第十四章虚位移原理.ppt
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第十四章 虚位移原理
xi δxi xi q1 δq1 ,q2 δq2 , ......,qk δqk
利用多元函数的台劳级数展开，并略去二阶以上的微量，
则有：
xi δxi
xq1 ,q2 ,.....,
qk
xi q1
δq1
xi δq2
......
xi δqk
δqk
xi
δxi
xq1 ,q2 ,.....,
约束与约束方程,自由度与广义坐标
1 约束
在静力学中，曾经将限制某物体运动的其它物体称为 约束，约束对被约束物体的作用表现为约束反力。
现在从运动学的观点来看约束的作用，给约束下一广义 的定义：
如一非自由质点系的位置和速度受到某些预定条件的 限制，这种限制条件称为约束。
y 例如，车轮限制在直线轨迹上作无滑动
由此可见，刚体平衡必要充分条件对一般的非自由质点系 统来说就不是充分的。因此，不能只依靠刚体平衡必要充分条 件去解决非自由质点系的平衡问题。
本章介绍虚位移原理，又称为分析静力学。 虚位移原理是非自由质点系平衡的一般规律，它给出了任 一非作自由质点系平衡的必要与充分条件，是解答平衡问题 的最一般的原理。 刚体在力的作用下不变形，在刚体静力学中仅从作用于刚 体上的力系的简化结果就可得出刚体的平衡条件。 由于非自由质点系中各质点间的相对位置可以改变，并且 相对位置的改变又因约束的存在而受到某些限制，问题较为复 杂。必须首先研究约束对质点运动的影响，以及质点系中各质 点所可能发生的位移等。
2 A
yA
2
xB xA
l12 2 yB
yA
2
l22
o
φ 1
L1 A(xA,yA )
L2
约束为完整约束，所以在
虚位移原理
rA rB rA rB L W 0 FrB M 0
m3 g
A
900
C2
平衡方程的求解方法
C1 M m1 g m2 g O
研究OA杆
B F
M
F
O
0
FAx L M 0 (1)
m3 g
FAy FAx A A
C1 M m1 g O FOy FOx
F
n
Ni
ri 0 ?
' ' ( FNB FSB ) r1 ( FNB FSB ) r2 ( FNA FSA ) r2 FN 1 r2
( FNB FSB ) r1 FSB r1 0
（2）：无摩擦 是理想约束
F
5. 列出虚功方程并求解。
二、虚位移分析
质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关 系, 确定这些关系通常有两种方法：
(一) 几何法 由运动学知，质点的位移与速度成正比，即
dr v dt
因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系 δr B δφ ——虚速度法 A B δrA rA v A a a b
得
FA FB tan
(3)
虚速度法
rA vA , dt rB vB dt
定义:
为虚速度
代入到
Fi ri 0 中, 得
FB vB FAvA 0
由速度投影定理,有
vB cos v A sin ,
代入上式 得 FA FB tan
只限制某方向运动的约束称为单面约束。在两个相
对的方向上同时对物体运动进行限制的约束称为双
第十四章-虚位移原理讲义
第十四章-虚位移原理讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第十四章虚位移原理一、回顾：液压升降台如图所示，求油压举升缸筒的拉力。
本题目是物体系平衡问题。
图（a）1.取缸筒为研究对象∑M G(F)=0 求出F E2.取CG、DE+缸筒为研究对象∑M C(F)=0 求出F Dy（b）（c）23.取整体为研究对象∑M A(F)=0 求出F B4.取杆BD为研究对象∑M K(F)=0 求出F Dx（d）（e）5.取杆DE为研究对象∑M O(F)=0 求出F JH由上分析可知：（1）用静力学中求解物体系统平衡问题的方法求解，需要选取5次研究对象，列5个方程，求解过程较为复杂。
（2）运算过程中出现了4个题目并不需要求解的约束反力，称之为中间变量，消除这些约束反力，才能得到要求的量。
问题有无别的方法求解物体系统的平衡问题而这种方法又能避开求这些中间变量，简化求解过程。
