圆知识点总结及典型例题.docx圆知识点总结及典型例题
圆的知识点总结及典型例题
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内;2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上;3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外; 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点;2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点;3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点;四、圆与圆的位置关系外离(图1)⇒ 无交点 ⇒ d R r >+; 外切(图2)⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+; 相交(图3)⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+;内切(图4)⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-; 内含(图5)⇒ 无交点 ⇒ d R r <-;五、垂径定理图1图3rR dA图2垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
圆的知识点总结和典型例题.docx圆的知识点总结和典型例题
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆⇒d r<⇒点C在圆;2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上;3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点;2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点;3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点;四、圆与圆的位置关系外离(图1)⇒无交点⇒d R r>+;外切(图2)⇒有一个交点⇒d R r=+;相交(图3)⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+;切(图4)⇒有一个交点⇒Ad R r =-;含(图5)⇒ 无交点 ⇒ d R r <-;rRd图3rR d五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
圆的知识点总结及典型例题
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内;2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上;3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外; 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点;2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点;3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点;四、圆与圆的位置关系外离(图1)⇒ 无交点 ⇒ d R r >+; 外切(图2)⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+; 相交(图3)⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+;内切(图4)⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-; 内含(图5)⇒ 无交点 ⇒ d R r <-;图3rR dA五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
(完整版)圆知识点总结与例题讲解
一、圆的概念与周长1.圆的定义:平面上的一种曲线图形。
2.将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。
圆心一般用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等.3.半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
半径一般用字母r表示。
把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
∆4.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
5.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径一般用字母d表示。
6.在同一个圆内,所有的半径都相等,所有的直径都相等。
7.在同一个圆内,有无数条半径,有无数条直径。
8.在同一个圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的一半。
用字母表示为:d=2r r =12d用文字表示为:半径=直径÷2 直径=半径×29.圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
△10.圆的周长总是直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。
我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率,用字母π表示。
圆周率是一个无限不循环小数。
在计算时,取π≈3.14。
世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
☆11.圆的周长公式:C=πd 或C=2πr圆周长=π×直径圆周长=π×半径×212.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
☆13.有一条对称轴的图形有:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形是:长方形有3条对称轴的图形是:等边三角形有4条对称轴的图形是:正方形有无数条对称轴的图形是:圆、圆环。
