也考查了三视图．8．C【解析】看到的棱用实线体现.故选C.9．C【解析】【分析】把x的值代入代数式，运用完全平方公式和平方差公式计算即可【详解】解：当x=2﹣时，（7+4）x2+（2+）x+＝（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）+＝（7+4）（7-4）+1+＝49-48+1+＝2+故选：C.【点睛】此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用完全平方公式和平方差公式进行计算．10．C【解析】试题分析：根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可．解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，∴1+（﹣1）=0，即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；故选C．11．D【解析】【分析】根据折线图中各月的具体数据对四个选项逐一分析可得．【详解】A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确，不符合题意；B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确，不符合题意；C、8月份两家超市利润相同，此选项正确，不符合题意；D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误，符合题意，故选D．【点睛】本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．12．D【解析】【分析】在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD=CD=100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长．【详解】∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，∴BD＝CD＝100米，∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°，∴AC ＝2×100＝200米，∴AD∴AB ＝AD+BD ＝100（故选D ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．3【解析】∵圆锥的母线长是5cm ，侧面积是15πcm 2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l=2305s r π==6π， ∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r=622l πππ==3cm ， 14．40°．【解析】【详解】∵将Rt △ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B′处，∴∠ACD=∠BCD ，∠CDB=∠CDB′，∵∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°﹣25°=65°，∴∠BDC=∠B′DC=180°﹣45°﹣65°=70°，∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°．故答案为40°．15．x ＞0【解析】【分析】分式值为正，则分子与分母同号，据此进行讨论即可得. 【详解】∵分式2x x 2+的值为正， ∴x 与x 2+2的符号同号，∵x 2+2>0，∴x>0，故答案为x>0.【点睛】本题考查了分式值为正的情况，熟知分式值为正时，分子分母同号是解题的关键.16．±1【解析】试题分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．解：∵x2+kx+81是完全平方式，∴k=±1．故答案为±1．考点：完全平方式．17．1 6【解析】【分析】根据题意列出图表，即可表示（a，b）所有可能出现的结果,根据一次函数的性质求出在11+22y x=图象上的点，即可得出答案．【详解】画树状图得：∵共有6种等可能的结果(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3)，在直线11+22y x=图象上的只有(3,2)，∴点（a，b）在11+22y x=图象上的概率为16．【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于不放回实验．18．（﹣2，2）【解析】试题分析：∵直线y=2x+4与y轴交于B点，∴x=0时，得y=4，∴B（0，4）．∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，∴C在线段OB的垂直平分线上，∴C点纵坐标为2．将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，解得x=﹣2．所以C′的坐标为（﹣2，2）．考点：2．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．坐标与图形变化-平移．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）证明见解析（2）①线段EC，CF与BC的数量关系为：CE＋CF＝12 BC.②CE＋CF＝1tBC（3）95【解析】【分析】（1）利用包含60°角的菱形，证明△BAE≌△CAF，可求证;(2)由特殊到一般，证明△CAE′∽△CGE，从而可以得到EC、CF与BC的数量关系(3) 连接BD与AC交于点H,利用三角函数BH ,AH,CH的长度，最后求BC长度.