相似三角形培优专题讲义

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相似三角形详细讲义

知识梳理相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ，ADE ∽ABC ．相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ．(2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ．(3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ．三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似）6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

《相似三角形》讲义

《相似三角形》讲义一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。

相似三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它在几何证明、计算以及实际生活中都有着广泛的应用。

二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

这是因为三角形的内角和为 180 度，当两个角相等时，第三个角也必然相等。

例如，在三角形ABC 和三角形A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果AB/A'B' ＝ AC/A'C'，且∠A ＝∠A'，那么三角形 ABC 相似于三角形A'B'C'。

3、三边成比例的两个三角形相似如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝AC/A'C'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等这是相似三角形的基本性质之一。

因为相似三角形是通过对应角相等来定义的，所以相似三角形的对应角必然相等。

2、相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边的比值是相等的，这个比值称为相似比。

例如，如果三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，相似比为 k，那么 AB/A'B' ＝BC/B'C' ＝ AC/A'C' ＝ k。

学生第1讲相似三角形培优课件讲义1!.doc

第1讲相似三角形讲义学习目标解三角形相似的判定方法学习重点：能够运用三角形相似判定方法解决数学问题及实际问题．学习难点：运用三角形相似判定方法解决数学问题的思路学习过程一、证明三角形相似例1：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC例2、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。

下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形EC(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

ABCDE12AABB C CDDEE12412(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA二、相似三角形证明比例式和乘积式例3、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DF∙AC=BC∙FEAB CDE FAB CDEFK例4：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。

求证：（1）MA 2=MD ∙ME ；（2）MD MEADAE =22三、相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。

例5：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且31==AD AF AB EB 。

求证：∠AEF=∠FBD例6、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG例7、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BFABCDEM12A B CD E F GA B C D F G E AB C DE F O123E 图2目标训练一、填空题1、两个相似三角形的面积比S 1:S 2与它们对应高之比h 1:h 2之间的关系为．2、如图2，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果23BE BC =，那么BF FD= ．233、如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为．4. △ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且AD ：1，则S △ADE ：S 四边形DFGE ：S 四边形FBCG =二、选择题1.已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为（）(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：12.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个3.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（） A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm4、如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31Ｄ．94（第3题图）1 2 345、如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为（） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:46、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（） A 、b a c =+ B 、b ac = C 、222b ac =+ D 、22b a c ==7、如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于 D ,设BP =x ,则PD+PE =（） A.35x + B.45x -C.72D.21212525x x -三、解答题1、如图5，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF.（1）求证：EF ∥BC.（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.2、（本小题满分10分）如图：在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E,连接BP 交AC 于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF;(3) 以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△ABC 和△ABG 的面积分别ABCDE P为S △ABC 和S △ABG ,如果存在点P,能使得S △ABC =S △ABG ,求∠C 的取之范围。

第11讲相似三角形之类比探究培优班讲义

相似之类比探究（讲义）一、知识点睛● 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主． ● 解决类比探究问题的通常思路解决类比探究问题的核心思想是类比（照搬），类比上一问的思路方法（如照搬字母，照搬辅助线等）．探究变化过程中的不变特征（如常见结构），是类比的前提．● 类比探究中的常见结构平行结构：由比例找平行，构造A 字型或X 型；直角结构：由斜置的直角通过作垂线构造相似三角形．二、精讲精练1. 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3AFEF=，求CD CG 的值．（1）尝试探究：在图1中，过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是_____________，CG 和EH 的数量关系是_____________，CDCG的值是_________．（2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AFm EF=（m >0），则CD CG的值是_________（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．图3BFE CDA图2ADE F G图1ABCDE F G（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若ABa CD=，BCb BE=（a >0，b >0），则AF EF 的值是________（用含a ，b 的代数式表示）．2. 数学课上，魏老师出示图1和下面框中条件：（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AMDM的值为___________；②在平移过程中，AMDM的值为___________（用含x 的代数式表示）．（2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请计算AMDM的值．（3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，090m <≤，原题中的其他条件保持不变，如图4所示，请计算AMDM的值（用含x 的代数式表示）．如图1，两个等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，∠ABC =∠DEF =90°，AB =1，DE =2．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C ，E 两点间的距离为x ．图2l图1图4图3图3FECDA3. 如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF =EG ．（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB =a ，BC =b ，求EFEG的值．E (A )BCD FGG FD CBAEEACD FG (B )图1图2图34. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，AC =mBC ，CE =nEA （m ，n 为实数）.试探究线段EF 与EG 的数量关系．（1）如图2，当m =1，n =1时，EF 与EG 的数量关系是 ____________．（2）如图3，当m =1，n 为任意实数时，EF 与EG 的数量关系是______________，并证明你的结论．（3）如图1，当m ，n 均为任意实数时，EF 与EG 的数量关系是______________．（写出关系式，不必证明）三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________D A B图1GC E图2G D FEC图3C GBA D F E【参考答案】1.（1）AB =3EH ；CG =2EH ；32（2）2m；提示：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H （3）ab ；提示：过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H2.（1）①1；②2x（2）提示：过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ，连接AG ，证AG ∥DE ，得△AMG ∽△DME ，所以212AM AG DM DE ===（3）提示：过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ，连接AG ，证AG ∥DE ，得△AMG ∽△DME ，所以2AM AG xDM DE ==．3.（1）提示：证明Rt △FED ≌Rt △GEB (ASA)，所以EF =EG ；（2）成立．理由如下：证明：如图，I HEAB CD FG过点E 分别作BC ，CD 的垂线，垂足分别为H ，I ，证明Rt △FEI ≌Rt △GEH (ASA)，所以EF =EG ；（3）解：如图，MN G (B )FD CAE过点E 分别作BC ，CD 的垂线，垂足分别为M ，N ，证明△GME ∽△FNE ，所以EF bEG a． 4. （1）EF =EG ．（2）EF =1nEG ；作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥CD 于点NN MEC FAG（3）EF =1mnEG ． I H C EF DA BG相似之类比探究（每日一题）姓名_________1．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当11211==+AE AC 时，有22321==+AO AD ；（2）当11312==+AE AC 时，有22422==+AO AD ；（3）当11413==+AE AC 时，有22523==+AO AD ；（4）当11=+AE AC n 时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AOAD的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）．OE D CBA2．在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1=∠2=45°．（1）如图1，若AO =OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系．（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2，其中AO =OB ．求证：AC =BD ，AC ⊥BD ．（3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图3，求BDAC的值． ABD OM NC 1221NM O D BA21C NMO D BA图1图2图33．已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P ．（1）如图1，当D 为OA 中点时，求APPC 的值；（2）如图2，当AD :DO =1:m 时，求APPC的值；（3）如图3，把题目中“点C 为OB 中点”改为“BC :CO =1:n ”，当AD :DO =1:m 时，直接写出APPC的值． ABC DOPPODC BA PODC BA 图1图2图34．（1）如图1，已知正方形ABCD ，E 是AD 上一点，F 是BC 上一点，G 是AB 上一点，H 是CD 上一点，线段EF ，GH 交于点O ，∠EOH =∠C ．求证：EF =GH ．（2）如图2，若将“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且AD =mAB ，其他条件不变，探索线段EF 与线段GH 的数量关系并加以证明．（3）根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题，画出图形，并证明；若不能，说明理由．A BCD EFG HOOHG F EDCBA图1图25．在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，点F 在BC 的延长线上，CM 平分∠DCF ，连接AE ，作EM ⊥AE 交CM 于点M ．（1）如图1，当AB =BC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明；（2）如图2，当AB =nBC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明；（3）如图3，把题目中“E 是BC 的中点”改为“BE =mEC ”，当AB =nBC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明．图3图2图1ABCDFEM ABCDFE MME FDCBA【参考答案】1．解：当11=+AE AC n 时，2=2AO AD n+ FOEDCBA证明如下：过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ∵ 11=+AE AC n ∴1AE EC n =∵ AF ∥BC∴ △AEF ∽△CEB ，△AOF ∽△DOB ∴1AF AE BC EC n ==，AF AOBD OD =∵ D 为BC 的中点 ∴ BD =DC∴2212AF AF AFBD BC nBC===∴2=AOOD n，即：2=2AOAD n+2．解：（1）由题意知∠BOD=∠1=45°，此时△OBD是等腰直角三角形∴OB=BD，OB⊥BD∴AO=BD，AO⊥BD（2）如图2，EFC21NMODBA图2过点B作BE//AC交CD于点E，延长AC，DB交于点F．∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°，∠ACO=∠BEO，∠OAC=∠OBE ∴△BED，△FCD是等腰直角三角形∴BD=BE，AC⊥BD∵AO=BO∴△AOC≌△BOE，∴AC=BE∴AC=BD，AC⊥BD（3）如图3，EF21CNMODBA图3过点B作BE//AC交CD于点E，延长AC，DB交于点F．∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°，∠ACO=∠BEO，∠OAC=∠OBE ∴△BED、△FCD是等腰直角三角形，且△AOC∽△BOE∴BD=BE，BE OB AC OA=∵OB是OA的k倍∴BE AC=k∴BDk AC=3．解：（1）如图1，E图1BPODCA过点D作DE∥OB交AC于点E，∠ADE=∠O，∠AED=∠ACO∴△ADE∽△AOC∴12 AE AD DE DE AC AO OC BC====又∵DE∥OB∴∠EDP=∠B，∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP∴12 EP DE PC BC==∴AP PC=2（2）如图2，E图2OADPB过点D作DE∥OB交AC于点E，∠ADE=∠O，∠AED=∠ACO ∴△ADE∽△AOC∴11AE AD DE DEAC AO OC BC m====+，1AE ADEC DO m==∵DE∥OB∴∠EDP=∠B，∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP∴11 EP DEPC BC m==+∴12 EPEC m=+设AE =k ，则EC =mk ∴ EP =2mkm + ∴ AP =AE +EP =2222mk mk kk m m ++=++，PC =EC －EP =222mk m k mk mk m m +-=++ ∴AP PC =2m（3）1n m+ 4．证明：（1）如图1，Q N MR 图1OHG FED C BA过点F 作FM ⊥AD 于M ，过点G 作GN ⊥CD 于N则FM =GN =CD =BC ，且GN ⊥FM ，设它们的垂足为Q ，EF ，GN 交于点R ∵ ∠EOH =∠GOF =∠C =90°，∴ ∠OGR =90°-∠GRO =90°-∠QRF =∠OFM ． ∵ ∠GNH =∠FME =90°，FM =GN ， ∴ △GNH ≌△FME ． ∴ EF =GH（2）GH=mEF证明如下：如图2，MNRQ图2AB CDEFGHO过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF，GN交于点R，GN，MF交于点Q∵∠EOH=∠GOF=∠C=90°，∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF =∠OFM．∵∠GNH=∠FME=90°，∴△GNH∽△FME．∴GH ADEF AB=m，即：GH=mEF（3）A E M DHNCQORFGB如图，已知平行四边形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF，GH交于点O，∠EOH=∠C，AD=mAB，则GH=mEF．证明：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF，GN交于点R、GN，MF交于点Q，在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°∴∠ADC+∠MQN=180°．∴∠MQN=∠C=∠EOH=∠GOF．∵∠ORG=∠QRF，∴∠HGN=∠EFM．∵∠FME=∠GNH=90°，∴△GNH∽△FME．∴GH GN EF MF=∵AB⋅GN=AD⋅MF∴GN AD FM AB==m∴GHmEF=，即：GH=mEF5．解：（1）AE=EM，理由如下：如图1，G图1ME FDCBA取AB的中点G，连接GE．∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∵点E，G分别为正方形ABCD的边BC和AB的中点∴AG=EC∵△BGE是等腰直角三角形∴∠AGE=135°∵CM平分∠DCF∴∠ECM=135°∴△AEG≌△EMC∴AE=EM（2）当AB=nBC时，AE=(2n-1)EM，理由如下：如图2，G图2AB CDFEM在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°∴∠AGE=∠ECM=135°∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∴△AEG∽△EMC∴AE AG EM EC=∵AB=nBC，BC=2BE=2EC，BG=BE ∴AG+BG=2nEC∴AG=(2n-1)EC∴AE AGEM EC==(2n-1)∴AE=(2n-1)EM（3）当AB=nBC，BE=mEC时，AE=(mn+n-m)EM，理由如下：如图3，ME FDCBA图3G在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°∴∠AGE=∠ECM=135°∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∴△AEG∽△EMC∴AE AG EM EC=∵BE=mEC∴BC=BE+EC=(m+1)EC ∵AB=nBC，BG=BE∴AG+BG=n(m+1)EC∴AG+mEC=n(m+1)EC ∴AG=(mn+n-m)EC∴AE AGEM EC==(mn+n-m)∴AE=(mn+n-m)EM相似之类比探究（随堂测试）1．已知：在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠A =30°，点P 在AC 上，且∠MPN =90°．当点P 为线段AC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，BC 上时（如图1），过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，可证Rt △PME ∽Rt △PNF ，得出PN（不需证明）．当PCP A ，点M ，N 分别在线段AB ，BC 或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN ，PM 之间的数量关系，并任选一种情况给予证明．图3B NAPMC【参考答案】如图2，如图3中都有结论：PNPM ．理由略HG AMBPCI QC MPANB图1AEFMCPB 图2CPBMA相似之类比探究（作业）2. 原题：如图1，D 是△ABC 的边BC 上一点，过点D 的一条直线交AC 于点F ，交BA 的延长线于点E ．若BD =CD ，CF =2AF ，则EAEB的值是_____________．（1）如图2，在原题的条件下，若BD =CD ，CF =mAF ，则EAEB的值是__________（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．（2）如图3，若将原题改为“过点D 的一条直线交AC 的延长线于点F ，交AB 于点E ”，且BD =aCD ，CF =bAF ，则EAEB的值是__________（用含a ，b的代数式表示）．图1BD FEA图2FAE B 图3BCD E A3. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ．（1）求证：△ABF ∽△COE ；（2）如图2，当O 为边AC 中点，2AC AB =时，求OFOE的值；（3）如图3，当O 为边AC 中点，ACn AB=时，请直接写出OFOE的值．DEFBA图2A CED F B图3图1BF D O ECA4. 如图，在△ABC 中，∠A =60°，BD ，CE 分别是AC ，AB 上的高．求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；（3）BC =2ED ．DCAEB【参考答案】1. 原题：12；（1）1m ；（2）1ab；2. 解：（1）略（2）2OF OE=．提示：如图，过点O 作OG ∥AB 交BC 于点G ，证明△AOF ∽△GOEGDEOCFBA（3）OFn OE = 3.（1）略；（2）略；（3）略。

