(完整版)离散数学及其应用(课后习题)

习题1.1

2. 指出下列命题是原子命题还是复合命题。 （3）大雁北回，春天来了。

（4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。 （5）张三和李四在吵架。 解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。

习题1.2

1. 指出下列命题的真值：

（1）若224+>，则太阳从西方升起。 解：该命题真值为T （因为命题的前件为假）。 （3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。

解：该命题真值为F （如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。

2. 令P ：天气好。Q ：我去公园。请将下列命题符号化。 （2）只要天气好，我就去公园。 （3）只有天气好，我才去公园。 （6）天气好，我去公园。 解：（2）P Q →。 （3）Q P →。 （6）P Q ↔。

习题1.3

2. 将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示）： （1）我去新华书店（P ），仅当我有时间（Q ）。 （3）只要努力学习（P ），成绩就会好的（Q ）。 （6）我今天进城（P ），除非下雨（Q ）。 （10）人不犯我（P ），我不犯人（Q ）；人若犯我，我必犯人。 解：（1）P Q →。 （3）P Q →。 （6）Q P ⌝→。

（10）()()P Q P Q ⌝→⌝∧→。

习题1.4

1. 写出下列公式的真值表： （2）()P Q R ∨→。

解：该公式的真值表如下表：

2. 证明下列等价公式：

（2）()()()P Q P Q P Q ∨∧⌝∧⇔⌝↔。 证明：

()(()()) ()()) ()() ()()

P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q ⌝↔⇔⌝∧∨⌝∧⌝⇔⌝∧∧⌝⌝∧⌝⇔⌝∧∧∨⇔∨∧⌝∧

（4）()()()P Q P R P Q R →∧→⇔→∧。 证明：

()()()() () ()

P Q P R P Q P R P Q R P Q R →∧→⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝∨∧⇔→∧

3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲说，不是我。乙说：是丁。丙说：是乙。丁说：不是我。已知4个人的回答只有一个人符合实际，问成绩最好的是谁？

解：设A ：甲成绩最好。B ：乙成绩最好。C ：丙成绩最好。D ：丁成绩最好。 四个人所说的命题分别用P Q R S 、、、表示，则

P A ⇔⌝；Q A B C D ⇔⌝∧⌝∧⌝∧；R A B C D ⇔⌝∧∧⌝∧⌝；S D ⇔⌝。

则只有一人符合实际的命题K 符号化为

()()()()

K P Q R S P Q R S P Q R S P Q R S ⇔∧⌝∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝∧

()() ()() ()()()

()(P Q R S A A B C D A B C D D A A B C D A B C D D A D A B C D A B C D A B C D ∧⌝∧⌝∧⌝⇔⌝∧⌝⌝∧⌝∧⌝∧∧⌝⌝∧∧⌝∧⌝∧⇔⌝∧∨∨∨⌝∧∨⌝∨∨∧⇔⌝∧∧∨∨∨⌝∧∨⌝∨∨⇔⌝∧∧∧∨⌝)()() 0;

A B D A B C D A C D ∧∧∨⌝∧⌝∧∧∨⌝∧∧⇔同理，

()0;P Q R S A A B C D A B C D D ⌝∧∧⌝∧⌝⇔∧⌝∧⌝∧⌝∧∧⌝⌝∧∧⌝∧⌝∧⇔

()0;P Q R S A A B C D A B C D D ⌝∧⌝∧∧⌝⇔∧⌝⌝∧⌝∧⌝∧∧⌝∧∧⌝∧⌝∧⇔ ()() ()() .

P Q R S A A B C D A B C D D

A A

B

C

D A B C D D A D ⌝∧⌝∧⌝∧⇔∧⌝⌝∧⌝∧⌝∧∧⌝⌝∧∧⌝∧⌝∧⌝⇔∧∨∨∨⌝∧∨⌝∨∨∧⌝⇔∧⌝ 所以，当K 为真时，A D ∧⌝为真，即甲的成绩最好。

习题1.5

2. 证明下列各蕴含式：

（3）()()()P Q R P Q P R →→⇒→→→。 证明：

方法一：真值表法（列出命题公式(())(()())P Q R P Q P R →→→→→→的真值表）。

方法二：等值演算法

(())(()())(())(()())(())()()()()()

()(()())()()

()()()1.

P Q R P Q P R P Q R P Q P R P Q R P Q P R P Q R P Q P R P Q R P P R Q P R P Q R Q P R P Q P R Q Q P R R Q P R →→→→→→⇔⌝→→∨→→→⇔⌝⌝∨⌝∨∨⌝⌝∨∨⌝∨⇔∧∧⌝∨∧⌝∨⌝∨⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨⌝∨⇔∧∧⌝∨⌝∨⌝∨⇔∨⌝∨⌝∨∨∨⌝∨⌝∨∨⌝∨⌝∨⌝∨⇔

方法三：分析法

（1）直接分析法：若前件()P Q R →→为真，分两种情况：

（I ）P 为假，则P Q →为真，P R →为真，()()P Q P R →→→为真。

（II ）P 为真，则Q R →为真，此时若Q 为真，则R 为真，则P Q →为真，P R →为

真，()()P Q P R →→→为真；若Q 为假，则P R →为假，()()P Q P R →→→为真。

综上，若前件为真，后件必为真，故该蕴含式成立。

(2）间接分析法：若后件()()P Q P R →→→为假，则P Q →为真，P R →为假。由

P R →为假可知，P 为真，R 为假。再由P Q →可知，Q 为真。此时Q R →为假，

()P Q R →→为假，即前件为假。故蕴含式成立。

5. 叙述下列各个命题的逆换式和逆反式，并以符号写出。 （1）如果下雨，我不去。 解：设P ：天下雨。Q ：我去。

逆换式：如果我不去，天就下雨。符号表示为Q P ⌝→。 逆反式：如果我去，天就不下雨。符号表示为Q P →⌝。 （2）仅当你走我将留下。 解：设P ：我留下。Q ：你走。

逆换式：如果你走，我就留下。符号表示为：Q P →。 逆反式：如果你不走，我就不留下。符号表示为：Q P ⌝→⌝。