△14.圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴。
例题讲解:一、填空题△1、圆是()图形,()所在的直线是圆的(),圆有()条对称轴。
2、圆的周长是它的直径的()倍多一些,这个倍数是一个固定的数,我们把它叫(),常用字母()表示。
它是一个()小数,取两位小数是()。
(完整版)高中数学圆知识+习题总结.docx
1. 圆的定义及方程定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合 (轨迹 )标准方程(x - a)2+ (y - b)2= r 2 (r > 0)圆心: (a , b),半径: rx 2+ y 2+ Dx +Ey + F = 0,(D 2+圆心: -D ,-E,一般方程22E 2- 4F > 0)半径:1D 2+E 2- 4F22. 直线与圆的位置关系 (半径为 r ,圆心到直线的距离为 d)相离 相切相交图形方程< 0= 0> 0量观点 化几何d > rd = rd < r观点3. 圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1, r 2, d = |O 1O 2|)相离外切相交内切内含图形|r 1- r 2|< d <d > r 1+ r 2 d = r 1+ r 2 d = |r 1- r 2| d < |r 1- r 2| r 1+ r 24.弦长的 2 种求法(1) 代数法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式 > 0 的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长.(2) 几何法:若弦心距为 d ,圆的半径长为 r ,则弦长 l = 2 r 2- d 2.1.圆 (x- 1)2+ (y+ 2)2= 6 与直线 2x+ y- 5= 0 的位置关系是 ()A .相切B.相交但直线不过圆心C.相交过圆心D.相离2.若直线 x- y+ 1= 0 与圆 (x-a)2+ y2= 2 有公共点,则实数 a 的取值范围为 ________.圆 (x- 3)2+ (y- 3)2= 9 上到直线3x+ 4y- 11= 0 的距离等于 1的点的个数为 ()A . 1B. 2C. 3D. 43.过原点且与直线6x- 3y+ 1= 0平行的直线 l 被圆 x2+ (y-3)2= 7所截得的弦长为________.4.若圆 C1: x2+ y2= 1 与圆 C2: x2+ y2- 6x- 8y+ m= 0 外切,则 m= ()A. 21B. 19C. 9D.- 115.若圆 x2+ y2= 4 与圆 x2+ y2+ 2ay- 6= 0(a> 0)的公共弦长为 2 3,则 a= ________.6.已知点 M 是直线 3x+ 4y- 2=0 上的动点,点 N 为圆 (x+ 1)2+ (y+ 1)2= 1 上的动点,则 |MN |的最小值是 ()A .9B. 1 5413C.5D.51与圆 x2+ y2- 2x= 15 相交于点 A,B,则弦 AB 的垂直平分线方程的斜7.若直线 y=- x- 22截式为 ________.8.已知圆 M :x2+ y2- 2ay= 0(a> 0)截直线 x+ y= 0 所得线段的长度是 2 2,则圆 M 与圆 N:(x- 1)2+ (y- 1)2= 1 的位置关系是 ()A .内切B.相交C.外切D.相离9.已知圆 C 经过点 A(2,- 1),和直线x+ y= 1 相切,且圆心在直线y=- 2x 上.(1)求圆 C 的方程;(2)已知直线 l 经过原点,并且被圆 C 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程.。
圆的知识点总结及典型例题
一、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可即:∵且过半径外端∴是⊙的切线(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)二、切线长定理切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:∵、是的两条切线∴平分三、圆内正多边形的计算(1)正三角形在⊙中△是正三角形,有关计算在中进行:;(2)正四边形同理,四边形的有关计算在中进行,:(3)正六边形同理,六边形的有关计算在中进行,.四、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形:(1)弧长公式:;(2)扇形面积公式::圆心角:扇形多对应的圆的半径:扇形弧长:扇形面积2、圆柱:(1)圆柱侧面展开图=(2)圆柱的体积:(2)圆锥侧面展开图(1)=(2)圆锥的体积:典型例题例1.如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC=()A.130° B.100° C.50° D.65°例2.如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,且∠DCB=∠A.(1)CD与⊙O相切吗?如果相切,请你加以证明,如果不相切,请说明理由.(2)若CD与⊙O相切,且∠D=30°,BD=10,求⊙O的半径.例3.如图,已知正六边形ABCDEF,其外接圆的半径是a,•求正六边形的周长和面积.例4.已知扇形的圆心角为120°,面积为300cm2.(1)求扇形的弧长;(2)若将此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的轴截面面积为多少?例5、如图,已知在⊙O中,AB=,AC是⊙O的直径,AC⊥BD于F,∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.例6.如图,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形.(1)求这个扇形的面积(结果保留).(2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由.(3)当⊙O的半径为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.数学周测试卷一、选择题(共8小题;共40分)1. 如图,螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形,这个正六边形的半径是,则这个正六边形的周长是A. B. C. D.2. 已知扇形的半径为,圆心角为,则这个扇形的面积为 ( )A. B. C. D.3. 如图,与相切于点,的延长线交于点,连接,若,则等于 ( )A. B. C. D.4. 