抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程
抛物线焦点弦的性质及应用
抛物线焦点弦的性质及应用抛物线是一种具有特殊性质的二次曲线，它的焦点弦性质是指过焦点parabola. 抛物线上任意一点的切线与从焦点引出的该点的法线的交点，这些交点都在焦点所在的直线上。
抛物线焦点弦的性质和应用如下：1. 焦点弦与顶点：抛物线的焦点弦通过抛物线的顶点，且与抛物线的对称轴垂直相交。
2. 焦点弦的长度：焦点弦的长度等于抛物线焦点到对称轴的距离的两倍。
3. 焦点弦的切线方程：焦点弦的切线方程可由抛物线的切线方程推导得到，即通过抛物线上一点（x1，y1）的切线方程为y = mx + (1 - m²) a/4，其中m为切线的斜率，a为焦点到对称轴的距离。
4. 焦点弦的法线方程：焦点弦的法线方程可由切线方程得到，即过抛物线上一点（x1，y1）的法线方程为y = -x/m + (x1/m + y1)。
5. 焦点弦的性质应用：抛物线焦点弦的性质在物理学、工程学和几何学等领域有广泛的应用。
在物理学中，抛物线焦点弦的性质可以用于描述光线的反射和聚焦。
例如，在反射望远镜中，抛物面用于反射并聚焦光线，使观察者能够看到远处的物体。
在工程学中，抛物线焦点弦的性质可以用于设计抛物面反射器、喇叭等产品。
抛物面反射器可以将声音或者电磁波线聚焦在焦点处，以达到提高功率传输效果的目的。
类似地，喇叭的设计也借鉴了抛物线焦点弦的性质，使声音能够更好地聚焦并扩散。
在几何学中，抛物线焦点弦的性质可以用于求解问题。
例如，已知抛物线上一点的坐标和抛物线焦点的坐标，可以通过焦点弦性质来求解该点在抛物线上的位置。
另外，抛物线焦点弦的性质还可以进一步推广到三维空间中的抛物面。
三维空间中的抛物面也具有焦点弦的性质，可以用于描述反射、聚焦和求解问题等。
综上所述，抛物线焦点弦是抛物线特有的性质之一，它的性质和应用在物理学、工程学和几何学等领域有重要的应用。
深入理解和应用这些性质可以帮助我们更好地解决各种问题，并且进一步推广到更高维度的几何形状中。
抛物线焦点弦性质
抛物线焦点弦性质
抛物线焦点弦性质：焦点弦长就是两个焦半径长之和。
焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。
由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。
在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。
若直线AB的倾斜角为α，则|AB|=2p/sin²α。
y²=2px或y²=-2px时，x1x2=p²/4,y1y2=-p²。
x²=2py或x²=-2py时，y1y2=p²/4,x1x2=-p²。
焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦，是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。
焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。
而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示。
抛物线焦点弦的八大结论推导过程
抛物线焦点弦的八大结论推导过程抛物线焦点弦是一个重要研究课题，它可以帮助我们理解抛物线的切线、焦点、双曲线、点到弦距离等微积分概念。
抛物线焦点弦推导过程通常被认为是一个好方向，它具有很多有益的特点，例如微积分知识的运用。
该过程包括以下步骤：一、首先，要确定抛物线的方程，它可以是一元二次方程，也可以是一般的双曲线方程。
二、然后，求解出抛物线的焦点和弦长，可以利用不同的函数求解方法来求解，或者可以利用几何的推导原理。
三、然后，可以运用微积分来求解抛物线的切线，可以利用极限的方法来求解抛物线的切线，同时也可以利用微分形式来求解抛物线的切线。
四、然后，可以利用数学分析的方法，用一元二次型或者双曲线型去绘制抛物线的切线，来求解抛物线焦点弦。
五、接着可以利用微积分中的定义来计算抛物线焦点弦的弧长，可以利用定积分的方法来计算抛物线弦的长度。
六、然后，利用向量的知识来求解抛物线焦点弦的方向，即利用向量的几何性质，推导出抛物线焦点弦的方向。
七、最后，可以利用抛物线焦点弦的方向和弦长，来进一步检验焦点弦是否符合抛物线的法则。
八、完成全部推导后，可以得到抛物线焦点弦的八个结论：1）抛物线的焦点和弦长可以用一元二次方程或者双曲线函数来求解。
2）抛物线的切线可以通过极限的方法和微分来求解。
3）焦点弦的长度可以通过定积分的方法来求解。
4）焦点弦的方向可以通过向量的几何性质来求解。
5）焦点弦的长度与抛物线的焦点和切线总是垂直。
6）距离抛物线在不同点上的距离是固定的，与抛物线的焦点和弦长相关。
7）抛物线在每个焦点点处均有弦，其长度总是相等的。
8）抛物线的弦长和焦点会满足正弦和余弦函数方程的要求。
(完整版)抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。
抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程
抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程抛物线所示的是具有经典性质的几何图形，其定义为一个特别的二次函数：当其焦点在原点上时，抛物线形式为y = ax2；当其焦点在非原点处时，抛物线形式为 y = a(x - h)\pt2 + k，其中h是抛物线的焦点的横坐标位置，k是焦点的纵坐标位置，a是抛物线的斜率系数。
抛物线具有许多经典性质，最为重要的是焦点弦性质，它是抛物线的几何和数学基础。
焦点弦的定义是连接抛物线上任意两点的直线都与焦点构成直角，或者说从焦点连接到抛物线上任意点都构成直角三角形。
证明抛物线经典性质焦点弦证明：抛物线具有经典性质焦点弦可以应用三角函数定理证明。
设点P(x,y)位于抛物线上，则有 y = a(x - h)² + k；设F为抛物线的焦点，则有 F (h,k) ；∠FPQ 为钝角，则有：tan∠FPQ = /FP/ \cos∠FPQ/PQ/即 /FP/\ G(x-h, y-k)/PQ/由已知：FP：((h - x), (k - y))PQ：((x' - x), (y' - y))可得：/(h-x)(y'-y)-(k-y)(x'-x)\tan∠FPQ = ----------------------/(x'-x)²+(y'-y)²\\式子两边同乘以(x'-x)²+(y’-y)²即 /(h-x)(y'-y)-(k-y)(x'-x)(x'-x)²+(y'-y)²\t an∠FPQ = ------------------------------------/ (x'-x)²+(y'-y)²)²\\即/(h-x)y'+(k-y)x'-(h-x)y-(k-y)x\tan∠FPQ = -----------------------------------/ (x'-x)²+(y'-y)²\\将已知带入即可得tan∠FPQ = 0即点F、P、Q三点构成的三角形为钝角，即证明了抛物线具有经典性质的焦点弦性质。
抛物线焦点弦性质
