最新沪教版七年级下册(知识点归纳)-三角形

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数学沪教版七年级下册三角形模型

数学沪教版七年级下册三角形模型1.三角形是由三条边和三个角组成的。

Triangle is made up of three sides and three angles.2.三角形的三个内角之和等于180度。

The sum of the three interior angles of a triangle is 180 degrees.3.三角形可以根据边长、角度和位置进行分类。

Triangles can be classified based on side lengths, angles, and position.4.根据边长不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

Based on side lengths, triangles can be classified as equilateral, isosceles, and scalene.5.等边三角形的三条边长度相等。

An equilateral triangle has all three sides of equal length.6.等腰三角形有两条边长度相等。

An isosceles triangle has two sides of equal length.7.普通三角形三条边长度均不相等。

A scalene triangle has no sides of equal length.8.根据角度不同，三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。

Based on angles, triangles can be classified as right-angled, acute-angled, and obtuse-angled.9.直角三角形有一个角为90度。

A right-angled triangle has one angle of 90 degrees.10.锐角三角形的三个角都小于90度。

沪教版七下几何知识点总结

沪教版七下几何知识点总结一、平面与直线1. 平面和直线的基本性质平面是一个没有厚度的二维空间，直线是由无数个点连接而成的，没有宽度和高度。

平面上的点确定一条直线，两个点可以确定一条直线。

2. 平面的相关定理平面上的任意两点确定一条直线，平面上的无限多条直线可以通过一个点，两个点确定的两条直线要么平行，要么相交。

3. 直线的相关定理两条直线平行的条件是它们的斜率相等，两条直线垂直的条件是它们的斜率乘积为-1。

二、角的概念与性质1. 角的概念由两条射线共同端点组成的图形称为角，其中的共同端点称为角的顶点，两条射线称为角的边。

2. 角的性质角的度量单位是度，一个完整的角为360°，一个直角为90°，一个直角的补角为270°，两个角的和为180°，两个互补角的和为90°。

三、平行线与平行四边形1. 平行线的相关概念两条直线在同一平面内，如果它们没有公共点，就称这两条直线平行。

2. 平行四边形的性质对角相等，对边平行，相邻边相等，对边相等，对角互补。

四、全等三角形与相似三角形1. 全等三角形的性质全等三角形的对应边和对应角相等，全等三角形的内角相等，对应角相等即可认定全等。

2. 相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形的对边成比例。

五、直角三角形与三角形的性质1. 直角三角形的性质直角三角形的两个锐角之和等于90°，勾股定理成立（a²+b²=c²）。

2. 三角形的性质三角形的内角和等于180°，三角形的边长关系是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

六、图形的面积和周长1. 三角形的面积和周长三角形的面积公式是S=1/2bh，周长公式是C=a+b+c。

2. 矩形的面积和周长矩形的面积公式是S=ab，周长公式是C=2(a+b)。

3. 正方形的面积和周长正方形的面积公式是S=a²，周长公式是C=4a。

沪教版七年级下册第十四章全等三角形单元复习讲义

全等三角形单元复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解并会应用三角形三边间的关系．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.2. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；3．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；4．了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边。

