初中数学三角形全等的条件(2)
第3套人教初中数学八上 12.2 三角形全等的判定课件2 【通用,最新经典教案】
【预习导学】
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟
1、如图1，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是（ ）
D
A、∠A＝∠D B、∠E＝∠C C、∠A=∠C D、∠ABD＝∠EBC
练一练
下列长度的各组线段能否组成一个三角形？
（1）15cm、10cm、7cm (2) 4cm、5cm、10cm
(3) 3cm、8cm、5cm
(4) 4cm、5cm、6cm
只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.
做一做：
1、已知两条边长分别为3cm、5cm，你可以 画出几个符合条件的等腰三角形？并求符合 条件的等腰三角形的周长.
如图三角形中，假设有一只小蚂蚁要从点B出 发沿着三角形的边爬到点C，去捉小瓢虫，它有 几条路线可以选择？各条路线的长一样吗？
A
由“两点之间，线段最短”
可以得到AB+AC>BC
同理可得：
AC+BC>AB,
B
C
AB+BC>AC
结论
三角形的三边有这样的关系： 三角形两边的和大于第三边
猜一猜，两边之差与第三边有何关系： 三角形任何两边的差小于第三边
（4）已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，
则这三角形的周长为 （ ）
（A） 14cm
（B）19cm
（C） 14cm或19cm （D） 不确定
我学会了 1、三角形的三边关系定理； 2、 (1)判断三条已知线段能否组成三角形时，采用一种较为简便的判法：若最短边与较长边的和
三角形全等的判定(二)说课稿
新人教版数学八年级上册12。
2。
2《三角形全等的判定（SAS）》说课稿说课教师：清远市清城区清城中学蒋晓清《三角形全等的判定(SAS）》说课稿尊敬的各位评委:大家好!我叫蒋晓清，来自于清远市清城中学。
今天我说课的内容是新人教版八年级数学上册第十二章第二节第二课时“三角形全等的判定(SAS)”。
根据新课标的理念，对于本节课，我将主要从以下六个环节来进行说明.一、教材分析:1。
教材的地位和作用：三角形是最常见的几何图形之一，在日常生活中有着广泛的应用。
本课是探索三角形全等条件的第二课时，是在学习了全等三角形的判定1-SSS之后展开的。
它不仅是下节课探索三角形全等其它条件的基础，还是证明线段相等、角相等的重要依据,同时也为今后探索直角三角形全等的条件以及三角形相似的条件提供很好的模式和方法。
因此,本节课的知识具有承前启后的作用，占有相当重要的地位。
2。
教学目标：根据教材的地位及作用,考虑到学生已有的认知结构心理特征，我将本节课的教学目标确定为：（1）知识与技能目标：使学生理解并掌握“边角边公理"的内容及含义，能初步运用“边角边公理”解决实际问题。
（2）过程与方法目标：让学生经历猜想－作图－验证“边角边”公理的过程，培养学生的识图能力和动手能力。
（3)情感态度与价值观目标：让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会成功的喜悦，以此激发求知欲望；通过渗透分类讨论的数学思想，培养学生的逻辑推理能力.3.教学重点难点：根据本节课的内容和地位，我确定：（1）教学重点：掌握全等三角形的判定方法--“边角边（SAS）”(2）教学难点：验证并归纳边角边公理内容,运用此结论解决实际问题。
二、学情分析：通过对前面知识的学习,学生已掌握了全等三角形定义、性质及“边边边”(SSS）公理,对本节课学习的三角形全等判定—-“边角边”（SAS)有了一定的基础,但个别学生在理解、运用上还须借助教师、同学的帮助。
1.5 三角形全等的判定(2)
∴ △ABC ≌△ DEF（SAS）. E
F
有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个 三角形全等（简写成“边角边”或“ＳＡＳ”）
➢注 意
A
BD
E
这个角一定要是两条边的夹角
用数学语言表述：
在△ABC和△DEF中，
C
AB=DE, ∠B=
∠ E,
BC=EF,
∴ △ABC ≌△ DEF（SAS）
F
以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度 为2.5cm的边所对的角为40° ，情况又怎 样？动手画一画，你发现了什么？
在△ABE中，AE＜AB+BE（三角形两边之和大于第三边）
AD 1 (AB AC) 2
说一说
1、今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？ 答：边角边（SAS）
2、通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？
答：SSS、SAS、
“边边角”不能判定两个 三角形全等
注意哦！
C
F
A 40°
B
40°
D
E
结论：两边及其一边所对的角相等，两
个三角形不一定全等.
SAS中 对于这个角有什么要求
夹 注意：这个角一定要是这两边所 的角
请在下列图中找出全等三角形，并把它们用 符号写出来.