相似三角形的培优讲义

相似21、数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为米．2、（2009年淄博市）如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为（）A ．9B ．10.5C ．12D ．153、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（）A 、17172B 、17174 C 、 17178D 、3 4、（2009年重庆市江津区）在△ABC 中，BC =10，B 1 、C 1分别是图①中AB 、AC 的中点，在图②中，2121、C 、C 、B B 分别是AB ,AC 的三等分点，在图③中921921;C 、C C B 、、B B 分别是AB 、AC的10等分点，则992211C B C B C B +++ 的值是（）A . 30B . 45C .55D .60① ② ③5、(2009年陕西省)小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD ＝1.2m ，CE ＝0.8m ，CA ＝30m （点A 、E 、C 在同一直线上）．已知小明的身高EF 是1.7m ，请你帮小明求出楼高AB ．A BCD EF P6、如图,已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC,点E 、F 在AB 上,∠ECF=45°.（1）求证:△ACF ∽△BEC ；（2）设△ABC 的面积为S ，求证:AF ·BE=2S.7、如图,在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC,DE ⊥AC,M 为DE 的中点,AM 与BE 相交于N,AD 与BE 相交于F.求证:（1）DE CE =AD CD ；（2）△BCE ∽△ADM ；（3）AM 与BE 互相垂直.45°A EFBC ADBFE N MC8、（2009年中山）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．9．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=2，BC=3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ），Q 是BC 边上的任意一点. 连AQ 、DQ ，过P 作PE ∥DQ 交AQ 于E ，作PF ∥AQ 交DQ 于F. （1）求证：△APE ∽△ADQ ；（2）设AP 的长为x ，试求△PEF 的面积S △PEF 关于x 的函数关系式，并求当P 在何处时，S △PEF 取得最大值？最大值为多少？（3）当Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？（须给出确定Q 在何处的过程或方法，不必给出证明）A BCD PEFQ10、(2009年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；（2）连接FC ，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB =a ，BC =b （a 、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan ∠FCN 的值；若∠FCN图（2）NM B E C DFG图（1）A巩固练习1、(2009年温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) A．第4张 B．第5张 C.第6张 D．第7张2、（2009年孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．3、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=40cm，BC=48cm，动点P从A开始沿AD边向D以每秒2cm的速度运动，动点Q开始沿CB边向B以每秒6cm的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发，设运动时间为t秒，则（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）t为何值时四边形PQCD为等腰梯形？4、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=3,BC=7,∠B=60°P为下底BC上一点（不与B,C重合），连接AP,过点P作PE交DC于E，使∠APE=∠B(1)求证：△AB P∽△PCE (2)求等腰梯形的腰AB的长（3）在底边BC上是否存在点P，使得DE：EC=5:3，如果存在，求BP的长，如果不存在，说明理由PAB CDQ证:△ABP∽△DPC；（2）如果点P在AD边上移动（P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么,当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x，CQ=y，求关于的函数解析式,并写出函数的取值范围.6、如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段DA上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P、Q移动的时间为t秒，(1)求直线AB的解析式；(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似?并求出此时点P与点Q的坐标；(3)当t为何值时，△APQ的面积为245个平方单位?B CDAPEQB CDA P。

第四章相似三角形培优生讲义 (1)