A1F B1 F
性质 8：(1). A、O、B1 三点共线 (2).B，O，A1 三点共线 (3).设直线 AO 与抛物线的准线的交点为 B1，则 BB1 平行于 X 轴 (4).设直线 BO 与抛物线的准线的交点为 A1，则 AA1 平行于 X 轴
（1）证：因为 koA
2
2
2 2 sin 2
2 s in
S2 OAB
P3
AB 8
性质 5： (1)
y1 y2 p 2
p2 (2) x1x2= 4
证：设直线 L 的方程为： y k(x p ) 即 x y p
2
k2
代入抛物线方程得 y2 2 p y p2 0 k
由韦达定理
y1 y2
p2,
y1
y2
2p k
性质 1： AB x1 x2 p
AB
AF
BF
(x1
p 2
)
(
x2
p) 2
x1 x2
p
性质 2：若直线 L 的倾斜角为 ，
则弦长
AB
2p
sin 2
证明: (1)若 时,直线 L 的斜率不存在，此时 AB 为抛物线的通径,
2 AB 2p结论得证
(2)若 时, k tan k 0
2
设直线 L 的方程为： y k(x p ) 即 x y p
2
k2
代入抛物线方程得 y2 2 p y p2 0 k
由韦达定理
y1 y2
p2, y1
y2
2p k
,
y1
y2
2p
1 1 k2
由弦长公式得 AB
1
21-22版：微专题3 抛物线的焦点弦的性质（步步高）
微专题3 抛物线的焦点弦的性质 抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化．一、焦点弦性质的推导例1 抛物线y 2＝2px (p >0)，设AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F 是抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1.证明：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2； (2)若直线AB 的倾斜角为θ(θ≠0)，则|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ； (3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(其中θ为直线AB 的倾斜角)，抛物线的通径长为2p ，通径是最短的焦点弦；(4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值； (5)S △OAB ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)； (6)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明 (1)①当AB ⊥x 轴时，不妨设A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p 2，－p ， ∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. ②当AB 的斜率存在时，设为k (k ≠0)，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2， 代入抛物线方程y 2＝2px ，消元得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫y k ＋p 2，即y 2－2py k－p 2＝0， ∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)当θ≠90°时，过A 作AG ⊥x 轴，交x 轴于G ，由抛物线定义知|AF |＝|AA 1|，在Rt △AFG 中，|FG |＝|AF |cos θ，由图知|GG 1|＝|AA 1|，则p ＋|AF |cos θ＝|AF |，得|AF |＝p 1－cos θ， 同理得|BF |＝p 1＋cos θ； 当θ＝90°时，可知|AF |＝|BF |＝p ，对于|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ亦成立， ∴|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ. (3)|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p＝p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2p sin 2θ≥2p ， 当且仅当θ＝90°时取等号．故通径长2p 为最短的焦点弦长．(4)由(2)可得，1|AF |＋1|BF |＝1－cos θp ＋1＋cos θp ＝2p. (5)当θ＝90°时，S △OAB ＝12×2p ×p 2＝p 22， 故满足S △OAB ＝p 22sin θ； 当θ≠90°时，设直线AB ：y ＝tan θ⎝⎛⎭⎫x －p 2， 原点O 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪p 2tan θ1＋tan 2θ＝p 2sin θ， S △OAB ＝d 2|AB |＝p 4sin θ×2p sin 2θ＝p 22sin θ. (6)如图：⊙M 的直径为AB ，过圆心M 作MM 1垂直于准线于M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2 ＝|AF |＋|BF |2＝|AB |2， 故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．二、焦点弦性质的应用例2 (1)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝32x B ．y 2＝3x C ．y 2＝92x D ．y 2＝9x答案 B解析 依题意得，|AF |＝3，|BF |＝1，由1|AF |＋1|BF |＝2p ，知13＋11＝2p ， ∴p ＝32.∴抛物线方程为y 2＝3x (2)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94答案 D解析 方法一 由题意可知，直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 代入抛物线的方程可得4y 2－123y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94， 故所求三角形的面积为 12×34×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝94. 方法二 运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，则S △OAB ＝p 22sin θ＝942sin 30°＝94(θ为直线的倾斜角)． (3)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10答案 A解析 方法一 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2， 由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k 2. 