推论：三角形任意两边的之差小于第三边。

要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．三角形的分类：按“角”分类： ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.三角形的内角和与外角和：三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点二、全等三角形的判定与性质全等三角形对应边相等，对应角相等.全等三角形判定1——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）全等三角形判定4——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点四、等腰三角形等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【典型例题】类型一、三角形的有关概念和性质1、如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°【思路点拨】首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可．【答案】A；【解析】解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=12∠BAC=12×80°=40°【总结升华】本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简单．类型二、全等三角形的性质和判定2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)证明：DC⊥BE .【思路点拨】△ABE与△ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△ABE ≌△ACD；通过全等三角形的性质，通过导角可证垂直.【答案与解析】解：（1）△ABE≌△ACD证明：∠BAC＝∠EAD＝90°∠BAC ＋∠CAE＝∠EAD ＋∠CAE即∠BAE＝∠CAD又AB＝AC，AE＝AD，△ABE≌△ACD（SAS）（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA，又∠COE＝∠AOD∠BEA＋∠COE ＝∠CDA＋∠AOD＝90°则有∠DCE＝180°－ 90°＝90°，所以DC⊥BE.【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待△ABE与△ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90°得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90°，即DC⊥BE.举一反三：【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.【答案】证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB与△EAC中，DAB EAC AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB ≌△EAC （ASA ）∴BD ＝CE.类型三、巧引辅助线构造全等三角形3、如图：在四边形ABCD 中，AD ∥CB ，AB ∥CD.求证：∠B ＝∠D.【思路点拨】∠B 与∠D 不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线AC ，根据平行线的性质，可构造出全等三角形.【答案与解析】证明：连接AC ，∵AD ∥CB ，AB ∥CD.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4在△ABC 与△CDA 中1243AC CA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△CDA （ASA ）∴∠B ＝∠D【总结升华】添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证∠A ＝∠C ，则连接对角线BD.4、己知：在ΔABC 中，AD 为中线.求证：AD ＜()12AB AC +【答案与解析】证明：延长AD 至E ，使DE ＝AD ，∵AD 为中线，∴BD ＝CD在△ADC 与△EDB 中DC DB ADC BDE AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ）∴AC ＝BE在△ABE 中，AB ＋BE ＞AE ，即AB ＋AC ＞2AD∴AD ＜()12AB AC +. 【总结升华】用倍长中线法可将线段AC ，2AD ，AB 转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D 旋转180°.举一反三：【变式】若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x 的取值范围是( )A.1 ＜x ＜ 6B.5 ＜x ＜ 7C.2 ＜x ＜ 12D.无法确定【答案】A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜2x ＜7＋5，所以选A 选项.类型四、全等三角形动态型问题5、如图（1），AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，点C 是BD 上一点．且BC ＝DE ，CD ＝AB ．（1）试判断AC 与CE 的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），若把△CDE 沿直线BD 向左平移，使△CDE 的顶点C 与B 重合，此时第（1）问中AC 与BE 的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）【答案与解析】证明：（1）AC ⊥CE ．理由如下：在△ABC 和△CDE 中，,90,,BC DE B D AB CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△CDE （SAS ）．∴ ∠ACB ＝∠E ．又∵ ∠E ＋∠ECD ＝90°，∴ ∠ACB ＋∠ECD ＝90°．∴ AC ⊥CE ．（2）∵ △ABC 各顶点的位置没动，在△CDE 平移过程中，一直还有AB C D '=，BC ＝DE ，∠ABC ＝∠EDC ＝90°，∴ 也一直有△ABC ≌△C DE '(SAS)．∴ ∠ACB ＝∠E ．而∠E ＋∠EC D '＝90°，∴ ∠ACB ＋∠EC D '＝90°．故有AC ⊥C E '，即AC 与BE 的位置关系仍成立．【总结升华】变还是不变，就看在运动的过程中，本质条件（本题中的两三角形全等）变还是没变．本质条件变了，结论就会变；本质条件不变，仅仅是图形的位置变了。

七年级下册三角形知识点

七年级下册三角形知识点三角形是平面几何中研究的重点和核心概念之一。

在初中阶段，学生也会对三角形进行详细学习，并涉及到一些重要的知识点。

下面，本文将介绍七年级下册的三角形知识点，并做详细阐述。

一、基础知识点1. 定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段都能够连接起来，形成一个角。

2. 分类：按照内角和边长的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等不同类型。

3. 性质：三角形有许多特殊的性质，如角内平分线相交于一点、三角形内部角度的和等于180度、等边三角形的三角角度都为60度等重要性质，这些性质是我们学习和理解三角形的基础。

二、三角形的周长和面积1. 周长：三角形的周长是三边长度之和，即C=a+b+c。

2. 面积：三角形的面积大小可以用海龙公式（即：S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))，其中p=(a+b+c)/2）进行求解，也可以用底边高公式（即：S=1/2*b*h）进行求解。

