角平分线的性质定理及其逆定理 教学设计
角平分线性质定理及逆定理-教学设计
为 E，老师一边说，师生共
同操作，让学生通过观察猜
想线段 PD 与线段 PE，线段
OC 与线段 OD 的数量关系。
3、 引导学生猜想当折痕与角
的的两边垂直时，线段 PD、
线段 PE 与边 OA、边 OB 的
关系，肯定它们的发现并引
导学生猜想通过这个特殊
的位置关系能得到什么结
论？
探究二：对上述猜想进行证明 已知： ____________________________________ __________________
求证：_______________ 证明：
角平分线性质定理：
1、 给学生留出时间和空间思 考如何把猜想变成现实。学 生讨论交流证明的方法。在 学生证明之前提示学生，怎 么把文字语言变成数学语 言，根据图形写出已知和求 证。
2、 小组讨论结束，选取证明 完成较好的一个同学的导 学案在多媒体展示，并让其 他同学质疑。
的角，这条
_
叫做这个角的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平分
线。
2、 点到直线的距离：从______外一点到
这条直线的_________长度，叫点到直
线的距离。
提问学生
1、 角平分线的定义是什么？ 2、 点到直线的距离是什么？ 板书：
C
O
A
通过角的定义你也可以从中
得到哪些角的数量关系?
复习旧知， 引入新课。激 发学生学习 兴趣和求知 欲。
角平分线的性质定理及逆定理的证明及运用。
灵活应用角平分线的性质定理及逆定理解决问题。
动手操作、小组合作、多媒体、导学案导学
教学过程设计
教学内容
教学方式
板书标题，课件出示学习目标、
学习重点、难点，找学生研读。
角平分线的性质教学设计
《角平分线的性质》教案——人教版《数学》八年级上册鞍山市二十六中学那琳11.3 《角平分线的性质》教案第二课时教学目标知识技能1、了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；2、会利用角的平分线的性质进行证明与计算.解决问题1、提高综合运算三角形全等的有关知识解决问题的能力2、初步了解角平分线的性质及判定在生活、生产中的应用数学思考通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，使学生学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。
情感态度探讨角平分线性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
重点角平分线的性质的证明及运用。
难点角平分线性质的探究。
教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1：情境引入：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？学生以小组为单位讨论，有部分学生疑惑，用以前学过的知识解决不了，引出新知识，等待学完再解决。
通过让学生动手画最短的路线，可以复习点到直线的距离这一概念，为探究角的平分线的性质作铺垫；同时也让学生感受到数学与实际生活是紧密相连的，从而激发学生的学习兴趣，体现人人学有价值的数学。
活动2：根据表中的图形和已知，猜想由已知可推出的结论，并用符号语言填写下表：1、学生可以讨论，独立思考，然后说出答案。
已知条件符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠POE=∠POD．由已知推出的结论：点P在∠AOB的平分线上．判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上[师]这样的话，我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗？[生]这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．[师]对，这是自己的语言，这一点在数学上叫“互逆性”．2、进一步引导学生用集合的观点概括两个性质，教师及时点拨讲解，让学生区别性质和判定两个的区别引导学生写出命题的已知、求证并加以证明，让学生熟悉证明文字命题的步骤，体会由实践活动得到的猜想,只能通过证明来验证,从而发展学生的理性思维。
角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线得性质定理及其逆定理一、基础概念学习目标:掌握角平分线得性质定理及其逆定理得证明与简单应用,掌握尺规作图做角平分线,规范证明步骤。
(1)角平分线得性质定理证明:角平分线得性质定理:角平分线上得点到这个角得两边得距离相等。
证明角平分线得性质定理时,将用到三角形全等得判定公理得推论:推论:两角及其中一角得对边对应相等得两个三角形全等。
(AAS)推导过程:已知:OC平分∠MON,P就是OC上任意一点,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为点A、点B.求证:PA＝PB.证明:∵PA⊥OM,PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO与△PBO中,∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达:(角得平分线上得点到角得两边得距离相等)如图所示,∵OP平分∠MON(∠1＝∠2),PA⊥OM,PB⊥ON,∴PA＝PB.(2)角平分线性质定理得逆定理:到一个角得两边距离相等得点,在这个角得平分线上。
推导过程已知:点P就是∠MON内一点,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,且PA＝PB.求证:点P在∠MON得平分线上.证明:连结OP在Rt△PAO与Rt△PBO中,∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON得平分线上.②几何表达:(到角得两边得距离相等得点在角得平分线上.)如图所示,∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA＝PB∴∠1＝∠2(OP平分∠MON)(3) 角平分线性质及判定得应用①为推导线段相等、角相等提供依据与思路;②实际生活中得应用.例:一个工厂,在公路西侧,到公路得距离与到河岸得距离相等,并且到河上公路桥头得距离为300米.在下图中标出工厂得位置,并说明理由.(4)角平分线得尺规作图活动三:观察与思考: 尺规作角得平分线观察下面用尺规作角得平分线得步骤(如图),思考这种作法得依据。
步骤一:以点O为圆心,以适当长为半径画弧,弧与角得两边分别交于A,B两点。
角平分线性质定理及逆定理的证明
角平分线的性质与判定教学目标：1、能够对角平分线的性质定理及逆定理进行严密的证明。
2、能够灵活运用两个定理进行相关问题的计算或者证明。
教学重点：定理的证明及应用。
教学难点：定理的证明。
教学过程：一.复习引入：在第二章，我们利用角的轴对称性质，通过实验的方法，探索出了角平分线的性质。
你还记得角平分线的性质吗？你能用推理的方法证明它们的真实性吗？角平分线的性质：角平分线的性质的逆命题是：二、新课学习：知识点一、证明：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.已知：OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA 于点C，DF ⊥OB 于点D 应用格式：例1.已知：如图，点B、C 在∠A的两边上，且AB=AC ，P 为∠A内一点，PB=PC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E、F。
求证：PE=PFFBPA C E求证：CF ＝DF. BD证明： EFO 图4 C A知识点二、证明：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
已知：如图5，点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C，PD ⊥OB 于D，PC＝PD 求证：点P 在∠AOB 的平分线上. 已知：如图6，AP、BQ、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线求证：①AP、BQ 、CR 相交于一点I；②若ID、IE、IF 分别垂直于BC、CA、AB证明：应用格式：例2. 已知：PA、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P，PD⊥ BM 于D，PF⊥BN 于F，求证：BP 为∠MBN 的平分线。
