圆切线、相似、锐角三角函数综合题

圆切线、相似和锐角三角函数综合题专题复习

复习目标：巩固圆的切线和相似三角形的性质和判定、锐角三角函数求法和特殊锐角三角函 数值，熟练应用它们解决相应的问题。

复习过程

一、热身练习

二、实战演练

三、巩固提高

2.如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，于点D ，AD ⊥BC 过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．

（1）求证：BF=EF ；

（2）求证：PA 是⊙O 的切线；

（3）若FG=BF ，且⊙O 的半径长为23,求BD 和FG 的长度．

3.如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC 交△ABC 的外接圆⊙O 于点H ，过点H 作EF ∥BC 交 AC 、AB 的延长线于点E 、F ．

（1）求证：EF 是⊙O 的切线；

（2）若AH=8，DH=2，求CH 的长；

（3）若∠CAB=60°，在（2）的条件下，求弧BHC 的长．

4.如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于点E ，∠POC=∠PCE ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）若OE ：EA=1：2，PA=6，求⊙O 的半径； （3）求sin ∠PCA 的值．

5.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，E 是 BC 的中点，连接ED 并延长交BA 的延长线于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）求DB 的长； （3）求S △FAD ：S △FDB 的值．

6.如图i，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧BC上的一动点，P在CB的延长线

上，且有∠BAP=∠BDA．

（1）求证：AP是半圆O的切线；

（2）当其它条件不变时，问添加一个什么条件后，有BD2=BE•BC成立？说明理由；

（3）如图ii，在满足（2）问的前提下，若OD⊥BC与H，BE=2，EC=4，连接PD，请探究四边

形ABDO是什么特殊的四边形，并求tan∠DPC的值．

7.如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC

平分∠DAB，延长AB交DC于点E．

（1）判定直线DE与圆O的位置关系，并说明你的理由；（2）求证：AC2=AD•AB；

（3）以下两个问题任选一题作答．（若两个问题都答，则以第一问的解答评分）

①若CF⊥AB于点F，试讨论线段CF、CE和DE三者的数量关系；

②若EC=3

5，EB=5，求图中阴影部分的面积．

8.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，

连接PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：（1）求证：CP是⊙O的切线．

（2）当∠ABC=30°，BG=3

2，CG=3

4时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．

（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论

BG2=BF•BO成立？试写出你的猜想，并说明理由．

9.如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦

DF⊥AB于点G．

（1）求证：点E是弧BD的中点；

（2）求证：CD是⊙O的切线；

（3）若sin∠BAD=

5

4

，，⊙O的半径为5，求DF的长．

10.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的

中点，连接DE．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值．

11.已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交

⊙O于E，连接DE、BE，且∠C=∠BED．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若OA=10，AD=16，求AC的长．

12.如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE中点，OM交AC于

点D，∠BOE=60°，cosC=

2

1

，BC=3

2。

（1）求∠A的度数；

（2）求证：BC是⊙O的切线；

（3）求MD的长度．

13.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．延长AB交CD于点E．连接AC，作

∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长．

14.已知，如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°，以BC 为直径作⊙O 交AB 于D ，取AC 中点E ，连结OE ，ED 的延长线与CB 的延长线交于F ．

（1）求证：DE 是⊙O 的切线；

（2）如果⊙O 的半径为3cm ，ED=4cm ，求sin ∠F 的值．

15.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，过点B 作BE ∥CD ，交AC 的延长线于点E ，连接BC ．

（1）求证：BE 为⊙O 的切线；

（2）如果CD=6，tan ∠BCD=21

,求⊙O 的直径．

16.如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 直径，E 是CB 延长线上一点，且∠BAE=∠C ．

（1）求证：直线AE 是⊙O 的切线；

（2）若EB=AB ，cosE=54

，AE=24，求EB 的长及⊙O 的半径．

17.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ， 点P 在AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP ． （1）求证：直线CP 是⊙O 的切线． （2）若BC=52，sin ∠BCP=55，求点B 到AC 的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ACP 的周长． 18.如图1，△ABC 内接于⊙O ，AD 平分∠BAC ，交直线BC 于点E ，交⊙O 于点D ． （1）过点D 作MN ∥BC ，求证：MN 是⊙O 切线； （2）求证：AB•AC=AD•AE ； （3）如图2，AE 平分∠BAC 的外角∠FAC ，交BC 的延长线于点E ，EA 的延长线交⊙O 于点D ．结论AB•AC=AD•AE 是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．