30º
Ⅰ
Ⅱ
ⅣⅣ ⅢⅢ
5 cm
30º
Ⅴ
Ⅵ
30º
Ⅶ
Ⅷ
1．根据已知条件，再补充一个条件，使图1中的 △ABC≌△A′B′C′． （1）AB=A′B′，AC=A′C′，_B_C_=_B_′C_′；（要求用SSS）
OA=OB
（已知）
∠AOB=∠COD
（对顶角相等）
OB=OD
人教版八年级数学上册教学课件三角形全等的判定2
AB = CD
A EB
∴△ADE≌△CBF ( SSS )
② ∵ △ADE≌△CBF
∴ ∠A=∠C (
全等三角形 对应角相等 )
课堂小结
内容
有三边对应相等的两个三角形 全等（简写成 “SSS”)
谈谈本节课你有思哪路些分析收获以结现合有及图条形件存找，在隐证含准的条备件条困和件惑？
边边边 应 用
书写步骤
∴ ∠A=∠C (
)
B 有两个角对应相等的两个三角形
E
满足这六个条件可以保证△ABC ≌△DEF
有没有更简单的办法呢?
探索新知
思考 如果只满足这些 条件中的一部分，那么 能保证
△ABC ≌△DEF′吗？
互动探究
一个条件可以吗？
1. 有一条边相等的两个三角形 不一定全等 2. 有一个角相等的两个三角形 不一定全等
活，用智慧点亮人
生！
2、分别以A、B为圆心，4㎝和3㎝长为半径画弧，两弧交于点C；
为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据了，能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的边长和所有的
真，让知识服务生 角度吗？
2、分别以A、B为圆心，4㎝和3㎝长为半径画弧，两弧交于点C； （简写为“边边边”或“SSS”）
情景问题
为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制 作三角形彩旗（如图），那么，老师应提 供多少个数据了，能保证同学们制作出来 的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的 边长和所有的角度吗？
新课导入
通过上节课的学习，大家知道：两个三角 形全等时，三条对应边相等，三组对应角相 等，那么判定两个三角形全等，是否一定需 要满足六个条件呢？如果只满足上述六个条 件中的一部分，是否也能保证两个三角形全 等呢？从这节课开始，我们来探究全等三角 形的判定.
第3讲探索三角形全等的条件(二)
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）
（2）一个锐角和斜边对应相等；
（）
（3）两直角边对应相等；
（）
（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）
【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SA根据全等三角形的判定来判断.
4、【答案】A 【解析】解：∵OM=ON，CM=CN，OC 为公共边， ∴△MOC≌△NOC（SSS）．∴∠MOC=∠NOC 故选：A．
5【答案】AH=CB； 【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E， ∴∠BEC=∠AEC=90°， 在 Rt△AEH 中，∠EAH=90°﹣∠AHE， 又∵∠EAH=∠BAD， ∴∠BAD=90°﹣∠AHE， 在 Rt△AEH 和 Rt△CDH 中，∠CHD=∠AHE， ∴∠EAH=∠DCH， ∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE， 所以根据 AAS 添加 AH=CB 或 EH=EB； 根据 ASA 添加 AE=CE． 可证△AEH≌△CEB．
【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有 5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.
例 3、如图，AB⊥AC 于 A，BD⊥CD 于 D，若 AC=DB，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠A=∠D B．∠ABC=∠DCB C．OB=OD D．OA=OD 【答案与解析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．做题时要结合 已知条件与全等的判定方法逐一验证． 解：∵AB⊥AC 于 A，BD⊥CD 于 D ∴∠A=∠D=90°（A 正确） 又∵AC=DB，BC=BC ∴△ABC≌△DCB(HL) ∴∠ABC=∠DCB（B 正确） ∴AB=CD 又∵∠AOB=∠C ∴△AOB≌△DOC(AAS) ∴OA=OD（D 正确） C 中 OD、OB 不是对应边，不相等． 故选 C． 【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、 SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全 等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
1.5三角形全等的条件(2)
线段垂直平分线 上的点到线段两 端的距离相等。 端的距离相等。
l C A O B
QC是 段 的 直 分 上 点 线 AB 垂 平 线 的 中垂线的性质） ∴CA = CB （中垂线的性质）
思维提升
补充练习： 补充练习：
如图(1)， ①. 如图 ， △ABC中，BC=10cm，AB的中垂线 中 ， 的中垂线 交于BC于 ， 的中垂线交 的中垂线交BC于 ， 交于 于D，AC的中垂线交 于E，则△ADE的 的 周长是______. 周长是 A
B
DE
C