三、等腰三角形和直角三角形1. 等腰三角形：等腰三角形是指有两条边相等的三角形，它的第三边被称为底边，底边上的高线被称为高。

等腰三角形有许多重要的性质，如：等腰三角形的高线、中线和角平分线重合、等腰三角形的底角和顶角相等等。

2. 直角三角形：直角三角形是指一个角为90度的三角形。

它的斜边被称为斜边，两条直角边被称为直角边。

直角三角形中，直角边上的高被称为垂线，可以用勾股定理（即：a²+b²=c²）进行计算斜边长度，还可以用正弦定理、余弦定理进行计算。

四、相似三角形1. 定义：相似三角形是指具有相同形状（角度相等）、但是大小不同的三角形。

2. 判定：判断两个三角形是否相似，可以根据它们的角度相等或者它们的对应边成比例判断（即：A1/A2=B1/B2=C1/C2）。

3. 性质：相似三角形也有一些重要性质，如对应角相等、对应线段成比例等。

沪教版初一数学知识点整理

沪教版初一数学知识点整理初一下册数学《三角形》知识点一、目标与要求1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。

2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。

3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。

4.三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。

5.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。

二、重点三角形内角和定理;对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。

三、难点三角形内角和定理的推理的过程;在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。

四、知识框架五、知识点、概念总结1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形的分类3.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

5.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

6.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

7.高线、中线、角平分线的意义和做法8.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

9.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1直角三角形的两个锐角互余;推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和;推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;三角形的内角和是外角和的一半。

10.三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。

11.三角形外角的性质(1)顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线;(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和;(3)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角;(4)三角形的外角和是360°。

沪教版(上海)七年级第二学期第十四章三角形——吃透全等基础知识点+题型巩固35题(含答案)

全等三角形知识框架：知识精讲：全等图形：能够完全重合的两个图形。

形状完全相同，大小相等。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等。

全等三角形的周长相等，全等三角形的面积也相等。

注意事项：一、全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时关键是寻找对应角和对应边。

二、正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念。

一般地：对应边、对应角针对全等三角形，对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角。

例如：如图，△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C 和点F是对应顶点；AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边；∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角。

三、表示两个角全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；也就是题中出现两个三角形全等我们就可以利用对应的字母寻找对应角以及对应边。

“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对应角对应相等”的两个三角形不一定全等；四、时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”。

