圆和椭圆的参数方程导学案

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《椭圆的参数方程》教学案2

《椭圆的参数方程》教学案2【教学目的】1. 通过探究活动，了解椭圆参数方程及椭圆规的设计原理；2. 有应用参数的意识，能用椭圆参数方程解决一些简单问题；3. 通过观察，探索的学习过程，培养探究能力和创新意识.【教学重点】椭圆的参数方程的建立.【教学难点】椭圆参数方程的应用.【教学过程】一、自主探究，发现新知探究1：如图，以原点O 为圆心，,a b （0a b >>）为半径分别作两个同心圆.设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B . 过点A 、B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M ，求点M 的轨迹.利用Excel 图表功能，及几何画板直观点M 的轨迹，结合三角消元得出椭圆的参数方程.借助几何画板解释椭圆参数方程中参数的几何意义.二、分组讨论，体验应用探究2：椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示. 在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A ,B , 它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.你能说明它的构造原理吗？（提示：可以用直尺AB 和横槽所成的角为参数，求出点M 的轨迹的参数方程. ）思考椭圆规的发现过程：源于探究1.⊗⊗*AB M xy M B O A三、动手实践，深化知识探究3：已知椭圆22:194x y C +=. （1）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值；（2）若(,)P x y 是椭圆C 上任一点，求=+z x y 2的最值；（3）设(3,0)A ，(0,2)B ，D 为椭圆位于第一象限的弧上的一点，求四边形OADB 面积的最大值；（4）在椭圆C 上求一点M ，使点M 到直线2100x y +-=的距离最小，并求出最小值.体会椭圆参数方程的应用.四、学生小结布置作业：课本29P 思考题【教学后记】。

高中数学第二章参数方程 2.3 参数方程的应用第2课时圆、椭圆的参数方程的应用学案苏教版选

2016-2017学年高中数学第二章参数方程2.3 参数方程的应用第2课时圆、椭圆的参数方程的应用学案苏教版选修4-4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章参数方程2.3 参数方程的应用第2课时圆、椭圆的参数方程的应用学案苏教版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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圆、椭圆的参数方程的应用1．能用曲线的参数方程去研究曲线的性质．2．会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题．[基础·初探]1．圆的参数方程圆的参数方程的常见形式为错误!（α为参数）．其中，参数α的几何意义是以圆心A（a,b）为顶点，且与x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径成的角．2．椭圆的参数方程椭圆的参数方程的常见形式为错误!（θ为参数）．[思考·探究］1．椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？【提示】椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)和圆x2＋y2＝r2普通方程都是平方和等于1的形式,故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同．2．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义是什么？【提示】从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令错误!椭圆错误!＋错误!＝1可以变成圆x′2＋y′2＝1.利用圆x′2＋y′2＝1的参数方程错误!（φ是参数)可以得到椭圆错误!＋错误!＝1的参数方程错误!（φ是参数）．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA（或OB)的旋转角(称为离心角），而不是OM的旋转角，如图．［质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们"探讨交流：疑问1:_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问4：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________圆的参数方程的应用在圆x2＋2x＋y2＝0上求一点，使它到直线2x＋3y－5＝0的距离最大．【自主解答】圆的方程x2＋2x＋y2＝0可化为(x＋1）2＋y2＝1,所以设圆的参数方程为错误!设P(－1＋cos θ,sin θ)，则点P到直线2x＋3y－5＝0的距离为d＝错误!＝错误!＝错误!(其中sin α＝错误!，cos α＝错误!)．当sin(θ＋α)＝－1，θ＋α＝错误!,即θ＝错误!－α时，d取到最大值错误!,此时x＝－1＋cos θ＝－1－错误!，y＝sin θ＝－错误!，即点P（－1－错误!，－错误!）即为所求．[再练一题]1．已知点P（x，y）在圆x2＋y2＝1上，求x2＋2xy＋3y2的最大值和最小值．【解】圆x2＋y2＝1的参数方程为错误!(α为参数)．∴x2＋2xy＋3y2＝cos2α＋2cos αsin α＋3sin2α＝错误!＋sin 2α＋3×错误!＝2＋sin 2α－cos 2α＝2＋错误!sin(2α－错误!)．则当α＝kπ＋错误!(k∈Z)时，x2＋2xy＋3y2取最大值为2＋错误!，当α＝kπ－错误!(k∈Z）时,x2＋2xy＋3y2取最小值为2－错误!.椭圆参数方程的应用22(1)x＋y的最大值；（2）x2＋y2的取值范围．【导学号:98990035】【思路探究】本题表面上看是代数题，但由于方程3x2＋2y2＝6x可以表示一个椭圆，故可以用椭圆的参数方程来解．【自主解答】方程3x2＋2y2＝6x，即(x－1)2＋错误!＝1。