若正方形的边长为,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为A. ,B. ,C. ,D. ,5. 如图,扇形折扇完全打开后,如果张开的角度()为,骨柄的长为,扇面的宽度的长为,那么这把折扇的扇面面积为 ( )A. B. C. D.6. 如图,在矩形中,,.现将矩形绕点顺时针旋转得到矩形,则边扫过的面积(阴影部分)为 ( )T5 T6 T7 T8A. B. C. D.7. 如图,是的直径,点在上,过点作的切线交的延长线于点,连接,,若,则的度数是 ( )A. B. C. D.8. 如图,在中,,,点是边的中点,半圆与相切于点、,则阴影部分的面积等于 ( )A. B. C. D.二、填空题(共4小题;共20分)9. 扇形的半径为,且圆心角为,则它的弧长为.10. 如图,,分别与相切于点,,连接.,,则的长是.11. 已知的半径,则其内接正三角形的面积为.12. 如图,把一个半径为的圆形硬纸片等分成三个扇形,用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面(衔接处无缝隙且不重叠),则圆锥底面半径等于.三、解答题(共5小题;共65分)13. 小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型,如图所示,它的底面半径,高,求这个圆锥形漏斗的侧面积.14. 已知圆内接正三角形边心距为,求它的边长.15. 已知:如图,直线交于,两点,的垂线,切于点,过点作的直径.若,,求的直径.16. 如图所示,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条,的夹角为,长为,贴纸部分中的长为,求贴纸部分的面积.17. 如图,为上一点,点在直径的延长线上,.Ⅰ求证:是的切线;Ⅱ过点作的切线交的延长线于点,若,,依题意补全图形并求的长答案第一部分1. C2. B3. B4. B5. C6. C7. A8. B第二部分9.10.11.12.第三部分13. 根据题意,由勾股定理可知..圆锥形漏斗的侧面积.14. 如图:连接,过点作于点 .在中,三角形的边长为.15. 连接,过点作于点.为的切线,.,即.又,....,,.在中,设,,.,..,的直径为.16. 设,,答:贴纸部分的面积为.17. (1)连接.,.,.是的直径,.,即.为上一点,是的切线.(2)如图补全图形并连接.、是的切线,,,..可得...,...。
圆的基本性质知识点及经典例题总复习
圆的基本性质总复习(一)【知识理解】知识点一:圆的定义及相关概念1.圆:在同一平面内,线段OP绕它固定的一个端点 O旋转一周,另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆,定点O叫做圆心,线段OP叫做圆的半径.记作“⊙O”.第二种定义:到定点O的距离等于定长r的点的集合.弦;直径;注:在同一个圆中,直径是最长的弦,一个圆中有无数条弦和直径.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“⌒”表示.半圆;优弧;劣弧;等弧2. 等圆:半径相等的圆.同圆:同一个圆.同心圆:圆心相同,半径不相等的圆.知识点二:点与圆的位置关系设⊙O的半径为r,平面内任一点P到圆心的距离为d,则:⇔点在圆外⇔点在圆上⇔点在圆内知识点三:确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆知识点四:三角形的外接圆1、经过三角形的各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,这个外接圆的圆心叫做三角形的外心,三角形叫做圆的内接三角形.2、三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点注:一个三角形有且只有一个外接圆,而一个圆有无数个内接三角形知识点五:圆的对称性1、圆是轴对称图形,对称轴是直径所在的直线,每个圆都有无数条对称轴2、圆是中心对称图形,对称中心是圆心知识点六:图形的旋转由一个图形变为另一个图形,在运动的过程中,原图形上的所有点 都绕一个固定的点,按同一个方向,转动同一个角度,这样的图形改变叫做图形的旋转变换,简称旋转.这个固定的点叫做旋转中心.(1)旋转的三要素旋转中心、旋转方向、旋转角度(2)图形旋转的性质①图形经过旋转所得的图形和原图形全等;②对应点到旋转中心的距离相等;③任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.知识点七:垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的弧.弦心距:圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.垂径定理的逆定理:定理1.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.定理2:平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.总结: 如图, 对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.CD 是直径,CD ⊥AB, AM=BM,⌒AC =⌒BC ,⌒AD =⌒BD .知识点七:圆心角及圆心角定理圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量都相等.知识点八:圆周角及圆心角定理圆周角:顶点在圆上,两边都和角相交的角.注:同一条弦所对的圆周角有2个圆周角定理:圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半.推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是直角●O A B C D M └推论2:90°的圆周角所对的弦是直径推论3:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等.知识点九:圆的内接四边形圆的内接四边形:如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上,那么这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.定理一:圆内接四边形的对角互补.定理二:圆内接四边形的外角等于它的内对角(内角的对角).判定定理:(1)定理:如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点在同一个圆上(简称四点共圆).(2)推论:如果四边形的一个外角等于它内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.