2.5 平面向量应用举例(3课时)

第一课时 2.5.1 平面几何中的向量方法

教学要求：理解向量加减法与向量数量积的运算法则；会用向量知识解决几何问题；能通过向量运算研

究几何问题中点、线段、夹角之间的关系.

教学过程： 一、复习准备：

1.提问：向量的加减运算和数量积运算是怎样的?

2.讨论：① 若o 为ABC ∆的重心，则OA +OB +OC =0；

②水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12

AB ,且|AD |=|BC |，则这个四边形为等腰梯形。类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?

二、讲授新课：

1.教学平面几何的向量：

(1). 平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来。例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：

平行四边行ABCD 中，设AB ＝，AD ＝，

则+=+=

（平移）

，-=-=， 2

2

b AD ==（长度）

．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠ (2). 讨论：①向量运算与几何中的结论“若b a =，则

=，且,所在直线平行或重合”相类比，你

有什么体会？

②由学生举出几个具有线性运算的几何实例．

(3). 用向量方法解平面几何问题的步骤（一般步骤） ① 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量． ② 通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等． ③ 把运算结果“翻译”成几何关系． 2.教学例题：

①例1：求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

分析:由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积．

② 例2：如图，平行四边行ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、 DC 边的中点，BE 、 BF 分别与AC 交于R 、

T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC 之间的关系吗？ 分析：设,,,,n m

====分别

求向量,,即可。

③ 例3、如图，在OBCA 中，b OB a OA ==,-=+，求证四边形OBCA 为矩形

分析：要证四边形OBCA 为矩形，只需证一角为直角．

C

F

④ 练习：AC 为⊙O 的一条直径，ABC ∠为圆周角，求证90ABC ∠=︒

⑤ 练习：求证平行四边形对角线互相平分．

三、巩固练习：

1. 已知平行四边形ABCD ，E F 、在对角线BD 上，并且BE=FD ，求证AECF 是平行四边形．

2. 求证：两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

3. 在平行四边形ABCD 中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC 的长．

四、作业：课本P113 习题2.5 A 组 1、2

第二课时：2.5.2 向量在物理中的应用举例

教学要求：理解向量线性运算及数量积运算，会用向量知识解决物理问题. 教学过程： 一、复习准备：

1. 讨论：①两个人提一个旅行包，夹角越大越费力。

②在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力.

2. 提问：类比物理元素之间的关系，你会想到向量运算之间有什么关系?

二、讲授新课：

1. 教学物理中的向量：

① 物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量.

② 力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则。力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法。 ③

动量mv 是数乘向量。

④ 力所做的功就是作用力F 与物体在力F 的作用下所产生的位移s 的数量积。

⑤ 用向量研究物理问题的方法：首先把物理问题转化成数学问题，即将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象。 ⑥ 探究：学生举出几个关于力、速度、加速度、位移的例子。 2 .教学例题：

①

练习：（1）例1：某人在静水中游泳，速度为

① 如果他径直游向河对岸，水流速度为4km/h ，那么他实际上沿什么方向前进？速度大小为多少？ ② 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

(分析：解决此类行船问题的关键在于“水速+船速=船实际速度”，注意到速度是一个向量，既有大小、

又有方向.)

12150010/2/d m A B v km h v km h ===例。一条河的两岸平行，河宽，一艘船从出发航行到河的正对岸处。航行的速度，水流的速度，

问行驶航程最短时，所用的时间是多少？1212210/,2/.

v v v v km h v km h v v t =+==⊥分析：如图，已知，

，，求

（2）例2：在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。你能从数学的角度解释这种现象吗？

分析：上面的问题可以抽象为如图所示的数学模型。只要分析清楚θ,,三角之间的关系（其中为

21,F F 的合力），就得到了问题的数学解释。

（3） 练习：如图,用两根分别长10m 和的绳子将100N 的物体吊在水平屋顶上，平衡后G 点距屋顶的距离恰好为5m ，求A 处受力的大小。

(分析：解决此类问题要先依题意将物理向量用有向线段来表示，利用向量加法的平行四边形法则，将物理问题转化为数学中向量加法，然后由已知条件进行计算.)

（4）练习：用两条成120︒角的等长的绳子挂一个灯具，已知灯具的重量10N ，则每根绳子的拉力大小是

多少?.

三、巩固练习：

1. 静水中船的速度是每分钟40m ，水流的速度是每分钟20m ，如果船沿着垂直水流的方向到达对岸，那么船行进的方向与河岸的夹角为_________.

2. 甲飞机从A 城市向北飞行了

，然后向东飞行300km ；乙飞机从B 城市向东飞行了300km ，然后向北飞行，那么甲、乙两飞机飞行的位移相等吗？为什么？

四、. 作业：教材P113 习题A 组2.5 3、4题.