圆的参数方程学案

圆的参数方程学案【学习目标】1、分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

2、能选取适当的参数，求圆的参数方程3、利用圆的几何性质求最值。

【学习重点】能选取适当的参数，求圆的参数方程【学习难点】圆的参数方程的应用一、【新知探究】 1、圆心为(0,0),半径为r 的圆的参数方程（1）根据右图如何建立圆的参数方程？（2）若取∠MOY=θ，如何建立圆的参数方程？2、圆心为(a,b),半径为r 的圆的参数方程是什么？3、你能总结求曲线参数方程的步骤吗？（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；（2）；（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立；（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程。

二、【典型例题】【例1】指出参数方程2cos 5()32sin x y ααα=-⎧⎨=+⎩为参数所表示的圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。

【例2】已知两条曲线的参数方程125cos 4cos 45:(:(5sin 3sin 45x x t C C t y y t θθθ⎧==+⎧⎪⎨⎨==+⎪⎩⎩ 为参数）和为参数）（1）判断这两条曲线的形状；（2）求这两条曲线的交点坐标。

最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）【例3】已知点P （x ，y ）是圆x 2+y 2- 6x- 4y+12=0上动点，求：（1） x 2+y 2 的最值，（2）x+y 的最值，（3）P 到直线x+ y - 1=0的距离d 的最值。

【变式1】若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，求x-2y 的最大值。

三、【当堂检测】1、参数方程⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x （-22πθπ≤≤）表示的图形是以原点为圆心，半径为3的（） A ．左半圆 B.上半圆 C. 下半圆 D.右半圆2、点（1，2）在圆⎩⎨⎧=+-=θθsin 8cos 81y x 的（） A.内部 B.外部 C.圆上 D.与θ值有关3、圆为参数）θθθ(sin 2cos 2⎩⎨⎧==y x 上的点到（3，4）的最小距离为 .4、若点（x ，y ）在圆为参数）θθθ(sin 24cos 23⎩⎨⎧+=+=y x 上，则x 2+y 2+3x 的最小值为 .5、已知圆的参数方程是5cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（1）圆心坐标为________ ，半径为_______，圆的标准方程为__________________。

