新版高考圆锥曲线知识点汇总(精选)-新版-精选.pdf

三、抛物线方程 .
3. 设 p 0 ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
y 2 2px
2
y 2 px
x 2 2 py
图形
▲ y
▲
y
▲y
2
x 2 py
▲
y
x O
x O
x O
x O
焦点
p F ( ,0)
2
p F ( ,0)
2
准线
xp 2
xp 2
范围
x 0, y R
x 0, y R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对称轴
x轴
顶点
离心率
半焦距
p PF 2 x1
p PF 2 x1
注：① ay2 by c x 顶点 ( 4ac b 2 b ) .
4a
2a
p F (0, )
2 yp
2 x R, y 0
（0， 0） e1
p PF 2 y1
p F (0, )
2 yp
2 x R, y 0 y轴
p PF 2 y1
② y2 2 px( p 0) 则焦点半径 PF x P ; x 2 2py( p 0) 则焦点半径为 PF y P .
4、焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程：
x 2 y2 1 的参数方程为 a2 b2
x a cos （其中 为参数） y b sin
x2 y 2 5、椭圆 2 2 1(a b 0) 的几何性质：
ab （1）顶点： ( a,0) 和 0, b ，其中长轴长为 2 a ，短轴长为 2 b
（2）焦点：两个焦点 ( c,0) ，焦距： F 1F 2 2c, c a2 b2 （3）范围： a x a, b y b
PF 1 a e 0x, PF2
a e0 x
y2 x2 Ⅱ、设 P (x 0, y0 ) 为椭圆 a 2 b2 1(a b 0) 上的一点， F 1,F 2 为上、下焦点，则
PF 1 a ey0 , PF 2 a ey0
（8）通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经：
2b2 d a2
注：若 P 是椭圆： x 2 a2
y2 b2 1 上的点 . F 1,F 2 为焦点，若
F 1PF 2
b 2 tan （用余弦定理与 2
PF 1
PF 2
2a 可得）
，则 PF 1F 2 的面积为
二、双曲线方程 .
1. 双曲线的定义
第一定义：平面内与两个定点
的点的轨迹叫做双曲线 .
F1 ，F2 的距离之差的绝对值等于常数
当 PF1 PF2 2a F1F2 ，轨迹为双曲线
x2 y 2 4、双曲线 a 2 b2 1(a 0, b 0) 的几何性质：
（1）顶点： ( a,0) ，其中实轴长为 2 a ，虚轴长为 2 b
（2）焦点：两个焦点 ( c,0) ，焦距： F1F2 2c, c a 2 b2 （3）范围： x a, y R
（4）对称性：两条对称轴 x 0, y 0 ，一个对称中心（ 0,0 ）
MF 2 ex0 a
M F1 M F2
ex0 a （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半
ex0 a
径要带符号计算，而双曲线不带符号）
▲
y
M'
M
x
F1
F2
▲ y F1 M x
M' F2
MF 1 MF 2
ey0 a ey0 a
M F 1 ey0 a
MF2
ey0 a
5、等轴双曲线： 双曲线 x2 y2 a 2 称为等轴双曲线， 其渐近线方程为 y x ，离心率 e 2 .
2
2
③通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的 .
④ y2 2 px （或 x 2 2 py ）的参数方程为
x
2
2 pt （或
x
2 pt ）（ t 为参数） .
2a（且 0 2a F1F2 ）
当 PF1 PF2 2a F1F2 ，轨迹是以 F1 ， F2 为端点的射线
当 PF1 PF2 2a F1F2 ，无轨迹
第二定义：
平面内到定点 F 的距离与它到定直线的距离的比为常数
MF
如图：
d
e ， d 为点 M 到定直线的距离 .
e（ e 1 ）的点的轨迹叫做双曲线 .
焦距 .
第一定义：
当 PF1 PF2 2a F1F2 ，无轨迹
当 PF1 PF2 2a F1F2 ，轨迹是以 F1 ， F2 为端点的线段
当 PF1 PF2 2a F1F2 ，轨迹为椭圆
第二定义：
椭圆上的点到对应焦点的距离与到对应准线的距离的比等于离心率
子、点线距为分母 ”，其商即是离心率 e .
如图： PF1 d1
e
c
PF2
或
a
d2
ec a
2、椭圆的标准方程：
（1）中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程：
x2 y2 a2 b2 1(a b 0) （2）中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程：
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
3、椭圆的一般方程： Ax2 By2 1(A 0, B 0)
e . 切记：“ 点点距为分
高考圆锥曲线知识点汇总
知识摘要： 1、椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程． 2、双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质． 3、抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．
一、椭圆方程 .
1. 椭圆的定义：平面内与两个定点 F1 ， F 2 的距离之和等于常数 2 a （大于 F1F2 ）的点的 轨迹叫做椭圆 . 其中两个定点 F 1，F 2 为椭圆的两个焦点， 两焦点间的距离 F1F2 叫做椭圆的
切记：“ 点点距为分子、点线距为分母 ”，其商即是离心率 e .
2、双曲线的标准方程：
（1）中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程： x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
（2）中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程： y2 x2 a2 b2 1(a 0, b 0)
3、双曲线的一般方程： Ax2 By2 1(A B 0)
（4）对称性：两条对称轴 x 0, y 0 ，一个对称中心（ 0,0 ）
（5）准线：两条准线 x
a2
c
（6）离心率： e c （ 0 e 1），其中 e 越小，椭圆越圆； a
（7）焦点半径： “ 左加右减 ”
e 越大，椭圆越扁。
x2 y2 I 、 设 P( x0 ,y 0 ) 为 椭 圆 a2 b2 1(a b 0) 上 的 一 点 ， F 1,F 2 为 左 、 右 焦 点 ， 则
（5）准线方程：两条准线 x
a2
c
（6）离心率： e c （ e 1 ） a
（7）渐近线方程： y
b x
a
（8）焦点半径： “ 长加短减 ” 原则：
焦点半径公式：对于双曲线方程
x2 y2 a2 b 2
曲线的上下焦点）
1（ F 1,F 2 分别为双曲线的左、 右焦点或分别为双
MF 1 ex0 a 构成满足 MF 1 MF 2 2a