九年级上册第四章相似三角形培优生讲义一．解答题（共40小题）1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AB边上，且E是BF 中点，连接DE，CF交AD于G，．（1）求证：△AFG∽△AED；（2）若FG=3，G为AD中点，求CG的长．2．如图，一位同学想利用树影测量树AB的高，他在某一时刻测得直立于地面上的一根长为1m的竹竿影长为0.9m，但他马上测量树AB的影长时，因树AB 靠近一幢建筑物，有一部分影子落在建筑物的墙上，他先测得落在建筑物墙上的影高CD为1.2m，又测得落在地面上的影长为2.7m，求树AB的高．3．如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6m，标杆FC=2.2m，且BC=1m，CD=5m，标杆FC、ED垂直于地面．求电视塔的高ED．4．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，QR∥BA，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q 运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t为何值时，△APR∽△PRQ？5．如图，点D是等边△ABC中BC边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC，AB于E，F，连接BE，CF，分别交DF，DE于点N，M，连接MN．试判断△DMN的形状，并说明理由．6．如图，已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC交于点F（1）写出图中的相似三角形；（2）求证：AE2=AF•AC．7．对于平行线，我们有这样的结论：如图1，AB∥CD，AD，BC交于点O，则=．请利用该结论解答下面的问题：如图2，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．8．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．9．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，求证：△ABE∽△DEF．10．如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE．11．已知：如图，△ABC中，∠ACD=∠B，求证：△ABC∽△ACD．12．如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE，证明：△ABC∽△CDE．13．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足E为BC中点，连接DE，F 为DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=2，求AF的长．14．如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线，求旗杆AB的高度．15．如图，在三角形ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD：DB=3：2，BC=25，求FC 的长．16．如图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：+=．17．已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F（AB＞AE）．问：△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．18．已知，如图在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q 到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？19．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°．观察图形：（1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论．（2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由．20．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，求证：△ABE∽△DEF．21．已知：如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．求证：△ABD∽△CBA．22．如图，△ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点，且∠DAE=120°（1）求证：△ADB∽△EAC；（2）求证：BD•EC=BC2．23．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若△FCD的面积为7.5，BC=10，求DE的长．24．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长．25．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AD=4，BD=8，DE=5，求BF的长．26．如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值．27．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4米（如图1）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.3米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.5米．（1）在横线上直接填写甲树的高度为米．（2）求出乙树的高度．（3）请选择丙树的高度为A、6.5米B、5.5米C、6.3米D、4.9米．28．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD 的长．（结果精确到0.1m）．29．如图，地面上直立着的两根高压电线杆相距50m（CD的长度），分别在高为30m的A处和20m的B处用钢索将两电线杆固定．（1）求钢索AD和钢索BC的交点E处离地面的高度．（2）若两电线杆的距离（CD的长度）发生变化，点E离地面的高度是否随之发生变化？说明理由．30．以定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上（AM＞MD），如图所示．（1）求证：M是线段AD的黄金分割点．（2）如果AB=，求AM的长．（3）作PN⊥PD交BC于N连ND．△BPN与△PDN是否相似．若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．31．一块直角三角形木块的面积为1.5m2，直角边AB长1.5m，想要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图①、图②所示．你能用所学知识说明谁的加工方法更符合要求吗？32．如图，已知BD、CE都是△ABC的高，CE交BD于O，（1）请你写出图中的相似三角形；（2）从中挑选其中的一对进行证明．33．在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点：求证：（1）DE∥BC且DE=BC；（2）若△ABC面积为S，求证：S=．△DEF34．如图，已知正方形ABCD和正方形DEFG，点G在AD上．连接AE交FG于点M，连接CG并延长交AE于点N，（1）写出图中所有与△EFM相似的三角形；（2）证明：EF2=FM•CD．35．求比例式的值常用的方法有“设参消参法”“代入消元法”“特殊值法”．例：已知==，求的值．方法1：设===k，则x=2k，y=5k，z=7k，所以===．方法2：由==，得y=x，z=x，代入，得===．方法3：取x=2，y=5，z=7，则==．参考上面的资料解答下面的问题．已知a，b，c为△ABC的三条边，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）=﹣2：7：1，a+b+c=24．（1）求a，b，c的值；（2）判断△ABC的形状．。

学生第1讲相似三角形培优讲义1

ABCDE12AABB C CDDEE12412(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

求证：（1）MA 2=MD ∙ME ；（2）MD MEADAE =22三、相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。

例5：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且31==AD AF AB EB 。

求证：∠AEF=∠FBD例6、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG例7、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BFABCDEM12A B CD E F GA BC DF G E AB C DEF O123E图2目标训练一、填空题1、两个相似三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为．2、如图2，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果23BEBC=，那么BFFD=．233、如图，点1234A A A A，，，在射线OA上，点123B B B，，在射线OB上，且112233A B A B A B∥∥，213243A B A B A B∥∥．若212A B B△，323A B B△的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为．4. △ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：1，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG=二、选择题1.已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：12.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x 的值（）A．只有1个 B．可以有2个C．有2个以上但有限 D．有无数个3.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm4、如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）Ａ．91Ｂ．92Ｃ．31Ｄ．94（第3题图）1 2 3 45、如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为（） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:46、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（） A 、b a c =+ B 、b ac = C 、222b ac =+ D 、22b a c ==7、如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于 D ,设BP =x ,则PD+PE =（） A.35x + B.45x -C.72D.21212525x x -三、解答题1、如图5，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF.（1）求证：EF ∥BC.（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.2、（本小题满分10分）如图：在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E,连接BP 交AC 于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF;(3) 以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△ABC 和△ABG 的面积分别为S △ABC 和S △ABG ,如果存在点P,能使得S △ABC =S △ABG ,求∠C 的取之范围。

相似三角形辅导讲义

图形的相似辅导讲义【知识点拨及配套练习】形状相同的图形叫做相似图形。

（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；（2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；（3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。

（2011年海宁市盐官片一模）视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A 、平移B 、旋转C 、对称D 、相似在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。

（1）若四条线段a 、b 、c 、d 成比例，则记作a cb d=或::a b c d =。

（2）四条线段a 、b 、c 、d 的单位应一致（3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。

（4）拓展：比例式中，a c b d=或()a b c d =：：中，a 、d 叫外项，b 、c 叫内项，a 、c 叫前项，b 、d 叫后项，如果b c =，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

下列各组线段中，能组成比例线段的是（）A 、3、6、7、9B 、2、5、6、8、C 、3、6、9、18D 、1、2、3、4（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。

（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。

如果一个矩形对折后和原来的矩形相似，则此矩形的长边与短边之比为（）A 、2：1B 、4：11C 、2：1D 、1.5：11、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。