《2. 圆的参数方程》导学案(新部编)3

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2. 圆的参数方程》导学案3课标解读1.了解曲线的参数方程的概念与特点．2．理解圆的参数方程的形式和特点． 3．运用圆的参数方程解决最大值、最小值问题.知识梳理1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t y ＝gt①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程．图2－1－12．圆的参数方程(1)如图2－1－1所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0开始出发，按逆时针方向在圆上运动，设M (x ，y )，点M 转过的角度是θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ·cos θy ＝r ·sin θ(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程．(2)圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的普通方程与参数方程思考探究曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？【提示】联系x 、y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数．圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度.课堂互动探究例题1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝at 2(t 为参数，a ∈R )，点M (－3,4)在曲线C 上．(1)求常数a 的值；(2)判断点P (1,0)、Q (3，－1)是否在曲线C 上？【思路探究】 (1)将点M 的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x ，y ，消去参数t ，求a 即可；(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．【自主解答】 (1)将M (－3,4)的坐标代入曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝1＋2t ，4＝at 2，消去参数t ，得a ＝1.(2)由上述可得，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，把点P 的坐标(1,0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝1＋2t ，－1＝t 2，这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上．点与曲线的位置关系满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上．(1)对于曲线C 的普通方程f (x ，y )＝0，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则点M (x 1，y 1)的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 1，y 1)＝0，若点N (x 2，y 2)不在曲线上，则点N (x 2，y 2)的坐标不是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 2，y 2)≠0.(2)对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft y ＝g t(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝ft y 1＝g t对应的参数t 有解，否则参数t 不存在．(2013·周口质检)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)．判断点A (2,0)，B (－3，32)是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．【解】把点A (2,0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ得cos θ＝1且sin θ＝0，由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，因此点A (2,0)在曲线C 上，对应参数θ＝0，同理，把B (－3，32)代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.又0≤θ<2π，∴θ＝56π，所以点B (－3，32)在曲线C 上，对应θ＝56π.圆的参数方程及应用例题2 设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ，(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【思路探究】化参数方程为普通方程，根据圆心到直线l 的距离与半径大小作出判定．【自主解答】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ.得(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.曲线C 表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆，则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝710＝71010<3，所以直线与圆相交．所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d <71010，故满足题意的点有2个．【答案】 B1．本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系． 2．参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断．特别要注意变量的取值范围．已知直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，(α为参数)相交于两点A 和B ，求弦长|AB |.【解】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y －2＝2sin α.∴(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径r ＝2，则圆心(1,2)到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|12＋－12＝22. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝222－222＝14.例题3 如图2－1－2，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，求线段PA 的中点M 的轨迹．图2－1－2【思路探究】引入参数→化为参数方程→ 设动点M (x ，y )――→代入法求动点的参数方程→确定轨迹【自主解答】设动点M (x ，y )，∵圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，(θ为参数)，∴设点P (4cos θ，4sin θ)，由线段的中点坐标公式，得x ＝4cos θ＋122，且y ＝4sin θ2， ∴点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ.因此点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．1．引入参数，把圆的普通方程化为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，，其实质就是三角换元，利用了三角恒等式sin 2 θ＋cos 2θ＝1.2．圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θy ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)表示圆心为(x 0，y 0)，半径为r 的圆．已知点M (x ，y )是圆x 2＋y 2＋2x ＝0上的动点，若4x ＋3y －a ≤0恒成立，求实数a 的取值范围．【解】由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，又点M 在圆上， ∴x ＝－1＋cos θ，且y ＝sin θ，因此4x ＋3y ＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tan φ＝43确定)∴4x ＋3y 的最大值为1.若4x ＋3y －a ≤0恒成立，则a ≥(4x ＋3y )max ，故实数a 的取值范围是[1，＋∞).求曲线的参数方程例题4 已知边长为a 的等边三角形ABC 的顶点A 在y 轴的非负半轴上移动，顶点B 在x 轴的非负半轴上移动，求顶点C 在第一象限内的轨迹的参数方程．【思路探究】先画出图形，选取角为参数，建立动点的坐标的三角函数即可．【自主解答】如图，设C 点坐标为(x ，y )，∠ABO ＝θ，过点C 作x 轴的垂线段CM ，垂足为M .则∠CBM ＝23π－θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ＋a cos 23π－θ，y ＝a sin 23π－θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ＋π6，y ＝a sinθ＋π3.(θ为参数，0≤θ≤π2)为所求．求曲线的参数方程的方法步骤(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M 的坐标； (2)写出适合条件的点M 的集合； (3)用坐标表示集合，列出方程； (4)化简方程为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点)．若本例中的等边三角形变化为等腰直角三角形，AC 为斜边，腰为a ，其余条件不变，如何求顶点C 在第一象限内的轨迹的参数方程？【解】法一如图，设C 点坐标为(x ，y )，∠ABO ＝θ，过点C 作x 轴的垂线段CM ，垂足为M .则∠CBM ＝π2－θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ＋a cos π2－θy ＝a sin π2－θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ＋a sin θ，y ＝a cos θ，(θ为参数，0≤θ≤π2)为所求．法二如图，设C 点坐标为(x ，y )，|OB |＝t,0≤t ≤a . 过点C 作x 轴的垂线段CM ，垂足为M ，则Rt △ABO ≌Rt △BCM . ∴|OA |＝a 2－t 2，|BM |＝a 2－t 2，|MC |＝t ，∴⎩⎨⎧x ＝t ＋a 2－t 2，y ＝t ，(t 为参数，0≤t ≤a )为所求．当堂练习1．下列方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝m .(m 为参数)(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝n .(m ，n 为参数)(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.(4)x＋y ＝0中，参数方程的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】由参数方程的概念知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m y ＝m 是参数方程，故选A.【答案】 A2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t2y ＝t －1与x 轴交点的直角坐标是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,0)D ．(±2,0)【解析】设与x 轴交点的直角坐标为(x ，y )，令y ＝0得t ＝1，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2，∴曲线与x 轴的交点的直角坐标为(2,0)．【答案】 C 3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2(t 为参数)表示的曲线是( )A ．两条直线B ．一条射线C ．两条射线D ．双曲线【解析】当t >0时⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ＝2，是一条射线；当t <0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，y ＝2，也是一条射线，故选C.【答案】 C4．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________.【解析】当y ＝1时，t 2＝1，∴t ＝±1，当t ＝1时，x ＝2；当t ＝－1时，x ＝0. ∴x 的值为2或0.【答案】 2或0课后练习(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2＋2t(t 为参数)的曲线必过点( )A ．(1,2)B ．(－2,1)C ．(2,3)D ．(0,1)【解析】代入检验知曲线经过点(2,3)．【答案】 C2．已知O 为原点，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则OA ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 OA ＝x 2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选A. 【答案】 A3．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2的圆心坐标是( )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0，－2)D ．(－2,0)【解析】 ∵x ＝2cos θ，y －2＝2sin θ，∴x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆心坐标是(0,2)，故选A.【答案】 A4．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θy ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π)B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋5cos θy ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π)C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<π)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)【解析】圆心在点C (a ，b )，半径为r的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)．【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．若点(－3，－33)在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θy ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.【解析】将点(－3，－33)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θy ＝6sin θ(θ为参数)得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－12，sin θ＝－32，解得θ＝4π3＋2k π，k ∈Z .【答案】4π3＋2k π，k ∈Z 6．(2013·陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．图2－1－3【解析】将x 2＋y 2－x ＝0配方，得(x －12)2＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)三、解答题(每小题10分，共30分) 7．已知曲线C的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2sin θy ＝2－cos θ(θ为参数，0≤θ<2π)，试判断点A (1,3)，B (0，52)是否在曲线C 上．【解】将A (1,3)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2sin θ，y ＝2－cos θ，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝1＋2sin θ3＝2－cos θ，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，由0≤θ<2π得θ＝π.将B (0，52)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2sin θ，y ＝2－cos θ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋2sin θ52＝2－cos θ，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－12，cos θ＝－12，这样的角θ不存在．所以点A 在曲线C 上，点B 不在曲线C 上．8．已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．【解】 (1)由ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求，由圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2，令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)．(2)由(1)知，x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin(α＋π4)，又－1≤sin(α＋π4)≤1.故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.9．已知圆系方程为x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0(a >0，且为已知常数，φ为参数) (1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值．【解】 (1)由已知圆的标准方程为： (x －a cos φ)2＋(y －a sin φ)2＝a 2(a >0)．设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝a sin φ(φ为参数)，消参数得圆心的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.(2)由方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0x 2＋y 2＝a2得公共弦的方程：2ax cos φ＋2ay sin φ＝a 2，即x cos φ＋y sin φ－a2＝0，圆x 2＋y 2＝a 2的圆心到公共弦的距离d ＝a2为定值．∴弦长l ＝2a 2－a22＝3a (定值)．。

