相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳

一、比例的性质：

二、成比例线段的概念： 1．比例的项：

在比例式::a b c d =（即a c

b d =）中，a ，d 称为比例外项，b ，

c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a b

b c

=）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足b ac 2=．

2．成比例线段：

四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a c

b d

=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．

3．黄金分割：

如图，若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AC AB BC 2=⋅），则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中.AC AB AB ≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）

三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理

A

两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果123////l l l ，则

AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EF

AC DF

=

．

A

D B

E C

F

1

l 2

l 3

l

A D B

E C

F 1

l 2l 3

l

【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为

=上上下下，=上上全全，=下下

全全

．

2．平行线分线段成比例定理的推论

平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC ，则

AE AF EB FC =，AE AF AB AC =，BE CF

AB AC

=

． A

B

C E F

F

E

C B

A

平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若

AE AF EB FC =或AE AF AB AC =或BE CF AB AC

=

，则有EF//BC ． 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．

【小结】推论也简称“A ”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做'//EF BC 交AC 于'F 点，再证明'F 与F 重合即可．

四、相似三角形的定义、性质和判定 1．相似图形

①定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形．对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换．

②性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．

2．相似三角形的定义

3．相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，∽△△ABC A B C '''，则有 A A '∠=∠，B B C C ''∠=∠∠=∠，．

②相似三角形的对应边成比例． 如图，∽△△ABC A B C '''，则有

AB BC AC

k A B B C A C ===''''''

（k 为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．

如图，△ABC ∽△A B C '''，AM AH 、和AD 是△ABC 中BC 边上的中线、高线和角平分线，

A M ''、A H ''和A D ''是△A

B

C '''中B C ''边上的中

线、高线和角平分线，则有

AB BC AC AM AH AD

k A B B C A C A M A H A D ======''''''''''''

④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，△ABC ∽△A B C '''，则有

AB BC AC AB BC AC

k A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''

++． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，△ABC ∽△A B C '''，则有 △△ABC A B C BC AH

S BC AH k S B C A H B C A H 2'''

1

⋅⋅2==⋅=1''''''''⋅⋅2

4．相似三角形的判定

判定定理

判定定理1：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的

两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果'A A ∠=∠，'B B ∠=∠，则

△∽△ABC A B C '''．

判定定理2：

如果两个三角形的三组对应边成比例，那么

这两个三角形相似．

简称为三边对应成比例，两个三角形相

似．

如图，如果

AB BC AC

A B B C A C ==

''''''

，则 △∽△ABC A B C '''．

判定定理3：

如果两个三角形的两组对应边成比例，并且

对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果

AB AC

A B A C =''''

，'A A ∠=∠，则△∽△ABC A B C '''．