三角形相似具有传递性。

2、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。

教师第2讲相似三角形培优讲义2

第2讲相似三角形培优讲义学习重点：相似三角形综合应用学习难点：应用相似三角形性质判定综合证明几何题的方法学习过程典型例题例1.已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝900，AD ⊥BC 于D ，E 是AB 上一点，AF ⊥CE 于F ， AD 交CE 于G 点，求证：∠B ＝∠CFD 证明：∵在Rt △AEC 中，AF ⊥EC ，∴AC ²=CF •CE ．【没学射影定理的话也可以根据△ACF ∽△ECA 得到AC/CE=CF/AC 来证】∵在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，∴AC ²=CD •CB ．∴CF •CE=CD •CB ．∴CF/CB=CD/CE ． ∵∠DCF=∠ECB ，∴△DCF ∽△ECB ．∴∠B=∠CFD ．2例3、如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，10OA -=．（1）求点A ，点B 的坐标．（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点AB P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？A B C DE FG若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）∵∴OB2∴OB= ，OA=1．点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，∴A（1，0），B（0，）．（2）由（1），得AC=4，=12+()2=2，=()2+(3)2=2，∴AB2+BC2=22+（2）2=16=AC2．∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°．设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ= ，∴S=S△ABC-S△APC= ×4×-×4×= 2-t（0≤t＜23）．（3）P(-3,0), (-1,), (1,), (3, )例4、如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，点O是AC边上一点，连接BOxAOCB交AD于F，OE⊥BO交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O为AC边中点，2=ABAC时，如图2，求OEOF的值；（3）当O为AC边中点，nABAC=时，请直接写出OEOF的值．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C =90°∵∠BAC =90°∴∠BAF=∠C．∵OE⊥OB，∠BOA+∠COE =90°，∴∠BOA+ ∠ABF= 90°∴∠ABF= ∠COE∴△ABF∽△COE．(2)作OG⊥AC，交AD的延长线于G，∵AC= 2AB，O是AC边的中点，∴AB= OC= OA．由(1)有△ABF∽△COE,∴△ABF≌△COE.∴BF= OE，∠BAD+∠DAC =90°，∠DAB+ ∠ABD =90°，∴∠DAC =∠ABD．又∠BAC= ∠AOG= 90°，AB= OA，△ABC≌△OAG.∴OG =AC= 2AB，∵OG⊥OA，∴△ABC≌△OAG.∴OC =AC= 2AB，∵OG⊥OA∴AB∥OG∴△ABF∽△GOF，∴(3)．例5、如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是DC中点，点F在BC边上，且CF=1，在△AEF中作正方形A1B1C1D1，使边A1B1在AF上，其余两个顶点C1、D1分别在EF和AE上．（1）请直接写出图中两直角边之比等于1：2的三个直角三角形（不另添加字母及辅助线）；（2）求AF的长及正方形A1B1C1D1的边长；（3）在（2）的条件下，取出△AEF，将△EC1D1沿直线C1D1、△C1FB1沿直线C1B1分别向正方形A1B1C1D1内折叠，求小正方形A1B1C1D1未被两个折叠三角覆BBA ACOEDDECOF图1 图2F盖的四边形面积．解：（1）Rt△CEF、Rt△ADE、Rt△AEF、Rt△AA1D1、Rt△ED1C1、Rt△C1B1F．（写出其中三个即可）（2）AF==5过E作EM⊥AF，垂足为M，交D1C1于N，则∵AD=4，DE=EC=2，CF=1，∴EF=，AE==2，∵EM×AF=AE×EF=2S△AEF，即5EM=×2，∴EM=2，∵四边形A1B1C1D1是正方形∴D1C1∥AF∴△D1C1E∽△AFE∴设正方形A1B1C1D1的边长为x，则解得x=∴正方形A1B1C1D1的边长为．（3）∵D1C1=，EN=2-=∴S△D1EC1=××=∴=，C1B1=∴B1F=∴S△C1B1F1=××=∵∠1=∠2，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°∴∠3=∠4∴E1点在C1F1上又∵=（）2=∴S未被覆盖四边形=--=．例6、如图，在边长为8厘米的正方形ABCD内，贴上一个边长为4厘米的正方形AEFG，正方形ABCD未被盖住的部分为多边形EBCDGF．动点P从点B出发，沿B?C?D方向以1厘米/秒速度运动，到点D停止，连接PA，PE．设点P运动x秒后，△APE与多边形EBCDGF 重叠部分的面积为y厘米2．（1）当x=5时，求y的值；（2）当x=10时，求y的值；（3）求y与x之间的函数关系式；（4）在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．解：设AP与EF（或GF）交于点Q．（1）在正方形ABCD和正方形AEFG中，E为AB中点，∴EQ∥BP，即EQ为△ABP的中位线．当x=5时，PB=5，∴QE=PB=，∵BE=4，∴y=EQ•EB=×4=5．（2）当x=10时，如图2，PD=6，GQ=3，QF=FG-GQ=1，AE=4．∴S梯形AQFE=×4=10．S△PAE=AE•BC=×4×8=16，∴y=S△PAE-S梯形AQFE=16-10=6．（3）当0≤x≤8时，y=x；当8≤x≤12时，y=-x+16；当12≤x≤16时，y=4．（4）图象如下：分析：（1）由于图1中的重叠部分为△PQE，∴y=S△PQE=12EQ•EB．（2）图2中的重叠部分y=S△PAE-S梯形QFEA．（3）由题意知y与x之间的函数关系式写为0≤x≤8，8≤x≤12，12≤x≤16三段分别求解．（4）根据题意直接作图即可．点评：此题是一个动点问题，考查正方形的性质，中位线的性质及图形面积的求法．作为压轴题，综合了初中阶段的重点知识，能够培养同学们综合运用知识的能力．目标训练一、选择题：1、如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴的夹角为60°,且点A坐标为(- 2,0),点B在x轴上方,设AB=a,那么点B的横坐标为( D )A、2-2aB、2+2aC、-2-2aD、-2+2a分析：本题本题可先根据三角函数求出AC和BC的值，由此即可得出B点的坐标．解：∵∠BAC=60°，∠BCA=90°，AB=a，则AC=AB×cos60°=a，BC=AB×sin60°=a，∴点B的横坐标为a-2，纵坐标为a．故选D．2、如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．12C．D．分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=故选C．3、如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE 并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB 的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．4、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）.BA. 只有1个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个解：当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x的值为7，故x的值可以为5或7.两种情况。

2.相似三角形专题讲义

相似三角形专题讲义一、本章知识点：1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c da b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

其中AB AC 215-=≈0.618AB 。

2. 比例性质：①基本性质：a b c da dbc =⇔= ②合比性质：±±a b cd a b b c dd=⇒=③等比性质：……≠……a b c d mn b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

如图：L 1∥L 2∥L 3。

则，，，…A B B C D E E F A B A C D E D F B C A C E FD F===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4.相似三角形的概念：①定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” 。

②相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． ③对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。

④顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的。

⑤相似三角形特点：两个三角形形状一样，但大小不一定一样。

如：全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例。

⑥相似三角形的等价关系：对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆。

第3讲相似三角形判定定理1,定理2 培优讲义

第3讲相似三角形判定定理1，定理2 培优讲义知识梳理：1.定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

2.定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

经典练习：1．如图1，（1）若OAOB=_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________．（2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边．（3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD．2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______．(1) (2) (3)3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=•∠BAO，•则点C•的坐标为________，•AC=_______．4．已知，如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形．5．下列各组图形一定相似的是（）．A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（）．A．45° B．60° C．75° D．90°(4) (5) (6)7．如图6，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________．8．如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．9、如图，△ABC 和△ADE 的边BC 、AD 相交于点O ，且∠1 = ∠2 = ∠3，点C 在DE 上，求证：△ABC ∽△ADE.10、已知：如图，在四边形ABCD 中，B ACD ∠=∠，AB=6，BC=4，AC=5，CD=217，求AD 的长．11.已知：如图，AB ：AC=AD ：AE ，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△AED ．12. 如图，△ABC 是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点）．（1）若以格点P 、A 、B 为顶点的三角形与△ABC 所有符合要求的点P ；（2）请写出符合条件格点P 的坐标．DC B A巩固提高：1、填空1. 如图；在△ABC 中，DE 不平行BC,当_____=AEAB时，△ABC ∽△AED ，若AB=8，BC=7,AE=5,则DE=___________2．如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长.3、如图，△ABC 与△ADE 都是等腰三角形，AD =AE ，AB =AC ，∠DAB =∠CAE 。

八年级培优讲义第06讲：相似三角形(基础篇)

第六讲：相似三角形（基础篇）【知识梳理】1、比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b ＝c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

2、平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

4、相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 5、相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方3、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论：（1）如图1，当时，ABC ADE ∆∆∽（2）如图2，当时， ABC AED ∆∆∽。

（3）如图3，当时， ABC ACD ∆∆∽。

AB DE AB DE BC EF BC EF AC DF AC DF ===则，，，…DAEDBAED A（4）如图4，如图1，当AB ∥ED 时，则△ ∽△ 。

（5）如图5，当时，则△ ∽△ 。

图4 图5 （6）如右图，特殊图形（双垂直模型） ∵∠BAC ＝90° ∴【例题精讲】【例1】如图所示，给出下列条件： ①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC=；④2AC AD AB =⋅．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【巩固】1、如图，DE ∥BC ，DH ∥EC 交BC 延长线于点H (1)试找出图中的相似三角形?(2)若AE:AC ＝1:2，则AC:DH ＝_______。

相似三角形培优专题

第3讲-相似三角形培优专题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第3讲相似三角形培优专题1.如图1，在等腰△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，连结AD ，过D 作AB 、AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，求证：DE +DF 的长是定值。

2.如图2，在等腰△ABC 中，AB =AC ，点D '在BC 的延长线上，过D '作AB 、AC 的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：N D M D '-'的长是定值。

3.如图，在△ABC 中，D 为BC 上任意一点，连结AD ，P 为AD 上任意一点，连结PB 、PC ，求证：DC BD S S APC ABP =∆∆。

P D CB A 图2N M D'C B A 图1FE DCB A用面积法证明下述定理：4.在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，求证：AB :AC =BD :DC 。

5.（赛瓦定理）如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，连结AD 、BE 、CF 交于点O ，求证：1=⨯⨯FB AF AE CE DC BD 。

6.（梅内劳斯定理）如图，一条直线与三角形ABC 的三边BC ，CA ，BA （或其延长线）分别交于D ，E ，F 。

求证：1=⨯⨯FBAF EA CE DC BD 。

O F E D C B A F E D C B A7.如图，在△ABC 中，D 是BC 边中点，G 是AD （不包括A 、D 两点）上一动点，BG 、CG 的延长线分别交AC 、AB 于点F 、E 。

（1）求证：FC AF EB AE=；（2）设x EB AE =，用含x 的代数式表示ABCCGF BGE S S S ∆∆∆+，并求出它的最大值。

8.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽12CD m =，塔影长18DE m =，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为( )A ．24mB ．22mC ．20mD ．18mG FE D C B A9.在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠CO A＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2E B，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。