证明：于点D、E、F，则DI ＝EI＝FI. AFRIQEB 图6 P D C三、课堂总结：总结本节课的收获四．课堂检测1、有一点P 到三角形三条边的距离相等，则点P 一定是的交点2.如图2，在△ABD 中，AD=4 ，AB=3 ，AC 平分∠BAD ，则=3.如图3，在△ABC 中，∠C= ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥A B于E，则下列结论：①AD平分∠CDE ；②∠BAC= ∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。
角平分线教学教案
课题：1.4.1角平分线学习目标：1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点）3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．教学过程一、情境引入如图，要在S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）二、探究新知角平分线的性质（1）实验：OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点1.操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：猜想：（2）验证猜想已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P 在OC 上，PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.（3）性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：应用格式：例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD,DE ⊥AB,DF ⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.DS例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,AB=14.（1）则点P到AB的距离为_______.（2）求△APB的面积.（3）求∆PDB的周长.角平分线的判定思考：你能写出这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?你能证明它吗?（1）证明猜想已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.（2）判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：应用格式：例3:如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．例4如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)三、当堂练习1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=度，BE=.2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是.3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？三、课本例题学习四、五、随堂练习课本第29页1、2题。
人教版初中八年级数学上册角的平分线的性质教案
12.3 角的平分线的性质(1)教学内容本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理．教学目标1．知识与技能通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．2．过程与方法经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．3．情感、态度与价值观激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．重点难点1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理．2．难点：两个互逆定理的实际应用．教具准备投影仪、制作如课本图11．3─1的教具．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理．教学过程一、创设情境，导入新课【问题探究】（投影显示）如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究的问题．【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．【教师活动】请同学们和老师一起完成下面的作图问题．操作观察：已知：∠AOB．求法：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC•即为所求（课本图11．3─2）．【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．【媒体使用】投影显示学生的“画图”．【教学形式】小组合作交流．二、随堂练习，巩固深化课本P19练习．【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD与直线AB是互相垂直的．【探研时空】（投影显示）如课本图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生．【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等．”论证如下：已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E（课本图11．3─4）求证：PD=PE．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中，,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDO ≌△PEO （AAS ）∴PD=PE【归纳如下】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流．三、情境合一，优化思维【问题思索】（投影显示）如课本图11．3─5，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线． 证明如下：已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=PE ．求证：点P 在∠AOB 的平分线上．证明：经过点P 作射线OC ．∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，,,OP OP PD PE =⎧⎨=⎩∴Rt △PDO ≌Rt △P EO （HL ） ∴∠AOC=∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的平分线．【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【教学形式】自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．四、范例点击，应用所学【例】如课本图11．3─6，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P•到三边AB，BC，CA的距离相等．【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与．证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、B C、CA，垂足为D、E、F．∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即点P到边AB、BC、CA的距离相等．【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．【学生活动】参与教师分析，主动探究学习．五、随堂练习，巩固深化课本P50练习1、2．六、课堂总结，发展潜能1．学生自行小结角平分线性质及其逆定理，和它们的区别．2．说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，•说明这一点是三角形的内切圆的圆心（为以后学习设伏）．七、布置作业，专题突破课本P51习题12．3第1、2、3题．板书设计把黑板分成三部分，左边部分板书概念、定理等，中间部分板书探究，右边部分板书例题，重复使用时，中间部分和右边部分板书练习题．。
2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计
