初中函数笔记
(完整版)初中数学函数知识点归纳
初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法初中数学知识大纲中，函数知识占了很大的知识体系比例，学好了函数，掌握了函数的基本性质及其应用，真正精通了函数的每一个模块知识，会做每一类函数题型，就读于中考中数学成功了一大半，数学成绩自然上高峰，同时，函数的思想是学好其他理科类学科的基础。
初中数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函 数和锐角三角函数，下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法。
一、一次函数1. 定义：在定义中应注意的问题y ＝kx ＋b 中，k 、b 为常数，且k ≠0，x 的指数一定为1。
2. 图象及其性质 （1）形状、直线（）时，随的增大而增大，直线一定过一、三象限时，随的增大而减小，直线一定过二、四象限200k y x k y x ><⎧⎨⎪⎩⎪（）若直线：：3111222l y k x b l y k x b =+=+当时，；当时，与交于，点。
k k l l b b b l l b 121212120===//()（4）当b>0时直线与y 轴交于原点上方；当b<0时，直线与y 轴交于原点的下方。
（5）当b=0时，y ＝kx （k ≠0）为正比例函数，其图象是一过原点的直线。
（6）二元一次方程组与一次函数的关系：两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。
3. 应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。
（二）反比例函数 1. 定义：应注意的问题：中（）是不为的常数；（）的指数一定为“”y kxk x =-1021 2. 图象及其性质： （1）形状：双曲线（）对称性：是中心对称图形，对称中心是原点是轴对称图形，对称轴是直线和212()()y x y x==-⎧⎨⎪⎩⎪（）时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内随的增大而减小时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内随的增大而增大300k y x k y x ><⎧⎨⎪⎩⎪（4）过图象上任一点作x 轴与y 轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。
函数应用中考知识点总结
函数应用中考知识点总结一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。
函数通常用字母表示，例如f(x)，其中x表示输入值，f(x)表示输出值。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系。
其中，定义域是指函数可以接受的输入值的范围，值域是函数输出值的集合，对应关系则描述了输入值与输出值之间的映射关系。
例如，对于函数f(x)=x^2，其定义域为实数集，值域为非负实数集，对应关系为x与x^2的映射关系。
二、函数的性质在中考中，学生需要掌握函数的一些基本性质，包括奇偶性、周期性和单调性等。
其中，奇偶性是指函数图像关于原点对称时称为奇函数，关于y轴对称时称为偶函数；周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性；单调性是指函数在定义域内的增减规律。
这些性质对于理解函数的图像和求解函数的最值等问题具有重要的作用。
三、函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的几何表现，它可以帮助我们直观地理解函数的性质和特点。
在中考中，学生需要学会绘制函数的图像，并理解函数图像与函数性质之间的关系。
例如，对于一元二次函数f(x)=ax^2+bx+c，学生可以通过绘制函数的图像来理解函数的开口方向、顶点坐标和对称轴等特点，从而更好地理解函数的性质和应用。
四、函数的应用函数在实际问题中具有广泛的应用，它可以帮助我们描述和求解各种实际问题。
在中考中，学生需要学会应用函数解答与函数相关的问题，例如函数的定义域、值域和逆函数的求解等。
此外，函数还可以帮助我们求解各种实际问题，如函数模型的建立和函数方程的求解等。
通过学习函数的应用，学生可以更好地理解函数的概念和性质，并将其运用到实际问题中去。
总之，函数是数学和计算机科学中的重要概念，它在解决问题和设计算法时起着至关重要的作用。
在中考中，函数也是一个重要的知识点，学生需要掌握函数的定义、性质和应用等方面的知识。
通过本文的总结，相信学生们可以更好地理解函数的相关知识，从而更好地应对中考中与函数相关的各种问题。
函数初中知识点总结
函数初中知识点总结一、函数的基本概念1. 函数的定义函数是一个或多个自变量和一个因变量之间的对应关系。
通常用f(x)或者y来表示函数，其中x是自变量，y是因变量。
函数的定义可以用一个简单的公式表示，例如f(x) = x^2，也可以用一个表格来表示。
2. 自变量和因变量自变量是函数中的输入变量，因变量是函数中的输出变量。
自变量通常用x表示，因变量通常用y表示。
3. 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
函数的定义域和值域可以通过函数的公式或者图像来确定。