二、求解物体系统的平衡问题的两种方法⑴用静力平衡方程求解----刚体静力学（几何静力学）⑵用虚位移原理求解----分析静力学3虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。
对于只有理想约束的物体系，由于约束力不作功，有时应用虚位移原理求解更为方便。
三、利用虚位移原理求解的平衡问题一般有如下几个特点：⑴结构特点-----结构为几何可变体系⑵待求量特点-----数目较少⑶研究对象的选取-----取整体即可求解四、基本概念几何可变体系-----约束允许系统动几何不变体系-----约束不允许系统动举例：图图如图所示，约束允许结构动，受力后可以不动，该结构为几何可变体系。
如图所示，约束不允许结构动，受力后仍然不动，该结构为几何不变体系。
对于几何不变体系，只要解除某些约束，用约束力代替约束的作用，即可将不变体系变为可变体系。
约束·虚位移·虚功一、约束及其分类4（1）概念约束——限制质点或质点系运动的条件。
理论力学—14虚位移原理
由于 ，于是得 0
P 2 Qtg
例2 图示机构中，当曲柄OC绕轴摆动时，滑块A沿曲柄自 由滑动，从而带动杆AB在铅垂导槽K内移动。已知OC=a， OK=l，在C点垂直于曲柄作用一力Q，而在B点沿BA作用一力 P。求机构平衡时，力P与Q的关系。
rC
y
rA re a rr A
y A ltg
C
a
A
O
Q
y A
l cos
2
x C a cos
y C a sin
xC
a sin
l
K
B
x
y C a cos
主动力在坐标方向上的投影为
P
YA P
X C Q sin
Y C Q sin
y
r
O
l
x
2 2
xA yA r
2 2
B (xB , yB )
2 2
(xB xA ) ( yB y A ) l yB 0
几何约束方程的一般形式为
f r ( x1 , y 1 , z 1 , , x n , y n , z n ) 0
不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中各质点的 速度的约束称为运动约束。
C
Q
O
l
K
B
x
P
解1：（几何法）以系统为 研究对象，受的主动力有P、 Q 。给系统一组虚位移如图。
r A re rr 由虚位移原理 F i ri 0 ，得
y
rA re a rr A
rC
虚位移原理
∴YA =2ql +P1sinα－P2＝6.0 (kN)
31
MA XA A
YA
Mq
E B
δyE
δyB
l
l
P1 α C
P2
δyD
D
l
l
⑶ 给 ，而令δxA 、δyA=0， 则δyE = l , δyB=2l ，
∵δyC = 0， 2 ∴δyD =l= 2l ，
虚功方程为
－MA－M +2qlδyE +P1sinαyB－ P2δyD＝0
非定常约束 ------约束方程中显含时间 t的约束。
不稳定约束 如 f (x , y , z ，t )=0
在任意瞬时t，其约束方程为
x2 y2 (l0 vt)2
o
x
v
φl
y
M
6
⒊双面约束和单面约束
双面约束 ------如果约束不仅限制质点在某一 方向的运动，而且能限制其在相反方向的运动， 称之为双面约束，或固执约束
l
l
29
δyA =0！ AB不能有转动
A=0！ A不能有竖直向位移
q
AM Ell源自P1 αBC
l
P2
D l
MA
q
XA
A
E
YA δxA M
解:将固定端约束解除
P1
α
B
C
δxB
P2 D
δxD
⑴给δxA ，而令δyA =0 、 A=0，
则：δxB =δxA
虚功方程为 XAδxA－P1cosαδxA＝0
(XA－Plcosα)δxA＝0 ∴XA ＝ P1cosα ＝ 3.46 (kN)
C
M A
DP a
31
MA XA A
YA
Mq
E B
δyE
δyB
l
l
P1 α C
P2
δyD
D
l
l
⑶ 给 ，而令δxA 、δyA=0， 则δyE = l , δyB=2l ，
∵δyC = 0， 2 ∴δyD =l= 2l ，
虚功方程为
－MA－M +2qlδyE +P1sinαyB－ P2δyD＝0
非定常约束 ------约束方程中显含时间 t的约束。
不稳定约束 如 f (x , y , z ，t )=0
在任意瞬时t，其约束方程为
x2 y2 (l0 vt)2
o
x
v
φl
y
M
6
⒊双面约束和单面约束