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∠B＝∠ACF＝60°，AB=BC，AB=AC，∵∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF＝60°，∴∠BAE=∠CAF，在△BAE和△CAF中，BAE CAFAB ACB ACF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝,∴△BAE≌△CAF，∴BE＝CF，∴EC＋CF＝EC＋BE＝BC，即EC＋CF＝BC；（2）知识探究：①线段EC，CF与BC的数量关系为：CE＋CF＝12BC.理由：如图乙，过点A作AE′∥EG，AF′∥GF，分别交BC、CD于E′、F′．类比（1）可得：E′C+CF′=BC，∵AE′∥EG ，∴△CAE′∽△CGE 12CE CG CE CA '∴==， 1'2CE CE ∴=， 同理可得：12'CF CF =， ()1111'''2'222CE CF CE CF CE CF BC ∴+=+=+=， 即12CE CF BC +=； ②CE ＋CF ＝1tBC. 理由如下：过点A 作AE′∥EG ，AF′∥GF ，分别交BC 、CD 于E′、F′.类比（1）可得：E′C ＋CF′＝BC ，∵AE′∥EG ，∴△CAE′∽△CAE ，∴1CE CG CE AC t'==，∴CE ＝1t CE′， 同理可得：CF ＝1tCF′， ∴CE ＋CF ＝1t CE′＋1t CF′＝1t （CE′＋CF′）＝1tBC ， 即CE ＋CF ＝1tBC ； （3）连接BD 与AC 交于点H ，如图所示：在Rt △ABH 中，∵AB ＝8，∠BAC ＝60°，∴BH ＝ABsin60°＝8×3＝43， AH ＝CH=ABcos60°＝8×12＝4，∴GH ＝22BG BH -＝2743-＝1，∴CG ＝4－1＝3，∴38CG AC =， ∴t ＝83（t ＞2）， 由（2）②得：CE ＋CF ＝1tBC ， ∴CE ＝1t BC －CF ＝38×8－65＝95. 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加辅助线构造相似三角形． 20．则不等式组的解集是﹣1＜x≤3，不等式组的解集在数轴上表示见解析.【解析】【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．【详解】21x 512x x x +>⎧⎪⎨+-≥⎪⎩①，② 解不等式①得：x ＞﹣1，解不等式②得：x≤3，则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，不等式组的解集在数轴上表示为：.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知确定解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键.也考查了在数轴上表示不等式组的解集.21． (1) 小强的头部点E 与地面DK 的距离约为144.5 cm.(2) 他应向前9.5 cm.【解析】试题分析：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．求出MF、FN的值即可解决问题；（2）求出OH、PH的值即可判断；试题解析：解：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．∵EF+FG=166，FG=100，∴EF=66，∵∠FGK=80°，∴FN=100sin80°≈98，∵∠EFG=125°，∴∠EFM=180°﹣125°﹣10°=45°，∴FM=66cos45°=332≈46.53，∴MN=FN+FM≈144.5，∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm．（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．∵AB=48，O为AB中点，∴AO=BO=24，∵EM=66sin45°≈46.53，∴PH≈46.53，∵GN=100cos80°≈17，CG=15，∴OH=24+15+17=56，OP=OH﹣PH=56﹣46.53=9.47≈9.5，∴他应向前9.5cm．22．（1）A种品牌计算器50元/个，B种品牌计算器60元/个；（2）y1=45x，y2=60(010) 42180(10)x xx x≤≤⎧⎨+⎩f；（3）详见解析.【解析】【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组并求解即可；(2)按照“购买所需费用=折扣×单价×数量”列式即可，注意B品牌计算器的采购要分0≤x≤10和x＞10两种情况考虑；(3)根据上问所求关系式，分别计算当x＞15时，由y1=y2、y1＞y2、y1＜y2确定其分别对应的销量范围，从而确定方案.【详解】（Ⅰ）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，根据题意得，23280 3210a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得：5060 ab=⎧⎨=⎩，答：A种品牌计算器50元/个，B种品牌计算器60元/个；（Ⅱ）A品牌：y1=50x•0.9=45x；B品牌：①当0≤x≤10时，y2=60x，②当x＞10时，y2=10×60+60×（x﹣10）×0.7=42x+180，综上所述：y1=45x，y2=()() 60010 4218010x xx x⎧≤≤⎪⎨+⎪⎩＞；（Ⅲ）当y1=y2时，45x=42x+180，解得x=60，即购买60个计算器时，两种品牌都一样；当y1＞y2时，45x＞42x+180，解得x＞60，即购买超过60个计算器时，B品牌更合算；当y1＜y2时，45x＜42x+180，解得x＜60，即购买不足60个计算器时，A品牌更合算，当购买数量为15时，显然购买A品牌更划算.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用.23．（1）作图见解析；(2,1)B.（2）作图见解析；（3）1.【解析】分析：（1）直接利用A，C点坐标得出原点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质即可得出△A'B'C'；（3）直接利用（2）中图形求出三角形面积即可．