知识点十:正多边形各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形.经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆,这个正多边形叫做圆内接正多边形.任何正多边形都有一个外接圆.性质:(1)正n边形的内角度数的和为:,正n边形每个内角的度数为:;(2)任意正n边形的外角度数的和都为360°,正n边形每个外角的度数为;(3)正多边形是对称图形.当n为奇数时,是轴对称图形;当n为偶数时,既是轴对称图形,又是中心对称图形.知识点十一:弧长及扇形的面积1. 弧长公式半径为R的圆,周长公式为C=2πR半径为R的圆中,n°圆心角所对的弧长为:l=2. 扇形面积公式半径为R的圆,面积公式为S=πR2扇形半径为R,圆心角为n°,扇形弧长为l,扇形面积为S,则:S= =【知识应用】(例题)例1.有下列四个命题:①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④半径相等的两个半圆是等弧。
《圆》知识点及练习题
《圆》知识点及练习题一、圆的概念集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内;2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上;3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点;2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点;3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点;A四、圆与圆的位置关系外离(图1)⇒ 无交点 ⇒ d R r >+; 外切(图2)⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+; 相交(图3)⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+; 内切(图4)⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-; 内含(图5)⇒ 无交点 ⇒ d R r <-;五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
圆的知识点总结及典型例题.docx
圆的知识点总结(一)圆的有关性质[知识归纳]1. 圆的有关概念:圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆;弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高;圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
2. 圆的对称性圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴;圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;圆具有旋转不变性。
3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。
4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧;推论1(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就可推出另外三个:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;所对的弦的 弦心距相等。
推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中,满足下面四个条件中的任何一个就能 推出另外三个:①两个圆心角相等;②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也 相等; 推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
圆的知识点归纳总结和经典例题
圆 知识点1、圆是由曲线围成的平面封闭图形。
圆中心的一点叫圆心,用字母O 表示。
以某一点为圆心,可以画无数个圆。
连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径,用字母r 表示。
连接圆心并且两端都在圆上的线段叫直径,用字母d 表示。
2、圆有无数条半径,有无数条直径。
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。
在同一个圆中,所有的半径都相等,所有的直径都相等。
在同一个圆中,直径是半径的2倍,半径是直径的12。
3、车轮为什么是圆的?答:因为圆心到圆上各点的距离相等,所以圆在滚动时,圆心在一条直线上运动,这样的车轮运行才稳定。
4、圆内最长的线段是直径,圆规两脚之间的距离是半径。
5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径就是正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径就是长方形的宽6、把圆对折,再对折(对折2次)就能找到圆心。
因此,圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴,圆有无数条对称轴。
半圆只有1条对称轴。
7、如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,这时,我们也说这个图形关于这条直线的轴对称。
对称轴是一条直线。
8、常见的轴对称图形:等腰三角形(1条)、等边三角形(3条)、等腰梯形(1条)、长方形(2条)、正方形(4条)、圆(无数条)、半圆(1条)。
9、圆一周的长度就是圆的周长。
圆的周长总是直径的3倍多一些,圆的周长除以直径的商(圆的周长与直径的比值)是一个固定的数,我们把它叫做圆周率,用字母π表示, π是一个无限不循环小数,为了计算简便,通常取近似值3.14。
10、圆的周长=圆周率×直径 即 C 圆=πd 或圆的周长=圆周率×半径×2 即 C 圆=2πr 。
11、圆所占平面的大小叫圆的面积。
把圆等分的份数越多,拼成的图形就越接近。
可拼成近似平行四边形或近似长方形或近似三角形。
拼成的近似平行四边形的底相当于圆周长的一半,高相当于圆的半径;近似长方形的长相当于圆周长的一半,宽相当于圆的半径。
圆的基本性质知识点及典型例题