双面约束 ------如果约束不仅限制质点在某一 方向的运动，而且能限制其在相反方向的运动， 称之为双面约束，或固执约束
l
l
29
δyA =0！ AB不能有转动
A=0！ A不能有竖直向位移
q
AM Ell源自P1 αBC
l
P2
D l
MA
q
XA
A
E
YA δxA M
解:将固定端约束解除
P1
α
B
C
δxB
P2 D
δxD
⑴给δxA ，而令δyA =0 、 A=0，
则：δxB =δxA
虚功方程为 XAδxA－P1cosαδxA＝0
(XA－Plcosα)δxA＝0 ∴XA ＝ P1cosα ＝ 3.46 (kN)
C
M A
DP a
理论力学虚位移原理 ppt课件
虚位移原理
虚位移原理——建立独立于牛顿力学体系的质点系平衡条件。
牛顿力学体系——矢量力学。描述的力学量都用矢量表示 如：矢径，速度，加速度，角速度， 角加速度，力，力偶等。 分析力学体系——标量力学。描述的物理量为标量。如广义坐标， 能量，功等。
虚位移原理以分析力学为基础，建立系统平衡的充要条件， 比牛顿力学建立的平衡条件具有更广泛的意义。 本章仅仅阐述虚位移原理在求解静力平衡问题中的应用。事实 上，虚位移原理建立的平衡准则还应用于动力学建立质点系统运动 与受力的关系、固体力学中物体变形的分析等。
2 2 2 2
1
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )
z2 0
系统自由度 k 3 2 4 2 取广义坐标
2
X
质点的直角坐标:
x1 l1 cos1 y1 l1 sin 1
1 , 2
x2 l1 cos1 l2 cos(1 2 )
B
v f ( x, t )
0 当v=0时，约束方程 x
或
xA
当v=C（常数）时，约束方程
C x
或 x Ct A
当v=f（x，t）不可积分函数时，约束方程
f ( x, t ) x
PPT课件 5
约束的分类
几何约束：只限制质点的几何位置的约束。 运动约束：约束方程包含质点坐标（对时间）的导数。
自由度数 k 3 2 1 5
广义坐标，取
x1 , y1 , z1 , ,
PPT课件
8
一般地，具有n个质点的系统中每一个质点用矢径表示为
ri ri (q1 , q2 , , qk )
虚位移原理——建立独立于牛顿力学体系的质点系平衡条件。
牛顿力学体系——矢量力学。描述的力学量都用矢量表示 如：矢径，速度，加速度，角速度， 角加速度，力，力偶等。 分析力学体系——标量力学。描述的物理量为标量。如广义坐标， 能量，功等。
虚位移原理以分析力学为基础，建立系统平衡的充要条件， 比牛顿力学建立的平衡条件具有更广泛的意义。 本章仅仅阐述虚位移原理在求解静力平衡问题中的应用。事实 上，虚位移原理建立的平衡准则还应用于动力学建立质点系统运动 与受力的关系、固体力学中物体变形的分析等。
2 2 2 2
1
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )
z2 0
系统自由度 k 3 2 4 2 取广义坐标
2
X
质点的直角坐标:
x1 l1 cos1 y1 l1 sin 1
1 , 2
x2 l1 cos1 l2 cos(1 2 )
B
v f ( x, t )
0 当v=0时，约束方程 x
或
xA
当v=C（常数）时，约束方程
C x
或 x Ct A
当v=f（x，t）不可积分函数时，约束方程
f ( x, t ) x
PPT课件 5
约束的分类
几何约束：只限制质点的几何位置的约束。 运动约束：约束方程包含质点坐标（对时间）的导数。
自由度数 k 3 2 1 5
广义坐标，取
x1 , y1 , z1 , ,
PPT课件
8
一般地，具有n个质点的系统中每一个质点用矢径表示为
ri ri (q1 , q2 , , qk )
理论力学课件 虚位移原理
N
设AB杆与BC杆在B点用光滑
铰链连接.由N = -N 得
A
C Nr + Nr = Nr - Nr = 0
24
(3)连接两质点的无重刚杆
连接两质点的刚杆由于不
计自重,均为二力杆. 设质点
M1和M2的虚位移分别为 r1
M2
与r2 则有:
r1cos 1 = r2cos 2 N1r1 + N2r2
n
Fi ri 0
i 1
n
或：
Fxixi Fyiyi 0
i 1
27
五、虚位移原理的应用 1.求解复杂系统(运动机构)的平衡条件.
