插值法数值上机实验报告

插值法数值上机实验报告

实验题目：

利用下列条件做插值逼近，并与R (x) 的图像比较

考虑函数：R x y=1

1+x2

（1）用等距节点X i=−5+i,i=0,1,...,10.给出它的10次Newton插值多项式的图像；

π),i=0,1,...,20.给出它的20次Lagrange插值多项式（2）用节点X i=5cos(2i+1

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的图像；

（3）用等距节点X i=−5+i,i=0,1,...,10.给出它的分段线性插值函数的图像；（4）用等距节点X i=−5+i,i=0,1,...,10.给出它的三次自然样条插值函数的图像；

（5）用等距节点X i=−5+i,i=0,1,...,10.给出它的分段三次Hermite插值函数的图像；

实验图像结果：

实验结果分析：

1.为了验证Range现象，我还特意做了10次牛顿插值多项式和20次牛顿插值多项式的对比图像，结果如下图（图对称，只截取一半）

可以看出，Range现象在高次时变得更加明显。这也是由于高次多项式在端点处的最值随次数的变大很明显。可以料定高次多项式在两侧端点处剧烈震荡，在更小的间距内急剧上升然后下降，Range现象非常明显。

2.分析实验（2）的结果，我们会惊讶地发现，由于取21个点逼近，原本预料的Range现象会很明显，但这里却和f(x)拟合的很好。（即下图中Lagrange p(x)的图像）。可是上图中取均匀节点的20次牛顿多项式逼近的效果在端点处却很差。料想是由于节点X i=5cos2i+1

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π ,i=0,1,...,20 取得很好。由书上第五章的

知识，对于函数y=1

1+x ，y

1

2对应的cherbyshev多项式的根恰好为X i=

5cos2i+1

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π ,i=0,1,...,20 。由于所学限制，未能深入分析。

（3）比较三次样条插值图像和Hermit插值图像对原函数图像的逼近情形。见下图：

初看上去，两者都逼近的很好，也都没有Range现象。

经放大后，局部来看：

在某些地方，分段三次Hermite插值比三次样条插值逼近效果更好。

分析如下:

三次样条插值函数只利用基点处的函数值，并未利用到导函数值，虽然要求二次连续可微，但这并不能保证逼近的好。而分段三次Hermite插值在每段区间上不但要求函数值相等，还要求导函数值相等，这就保证了插值函数在基点处图像与原函数相切，所以逼近效果更好。

注意到分段三次Hermite插值比三次样条插值利用了更多的条件，这也从另一个方面说明了其逼近效果理论上应该更好。

（4）分析三次自然样条插值函数的图像，我们会发现逼近的效果很好，且没有实验（1）中的Range现象。

但同时我也发现了三次自然样条方法特别依赖于选点，如果少了点，影响会很大。例如，在实现上图代码的基础上，将节点X i=−5+i,i=0,1,...,10.去除其中X=0的点，得到下面的图像：中间直接拟合的效果很差。（见下图）

是左右对称的，而恰好实验同时很依赖于节点的选取，由于这里原函数y=1

1+x2

所给的是等距左右对称的节点，所以效果才这么好，如果非等距对称节点效果会差不少。

4.对比三次Hermit插值和三次样条插值的图像：

实验中碰到的问题：

1.在编写实现第四个实验的程序时，由于不想在MATLAB中使用大量的for循环，特意使用MATLAB的向量化编程技巧。

例如：

但这里便没用到Honor算法，去算函数在作图点的值。所以此处应该还可以在优化。

2.在设计最后一题程序时，由于时间问题没有考虑优化算法，仅仅为了实现画图的功能，编的很冗杂。应该可以做大幅度的优化。

如下图：

3.初始时对Matlab运用不熟，时常有语法问题，比如“：”一不小心错用成“；”，导致运行结果故障。

程序实现：

本实验由MATLAB编程实现。

程序代码见后附文件。

说明：（共有八个函数文件）

1.Hermit_figure: 生成分段三次Hermit插值函数图形，并与原图形对比。

grange_function: 构造Lagrange插值函数，在后续Plot和Plot2中调用。

3.Newton_function: 构造Lagrange插值函数，在后续Plot和Plot2中调用。

4.Nspline_figure: 生成三次自然样条插值函数的图像，并与原图形对比。

5.Plot: 在同一个图中画Newton插值多项式图形(调用3）、Lagrange插值多项式图像（调用2）、分段线性图形、原函数图形。

6.Plot2：此文件用来在整个图像中生成前三问对应的子图（调用2和3）。

7.Plot3: 验证Range现象：比较Newton10次多项式和Newton20次多项式的图像（调用2）。

8.Plot4：生成自然三次样条插值的图形、原函数图形和Hermit插值多项式图形，并进行比较效果。