2.2圆和椭圆的参数方程

2.2圆和椭圆的参数方程学习目标：1.圆的参数方程与普通方程的互化；2.了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义；3. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题.学习重点：椭圆参数方程的应用，学习难点：椭圆参数方程中参数的意义.学习过程：（一）复习旧知（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即并且对于t 的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M （x,y ）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数。

参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数（2）相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。

（二）新课学习：探究1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？例题讲解1、直线y ax b =+通过第一、二、四象限，则圆cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数的圆心位于（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、圆22(1)4x y -+=上的点可以表示为（）A 、(1cos ,sin )θθ-+B 、(1sin ,cos )θθ+C 、(12cos ,2sin )θθ-+D 、(12cos ,2sin )θθ+ 3、圆cos ()sin 2x r r r y r θθθ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数,r>0的直径是4，则圆心坐标是． 4、点(,)x y 是曲线2cos :()sin x C y θθθπθ=-+⎧≤<⎨=⎩为参数,0上任意一点，则y x 的取值范围是．探究3：如图，以原点为圆心，分别以a ，b （0a b >>）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN Ox ⊥，垂足为N ，过点B 作BM AN ⊥，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.2．根据以上的解法，可求得椭圆22221b a y x +=（0a b >>）的参数方程是：cos sin x b y a θθ=⎧⎨=⎩为参数（）. 注意：椭圆的参数方程中离心角θ的的几何意义是：是xOA θ∠=，不是xOM θ∠=.5.把下列普通方程化为参数方程.（1）22149x y += （2） 22116y x += 6.已知A 、B 两点是椭圆22194y x +=与坐标轴正半轴的两个交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAPB 的面积最大.7.点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离．三、总结提升：1.椭圆的参数方程对于解决与椭圆上的点有关的最值问题，有很大的优越性，具体表现在最大距离、最小距离、最大面积等；在求解过程中，将问题转化为三角函数的问题，利用三角函数求最值.2.椭圆参数方程中的参数θ的几何意义，一定要利用图形观察弄清楚.教学反思：在课堂中，对学生完成课堂练习的情况进行分析，分析学生的解题情况，通过提问其他学生，让全班学生帮助分析错题原因，做到讲、练、评的有效结合。

《椭圆的参数方程》导学案

《椭圆的参数方程》导学案
《椭圆的参数方程》导学案
【学习目标】
（1）理解椭圆参数方程的形成过程和参数的几何意义；
（2）会进行椭圆参数方程与普通方程之间的互化；
（3）会用椭圆的参数方程解决动点最值的相关问题。

【重点难点】
重点：椭圆参数方程的形成过程；椭圆参数方程解
决动点最值问题；
难点：参数的几何意义。

【学法指导】
引导探究法，启发式教学
【学习过程】
问题1：圆心在原点，半径为的圆的参数方程是什么？
参数的几何意义：
问题2：
如下图，以原点为圆心，分别以为半径作两个圆，
点是大圆半径与小圆的交点，过点作，垂足为，过点作，垂足为。

当半径绕点旋转时，点的轨迹是什么？
问题3：圆的参数方程中，引入了旋转角作为参数，椭
圆中可以引入哪个变量作为参数？
问题4：为什么引入作为参数？
问题5：怎样建立椭圆的参数方程？
问题6：怎样说明这个参数方程表示的就是椭圆？
问题7：参数有怎样的几何意义？
椭圆的参数方程中的几何意义与圆的参数方程中的几何意义相同吗？
总结：椭圆的参数方程为：
课堂练习：
（1）椭圆的参数方程为：
（2）（为参数）普通方程为：
例1．求椭圆的内接矩形的最大面积。

例2.在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点；（1）求的最大值；
（2）求点到直线距离的最小值。

