浅析连续复利计息期值与计息期数的关系

浅析连续复利计息期值与计息期数的关系

摘要：在采取连续复利计息方式计算情况下，对于固定时段内，不同复利计息期数下的期值计算，构造数学函数，制定数学模型，做出函数图象，进行函数分析，得出期值随复利计息期数的变化关系。

关键词：函数分析;连续复利计息; 计息期数

Abstract: in the continuous compounding plan breath way to calculation case, for a fixed period inside, different periods of compound interest plan ceases period value calculation, the tectonic mathematical function, make mathematics model, make function image, function and analysis with the value of the change of the periods at compound interest relationship.

Keywords: function analysis; Continuous compounding plan breath; Plan breath periods

在某些工程或企业在整个生产活动中，资金的投入及收益并非集中于某一固定日期上，而是均匀分布在整个时期，在这种情况下，采用连续计息较为合理[1]，连续计息不同于单利计息，对于固定时段内，连续计息情况下，最终期值变化与复利计息期数有密切的关系。

1、连续复利计息与单利计息比较

以固定时段一年为例，设年利率为ｉ,复利计息次数为ｎ，年初现值为P，期值为F，若为单利计算，则F1=P(1+ｉ)；若为连续复利计息，F2=P(1+ ) 。

将F2展开，F2=P(1+ ) = P[1+ｉ+ )]= F1+ P ，

因为P 大于0，显然，F2 >F1，说明当ｎ>1时，复利计息得到的期值一定大于单利计息。

当把计息期小于一年的利率化为年利率时，复利计息考虑了计息期所得利息的时间价值的因素，计算了利息的利息，故复利计息的计算方式得到的实际年利率大于名义年利率ｉ[2]，得到的期值F2 大于F1。

2、构造复利计息期值函数

如果把复利计息期数ｎ设为自变量，期值F看做应变量，期值计算公式便可化为关于复利计息期数为ｎ的函数关系式。

对于连续复利计息，建立函数模型：F=P(1+ )—⑴

①期值函数的变化趋势

对⑴式变形：㏑F=ｎ(1+ )，两边求导得：

= P [㏑(1+ )-ｎ]= P [㏑(1+ )- ]

在i ，则>0；所以>0

那么对于建立的函数F=P(1+ ) ，可知F随n的增大，不断增大。期值F是关于计息期数n的增函数。

②期值函数的最大值

对于⑴式，F=P(1+ ) = P[(1+ ) ]

当ｎ→∞时，(1+ ) = ，于是，F=P

所以，在固定时段内，随着连续复利计息期数的变化，期值会不断接近P ，但不会大于P ，P 即为期值的最大值。

③期值函数图像（设P=1）

由F的导函数以及函数最值，可以得到F随计息次数n的变化大致曲线：

④函数值增大规律

Δ = - ≈ (n+1-n)=

由图中曲线走势可以看出，期值函数图像走势中，期值随n的增大，由陡不断变平缓，期值的斜率随复利计息次数n值的增加不断减小，即不段变小，于是可以得到，随着n的增加，相邻的期值之间的差值不断减小

这说明n值越大，增大n值对于增大期值的作用就越小。

在实际生产运营中，为增大期值，在固定时段内，当n值较小时，可以选择

增大n值来实现，在n值已经较大时，增大n值，期值的增加幅度已不明显，这时可以选择增大名义年利率i等方法。

通过对连续复利计息期值与计息期数的分析可知，期值随计息期数的增大而增大，但是增大幅度不断减小，计息期数对期值增大的作用越来越不明显，随着计息期数增加，期值最后趋于定值P ，该值为固定时段和固定名义利率下复利计息的最大值。

参考文献：

【1】吴泽宁张超赵仁荣王新玲，工程项目系统评价郑州：黄河水利出版社26—28

【2】蒋景楠佘金凤陆雷，工程经济理论与务实上海：华东理工大学出版社25—27

注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。