2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计一. 教材分析《角平分线的性质定理及逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第4节的内容。
本节课主要介绍了角平分线的性质定理及逆定理，并通过实例让学生了解这两个定理在实际问题中的应用。
教材通过探究活动，引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理，培养学生的观察、思考、推理能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、线段中点的性质等知识。
但由于角平分线的性质定理及逆定理较为抽象，学生可能难以理解和运用。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过直观演示、实例分析等方式，帮助学生理解和掌握角平分线的性质定理及逆定理。
三. 教学目标1.理解角平分线的性质定理及逆定理；2.学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决实际问题；3.培养学生的观察、思考、推理能力；4.培养学生的合作交流意识。
四. 教学重难点1.角平分线的性质定理及逆定理的理解和运用；2.引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理的过程。
五. 教学方法1.启发式教学：通过问题引导，激发学生的思考，培养学生解决问题的能力；2.直观演示：利用教具演示，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理；3.实例分析：通过实际问题，让学生学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题；4.合作交流：引导学生分组讨论，培养学生的合作交流意识。
六. 教学准备1.教具：角平分线演示教具；2.实例：选取一些实际问题，用于练习和巩固角平分线的性质定理及逆定理；3.课件：制作课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或教具，引导学生回顾角的概念和线段中点的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）展示角平分线的性质定理及逆定理的定义，引导学生观察和思考。
通过演示教具，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理。
3.操练（15分钟）分组让学生进行讨论，分析教材中的实例，运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题。
角的平分线的性质教案
角的平分线的性质教案1一、教学目标【知识与技能】了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明与计算。
【过程与方法】在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力。
【情感态度与价值观】在主动参与数学活动的过程中，增强探究问题的兴趣、有合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,获得解决问题的成功体验。
二、教学重难点【重点】角的平分线的性质的证明及应用。
【难点】角的平分线的性质的探究。
三、教学过程(一)导入新课1.复习角平分线的画法2.利用PPT创设情景：如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗?(二)生成新知探究做一做(学生独立完成，同组同学交流，找学生到黑板上板演.教师纠正答案)如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?试着证明你的结论.0011.jpg∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PE.(三)深化新知思考：角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题?(由学生讨论汇报)(四)应用新知1.例题：解决导入中PPT的问题2.练一练：(1) 下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形_____ 中PD=PE.0012.jpg(五)小结作业小结：通过这节课的学习，你有什么收获?你对今天的学习还有什么疑问吗?作业：必做题，选做题，思考题：角平分线性质的逆命题并证明。
角的平分线的性质教案2一、教学目标【知识与技能】进一步了解角平分线的性质和判定，能够证明角平分线的性质和判定定理并且会运用角平分线性质去解决问题。
【过程与方法】通过对“角平分线性质”的探究，提高分析问题、解决问题的能力。
【情感态度与价值观】通过一系列的证明过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习数学的兴趣和勇于创新的精神。
角平分线的性质定理的逆定理
（1）若连接 AM ，则 AM 是否平分 BAD ？请你证明你的结论． （2）线段 DM 与 AM 有怎样的位置关系？请说明理
M 3 A 四、总结梳理（3分钟） 1、角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2、定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线 （3）垂直距离。 五、过关检测（10 分钟）
探究 3. 1、如图，已知 PD⊥OA,PE⊥OB,且 PD =PE，那么 P 点在∠AOB 的平分线上吗？为什么？
A
要求和方法
D
P O E B
通 过 已 学的三角形 全等的知识 证明 OP 平分 ∠AOB，从而 得出角平分 线的性质定 理的逆定理。
小结：角平分线的性质定理逆定理：
2、例题讲解：
。
如图，△ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P． 求证：点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等． （分析：点 P 到 AB、BC、CA 的垂线段 PD、PE、PF 的长就是 P 点到三边的距离，•也就是 说要证：PD=PE=PF．而 BM、CN 分别是∠B、∠C 的平分线，•根据角平分线性质和等式的传 递性可以解决这个问题． ）
年级
课型：新授课 班级： 小组： 设计：王磊 姓名：
导学案
审核： 审批： 使用时间：____月____日 星期__ 第___1 _课时 学习过程 累计___2__课时
课题：角平分线的性质定理的逆定理
流程及学习内容 一、解读目标（2 分钟） 学习目标：1、探索并证明角的平分线的定理的逆定理。 2、会应用角的平分线的性质定理及其逆定理进行计算和证明。 学习重点、难点预设： 角的平分线的定理的逆定理的探索与证明，及灵活应用。 二、夯实基础（10 分钟）
《角平分线的性质定理及其逆定理》教学设计-02
《角平分线的性质定理及其逆定理》教学设计1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2.角平分线的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
不难发现，定理1的条件是定理2的结论，同时它的结论又是定理2的条件，它们互为逆定理。
定理1说明了角平分线上点的纯粹性，即：只要是角平分线上的点，它到此角两边一定等距离，而无一例外；定理2反映了角平分线的完备性，即只要是到角两边距离相等的点，都一定在角平分线上，而绝不会漏掉一个。
在实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等或证明点在一个角的平分线上。
用数学语言可表示如下：例题一：（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E∴PD=PE（定理1）（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE∴OC平分∠AOB（定理2）例题二：如图，△ABC的ㄥB平分线BD与ㄥC的外角的平分线CE相较于点P。
求证：点P到三边AB、BC、CA 所在直线的距离相等。
从P点向边AB做垂线,垂足为F,向BC边作垂线,垂足为G,向AC边作垂线,垂足为H因为BD是角ABC的角平分线所以PF=PG因为CE是角ACB的外角平分线所以PH=PG所以PF=PG=PH即,点P到三这AB,BC,CA所在直线的距离相等从P点向边AB做垂线,垂足为F,向BC边作垂线,垂足为G,向AC边作垂线,垂足为H 因为BD是角ABC的角平分线所以PF=PG因为CE是角ACB的外角平分线所以PH=PG所以PF=PG=PH即,点P到三这AB,BC,CA所在直线的距离相等这题对吗？。
角平分线的性质定理及逆定理