以－1k代替k ，得|DE |＝4＋4k 2， ∴|AB |＋|DE |＝4＋4k 2＋4＋4k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号， 故|AB |＋|DE |的最小值为16.方法二 运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，不妨设直线AB 的倾斜角为θ，0<θ<π2， 因此|AB |＋|DE |＝2p sin 2θ＋2p sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋θ ＝4sin 2θ＋4cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16. ⎝⎛⎭⎫当且仅当θ＝π4时，等号成立. 反思感悟 研究抛物线的焦点弦问题时，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题．。
抛物线“焦点弦的性质”及解题策略
03
解题策略
利用焦点弦性质解题
焦点弦性质
对于抛物线上的任意一点P，其到焦 点F的距离等于到准线的距离。利用这 一性质，可以快速找到与焦点弦相关 的点P的坐标。
解题方法
利用焦点弦性质，可以求出点P的坐 标，进而求出与焦点弦相关的其他量， 如弦长、面积等。
在抛物线中，焦点弦的倾斜角可以通过轴线的倾斜角和该弦与轴线的夹角的补角之和（或差）来计算 。这个补角等于该弦与轴线的夹角的两倍。当焦点弦与轴线垂直时，其倾斜角等于轴线的倾斜角。
焦点弦的倾斜角
解题策略
根据题目给出的条件，选择适当的方法计算焦点弦的长 度、中点坐标或倾斜角。
熟悉抛物线的定义和性质，理解焦点弦的意义和特点。
02
焦点弦的性质
焦点弦的长度
总结词
焦点弦的长度等于通径的长度，等于焦准距的平方根。
详细描述
在抛物线中，焦点弦是指通过焦点的弦，其长度可以通过通径的长度来计算。 通径是过焦点的最短的弦，其长度等于焦准距的平方根。当焦点弦与抛物线的 轴线不垂直时，其长度还会受到其他因素的影响。
焦点弦的中点坐标
总结词
焦点弦的中点坐标等于焦点坐标加上弦中点与轴线的垂直距 离。
详细描述
在抛物线中，焦点弦的中点坐标可以通过焦点坐标和弦中点 与轴线的垂直距离之和来计算。这个垂直距离等于弦的长度 的一半乘以该弦与轴线的夹角的正切值。
焦点弦的倾斜角
总结词
焦点弦的倾斜角等于轴线的倾斜角加上或减去该弦与轴线的夹角的补角。
详细描述
解题方法
利用代数方法，可以建立方程组、不等式组等，进而求解与抛物线相关的问题。在解题过程中，需要注意方程组 的解法、不等式的性质等。
抛物线的性质归纳及证明
抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的弦两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,倾斜角为α,中点为C(x 0,y 0), 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线，垂足为A ’、B ’、C ’. 1.求证：①焦半径αcos 12||1-=+=p p x AF ；②焦半径αcos 12||2+=+=p p x BF ; ③1| AF |＋1| BF |＝2p； ④弦长| AB |＝x 1＋x 2＋p =α2sin 2p；特别地，当x 1=x 2(α=90︒)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p ；⑤△AOB 的面积S △OAB＝α2p . 证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x 1＋p 2，| BF |＝| BC |＝x 2＋p2，| AB |＝| AF |＋| BF |＝x 1＋x 2＋p如图2，过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1，垂足为A 1、B 1，那么| RF |＝| AD |－| FA 1 |＝| AF |－| AF|cos θ，∴| AF |＝| RF |1－cos θ＝p1－cos θ同理，| BF |＝| RF |1＋cos θ＝p1＋cos θ∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2psin 2θ.S △OAB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12| OF || y 1 |＋12| OF || y 1 |＝12·p2·(| y 1 |＋| y 1 |)∵y 1y 2＝－p 2，则y 1、y 2异号，因此，| y 1 |＋| y 1 |＝| y 1－y 2 | ∴S △OAB ＝p 4| y 1－y 2 |＝p4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p44m 2p 2＋4p 2＝p 221＋m 2＝p 22sin θ.2.求证：①2124p x x =；②212y y p =-；③ 1| AF |＋1| BF |＝2p .当AB ⊥x 轴时，有 AF BF p ==，成立； 当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.代入抛物线方程： 2222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得：()()222222014p k x p k x k -++=∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴1224k x x ⋅=.()122111212121111112224x x p p pp p AF BF AA BB x x x x x x +++=+=+=+++++()()121222121222424x x p x x p p p p pp x x p x x ++++===+++++. 3.求证：=∠=∠'''FB A B AC Rt ∠.先证明：∠AMB ＝Rt ∠【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图3，则△ADM ≌△ECM ，∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD | ∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD | ＝| BF |＋| AF |＝| AB |∴△ABE 为等腰三角形，又M 是AE 的中点， ∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠【证法二】取AB 的中点N ，连结MN ，则| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝12| AB |，∴| MN |＝| AN |＝| BN |∴△ABM 为直角三角形，AB 为斜边，故∠AMB ＝Rt ∠. 