相似三角形精编培优专题

专题一：相似三角形第一部分：相似探究说明：相似的判定分为①两角等相似；②两边对应成比例且夹角等相似；③三边对应成比例相似．其中对“两角等得相似”的考察最为普遍．相似探究一般地有：①面积探究；②线段关系探究；③角的关系探究等．通法：当你发现问题中出现以下情况时，基本是借助相似解决问题：①比或比例；②线段积；③边或角所在三角形与已知的边或角所在三角形不全等．这种意识太重要了！一、已有相似图形：找相似、证相似、用相似图中有相似图形的，关键是找出相似的条件．（一）“平行出相似”（即“A”字型相似与“8”字型相似，说明略）例10-1-1 如图10-1-1，D、E分别是△ABC的CB边、CA边的中点，请你写出两对相似三角形，并指出其对应的面积比．图10-1-1例10-1-2 问题背景：（1）如图10-1-2 ①，△ABC中，DE//BC分别交AB、AC于D、E两点，过点E作EF//AB交BC于点F．请按图示数据填空：S，△ADE的面四边形DBFE的面积S= ，△EFC的面积=1S．积=2图10-1-2 ①探究发现：（2）在（1）中，若BF =a ，FC =b ，DE 与BC 间的距离为h ．请证明：2124S S S =．拓展迁移：（3）如图10-1-2 ②，平行四边形DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC 的面积．图10-1-2 ②体验与感悟 10-1-11、如图10-1-3，已知：点E 是平行四边形ABCD 的AD 边长一点，BE 的延长线交CD 的延长线于F ，请写出图中的相似三角形．图10-1-32、已知等边△ABC 的边长为33+．（1）如图10-1-4①，正方形EFPN 的顶点E 、F 在边AB 上，顶点N 在边AC 上，在正三角形ABC 及其内部，以点A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形''''N P F E ，且使正方形''''N P F E 的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形''''N P F E 的边长；（3）如图10-1-4②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE 、EF 在边AB 上，点P 、N 分别在边CB 、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．图10-1-4 ①图10-1-4②3、已知△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°，AC=BC=2．（1）要在这张纸中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图10-1-5①），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．图10-1-5①S．按（2）在图10-1-5①中，甲种剪法成为第一次剪取，所得正方形面积记为1照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正S（如图10-1-5②），则方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为22S = ；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为3S （如图10-1-5③),继续操作下去……；则第10次剪取时，10S = ；（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．图10-1-5②）如图10-1-5③（二）“等角公共角”相似说明：有一个公共角、一对等角的两个三角形相似．例10-1-3 如图10-1-6，已知等腰直角三角形ABC 中，°=90∠BAC ，AB =AC ，D 、E 是斜边AB 上的两点，且°=45∠DAE ，请你直接写出两对相似三角形．例10-1-4 如图10-1-7，已知：A 为POQ ∠的边OQ 上的一点，OA =2,以A 为顶点的MAN ∠的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且°==60∠∠POQ MAN ．当M A N ∠以点A 为旋转中心，AM 边从与AO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（MAN ∠保持不变）时，M 、N 两点在射线OP 上同时以不同的速度向右平行移动，设）（，0≥x y y ON x OM >==，△AOM 的面积为S ．（1）当MAN ∠旋转30°时，求点N 移动的距离；（2）求证：MN ON AN •=2；（3）求y 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；（4）试写出S 随x 变化的函数关系式．图10-1-7体验与感悟 10-1-21、如图10-1-8，在△ABC 中，AB =5，AC =4，点D 在边AB 上，=ACD ∠B ∠，求AD 的长．图10-1-82、如图10-1-9①，将两个全等的等腰Rt△ABC和Rt△AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．（1）写出图10-1-9①中的两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（图10-1-9②）．在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图10-1-9①图10-1-9②3、在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别用a 、b 、c 表示．（1）如图①，在△ABC 中，A ∠=2B ∠，且A ∠=60°，求证：)(2c b b a +=；（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC ，如图②，其中A ∠=2B ∠，关系式)(2c b b a +=是否仍然成立？并证明你的结论．图① 图②（3）是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角两倍的△ABC ．证明你的结论．（4）若A ∠=3B ∠，你能求出三边a 、b 、c 之间的关系吗？（三）“垂直出相似” 说明:①三角形的两高相交，必有相似；②过Rt △ABC 所在平面上任意一点向AB 、BC 、AC 所在直线中任意一条作垂线，这条垂线与另两边所在直线所交成的三角形与原三角形相似．例 10-1-5 如图10-1-10，在△ABC 中，°=90∠C ，MD ⊥AB 于D ，交AC 于F ，MG ⊥AC 于G ，交AB 于点E ．写出图中的两对相似三角形．图10-1-10例10-1-6 如图10-1-11，直角梯形OABC 中，OA =6，CB =3，OA //BC ，OC ⊥OA ．点M 、N 分别是OA 边、AB 边上的动点，速度都是每秒1个单位长度，运动方向如图．两个动点同时出发，当其中一个点达到终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t （秒）．（1）求线段AB 的长；（2）当t 为何值时MN ⊥AC ？图10-1-11提示：根据垂直找相似．体验与感悟 10-1-31、如图10-1-12，BD、CE是△ABC的两条高．（1）写出图中的相似三角形；（2）写出连接DE后新增加的相似三角形．图10-1-12∠相等2、如图10-1-13，AB是圆O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与BCE的角有（）A、2个B、3个C、4个D、5个图10-1-133、如图10-1-14，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥A B，交折线BC-CA于点G．点P，Q同时出发，当点P 绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；（2）连结PG，当PG//AB时，请直接写出t的值．图10-1-14（四）“导边比”得相似说明：与“两角相等得相似”相比，另外两种判定相似的方法对学生而言较难了些．本部分只探究“两边对应成比例且夹角相等”得到相似．例10-1-7 如图10-1-15，已知D 是△ABC 的BC 边中点，CD AC 2=，△ACD 与△ABC 相似吗？说明理由．图10-1-15例10-1-8 （1）如图10-1-16①，矩形ABCD 及Rt △AEF 有公共顶点A ，∠EAF =90°，且kAB AD =，kAE AF =，连接BE 、DF ，将Rt △AEF 绕点A 旋转，在旋转过程中BE 、DF 具有怎样的数量关系和位置关系？请给予证明；图10-1-16①（2）如图10-1-16②，将（1）中的矩形ABCD 变为平行四边形ABCD ，将Rt △AEF 变为△AEF ，且α∠∠==EAF BAD ，其它条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，直接写出结论；如果变化，用α表示出直线BE 、DF 形成的锐角β．图10-1-16②体验与感悟 10-1-41、（1）如图10-1-17①，正方形ABCD 与正方形CEFG 具有公共的顶点C ，连结BG 、DE ．猜想图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系，并证明你的判断．图10-1-17①（2）如图10-1-17②，将原题中正方形改为矩形，且a AB =，b BC =，ka CE =,kb CG =)0,(>≠k b a ，（1）中得到的结论哪些成立，哪些不成立？简要说明理由．图10-1-17②（3）在（2）图10-1-17②中，连结DG 、BE ，且3=a ，2=b ，21=k ，求22BG BE +的值．2、填空或解答：点B 、C 、E 在同一直线上，点A 、D 在直线CE 的同侧，AB =AC ，EC =ED ，CED BAC ∠∠=，直线AE 、BD 交于点F ．（1）如图10-1-18①，°=90∠BAC ，则=AFB ∠ ；（2）如图10-1-18②，α=BAC ∠，则=AFB ∠ ；（用含α的式子表示）（3）将图10-1-18②中的△ABC 绕点C 旋转（点F 不与点A 、B 重合），得图10-1-18③，AFB ∠与α∠的数量关系是．请证明结论．（五）“一线三角”相似说明：如下图，如果∠1=∠2=∠3，必有△ABE ∽△CDB ．这是一个应用广泛的基本模型，这里我们不妨称之为“一线三角”，而三个直角是特殊的“一线三角”．例10-1-9 在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，以D 为顶点作B MDN ∠∠=．（1）如图10-1-20①当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形；（2）如图10-1-20②，将MDN ∠绕点D 沿逆时针方向旋转，DM 、DN 分别交线段AC 、AB于E 、F 点（点E 与点A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；（3）在图10-1-20②中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF 的面积等于△ABC 的面积的四分之一时，求线段EF 的长．图10-1-20① 图10-1-20②提示：第三问利用已知的相似三角形导边的比，利用两边对应成比例且夹角相等．体验与感悟 10-1-51、将边长为2的正方形纸片ABCD 如图10-1-21折叠，使顶点A 落在边CD 上的点P 处（点P 与C 、D 不重合），折痕为EF ，折叠后AB 边落在PQ 的位置，PQ 与BC 交于点G ．（1）写出一个与△DEP 相似三角形；（2）当点P 位于CD 中点时，你找到的三角形与△DEP 周长的比是多少？图10-1-212、如图10-1-22，在Rt △ABC 中，AB=AC=2，°=90∠BAC ，若点D 在线段BC 上运动，DE交AC 于E ，作°=45∠ADE （A 、D 、E 按逆时针方向）．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．3、如图10-1-23，在等腰△ABC 中，AB=AC=8，°=120∠BAC ，P 为BC 的中点，小慧把含30°角的透明三角板的30°角的顶点放在点P ，绕P 点旋转，三角板的两边分别交BA 的延长线和边AC 于点E 、F ．（1）探究1：△BPE 与△CFP 相似吗？为什么？（2）探究2：连结EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？为什么？（3）设EF=m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．图10-1-23“一线三等角”专练：1、如图，已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有．2、如图，已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有．3、如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC边上有一点F ，使∠EDF=∠ABC ．已知BD=1，BE=31，求CF 的长．4、已知，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=8，∠BAC=120度，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠C ．已知BD=6、BE=4，求CF 的长．5、如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60°（1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD =23，FC =1时，求BE6、在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ7、在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F ．(1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =(2)、当m DBAD =，求DF DE 的值8、已知在等腰三角形ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，∠EDF=∠B ，求证：△BDE ∽△DFE ．9、在边长为4的等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，点E 、F 分别在AB 、AC 上（点D 不与点C 、点B 重合），且保持ABC EDF ∠=∠,连接EF ．(1)已知BE=1,DF=2．求DE 的值；(2)求∠BED=∠DEF ．10、如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，1CF =，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线,EG FG 交直线AC 于点,M N ，（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设,BE x MN y ==，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；11、如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．