相似三角形培优专题讲义

相似三角形培优专题讲义

知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念

1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那

么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n

例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。

2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即

d

c

b a =（或a ：b=

c ：

d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段

比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。）

例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。

（2）比例性质

1.基本性质:

bc ad d c

b a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c

d

a b d c b a =⇒= (把比的前项、后项交换)

3.更比性质(交换比例的内项或外项)：

()()()a b

c d a c d c b d b a

d b

c a ⎧=⎪⎪

⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，

交换内项，交换外项．

同时交换内外项

4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）

如果

)0(≠++++====n f d b n

m

f e d c b a ，那么

b a n f d b m e

c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．

(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

例：已知的值求f

d b

e c a

f d b f e d c b a ++++≠++===),0(54

5.合比性质：

d

d

c b b a

d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．

知识点二：平行线分线段成比例定理

1.平行线分线段成比例定理：

两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。

用符号语言表示： ∵AD//BE//CF,

∴AB BC =

DE EF ,BC

AC

=EF DF ,AB AC =DE

DF

2.推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。

几何语言：由DE ∥BC 可得：AC

AE

AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD =

==或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.

例：如图，在四边形ABCD 中，AD//BC,EF//BC,AG

GC =2

3，则DF

DC =_______。

（1）是“A ”字型 （2）是“8”字型 经常考，关键在于找

知识点三：相似形多边形

1.定义：各角分别相等、各边成比列的两个多边形叫做相似多边形。

2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。

3.判定：如果两个多边形的对应边成比列，对应角相等，那么这两个多边形相似。

（注意：判断两个多边形相似时，一要看各个角是否对应相等，二要看各条边是否对应成比列，这两个条件缺一不可。）

4.任意两个等边三角形相似，任意两个正方形相似，任意两个正n 边形相似。 例1：下列判断正确的是（ ）

A.两个矩形一定相似 。

B.两个平行四边形一定相似。

C.两个正方形一定相似。

D.两个菱形一定相似。

例2：小明将一张报纸对折，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，你能算出报纸的长与宽的比吗？

知识点四：黄金分割

(1) 定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果

AC

BC

AB AC =

，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

618.02

1

5≈-=AB AC 所以：AB AC 215-=

≈0.618AB 。AB BC 2

5

3-= 例：已知线段AB=10cm,点C 是AB 的 黄

金分割点，且AC ＞BC ，求AC 和BC 的长。

(2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C 使C 是线段AB 的黄金分割点. 作法：①过点B 作BD ⊥AB ，使BD =1

2AB ；

②连结AD ，在DA 上截取DE=DB ；

③在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为：

.

（3）黄金矩形：在矩形中，如果宽与长的比是黄金比，那么这个矩形叫做黄金矩形。

（4）黄金三角形：顶角为36。的等腰三角形叫做黄金三角形，因为该三角形的底边比上腰长等于√5−1

2

例：如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是角平分线．

(1)求证：AD2=CD·AC；

(2)若AC=a，求AD．

知识点五：相似三角形

1、相似三角形

（1）定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似（相似比为1）。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。（2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

（3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。相似比为k。

（4）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相

交，所构成的三角形与原三角形相似。

2.三角形相似的判定定理：

判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。(此定理用的最多)

几何语言：在△ABC和△DEF中

如果