4. 初等函数的分类在初中数学中，我们学习了常见的初等函数，包括一次函数、二次函数、绝对值函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等。
这些函数在实际问题中都有着重要的应用。
5. 函数的符号表示除了用f(x)或者y来表示函数外，我们还可以用其他字母或者符号来表示函数，例如g(x)、h(x)、p(x)等。
二、函数的性质1. 奇偶性函数的奇偶性是指函数图像关于原点对称还是关于y轴对称。
具体来说，如果对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数；如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数。
2. 增减性函数的增减性是指函数图像在定义域上的变化趋势。
如果对于任意的x1和x2，当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则称函数是增函数；如果当x1<x2时有f(x1)>f(x2)，则称函数是减函数。
3. 单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性。
如果一个函数在定义域上是增函数或者减函数，则称函数在该定义域上是单调的。
4. 周期性如果对于任意的x，有f(x+T) = f(x)，其中T是一个常数，则称函数是周期函数，T称为函数的周期。
5. 有界性如果存在一个常数M，对于函数的定义域上的任意x，有|f(x)|≤M，则称函数是有界的。
三、函数的图像1. 直角坐标系中的函数在直角坐标系中，函数的图像是一个曲线或曲线段。
初三上册笔记数学
初三上册笔记数学一、函数1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它描述了每一个输入只对应一个输出。
2. 函数的表示方法：解析式法、列表法、图像法。
3. 一次函数：y=kx+b (k≠0)。
斜率k决定了函数的增减性，截距b决定了函数与y轴的交点。
4. 反比例函数：y=k/x (k≠0)。
当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限。
5. 二次函数：y=ax^2+bx+c (a≠0)。
开口方向由a决定，对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, (4ac-b^2)/4a)。
二、圆1. 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合。
2. 圆的性质：圆上任意一点到圆心的距离都等于半径。
3. 圆的方程：标准方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O(a,b)，半径r。
4. 点与圆的位置关系：通过比较点到圆心的距离与半径的大小来判断。
5. 直线与圆的位置关系：通过比较圆心到直线的距离与半径的大小来判断。
6. 圆与圆的位置关系：通过比较两圆的圆心距与两圆半径和或差来判断。
三、相似三角形1. 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形。
2. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方。
3. 相似三角形的判定方法：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
四、锐角三角函数1. 正弦、余弦、正切的定义：在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比叫做角的正弦，记作sinA；锐角的邻边与斜边的比叫做角的余弦，记作cosA；锐角的对边与邻边的比叫做角的正切，记作tanA。
2. 特殊角的三角函数值：30°、45°、60°的三角函数值需要熟记。
3. 三角函数的性质：正弦、余弦在第一象限为正，在第二象限为负；正切在第一、四象限为正，在第二、三象限为负。
初中数学 学霸笔记
初中数学学霸笔记一、代数部分1.方程与不等式：•一次方程：一元一次方程的标准形式是ax + b = 0。
解法有直接开平方法、配方法、公式法等。
•一次不等式：一元一次不等式的标准形式是ax + b > 0或ax + b < 0。
解法与方程类似，但要注意不等式的性质。
2.函数：•一次函数：y = kx + b，其中k和b是常数。
斜率k决定了函数的增减性，截距b决定了函数与y轴的交点。
•反比例函数：y = k/x (k > 0)。
双曲线的渐近线是y = x 和y = -x。
3.实数：•实数的定义与性质：实数包括有理数和无理数，具有顺序性、稠密性和连续性等性质。
•实数的运算：实数的加、减、乘、除等基本运算性质和运算法则。
二、几何部分1.线段与角：•角的概念与表示：角的度量单位是度(°)、分(′)、秒(″)。
按逆时针方向旋转的角为正角，按顺时针方向旋转的角为负角。
•线段的性质与判定：线段的基本性质有公理一、公理二、公理三等，判定定理有SAS、SSS、ASA等。
2.三角形：•三角形的基本性质：三角形具有稳定性，三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）。
•三角形的内角和定理：三角形内角和等于180°。
3.四边形：•四边形的性质与判定：平行四边形、矩形、菱形、正方形等都有一系列独特的性质和判定定理。