详解：（1）如图所示，即为所求的直角坐标系；B（2，1）；（2）如图：△A'B'C'即为所求；（3）S△A'B'C'=12×4×8=1．点睛：此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和关键点；③根据位似比，确定位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．24．（1）,,,PEF PCB ADE BCF；（2）见解析；（3）存在，2【解析】【分析】（1）利用正方形的性质及全等三角形的判定方法证明全等即可；（2）由（1）可知PEF PCB ∆∆≌，则有EF BC =，从而得到AB EF =，最后利用一组对边平行且相等即可证明；（3）由（1）可知PEF PCB ∆∆≌，则PF PB =，从而得到PBF ∆是等腰直角三角形，则当PB 最短时，PBF ∆的面积最小，再根据AB 的值求出PB 的最小值即可得出答案．【详解】解：（1）Q 四边形ABCD 是正方形，,45AD DC BC ACD ACB ︒∴==∠=∠=，,PE AC PB PF ⊥⊥Q ，90EPC BPF ︒∴∠=∠=，,45EPF CPB PEC PCE ︒∴∠=∠∠=∠=，PE PC ∴=，在PEF ∆和PCB ∆中，PEF BCP PE PCEPF CPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()PEF PCB ASA ∴∆∆≌EF BC DC ∴==DE CF ∴=在ADE ∆和BCF ∆中，90AD BC D BCF DE CF ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，()ADE BCF SAS ∴∆∆≌故答案为,,,PEF PCB ADE BCF ；（2）证明：由（1）可知PEF PCB ∆∆≌，EF BC ∴=，AB BC =QAB EF ∴=//AB EF Q∴四边形AEFB是平行四边形.（3）解：存在，理由如下：PEF PCB∆∆Q≌PF PB∴=90BPF︒∠=QPBF∆∴是等腰直角三角形，PB∴最短时，PBF∆的面积最小，∴当PB AC⊥时，PB最短，此时2cos45222PB AB=⋅︒=⨯=，PBF∆∴的面积最小为1222 2⨯⨯=.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定方法是解题的关键．25．（3）证明见解析; （3）AB=3.【解析】【分析】（3）由等腰直角三角形得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，得出∠BCD=∠ACE，根据SAS 推出△ACE≌△BCD即可；（3）求出AD=5，根据全等得出AE=BD=33，在Rt△AED中，由勾股定理求出DE即可．【详解】证明：（3）如图，∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACE，CD=CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）；（3）由（3）知△BCD≌△ACE，则∠DBC=∠EAC，AE=BD=33，∵∠CAD+∠DBC=90°，∴∠EAC+∠CAD=90°，即∠EAD=90°，∵AE=33，ED=33，∴AD=221312-=5，∴AB=AD+BD=33+5=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，也考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用.考点：3．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形．26．（1）见解析；（2）8 3π【解析】试题分析：（1）连接OD，则由已知易证OD∥AC，从而可得∠CAD=∠ODA，结合∠ODA=∠OAD，即可得到∠CAD=∠OAD，从而得到AD平分∠BAC；（2）连接OE、DE，由已知易证△AOE是等边三角形，由此可得∠ADE=12∠AOE=30°，由AD平分∠BAC可得∠OAD=30°，从而可得∠ADE=∠OAD，由此可得DE∥AO，从而可得S阴影=S扇形ODE，这样只需根据已知条件求出扇形ODE的面积即可.试题解析：（1）连接OD.∵BC是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥BC.又∵AC⊥BC，∴OD∥AC，∴∠ADO=∠CAD.又∵OD=OA，∴∠ADO=∠OAD，∴∠CAD=∠OAD，即AD平分∠BAC. （2）连接OE，ED.∵∠BAC=60°，OE=OA，∴△OAE为等边三角形，∴∠AOE=60°，∴∠ADE=30°.又∵1302OAD BAC∠=∠=o，∴∠ADE=∠OAD，∴ED∥AO，∴S△AED＝S△OED，∴阴影部分的面积= S扇形ODE = 601683603ππ⨯⨯=.27．路灯的高CD的长约为6.1 m. 【解析】设路灯的高CD为xm，∵CD⊥EC，BN⊥EC，∴CD∥BN，∴△ABN∽△ACD，∴BN AB CD AC=，同理，△EAM∽△ECD，又∵EA＝MA，∵EC＝DC＝xm，∴1.75 1.251.75x x=-，解得x＝6.125≈6.1．∴路灯的高CD约为6.1m．。
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x12 y02 x02 y12 y02 y12
由点在椭圆上， x02 4 2y02 ， x12 4 2y12 ，代入上式可得 OP OQ 4 为定值。
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21. 已知数列{an}满足 a1 1， a2 e （e 是自然对数的底数），且 an2 an1 an ，
9. 已知直线 l 过点 1,0 且与直线 2x y 0 垂直，则圆 x2 y2 4x 8y 0 与直线 l 相交所
得的弦长为__________. 【答案】 2 15
【解析】直线 l 的方程为 x 2y 1 0 ，圆心 2, 4 到直线 l 的距离 d 5 ，圆的半径 r 2 5
66
22
C 选项在给定区间不单调，D 选项非奇非偶函数函数，故答案选 A.