小结：这节课你学到了什么？
课后思考：（1）推导焦点在轴上椭圆的参数方程；
（2）椭圆还有别的参数方程形式吗？。

高一数学必修2第4章圆与方程的导学案

高一数学必修2导学案主备人: 备课时间: 备课组长:圆的标准方程一、学习目标学问与技能：1、驾驭圆的标准方程，能依据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培育学生能用解析法探讨几何问题的实力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，留意培育学生视察问题、发觉问题和解决问题的实力。

情感看法与价值观：通过运用圆的学问解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热忱和爱好。

二、学习重点、难点：学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会依据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

三、运用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后细致审题，细致思索、独立规范作答。

2、不会的，模棱两可的问题标记好。

3、对小班学生要求完成全部问题，试验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上四、学问链接： 1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与肯定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究)A 问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，推断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.依据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.依据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 六、达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试推断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。

2019-2020学年高中数学第2章参数方程2.2椭圆的参数方程学案新人教A版选修.doc

2019-2020学年高中数学第2章参数方程2.2椭圆的参数方程学案新人教A 版选修一、三维目标1.知识与技能:(1).椭圆的参数方程.(2).椭圆的参数方程与普通方程的关系。

二、学习重难点学习重点：椭圆参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转化学习难点：(1)椭圆参数方程的建立及应用.(2)椭圆的参数方程与普通方程的互化三、学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习四、知识链接:将下列参数方程化成普通方程1 )(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 2 )(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==a y b x 五、学习过程(一)椭圆的参数方程1.焦点在x 轴: _______2.焦点在y 轴: _______(二)典型例题例1参数方程与普通方程互化1把下列普通方程化为参数方程. (1)19422=+y x (2)11622=+y x2把下列参数方程化为普通方程(1) )(sin 5cos 3为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x (2) )(sin 10cos 8为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y xA 练习：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ，则此椭圆的长轴长为______，短轴长为_______，焦点坐标是________，离心率是________。

B 例2、在椭圆8822=+y x 上求一点P ，使P 到直线l ：04=+-y x 的距离最小.2cos sin x y θθθ=⎧⎨=⎩的最大值和最小值吗？求出的前提下，满足进行类比，你能在实数与简单的线性规划问题思考：y x z y x y x 211625,22-==+C 例3、已知椭圆 16410022=+y x 有一内接矩形ABCD,求矩形ABCD 的最大面积。

《圆的参数方程》教学案2

《2. 圆的参数方程》教学案1教学目标：1．了解参数方程的定义，了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义；2．理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用；3．会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

教学重点：使学生能进行曲线的参数方程与普通方程的互化；教学难点：理解直线、圆、椭圆的参数方程及其应用。

基础知识：1．参数方程的定义：2．过点),,(000y x p 倾斜角为α的直线的参数方程：⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）其中t 表示),,(000y x p 到上一点),(y x p 的有向线段p 0的数量。

3、圆的参数方程:圆心在点),,(00'y x o 半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数） 4、椭圆12222=+by a x 的参数方程。

⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数）一、课前预习： 1、方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x 表示的曲线是 ____2、下列方程中，当方程x y =2表示同一曲线的点 ____ （1）⎩⎨⎧==2t y t x （2）⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x sin sin 2 (3)⎩⎨⎧=+=t y x 11 (4)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=ty t t xos x tan 2cos 1213、参数方程⎩⎨⎧==θθ2cos sin y x （θ为参数）的普通方程是___________________.4、已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=θθsin 3sin 21y x （θ为参数，πθ20<<），试判断点)25,0(),3,1(B A 是否在曲线C 上. 二、例题：例1．求椭圆的参数方程（见教材P.40例1）变式训练1、已知椭圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x (θ为参数) 求（1）6πθ=时对应的点P 的坐标（2）直线OP 的倾斜角变式训练2、A 点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA=90°，其中O 为椭圆中心，求椭圆离心率e 的取值范围。

浙江省奉化中学高中数学第13节椭圆的参数方程学案

第13节椭圆的参数方程一、学习目标：(1).椭圆的参数方程.(2).椭圆的参数方程与普通方程的关系。

（3）．通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力二、学习重难点学习重点：椭圆参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转化学习难点：(1)椭圆参数方程的建立及应用.(2)椭圆的参数方程与普通方程的互化三、学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习四、知识链接:将下列参数方程化成普通方程1 )(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 2 )(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==a y b x五、学习过程：(一)椭圆的参数方程1焦点在x 轴: )(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x2焦点在y 轴: )(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==a y b x(二)典型例题例1参数方程与普通方程互化1把下列普通方程化为参数方程. (1)19422=+y x (2)11622=+y x2把下列参数方程化为普通方程(1) )(sin 5cos 3为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x (2) )(sin 10cos 8为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x练习：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ，则此椭圆的长轴长为______，短轴长为_______，焦点坐标是________，离心率是_-________。