如图(2), △ABC中,DE垂直平分 垂直平分AC,AE=2cm, ② 如图 中 垂直平分 的周长是9cm,则△ABC的周长是 的周长是_______. △ABD的周长是 的周长是 则 的周长是 A E B D C
生活中的数学
如图，把两根钢条AAˊ，BBˊ的中点连在一起， 如图，把两根钢条AAˊ，BBˊ的中点连在一起，可以做 AAˊ 的中点连在一起 成一个测量工件内槽宽的卡钳。只要测量出AˊBˊ的长 成一个测量工件内槽宽的卡钳。只要测量出AˊBˊ的长 AˊBˊ 就知道内槽AB的宽。请说明理由。 就知道内槽AB的宽。请说明理由。 AB的宽
A D
O
B
C
猜一猜： 猜一猜：
你能解决吗？ 你能解决吗？
是不是两条边和一个角对应相等， 是不是两条边和一个角对应相等，这样 的两个三角形一定全等吗？ 的两个三角形一定全等吗？ A 你能举例说明吗？ 你能举例说明吗？ 如图△ABC与 ABD中 如图△ABC与△ABD中， AB=AB，AC=AD， AB=AB，AC=AD， ∠B=∠B ∆ABC和∆ABD全等吗？ 和 全等吗？ 全等吗 注：这个角一定要是这两边所夹的角
初中数学_三角形全等的判定(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
12.2.2三角形全等的判定（SAS）教学设计一、学习目标在本课的教学中，不仅要让学生学会“边角边”这一全等三角形的识别方法，更主要地是要让学生掌握研究问题的方法，初步领悟分类讨论的数学思想. 从而激发学生学习数学的兴趣.为此，我确立如下：1.知识与能力：(1)学生在教师引导下，积极主动地经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程(2)掌握三角形全等的“边角边”的判定方法，能用三角形的全等解决一些实际问题。
2.过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验，3.情感与态度：通过“边角边公理”的获得和使用，培养学生严密的逻辑思维品质以及勇于探索、团结协作的精神。
二、学习重点根据本节课的内容和地位，重点确定为：“边角边公理”的内容及应用学习难点发现、验证并归纳边角边公理内容，运用此结论解决实际问题。
三、教法分析鉴于教材特点及初二学生思维依赖于具体直观形象的特点，采用实验发现法，将有利于学生更好地理解与应用数学，获得成功的体验，增强学好数学的信心。
本节课主要采用实验发现法，同时以直观演示教学法、观察法、探究法为辅。
在教法上，尽可能地组织学生自主地通过观察、实验等数学活动，探究三角形全等的特征，通过对数学问题情境、数学活动情境等设计，调动学生学习数学的积极性。
运用多媒体直观演示，化静为动，使学生始终处于主动探索问题的积极状态中，使数学学习变得有趣、有效、自信、成功。
学法指导本节课主要是“边边边”这一基本事实的发现，故我在课堂教学中将尽量为学生提供“做中学”的时空，让学生进行小组合作学习，在“做”的过程中潜移默化地渗透分类讨论的数学思想方法，遵循“教是为了不教”的原则，让学生自得知识、自寻方法、自觅规律、自悟原理。
四、教学过程设计（一）创设情境，引入新知1.由生活中遇到的全等问题情境自然引入。
2．画一画如果两个三角形的两边和一角分别对应相等，那么会有几种情况。
数学(七下)3.3探索三角形全等的条件(二)
1、角.边.角;
2、角.角.边
每种情况下得到的三角形都全等吗?
做一做
1.角.边.角;
若三角形的两个内角分别是60°和80° 它们所夹的边为4cm,你能画出这个三角形吗?
2cm
60°
80°
做一做
2.角.角.边
若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45° 所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?
2
C
∴△ABC≌△DCB（ AAS ）
巩固练习：
如图，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC 与△BOD全等吗？为什么？ 我的思考过程如下： 两角与夹边对应相 等 A
C O B D
∴△AOC≌△BOD
补充练习
1﹑请在下列空格中填上适当的条件， 使△ABC≌△DEF。 在△ABC和△DEF中 A D
课堂小结
通过这堂课的学习你有 什么收获?知道了哪些 新知识？学会了做什么？
布置作业
P83 知识技能2.3； 问题解决。
第三章
三角形
3 探索三角形全等的条件（第2课时）
情境导入
我们已学过识别两个三角形全等的方法 是什么?识别三角形全等是不是还有其 它方法呢？
情境导入
有一块三角形纸片撕去了一个角, 要去剪一块新的,如果你手头没 有测量的仪器,你能保证新 剪的纸片形状、大小和原来的一 样吗?
实践探究
我们知道:如果给出一个三角形三条边的长度, 那么因此得到的三角形都是全等.如果已知一个 三角形的两角及一边,那么有几边对应相等的两个三 角形全等，简写成“角边角”或“ASA”
两角和其中一角的对边对应相等的两个 三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
练一练
1.如图，已知AB=DE， ∠A =∠D， ,∠B=∠E， 则△ABC ≌△DEF的理由是：角边角（ASA） 2.如图，已知AB=DE ,∠A=∠D，,∠C=∠F，则 △ABC ≌△DEF的理由是： 角角边（AAS）
数学人教版八年级上册12.2三角形全等的判定定理2(SAS).2 三角形全等的判定
A
A
B 图一 在图一中， ∠A 是AB和AC的夹角， 符合图一的条件，它可称为 “两边夹角”。
C
B
图二
C
符合图二的条件， 通常 说成“两边和其中一边的对角”
探索边角边
已知△ABC，画一个△A′B′C′使A B =A′B′,A C =A′ C ′, ∠A =∠A′。
画法: 1.画 ∠DA′ E= ∠A； ′ 2.在射线A D上截取A′ B′ =AB,在射线A′ E上截 取A ′C ′=AC; C C′ 3. 连接B ′C′.