15. 已知平面、、 两两垂直，直线 a、b、c 满足 a ，b ，c ，则直线 a、b、c
不可能满足的是（ ）.
A. 两两垂直
B. 两两平行 C. 两两相交
D. 两两异面
【答案】B
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4. 2019 年女排世界杯共有 12 支参赛球队，赛制采用 12 支队伍单循环，两两捉对厮杀一场 定胜负，依次进行，则此次杯赛共有__________场球赛. 【答案】66 【解析】 C122 66
5. 以抛物线 y2 6x 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是____________.
【答案】 4,
【解析】原不等式等价为 x x2 2 x2 3x 6 或 x x2 2 x2 3x 6 即1 3 x 1 3 或 x 4
8. 已知方程 x2 kx 2 0(k R) 的两个虚根为 x1, x2 ，若 x1 x2 2 ，则 k __________. 【答案】 2 【解析】 x1 x2 8 k2 i 8 k2 2
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20. 已知直线 l：x t(0 t 2) 与椭圆 : x2 y2 1相交于 A、B 两点，其中 A 在第一象限， 42
M 是椭圆上的一点. （1）记 F1、F2 是椭圆 的左右焦点，若直线 AB 过 F2 ，当 M 到 F1 的距离与到直线 AB 的距 离相等时，求点 M 的横坐标； （2）若点 M、A 关于 y 轴对称，当 MAB 的面积最大时，求直线 MB 的方程； （3）设直线 MA 和 MB 与 x 轴分别交于 P、Q，证明： OP OQ 为定值.
A. 当 a 0 ， b 0 时，辅助角 arctan b a
B. 当 a 0 ， b 0 时，辅助角 arctan b a
C. 当 a 0 ， b 0 时，辅助角 arctan b a
D. 当 a 0 ， b 0 时，辅助角 arctan b a
【答案】B 【解析】辅助角公式中的辅助角满足 tan b 同时 在 (a,b) 所在象限。B 选项中 应该在
V
V外
V内
4 3
(
R外3
R内3 )
，解得 R内
3
125 8
1065 79
2.2462
11. 已知{an},{bn}均是等差数列， cn an bn ，若{cn} 的前三项是 7,9,9，则 c10 _________. 【答案】-47
c1 7
a b c 7
a 1
【解析】设 cn an2 bn c ，由 c2 9 可得 4a 2b c 9 ，解得 b 5 ，
宝山区 2019 学年第一学期期末
高三年级数学学科教学质量监测试卷
（120 分钟，150 分） 一、填空题（本题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，要求在答 题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。 1. 若 z(1 i) 2i （i 是虚数单位），则 | z | __________.