【证法三】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p 2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 22).图3∴k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p2＝y 1－y 22·y 212p＋p＝p (y 1－y 2)y 21＋p2＝p (y 1－－p 2y 1)y 21＋p 2＝p y 1，同理k BM ＝py 2∴k AM ·k BM ＝p y 1·p y 2＝p 2y 1y 2＝p 2－p 2＝－1∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠.【证法四】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 22).∴MA →＝(x 1＋p 2，y 1－y 22)，MB →＝(x 3＋p 2，y 2－y 12)∴MA →·MB →＝(x 1＋p 2)(x 2＋p 2)＋(y 1－y 2)(y 2－y 1)4＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24－(y 1－y 2)24＝p 24＋p 2(y 212p ＋y 222p )＋p 24－y 21＋y 22－2y 1y 24＝p 22＋y 1y 22＝p 22＋－p 22＝0∴MA →⊥MB →，故∠AMB ＝Rt ∠.【证法五】由下面证得∠DFC ＝90 ，连结FM ，则FM ＝DM .又AD ＝AF ，故△ADM ≌△AFM ，如图4∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4 ∴∠2＋∠3＝12×180︒＝90︒∴∠AMB ＝Rt ∠.接着证明：∠DFC ＝Rt ∠【证法一】如图5，由于| AD |＝| AF |，AD ∥RF ，故可设∠AFD ＝∠ADF ＝∠DFR ＝α， 同理，设∠BFC ＝∠BCF ＝∠CFR ＝β， 而∠AFD ＋∠DFR ＋∠BFC ＋∠CFR ＝180︒ ∴2(α＋β)＝180︒，即α＋β＝90︒，故∠DFC ＝90︒ 【证法二】取CD 的中点M ，即M (－p 2，y 1＋y 22)由前知k AM ＝p y 1，k CF ＝－y 2＋p 2＋p2＝－y 2p＝p y 1∴k AM ＝k CF ，AM ∥CF ，同理，BM ∥DF ∴∠DFC ＝∠AMB ＝90︒.【证法三】∵DF →＝(p ，－y 1)，CF →＝(p ，－y 2)，∴DF →·CF →＝p 2＋y 1y 2＝0 ∴DF →⊥CF →，故∠DFC ＝90︒.图6【证法四】由于| RF |2＝p 2＝－y 1y 2＝| DR |·| RC |，即| DR || RF |＝| RF || RC |，且∠DRF ＝∠FRC＝90︒∴ △DRF ∽△FRC∴∠DFR ＝∠RCF ，而∠RCF ＋∠RFC ＝90︒ ∴∠DFR ＋∠RFC ＝90︒ ∴∠DFC ＝90︒4. C ’A 、C ’B 是抛物线的切线【证法一】∵k AM ＝p y 1，AM 的直线方程为y －y 1＝p y 1(x －y 212p)与抛物线方程y 2＝2px 联立消去x 得y －y 1＝p y 1(y 22p －y 212p)，整理得y 2－2y 1y ＋y 21＝0可见△＝(2y 1)2－4y 21＝0，故直线AM 与抛物线y 2＝2px 相切， 同理BM 也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y 2＝2px ，两边对x 求导，(y 2)'x＝(2px )'x ， 得2y ·y 'x＝2p ，y 'x ＝p y，故抛物线y 2＝2px 在点A (x 1，y 1)处的切线的斜率为k 切＝y 'x | y ＝y 1＝py 1.图8又k AM ＝py 1，∴k 切＝k AM ，即AM 是抛物线在点A 处的切线，同理BM 也是抛物线的切线.【证法三】∵过点A (x 1，y 1)的切线方程为y 1y ＝p (x ＋x 1)，把M (－p 2，y 1＋y 22)代入左边＝y 1·y 1＋y 22＝y 21＋y 1y 22＝2px 1－p22＝px 1－p 22，右边＝p (－p 2＋x 1)＝－p 22＋px 1，左边＝右边，可见，过点A 的切线经过点M ，即AM 是抛物线的切线，同理BM 也是抛物线的切线.5. C ’A 、C ’B 分别是∠A ’AB 和∠B ’BA 的平分线.【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图9，则△ADM ≌△ECM ，有AD ∥BC ，AB ＝BE ， ∴∠DAM ＝∠AEB ＝∠BAM ，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA .【证法二】由图9可知只须证明直线AB 的倾斜角α是直线AM 的倾斜角β的2倍即可，即α＝2β. 且M (－p 2，y 1＋y 22)图9∵tan α＝k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 222p －y 212p＝2py 1＋y 2.tan β＝k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p2＝y 1－y 22·y 212p ＋p＝p (y 1－y 2)y 21＋p2＝p (y 1－－p 2y 1)y 21＋p2＝py 1.∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2py 11－(py 1)2＝2py 1y 22－p2＝2py 1y 22＋y 1y 2＝2py 1＋y 2＝tan α∴α＝2β，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA .6. AC ’、A ’F 、y 轴三线共点，BC ’、B ’F 、y 轴三线共点 【证法一】如图10，设AM 与DF 相交于点G 1，由以上证明知| AD |＝| AF |，AM 平分∠DAF ，故AG 1也是DF 边上的中线， ∴G 1是DF 的中点.设AD 与y 轴交于点D 1，DF 与y 轴相交于点G 2， 易知，| DD 1 |＝| OF |，DD 1∥OF ， 故△DD 1G 2≌△FOG 2∴| DG 2 |＝| FG 2 |，则G 2也是DF 的中点.∴G 1与G 2重合（设为点G ），则AM 、DF 、y 轴三线共点，图10同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.【证法二】AM 的直线方程为y －y 1＝p y 1(x －y 212p)，令x ＝0得AM 与y 轴交于点G 1(0，y 12)，又DF 的直线方程为y ＝－y 1p (x －p 2)，令x ＝0得DF 与y 轴交于点G 2(0，y 12)∴AM 、DF 与y 轴的相交同一点G (0，y 12)，则AM 、DF 、y 轴三线共点，同理BM 、CF 、y 轴也三线共点H ．