全等交换：全等变换是指只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换.如图①，把△ABC沿直线BC移动线段BC的距离,可以变到△ECD的位置;如图②,以直线BC 为轴把△ABC翻折，可以变到△DBC的位置；如图③，以点A以点为中心把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置.像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的图形变换叫做全等变换.在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素.以上三种全等变换分别叫做平移变换、翻折变换和旋转变化.例题：如图，△ABC和△DEF全等，问经过怎样的图形变换，可使这两个三角形重合？分析：解法一:先将△DEF沿着CB方向平移，使点E与点B重合（此时点F与点C重合)，再将移动后的△DEF沿着直线BC翻折，此时△DEF与△ABC重合解法二：先把△DEF沿直线以EF翻折，再把翻折后的△DEF沿着CB方向平移，使点E与点B重合，则△DEF与△ABC重合.经典题型：判定两个三角形全等的条件：三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）在△ABC和△A′B′C′中AB=A′B′AC=A′C′BC=B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）例题：1、已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AC=DF,AB=DF,BE=CF.求证：AC∥DF.分析：∵BE=CF∴BC=EF在△ABC和△DEF中AB=DEBC=EFAC=DF∴△ABC≌△DEF（SSS）∴∠ACB=∠F∴AC∥DF.2、已知，如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC,AB=DE,BC=EF,求证：△ABC≌△DEF.分析：∵AF=DC∴AF-CF=DC-CF,即AC=DF在△ABC和△DEF中AC=DFAB=DEBC=EF∴△ABC≌△DEF（SSS）3、如图，AB＝CD,AE＝DF,CE＝FB,求证：∠BAE＝∠CDF.分析：∵CE=BF,∴CE+EF=BF+EF,即CF=BE.在△ABE和△DCF中AB=DCAE=DFBE=CF∴△ABE≌△DCF(SSS).∴∠BAE=∠CDF（全等三角形的对应角相等）.判定两个三角形全等的条件：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）运用“SAS”证明三角形全等时，一定要找准对应相等的边、角，要注意隐含的等角，如等角、公共角、对顶角、角平分线等；在书写“SAS”的格式时，要按照“SAS”的顺序书写，以表明三个元素的位置关系；“SSA”不能证明两个三角形全等.在△ABC和△A′B′C′中AB=A′B′∠A=∠A′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）例题：1、如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC,∠DAB=∠CBA,求证：AC=BD分析：在△ADB和△BAC中AD=BC∠DAB=∠CBAAB=BA∴△ADB≌△BCA(SAS)∴BD=AC2、如图，点A、B、C、D在同一直线上，CE∥DF,AC=DF,CE=BD,求证：∠A=∠F.分析：∵CE∥DF∴∠ACE=∠D在△ACE和△FDB中AC=FD∠ACE=∠DCE=DB∴△ACE≌△FDB（SAS）∴∠A=∠F.3、如图，AB=AD,AC平分∠BAD,求证：△ABC≌△ADC.分析：∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC.在△ABC和△ADC中AB=AD∠BAC=∠DACAC=AC∴△ABC≌△ADC(SAS).判定两个三角形全等的条件：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）在△ABC和△A′B′C′中∠B=∠B′BC=B′C′∠C=∠C′∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）例题：1、已知，∠C=∠CAF=90°，点E在AC上，且AE=BC,EF⊥AB于点D.求证AB=FE分析：∵EF⊥AB于点D,∴∠ADE=90°∴∠1+∠2=90°又∵∠C=90°∴∠1+∠B=90°∴∠B=∠2在△ABC和△FEA和∠B=∠2BC=AE∠C=∠FAE∴△ABC≌△FEA(ASA)∴AB=FE2、如图，已知EC =AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E，求证：BC=DC.分析：由已知条件求得∠BCA=∠DCE，再利用“ASA”判定△BCA≌△DCE，即可得证．证明∵∠BCE=∠DCA，∴∠BCE+∠ACE= ∠DCA+∠ACE，即∠BCA=∠DCE.又∵AC=EC，∠A=∠E，∴△BCA≌△DCE(ASA)．∴BC =DC.判定两个三角形全等的条件：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）“AAS”是由“ASA”推导得出的，将两者结合起来可知：两个三角形如果其备两个角和一条边对应相等，就可判定其全等．在△ABC和△A′B′C′中∠B=∠B′∠C=∠C′AB=A′B′∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）例题：1、如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D,求证：OC=OD.分析：在△ABC于△BAD中∠1=∠2∠C=∠DAB=BA∴△ABC≌△BAD（AAS）∴AD=BC∵∠1=∠2∴AO=BO∴AD-AO=BC-BO即OC=OD.2、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E,BF∥AC交CE的延长线于点F.求证：AC=2BF.分析：∵BF∥AC∴∠F=∠FCA∵Rt△ACD中，CE⊥AD∴∠BCF+∠F=90°，∠BCF+∠ADC=90°∴∠F=∠ADC在△ACD和△CBF中∠ACD=∠CBF=90°∠F=∠ADCAC=BC∴△ACD ≌△CBF (AAS )∴CD =BF∵D 为BC 中点∴CD =BD∴BF =CD =BD =12BC =12AC则AC =2BF判定两个直角三角形全等的方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边与直角边”或“HL ”）在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中AB =A ′B ′BC =B ′C ′∴Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′（HL ）例题：1、如图，已知AB ⊥BD ,AB ∥ED ,AB =ED ,要说明△ABC ≌△EDC ,若以“SAS ”为依据，还要添加的条件为？若添加条件AC =EC .则可以用-----公理（或定理）判定全等。