角平分线的性质定理及逆定理江镇中学刘厢一、教学目标1、知识与技能目标：掌握角平分线的性质定理及逆定理的应用；通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
2、过程与方法目标：通过观察猜想，逻辑证明、应用的过程，学会研究问题的一般的数学方法。
3、情感态度价值观目标：了解数学和生活的紧密联系，体会数学实际价值。
二、教学重点、难点重点：角平分线性质定理及其逆定理的应用。
难点：逆定理的推出及两条定理的应用。
三、教学手段：多媒体四、教学过程设计1、引入（1）动动手：作∠AOB的角平分线OC，在OC上任取一点P，作出点P到∠AOB两边的距离OD、OE，量一量，OD、OE在数量上有什么关系吗？（2）请学生口述该结论的证明过程。
已知：OC平分∠AOB，点P 是OC上任意一点，P D⊥OA，P E⊥OB，垂足分别为点D、E 求证：PD=PEC（3） 由学生归纳得出命题：如果点P 在∠AOB 的平分线上，那么点P 到∠AOB 两边的距离相等 2、出示性质定理3、结合图形用几何语言来描述性质定理4、练习（1）如图，已知∠1=∠2，P D ⊥OA ，P E ⊥OB ，PE=3cm求：PD 的长度 （请学生口答）（2）已知：如图，在△ABC 中，∠C=90度，BD 平分∠ABC ，D E ⊥AB 于点E ①如果DC=3,AB=6,则△ABD 的面积为_______②如果AE=4，△ADE 的周长为9，则 AC=_______5、蔡襄性质定理的逆命题是否成立6、请学生结合图形给出证明7、指出到一个角两边距离相等的点，其实是在角平分线所在的直线上8、出示性质定理的逆定理 9、结合图形用几何语言描述逆定理 10、练习（3）如图，要在M 区建一个大型超级购物中心G ，使它到两条公路的距离相等，离两公路交叉处1000米，这个超级购物中心应建于何处(在图上标出点G 的位置，比例尺1：50000)? 11、评讲例题例1 已知：如图，AO 、BO 分别是∠A 、∠B 的平分线，O D ⊥BC ，O E ⊥AB ，垂足分别为点D 、E 。
人教版八年级数学上册教案《角的平分线的性质》
《12.3 角的平分线的性质》教学设计第一课时教材分析:本节内容是全等三角形知识的运用和延续．用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式——利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等．角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，常用来证明两条线段相等．角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供了思路和方法．教学目标：【知识与能力目标】1.掌握利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质和判定定理；2.掌握作已知角平分线的方法；了解证明几何命题的一般步骤和格式．【过程与方法】1.在探索问题的过程中体会知识间的关系，能够进行有条理地思考，并进行简单的推理．2.使学生能够利用角平分线的性质和判定定理解决相应的问题．【情感态度与价值观】在探究角的平分线的作法及性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，获得解决问题的成功体验，增强解决问题的信心．教学重难点：【教学重点】探究角平分线的性质，能够利用其解决相关实际问题．【教学难点】角平分线性质的推导过程．课前准备：三角板、直尺、圆规(多媒体课件及几何画板)教学过程：问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？用量角器度量，也可用折纸的方法．[追问1] 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？[追问2] 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD ，BC =DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？师生探究，说明其中的原理(利用“边边边”)，进而得到利用尺规作角平分线的方法．教师出示作图过程：已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线．作法：(1)以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N.(2) 分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点C. (3) 画射线OC.射线OC 即为所求．教师提出问题：角的平分线有哪些性质呢，请同学们与我一同来探究一下吧！【设计意图】1.创设情境，通过实践探究角平分线的作法，引起学生的探究兴趣，引出本节课的内容．2．培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识(SSS )解决问题的能力．3．从试验抽象出几何模型，明确几何作图的基本思路和方法.问题2 【探究1】如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形(以第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？[师生活动]学生活动：学生首先独立操作，然后观察操作后的图形，进行讨论，经过讨论发现，折痕DP和折痕PE与其他边有着特殊的关系：(1)PD⊥OA，PE⊥OB；(2)PD＝PE.然后寻找上述结论成立的理由：(1)由折叠过程可以得到；由(2)可以利用三角形全等的条件得到，△OPD≌△OPE，进而得到PD＝PE.教师活动：组织学生独立操作、思考，在此基础上进行讨论，鼓励学生大胆发言，并对自己的看法作出判断．最后引导学生归纳角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．【探究2】我们已经知道角平分线上的点到角两边的距离相等，那么若一个点到角两边的距离相等，这个点是否在这个角的平分线上呢？谈谈你的看法．如图，已知PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE，那么P点在∠AOB的平分线上吗？为什么？[师生活动]学生活动：学生独立思考，自主探索，利用三角形全等解决问题．考虑连接OP，由条件OP＝OP，PD＝PE，可以判断Rt△OPD≌Rt△OPE，于是得到∠DOP＝∠EOP，即OP 平分∠AOB.教师活动：引导学生对所得出的结论进行推理，在推理的过程中注重学生语言的准确性和简洁性，最后归纳：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．[练习]练习1 下列结论一定成立的是．（1）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD =PE．（2）如图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD =PE．（3）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．[练习2] 如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．【设计意图】1.培养学生的数学抽象概括能力及理性精神.2.通过小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论，从实践中学习知识．3．运用三角形全等的有关知识，归纳、证明角的平分线的性质与判定．通过举例，说明角的平分线的性质在生活、生产中的应用，提高学生解决问题的能力.问题3：例1要在S区建立一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路的交叉处500米．这个集贸市场应建于何处(比例尺为1∶20000)?[师生活动]学生活动：学生小组合作，在独立思考的基础上小组交流，发现若到公路、铁路的距离相等，则集贸市场一定在上述角的平分线上，于是可以用尺规作出角平分线，然后根据比例尺画出集贸市场所在地即可．教师活动：组织学生思考、讨论、交流，引导学生发现集贸市场所在地应在角平分线上这个结论．例2如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA 的距离相等．[思路点拨]因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．[变式]△ABC的面积是24 cm2，它的三条内角平分线的交点到AB的距离为3 cm，则△ABC的周长为________．【设计意图】1.利用所学的数学知识解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段．2．