由以上证明还可以得四边形MHFG 是矩形. 7. A 、O 、B ’三点共线，B 、O 、A ’三点共线. 【证法一】如图11，k OA ＝y 1x 1＝y 1y 212p＝2p y 1，k OC ＝y 2－p 2＝－2y 2p ＝－2py 2p 2＝－2py 2－y 1y 2＝2py 1∴k OA ＝k OC ，则A 、O 、C 三点共线， 同理D 、O 、B 三点也共线.【证法二】设AC 与x 轴交于点O '，∵AD ∥RF ∥BC∴| RO ' || AD |＝| CO ' || CA |＝| BF || AB |，| O 'F || AF |＝| CB || AB |， 又| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，∴| RO ' || AF |＝| O 'F || AF |图11∴| RO ' |＝| O 'F |，则O '与O 重合，即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.【证法三】设AC 与x 轴交于点O '，RF ∥BC ，| O 'F || CB |＝| AF || AB |，∴| O 'F |＝| CB |·| AF || AB |＝| BF |·| AF || AF |＋| BF |＝11| AF |＋1| BF | ＝p2【见⑵证】 ∴O '与O 重合，则即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.【证法四】∵OC →＝(－p 2，y 2)，OA →＝(x 1，y 1)，∵－p 2·y 1－x 1 y 2＝－p 2·y 1－y 212p y 2＝－py 12－y 1y 2y 12p ＝－py 12＋p 2y 12p ＝0∴OC →∥OA →，且都以O 为端点∴A 、O 、C 三点共线，同理B 、O 、D 三点共线.【推广】过定点P (m ，0)的直线与抛物线y 2＝2px （p ＞0）相交于点A 、B ，过A 、B 两点分别作直线l ：x ＝－m 的垂线，垂足分别为M 、N ，则A 、O 、N 三点共线，B 、O 、M 三点也共线，如下图：8. 若| AF |：| BF |＝m ：n ，点A 在第一象限，θ为直线AB 的倾斜角. 则cos θ＝m －n m ＋n；【证明】如图14，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D ，C ，过B 作BE ⊥AD于E ，设| AF |＝mt ，| AF |＝nt ，则| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，| AE |＝| AD |－| BC |＝(m －n )t∴在Rt △ABE 中，cos ∠BAE ＝| AE || AB |＝ (m －n )t (m ＋n )t ＝m －nm ＋n∴cos θ＝cos ∠BAE ＝m －nm ＋n.【例6】设经过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于两点A 、B ，且| AF |：| BF |＝3：1，则直线AB 的倾斜角的大小为 . 【答案】60︒或120︒.【说明】如图15，设E 是AF 的中点，则E 的坐标为( p2＋x 1 2，y 12)，则点E 到y 轴的距离为d ＝p2＋x 12＝12| AF | 故以AF 为直径的圆与y 轴相切， 同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.【说明】如图15，设M 是AB 的中点，作MN ⊥准线l 于N ，则| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝12| AB |则圆心M 到l 的距离| MN |＝12| AB |，故以AB 为直径的圆与准线相切.10. MN 交抛物线于点Q ，则Q 是MN 的中点. 【证明】设A (y 212p ，y 1)，B (y 222p ，y 1)，则C (－p2，y 2)，D (－p2，y 1)，图16M (－p 2，y 1＋y 22)，N (y 21＋y 224p，y 1＋y 22)，设MN 的中点为Q '，则Q ' ( －p 2＋y 21＋y 224p2，y 1＋y 22)∵ －p 2＋y 21＋y 224p2＝－2p 2＋y 21＋y 228p＝ 2y 1y 2＋y 21＋y 22 8p＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 2222p∴点Q ' 在抛物线y 2＝2px 上，即Q 是MN 的中点.。
证明抛物线焦点弦的18个结论
抛物线焦点弦的八大结论分别是？
第一类是常见的基本结论；
第二类是与圆有关的结论；
第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；
第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。
过抛物线y^2=2px的焦点F的弦AB与它交于点
A(x1,y1),B(x2,y2)则
|AB|=x1+x2+p
证明：设抛物线的准线为L，从点A、B分别作L的垂线垂足是C、D。
由于L 的方程是x＝-p/2，所以
|AC|=x1+p/2，|BD|=x2+p/2
根据抛物线的定义有：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|
所以：|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p
扩展资料：
抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。
焦点并不在准线上。
抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。
抛物线的另一个描述是
作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。
第三个描述是代数。
抛物线具有这样的性质，如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。
相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行（“准直”）光束，使抛物线平行于对称轴。
声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。
这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。
证明抛物线焦点弦的18个结论
证明抛物线焦点弦的18个结论1. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线的焦点重合。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以，焦点到直线的距离与直线到焦点的距离相等，因此两个焦点与焦点弦重合。