1沪教版初一下册.全等三角形的概念和性质(基础)知识讲解

沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】【高清课堂：379108 全等三角形的概念和性质基本概念梳理回顾】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式】（2014秋•岱岳区期末）下列各组图形中，一定全等的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形【答案】D；解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．类型二、全等三角形的对应边，对应角2、如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角.【答案与解析】对应边：AN与AM，BN与CM对应角：∠BAN与∠CAM，∠ANB与∠AMC【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角. 举一反三：【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角.类型三、全等三角形性质【高清课堂：379108 全等三角形的概念和性质例13】3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD，EBC；ECB，55【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、（2014秋•青山区期中）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．【思路点拨】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB=∠DCE，都减去∠ACE 即可．【答案与解析】解：AB的对应边为DE，∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACB—∠ACE=∠DCE—∠ACE，即∠BCE=∠DCA=40°．【总结升华】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．举一反三：【变式】如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是____________.【答案】70°；提示：＝∠＝90°－20°＝70°.。

沪教版七年级等边三角形的判定及性质

沪教版七年级等边三角形的判定及性质一、基础导航知识要点1：等边三角形的性质（1）等边三角形的三边都相等，每个内角都是60°。

（2）等边三角形顶角平分线、底边的中线、底边上的高互相平分（简称“等要三角形的三线合一”）。

（3）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边的垂直平分线（或者说成“顶角平分线所在直线”或“底边上的中线所在直线”或“底边上的高所在直线”），一共有三个对称轴。

（4）等边三角形是特殊的等腰三角形。

知识要点2：等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法（1）：三边都相等的三角形是等边三角形。

（2）等腰三角形的判定方法（2）：三个内角都相等的三角形是等边三角形。

（2）等腰三角形的判定方法（3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

二、基础训练1、正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°2、下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3、如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF•的形状是（）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形4、Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是（）A ．2cmB ．4cmC ．8cmD ．16cm5、如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准备的判断是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状 6、如图已知三角形ABE 是等边三角形，且CD ∥AB ，求证：ΔCDE 也是等边三角形ED CABF21EDCA B7、已知∠1＝∠2，∠3＝∠4 ，求证：①∠5＝∠6 ②AC⊥BD，BE=CE8、如图已知AD∥BC，且DB平分∠ADC，①求证：DC=BC ②如果∠C：∠ADC=1：2，求证：ΔCDB是等边三角形三、能力提高1、△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．2、已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．3、等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．4、△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，•则CD•的长度是_______．5、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC 于点D ，求证：BC=3AD.6、如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ；②求证：CF=CH ；③判断△CFH•的形状并说明理由．7、如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，△ABC 外一点D 满足BD=AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．（提示：连接CE ）D CAB8、已知：如图，AB ＝AE ，BC ＝ED ，∠B ＝∠E ，AM ⊥CD求证：①CM=DM ②∠BCM ＝∠EDM③∠BAM ＝∠EAM9、已知：如图，AB=AD ，∠ABC=∠ADCEDA10、已知：如图，△ABC 是等边三角形，D 是AC 中点，EC ⊥BC ，且EC=BD 。

