第四章-maxwell速度分布率

25
5.
∫
v2
v1
Nf (v)dv = ∫
N ( v2 )
N ( v1 )
dN
6.
∫
∫
∞
0
f (v)dv = 1
v 2 f (v)dv = v 2
7.
∞
0
设想有N个气体分子 个气体分子， 例：设想有 个气体分子，其速率分布函数为
试求: 常数 常数A； 最可几速率 平均速率和方均根速率； 最可几速率， 试求 (1)常数 ；(2)最可几速率，平均速率和方均根速率； (3)速率介于 0/3之间的分子数；(4)速率介于 0/3之间 速率介于0~v 之间的分子数 之间的分子数； 速率介于 速率介于0~v 之间 速率介于 的气体分子的平均速率。 的气体分子的平均速率。
v1 分子出现在 v1~v2区间内 的概率 +∞
v2 vp v v+dv
v 曲线下的总面积 恒等于1 恒等于
10
∫
归一化条件
0
f (v)dv = 1
讨论
1）f (v ) 的意义 ） 分子速率在 υ 附近 单位速率间隔内的分子数 占总分子数的百分比 分子速率在 υ −υ +dυ 间隔内的分子数占 总分子数的百分比
T1 < T2 < T3
vp
v
20
氧气分子分布函数和温度的关系 f (v)
73K
O2
273K 1273K
500 1000 1500
v
21
2、质量与分子速率 、 分子质量越大， 分子质量越大，分布曲线中的最 可几速率v 所对应的速率就越小， 可几速率 p所对应的速率就越小， 但归一化条件要求曲线下总面积 不变，因此分布曲线宽度减小， 不变，因此分布曲线宽度减小， 高度升高。 高度升高。
圆筒不转， 圆筒不转，分子束的 分子都射在P处 分子都射在 处
A
• • • • • • • • •
GP
分子源
狭缝
圆筒
圆筒转动， 圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置
6
下面列出了Hg分子在某温度时不同速率的分子 下面列出了 分子在某温度时不同速率的分子 数占总分子的百分比。 数占总分子的百分比。
∫ 6. ∫
v2
v1 ∞
0
f (v)dv
f (v)dv
7.∫ v 2 f (v)dv
∞
( n为分子数密度 为分子数密度) 为分子数密度
23
dN f (v) = Ndv
1 . f (v )d v = dN N —— 分布在速率 v 附近 v ~ v + dv 速率区间内的分子数占 总分子数的比率。 总分子数的比率。
x − x + dx
dNx N
υ −υ +dυ
dNυ N
dNε N
ε −ε +dε
2）偶然和必然 ） 3）统计分布的涨落（意义 弱信号测量 药物作用机理等） 意义:弱信号测量 药物作用机理等） ）
5
测定分子速率分布的实验装置
真空室
B ω
′ S Pθ
G− 弯曲玻璃板可沉积 − , 子 射到上面的各种速率分
9
O
vp v
总分子数-----N 总分子数 f(v) f(vp)
v2 ∆N = ∫ f (v)dv v1 N
dv区间内分子数 区间内分子数----- dN 区间内分子数
分子出现在此速率区间里的概率为-分子出现在此速率区间里的概率为 dN N
dN 面积= 面积 N 出现在v~v+dv 出现在 区间内的概率
11
dNυ f (υ) = Ndυ
概率密度
f (υ)dυ
dNυ = N
概率
Nf (υ )dυ = dNυ
2）f (v ) 的性质 ）
∞
分子速率在 υ −υ +dυ 间隔内的分子数
∫ f (υ)dυ =1
0
归一性质
dNυ = ∫ (υ=0) N
12
(υ=∞)
∞
∫ f (υ)dυ =1 几何意义
0
∆ Nυ dNυ f (υ) = N∆ υ Ndυ
dN f (v) = Ndv
4.