圆的基本性质一、知识点梳理★知识点一:圆的定义及有关概念1、圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
2、有关概念:弦、直径; 弧、等弧、优弧、劣弧、半圆; 弦心距 ; 等圆、同圆、同心圆。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
连接圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径,直径是最长的弦。
在同圆或等圆中,能够重合的两条弧叫做等弧。
★知识点二:平面内点与圆的位置关系:r 表示圆的半径, d 表示同一平面内点到圆心的距离,则有点在圆外;点在圆上;点在圆内。
例 1、如图,在Rt△ ABC中,直角边AB3,BC4,点E,F分别是BC ,AC的中点,以点 A 为圆心,AB的长为半径画圆,则点 E 在圆 A 的 _________ ,点F在圆 A 的 _________.例2、在直角坐标平面内,圆O的半径为,圆心O的坐标为 (1, 4) .试判断5点 P(3, 1) 与圆 O 的位置关系.例 3、下列说法中,正确的是。
(1)直径是弦,但弦不一定是直径;(2)半圆是弧,但弧不一定是直径;(3)半径相等的两个半圆是等弧;( 4)一条弦把圆分成两段弧中,至少有一段优弧。
例 4、有下列四个命题:( 1)直径相等的两个圆是等圆;( 2)长度相等的两条弧是等弧;( 3)圆中最大的弦是通过圆心的弦;(4)一条弦把圆分成两条弧,这两条弧不可能是等弧,其中真命题是。
★知识点三:垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。
推论:平分弦()的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的弧。
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
垂径定理最重要的应用是通过勾股定理来解决有关弦、半径、弦心距等问题例 1:下列语句中正确的是。
( 1)相等的圆心角所对的弧相等;( 2)相等的弧所对的弦相等;(3)平分弦的直径垂直于弦;(4)弦的垂直平分线必过圆心。
例 2、过⊙内一点 M的最长弦长为10cm,最短弦长为8cm,那么 OM的长为()( A) 3cm( B) 6cm( C)cm( D) 9cm例 3、如图所示 , 以为圆心的两个同心圆中 , 小圆的弦AB 的延长线交大圆于, 若AD BCO C =6,=1, 则与圆环的面积是OAB BC例 4、在半径为 5 厘米的圆内有两条互相平行的弦, 一条弦长为8 厘米 , 另一条弦长为 6 厘米 , 则两弦之间的距离为 _______.7 厘米或 1 厘米例 5、如图,矩形 ABCD与与圆心在 AB上的⊙ O交于点 G、 B、 F、 E, GB=8cm, AG=1cm,DE=2cm,则 EF=cm .例 6、如图所示,是一个直径为 650mm的圆柱形输油管的横截面,若油面宽 AB=600mm,求油面的最大深度。
圆的知识点总结及典型例题
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念: 1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2 、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3 、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);3 、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4 、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 d r 点C 在圆内;Adr2、点在圆上 d r 点B在圆上;OBd3、点在圆外 d r 点A在圆外;C三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 d r 无交点;2、直线与圆相切 d r 有一个交点;3、直线与圆相交 d r 有两个交点;r d=r r dd四、圆与圆的位置关系外离(图1)无交点 d R r ;外切(图2)有一个交点 d R r ;相交(图3)有两个交点R r d R r ;内切(图4)有一个交点 d R r ;内含(图5)无交点 d R r ;ddrR drR图 2R r图1图 3- 1 -五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理,简称 2 推3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论,即:①AB 是直径②AB CD ③CE DE ④弧B C 弧B D ⑤弧A C 弧AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。
圆的知识点总结及典型例题
圆的知识点总结及典型例题《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内; 2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上; 3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒点A 在圆外;A三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ⇒d r>⇒无交点;2、直线与圆相切 ⇒d r=⇒有一个交点;3、直线与圆相交 ⇒ d r<⇒有两个交点;四、圆与圆的位置关系外离(图1)⇒ 无交点 ⇒ d R r>+; 外切(图2)⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+;相交(图3)⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+;内切(图4)⇒有一个交点 ⇒ d R r =-;内含(图5)⇒ 无交点 ⇒ d R r <-;五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;图1图3rRd图2(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