12、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足过点D 作DG ⊥EF 于点G ，∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC②求AP 的长．13、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；（3）若EF CD ⊥，求BE 的长．14、如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，43=BC AC ，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积．15、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．16、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEP D MF S S ∆∆=49时，求BP 的长第二部分：因动点产生的相似三角形问题解题策略策略分级细述一、求相似三角形存在性问题要分类讨论．举例说明，如图，在△ABC 中，AC 边长有一点F ，要在AB 边上确定一点E ，使△AEF 与△ABC 相似．因为∠A 是公共角，所以分两种情况：①∠AFE=∠C ，△AEF ∽△ABC ；或AC AF AB AE =，△AEF ∽△ABC ；②∠AFE=∠B ，△AFE ∽△ABC ；或AB AF AC AE =，△AFE ∽△ABC ．典型例题：例1、如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A=90°，BD ⊥DC ，BC=10cm ，CD=6cm ．在线段BC 、CD 上有动点F 、E ，点F 以每秒2cm 的速度，在线段BC 上从点B 向点C 匀速运动；同时点E 以每秒1cm 的速度，在线段CD 上从点C 向点D 匀速运动．当点F 到达点C 时，点E 同时停止运动．设点F 运动的时间为t （秒）．（1）求AD 的长；（2）点E 、F 在运动过程中，如△CEF 与△BDC 相似，求线段BF 的长．策略：（1）△ABD 和△DCB 都是直角三角形，且保持三条边的比值为3:4:5，利用相似求AC 的长；（2）在两个三角形相似的前提下，先找一对相等的角，再使夹这个角的两边对应成比例，分两种情况讨论即可二、在两个三角形相似的情况下求线段的长度，一般地，先找到一对相等的角，再分两次使夹这个角的两边对应成比例，求得线段的长度．那么，在反比例函数和一次函数中求点的坐标是否也适用呢？请看例2．典型例题：例2、如图，直线b x y +=与双曲线)0(<=x xm y 交于点A （-1，-5），并分别于x 轴、y 轴交于点C 、B ．（1）求b 、m 的值；（2）连接OA ，求∠OAB 的正切值；（3）点D 在x 轴的正半轴上，若以点D 、C 、B 组成的三角形与△OAB 相似，试求点D 的坐标．策略：（1）待定系数法；（2）构造直角三角形；（3）确定一组相等的角，分两种情况进行讨论．（4）因为当两边对应成比例，夹角相等时，两个三角形相似．所以只要按夹钝角的两条边对应成比例，分两种情况讨论，便可得到点D 的坐标．三、在两个三角形相似的情况下求线段的长度，和在两个三角形相似的情况下求点的坐标，有相同的地方：方法相同．也有不同的地方：点的坐标一定要考虑它所处的位置，分清楚它的正、负号．例2中求出来的点D 都在x 轴的正半轴上，如果这些点在负半轴上又应该怎样处理呢？经典例题：例3、已知一次函数m x y +=43的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，且与反比例函数xy 24=的图象在第一象限交于点C （4，n ），CD ⊥x 轴于D ．（1）求m 、n 的值；（2）如果点P 在x 轴上，并在点A 与点D 之间，点Q 在线段AC 上，且AP=CQ ，那么当△APQ与△ADC 相似时，求点Q 的坐标．策略：（1）分别写出A 、B 、C 、D 坐标，设动点P 坐标，计算AD 、CD 、AC 、AQ 的长度；（2）当△APQ 与△ADC 相似时，分两种情况进行讨论．特别要注意点在负半轴上时坐标的符号．四、相似三角形对应高的比等于相似比，在抛物线中，探究符合条件的相似三角形中的点，可以作这两个相似三角形的高，而已知点的纵坐标的绝对值，就是高的长度，可以在直角三角形中找到一些角的关系，利用角的关系求解．经典例题：例4、如图，设抛物线2-2bx ax y +=与x 轴交于两个不同的点A （-1,0）、B （m,0），与y 轴交于点C ．已知∠ACB=90°．（1）求m 的值和抛物线的解析式；（2）已知点D （1，n ）在抛物线上，过点A 的直线1+=x y 交抛物线于另一点E ．若点P在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标．策略：（1）由两个三角形相似，得到OB 的长度，确定m 的值；（2）写出A 、B 点坐标，利用待定系数法确定抛物线解析式；（3）由点D 在抛物线上，确定点D 坐标；联立方程组求交点E ；（4）由点D 和E 点坐标，得到∠EAB=∠DBO=45°，固定了一组角，然后分两种情况讨论即可．五、二次函数顶点式)0()(2≠++=a k m x a y 的平移规律：上加下减，左加右减．经典例题：例5、如图，已知点A （-2,4）和点B （1,0）都在抛物线n mx mx y ++=22上．（1）求m ，n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B ，若四边形B B AA ''为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线'AB 的交点为点C ，试在x 轴上找点D ，使得以点'B、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．策略：（1）对于第（3）问，弦找到一对相等的角，再分两次讨论．六、除以上探求相似三角形中点的存在性规律以外，还有一些多次相似的问题，要根据题目的要求灵活运用．阶梯题组训练：1、已知：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为)0,(1x ，点B 的坐标为)0,(2x ，且210x x <<，A 、B 两点的距离等于13，点C 在y 轴的负半轴上，32∠tan =BAC ，图象经过A 、B 、C 三点的二次函数解析式为：n m x x y +=-612．（1）用1x 的代数式表示点C 的坐标；（2）试猜想△ABC 的形状，并证明你的猜想；（3）如果点P 在线段AO 上，点Q 在线段OC 上，AP=OQ ，且△POQ 与△ABC 相似，求点P 的坐标．2、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，点A 、C 的坐标分别为A （-3,0），C （1,0），∠BAC 的正切值是43．（1）求过点A 、B 的直线的函数解析式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果P 、Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP=DQ=m ，问是否存在这样的m ，使得△APQ 与△ADB 相似？如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．3、在平面直角坐标系中，将抛物线22x y =沿y 轴向上平移1个单位，再沿x 轴向右平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A ，直线3=x 与平移后的抛物线相交于B ，与直线OA 相交于C ．（1）求△ABC 的面积；（2）点P 在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP 与△ABC 相似，求所有满足条件的P 点坐标．4、Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数)0(≠=k xk y 在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m),与AB 边交于点E(2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当21∠tan =A 时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP相似，求点P 的坐标．5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++=221-经过点A （1,3）、B （0,1）．（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，①求△ABC 的面积；②在y 轴上取一点P ，使△ABP 与△ABC 相似，求满足条件的所有P 点坐标．6、（2009年临沂第26题）如图，抛物线经过点A （4,0）、B （1,0）、C （0，-2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在直线AC 的上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．7、(2011年常德第26题）如图，已知抛物线经过点A （0,6）、B （2,0）、)25,7(C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称，求证：∠CFE=∠AFE ．（3）在y 轴上是否存在这样的点P ，使△AFP 与△FDC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第三部分：比例式和等积式的证明比例式和等积式的证明是初中平面几何题型中一类重要题型．其中等积式可以转化成比例式，因此主要是比例式的证明．一、口诀：“一现二找三代四辅”，既是方法又是步骤．1．“一现”：现成的等积式分两种：①．直接用等积式来证明．如射影定理、相交弦定理、切割线定理及推论、面积法．②把等积式转变成比例式．2．“二找”：①．利用“三点定位法”找三角形相似．②．利用平行线分线段成比例．3．“三代”：（分四种）①等线段代换，②等比代换，③等积代换，④综合性代换．4．“四辅”：利用辅助线，构造出“一现二找三代”，其中辅助线以平行线居多．二、例题：1、如图，在△ABC 中，作直线DN 平行于中线AM ，设这条直线交边AB 于点D ，交边CA的延长线于点E ，交边BC 于点N ，求证：ACAE AB AD =．图1分析：本题是比例式，其中口诀“一现”不是，用“二找”：需证明△ADE ∽△ABC ，而两个三角形一个是钝角三角形，一个是锐角三角形，很明显不相似．那只有用“三代”，如何代换？我们来反思：（1）、本题有中点，那么可能有等量代换或中位线可以讨论；（2）、本题有平行线，那么可能有平行线的性质、有三角形相似或平行线分线段成比例问题；（3）、本题证明比例式，那么很有可能是考查相似和平行线分线段成比例．打草稿：（基础好的可以打腹稿，一般的同学应写在草稿上） ACAE AB AD −→−? || || 只需证BM=MC ，而这是已知，此题得证．MC MN BM MN −→−? ND//AM练后反思归纳：在等比代换中，如何快速罗列比例式，然后从中代换？本题的线段少，容易想到．如果线段多了呢？证明比例式有口诀，那么找比例式有没有什么特殊的方法？经过反思和探究，找比例式有如下图形作为比例式的基本图形：1．A 型：条件DE//BC ．（图2）⑴．DE//BC ⇒△ADE ∽△ABC ⇒BCDE AC AE AB AD ===大三角形小三角形 ⑵．平行线分线段成比例（口诀）：EC AE DB AD ===下上下上；AEDE AD DB ===上下上下； AC AE AB AD ===全上全上；AEAC AD AB ===上全上全； AC EC AB DB ===全下全下；ECAC DB AB ===下全下全；；全全下下；全全上上== 等等． 2．X 型（或者叫叉叉型）：条件是DE//BC ．（图3） ⑴．同1．⑴ ⑵．同 1．⑵图2 图3上题如果用这两种类型的图形，很容易找到比例式．求证的左边AB AD 属于A 型（图4），右边也属于A 型（图5）．图4 图5ACAE AB AD −→−?全下全下= ⇒|| ||⇐上下上下= MCMN BM MN −→−?把归纳总结出的一般性结论加以演绎应用，由一般到个别，从而解决一系列的数学题．这种找比例式所用的A 型和X 型，能否作为一种思路和解法或规律？举一反三，多题一解？下面我们用这种寻找比例式的方法来证明其他题．例2、如图，BD=CE ，求证：DF AB EF AC •=•（提示：过点D 作DG//AC ，交BC 于G ）（图6）．图6 分析：已经提示了，因此很简单．但是没有提示那么又怎么办？我们用A 型和X 型来找比例式，看能否较快地解决问题？①．用“一现”行不通，再化成比例式EFDFAB AC = ，用“二找”也行不通． ②．用“三代”就要找左右两边的比例式．③．这里没有平行线，因此不可能有A 型和X 型．那么，我们不可以构造吗？但构造又要尽量与已知所求证的线段相联系．④．从左边的ABAC不好构造，因为AC 和AB 不在同一条线上，而DF 和EF 在同一条线上，所以从右边构造．线段EC 是已知“BD=EC ”中的，而EC 又和右边EFDF中的线段DF 和EF 直接相联接，所以我们作线段EC 的平行线DG 交BC 于点G ，构造出A 型（图8）：得到ECDGEF DF ==小三角形大三角形．同时得到另一个A 型（图7）：得到BDABDG AC ==小三角形大三角形⇒BD DG AB AC =图8 图7⑤．要证EF DF AB AC =只需证BDDGEC DG =，只需再证明BD=EC 了．而BD=EC 是已知，所以可以得证．此题能否举一反三，一题多解？难道本题只有构造A 型了吗？能构造X 型吗？我们来试一试．先化成比例式EFDFAB AC =，同样从左边不好构造，那么我们从右边试一试．同样DF 和EF 在同一线上，又与已知中的EC 直接相联接，因此，我们作CF 的平行线交AC 于点H ，构造出X 型（图10），下面请同学们自己完成证明．图10因此，在比例式和等积式的证明中，利用口诀“一现二找三代四辅”来分析就有了切入点．其中，要代换的比例式的寻找，用A 型和X 型（现成的和构造的）去寻找，非常简单．用科学的思维方法对课本的习题和练习加以反思和探究、归纳总结、演绎应用，才能提高解题能力．三、针对性练习：1、如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ，AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．求证：（1）AE=CG ；（2）MN CN DN AN •=•．2、如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，连接BC 、AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交圆O 于点F ，连接BF ，与直线CD 交于点G ，求证：BF BG BC •=2．3、如图所示，在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，过点D 作斜边的垂线交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接DC ，求证：DF DE DC •=2．4、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DC 交BE 于F ，且AB AD 31=，EC AE 21=．求证：（1）△DEF ∽△CBF ；（2）CF EF BF DF •=•．5、如图，已知：在平行四边形ABCD 中，P 为DC 延长线上一点，AP 分别交BD 、BC 于点M 、N ．求证：.2MP MN AM •=第四部分：射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。