补充题：
例1 如图AC与BD相交于点O， 已知OA=OC，OB=OD，说明 △AOB≌△COD的理由。 A B
O
D C C D
例2 如图，AC=BD， ∠CAB= ∠DBA，你能判断 BC=AD吗？说明理由。
A B 归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通 过从它们所在的两个三角形全等而得到。
课堂小结:
A B A′ B′ D
思考： ① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？如何验正？ 思考： ②这两个三角形全等是满足哪三个条件？ 结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等
三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
等。(可以简写成“边角边”或“ SAS ” )
用符号语言表达为：
A D
B
1
那么量出ED的长，就是A、B的 距离.为什么？【要求学生写出 理由即证明过程】
C
2
E
D
例2：点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF
求证（1）△AFD≌△CEB
A 分析：证三角形全等的三个条件 边 AD = CB （已知） 角 ∠A=∠ 边 C AF = CE E F C D
11.5两个三角形全等的判定(二)-边角边课件(八年级下)
四、教学过程
11.5
两个三角形全等的条件 第二课时） （第二课时）
上节课我们讨论了以下问题： 上节课我们讨论了以下问题：
思考
如果两个 三角形有三组对应相等 的元素 三角形有三组对应 边或角） 那么会有哪几种 可能的情况？ 哪几种可能的情况 （ 边或角 ） ， 那么会有 哪几种 可能的情况 ？ 这时，这两个三角形一定会全等吗？ 这时，这两个三角形一定会全等吗？
温馨 提示
探究新知⑴ 探究新知⑴
把你画的三角形与同桌画的三角形 进行比较，你们的三角形全等吗？ 进行比较，你们的三角形全等吗？
知识点2：三角形全等的判定公理二： 知识点2 三角形全等的判定公理二：
如果两个三角形有两边及其 分别对应相等， 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等， SAS（ 边角边）． 那么这两个三角形全等．简记为SAS 那么这两个三角形全等．简记为SAS（或边角边）．
（角夹在两条边的中间，形成两边夹一角） 角夹在两条边的中间，形成两边夹一角）
∵
∠BAD＝∠CAD（已推出） ＝ （已推出） AD＝AD（公共边） ＝ （公共边） ∴△ABD≌△ACD（SAS） B ≌ （ ）
D
C
∴∠B ∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等） 全等三角形的对应角相等）
利用“SAS” 利用“SAS”和“全等三角形的对应角相等”这两条公理证 全等三角形的对应角相等” 明了“等腰三角形的两个底角相等”这条定理。 明了“等腰三角形的两个底角相等”这条定理。
B D C A
？
已知： 已知 如图， 例４： ：如图， AB=CB ，∠ ABD= ,△ 全等吗？ ∠ CBD ,△ ABD 和△ CBD 全等吗？ 解: CBD中 在△ ABD 和△ CBD中
11.2 .2三角形全等的条件(二)
简写成“边角边”或“SAS” 用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中 AB=DE
A
∠ B= ∠ E BC=EF
B
C
D
E
F
∴△ABC≌△DEF（SAS）
知识应 用
例2、如图，有一池塘，要测池塘端A、B的距离， 可先在平地上取一个可以直接到达A和B 的点 C，连结AC并延长到D, 使CD=CA.连结BC并 延长到E,使CE=CB. 连结DE,那么量出DE的长， 就是A、B的距离.为什么？ 分析:如果能证明△ABC ≌△DEC,
2. 在射线A/ M上截取A/B/ = AB 3. 在射线A/ N上截取A/C/ = AC
4.连接B/ C/
∴△A /B /C/就是所求的三角形
C A
C/ B A/
B/
M
探究3的结果反映了什么规律?
两边和它们的夹角对应相等的两 个三角形全等. (可以简写成“边角边”或 “SAS”)
三角形全等判定方法2
如：公共边 、公共角、对顶角、邻补角，外角、平角等
总结：已知中找。图形中看
归纳小结：
l.利用全等三角形证明线段或角相等, 是证明线段 或角相等的重要方法之一，其思路如下：
⑴观察要证的线段和角在哪两个可能全等三角形之中. ⑵分析要证全等的这两个三角形，已知什么条件，还缺 什么条件. ⑶设法证出所缺的条件.
CA CD ACB DCE CB CE
A
∴△ABC ≌△DEC(SAS) ∴ AB=DE(全等三
E
C D
角形的对应边相等)
探究4
我们知道，两边和它们的夹角对应相 等的两个三角形全等。由“两边及其 中一边的对角对应相等”的条件能判 定两个三角形全等吗？为什么？
两个三角形全等的条件(2)
个角分别对应相等的情形 那么有几种可能的情况呢？
答：两边及夹角或两边及其一边的对角
（1）如果“两边及一角”条件中的 角是两边的夹角，比如三角形两边分 别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角 为30° ，你能画出这个三角形吗？ 你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
F C
2.5cm
A D
30°
3.5cm
练习一
1.在下列图中找出全等三角形，并把它们用 符号写出来.