•多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n - 2) × 180°。
4.圆：•圆的基本性质：圆上三点确定一个圆，过同一点可以作无数个圆。
•圆的切线与弦：了解切线与半径垂直的性质，掌握垂径定理。
5.相似与全等：•相似三角形：相似三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA等，以及对应的性质定理。
•全等三角形：全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA等，以及对应的性质定理。
6.解直角三角形：•锐角三角函数：锐角三角函数包括正弦、余弦、正切等基本概念，了解其在直角三角形中的运用。
八年级数学上人教版《一次函数》课堂笔记
《一次函数》课堂笔记
一、一次函数的概念：
一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
二、一次函数的图象：
一次函数的图象是一条直线，当k>0时，图象经过一、三象限；当k<0时，图象经过二、四象限。
三、一次函数的性质：
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
四、一次函数的图象的应用：
通过观察图象可以解决一些实际问题，如时间、速度、路程等。
例如：某人以4千米/小时的速度匀速行走，他每走1千米所需的时间为y小时，则y与x 之间的关系式为y=4x。
五、实际应用：
通过实例让学生感受一次函数在生活中的应用，如购物、收费等。
例如：某超市的销售额为y万元，每件商品的售价为x元，则y与x之间的关系式为y=x-3（x≥50）。
六、解题方法：
1.理解一次函数的概念；
2.掌握一次函数的图象和性质；
3.会利用一次函数的图象解决实际问题；
4.会利用一次函数的性质解决较复杂的实际问题。
(完整版)初中函数知识点总结
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
10、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.
取值范围：① k ≠ 0; ②在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 不等于0的任意实数 ; ③函数 y 的取值范围也是任意非零实数。
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线
反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
反比例函数的性质：
注：对于y＝kx+b 而言，图象共有以下四种情况：
1、k>0，b>0 2、k>0，b<0 3、k<0，b<0 4、k<0，b>0
4、直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．
(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；
(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为 与 y轴交点坐标为(0，b)．
5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
初中函数入门基础知识
初中函数入门基础知识数学函数是一个比较难的知识点，下面是整理初中函数入门基础知识点汇总1函数的有关概念(1)函数：在某一变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。
(2)函数自变量的取值范围函数自变量的取值范围应使函数解析式有意义;应用问题中，自变量的取值范围还应具有实际意义;求函数自变量的取值范围的过程，实质上是解不等式或不等式组的过程;(3)常见自变量的取值范围：分式型：分母不为0;二次根式型：被开方数大于等于0;分式、二次根式混合型：分母不为0，且被开方数大于等于0.(4)函数值：当函数自变量x取某一数值时，与之对应的唯一确定的y值，叫做这个函数当函数自变量取该值时的函数数值。
2一次函数知识点一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b<0时，直线必通过三、四象限。
函数笔记知识点总结
函数笔记知识点总结一、函数的定义和作用1.1 定义：函数是一段完成特定任务的代码块，它接受输入参数、处理数据并返回结果。
1.2 作用：函数能够提高代码的模块化程度，增强代码的可读性和可维护性，同时也能够提高代码的复用性。
二、函数的基本结构2.1 函数的声明：函数的声明包括函数名、参数列表和返回值类型。
2.2 函数的实现：函数的实现包括函数体和返回语句。
2.3 示例代码：```C// 函数的声明int add(int a, int b);// 函数的实现int add(int a, int b) {return a + b;}```三、函数的调用3.1 函数的调用：在程序中使用函数时，需要通过函数名和实参来调用函数。
3.2 示例代码：```Cint result = add(2, 3);```四、函数的参数4.1 形参和实参：形参是在函数声明或定义中定义的变量，实参是在函数调用中传入的值。
4.2 默认参数：C++中的函数可以有默认参数，简化函数的调用。