2. 抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
证明：由于抛物线的准线与直线平行，所以准线到焦点的距离与焦点到直线的距离相等。
因此，抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
3. 抛物线焦点弦与抛物线的法线平行。
证明：由于抛物线的定义，法线通过焦点并垂直于准线。
而抛物线焦点弦是抛物线的切线，与法线平行。
4. 抛物线焦点弦的中点位于抛物线的准线上。
证明：由于抛物线的准线与抛物线的焦点重合，所以抛物线焦点弦的中点与抛物线准线的焦点重合。
5. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
6. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行。
证明：抛物线焦点弦是抛物线的切线，而抛物线的切线与准线平行。
7. 抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
证明：由于抛物线的对称轴与准线重合，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
8. 抛物线焦点弦是抛物线的一个特殊弦，它经过焦点，并且与抛物线的对称轴垂直。
证明：由抛物线的定义可知，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以抛物线焦点弦经过焦点。
另外，抛物线的对称轴与准线垂直，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的对称轴垂直。
9. 抛物线焦点弦是抛物线的一条切线，且与抛物线的直径垂直。
证明：由抛物线的定义可知，抛物线的焦点到直线和焦点到定点的距离相等，所以抛物线焦点弦是抛物线的切线。
另外，根据抛物线的性质可知，直径与对称轴垂直，而抛物线焦点弦与对称轴重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的直径垂直。
10. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行，并且经过抛物线的焦点。
高中数学抛物线的焦点弦-经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB = 证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短.结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P P y y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。
抛物线焦点弦经典性质
焦点弦
通过焦点的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做 抛物线的焦点弦。
y
A (x1, y1)
F
O
x
B (x2, y2)
过抛物线 y2 2 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x1, y1) 、B (x2 , y2 ) 两点
性质3： 过焦点的弦中通径长最小
y
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
C
B
＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜
H
E
OF
x
D
A
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且
EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
2
2
2 2 sin 2
2 s in
S2 OAB
P3
AB 8
性质6：以焦点弦AB为直径的圆和抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的 定义和平面几何知识
y
C
B
来证比较简捷．
H
E
OF
x
D
A
证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准
线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
证明：sin 2 1 2 p 2 p sin 2
AB 的最小值为 2 p ,即过焦点的弦长中通径长最短.
性质 4：
S2 OAB
p3 (定值)
AB 8
S OAB
S OBF
S0AF
1 2
OFBFsin源自1 2OFAF
sin
1 OF AF BF sin 1 OF AB sin 1 p 2 p sin p 2
抛物线焦点弦经典性质
y1 x1
y1 y12
2p y1 , koB1
y2 p
2y2 p
，而 y1 y2
p2
2p
2
所以 koA
2p p2
2y2 p
koB1 所以三点共线。同理可证（2）
y2
（3）证： 直线OA : y y1 x 2 p x
x1
y1
令x p 2
，
yB1
p2 y1
X 轴，同理可证（4）
2
设直线 L 的方程为： y k(x p ) 即 x y p
2
k2
代入抛物线方程得 y2 2 p y p2 0 k
由韦达定理
y1 y2
p2, y1
y2
2p k
,
y1
y2
2p
1 1 k2
由弦长公式得 AB
1
1 k2
y1 y2
2
p(1
1 tan2
)
2p
sin2
性质3： 过焦点的弦中通径长最小
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
y
C
B
＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜
H
E
OF
x
DA 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且
EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
性质 7：连接 A1F、B1 F 则 A1F B1F
证明： AA1 AF,AA1F AFA1
AA1 / /OF AA1F A1FO A1FO A1FA
性质 9： 1 1 2 FA FB p
证明：过 A 点作 AR 垂直 X 轴于点 R，过 B 点作 BS 垂直 X 轴于点 S，
抛物线焦点弦长公式二级结论
抛物线焦点弦长公式二级结论
抛物线焦点弦长公式是：<a>AB=2*a*sqrt{c^2-(b^2)/4a^2}</a>
一、抛物线焦点弦长定义
1、抛物线焦点弦（AB）是抛物线的一部分，它由焦点之间的两个点构成，它们分别为上抛物线上的焦点F1和下抛物线上的焦点F2；
2、抛物线焦点弦的长度表示两个焦点连线的长度，即两点F1，F2之间的直线距离；
二、抛物线焦点弦长公式
抛物线焦点弦长公式是：AB=2*a*sqrt{c^2-(b^2)/4a^2}，其中a为抛物线顶点到水平轴的距离，b为抛物线顶点到垂线的距离，c为抛物线焦点到垂线的距离。