沪教版数学七年级第二学期- 全等三角形的概念与性质课件优秀课件资料

A
O B
D C
2.如图,若点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,则△AOB绕点O旋转180°后,可以于△_C_O__D__重合, 这表明△_A_O__B__≌△_C_O__D__.图中互为全等的三角形还有: △AOD≌△COB
△ABC≌△CDA A
D
△ADB≌△CBD
B
O C
1.通过平移、旋转、翻折后两个图形的形状、大小是否完全相同？
两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形，
两个全等三角形，经过运动后一定重合，互相重合的
顶点叫做对应顶点；互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角。
A
左图中，△ABC和△DEF是全等三
角形，记做△ABC≌△DEF。符号
“≌”表示全等，读作“全等于”。
B
C
D
请你找出图中的对应顶点，对应边，对应角：
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
E
F
（全等三角形对应角相等）
1.如图,△ABC≌△ADE,写出所有的对应边,对应角之间的关系.
D
C
E
A
B
如图，已知△ABC≌△DEF，AB=2㎝，∠A=60°， ∠B=70°，求DE、∠D和∠F的值。
A
D
B
CF
E
3.如图,△BOC≌△DOA,BC=7cm,∠B=40°,BO=5.5cm, 求∠D的度数,线段DA和BD的长.
FG
能够重合的两个图形叫做全等形
能够重合的两个三角形叫做全等三角形
A
D
B如果△ABC与△CDEFE会互相重合， F 顶点A与顶点__D_重合，顶点B与顶点__E_
重合，顶点C与顶点__F_重合.

沪教版(上海)数学七年级第二学期-14.1三角形的相关概念课件

c
b
Ba
C
练一练
下列长度的各组线段能否组成一个三角形？（1）1cm、2cm、3cm 否 (2) 2cm、3cm、4cm 能 (3)4cm、5cm、10cm 否 (4) 5cm、6cm、7cm 能
结论：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形。
思考：有两条长度分别为5cm和7cm的线段，
课堂小结
1.三角形的概念三角形的三要素三角形的表示方法
2.三角形按边分类 3.三角形三边之间的关系
作业
同步练习14.1（一）
探究
活动一下面一组图形，哪些是三角形呢？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
要组成一个三角形那么第三条线段的长度在什么范围内呢？
2cm 第三条边12cm
解题技巧：三角形第三边的取值范围是:
两边之差<第三边<两边之和
2、已知：等腰三角形周长为18cm，如果一边长等于 4cm，求另两边的长？
解：若底边长为4cm，设腰长为xcm，则有
2x+4=18
解方程得：x=7 三边为7、7、4
我们可以把三角形按照三边情况进行分类
不等边三角形三角形按边分类
等腰三角（形
是等腰三角形的特例）
等边三角形
1、已知：等腰三角形的周长是18cm，腰是底边长的2倍，求各边长.
解：底边长为xcm，则腰为2xcm
2x+2x+x=18 解得：x=3.6 则腰为7.2 答：此三角形的各边长分别是7.2cm、 7.2cm、3.6cm
b
B
a
C
三角形的顶点：点A、B、C叫做这个三角形的顶点；