4.3 示例代码：```C// 带有默认参数的函数void greet(string name, string msg = "Hello") {cout << msg << " " << name << "!" << endl;}// 调用带有默认参数的函数greet("Alice"); // 输出：Hello Alice!greet("Bob", "Hi"); // 输出：Hi Bob!```五、函数的返回值5.1 返回值类型：函数可以返回不同类型的值，比如整数、浮点数、字符、布尔值等。
5.2 无返回值函数：如果函数不需要返回值，可以使用void作为返回值类型。
5.3 多返回值：C++中函数可以返回多个值，通过引用类型或指针实现。
初中数学学霸笔记-函数篇
1y=kx+b k,by k yxb=0y xy=kx k k 01.yx ky=kx+b k 0k b2.x=0by ,(0,b).y=0x-b/k 03.ky=kx+bx4.k bk byk6.7.8. k by=kx+b k>0,b>0, k>0,b<0, k<0,b>0, k<0,b<0,b>0 b<029.10=x+=x+=x+=x+x=x 0=x+=x+y=y 0(x 0, y 0)=x+=x+A BA B1 y=kx+b2P x yy=kx+b2=k +b =k +b3k b41,,2,,,,3xy1.tsvs=vt2.fg tSg=S-ft 3.b yx y=kx+b k,.,,,.x0yx yx y3xyAB x AB y(,)A A A xyy=kx+b(k,b k 0)y x b=0y=kx(k k 0)yxk=0y=b yAB A=kB(k0)A 36B m 4mA 2 B8 C 2 D8Bmy=kxA 363k=6k=2y=2xB m 42m=4m=2 Ay=kx+bk bk()y=kx+bby=kx+b yyy=k 1x+b 1k 1y=k 2x+b 2k 24yx: xy=kx +bkb 0y xAB CDyx k 0kb 0b 0k byxk 0kb 0b 0Ay=xby=x 13bA 2 4B 24 C 4 6 D4 6y=x1xC yAAADy=x b DA B CBAD=ACOACOAB by=x1xCyAAADy=x bDy=x 1xCyA5A 01C 0 OA=1OC=AC==cos ACO==BADCAO ACO CAOBAD=ACO AD=3cos BAD==AB=5y=x by BbAB=|b1|=5 b=4b=6Dk,by=kx+b k 0y=kx+b k 0Ay=2x BAy=2x +3By=x 3 C y=2x 3D y=x +3BABy=2x 1y=21=2 B 12y=kx +b A 03y=2x B 126y=x +3DA BB A 4miny mx minA B1200m1.5b=960 a=34ABC Dx=0y=1200A B1200m==1.5=b=800=+4a=34x=0y=1200 A B1200m1200244=60m/min12001260=40m/min6040=1.51.5b=60+4024412=800a=120040+4=34D716min5min 100m/min y mt min140050m/min27min2900mA 1B 2C3D 4t=0y=14001400=50m/mint 2727min=2400+27222900mt=0y=140014002400226100=50m/min50m/mint2727min2400+2722100=2900m2900mD8y=kx+by 0b 0bkby=kx+b23 <=> y=k(x+2)+b+3;y=2x2y 0xA x1B x 1Cx2Dx 2y 0xy=2x 2y=2x +2y=0x=1 y 0xx1AABC ABC a ABC ABChS ABC= B,C BCBC AAhC 14x A yB 03SCAB9ABCDABCABy 2=kx +bA 30B03AB y 2=x +3C 14 x=1y D =2CD=42=2y 1=k 1xy 2=k 2x +bA 21x 2y 1 y 2x=2x 2y 2y 1y 1y 2y 1=2xy 2=ax +3A m210x 2x ax +3Ax 2 B x 2 Cx1Dx 1A2xax +3y 1=2xAm 22m=2 m=1 A122x ax +3x1DAA,BPxy A,B AA'A'BPPA +PBP y=x yA 24y B xPPA +PBPBxB'AB'x P P y=x 2BB'AB'PBxB'AB'xPPy=xyy=x +aA 24a=211y=x 2 x=0y=2B 02B'02AB'y=kx +b A 24B'02AB'y=3x +2y=0x=P0 012 x0x12312y xy x3a ba b.4k1P a b PA x A PB y B PBOA PAO PBO2P Q QC PAC PQC131251211221aA 1B1 Cl Da aa=114A2y=y=kx 1kkABCDk y=y=kx 1y=kx 1yk 0A Cy=kx 1yDBB 3ABxy A By=A xyA15A a aAy=a=14ABCA 12B 42C 44y=ABCkA 1k 4B 2k 8C 2k 16 D8k 16ABCy=AkCkABCy=Ak C kk=12=2k=44=162k 16 Ck5OABCA 10C 02y=0k 2ABCBE FOE OF EF S OEF=2SBEFkA B 1CD16E 1mF 2SBEF=12mkSOFC=SOAE=mSOEF=SABCOS