例2、在椭圆8822=+y x 上求一点P ，使P 到直线l ：04=+-y x 的距离最小.2cos sin x y θθθ=⎧⎨=⎩的最大值和最小值吗？求出的前提下，满足进行类比，你能在实数与简单的线性规划问题思考：y x z y x y x 211625,22-==+例3、已知椭圆 16410022=+y x 有一内接矩形ABCD,求矩形ABCD 的最大面积。

六、课堂练习：( )?____________________),(,0cos 3sin 2cos 42222方程为那么圆心的轨迹的普通为参数、已知圆的方程为θθθθ=+--+y x y x)2,0(),3,1(),0,3(),3,2()sin 2,cos 3(1πθθθ、点、点、点、点所确定的曲线必过变化时，动点、当参数D C B A P 方程。

高中数学同步学案圆的参数方程椭圆的参数方程双曲线的参数方程

2.2 圆的参数方程2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程学习目标：1.了解圆锥曲线参数方程的推导过程.2.掌握圆和圆锥曲线的参数方程．(易错易混点)3.能用圆、椭圆参数方程解决有关问题．(难点)教材整理1 圆的参数方程 1．标准圆的参数方程已知一个圆的圆心在原点,半径为r,设点P(x,y)是圆周上任意一点,连结OP,令OP 与x 轴正方向的夹角为α,则α唯一地确定了点P 在圆周上的位置．作PM⊥Ox ,垂足为M,显然,∠POM＝α(如图)．则在Rt△POM 中有OM ＝OPcos α,MP ＝OPsin α,即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos α，y ＝rsin α(α为参数)．这就是圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程．参数α的几何意义是OP 与x 轴正方向的夹角．2．一般圆的参数方程以(a,b)为圆心,r 为半径的圆,普通方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2,它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos α，y ＝b ＋rsin α(α为参数,a,b 是常数)．填空：(1)圆心为(2,1),半径为2的圆的参数方程是________．(2)在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos αy ＝sin α(α为参数)中,圆的圆心是________,半径是________．(3)圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)上的点到O(0,0)的距离的最大值是________,最小值是________．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)．(2)由圆的参数方程知圆心为(－1,0),半径为1. (3)由圆的参数方程知圆心为(1,1),半径为1. ∵圆心到原点的距离为2,∴最大值为2＋1, 最小值为2－1.[答案] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)(2)(－1,0) 1 (3)2＋1 2－1教材整理2 椭圆与双曲线的参数方程 1．椭圆的参数方程 (1)椭圆的中心在原点标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1,其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数)．参数φ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角． (2)椭圆方程不是标准形式其方程也可表示为参数方程的形式,如(x －x 0)2a 2＋(y －y 0)2b2＝1(a ＞b ＞0),参数方程可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos φ，y ＝y 0＋bsin φ(φ为参数)．2．双曲线的参数方程当以F 1,F 2所在的直线为x 轴,以线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,双曲线的普通方程为x2a 2－y2b2＝1(a ＞0,b ＞0)．此时参数方程为(φ为参数)．其中φ∈[0,2π)且φ≠π2,φ≠3π2.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)椭圆参数方程中,参数φ的几何意义是椭圆上任一点的离心角．( ) (2)在椭圆上任一点处,离心角和旋转角数值都相等．( ) (3)在双曲线参数方程中,参数φ的范围为[0,2π)．( ) [解析] (1)√ 椭圆中,参数φ的几何意义就是离心角．(2)× 在四个顶点处是相同的,在其他任一点处,离心角和旋转角在数值上都不相等． (3)× 双曲线中,参数φ的范围是φ∈[0,2π)且φ≠π2,φ≠3π2.[答案] (1)√ (2)× (3)×求圆的参数方程【例1】圆(x －r)2＋y 2＝r 2(r>0),点M 在圆上,O 为原点,以∠MOx＝φ为参数,求圆的参数方程． [精彩点拨] 根据圆的特点,结合参数方程概念求解． [尝试解答] 如图所示,设圆心为O′,连结O′M ,∵O′为圆心, ∴∠MO′x＝2φ,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos 2φ，y ＝rsin 2φ.1．确定圆的参数方程,必须根据题目所给条件,否则,就会出现错误,如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos φ，y ＝rsin φ.2．由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程．1．已知点P(2,0),点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ上一动点,求PQ 中点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线．[解] 设中点M(x,y)．则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数),这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心,以12为半径的圆.椭圆的参数方程及其应用【例2】如图所示,已知点M 是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点,A(a,0)和B(0,b)是椭圆的两个顶点,O 为原点,求四边形MAOB 的面积的最大值．[精彩点拨] 本题可利用椭圆的参数方程,把面积的最大值问题转化为三角函数的最值问题求解． [尝试解答] M 是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点,由椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数),故可设M(acos φ,bsin φ),其中0＜φ＜π2,因此,S 四边形MAOB ＝S △MAO ＋S △MOB＝12OA·y M ＋12OB·x M ＝12ab(sin φ＋cos φ)＝22absin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4.所以,当φ＝π4时,四边形MAOB 面积的最大值为22ab ．本题将不规则四边形的面积转化为两个三角形的面积之和,这是解题的突破口和关键,用椭圆的参数方程,将面积表示为参数的三角函数求最大值,思路顺畅,解法简捷,充分体现了椭圆的参数方程在解决与椭圆上点有关最值问题时的优越性．2．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．[解] (1)因为－1＜1－t 21＋t 2≤1,且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1,所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝2sin α(α为参数,－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时,4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7,故C 上的点到l 距离的最小值为7.双曲线的参数方程及其应用【例3】如图所示,设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点,F 1,F 2是两个焦点,证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP|2.[精彩点拨] 将双曲线方程化为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos φ，y ＝tan φ，再利用三角运算进行证明．[尝试解答] 因为双曲线的方程为x 2－y 2＝1, 所以设P ⎝⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ.∵F 1(－2,0),F 2(2,0), ∴|PF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ＋22＋tan 2φ＝2cos 2φ＋22cos φ＋1, |PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cosφ－22＋tan 2φ＝2cos 2φ－22cos φ＋1, ∴|PF 1|·|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2φ＋12－8cos 2φ＝2cos 2φ－1. ∵|OP|2＝1cos 2φ＋tan 2φ＝2cos 2φ－1,∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP|2.1．与双曲线上点有关的问题,常利用其参数方程转化为三角的计算与证明问题． 2．对由参数方程给出的双曲线确定其几何性质问题,常将其化为普通方程后,再求解．3．求证：双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0,b>0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．[证明] 由双曲线x 2a 2－y2b2＝1,得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0,bx －ay ＝0, 设双曲线上任一点的坐标为(asec φ,btan φ), 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2,则d 1·d 2＝|absec φ＋abtan φ|b 2＋a 2·|absec φ－abtan φ|b 2＋(－a )2＝|a 2b 2(sec 2φ－tan 2φ)|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值).圆的参数方程的应用[探究问题]1．给定参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos α，y ＝b ＋rsin α，其中a,b 是常数．(1)如果r 是常数,α是参数,那么参数方程表示的曲线是什么？ (2)如果α是常数,r 是参数,那么参数方程表示的曲线是什么？[提示] (1)参数方程表示的曲线是以(a,b)为圆心,r 为半径的圆(r≠0)． (2)参数方程表示的曲线是过(a,b)点,且倾斜角为α的直线． 2．圆的参数方程中,参数有什么实际意义？[提示] 在圆的参数方程中,设点M 绕点O 转动的角速度为ω(ω为常数),转动的某一时刻为t,因此取时刻t 为参数可得圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos ωt，y ＝rsin ωt (t 为参数),此时参数t 表示时间．若以OM 转过的角度θ(∠M 0OM ＝θ)为参数,可得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ，y ＝rsin θ(θ为参数),此时θ具有明显的几何意义．3．利用圆的参数方程表示其上任意点坐标时有什么优越性？[提示] 将其横纵坐标只用一个参数(角)来表示,可将与点的坐标有关的问题转化为三角问题求解．【例4】设方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)表示的曲线为C.(1)判断C 与直线x ＋3y －2＝0的位置关系； (2)求曲线C 上的动点到原点O 的距离的最小值；(3)点P 为曲线C 上的动点,当|OP|最小时(O 为坐标原点),求点P 的坐标； (4)点M 是曲线C 上的动点,求其与点Q(－1,－3)连线中点的轨迹． [精彩点拨] 本题考查圆的参数方程的应用,以及运算和转化与化归能力． (1)利用圆心到直线的距离与半径的关系判断． (2)设P 的坐标表示出|OP|,利用三角函数知识求最值． (3)利用(2)取最小值的条件即可．(4)设出点M 的坐标,进而表示出MQ 中点坐标,即得轨迹的参数方程．[尝试解答] (1)曲线C 是以(1,3)为圆心,半径为1的圆,则圆心(1,3)到直线x ＋3y －2＝0的距离为|1＋3×3－2|12＋(3)2＝1,故直线和圆相切． (2)设圆上的点P(1＋cos θ,3＋sin θ)(0≤θ<2π)． |OP|＝(1＋cos θ)2＋(3＋sin θ)2＝5＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3, 当θ＝4π3时,|OP|min ＝1.(3)由(2)知,θ＝4π3,∴x＝1＋cos 4π3＝12,y ＝3＋sin 4π3＝32,P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(4)设MQ 的中点为(x,y)．∵M(1＋cos θ,3＋sin θ),Q(－1,－3),∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ－12＝12cos θ，y ＝－3＋3＋sin θ2＝12sin θ(θ为参数)．所以中点轨迹是以原点为圆心,12为半径的圆．1．与圆的参数方程有关的问题求解时,可直接利用参数方程求解,也可转化为普通方程问题求解． 2．与圆上点有关的距离最值问题,需建立目标函数求解时,常利用圆的参数方程,将圆上的点用角表示,从而将待求最值,转化为三角函数的最值问题求解,但要注意参数θ的取值范围．4．如图,设矩形ABCD 的顶点C 的坐标为(4,4),点A 在圆x 2＋y 2＝9(x≥0,y≥0)上移动,且AB,AD 两边分别平行于x 轴,y 轴．求矩形ABCD 面积的最小值及对应点A 的坐标．[解] 设A(3cos θ,3sin θ)(0＜θ＜90°),则|AB|＝4－3cos θ,|AD|＝4－3sin θ, ∴S＝|AB|·|AD|＝(4－3cos θ)(4－3sin θ) ＝16－12(cos θ＋sin θ)＋9cos θsin θ.令t ＝cos θ＋sin θ(1＜t≤2),则2cos θsin θ＝t 2－1.∴S＝16－12t ＋92(t 2－1)＝92t 2－12t ＋232＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫t －432＋72,∴t＝43时,矩形ABCD 的面积S 取得最小值72.此时⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＋sin θ＝43，cos θsin θ＝718，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝4±26，sin θ＝4∓26.∴对应点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，2－22或 ⎝⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22.1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数),则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0,－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)[解析] 由圆的参数方程知,圆心为(2,0)． [答案] D2．圆心在点(－1,2),半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π)B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π)C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<π)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)[解析] 圆心在点C(a,b),半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos θ，y ＝b ＋rsin θ(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2),半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)．[答案] D3．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为________．[解析] 由曲线C 的参数方程可以看出a ＝3,b ＝5,得a 2＝9,b 2＝5,⇒c 2＝4,所以e ＝c a ＝23.[答案] 234．双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的焦点坐标为________．[解析] 曲线C 的普通方程为x 29－y216＝1,得焦点坐标为F 1(－5,0),F 2(5,0)．[答案] (－5,0),(5,0)5．能否在椭圆x 216＋y212＝1上找一点,使这一点到直线x －2y －12＝0的距离最小．[解] 设椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝23sin φ(φ是参数,0≤φ＜2π)．则d ＝|4cos φ－43sin φ－12|5＝455⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3－3,当cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝1时, 即φ＝53π时,d min ＝455,此时对应的点为(2,－3)．。