初三-相似三角形培优讲义(教师版)

一对一个性化讲义学生姓名：授课教师：班主任：科目：数学上课时间： 20 年 11 月日教管主任/校长批阅意见/签字：以图形的平移、翻折、旋转、动点问题等为代表的动态几何题，是中考的热点，本文以中考题为例介绍动态几何题中的相似三角形问题．一、平移问题例1（宜宾）如图1，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝5．BC ＝6，且△ABC ≌△DEF ．将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点． (1)求证：△ABE ∽△ECM ；(2)探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；(3)当线段AM 最短时，求重叠部分的面积．点评此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．本小题也可以用几何法求解．二、翻折问题例2（徐州）如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，翻折∠C ，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，拆痕为EF(点E 、F 分别在边AC 、BC 上)． (1)若△CEF 与△ABC 相似，①当AC ＝BC ＝2时，AD 的长为_______； ②当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为_______；(2)当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗？请说明理由．解 (1)若△CEF 与△ABC 相似， ①当AC ＝BC ＝2时，△ABC 为等腰直角三角形，如图2所示．此时D 为AB 边中点，AD 2＝；②当AC ＝3，BC ＝4时，有两种情况： (i)若CE ：CF ＝3：4，如图4所示． ∵CE ：CF ＝AC ：BC ，∴EF ∥BC ．由折叠性质，可知CD ⊥EF ． ∴CD ⊥AB ，即此时CD 为AB 边上的高．综上所述，当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为1.8或2.5．(2)当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似．理由如下：如图5所示，连结CD ，与EF 交于点Q ．2点评本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质，第(1)②问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意．三、旋转问题例3（宜昌）如图6，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．AO⊥BC于点O，F是线段AO上的点（与A、O不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连结FE，FC，BF．(1)求证：BE＝BF；(2)如图7，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K．①求证：△AGC∽△KGB；②当△BEF为等腰直角三角形时，请直接写出AB：BF的值．疑难点相似三角形与函数等知识的综合6. 如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为(1,1)A ，且与直线2y x =-交于,B C 两点.(1)求抛物线的函数表达式及点C 的坐标; (2)求证: ABC ∆是直角三角形;(3)若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN x ⊥轴与抛物线交于点M ，则是否存在以,,O M N 为顶点的三角形与ABC ∆相似?若存在，请求出点N 的坐标;若不存在，请说明理由. (1)∵顶点坐标为(1,1)∴设抛物线的函数表达式为2(1)1y a x =-+又∵抛物线过原点 ∴20(01)1a =-+ 解得1a =-∴抛物线的函数表达式为2(1)1y x =--+ 即22y x x =-+联立抛物线和直线的函数表达式可得222y x xy x ⎧=-+⎨=-⎩ 解得20x y =⎧⎨=⎩或13x y =-⎧⎨=-⎩∴(2,0),(1,3)B C --(2)如图，分别过,A C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于,D E 两点则1,213,3AD OD BD BE OB OE EC ====+=+== ∴45ABO CBO ∠=∠=︒ 即90ABC ∠=︒∴ABC ∆是直角三角形.(3)假设存在满足条件的点N ，设(,0)N x ，则2(,2)M x x x -+ ∴2,2ON x MN x x ==-+在Rt ABD ∆和Rt CEB ∆中，易得AB BC ==∵MN x ⊥轴于点N∴90ABC MNO ∠=∠=︒ ∴当ABC ∆和MNO ∆相似时，有MN ON AB BC =或MN ONBC AB=①当MN ONAB BC ==即23x x x -+=∵当0x =时，,,M O N 不能构成三角形 ∴0x ≠∴123x -+=即123x -+=±解得53x =或73x =此时点N 的坐标为5(,0)3或7(,0)3②当MN ONBC AB ==即23x x x -+= ∴23x -+= 即23x -+=±解得5x =或1x =-此时点N 的坐标为(1,0)-或(5,0)综上可知，存在满足条件的点N ，其坐标为5(,0)3或7(,0)3或(1,0)-或(5,0)教案附录2.如图,抛物线y=ax 2+bx −3(a≠0)的顶点为E,该抛物线与x 轴交于A. B 两点,与y 轴交于点C,且BO=OC=3AO,直线131+-=x y 与y 轴交于点D. (1)求抛物线的解析式； (2)证明：△DBO∽△EBC；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形?若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由。