OCFSOEASBEFOABCBA OA A 10E 1mF 2S BEF=12m S OFC=S OAE=m S OEF=S ABCOS OCFSOEA SBEF=2mm12mS OEF =2S BEF2mm12m12mm 22+m 2=0m 1=2m 2=E1k=A6OABC A40BBCyD DB DC=31y=k 0x 0Ck17ABCD BDB DC=31CCOD CkABCDA40BC=4 DB DC=31 B3ODC 1ODOD=C1k= D7I ARIRRIABCDI=32k18I=32k=32=6I=C8xOy y=xy=A a 2B1B2P PyABCPOPOC3P1A a 2y=xA 42A 42y=y=BAB2P PE x E AB CPm Cm mPOC3m |m |=3m P1A a 2y=xa=4A 42A42y=k=8 y=BAB 42192P PE x EABCPm C m mPOC 3 m |m |=3 m=22P22492014122017520162017 3.20.01 1xy2x=520y=3.212.57.2=1836=184 4.5=18 4.54=18 xy18y=2x=5y=3.64 3.6=0.420160.4y=3.23.2=x=5.625 5.63 5.635=0.630.6310y=x+1xyA BABABC1C y=2P 2m PxDPADOABP 1P1A BRt AOBABCA OAC212PAD ABO PAD BAOm P1y=x+1y=0x=x=0y=1AB 01 tan BAO===ABCRt BOA AB=2AC=2C 2C y=k=2=2y=2P 2mAD=OD OA=2=PD=mADP AOB==m=1P 21 PDA AOB ==m=3P23P 23y=3P 23 P 211= P 21P 2122.1.1.2..3.2..3..4.....5...6.1.2(,).3.23. 7.1.2..3.;,,. . .9.1.y.2..32x .10.241(0, ).2(,).3..4312.2.5; .612016y=ax2+bx+cy=ax+b25BC Dy=ax2+bx+ca 0b 0y=ax+by=ax2+bx+ca 0yb 0y=ax+bAa b22017y=x 12+2A x=1 2B x=1 2C x=1 2 Dx=12y=x 12+2 x=1y=226B2017y=ax2+bx+c a 0x=2x30404a b=0c 03a+c 04a 2b at2+bt ty1y2y3y1y2y3A 4B 3C 2D 1H4H3H5HA xxx=1y 0x=2x=2x==24a b=0x3040 1000yyc 0x=1y 0b=4aa b+c=a 4a+c=3a+c 0x=24a 2b+c at2+bt+c 4a 2b at2+bt tx=2y1y3y2B27y=ax2+bx+c a 0aa 0a 0baa bab 0ya bab 0ycyy 0cx=b24ac 0x 2=b24ac=0x 1=b24ac 0x201713A y=x 12+1B y=x+12+1C y=2x 12+1D y=2x+12+1H6y=2x22y=2x 12+1C2017ABC C=90AB=10cm BC=8cm PA ACC 1cm/sQC CB B 2cm/sQBPABQA 19cm2B 16cm2C 15cm2D 12cm2 H7Rt ABCAC=6cmt 0t 4PC=6t cm CQ=2tcmSPABQ=t26t+24PABQRt ABC C=90AB=10cm BC=8cmAC==6cm t 0t 4PC=6t cm CQ=2tcm28S PABQ=S ABC S CPQ=AC BCPC CQ=686t2t=t26t+24=t 32+15 t=3PABQ 15CSPABQ=t26t+24x2017y=ax2+bx+cB 13x A3020b24ac=0a+b+c 02a b=0c a=3A 1B 2C 3D 4HA xH4x0 b24ac 0x=1 x=3x=1x=1 x=3y 0 x=1y=a+b+c 0x==12a b=0B 13y=a b+c=3 y=a 2a+c=3 c a=3B72017y=mx+n y=ax2+bx+c A 1pB 4qxmx+n ax2+bx+cx 1x 429HCx1x 4y=mx+ny=ax2+bx+cmx+n ax2+bx+c x1x 4x 1x 42017EFGH2AE=xEFGHyyxy=2x24x+4HD LEAAS AHE BEFAE=BF=x AH=BE=2xEH2y xABCD 2A=B=90AB=2 1+2=90EFGH HEF=90EH=EF 1+3=90302=3 AHE BEFAHE BEF AAS AE=BF=x AH=BE=2x Rt AHEEH2=AE2+AH2=x2+2x 2=2x24x+4 y=2x24x+40x 2y=2x24x+4yx1 234562.xx2017406010012x xy122502AD1121002x 60[1002x 60]x 40=2250212250y1[1002x 60]x 40=2250x1=65x2=852y=[1002x 60]x 40=2x2+300x 8800y=2x 752+2450x=75y 2450;1.2.3.3120171y=ax2+bx+2x A B y C AB=4OBDC CD=1DC E1 22P EO Py EOG PH EOHPH lP m lm ml3NM M A C NM1A B2EOEPGH=45mPGl3AC