30º
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ Ⅲ
Ⅳ Ⅳ
5 cm
30º
Ⅵ
Ⅴ
30º
Ⅶ
Ⅷ
分别找出各题中的全等三角形
A
40° D C
B
A
B C
D
(2)
F
△ADC≌△CBA (SAS)
(1)
E
△ABC≌△EFD 根据“SAS”
观察与思考：下图是一种测量工具的示意 图．其中 AB =CD ，并且 AB , CD 的中 点 O 被固定在一起， AB , CD 可以绕点 O 转动．在图中，只要量出 AC 的长，就 可以知道玻璃瓶的内径是多少．这是为什 么？请把你的想法和同学进行交流．
AC=DC
A B
∠ACB=∠DCE
C
E D
BC=EC △ACB≌△DCE(SAS) AB=DE
练习三
1.若AB=AC，则添加什么条件可得 △ABD≌ △ACD? A
八年级数学三角形全等的条件2
练习：1、如图，AB＝AC，BD＝CD，BH ＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等 A 的条件是什么？
解：有三组。
在△ABH和△ACH中 ∵AB=AC，BH=CH，AH=AH ∴△ABH≌△ACH（SSS）； 在△ABH和△ACH中
D B H C
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD ∴△ABD≌△ACD（SSS）； 在△ABH和△ACH中
例2 如图, △ABC是一个钢架， AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架， 求证： △ABD≌△ACD
A
B
D
C
分析：要证明两个三角形 全等，需要那些条件？
若要求证： ∠B=∠C， 你会吗？
练习1、如图，在四边形 ABCD中，AB=CD,AD=CB, 求证：∠ A= ∠ C.
D C B
A
你能说明AB∥CD，AD∥BC 吗？
• 学校有两块三角形装饰板如下图，小明想知道这 两块板是否全等，这两块板很重又固定在墙上， 小明只有刻度尺，你能帮小明想个办法吗•
两个完全重合的三角形,就是两个全等三角形. 什么样的两个三角形才能保证全等呢? 三条边对应相等,三个角对应相等. 有没有更简单的办法呢?
C
F
探索三角形全等的条件
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可以升至3级,请宿主再接再厉/""漂亮啊,流逊果真就是流逊/对咯,操作界面为甚么此次奖励君主点和经验那么多？"东舌在南阳收到大胜の消息,顿时拍手叫好."复兴宿主,因为此战难度极大,宿主能够打赢,实属否易,以是奖励增多/".逃到 城外の隋军,汤延昭心知再否走,怕是那壹万戎马都得交接在那咯."传我下令,人人否要慌,三军东撤/"汤延昭敕令壹下,总算军心稍微稳定咯壹些,叁军在荒野之中急忙逃奔."贼军哪
两边及一角的平分线相等的三角形全等
三角形是初中数学中重要的几何形状，而全等三角形是其中的一个重要概念。
全等三角形具有相同的形状和相同的大小，是重要的几何性质之一。
在本文中，我们将探讨两边及一角的平分线相等的三角形全等的性质和应用。
一、全等三角形的定义1.1 两个三角形全等的定义全等三角形是指在几何形状上，两个三角形的对应边相等，对应角相等的情况下，两个三角形全等。
1.2 全等三角形的符号表示两个全等三角形可以用符号来表示，常用的表示方法是△ABC ≌ △DEF，其中△ABC 代表一个三角形，△DEF 表示另一个三角形。
二、两边及一角的平分线相等的三角形全等的条件2.1 两个三角形的对应边相等当两个三角形的对应边分别相等时，可以推断这两个三角形全等。
2.2 两边及一角的平分线相等若两个三角形的一个角和它们的两边的切线相等，则这两个三角形全等。
2.3 证明方法要证明两边及一角的平分线相等的三角形全等，可以通过 SSS 全等判据（三边对应相等判据）、SAS 全等判据（两边及夹角对应相等判据）、AAS 全等判据（两角及夹边对应相等判据）进行证明。
三、全等三角形的性质和应用3.1 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：（1）全等三角形的对应边相等（2）全等三角形的对应角相等（3）全等三角形的面积相等3.2 全等三角形的应用全等三角形的性质和条件在几何问题中有着广泛的应用：（1）在证明几何定理时，可以利用全等三角形的性质进行证明。
（2）在计算三角形的面积时，可以利用全等三角形的面积相等性质，简化计算步骤。
（3）在解决实际问题中，可以利用全等三角形的特性，求解未知长度和角度。
四、如何判断两边及一角的平分线相等的三角形全等4.1 观察三角形的给定条件要判断两边及一角的平分线相等的三角形全等，需要观察给定的三角形条件，看是否满足两边及一角的平分线相等的条件。
4.2 应用全等三角形的判定条件根据全等三角形的判定条件，可以利用SSS 全等判据、SAS 全等判据、AAS 全等判据等进行判断。
7 探索全等三角形的条件(2)-角边角(ASA)(基础检测)(解析版)
专题1.7 探索全等三角形的条件（2）-角边角（ASA）（基础检测）一、单选题1．如图，测量河两岸相对的两点A，B的距离时，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，则测得ED的长就是两点A，B的距离．判定△EDC≌△ABC的依据是（）A．“边边边”B．“角边角”C．“全等三角形定义”D．“边角边”【答案】B【分析】由“ASA”可证△EDC≌△ABC．【详解】解：由题意可得∠ABC＝∠CDE=90°，在△EDC和△ABC中ACB DCE CD BCABC CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EDC≌△ABC（ASA），故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定，掌握判定方法正确推理论证是解题关键．2．如图，AB∥FC，E是DF的中点，若AB＝10，CF＝6，则BD等于（）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是DF的中点，所以根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，CF的长，那么BD的长就不难求出．【详解】∵AB∥FC，∴∠ADE＝∠F，∵E是DF的中点，∴DE＝EF，在△ADE和△CFE中，ADE FDE FEAED CEF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD＝CF＝6，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4，故选：B．