相似三角形性质精编培优专题

相似三角形性质精编培优专题1. 相似三角形的定义相似三角形是指有相同形状但可能不同大小的三角形。

两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比值相等。

2. 相似三角形的性质2.1. 相似三角形的内角性质相似三角形的内角都相等。

这意味着如果两个三角形是相似的，它们的对应角度一定相等。

2.2. 相似三角形的边比例性质相似三角形的对应边的长度比例相等。

即如果两个三角形相似，则它们对应边的长度比例一定相等。

2.3. 相似三角形的周长比例性质如果两个三角形相似，那么它们的周长之比等于它们对应边的长度比例。

2.4. 相似三角形的面积比例性质如果两个三角形相似，那么它们的面积之比等于它们对应边长度之比的平方。

3. 相似三角形的应用3.1. 测量无法直接获取长度的物体相似三角形的边比例性质可以应用于测量无法直接获取长度的物体。

通过找到相似的三角形，并测量其中一个三角形的边长，可以计算出其他三角形的边长。

3.2. 解决实际问题相似三角形的性质可以帮助我们解决实际生活中的问题。

例如，可以利用相似三角形的面积比例性质来计算建筑物的高度、大树的高度等。

4. 相似三角形的重要定理4.1. AAA相似定理如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。

4.2. AA相似定理如果两个三角形的两个角分别相等，并且两个角之间的对应边分别成比例，那么它们是相似的。

4.3. SAS相似定理如果两个三角形的两个对应边的比例相等，并且夹角的角度相等，那么它们是相似的。

5. 总结相似三角形是几何学中一个重要的概念。

通过研究相似三角形的性质和定理，我们能够应用它们解决实际问题，并更深刻地理解三角形的特性和关系。

相似三角形的性质包括内角性质、边比例性质、周长比例性质以及面积比例性质。

此外，AAA相似定理、AA相似定理和SAS 相似定理是判断三角形相似的重要依据。

希望通过本文档的介绍，读者能够对相似三角形有更清晰的认识，并能应用它们解决实际问题。

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相似三角形培优专题讲义知识点一：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。

2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。

）例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。

（2）比例性质1.基本性质:bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： cda b d c b a =⇒= (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．例：已知的值求fd be c af d b f e d c b a ++++≠++===),0(545.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）．知识点二：平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。

用符号语言表示： ∵AD//BE//CF,∴AB BC =DE EF ,BCAC=EF DF ,AB AC =DEDF2.推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。

几何语言：由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.例：如图，在四边形ABCD 中，AD//BC,EF//BC,AGGC =23，则DFDC =_______。

（1）是“A ”字型（2）是“8”字型经常考，关键在于找知识点三：相似形多边形1.定义：各角分别相等、各边成比列的两个多边形叫做相似多边形。

2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。

3.判定：如果两个多边形的对应边成比列，对应角相等，那么这两个多边形相似。

（注意：判断两个多边形相似时，一要看各个角是否对应相等，二要看各条边是否对应成比列，这两个条件缺一不可。

）4.任意两个等边三角形相似，任意两个正方形相似，任意两个正n 边形相似。

例1：下列判断正确的是（）A.两个矩形一定相似。

B.两个平行四边形一定相似。

C.两个正方形一定相似。

D.两个菱形一定相似。

例2：小明将一张报纸对折，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，你能算出报纸的长与宽的比吗？知识点四：黄金分割(1) 定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

618.0215≈-=AB AC 所以：AB AC 215-=≈0.618AB 。

AB BC 253-= 例：已知线段AB=10cm,点C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，求AC 和BC 的长。

(2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C 使C 是线段AB 的黄金分割点. 作法：①过点B 作BD ⊥AB ，使BD =12AB ；②连结AD ，在DA 上截取DE=DB ；③在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为：.（3）黄金矩形：在矩形中，如果宽与长的比是黄金比，那么这个矩形叫做黄金矩形。

（4）黄金三角形：顶角为36。

的等腰三角形叫做黄金三角形，因为该三角形的底边比上腰长等于√5−12例：如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是角平分线．(1)求证：AD2=CD·AC；(2)若AC=a，求AD．知识点五：相似三角形1、相似三角形（1）定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似（相似比为1）。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

（2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

（3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。

相似比为k。

（4）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2.三角形相似的判定定理：判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。

(此定理用的最多)几何语言：在△ABC和△DEF中如果<A=<D,<B=<E，那么△ABC∽△DEF判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

几何语言：（如上图）在△ABC 和△DEF F 中如果<A=<D,且ABDE =ACDF ，那么△ABC ∽△DEF判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。

几何语言：（如上图）在△ABC 和△DEF 中如果ABDE =ACDF =BC EF，那么△ABC ∽△DEF例1：如图，（1）若 ABAE________,则△ABC ∽△AEF ；（2）若∠E ＝________，则△ABC ∽△AEF 。

直角三角形相似判定定理: ○1.有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

○2.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

3.补充：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似. 射影定理：CD ²=AD ·BD ， AC ²=AD ·AB ， BC ²=BD ·BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.例：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，(1)求证：AC 2=AD ·AB ；BC 2=BD ·BA ； (2)求证：CD 2=AD ·AD ； (3)求证：AC ·BC =AB ·CD ．4.相似图形中常见的基本图形：5.相似三角形的性质①相似三角形对应角相等、对应边成比例.②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.④两个相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根⑤任意两个相似多边形的周长比都等于相似比，面积比都等于相似比的平方。

例1：已知△ABC∽△DEF，BD和EG是它们的对应中线，ACDF =35，EG=10cm，求BD的长。

例2：如果两个相似三角形的面积比为16:25，那么这两个相似三角形对应边的比是_______。

例3：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC上的点，DE//BC,AD=3BD,S⊿ABC=48 求S⊿ADE相似的应用：位似（1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。

②两个位似图形的位似中心只有一个。

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。

④位似比就是相似比。

（2）性质：①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（相似比）。

②位似图形上任意位似对应点和位似中心在同一条直线上。

③位似图形上的对应线段平行或在同一条直线上。

④位似图形是特殊的相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。

画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心可能在图形内部也可能在图形外部也可能在图形上）（2）确定原图形的关键点（通常是多边形的顶点）（3）确定位似比（4）根据位似比，找出新图形的关键点，最后将各点顺次连接。

坐标变换与图形的关系：在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，他们的相似比为∣k∣。

例1：下列说法中正确的有（）（1）位似多边形一定是相似多边形。

（2）相似多边形一定是位似多边形（3）两个位似多边形每一对对应点到位似中心的距离之比为2︰3，则两个多边形的面积之比为4︰9。

（4）两个位似多边形的对应边互相平行或在同一直线上。

例2：若△ABC与△DEF关于点O位似，其位似比是1:2，AO=5，则对应点A、Ｄ之间的距离是。

例3：在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(6，0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为1，把线段AB缩短后得到线段A1B1，则A1B1，的长度等于。

3历年中考试题练习一、选择题1、如图1,已知AD与BC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC的大小为（）A.60°B.70°C.80°D.120°第5题BCD E A2、如图，已知D 、E 分别是的AB 、 AC 边上的点，且那么等于（） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8D ．1 :3、如图，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，分别是的中点，则与的面积比是（） A ． B ． C ． D ．第3题图第4题图4、如上图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为（）A.5:3B.3:5C.4:3D.3:4 5、如图，在中，、分别是、边的中点，若，则等于（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．26、已知，相似比为3，且的周长为18，则的周长为（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．547、如图,Rt △ABC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于 D ,设BP =x ,则PD+PE =（）A. B. C.D.8、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是（）ABC ∆,DE BC //1ADEDBCE S S :=:8,四边形:AEACDEF △ABC △O D E F ，，OAOB OC ，，DEF △ABC △1:61:51:41:2ABC ∆D E AB AC 6BC =DE ABC DEF △∽△ABC △DEF △35x +45x -7221212525x x -,,a b c ,,a b c ABCD O图1BA CDEABCDE PA 、B 、C 、D 、9、如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．10、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）二、填空题1、如图，两点分别在的边上，与不平行，当满足条件（写出一个即可）时，．2、如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个三角形面积的比是．3、如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是和；并写出它的面积比 .4、两个相似三角形的面积比S 1:S 2与它们对应高之比h 1:h 2之间的关系为．5、如图4，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB=b ac =+b ac =222b ac =+22b a c ==91923194D E ，ABC △AB AC ，DE BC ADE ACB △∽△1:3（第10题） A ． B ． C ． D ．DB第3题图第9题9、如图，要测量A 、B 两点间距离，在O 点打桩，取OA 的中点 C ，OB 的中点D ，测得CD =30米，则AB =______米．11、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为__ ____米．三、解答题1、如图，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF. （1）求证：EF ∥BC.（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.2、如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．求证：（1）；（2）3、如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交于点．（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求．CG AE =.MN CN DN AN •=•ABCD ACED R DE BR AC CD ，P Q ，::BP PQ QR A BCD EPO R4、如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，。