教师注意提醒学生：在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程.问题4：探究交流：你能找到OP＝OP′的条件吗？已知点C是∠AOB平分线上一点，点P，P′分别在OA，OB上，如果要得到OP＝OP′，需要添加下列条件中的某一个即可．请写出所有可能的条件的序号________．①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC；⑤CP⊥OA且CP′⊥OB.[解析] 这是一道角平分线的性质与三角形全等知识的综合题，可通过是否具备全等，是否具备角平分线性质中的条件来加以判断．①如果∠OCP＝∠OCP′，又因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(ASA)，得到OP＝OP′；②如果∠OPC＝∠OP′C，因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(AAS)，得到OP＝OP′；④如果PP′⊥OC，设PP′交OC于D，因为∠ODP＝∠ODP′，∠POC＝∠P′OC，OD＝OD，可证△POD≌△P′OD(ASA)，得到OP＝OP′；⑤如果CP⊥OA且CP′⊥OB，因为∠POC＝∠P′OC，所以CP＝CP′.又因为OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(HL)，得到OP＝OP′；③如果PC＝P′C，因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，这样三个条件不能证明三角形全等，当CP不垂直于OA时，以C为圆心，CP为半径画弧与OP有两个交点，其中的一个交点使△OP′C≌△OPC不成立．所以正确答案为①②④⑤.【设计意图】1.巩固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力．2．培养学生的归纳概括能力及分析问题、思考问题的探究能力.问题5：课堂小结：(1)学生自行小结角平分线性质及其判定定理和它们的区别．(2)说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，说明这一点是三角形的内切圆的圆心(为以后学习设伏)．布置作业：布置作业：课本P51中的习题12.3.【设计意图】课堂小结，发展潜能；布置作业，专题突破.问题6 知识网络：【设计意图】框架图式总结，更容易形成知识网络.教学反思：1.本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处：少数学生在尺规作图上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步地加强巩固和训练．2.教师教学中注意：学生对定理的图形语言认识不足．角平分线上的点到角两边的距离是指这个点到角两边的垂线段的长度，而不是过此点与角平分线垂直(或仅仅相交)的直线与角两边相交所得的线段的长度．学生往往出现如下错误：∵点P在∠AOB的平分线上，∴PD＝PE.3.通过师生互动得到结论，教学中教师要重视知识的发生发展过程．第二课时教材分析:在学生学习了角平分线性质的基础上，本节课进一步研究角平分线性质定理的逆定理——角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这是全等三角形知识的运用和延续，是今后学习圆的内心的基础．教学目标：【知识与能力目标】探索并证明角平分线性质定理的逆定理.【过程与方法】会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．【情感态度与价值观】培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验．教学重难点：【教学重点】角平分线性质定理的逆定理．【教学难点】角平分线的性质的探究.课前准备：多媒体教学过程：问题1：（1）交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．[追问]你能证明这个结论的正确性吗？证明略[练习]判断题：（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；（）（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线；（）（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm，且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．（）（2）在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等．a.这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可建多少个？b.若这个广告牌P 离两条公路交叉处500 m（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000），这个广告牌应建于何处？C.如图，点P是△ABC的两条角平分线BM，CN 的交点，点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？证明：过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F．∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE,同理PE=PF∴PD=PE=PF即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.【设计意图】通过一步一步深入探究，由易到难理解新知识.问题2 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在何处？[变式1] 如图，△ABC 的一个外角的平分线BM 与∠BAC的平分线 AN 相交于点P，求证：点 P 在△ABC另一个外角的平分线上．[变式2] 如图，P 点是△ABC的两个外角平分线 BM，CN 的交点，求证：点 P 在∠BAC 的平分线上．[变式3] 如图，将问题3中“S 区”去掉，广告牌P到两条公路和一条铁路的距离相等．这个广告牌P 应建在何处？【设计意图】通过实际问题的探究，使所学的知识得到熟练的应用；通过不断深入的变式，使学生掌握知识的核心.问题3：课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？（2）本节课的结论与角平分线的性质定理的区别和联系是什么？（3）应用本节课的结论时，常作的辅助线是什么？布置作业：教科书习题12.3第3、7题．【设计意图】课堂小结，发展潜能；布置作业，专题突破.教学反思：本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处：少数学生在尺规作图上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步地加强巩固和训练．。
角平分线的性质定理及其逆定理
24.8角平分线的性质定理及其逆定理教学设计教学设计思想通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明.让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题.对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据.最后通过例题的学习来巩固这些知识点.教学目标知识与技能总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明；说出用尺规作角平分线的依据；能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明.过程与方法经历用尺规作角平分线的过程；经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力；情感态度价值观通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略；愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见.教学重点和难点重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用；难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用.解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法.教学方法启发引导、小组讨论课时安排１课时教具学具准备投影仪或电脑、三角板教学过程设计（一）角平分线的性质定理我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论：推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.