AC AC MF MFN AOCM MM ACAC KKMM1OBDC CD=1OB=1 AB=4 OA=3 A30B 10A B32y=x2x+22y=x2x+2y=22=x2x+2x=0x=2E22OEy=x P mm2m+2PG y G m mP OE PG=m2m+2m =m2m+2=m+2+OE y=x PGH=COE=45 l=PG=[m+2+]=m+2+m=l3AC MN ACMN=ACMF ACLALF=ACO=FNM MFN AOCMFN AOC AAS MF=AO=3 M333y=x2x+2x=1 M x y |x+1|=3x=2x=4x=2y=x=4y=M 24AC ACKA 30C 02K 1 NN 1 M xx+1=2=3x=2y=2M22M 24221A B 2PG l3M。
九年级上册数学二次函数笔记
九年级上册数学二次函数笔记
以下是九年级上册数学二次函数的部分笔记，包括定义、图像、性质和公式等：
二次函数定义：一般地，形如$y = ax^{2} + bx + c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a \neq 0$）的函数，叫做二次函数。
二次函数图像：二次函数的图像是一条抛物线。
它的顶点坐标为$(-
\frac{b}{2a}，c-\frac{b^{2}}{4a})$。
二次函数性质：
1. 当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。
2. $b$的值决定了抛物线的对称轴。
如果$b = 0$，则抛物线的对称轴是y 轴。
如果$b \neq 0$，则对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}$。
3. $c$决定了抛物线与y轴的交点。
如果$c = 0$，则抛物线与y轴交于原点。
如果$c > 0$，则抛物线与y轴的正半轴相交。
如果$c < 0$，则抛物线与y轴的负半轴相交。
二次函数公式：
1. 顶点式：$y = a(x - h)^{2} + k$，其中$(h, k)$是抛物线的顶点。
2. 一般式：$y = ax^{2} + bx + c$。
3. 交点式：通过将一般式转换为顶点式或因式分解可以得到。
4. 配方式：将一般式转换为顶点式的一种方法，通过配方得到。
以上是二次函数的基础知识，可以通过做题和复习来加深理解和掌握。
同时也可以结合几何画板等软件来绘制图像，更加直观地理解二次函数的性质和变化规律。
初中二次函数笔记整理
初中二次函数笔记整理
## 一、二次函数定义
二次函数是指在多项式中比较常见的一类函数，其函数式格式如下：
y = ax^2+bx+c (a≠0，a，b，c为实数)
图象中存在一个中心，其横坐标为：-b/(2a)，纵坐标为：f(-b/(2a))；二次函数也
叫做双曲线，分为凸函数和凹函数。
## 二、平行线判断
对于任意两个函数y=f(x)和y=g(x)，如果满足下列情况：
1. 在相同的x值上，f(x)=g(x);
2. 在不同的x值上，f(x)=g(x)+k(k为常数，不变)；
则两个函数y=f(x)和y=g(x)可以表示一个平行线，其斜率为k/(-1)。
1. 问题的数学解决：利用二次函数可以解决很多问题，诸如最大最小值求解；
2. 工程技术的应用：二次函数在工程技术中的应用也是很多的，比如建筑厂房的施
工计划，游乐园的滑梯设计，汽车的前进方程等；
3. 人工智能的算法设计：在机器学习、自然语言处理等人工智能领域，二次函数也
被被广泛应用，比如支持向量机，神经网络算法等；
4. 生物学模型的建立：二次函数也可以被广泛用在生物学模型的建立、模拟等方面，其中可以模拟很多生物行为，比如蛋白质毒性浓度预测，路径规划研究等。
九年级数学二次函数笔记
九年级数学二次函数笔记九年级数学二次函数知识点1什么是二次函数二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
它的定义是一个二次多项式(或单项式)。
如果令y值等于零，则可得一个二次方程。
该方程的解称为方程的根或函数的零点。
2二次函数的表达式一般式：y=ax²+bx+c (a≠0)顶点式：y=a(x-h)²+k 顶点坐标为(h,k)交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) 函数与图像交于(x₁，0)和(x₂，0)3二次函数顶点式及推导过程二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4ay=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)4二次函数的图像1.二次函数图像是轴对称图形，对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。
a,b同号，对称轴在y轴左侧; a,b异号，对称轴在y轴右侧。
2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)。
3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图象向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
4.二次函数图像与y轴交于(0,C)点注意：顶点坐标为(h,k)，与y轴交于(0,C)。
5二次函数的平移规律口诀加左减右，加上减下。