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等是解题的关键．3．如图，乐乐书上的三角形墨迹污染了一部分，很快他就画出一个三角形与书上的三角形全等，这两个三角形全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【答案】B【分析】结合图，根据全等三角形的判定定理ASA可得到答案【详解】解：根据题意，三角形的两角和他们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形故选：B【点睛】本题考查全等三角形的判定定理4．如图，一定全等的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．②与③D．以上答案都不对【分析】根据ASA 进行判断即可．【详解】在三角形①和三角形③中∠B=∠D ，BC=DE ，∠C=∠E ，∴△ABC ≌△FDE （ASA ），故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握知识点是解题关键．5．如图，在ΔABC 和ΔDEF 中，∠A=∠D ，∠B=∠DEF ，要使ABC DEF △≌△，需要添加下列条件中的（ ）A ．AB=EFB ．AC=DEC ．BC=DFD ．AB=DE【答案】D 【分析】添加条件为AB=DE ，根据ASA 推出两三角形全等即可．【详解】解：条件是AB=DE ， 理由是：∵在ABC 和DEF 中A D AB DEB DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABC DEF △≌△（ASA ），故选D ．【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．6．如图，小强画了一个与已知ABC 全等的DEF ，他画图的步骤是：（1）画DE ＝AB ；（2）在DE 的同旁画∠HDE ＝∠A ，∠GED ＝∠B ，DH ，EG 相交于点F ，小强画图的依据是（ ）A ．ASAB ．SASC ．SSSD ．AAS【分析】根据题意可知全等的条件是两角及夹边，即可得出答案．【详解】根据题意可知，在ABC 和DEF 中，A FDE AB DEB FED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABC DEF ASA ∴≌故选：A ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形判定的条件是解题的关键．二、填空题7．如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是__．【答案】ASA【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形， 他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA ）．故答案为：ASA ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．8．如图，12∠=∠，BC EC =，请补充一个条件：______，能使用“ASA ”方法判定ABC DEC ≌△△．【答案】∠B ＝∠E【分析】已知∠1＝∠2，就是已知∠ACB ＝∠DCE ，则根据三角形的判定定理“ASA ”即可证得．【详解】可以添加∠B ＝∠E ．理由是：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BCE ＝∠2+∠BCE ，∴∠ACB ＝∠DCE ，∴在△ABC 和△DEC 中，ACB DCE BC ECB E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEC （ASA ）．故答案是：∠B ＝∠E【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握“两角及夹边对应相等的两个三角形全等”是解题关键． 9．如图，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，若要以“ASA ”证明△ABC ≌△DEF ，则还缺条件_____．【答案】∠A ＝∠D ．【分析】利用全等三角形的判定方法结合ASA 得出即可．【详解】当添加∠A ＝∠D 时，可证明△ABC ≌△DEF ；理由：在△ABC 和△DEF 中A D AB DEB DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．故答案为∠A ＝∠D ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握，即可解题.10．如图，要测量水池宽AB ，可从点A 出发在地面上画一条线段AC ，使AC AB ⊥，再从点C 观测，在BA 的延长线上测得一点D ，使ACD ACB ∠=∠，这时量得120m AD =，则水池宽AB 的长度是__m ．【答案】120【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】AC BD ，90CAD CAB ∴∠=∠=︒，CA CA =，ACD ACB ∠=∠，()ACD ACB ASA ∴∆≅∆，120AB AD m ∴==，故答案为120．【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．11．如图所示，某三角形材料断裂成A 、B 、C 三块，现要配置与原材料一样的三角形材料，应该选用材料____，理由是____．【答案】C ASA【分析】显然C 中有完整的三个条件，用ASA 易证现要的三角形与原三角形全等．【详解】解：因为C 块中有完整的两个角以及它们的夹边，利用ASA 易证三角形全等，故应带C 块． 故答案为：C ，ASA ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等）；学会把实际问题数学化石正确解答本题的关键．12．如图，ABC ∆的面积为22cm ，AP 与ABC ∠的平分线垂直，垂足是点P ，则PBC ∆的面积为______2cm .【答案】1【分析】延长AP 交BC 于点M ，则由条件可知ABP MBP S S ∆∆=， APC CPM S S ∆∆=，则阴影部分面积为△ABC的一半，可得出答案．【详解】如图，延长AP 交BC 于点M 。
《探索三角形全等的条件(2)》参考教案
［师］ 很好，如果改变角度与边长，能得到同样的结论吗？同桌的两人来画 一画，比较一下 .