做一做证明三角形全等判定公理的推论.注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS”定理的证明，作为证明本节定理的依据.证明略.利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明.已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)，∴∠1=∠2(角平分线的定义).∵PD⊥OA，P E⊥OB(已知)，∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义).在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO (已证)，∠1＝∠2(已证)，OP＝OP(公共边)，∴△PDO≌△PEO (AAS).∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).（二）角平分线性质定理的逆定理做一做1.请写出角平分线性质定理的逆命题.2.请根据逆命题的内容，画出图形，并结合图形，写出已知和求证.3.写出证明过程.注：类比“线段垂直平分线的性质定理及其逆定理”的学习过程，让学生独立完成“做一做”中提出的问题.这样，我们就得到：角平分线性质定理的逆定理到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（三）尺规作角的平分线观察与思考观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如下图)，思考这种作法的依据.步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于A，B两点.步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长(大于AB长的一半)为半径画弧，两弧交于点C步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线.注：独立完成用尺规作角平分线的过程，进一步培养学生的操作能力，并能说出作图过程中每步的依据.依据是“SSS”公理和全等三角形的对应角相等.（四）练习1.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证，点P到三条边AB，BC，CA的距离相等.2.在△A BC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：点D在∠A的平分线上.1.提示：过点P分别向△ABC三边作垂线，由角平分线的性质定理及其逆定理即可证明结论.2.提示：先证△BD E≌△CDF(AAS). 再由角平分线的性质定理及其逆定理即可得到结论.（五）小结引导学生总结本节的主要知识点.（六）板书设计角平分线的性质定理及其逆定理角平分线的性质定理及其证明角平分线的性质定理的逆定理及其证明角平分线的画法练习。
2022年初中数学精品教案《角平分线的性质定理及其逆定理》公开课专用
1.4 角平分线的性质第1课时角平分线的性质定理及其逆定理【知识与技能】让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理.【过程与方法】经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法.【情感态度】激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力.【教学重点】领会角的平分线的两个互逆定理【教学难点】两个互逆定理的实际应用一、创设情境，导入新课拿出课前准备好的折线与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？【教学说明】通过折纸动手操作，观察得出结论，感受生活中的数学无处不在，让他们很快投入到学习中.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题1 角平分线的性质定理思考教材第22页“探究”【教学说明】让学生明确角平分线的性质定理利用“HL”证明两直角三角形全等得出来的，既巩固了所学知识，又得出新的结论.问题2 角平分线的判定定理思考教材第23页“动脑筋”【教学说明】角平分线的判定定理与性质定理是互逆定理，让学生明白各自生成的条件，并加深了它们之间的区别与联系.问题3 角平分线的性质及其判定的应用例教材第23~24页例1【教学说明】体会角平分线上的点与这一点到角两边距离相等可以相互转化，加深对知识的理解和运用.三、运用新知，深化理解1.如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.其中正确的个数有（）2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于D，BC=10cm，CD=6cm，则点D到AC的距离是.△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF 与AD交于G，AD与EF垂直吗？证明你的结论.【教学说明】让学生独立完成，加深对知识的理解与运用，根据学生掌握情况，及时查漏补缺.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时的对应训练部分.⊥EF.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DF，AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF,∴∠ADE=∠ADF,又DE=DF，∴DA⊥EF.四、师生互动，课堂小结谈谈你对本节课的认识，还有什么心得体会?请与大家共同分享.【教学说明】引导学生回顾所学知识，加深印象，同学之间互相取长补短，达到共同提高.1.布置作业：习题1.4中的第2、3题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.利用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题，对于学生来说比较简单，应放手让学生独立完成作业，只是需要注意的是，像与角平分线有关的求证线段相等、角相等的问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出结论.第2课时代数式的值【知识与技能】能熟练地求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或一个算法.【过程与方法】通过感受字母取值的变化与代数式值的变化之间的联系，能利用代数式的值推断一些代数式所反映的规律，提高应用知识的能力.【情感态度】在与他人交流过程中，感受数学活动的生动魅力，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】会求代数式的值并解释代数式值的实际意义.【教学难点】利用代数式求值推断代数式所反映的规律.一、情境导入，初步认识一位医生研究得出由父母身高预测子女成年后身高的公式：儿子身高是由父母身高的和的一半，再乘以1.08；女儿的身高是父亲身高的0.923倍加上母亲身高的和再除以2．（1）已知父亲身高a米，母亲身高b米，试用代数式表示儿子和女儿的身高；（2）女生小红父亲身高1.75米，母亲身高1.62米；男生小明的父亲身高1.70米，母亲身高1.60米．预测成年以后小红和小明谁个子高?【教学说明】利用学生十分关注的身高问题，调动起学生的兴趣，由此也告知学生数学来源于生活.二、思考探究，获取新知1.求代数式的值问题1 教材第81页的“做一做”.【教学说明】学生先了解身体质量指数的计算方法，然后列出代数式，再根据给出的数值求出代数式的值，体会求代数式值的方法.【归纳结论】求代数式的值分两步完成；（1）代入；（2）计算.问题2 教材第81页“议一议”上面的内容.【教学说明】学生通过计算，掌握求代数式值的方法.【归纳结论】用具体数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算计算出的结果叫代数式的值.代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化.2.认识数值转换机下面是一对“数值转换机”写出图①的输出结果；写出图②的运算过程及输出结果.【教学说明】使学生感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法.三、运用新知，深化理解1.填空：（1）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，则2(a＋b)－3cd的值为________.（2）当a＝3，b＝1时，代数式22a b的值为________.2.如图是一数值转换机，若输入的x为-5，则输出的结果为________．3.教材第84页的“随堂练习”第1题.4.教材第84页下方的“随堂练习”第2题.答案：1.-3 （2）5 2 .3.（1）在6%akg到7.5%akg之间；（2）在2.1kg到2.6kg之间；（3）略.4.（1）（2）物体在地球上下落得快；（3）把h=20m分别代入ht2和ht2，得t（地球）≈2（s），t(月球)=5(s).四、师生互动，课堂小结1.让学生充分发表自己的感受，相互补充．2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问?【板书设计】1.布置作业：教材“”第1、2、5题.2.完成练习册中本课时的相应作业.这节课学生进一步理解了代数式和代数式值的概念，锻炼学生的计算能力，激发学生的兴趣.。
