5[1].4.4一元二次方程的公共根与整数根.题库学生版

内容 基本要求

略高要求

较高要求

一元二次方程

了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义

能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值

一元二次方程的解法

理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据

能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况

能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题

一、公共根问题

二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的

值和公共根．

二、整数根问题

对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．

方程有整数根的条件：

如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：

⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数；

⑵ 242b b ac ak -+-=或242b b ac ak ---=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．

另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)

三、方程根的取值范围问题

先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．

知识点睛

中考要求

一元二次方程的公共根与整数根

一、一元二次方程的公共根

【例1】 求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．

【例2】 设,,a b c 为ABC ∆的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明：ABC

∆一定是直角三角形．

【例3】 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．

⑴ 求证：0a b c ++=；

⑵ 求333

a b c abc

++的值．

【例4】 试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异

根．

【例5】 二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和

2

2

2

(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b a

b a

a b a b

--++的值．

二、一元二次方程的整数根

【例6】 k 为什么实数时，关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数？

【例7】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有

_______个．

【例8】 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方

程的整数根．

【例9】 若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．

【例10】 关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数．求满足条件的所有实数

k 的值．

【例11】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．

【例12】 已知关于x 的方程24832x nx n --=和22(3)220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方

例题精讲

程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由．

【例13】 求所有有理数r ，使得方程2(1)(1)0rx r x r +++-=的所有根是整数．

【例14】 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．

【例15】 已知k 为常数，关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数，求k 的值．

【例16】 已知p 为质数，二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，请求出p 的所有可能的值．

【例17】 已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．

【例18】 若一直角三角形两直角边的长，a 、b ()a b ≠均为整数，且满足2

4a b m ab m +=+⎧⎨=⎩

．试求这个直角三角

形的三边长．

【例19】 关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值．

【例20】 已知方程()

22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么

a = ．

【例21】 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是

整数．

【例22】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方

程的根．

【例23】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．

【例24】 已知方程()

22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么

a = ．

【例25】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有

_______个．

【例26】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．