∫
v2
v1
f ( v ) dv =
∫
N ( v2 ) N ( v1 )
dN N
分布在有限速率区间v 分布在有限速率区间 1 ~ v2 内的分子数占总分子数 的比率。 的比率。 分布在有限速率区间 v1 ~ v2 内的分子数。 内的分子数。 分布在 0 ～ ∞ 速率区间内的 分子数占总分子数的比率。 分子数占总分子数的比率。 归一化条件） （ 归一化条件） v2 的平均值。 的平均值。
m 2 v − 32 2kT
v2dv
m 32 f (v) = 4π ( ) e 2πkT
m 2 v − 2kT
v
2
麦克斯韦速率分布函数
m f (v ) = 4 ( )3 2 e π 2 kT π
m 2 v − 2kT
v2
一个分子处于v~v+dv区间内的概率 区间内的概率 一个分子处于
dN m ) e v dv = f ( v )dv = 4π ( N 2πkT dN 单位速率间隔内的概率 f (v) = Ndv
f (υ)dυ
o o
υ υ + ∆+dυ υ υ −υ
曲线下面积恒为1 曲线下面积恒为
υ
13
二、麦克斯韦分布律及三种统计速率
麦克斯韦速度分布律
vz
dvx dvy dvz
分子的速度分量限制在
v
o
vx
vy
vx ~ vx + dvx , vy ~ vy + dvy , vz ~ vz + dvz
内的分子数占总分子数的百分比
v(m/ s)
90以下 以下 90-----140 140----190 190----240 240----290 290----340 340----390 390以上 以上
∆N / N
6.2 10.32 18.93 22.7 18.3 12.8 6.2 4.0
7
∆N 0 N∆v 0
实验数据的图示化
m 2 v − 32 2kT 2
f (v) → 概率密度 分布函数 概率密度,
16
分子速率的三个统计值
1、最可几速率 、 与分布函数f(v)的极大值相对应的速率 与分布函数 的极大值相对应的速率 vp
df (v) 极值条件 =0 dv v=vp
2kT 2RT RT vp = = ≈1.41 m Mmol Mmol
dN = F(v)dw N m − m 3 2 2kT (vx2 +vy2 +vz2 ) =( ) e dvxdvydvz 2π kT
vz vx vy
麦克斯韦速度分布律
14
vz
dv
dvxdvydvz = 4πv2dv
o
vx
v
vy
dN m 3 2 − 2m (vx2 +vy2 +vz2 ) =( ) e kT dvxdvydvz N 2πkT
2、平均速率 、
v
大量分子速率的统计平均值
∑v ∆N v=
i
i
N
17
对于连续分布
∫ vdN = v=
N
∞ dN ∫ v N = ∫0 vf (v)dv
8kT 8RT RT v= = ≈1.60 πm π Mmol Mmol
3、方均根速率 、
v
2
大量分子速率的平方平均值的平方根
2
v
∫ =
∞
0
v dN N
v1
v2
对于v的某个函数 对于 的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为 的某个函数 ，一般地，
∫ g(v) =
∞
0
g(v) f (v)dv
∞ 0
∫
f (v)dv
29
速率分布函数的应用 平均值计算式为
υ=
∫υdNυ
(某 间) 区
∫dNυ
(某 间) 区
1. 计算全空间 速率的算术平均值
∞
υ=
∫υdNυ
1
§ 麦克斯韦速率分布律 一. 解决粒子集体行为的统计方法 1.伽耳顿板演示 伽耳顿板演示 1) 实验装置 )
单个粒子行为--单个粒子行为 偶然 大量粒子行为--大量粒子行为 必然
x x + ∆x
x
2
2)物理启示 怎么研究 统计分布律？ 物理启示 统计分布律？ 如研究粒子按坐标分布规律 应给出坐标 x附近∆x 间隔内 粒子数 ∆Nx 占总分子数 N 的百分比
0 (∞)
2. Nf (v)dv = dN
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + dv 速率区间内的分子数。 速率区间内的分子数。
N dN dN 3. nf (v)dv = ⋅ = V N V
—— 单位体积内分子速率分布在速率 v 附近 v ~ v + dv 速率区间内的分子数。 速率区间内的分子数。
24
v0~v0 3
∫ =
∫
v0 3 0 v0 3 0
vdN dN
=
∫
6 2 N 3 v (v0 − v)dv v0 3v0 = 7N 27 14
28
讨论
速率介于 速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算 介于
vv1 ~v2
∫ = ∫
v2
v1 v2 v1
vf (v)dv f (v)dv
vv1 ~v2 = ∫ vf (v)dv
4-3 麦克斯韦分子速率分布率
一、分子速率分布的实验测定 分子速率的规律早在1859年由麦克斯韦应用统计 年由麦克斯韦应用统计 分子速率的规律早在 概念从理论上推导出来，尔后被实验证实。 概念从理论上推导出来，尔后被实验证实。
平衡态下， 平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律 这个规律叫麦克斯韦速度分布律 麦克斯韦速度分布律。 的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑 麦克斯韦速率分布律。 分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律 分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
f(vp1) f(vp2) f(vp3)
f(v) Mmol3
Mmol2
Mmol 1 < Mmol 2 < Mmol 3
Mmol1
T相 同
O
vp
v
22
思考题
说明下列各量的物理意义： 说明下列各量的物理意义：
1. f (v)dv
3. nf (v)dv
5.