人教版八年级上册12.3《角的平分线的性质》教学设计
12.3角的平分线的性质 教学设计教学目标1. 掌握利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质和判定定理；2. 掌握作已知角平分线的方法；了解证明几何命题的一般步骤和格式．3. 在探索问题的过程中体会知识间的关系，能够进行有条理地思考并进行简单的推理．4. 使学生能够利用角平分线的性质和判定定理解决相应的问题．教学重难点重点：探究角平分线的性质，能够利用其解决相关实际问题．难点：角平分线性质的推导过程．课前准备三角板、直尺、圆规、多媒体课件、几何画板教学过程问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？用量角器度量，也可用折纸的方法．[追问1] 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？[追问2] 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD ，BC =DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？师生探究，说明其中的原理(利用“边边边”)，进而得到利用尺规作角平分线的方法．教师出示作图过程：已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线．作法：(1)以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N.(2) 分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点C. (3) 画射线OC.射线OC 即为所求．教师提出问题：角的平分线有哪些性质呢，请同学们与我一同来探究一下吧！【设计意图】1.创设情境，通过实践探究角平分线的作法，引起学生的探究兴趣，引出本节课的内容．2．培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识(SSS)解决问题的能力．3．从试验抽象出几何模型，明确几何作图的基本思路和方法.问题2 【探究1】如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形(以第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？[师生活动]学生活动：学生首先独立操作，然后观察操作后的图形，进行讨论，经过讨论发现，折痕DP和折痕PE与其他边有着特殊的关系：(1)PD⊥OA，PE⊥OB；(2)PD＝PE.然后寻找上述结论成立的理由：(1)由折叠过程可以得到；由(2)可以利用三角形全等的条件得到，△OPD≌△OPE，进而得到PD＝PE.教师活动：组织学生独立操作、思考，在此基础上进行讨论，鼓励学生大胆发言，并对自己的看法作出判断．最后引导学生归纳角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．【探究2】我们已经知道角平分线上的点到角两边的距离相等，那么若一个点到角两边的距离相等，这个点是否在这个角的平分线上呢？谈谈你的看法．如图，已知PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE，那么P点在∠AOB的平分线上吗？为什么？[师生活动]学生活动：学生独立思考，自主探索，利用三角形全等解决问题．考虑连接OP，由条件OP＝OP，PD＝PE，可以判断Rt△OPD≌Rt△OPE，于是得到∠DOP＝∠EOP，即OP 平分∠AOB.教师活动：引导学生对所得出的结论进行推理，在推理的过程中注重学生语言的准确性和简洁性，最后归纳：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．[练习]练习1 下列结论一定成立的是．（1）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD =PE．（2）如图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD =PE．（3）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．[练习2] 如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．【设计意图】1.培养学生的数学抽象概括能力及理性精神.2.通过小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论，从实践中学习知识．3．运用三角形全等的有关知识，归纳、证明角的平分线的性质与判定．通过举例，说明角的平分线的性质在生活、生产中的应用，提高学生解决问题的能力.问题3：例1要在S区建立一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路的交叉处500米．这个集贸市场应建于何处(比例尺为1∶20000)?[师生活动]学生活动：学生小组合作，在独立思考的基础上小组交流，发现若到公路、铁路的距离相等，则集贸市场一定在上述角的平分线上，于是可以用尺规作出角平分线，然后根据比例尺画出集贸市场所在地即可．教师活动：组织学生思考、讨论、交流，引导学生发现集贸市场所在地应在角平分线上这个结论．例2如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA 的距离相等．[思路点拨]因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．[变式]△ABC的面积是24 cm2，它的三条内角平分线的交点到AB的距离为3 cm，则△ABC的周长为________．【设计意图】1.利用所学的数学知识解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段．2．教师注意提醒学生：在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程.问题4：探究交流：你能找到OP＝OP′的条件吗？已知点C是∠AOB平分线上一点，点P，P′分别在OA，OB上，如果要得到OP＝OP′，需要添加下列条件中的某一个即可．请写出所有可能的条件的序号________．①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC；⑤CP⊥OA且CP′⊥OB.[解析] 这是一道角平分线的性质与三角形全等知识的综合题，可通过是否具备全等，是否具备角平分线性质中的条件来加以判断．①如果∠OCP＝∠OCP′，又因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(ASA)，得到OP＝OP′；②如果∠OPC＝∠OP′C，因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(AAS)，得到OP＝OP′；④如果PP′⊥OC，设PP′交OC于D，因为∠ODP＝∠ODP′，∠POC＝∠P′OC，OD＝OD，可证△POD≌△P′OD(ASA)，得到OP＝OP′；⑤如果CP⊥OA且CP′⊥OB，因为∠POC＝∠P′OC，所以CP＝CP′.又因为OC＝OC，可证△POC≌△P′OC(HL)，得到OP＝OP′；③如果PC＝P′C，因为∠POC＝∠P′OC，OC＝OC，这样三个条件不能证明三角形全等，当CP不垂直于OA时，以C为圆心，CP为半径画弧与OP有两个交点，其中的一个交点使△OP′C≌△OPC不成立．所以正确答案为①②④⑤.【设计意图】1.巩固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力．2．培养学生的归纳概括能力及分析问题、思考问题的探究能力.问题5：课堂小结：(1)学生自行小结角平分线性质及其判定定理和它们的区别．(2)说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，说明这一点是三角形的内切圆的圆心(为以后学习设伏)．