抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨

过抛物线px y 22

=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点 结论1：

p x x AB ++=21

结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ

2

sin 2p

AB =

证: (1)若2

π

θ=

时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2

(2)若2

π

θ

≠

时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -

=即2

cot p

y x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=

由弦长公式得

θ

θθ2

2212sin 2)cot 1(2cot 1p

p y y AB =

+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小

p p

2sin 21sin 22≥∴

≤θ

θΘ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短.

结论4： )(8

3

2为定值p AB S oAB =∆

结论5： (1) 2

21p y y -= (2) x 1x 2=4

2

p

证44)(,2,22

2

221212

22211P P y y x x p y x p y x =

=∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，

过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2

2

2

1

11AB BF

AF BB AA MM =

+=

+=

故结论得证

结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F

同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F

结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）

BF AF F M ⋅=2

1

（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）

2

121214M M B M AM =+

证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1

Θ11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点

∴M 1F ⊥AB

BF AF F M ⋅=∴2

1 Θ AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴Θ又B AM

︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，2

2121AB B M AM =+

结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线

（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴

（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴 证：因为p y p y k y p

p y y x y k oB oA

22121

11122,221-=-====

，而221p y y -=

所以122

2

22oB oA

k p y y p

p

k =-=-=

所以三点共线。同理可征（2）（3）（4） 结论10：

p

FB FA 211=+ 证：过A 点作AR 垂直X 轴于点R ，过B 点作BS 垂直X 轴于点S ，设准线与x 轴交点为

E,θ的倾斜角为

因为直线L 则

θ

θcos 1cos -=

∴=+=+=P

AF AF AF P FR EF ER P AF θcos 11-=∴ 同理可得P BF θcos 11+= ∴p

FB FA 2

11=+ 结论11：

证:A

A B B EA E B A A FA B B BF FA

BF EA E B AA EF BB 111

1111

111,////=

∴

===

∴

ΘΘ

(4) 90AEB FB EF AF 2

︒∠∴=

＝＝＝时，当π

θ

x 1x 2=4

p 2

假设12

2y 1K K BE AE 22

11

BE AE -=+

⋅

+∴⋅⊥p x y p x ＝－

则

结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则 推广与深化：

深化 1：性质5中，把弦AB 过焦点改为AB 过对称轴上一点E （a,0），则有pa 2y y 21-=．

证：设AB 方程为my=x-a ，代入px 2y 2=．得：

0ap 2pmy 2y 2

=--，∴pa 2y y 21-=． 深化2： 性质12中的条件改为焦点弦AB 不垂直于x 轴，AB 的中垂线交x 轴于点R ，则

21

|AB ||FR |= 证明：设AB 的倾斜角为a ，直线AB 的方程为：

)

2p

x (tga y -=， AE BE AF AE

(1)PEQ (2) (3) K K 0BF BE

(4) AE BE , AE BE

2

2

EF π

π

θθ∠=+==

⊥≠

线段平分角当时当时不垂直于