浙江省高数竞赛积分习题集

例1（1）ln ln ln (1ln )(1ln )(ln )x x x x x x x x x x dx e x dx e d x x e C x C +=+==+=+⎰⎰⎰

（2）

dx x

x x dx x x x ⎰⎰

+++=+++22221)1ln(1)

1ln( )1ln()1ln(22⎰

++++=

x x d x x

()

C x x +++=2

32

)

1ln(3

2

（3）

2

ln tan ln tan 11ln tan ln tan (ln tan )sin 22sin cos 24

x x dx dx xd x x C x x x ===+⎰⎰⎰ （4）⎰⎰⎰+=+=+=+C x x x d dx x x x dx x x )arctan(cos )

(cos 1cos )(cos 1cos sin 2cos 12sin 2

2

22224 （5）

C e

x d e

dx e

x

x x x x +=+=++++⎰⎰

2

2

2

12

112

11

例2、（1）（06年真题） dx x x x x ⎰-++)

1(188

4

解：（法一）48

8

1(1)

x x dx x x ++=-⎰dx x x x dx x x x ⎰⎰-+-+)1()1(188

84

7447

4848

11(1)1(1)1x x x x dx dx dx dx x x x x x x -+=+=+----⎰

⎰⎰⎰ 37

48

111x x dx dx dx x x x =++--⎰⎰

⎰ 4811

ln ln 1ln 148

x x x C =-

---+ （法二） dx x x x x x dx x x x x ⎰⎰-++-=-++)

1(21)1(188

4888437881211x x dx dx dx x x x =++--⎰⎰

⎰ 而 dx x x dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰⎰++-=+-=-4

3

4344383121121)

1)(1(1 444

444

1(1)1(1)11ln ||818181d x d x x C x x x

-++=-+=+-+-⎰⎰

从而 484884

1111

ln ||ln ||ln |1|(1)814

x x x dx x x C x x x +++=+--+--⎰ 4811

ln ln 1ln 148

x x x C =-

---+ （2）22(1)ln(1)111x x x x x x x x

x x x e e e e d e dx dx e dx e e C e e e

+-+==-=-+++++⎰⎰⎰⎰ （3）（07年的真题）求

⎰

+dx x x 1

5

9

解：

⎰

+dx x x 1

5

9

3

555

552112(1)5515x C ===+

（4）（资料中的发挥题）求

x dx x x ⋅⎰4ln 2ln

x d x x x d x x x dx x x ln 4ln ln 2

ln ln ln 4ln 2ln 4ln 2ln ⎰⎰⎰++==⋅

ln ln 2ln 4ln 4ln ln ln 4x d x x ++-==+⎰11

ln ln (ln ln 4)2ln ln 4

d x d x x +⋅++⎰⎰

ln ln 2ln |ln 4|x x C =-⋅+

例3

、2

2422211

1()11

)111()2d x x x x dx dx x C x x x x x x +

-+===

-+++-+⎰⎰⎰

224222111()1

111()2

d x x x x dx dx C x x x x x

-+-===

+++-⎰⎰⎰

2224

441111211x x x dx dx dx x x x ⎛⎫

+-=+ ⎪+++⎝⎭

⎰⎰⎰

1)x C x =

-+ 224

4411111211x x dx dx dx x x x ⎛⎫+-=- ⎪+++⎝⎭

⎰⎰⎰

1)x C x =

-+

（03年 真题）

222

4440

0011

11211x x x dx dx dx x x x +∞+∞+∞⎛⎫+-=+ ⎪+++⎝⎭

⎰

⎰⎰

00

1)x x +∞+∞=

-+=

例4 （1）

211sin 1sin tan sec 1sin (1sin )(1sin )cos x x

dx dx dx x x C x x x x --===-+++-⎰⎰⎰

（类似地，求

⎰⎰⎰--+dx x dx x dx x sin 11

,cos 11,cos 11等）

（2）⎰⎰⎰+=++=++)1()

()1()1()1(1x x

x x x x x xe xe xe d dx xe xe e x dx xe x x ()()ln 11

x x x

x

x x d xe d xe xe C xe xe xe =-=+++⎰⎰ （4）C x x dx x x

dx x x +-+=--=+-⎰⎰

22

1arcsin 1111

*例5 若01()(0,0),st x

I f t dx s t s s

=

+>>⎰则I 之值（ C ） （A ）依赖于x t s ,, （B ）依赖于t s , （C ）只依赖于t （D ）依赖于x s ,

解： 令s x t u +=，则x su st =-，201()()st t t x

I f t dx f u du s s

=+=⎰⎰

例5（1）（资料中的发挥题）计算12

0ln(1)

1x dx x ++⎰

解：换元t x tan =， 则 1

4422000ln(1)ln(1tan )

tan ln tan 1sec x t dx d t tdt x t

ππ

++==+⎰⎰⎰ 再令u t -=

4

π

，有

44

40

01tan ln(1tan )ln(1tan())ln(1)41tan u

t dt u du du u

π

ππ

π

-+=+-=++⎰

⎰⎰

4440002

ln

ln 2ln(1tan )1tan du du u du u

π

ππ

==-++⎰⎰⎰ 从而 1

4

200ln(1)ln(1tan )1x dx t dt x π

+=++⎰⎰＝2ln 8

π