布置作业：布置作业：课本P51中的习题12.3.【设计意图】课堂小结，发展潜能；布置作业，专题突破.问题6 知识网络：【设计意图】框架图式总结，更容易形成知识网络.第二课时教学目标1.探索并证明角平分线性质定理的逆定理.2.会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．3.培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验．教学重难点重点：角平分线性质定理的逆定理．难点：角平分线的性质的探究.课前准备多媒体课件教学过程问题1：（1）交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．[追问]你能证明这个结论的正确性吗？证明略[练习]判断题：（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；（）（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线；（）（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm，且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．（）（2）在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等．a.这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可建多少个？b.若这个广告牌P 离两条公路交叉处500 m（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000），这个广告牌应建于何处？C.如图，点P是△ABC的两条角平分线BM，CN 的交点，点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？证明：过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F．∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE,同理PE=PF∴PD=PE=PF即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.【设计意图】通过一步一步深入探究，由易到难理解新知识.问题2 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在何处？[变式1] 如图，△ABC 的一个外角的平分线BM 与∠BAC的平分线 AN 相交于点P，求证：点 P 在△ABC另一个外角的平分线上．[变式2] 如图，P 点是△ABC的两个外角平分线 BM，CN 的交点，求证：点 P 在∠BAC 的平分线上．[变式3] 如图，将问题3中“S 区”去掉，广告牌P到两条公路和一条铁路的距离相等．这个广告牌P 应建在何处？【设计意图】通过实际问题的探究，使所学的知识得到熟练的应用；通过不断深入的变式，使学生掌握知识的核心.问题3：课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？（2）本节课的结论与角平分线的性质定理的区别和联系是什么？（3）应用本节课的结论时，常作的辅助线是什么？布置作业：教科书习题12.3第3、7题．【设计意图】课堂小结，发展潜能；布置作业，专题突破.。
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角平分线的性质定理及其逆定理教学设计教学设计思想
通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明。
让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题。
对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据。
最后通过例题的学习来巩固这些知识点。
教学目标
知识与技能
总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明；
说出用尺规作角平分线的依据；
能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明。
过程与方法
经历用尺规作角平分线的过程；
经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力；
情感态度价值观
通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略；
愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见。
教学重点和难点
重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用；
难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用。
解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法。
教学方法
启发引导、小组讨论
课时安排
１课时
教具学具准备
投影仪或电脑、三角板
教学过程设计
（一）角平分线的性质定理
我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？
角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论：
推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。
做一做
证明三角形全等判定公理的推论。
注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS”定理的证明，作为证明本节定理的依据。
证明略。
利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明。
已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。
求证：PD=PE。
证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)，
∴∠1=∠2(角平分线的定义)。
∵PD⊥OA，P E⊥OB(已知)，
∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=∠PEO (已证)，
∠1＝∠2(已证)，
OP＝OP(公共边)，
∴△PDO≌△PEO (AAS)。
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)。
（二）角平分线性质定理的逆定理
做一做
1.请写出角平分线性质定理的逆命题。
2.请根据逆命题的内容，画出图形，并结合图形，写出已知和求证。
3.写出证明过程。
注：类比“线段垂直平分线的性质定理及其逆定理”的学习过程，让学生独立完成“做一做”中提出的问题。
这样，我们就得到：
角平分线性质定理的逆定理到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
（三）尺规作角的平分线
观察与思考
观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如下图)，思考这种作法的依据。
步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于A，B两点。
步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长(大于AB长的一半)为半径画弧，两弧交于点C
步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线。
注：独立完成用尺规作角平分线的过程，进一步培养学生的操作能力，并能说出作图过程中每步的依据。
依据是“SSS”公理和全等三角形的对应角相等。
（四）练习
1.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。
求证，点P到三条边AB，BC，CA的距离相等。
2.在△A BC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F。
求证：点D在∠A的平分线上。
1.提示：过点P分别向△ABC三边作垂线，由角平分线的性质定理及其逆定理即可证明结论。
2.提示：先证△BD E≌△CDF(AAS)。
再由角平分线的性质定理及其逆定理即可得到结论。
（五）小结
引导学生总结本节的主要知识点。
（六）板书设计。