2019-2020宝山区一模数学解析

answers written by：学而思王万卿老师
【解析】可以想象正方体的三个相邻的面，两两平行的两条直线必然和第三个平面垂直，此 时第三条直线和他们必然垂直无法平行。
16. 提斜公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下： asin x bcos x a2 b2 sin(x ) ， ，下列判断错误的是（ ）.
即要用 8 小时才能符合环保规定 （如果分一半给 A 干，分一半给 B 干，就是：）
a (0.9)x a (0.81)x 0.1a ，令 t 0.9x ， t2 t 0.2 ，解得 x 17
2
2
即要用 17 小时才能符合环保规定 那从 0.9 和 0.81 数字的设置，正好可以换元来看，我感觉大概率标答会是后面一种情况，虽 然后面非常没有效率，吐槽吐槽吐槽……
b(a b)
【答案】 2 2, 2
b a b
【解析】 a 2
16 b(a
b)
a2
b
16 a
b
2
2
a2
64 a2
16
，当且仅当
a
2
64 a2
时等号成立，即
取最小值时，
a
2
2
b 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13. 若函数 f (x) ln x 1 a 在区间 (1,e) 上存在零点，则常数 a 的取值范围为（ ）. x
【答案】 2
【解析】 z(1 i) 2i ， 2 z 2 ， | z | 2
2. 已知 4 2 5 ，则 __________. 1
【答案】3
【解析】 4 2 4 2 3 4 5 ， 3
1
3. 函数 y 3x1(x 1) 的反函数是________. 【答案】 y log3 x 1(x (0,1]) 【解析】 x 3y1( y 1) y log3 x 1(x (0,1])
9. 已知直线 l 过点 1,0 且与直线 2x y 0 垂直，则圆 x2 y2 4x 8y 0 与直线 l 相交所
得的弦长为__________. 【答案】 2 15
【解析】直线 l 的方程为 x 2y 1 0 ，圆心 2, 4 到直线 l 的距离 d 5 ，圆的半径 r 2 5
A. 0 a 1
B. 1 a 1 e
C. 1 1 a 1 e
D. 1 1 a 1 e
【答案】C
【解析】易知函数
f
(x)
单调递增，故在区间
(1, e)
上存在零点可得
f f
(1) 0 (e) 0
14. 下列函数是偶函数，且在[0, ) 上单调递增的是（ ）.
A. f (x) log2 (4x 1) x
【解析】
（1） F1( 2,0) ， F2 ( 2,0) ，由题设条件可得，M 在以
F1 为焦点， x 2 为准线的抛物线上，故 M 的轨迹为 y2 4 2x
y2 4 2x
又因为
M
是椭圆上的一点，故联立
x2
4
y2 2
1
，消去
y
可得： x2
8
2x 4 0 ，解得：
x 4 2 6 （舍）或 4 2 6
【答案】 4,
【解析】原不等式等价为 x x2 2 x2 3x 6 或 x x2 2 x2 3x 6 即1 3 x 1 3 或 x 4
8. 已知方程 x2 kx 2 0(k R) 的两个虚根为 x1, x2 ，若 x1 x2 2 ，则 k __________. 【答案】 2 【解析】 x1 x2 8 k2 i 8 k2 2
V
V外
V内
4 3
(
R外3
R内3 )
，解得 R内
3
125 8
1065 79
2.2462
11. 已知{an},{bn}均是等差数列， cn an bn ，若{cn} 的前三项是 7,9,9，则 c10 _________. 【答案】-47
c1 7
a b c 7
a 1
【解析】设 cn an2 bn c ，由 c2 9 可得 4a 2b c 9 ，解得 b 5 ，
x t
（2）联立
x
2
4
y2 2
，可得 1
A(t,
2 t2 ) ，故 AB 2
2
4 t2 ， AM 2t
S
MAB
1 2
AB
AM
2t
4t2
2 t2 4 t2 2 2 ，当且仅当 t 2
2 时等号成立
此时直线 MB 的方程为 x 2y 0
（3）设 M (x0 , y0 ) ， A(x1, y1) ， B(x1, y1)
（1）设
A
池
x
小时候，污物的量减少一半，可列方程： 0.9x
1 2
，解得：
x
log0.9
1 2
7
即要用 7 小时才能把污物的量减少一半。
（2）
（本题说实话，笔者语文能力有限，如果合在一起干，1 小时内不管先 A 再 B 还是先 B 再
A 都是原污物量的 0.9 0.81：）
设原本污物量为 a，则 x 小时后，污物量为 a 0.9 0.81x 0.1a ，故 x log0.729 0.1 8
高三学习答疑扯皮群 QQ：958330511
answers written by：学而思王万卿老师
20. 已知直线 l：x t(0 t 2) 与椭圆 : x2 y2 1相交于 A、B 两点，其中 A 在第一象限， 42
M 是椭圆上的一点. （1）记 F1、F2 是椭圆 的左右焦点，若直线 AB 过 F2 ，当 M 到 F1 的距离与到直线 AB 的距 离相等时，求点 M 的横坐标； （2）若点 M、A 关于 y 轴对称，当 MAB 的面积最大时，求直线 MB 的方程； （3）设直线 MA 和 MB 与 x 轴分别交于 P、Q，证明： OP OQ 为定值.