三、抛物线焦点弦长使用
1、由抛物线焦点弦长公式可知，我们可以利用这个公式求出若干特定抛物线的焦点弦的长度；
2、抛物线焦点弦的长度也可用于解决日常生活中的物理问题，比如可以确定抛物线上任意两点之间的距离等；
四、抛物线焦点弦长结论
抛物线焦点弦长公式可以使用来求解抛物线的焦点弦的长度，而且该长度也可以用于解决实际中的一些物理问题。
抛物线焦点弦性质及推导过程
抛物线焦点弦性质及推导过程
抛物线的焦点与弦性质让抛物线在自然界中有着广泛的应用，它与椭
圆都属于椭圆类曲线。
抛物线的焦点弦性质是指它的定点在两个曲线的焦点之间具有对称性。
它的几何表现可以表示为：当抛物线的一个焦点相对两个直线的另一个焦
点的线段落在该抛物线上，则此抛物线为一条弦曲线。
抛物线的焦点弦性性可以推导出：设抛物线的方程为：y=ax^2+bx+c，则抛物线的焦点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，将上述抛物线焦点坐标代
入方程，可以得到结论：
ac-b^2/4a等于0，即c=b^2/4a，那么上述方程就可以简写为
y=ax^2+bx+b^2/4a，其中，a、b可以任意取值，只要满足第二步中得到
的结论即可。
抛物线的焦点弦性质可以为在自然界中广泛应用提供有力帮助，在许
多现实应用中都具有重要意义。
抛物线焦点弦性质很全
五、 CFD 900
CFO FCA AFC DFO FDB BFD CFO DFO AFC BFD 即有CFD AFC BFD
CFD 900
六、抛物线的焦点三角形的面积公式
S AOB
p2
2sin
S AOB
SAOF
SBOF
1 2
OF
y1
1 OF 2
y2
1 2 OF y1 y2
kMA kMB
2 py1 y12 p2
2 py2 y22 p2
kMA kMB
2 py1 y12 y1 y2
2 py2 y22 y1 y2
0
kMA kMB
MA, MB的倾斜角互补，即 AMF BMF
设：x my p ，代入y2 2 px可得
F
2
y1 y2 2 pm, y1 y2 p2
y1 y2 y1 y2 2 4 y1 y2 2 p m2 1
又k AB
tan
1 m
, 则m
1
tan
y1 y2 2 p
1
tan 2
1
2p
sin
SAOB
1 2
OF
y1 y2
1 p 2p
（1）若焦点在 x轴上，则 x1x2
p2 4
, y1 y2
p2
（2）若焦点在 y轴上，则 y1 y2
p2 4
, x1x2
p2
四、以抛物线的焦点弦为直径的圆与准线
证明：
MM1
1 2 ( AA1
BB1 )
1 ( AF BF ) 2
1 AB 2
即有：AM1B 900
引申：以焦半径为直径的圆与y轴相切（学生完成）
2 2 sin
抛物线焦点弦性质及推导过程
抛物线焦点弦性质及推导过程抛物线是一个非常常见的二次曲线，其方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a不等于0。
抛物线的焦点是一个特殊的点，它在抛物线的对称轴上，距离抛物线顶点的距离与到抛物线焦点的距离相等。
在本文中，我们将研究抛物线焦点的弦性质及其推导过程。
首先，我们来定义抛物线的焦点和顶点，并给出抛物线方程的标准形式。
我们可以通过完成平方的方式将一般形式的抛物线方程转化为标准形式的方程。
标准形式的抛物线方程为：y=a(x-h)^2+k其中(h,k)是抛物线的顶点，a决定了抛物线的开口方向和形状。
焦点的坐标为：F(h,k+p)其中p是焦距，p=1/(4a)。
现在，我们来研究抛物线焦点的弦性质。
假设抛物线上有两个不同的点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，我们要证明直线PQ的中垂线经过焦点F。
首先，我们计算点P和点Q到焦点F的距离。
根据平面几何的距离公式，点P和点Q到焦点F的距离分别为：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)根据抛物线的定义，点P和点Q到抛物线的顶点的距离应该相等。
所以我们有：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)=√((x1-h)^2+(y1-k-p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)=√((x2-h)^2+(y2-k-p)^2)将这两个等式相减，我们得到：(d1)^2-(d2)^2=[(x1-h)^2+(y1-k+p)^2]-[(x2-h)^2+(y2-k-p)^2]=(x1-h)^2+(y1-k+p)^2-(x2-h)^2-(y2-k-p)^2=(x1^2-2x1h+h^2)+(y1^2-2y1k+2y1p+p^2)-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+h^2+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-x2^2+2x2h+y2^2-2y2k-2y2p+p^2 =x1^2-2x1h+x2^2-2x2h+y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p=(x1^2+x2^2-2x1h-2x2h)+(y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p)=x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2+2(y1p-y2p)=(x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2)+2(y1p-y2p)我们知道，抛物线都满足方程y=a(x-h)^2+k。
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有关抛物线焦点弦问题的探讨
过抛物线px y 22
=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点 结论1：
p x x AB ++=21
结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ
2
sin 2p
AB =
证: (1)若2
π
θ=
时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2
(2)若2
π
θ
≠
时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -
=即2
cot p
y x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=
由弦长公式得
θ
θθ2
2212sin 2)cot 1(2cot 1p
p y y AB =
+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小
p p
2sin 21sin 22≥∴
≤θ
θΘ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短.