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x
θ y M 圆与椭圆的参数方程导学案
教学目标：
知识与技能：了解圆与椭圆的参数方程及参数的的意义；
过程与方法：能选取适当的参数，求圆与椭圆的参数方程，利用参数方程求最值；情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 教学重点：圆、椭圆参数方程的定义与应用.
教学难点：选择适当的参数写出圆、椭圆的的参数方程，并利用其求最值.
问题1.回顾圆的标准方程 .
问题2.推导圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程：
在圆上任取点(,)M x y ，试用θ表示x 与y ：
其中参数θ的几何意义为： .
问题3. 怎样得到圆心在1(,)O a b ,半径为r 的圆的参数方程?
问题4.圆的参数方程的应用：
1.圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，Q （6，0）
是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点.当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程.
2. 已知(,)P x y 是圆C ：2264120x y x y +--+=上的点。

（1）求x y -的最大值与最小值；
（2）求22x y +的最大值与最小值.
（3）求 y x
的最小值与最大值；
问题5: 你能仿照圆的参数方程猜想出椭圆的参数方程吗？如下图，以原点为圆心，分别以,(0)a b a b >>为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，半径OA 绕点O 旋转，（1）试用半径OA 的旋转角ϕ表示出点M 的横纵坐标x ，y ，由此得参数方程；
（2）试消掉（1）中的参量ϕ，得出点M 的轨迹方程。

问题6: 你能仿照问题5写出椭圆（0a b >>）的参数方程吗？
问题7：椭圆的参数方程为
的几何意义是什么？
1.在椭圆的参数方程中，常数a 、b 分别是椭圆的和 . （其中a>b ）
2.ϕ称为离心角，规定参数ϕ的取值范围是
问题8:椭圆的参数方程的应用：
在椭圆2288x y +=上求一点P ，使P 到直线l ：40x y -+=的距离最小.(可以选择不同的解法)
ϕ,,b a )0(122
22>>=+b a b y a x 其中为参数)(sin cos ϕϕ
ϕ⎩⎨⎧==b y a x )0
(12222>>=+b a b
y a x O A M x y N B 122
22=+a
y b x
随堂检测：
1.设实数 x 、y 满足22(1)1x y +-=求(1) 34x y +；(2) 22x y +的最值.
2.动点(,)P x y 在曲线 22
y 194
x += 上变化，求23x y +的最大值和最小值.
随堂检测：
1.设实数 x 、y 满足22(1)1x y +-=求(1) 34x y +；(2) 22x y +的最值.
2.动点(,)P x y 在曲线 22
y 194
x += 上变化，求23x y +的最大值和最小值.。