A. 当 a 0 ， b 0 时，辅助角 arctan b a
B. 当 a 0 ， b 0 时，辅助角 arctan b a
C. 当 a 0 ， b 0 时，辅助角 arctan b a
D. 当 a 0 ， b 0 时，辅助角 arctan b a
【答案】B 【解析】辅助角公式中的辅助角满足 tan b 同时 在 (a,b) 所在象限。B 选项中 应该在
宝山区 2019 学年第一学期期末
高三年级数学学科教学质量监测试卷
（120 分钟，150 分） 一、填空题（本题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，要求在答 题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。 1. 若 z(1 i) 2i （i 是虚数单位），则 | z | __________.
则直线
MA：
y
y0 x0
y1 x1
(x
x0 )
y0 ，当
y
0 时，可得
xp
x0
y0 (x0 x1) y0 y1
x1 y0 y0
x0 y1 y1
同理可得：
xQ
x1 y0 y0
x0 y1 y1
OP OQ xP xQ
x1 y0 x0 y1 x1 y0 x0 y1
y0 y1
y0 y1
C1EB 即为异面直线 C1E 和 AD 的夹角，记为
由余弦定理可得 cos 42 22 10 5 242 8
故 arccos 5 8
18. 已知函数 f (x) sin x cos( x) 3 sin x cos x . 2
高三学习答疑扯皮群 QQ：958330511
answers written by：学而思王万卿老师
a 第四象限，但是选项中给出的是在第二象限，故错误。
三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD 60o ，
DD1 3 ，E 是 AB 的中点.
（1）求四棱锥 C1 EBCD 的体积；
B. f (x) | x | 2cos x
C.
f
(
x）=
x2
1 x2
,
x
0
0, x 0
D. f (x) 10|lg x|
【答案】A
【解析】A
选项
f
(x)
log2(2 x
1 )
2x
，容易看出满足条件；
B 选项 x 0 时， f (x) x 2cos x ， f (7 ) 7 3 5.4 ， f (3 ) 3 4.71，不递增；
则弦长的一半 r2 d 2 15
10. 有一个空心钢球，质量为 142g，测得外直径为 5cm，则它的内直径是________cm. （钢的密度为 7.9g/ cm3 ，精确到 0.1cm）
【答案】4.5 【解析】钢球的体积为V m 142g 1420 cm3 ，由球的体积公式可得：
7.9g / cm3 79
x12 y02 x02 y12 y02 y12
由点在椭圆上， x02 4 2y02 ， x12 4 2y12 ，代入上式可得 OP OQ 4 为定值。
高三学习答疑扯皮群 QQ：958330511
answers written by：学而思王万卿老师
21. 已知数列{an}满足 a1 1， a2 e （e 是自然对数的底数），且 an2 an1 an ，
2
62
故函数的最小正周期为
，对称中心为
k 2
12
,
1 2
,
k
Z
（2）即 a sin(2x ) 1 在区间 x [0, ] 上有两解
62
2
函数 f (x), x [0, ] 图像如右图所示， 2
可得
a [0,
1) 2
，两根关于
6
对称，故
x1
x2
3
19. 一家污水处理厂有 A、B 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池 用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的 10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉 池中剩余污物的 19%. （1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到 1 小时） （2）如果污物减少为原来的 10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若 A、B 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到 1 小时）. 【解析】
4. 2019 年女排世界杯共有 12 支参赛球队，赛制采用 12 支队伍单循环，两两捉对厮杀一场 定胜负，依次进行，则此次杯赛共有__________场球赛. 【答案】66 【解析】 C122 66
5. 以抛物线 y2 6x 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是____________.
（2）求异面直线 C1E 和 AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）.
【解析】
（1）
S底
3 4
2
3 4
22
33 2
， VC1 EBCD
1 3 S底
DD1
3 3 2
（2）如图所示，过 E 点作 AD 的平行线，交 CD 于点 F
则，线段 EF AD 2 ，线段 FC1 10 ，线段 EC1 4
（1）求函数 f (x) 的最小正周期及对称中心；
（2）若
f
(x)
a
在区间[0, ] 上有两个解 2
x1、x2
，求
a
的取值范围及
x1
x2 的值.
【解析】
（1） f (x) sin2 x 3 sin x cos x 1 cos 2x 3 sin 2x 1 sin(2x ) 1
2
2
c3 9
9a 3b c 9
c 3
高三学习答疑扯皮群 QQ：958330511
answers written by：学而思王万卿老师
即 cn n2 5n 3 ，故 c10 47
12. 已知 a b 0 ，那么，当代数式 a2 16 取最小值时，点 Pa,b 的坐标为______.
66
22
C 选项在给定区间不单调，D 选项非奇非偶函数函数，故答案选 A.
15. 已知平面、、 两两垂直，直线 a、b、c 满足 a ，b ，c ，则直线 a、b、c
不可能满足的是（ ）.
A. 两两垂直
B. 两两平行 C. 两两相交
D. 两两异面
【答案】B
高三学习答疑扯皮群 QQ：958330511
【答案】
x
3 2
2
y2
9
【解析】抛物线
y2
6x
的焦点为
3 2
,
0
，准线方程为
x
3 2
，故圆的半径为
3
6. 在 1 x5 1 x3 的展开式中， x3 的系数为_________.
高三学习答疑扯皮群 QQ：958330511
answers written by：学而思王万卿老师
【答案】-9 【解析】 C53 (1)3 C50 (1)0 9 7. 不等式 x x2 2 x2 3x 6 的解集为_________.