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《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒d r <⇒ 点C 在圆内;2、点在圆上 ⇒d r =⇒ 点B 在圆上;3、点在圆外 ⇒d r >⇒ 点A 在圆外; 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒d r >⇒无交点;2、直线与圆相切 ⇒d r =⇒有一个交点;3、直线与圆相交 ⇒d r <⇒有两个交点;A四、圆与圆的位置关系外离(图1)⇒无交点 ⇒d R r >+; 外切(图2)⇒ 有一个交点 ⇒d R r =+; 相交(图3)⇒ 有两个交点 ⇒R r d R r -<<+;内切(图4)⇒ 有一个交点 ⇒d R r =-; 内含(图5)⇒ 无交点 ⇒d R r <-;五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD图1图3rRd图2中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。
此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即:①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =;③OC OF =;④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即:∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧; 即:在⊙O 中,∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。
即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径BDBA推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
即:在△ABC 中,∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即:在⊙O 中,∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒180B D ∠+∠=︒DAE C ∠=∠九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 (2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:BAO即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =PO 平分BPA ∠十一、圆幂定理(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。
即:在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ⋅=⋅(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即:在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥,∴2CE AE BE =⋅(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即:在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。
即:在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅DBA十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图:12O O 垂直平分AB 。
即:∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式:(1)公切线长:12Rt O O C ∆中,221AB CO ==(2)外公切线长:2CO 是半径之差; 内公切线长:2CO 是半径之和 。
十四、圆内正多边形的计算 (1)正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ∆中进行:::2OD BD OB =;(2)正四边形同理,四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行,::OE AE OA = (3)正六边形同理,六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行,::2AB OB OA =. 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形:(1)弧长公式:180n Rl π=;(2)扇形面积公式: 213602n R S lR π== n :圆心角 R :扇形多对应的圆的半径 l :扇形弧长 S :扇形面积2、圆柱:(1)圆柱侧面展开图2S S S =+侧表底=222rh r ππ+(2)圆柱的体积:2V r h π= (2)圆锥侧面展开图(1)S S S =+侧表底=2Rr r ππ+(2)圆锥的体积:213V r h π=典型例题例1.两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图1所示(点O ,O′是圆心),分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ 成一条直线,TP 、NP 分别为两圆的切线,求∠TPN 的大小.例2.如图,AB 为⊙O 直径,E 是BC 中点,OE 交BC 于点D ,BD=3,AB=10,则AC=_____.C 1D 1例3.如图,⊙O 的直径为10,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3,则弦AB 的长是( )例4.如图,在⊙O 中,AB 、CD 是两条弦,OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,垂足分别为EF . (1)如果∠AOB=∠COD ,那么OE 与OF 的大小有什么关系?为什么?(2)如果OE=OF ,那么AB 与CD 的大小有什么关系?AB 与CD 的大小有什么关系?•为什么?∠AOB 与∠COD 呢?例5.如图3和图4,MN 是⊙O 的直径,弦AB 、CD •相交于MN •上的一点P ,•∠APM=∠CPM . (1)由以上条件,你认为AB 和CD 大小关系是什么,请说明理由.(2)若交点P 在⊙O 的外部,上述结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由.D例6如图,点O 是△ABC 的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC=( )A .130°B .100°C .50°D .65°例7.