七年级下册三角形知识点归纳总结

七年级下册三角形知识点归纳总结在七年级下册的学习中，我们学习了关于三角形的知识。

三角形是几何学中最基本的图形之一，掌握其性质和特点对于我们理解几何知识和解题非常重要。

在本文中，我将对七年级下册三角形的知识点进行归纳总结，帮助大家更好地掌握这些知识。

一、三角形的定义和分类三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段的和大于第三条线段。

根据三角形的边长关系和角度关系，我们可以将其分为以下几类：1. 根据边长分类：(1) 等边三角形：三条边的长度都相等。

(2) 等腰三角形：两条边的长度相等。

(3) 普通三角形：三条边的长度都不相等。

2. 根据角度分类：(1) 钝角三角形：一个内角大于90度。

(2) 直角三角形：一个内角等于90度。

(3) 锐角三角形：所有内角都小于90度。

二、三角形的性质1. 内角和性质：三角形的内角和等于180度。

即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

2. 外角性质：三角形的外角等于其对应内角的补角。

即∠D = 180° - ∠A。

3. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都是60度。

4. 等腰三角形的性质：等腰三角形的底边上的两个角度相等，其余两边相等。

5. 直角三角形的性质：直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边上其他两条线段的平方和。

三、三角形的重要定理1. 三角形的三条中线相交于一个点，并且这个点距离三角形的顶点等于中线长的2/3。

2. 三角形的三个角平分线相交于一个点，这个点到三角形的顶点距离等于角平分线长的比例。

3. 三角形的三条高相交于一个点，这个点到三角形三个顶点的距离分别等于高的比例。

四、三角形的计算问题1. 三角形的周长：三角形的周长等于三条边长之和。

2. 三角形的面积：(1) 根据底边和高计算：三角形的面积等于底边乘以高再除以2。

(2) 根据两边和夹角计算：三角形的面积等于两边的乘积再乘以夹角的正弦值的一半。

3. 判断三角形是否相似：(1) AAA相似定理：如果两个三角形的对应角度相等，则它们相似。

沪教版(五四制)七年级数学下册第十四章三角形的边和角讲义(无答案)

第1讲三角形的边和角一、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形叫做三角形二、三角形的分类（1）按边分类：（2）按角分类：三、三角形的性质⑴ 边与边的关系：三角形任意两边之和大于第三边（三角形任意两边之差小于第三边）⑵ 角与角的关系：三角形的内角和等于180；180A B C ︒∠+∠+∠=三角形的外角和等于360，360DAE EBF FCA ︒∠+∠+∠=三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和, =ACD A B ∠∠+∠（推论：三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角）, ACD A ∠>∠,ACD B ∠>∠⑶ 边与角的关系：同一个三角形中，大边对大角（小边对小角），大角对大边（小角对小边） ,;b a c B A C >>∠>∠>∠若则反之亦然【例题1】（1）已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（）A．3B．5C．7 D．9（2）如果线段a，b，c能组成一个三角形，那么它们的长度的比可以是（）A．1: 1: 2B．－2: 5: 2C．2008: 2009: 2010D．4: 8: 4（3）一个三角形三边长分别为8，10，x，则x的取值范围是．（4）一个三角形三边长分别为6，7，x，则三角形的周长l的范围是．（5）若三角形的三边长为3，4，x，则偶数x的值有．（6）有三条线段，其中两条线段的长为3和5，第三条线段的长为x，若这三条线段不能构成三角形，则x的取值范围是．【例题2】（1）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为．（2）已知有长为1，2，3的线段若干条，任取其中三条构造三角形，则最多能构成形状或大小不同的三角形个数是．【例题3】（1）三角形的三边分别为3、1－2a、8，求a的取值范围。

（2）若一个三角形中两条边的长分别为a、b，且a>b，求这个三角形周长l的取值范围。

沪教版七年级下册(知识点归纳)-三角形

【三角形——有关看法与性质】1、三角形的有关看法：由不在同向来线上的三条线段首尾挨次联系所构成的图形叫做三角形。

一般地，在三条线段中，假如两条较短线段的和大于第三条最长的线段，那么以这三条线段为边就能构成一个三角形；不然，它们不可以构成三角形。

三角形三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

三角形的高：在三角形中，从一个极点向它的对边所在直线画垂线，极点和垂足之间的线段叫做三角形的高；三角形的中线：联系一个极点及其对边中点的线段叫做三角形的中线；三角形的角均分线：三角形的一个内角的均分线与这个角的对边订交，这个角的极点与交点之间的线段叫做三角形的角均分线。

2、三角形的分类：按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；直角三角形中，夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫斜边。

直角三角形可用符号“Rt △”表示。

按边分类：不等边三角形、等腰三角形；不等边三角形：三边互不相等；等腰三角形：有两边相等。

等边三角形：三边都相等，等边三角形是特其余等腰三角形。

三角形的三条中线订交于三角形内一点；三角形的三条角均分线订交于三角形内一点；三角形的三条高所在的直线订交于一点的地点状况有三种：锐角三角形的三条高的交点在三角形内；直角三角形的三条高的交点在直角极点；钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形外。

3、三角形的内角和：三角形的内角和等于180°。

三角形的外角：三角形一个内角的邻补角叫做三角形的外角。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

三角形的外角和：对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样获得的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和。

三角形的外角和等于360°。

【全等三角形】1、全等形三角形的看法：全等形：可以重合的两个图形叫做全等形；全等三角形：两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。