b(a b)
【答案】 2 2, 2
b a b
【解析】 a 2
16 b(a
b)
a2
b
16 a
b
2
2
a2
64 a2
16
，当且仅当
a
2
64 a2
时等号成立，即
取最小值时，
a
2
2
b 2
二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13. 若函数 f (x) ln x 1 a 在区间 (1,e) 上存在零点，则常数 a 的取值范围为（ ）. x
即要用 8 小时才能符合环保规定 （如果分一半给 A 干，分一半给 B 干，就是：）
a (0.9)x a (0.81)x 0.1a ，令 t 0.9x ， t2 t 0.2 ，解得 x 17
2
2
即要用 17 小时才能符合环保规定 那从 0.9 和 0.81 数字的设置，正好可以换元来看，我感觉大概率标答会是后面一种情况，虽 然后面非常没有效率，吐槽吐槽吐槽……
x t
（2）联立
x
2
4
y2 2
，可得 1
A(t,
2 t2 ) ，故 AB 2
2
4 t2 ， AM 2t
S
MAB
1 2
AB
AM
2t
4t2
2 t2 4 t2 2 2 ，当且仅当 t 2
2 时等号成立
此时直线 MB 的方程为 x 2y 0
（3）设 M (x0 , y0 ) ， A(x1, y1) ， B(x1, y1)
A. 0 a 1
B. 1 a 1 e
C. 1 1 a 1 e
D. 1 1 a 1 e
【答案】C
【解析】易知函数
f
(x)
单调递增，故在区间
(1, e)
上存在零点可得
f f
(1) 0 (e) 0
14. 下列函数是偶函数，且在[0, ) 上单调递增的是（ ）.
A. f (x) log2 (4x 1) x
【答案】 2
【解析】 z(1 i) 2i ， 2 z 2 ， | z | 2
2. 已知 4 2 5 ，则 __________. 1
【答案】3
【解析】 4 2 4 2 3 4 5 ， 3
1
3. 函数 y 3x1(x 1) 的反函数是________. 【答案】 y log3 x 1(x (0,1]) 【解析】 x 3y1( y 1) y log3 x 1(x (0,1])
C1EB 即为异面直线 C1E 和 AD 的夹角，记为
由余弦定理可得 cos 42 22 10 5 242 8
故 arccos 5 8
18. 已知函数 f (x) sin x cos( x) 3 sin x cos x . 2
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则弦长的一半 r2 d 2 15
10. 有一个空心钢球，质量为 142g，测得外直径为 5cm，则它的内直径是________cm. （钢的密度为 7.9g/ cm3 ，精确到 0.1cm）
【答案】4.5 【解析】钢球的体积为V m 142g 1420 cm3 ，由球的体积公式可得：
7.9g / cm3 79
则直线
MA：
y
y0 x0
y1 x1
(x
x0 )
y0 ，当
y
0 时，可得
xp
x0
y0 (x0 x1) y0 y1
x1 y0 y0
x0 y1 y1
同理可得：
xQ
x1 y0 y0
x0 y1 y1
OP OQ xP xQ
x1 y0 x0 y1 x1 y0 x0 y1
y0 y1
y0 y1
a 第四象限，但是选项中给出的是在第二象限，故错误。
三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD 60o ，
DD1 3 ，E 是 AB 的中点.
（1）求四棱锥 C1 EBCD 的体积；
B. f (x) | x | 2cos x
C.
f
(
x）=
x2
1 x2
,
x
0
0, x 0
D. f (x) 10|lg x|
【答案】A
【解析】A
选项
f
(x)
log2(2 x
1 )
2x
，容易看出满足条件；
B 选项 x 0 时， f (x) x 2cos x ， f (7 ) 7 3 5.4 ， f (3 ) 3 4.71，不递增；
2
62
故函数的最小正周期为
，对称中心为
k 2
12
,
1 2
,
k
Z
（2）即 a sin(2x ) 1 在区间 x [0, ] 上有两解
62
2
函数 f (x), x [0, ] 图像如右图所示， 2
可得
a [0,
1) 2
，两根关于
6
对称，故
x1
x2
3
19. 一家污水处理厂有 A、B 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池 用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的 10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉 池中剩余污物的 19%. （1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到 1 小时） （2）如果污物减少为原来的 10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若 A、B 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到 1 小时）. 【解析】