1)画虚位移图.
2)利用几何法或解析法求各虚位移之 间的关系.
3)计算各主动力的虚功. 4)利用虚位移原理求解平衡条件.
28
例题5. 套筒分别置于光 滑水平面上互相垂直的 滑道中,受力分别为P和 Q如图所示.长为 l 的连 杆和水平方向夹角为 , 摩擦均不计.求系统的平 衡条件.
以Ni表示质点系中质点Mi的约束力的合 力 , ri表示该质点的虚位移 , 则质点系的理想 约束条件可表示为
n
Ni·ri = 0
i 1
23
(1)光滑接触面
光滑接触面的约束反力恒垂直
N
于接触面的切面 , 而被约束质点的
r
虚位移总是沿着切面的 , 即N r
Nr = 0
r B N (2)连接两刚体的光滑铰链
l
A(x,y) x 图1-3
6
O
y 左图中摆锤A的约束方程为
l
(细绳)
x2 + y2 l 2
A(x,y) x
图1-4
《虚位移原理》课件
05
虚位移原理的局限性
刚体假设的局限性
刚体假设忽略了物体的形变，这在许多实 际情况下是不适用的。
对于弹性体或流体等需要考虑形变的场合 ，刚体假设可能导致误差。
刚体假设限制了虚位移原理的应用范围， 只能用于分析刚体系统的平衡问题。
虚位移假设的局限性
1
虚位移是指不会引起外力矩的位移，但实际系统 中往往存在摩擦力、粘滞力等阻力，这些阻力可 能阻碍虚位移的发生。
展望
学科发展动态
介绍与《虚位移原理》相关的学
科发展动态，如最新研究成果、
学术热点等。
01
应用前景
02 探讨《虚位移原理》在未来的应
用前景，如工程领域、科学研究
等。
学习方法建议
针对《虚位移原理》的学习，给
出进一步深入学习的方法和建议
03
。
互动与交流
04 鼓励学习者之间以及学习者与教
师之间的互动与交流，共同促进优设计等。动力学问题中的虚位移原理
在动力学问题中，虚位移原理可 以用来研究物体的运动规律和受
力情况。
通过分析物体的受力情况和虚位 移，可以计算物体的加速度和速 度，进一步了解物体的运动规律
。
动力学问题中的虚位移原理在航 天工程、车辆工程、机器人等领 域有着广泛的应用，如卫星轨道
计算、车辆动力学分析等。
虚位移原理的应用场景
机械系统
在机械系统中，如机器、 机构等，当分析其平衡状 态时，可以利用虚位移原
理来计算约束反力。
建筑结构
在建筑结构中，如桥梁、 高层建筑等，当分析其静 力平衡时，可以利用虚位 移原理来计算内力和位移
。
化学反应
在化学反应中，当分析反 应平衡时，可以利用虚位 移原理来计算反应热和反
第14章 虚位移原理
实例
C
y r C M M o
ω vC
x
xC P
于是，轮C在水平轨道上纯滚动的条件表达为
瞬心
yC = r vC－rω=0
yC = r
或
dxC d r 0 dt dt
运动约束方程
⒉定常约束和非定常约束 定常约束 ------约束方程中不显含时间 t的约束 。 f (x , y , z ) = 0 如 稳定约束 非定常约束 ------约束方程中显含时间 t的约束。 不稳定约束
如
f (x , y , z ，t )=0
o x
前面所列的单摆、曲柄连杆机构 及车轮的约束均为定常约束； 而对于变摆长的单摆则为非定常约束。
v
l
其中摆锤M可简化为质点，软 y M 线是摆锤的约束，初始长度为l0， 穿过固定的小圆环，以不变的 在任意瞬时t，其约束方程为 速度v向左下方拉拽。 2 2 2
xA2 y A2 r 2
x2 y 2 l 2
yB 0
( xA xB )2 ( y A yB )2 l 2
运动约束 ---当质点系运动时受到的某些运动 条件 的限制称为运动约束。
即：这种约束对质点或质点系不仅 有位移方面的限制，而且有速度或 角速度方面的限制。 如车轮在直线轨道上作纯滚动， 轨道限制轮心作直线运动， 且滚过的弧长等于轮心走过 的距离。
非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束。
约束方程
用数学方程来表示的限制条件称为约束方程。
如
f ( x, y, z, x, y, z, t ) 0
约束的分类
⒈几何约束和运动约束 几何约束 ---只限制质点或质点系在空间的位 置， 这种约束称为几何约束。
第十四章 虚位移原理
C
M FvC 0
B点虚速度关系：
va ve vr
h ve OB sin ve h va vC 2 sin sin Fh M 2 sin
B v r M O
h
PAG 24
Northeastern University
⑶ 列虚功方程
y
F
G E C
D
FyG FBxxB 0
F (3l cos )
B
FBx (2l sin ) ) 0 A
3 FBx F cot θ 2
FBx
x
（二）CG间弹簧的刚度系数为k,图示位置弹簧已伸长δ0,求 FBx
PAG 21
Northeastern University
解：⑴ 取系统为研究对象,受力分析 约束为理想约束 ⑵ 给一组虚位移 B点虚位移关系?
