角平分线的性质定理及其逆定理 教学设计

角平分线的性质定理及其逆定理教学设计教学设计思想

通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明。让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题。对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据。最后通过例题的学习来巩固这些知识点。

教学目标

知识与技能

总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明；

说出用尺规作角平分线的依据；

能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明。

过程与方法

经历用尺规作角平分线的过程；

经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力；

情感态度价值观

通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略；

愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见。

教学重点和难点

重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用；

难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用。

解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法。

教学方法

启发引导、小组讨论

课时安排

１课时

教具学具准备

投影仪或电脑、三角板

教学过程设计

（一）角平分线的性质定理

我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？

角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论：

推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。

做一做

证明三角形全等判定公理的推论。

注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS”定理的证明，作为证明本节定理的依据。

证明略。

利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明。

已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。

求证：PD=PE。

证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)，

∴∠1=∠2(角平分线的定义)。

∵PD⊥OA，P E⊥OB(已知)，

∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。

在△PDO和△PEO中，

∠PDO=∠PEO (已证)，

∠1＝∠2(已证)，

OP＝OP(公共边)，

∴△PDO≌△PEO (AAS)。

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)。

（二）角平分线性质定理的逆定理

做一做

1.请写出角平分线性质定理的逆命题。

2.请根据逆命题的内容，画出图形，并结合图形，写出已知和求证。

3.写出证明过程。

注：类比“线段垂直平分线的性质定理及其逆定理”的学习过程，让学生独立完成“做一做”中提出的问题。

这样，我们就得到：

角平分线性质定理的逆定理到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

（三）尺规作角的平分线

观察与思考

观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如下图)，思考这种作法的依据。

步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于A，B两点。

步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长(大于AB长的一半)为半径画弧，两弧交于点C

步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线。

注：独立完成用尺规作角平分线的过程，进一步培养学生的操作能力，并能说出作图过程中每步的依据。

依据是“SSS”公理和全等三角形的对应角相等。

（四）练习

1.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证，点P到三条边AB，BC，CA的距离相等。

2.在△A BC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F。求证：点D在∠A的平分线上。

1.提示：过点P分别向△ABC三边作垂线，由角平分线的性质定理及其逆定理即可证明结论。

2.提示：先证△BD E≌△CDF(AAS)。再由角平分线的性质定理及其逆定理即可得到结论。

（五）小结

引导学生总结本节的主要知识点。

（六）板书设计