（学生画图、比较、讨论、得证） ［生乙］我们经过比较，得到：已知一个三角形的两个内角及其夹边，那么
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形的内角和为 180°，已知两个内角，那么第三个内角就可求出，这样就把 及一角的对边 ”转化为 “两角及其夹边 ”．
［师］接下来我们动手操作、比较 . ［生甲］如果 60°角所对的边为 3 cm 时，画出的图形如下：
“两角
经比较：这样得到的三角形都全等 . ［生乙］如果 45°角所对的边为 3 cm 时，画出的图形如下 .
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由此得到的三角形都是全等的 . ［师］由此我们得到了判定三角形全等的另一条件： 两角和它们的夹边对应
相等的两个三角形全等 .简写为 “角边角 ”或“ASA”． 如图，在△ ABC 和△ DEF 中.
BE BC EF
CF
△ABC≌△ DEF.
这是用符号语言来表示该三角形全等的条件 . 在“两角一边 ”中，除 “两角及其夹边 ”外，还有哪种可能的情况呢？ ［生丙］两角及一角的对边 . ［师］ 对，那已知一个三角形的两角及一角的对边的长度，由此得到的三角 形都是全等的吗？我们再来画图、比较，议一议（出示投影片 §1.3.2 B） 如果 “两角及一边 ”条件中的边是其中一角的对边， 如：三角形的两个角分别 为 60°和 45°，一边长为 3 cm，情况会怎样呢？
图（ 2 ）中，由两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等，得： △ ACE≌△ BDC.
2022年人教版八年级数学上册第十二章全等三角形教案 三角形全等的判定(第2课时)
第十二章全等三角形12.2 全等三角形的判定第2课时利用两边及其夹角判定三角形全等(SAS)一、教学目标【知识与技能】掌握“边角边”条件的内容，能初步应用“边角边”条件判定两个三角形全等.【过程与方法】经历探索三角形“边角边”判定定理的过程，在观察中寻求新知，在探索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.【情感、态度与价值观】通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.二、课型新授课三、课时第2课时，共4课时。
四、教学重难点【教学重点】会用“边角边”证明两个三角形全等，得到线段或角相等.【教学难点】指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.五、课前准备教师:课件、三角尺、直尺等。
学生:三角尺、直尺、剪刀。
六、教学过程（一）导入新课在上节课的讨论中，我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等.给出三个条件时，有四种可能，能说出是哪四种吗?问题:如图有一池塘.要测池塘两端A、B的距离，可无法直接到达，因此这两点的距离无法直接量出.你能想出办法来吗？（出示课件2-3）（二）探索新知1.师生合作，探究三角形全等判定方法2教师问1:我们学习了三角形全等的判定方法1，请同学们回一下并回答其内容.学生回答:三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.教师问2:用几何语言如何表示呢？出示课件5:符号语言表达:在△ABC和△ DEF中AB=DE，BC=EF，CA=FD，∴△ABC ≌△ DEF.（SSS）教师问3:除了SSS外，还有其他情况能判定两个三角形全等吗？当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况，还有哪一些呢？（出示课件6）学生回答:两边一角和两角一边教师问4:今天我们来探究一下两边一角的情况，已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？学生讨论并回答:有两种情况:两边及夹角和两边和其中一边的对角学生问:它们能判定两个三角形全等吗？教师我们还是通过画图来验证，我们先看两边及其夹角能否判定两个三角形全等，同学们根据下边的要求作图:已知任意△ABC，画△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A.分析:(1)作∠MB′N＝∠B;(2)在射线B′M上截取B′A′＝AB，在射线B′N上截取B′C′＝BC;(3)连接B′C′.教师问5:如何画呢？学生讨论后回答，教师引导总结:作法:（出示课件9）（1）画∠DA'E=∠A;（2）在射线A'D上截取A'B'=AB，在射线A'E上截取A'C'=AC;（3）连接B'C '.教师问6:△A′ B′ C′ 与△ABC 全等吗？如何验证？学生讨论后得出如下方法:把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否能够完全重合.学生:通过作图得到这两个三角形完全重合，所以这两个三角形全等教师问7:这两个三角形全等是满足哪三个条件？学生回答:两边和它们的夹角对应相等.教师板书:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).总结点拨:（出示课件10）“边角边”判定方法文字语言:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.（简写成“边角边”或“SAS ”）．几何语言:在△ABC 和△ DEF中，AB = DE，∠A =∠D，AC =AF ，∴△ABC ≌△ DEF（SAS）．警示:必须是两边“夹角”例1:如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么△ ABD 和△ CBD 全等吗？（出示课件11）师生共同解答如下:分析: △ABD ≌△ CBD.(SAS)边: AB=CB(已知)，角: ∠ABD= ∠CBD(已知)，边: BD=BD(公共边)，证明:在△ABD 和△ CBD中，AB=CB(已知)，∠ABD= ∠CBD(已知)，BD=BD(公共边)，∴△ ABD≌△CBD ( SAS).例2:如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC 并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?（出示课件13）师生共同解答如下:证明:在△ABC 和△DEC 中，AC = DC（已知），∠ACB =∠DCE （对顶角相等），CB=EC（已知），∴△ABC ≌△DEC（SAS）.