A B
h
rC
C
F
M
O
M F rC 0
PAG 23
Northeastern University
§14-2
虚位移原理
va
ve
M F rC 0
A
vC
F
WN FNi ri 0
PAG 12
Northeastern University
§14-1
约束 ·虚位移 ·虚功
2、光滑铰链 F
1、光滑支承面 P r FN WN FN r 0
r '
' WN F r F r 0
F
3、无重刚杆
M FvC 0
B点虚速度关系：
va ve vr
h ve OB sin ve h va vC 2 sin sin Fh M 2 sin
B v r M O
h
PAG 24
Northeastern University
⑶ 列虚功方程
y
F
G E C
D
FyG FBxxB 0
F (3l cos )
B
FBx (2l sin ) ) 0 A
3 FBx F cot θ 2
FBx
x
（二）CG间弹簧的刚度系数为k,图示位置弹簧已伸长δ0,求 FBx
PAG 21
Northeastern University
解：⑴ 取系统为研究对象,受力分析 约束为理想约束 ⑵ 给一组虚位移 B点虚位移关系?
A B
h
rC
C
F
M
O
M F rC 0
PAG 23
Northeastern University
§14-2
虚位移原理
va
ve
M F rC 0
A
vC
F
WN FNi ri 0
PAG 12
Northeastern University
§14-1
约束 ·虚位移 ·虚功
2、光滑铰链 F
1、光滑支承面 P r FN WN FN r 0
r '
' WN F r F r 0
F
3、无重刚杆
理论力学 第十四章虚位移原理
7
§14–1 约束和约束方程
导弹A追击目标B，要求导弹速度方向 总指向目标。
A A x y 0, xB xA yB y A A A x z 0 xB xA zB z A
图
8
§14–1 约束和约束方程
初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子
x y l0 vt
O
r
l
B
x
6-5=1，只有一个独立坐标，故此系统只有一个自
由度
17
§14–2 广义坐标和自由度
二、广义坐标
一般，用直角坐标系表示非自由质点系的位置不太方便， 可选择任意变量来表示质点系的位置。 用来确定质点或质点系位置的独立变量或参数， 称为广义坐标。
xA r cos （x, y, z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。 y A r sin yB 0
q1 q2 qk
j 1
q j
k yi yi yi yi yi q1 q2 qk qj q1 q2 qk j 1 q j k zi zi zi z zi q1 q2 qk i q j q1 q2 qk j 1 q j
§14–1 约束和约束方程
3、双面约束和单面约束 （用等式表示） i , y i , z 双面约束：约束在两个方向都能起限制运动的作用。 i , t ) 0 f j ( xi , yi , zi , x
单面约束：约束只在一个方向起作用，另一方向能 i , y i , z i , t ) 0 f j ( xi , yi , zi , x （不等式表示） 松弛或消失。
1
第十四章
虚位移原理
虚位移原理
2
§14-1 约束,虚位移和虚功
一 定义
约束： 限制质点或质点系位置和运动的条件 约束方程： 限制条件的数学方程
二 约束分类
3
1, 几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置 的条件称为几何约束。
f (x, y, z) 0 x2 y2 l2 0
4
x
2 A
y
2 A
r2
xB x A yB yA 2 l 2
第十四章 虚位移原理 （静力学问题）
§14-1 约束,虚位移和虚功 §14-2 虚位移原理
1,学会给机构虚位移
2,学会求虚功
（几何法和解析法）
3,学会虚位移原理解题
1
在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系 的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的 平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质 点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得 出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研 究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理 相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。