2. Nf (v)dv
4.
∫
0
v2
v1
Nf (v)dv
df (v) = A(v0 − 2v) v = 0 p dv vp
平均速率 v =
v0 vp = 2
v0 0
∫
∞
0
vf (v)dv = ∫
2
v0 6 2 v (v0 − v)dv = 3 2 v0
v0 0
方均速率 v =
2
∫
∞
0
v f (v)dv = ∫
2
6 3 3 2 v (v0 − v)dv = v0 3 10 v0
麦克斯韦速度分布律 麦克斯韦速度分布律 速度
m 32 ) e F(v) = ( 2πkT
−
m (vx2 +vy2 +vz2 ) 2kT
麦克斯韦速度分布函数 麦克斯韦速度分布函数 麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦速率分布律 速率 麦克斯韦速率分布函数 麦克斯韦速率分布函数 15
dN m ) e = 4π ( N 2πkT
Av(v0 − v) 0 ≤ v ≤ v0 f (v) = 0 v > v0
f (v)
解： (1)气体分子的分布曲线如图 气体分子的分布曲线如图 由归一化条件
∫
∞
0
f (v)dv = 1
6 o A= 3 = v0
∫
v0
0
A 3 Av(v0 − v)dv = v0 = 1 6
v
v0
26
df (v) 决定， = 0决定，即 (2)最可几速率由 最可几速率由 dv vp
27
方均根速率为
3 v = v0 10
dN f (v) = Ndv
(3)速率介于 0/3之间的分子数 速率介于 速率介于0~v 之间的分子数
∆N = ∫ dN = ∫ Nf (v)dv = ∫
v0 3 0
v0 3 0
v0 3 0
6 7N N 3 v(v0 − v)dv = 27 v0
(4)速率介于 0/3之间的气体分子平均速率为 速率介于 速率介于0~v 之间的气体分子平均速率为
∆N x Px = N
概率
∆Nx P = lim x N→∞ N
∆N x
x x + ∆x
x
3
取微分量 x 附近 dx 间隔内粒子数 dNx 占总分子数 N 的百分比
dN x Px = N
dNx 概率 P = lim x N→∞ N
粒子按坐标的统计分布律
4
2. 结论 1） 统计分布的基本方法 ） 分间隔 坐标分布 速率分布 能量分布
12.8% 12.8%
6.2%
6.2% 0 90 140 190
4.0% 240 290 340 390
v
8
∆N N∆v
Fra Baidu bibliotek
∆N N∆v
速率分布曲 线
v
O f ( v ) = dN 速率分布函数 O 速率分布函数
Ndv
v
面积大小代表速率v附 面积大小代表速率 附 近dv区间内的分子数 区间内的分子数 占总分子数的比率 dN dN ⋅ dv = Ndv N v
2
= ∫ v f (v)dv
2 0
∞
3kT 3RT RT v = = ≈1.73 m Mmol Mmol
2
3kT v = m
2
18
v p v v2
f(v)
成正比， 都与 T 成正比， 与 Mmol 或 m）成反比 （
v p v v2
v
19
麦克斯韦分布曲线的性质
1、温度与分子速率 、 f(v) f(vp1) f(vp2) f(vp3) T1 T2 温度越高，分布曲线中的最可几 温度越高， 速率v 增大， 速率 p增大，但归一化条件要求曲 线下总面积不变， 线下总面积不变，因此分布曲线 宽度增大，高度降低。 宽度增大，高度降低。 T3