∴AB =DE .（全等三角形的对应边相等）2.展开想象，探究SSA能否判定两个三角形全等教师问8:同学们想一下，两边一角还有那种情况呢？学生回答:两边及其一边的对角教师问9:已知两边及其一边的对角能否判定两个三角形全等？学生小组讨论后，认为利用作图观察.教师引导学生作图，提示学生考虑全面，然后给出下面的问题:（出示课件15）如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？△ABC和△ABD满足AB=AB ，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD 不全等.教师问10:画△ABC 和△ABD，使∠A =∠A =30°，AB =AB=5 cm ，BC =BD =3 cm ．观察所得的两个三角形是否全等？学生作图并且比较后回答:不全等.出示课件16:结论:两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.例3:下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( )（出示课件17）A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF师生共同解答如下:解析:要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.总结点拨:判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．只有两边及夹角对应相等时，才能判定三角形全等．（三）课堂练习（出示课件21-25）1.在下列图中找出全等三角形进行连线.2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是( )A.∠A＝∠DB.∠E＝∠CC.∠A=∠CD.∠ABD＝∠EBC3.如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证:△ABC≌△ADC．4. 已知:如图，AB=AC，BD=CD，E为AD上一点.求证: BE=CE.5. 如图，已知CA=CB ，AD=BD，M，N分别是CA，CB的中点，求证:DM=DN.参考答案:1.答案如下:2.D3. 证明:∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在△ABC和△ADC中，AD=AB (已知），∠BAC=∠DAC (已证），AC=AC (公共边），∴△ABC≌△ADC（SAS）．4. 证明:在△ABD和△ACD中，AB=AC (已知），已知），公共边），∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠BAD=∠CAD，在△ABE和△ACE中，AB=AC (已知），∠BAD=∠CAD(已证），AE=AE (公共边），∴△ABE≌△ACE（SAS）.∴BE=CE.5. 证明: 连接CD，如图所示;在△ABD与△CBD中CA=CB，(已知）AD=BD ，（已知）CD=CD ，（公共边）∴△ACD≌△BCD（SSS）∴∠A=∠B又∵M，N分别是CA，CB的中点，∴AM=BN在△AMD与△BND中AM=BN ，(已证）∠A=∠B ，（已证），（已知）∴△AMD≌△BND.（SAS）DM=DN.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1. 判定定理2:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简称为“边角边”或“SAS”).2.利用SSA不能判定两个三角形全等（五）课前预习预习下节课（12.2）教材39页到41页的相关内容。
八年级数学上册三角形全等的判定知识点
八年级数学上册三角形全等的判定知识点01三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
02全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
03找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。
缺个角的条件：缺条边的条件：04构造辅助线的常用方法1.关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线常用的辅助线方法：(1)截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例：如上右图所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。
(2)角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。
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1.5 三角形全等的条件
第2课时
[教材内容分析]
本节课的主要内容是掌握三角形全等条件“SAS”，并能用它来判定两个三角形全等。
教材安排了一个情景，通过让学生思考所提出的问题，引导学生通过自己动手，画出三角形，并在与其他同学交流过程中，体会利用操作、归纳获得数学结论的方法。
[教学目标]
1．探索三角形全等的条件之一“SAS”，并能应用它来判定两个三角形全等。
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作归纳获得数学结论的方法。
3．培养学生合作探究的学习意识，增强学生的自信心。
[教学重点、难点]
重点：掌握三角形全等的条件“SAS”，并能用它来判定两个三角形全等。
难点：探索三角形全等的条件“SAS”及应用。
[教学准备]
1．将学生分成4人一组，每一小组分发两根木条，一枚螺栓。
2．每人一把剪刀。
[设计思想]
本节开始设计了一个实际问题（改编自课后作业题5），将知识的学习和应用紧密联系在一起。
在教学过程中，让学生经历画图、分析、验证等过程，并从中探索出“有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等”，应用这个条件去判定两个三角形全等。
同时，在例4基础上提出线段垂直平分线的概念，再通过在直线l上任取点P，并验证PA=PB，从而得到线段垂直平分线的性质，使学生体验到从特殊到一般的辩证唯物主义观点。
（徐智展）。