直接求出主动力,而不必计算约束力,为人类 节省多少华年,增添巨大方便。 力学之金律
对具有不理想约束的质点系,将不理想约束
解除,使之成为具有理想约束的质点系,将不
理想约束力视为主动力,又可应用虚位移原理。 多么辩证！
将约束解除，代之相应的约束反力，并视 为主动力，又可求出约束力。多么灵活！
23
解题类型
D P
θ
l
B
l
51
据虚位移原理
→rA Mo
A
M
rA
a
PrD
0
虚位移关系
§14-1 约束,虚位移和虚功
一 定义
约束： 限制质点或质点系位置和运动的条件 约束方程： 限制条件的数学方程
二 约束分类
3
1, 几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置 的条件称为几何约束。
f (x, y, z) 0 x2 y2 l2 0
4
x
2 A
y
2 A
r2
xB x A yB yA 2 l 2
第十四章 虚位移原理 （静力学问题）
§14-1 约束,虚位移和虚功 §14-2 虚位移原理
1,学会给机构虚位移
2,学会求虚功
（几何法和解析法）
3,学会虚位移原理解题
1
在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系 的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的 平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质 点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得 出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研 究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理 相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。
直接求出主动力,而不必计算约束力,为人类 节省多少华年,增添巨大方便。 力学之金律
对具有不理想约束的质点系,将不理想约束
解除,使之成为具有理想约束的质点系,将不
理想约束力视为主动力,又可应用虚位移原理。 多么辩证！
将约束解除，代之相应的约束反力，并视 为主动力，又可求出约束力。多么灵活！
23
解题类型
D P
θ
l
B
l
51
据虚位移原理
→rA Mo
A
M
rA
a
PrD
0
虚位移关系
相关主题
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非定常约束：约束方程中显含时间
y
x
v
y
vt
x
x y cot vt
固执约束：双面约束
非固执约束：单面约束
A
x
l
刚性杆
y
B
x2 y2 l2
A
x
l
绳子
y
B
x2 y2 l2
2、虚位移
（1）定义 在给定瞬时，质点或质点系在约束所允许的情况下， 可能发生的任何无限小的位移称为质点或质点系的虚位移。
纯滚动约束 δWN FR δrA FR 0 0
不可伸长柔索或轻质杆约束
A
δWN FNA δrA FNB δrB
FNA δrA FNA δrB 0
§14－2 虚位移原理
虚位移原理也称为虚功原理，指的是：
对于具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用 于质系的主动力在质点系任一虚位移上所作虚功的和等于零。
满足此式，不论刚体、变形体还是质点系必定平衡。它 是质点系平衡的最普遍方程。所以，也称为静力学普遍方程。
应用虚位移原理的优越性：
1．应用范围广。既适用不变质点系，也适用可变质点系（包 括变形体）。在静力学里，建立的平衡条件，对于刚体的平 衡是必要和充分的，但对于变形体来说，就不一定总是充分 的。但变形体只要满足虚位移原理就一定平衡。它适用于任 意质点系。
即 δW 0
或
Fi δri 0
或
Fxiδxi Fyiδyi Fziδzi 0
原理推导
Fi FNi 0
Fi
Mi
FNi δri
FFi i δδririFFNiNi δrδi ri 0 0
