实变函数课件

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2018年8月8日9时18分
f 在 E 上可测的充要条件是 ⑴ 对任何实数 a , E [ f a ] 都可测；设 f 在 E 上可测，则对任何实数 a ， E [ f > a ]是
可测集，因为有 E[ f a] E[ f a 1 ] n n 1
,
,
, 0
a . 0
2018年8月8日9时18分
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1 可测函数的定义
n 设 f ( x ) 是定义在集 E R 上的实函数，记
E[ f a] { x | x E , f ( x ) a } .
定义 1 设 f ( x ) 是定义在可测集 E R 上的实
则对任意的实数 a, 当a c时，E[ f a] ，mE[ f a] 0.
当a c时，E[ f a] E.所以, E[ f a]可测.
由函数可测的定义知， f ( x)在E上可测。 (参见教材p80定义3之后的例）
2018年8月8日9时18分
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n n
a n 对递减无下界的数列 { an } ，有 lim n
2018年8月8日9时18分
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对任何有限实数 a , a + (± ) = (± ) + a = (± ) a = ± a (± ) + ( ± ) = ± , 0 对任何有限实数 a > 0, a ( ) ( ) a a
E[ f ] E[ f n] E[ f ] E[ f n]
n 1 n 1

所以结论成立．
2018年8月8日9时18分
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3 函数可测的充分条件例 3 [a , b ] 上的连续函数及单调函数都是可测函数．证设 f 在 [ a , b ] 连续，则对任何实数 c ，点集
{ x [a, b] | f ( x ) c }
() () () () () () () () 0 () () 0 0
2018年8月8日9时18分
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下列表达式是无意义的：
(± ) － (±)，(+ ) + ( )， () + (+ )
下午9时18分43秒
下午9时18分43秒
实变函数中研究的函数可以取无穷大的值， ± 也称为非真正的实数，通常的实数则称为有限实数，函数值都是有限实数的函数称为有限函数．对包含± 在内的实数运算作如下规定： + 是全体有限实数的上确界，－是全体有限实数的下确界．从而对递增无上界的数列 { an } ，总有 lim a
下午9时18分43秒
2018年8月8日9时18分
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2018年8月8日9时18分
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下午9时18分43秒
下午9时18分43秒
1 可测函数的Hale Waihona Puke Baidu义
2 可测的充要条件 3 函数可测的充分条件 4 可测函数的四则运算 5 可测函数列的性质 6 可测函数与简单函数的关系 7 几乎处处问题
E[ f a] E[a f a n] ,
n 1

所以 E [ f a ] 是可测集．
2018年8月8日9时18分
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推论设 f 在 E 上可测，则 E [ f = a ] 可测，不论
a 是有限实数或±∞ ．
证因为
E[ f a] E[ f a] E[ f a]
n
函数．若对任何实数 a , E [ f > a ] 都是可测集，则称 f 是 E 上的可测函数，或称 f 在 E 上可测．
2018年8月8日9时18分
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例1
零测度集上的任何函数都是可测函数．
证明：设m E 0, 则对任意的实数 a, m E[ f a] m E 0.
所以, m E[ f a] 0. 即E[ f a]为零测度集，从而可测。由函数可测的定义知， f ( x)在E上可测。
2018年8月8日9时18分
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例2
定义在可测集上的任何常数函数都是
可测函数．
证明：设E可测，f ( x) c, 对任意的x E成立。
所以 E [ f a ] 是可测集．反之，若对任何实数 a , E [ f a ] 都可测，由于

1 E[ f a ] E[ f a ] n n 1
所以 E [ f > a ] 是可测集．
2018年8月8日9时18分

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下面证明：条件 ⑴ 和条件 ⑷ 等价．若 ⑴ 成立，即对任何实数 a ， E [ f a ] 都可测，由于对任何实数 a , b ( a < b ), 有 E[a f b] E[ f a] E[ f b] , 所以，E [ a f < b ] 是可测集．反之，若 ⑷ 成立且 | f (x ) | < ∞ ，即对任何实数 a , b ( a < b ), E [ a f < b ] 都可测，由于
2 可测的充要条件定理1 设 f 是定义在可测集 E 上的实函数．下列
任一条件都是 f 在 E 上可测的充要条件：
⑴ 对任何实数 a , E [ f a ] 都可测； ⑵ 对任何实数 a , E [ f < a ] 都可测；
⑶ 对任何实数 a , E [ f a ] 都可测； ⑷ 对任何实数 a , b ( a < b ), E [ a f < b ] 都可测（充分性要假定 | f (x ) | < ）．证只需证明条件 ⑴ ， ⑷ 的充要性．