如图,AB 为⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,D 在AB 的延长线上,且∠DCB=∠A . (1)CD 与⊙O 相切吗?如果相切,请你加以证明,如果不相切,请说明理由. (2)若CD 与⊙O 相切,且∠D=30°,BD=10,求⊙O 的半径.例8.如图所示,点A 坐标为(0,3),OA 半径为1,点B 在x 轴上. (1)若点B 坐标为(4,0),⊙B 半径为3,试判断⊙A 与⊙B 位置关系;(2)若⊙B 过M (-2,0)且与⊙A 相切,求B 点坐标.例9.如图,已知正六边形ABCDEF ,其外接圆的半径是a ,•P例10.在直径为AB 的半圆内,划出一块三角形区域,如图所示,使三角形的一边为AB ,顶点C 在半圆圆周上,其它两边分别为6和8,现要建造一个内接于△ABC •的矩形水池DEFN ,其中D 、E 在AB 上,如图24-94的设计方案是使AC=8,BC=6.(1)求△ABC 的边AB 上的高h .(2)设DN=x ,且,当x 取何值时,水池DEFN 的面积最大?(3)实际施工时,发现在AB 上距B 点1.85的M 处有一棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在,为了保护大树,请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.例11.操作与证明:如图所示,O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心,将一块半径足够长,圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处,并将纸板绕O 点旋转,求证:正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a .例12.已知扇形的圆心角为120°,面积为300cm 2.(1)求扇形的弧长;(2)若将此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的轴截面面积为多少?h DN NFh AB-=π例13、如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是弦,OD ⊥BC 于E ,交于D . (1)请写出五个不同类型的正确结论; (2)若BC =8,ED =2,求⊙O 的半径. 例14.已知:如图等边内接于⊙O ,点是劣弧PC 上的一点(端点除外),延长至,使,连结.(1)若过圆心,如图①,请你判断是什么三角形?并说明理由. (2)若不过圆心,如图②,又是什么三角形?为什么? 解题思路:(1)为等边三角形.是⊙O 的直径,,垂足为,平分是⊙(2)若,求的长.例16、如图,已知在⊙O 中,AB=,AC 是⊙O 的直径,AC ⊥BD 于F ,∠A=30°. (1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径. 例17.如图,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形.(1)求这个扇形的面积(结果保留).(2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由.⋂BC ABC △P BP D BD AP =CD AP O PDC △AP O PDC △PDC △AE CD ⊥E DA 301cm DBC DE ∠==,BD 3490πD图D图②B(3)当⊙O 的半径为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.例18.(1)如图OA 、OB 是⊙O 的两条半径,且OA ⊥OB ,点C 是OB 延长线上任意一点:过点C 作CD 切⊙O 于点D ,连结AD 交DC 于点E .求证:CD=CE(2)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动交OA 于F ,交⊙O 于B’,其他条件不变,那么上述结论CD=CE 还成立吗?为什么?(3)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动到⊙O 外的CF ,点E 是DA 的延长线与CF 的交点,其他条件不变,那么上述结论CD=CE 还成立吗?为什么例19、(2010山东德州)如图,在△ABC 中,AB=AC ,D 是BC 中点,AE 平分∠BAD交BC 于点E ,点O 是AB 上一点,⊙O 过A 、E 两点, 交AD 于点G ,交AB 于点F . (1)求证:BC 与⊙O 相切;(2)当∠BAC=120°时,求∠EFG 的度数.例20、(2010广东广州)如图,⊙O 的半径为1,点P 是⊙O 上一点,弦AB 垂直平分线段OP ,点D 是APB 上任一点(与端点A 、B 不重合),DE ⊥AB 于点E ,以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ,分别过点A 、B 作⊙D 的切线,两条切线相交于点C . (1)求弦AB 的长;(2)判断∠ACB 是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由; (3)记△ABC 的面积为S,若2SDE =ABC 的周长. 例21.(2010江西)“6”字形图中,FM 是大圆的直径,BC 与大圆相切于B ,OB与小圆相交于A ,BC ∥AD ,CD ∥B H∥FM,BC ∥DG ,DH∥BH于H ,设,4,6FOB OB BC α∠===,(0)R R > CP D OB AE(1)求证:AD是小圆的切线;(2)在图中找出一个可用α表示的角,并说明你这样表示的理由;(3)当30α=︒,求DH的长例22.(2010江苏泰州,28,12分)在平面直角坐标系中,直线y kx b=+(k为常数且k≠0)分别交x轴、y轴于点A、B,⊙O⑴如图甲,若点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,且OA=OB.①求k的值;②若b=4,点P为直线y kx b=+上的动点,过点P作⊙O的切线PC、PD,切点分别为C、D,当PC⊥PD时,求点P的坐标.⑵若12k=-,直线y kx b=+将圆周分成两段弧长之比为1∶2,求b的值.(图乙供选用)例23.如图,在⊙O中,C、D是直径AB上两点,且AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,M、N•在⊙O上.(1)求证:AM=BN;(2)若C、D分别为OA、OB中点,则AM MN NB==成立吗?。