对于理FFFFFi想ii iiF约δδδ iδδr束rriiirrF，δiiir有iF0Fd0NiirFidFNδirNrFiiFiδNNriδii0rδidr0iFri0Ni00d ri 0
δ r cos δ l cos
yB 0
δyB 0
请你思考：
图示系统中，AE杆的虚位移 d 如图，试画出图示位置H、
E、J、 B、F、 C、G各点相应的虚位移。
I
FF11 HH
EE
JJ FF22 FF
G rG
rH
rE
rJ rF
A
aa
B B rB
aa
aa
C C rC
D
aa
aa
aa
a
3、虚功 力在虚位移中所作的功称为虚功
解: 弹簧属于非理想约束，解
2．解决力学问题方便简捷。它特别适用于非自由质点系。而 非自由质点系是工程中常见的。对于非自由质点系受到的约 束越多，所列的方程越少，对于理想约束，则约束反力不在 方程中出现，这使解题十分方便。
3．与达朗伯原理结合起来可解决非自由质点系的动力学问题， 从而得到动力学普遍方程。
§14－1 约束•虚位移•虚功
（2）虚位移与实位移的区别 实位移是在一定的时间内真实发生的，它除满足约束方程外，
还满足动力学方程及初始条件。可以是有限量，也可以是微量。 虚位移只满足给定瞬时的约束，它是假想的，并且是微量。
在定常约束情况下，微小实位移是虚位移中的一个，否则则 不是。
（3）质点系中各点虚位移之间关系
几何法：
质点系中各点虚位移之间的 关系与系统运动时各点速度之间 关系相同。
1、约束及其分类 限制非自由质系运动的各种条件称为约束
表示约束限制条件的数学方程称为约束方程
点M的约束方程为：
f (x, y, z) 0
A、B两点的约束方程为：
(xB xA)2 ( yB yA)2 l2 0
约束分类
（1）几何约束：只限制位置 √
运动约束：还限制速度
（2）定常约束：约束方程中不显含时间 √
第十四章 虚位移原理
§14－1 约束•虚位移•虚功 §14－2 虚位移原理
虚位移原理研究的是静力平衡问题，而不是动力学问题。 虚位移原理：质点系在理想约束情况下，处于平衡的必要 与充分条件是质点系受到的所有主动力在质点系虚位移中的 元功之和为零。
Fi δri 0
虚功方程
Fi为质点Mi所受的所有力的合力，δri为该质点的虚位移。
注意 （1）虚位移是微量，故虚功也是微量
（2）虚位移是假想的，故虚功也是假想的
虚功用 δW 表示
例如图示机构中力F 的虚功为:
δW F δrB FδrB
力偶M 的虚功为:
δW Mδ
4、理想约束 约束力在质系虚位移上元功之和为零的约束称为理想约束。
δWN FNi δri 0
光滑面约束 δWN FN δr 0
例 求图所示椭圆规机构中, 滑块A， B虚位移之间的关系。
由 δrA, δrB 在 A ,B 连线上投影相等
δrB cos δrA sin 得： δrB δrA tan
例 求AB杆上各点虚位移之间的关系。
AA
δδ δrM
O
δrB
δrA
M
BB
δrA OAδ δrB OBδ δrM OMδ
解析法 建立质点系中各质点的坐标,取其变分的方法。
例 用解析法求图示椭圆规机构中, 滑块A，B的虚位移。 解：
yA l sin
δyA l cosδ
xB l cos
δxB l sinδ
例 求A、B两点虚位移之间的关系
解：（1）几何法：
δrB cos δrA cos δrA sin
sin
δrB cos δrA
（2）解析法：
xA r cos
得： Fi δri Fi 0δri 0
——虚功方程
即：对于理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用于 质系的主动力在质点系任一虚位移上所作虚功的和等于零。
例 图示平面机构中各杆与弹簧原长均为l ，重量均可略去不 计，弹簧刚度为k，铅直导槽是光滑的。求平衡时， P 的大
小与角度 之间的关系。
yA r sin
xB r cos l cos
yB 0
虚位移表达式
xA r cos δxA r sinδ yA r sin δyA r cosδ
xB r cos l cos
δxB r sinδ l sin δ
r sin δ
cos
l sin r sin
l cos δ r cosδ
非定常约束：约束方程中显含时间
（3）固执约束：双面约束 √
非固执约束：单面约束 （4）完整约束：几何约束以及可积分的运动约束
非完整约束：不可积分的运动约束
几何约束：只限制位置
f x, y, z 0
运动约束：还限制速度 f x, y, z, x, y, z, 0
定常约束：约束方程中不显含时间