结论4： )(8
3
2为定值p AB S oAB =∆
结论5： (1) 2
21p y y -= (2) x 1x 2=4
2
p
证44)(,2,22
2
221212
22211P P y y x x p y x p y x =
=∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，
过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2
2
2
1
11AB BF
AF BB AA MM =
+=
+=
故结论得证
结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F
同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F
结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）
BF AF F M ⋅=2
1
（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）
2
121214M M B M AM =+
证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1
Θ11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点
∴M 1F ⊥AB
BF AF F M ⋅=∴2
1 Θ AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴Θ又B AM
︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，2
2121AB B M AM =+
结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线
（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴
（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴 证：因为p y p y k y p
p y y x y k oB oA
22121
11122,221-=-====
，而221p y y -=
所以122
2
22oB oA
k p y y p
p
k =-=-=
所以三点共线。
同理可征（2）（3）（4） 结论10：
p
FB FA 211=+ 证：过A 点作AR 垂直X 轴于点R ，过B 点作BS 垂直X 轴于点S ，设准线与x 轴交点为
E,θ的倾斜角为
因为直线L 则
θ
θcos 1cos -=
∴=+=+=P
AF AF AF P FR EF ER P AF θcos 11-=∴ 同理可得P BF θcos 11+= ∴p
FB FA 2
11=+ 结论11：
证:A
A B B EA E B A A FA B B BF FA
BF EA E B AA EF BB 111
1111
111,////=
∴
===
∴
ΘΘ
(4) 90AEB FB EF AF 2
︒∠∴=
＝＝＝时，当π
θ
x 1x 2=4
p 2
假设12
2y 1K K BE AE 22
11
BE AE -=+
⋅
+∴⋅⊥p x y p x ＝－
则
结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则 推广与深化：
深化 1：性质5中，把弦AB 过焦点改为AB 过对称轴上一点E （a,0），则有pa 2y y 21-=．
证：设AB 方程为my=x-a ，代入px 2y 2=．得：
0ap 2pmy 2y 2
=--，∴pa 2y y 21-=． 深化2： 性质12中的条件改为焦点弦AB 不垂直于x 轴，AB 的中垂线交x 轴于点R ，则
21
|AB ||FR |= 证明：设AB 的倾斜角为a ，直线AB 的方程为：
)
2p
x (tga y -=， AE BE AF AE
(1)PEQ (2) (3) K K 0BF BE
(4) AE BE , AE BE
2
2
EF π
π
θθ∠=+==
⊥≠
线段平分角当时当时不垂直于
代入px 2y 2
=得：px 2)4p px x (a tg 2
2
2
=+-，
即：0
4p )a pctg 2p (x x 22
2
=++-．
由性质1得
a sin p
2a pctg 2p 2p x x |AB |2221=
+=++=，
又设AB 的中点为M ，则
|
a cos a pctg ||a cos 2p
2x x ||FM |221=-
+=， ∴
a sin p |a cos a pctg ||a cos ||
FM ||FE |222=
==， ∴
21|AB ||FR |=． 深化3：过抛物线的焦点F 作n 条弦n n 2211B A B A B A ⋯
、、，且它们等分周角2π，则有
（1）
∑
=⋅n
1
i i i |FB ||F A |1
为定值； （2）
∑=n
1
i i
i
|B
A |1
为定值．
证明：（1）设抛物线方程为
a
Fx A ,cos 1p
1=∠θ-=
λ．
由题意
π-+=∠⋯π+=∠π+
=∠n 1
n a Fx A n 2a Fx A ,n a Fx A n 32，
所以222
211p a sin p a cos 1p )a cos(1p a cos 1|
FB ||F A |1=-=+π-⋅-=⋅， 同理22n n 2
222p )
n 1n a (sin |FB ||F A |1,,p )n a (sin |FB ||F A |1π-+=⋅⋯π+=⋅
易知
2n )n 1n a (sin )n 2a (sin )n a (sin a sin 2222=
π-++⋯+π+π++， ∴
222n
1
i 2222
i i p 2n p )
n 1
n a (sin p )n a (sin p a sin |FB ||F A |1=π-++⋯+π++=⋅∑
=．
（2）∵
a sin p
2a cos 1p 2)a cos(1p a cos 1p |B A |2211=
-=+π-+-=
，
∴p 2)n 1
n a (sin |
B A |1,,p 2a sin |
B A |1
2n n 211π-+
=
⋯=，
∴
p 4n p 2)
n 1
n a (sin p 2)n a (sin p 2a sin |B A |12n
1
i 22
i i =π-++⋯+π++=∑
=．。