y=a(x+b)²+c，只要将y=ax²的函数图像按以下规律平移。
(1)b>0时，图像向左平移b个单位(加左)。
初中函数知识点总结
初中函数知识点总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)（一）平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0；第二象限：（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0；第三象限：（-，-）点P（x,y），则x＜0,y＜0；第四象限：（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0；3、坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0,0）。
两坐标轴的点不属于任何象限。
4、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x轴的对称点坐标是(m,-n),横坐标相同，纵坐标反号关于y轴的对称点坐标是(-m,n)纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n)横，纵坐标都反号5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。
6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
7、点P （x,y ）的几何意义：点P （x,y ）到x 轴的距离为|y|，点P （x,y ）到y 轴的距离为|x|。
点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x + 8、两点之间的距离：X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -=Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|||12y y -=已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=212212)()(y y x x -+-9、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点则：M=(212x x +,212y y +) 10、点的平移特征：在平面直角坐标系中，将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（x-a ，y ）；将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）；将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）；将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。
正比例、一次函数笔记
正比例函数、一次函数、反比例函数（一）正比例函数：1、一般形式：y=kx (其中k是比例系数，k≠0)2、图像：是一条经过原点的直线。
3、简单作图：（0,0）、（1，k）4、性质：当k＞0时，图像经过一、三象限；y随x的增大而增大；当k＜0时，图像经过二、四象限；y随x的减小而减小。
5、特殊的直线：一、三象限的角平分线：y=x;二、四象限的角平分线：y=-x（二）一次函数：1、一般形式：y=kx +b(其中k、b是常数，k≠0)2、图像：当b≠0时，是一条不经过原点的直线，当b=0时，图像是经过原点的直线。
3、直线与坐标轴的交点：与x轴的交点（bk-，0）；与y轴的交点（0，b）4、简单作图：（bk-，0）、（0，b）5、k、b的几何意义：k决定直线的倾斜程度：当k＞0时，图像从左向右上升；当k＜0时，图像从左向右下降。
b是直线与y轴交点的纵坐标：当b＞0时，直线与y轴的交点在正半轴；当b＜0时，直线与轴的交点在负半轴。
6、性质：（1）当k＞0时，图像从左向右上升， y随x的增大而增大；当k＜0时，图像从左向右下降， y随x的增大而减小。
（2）当b＞0时，直线与y轴的交点在正半轴；当b＜0时，直线与y轴的交点在负半轴。
（3）经过的象限：与k、b都有关。
一般根据k、b的几何意义，先确定b对应的大致位置，再确定k对应的倾斜程度,画出大概图像，从而决定经过的象限。
这也是画大致图像的方法。
（三）反比例函数：1、一般形式：y=kx(其中k是常数，k≠0)，还有：y=kx-1、xy=k 、x=ky、等。
2、图像：是双曲线。
3、性质：当k＞0时，图像位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图像位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
4、k的几何意义：︱k︱=S矩形或︱k︱=2S△（其中，S矩形指过双曲线上任意一点作x、y轴的垂线，这两条垂线和坐标轴围城的矩形的面积。
而S△是（四）待定系数法具体步骤：1、设。
初三二次函数笔记整理
初三二次函数笔记整理一、定义与性质1.二次函数的一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 为常数，且 a≠0。
2.二次函数的对称轴是 x=-b/2a。
3.二次函数的顶点坐标为 (-b/2a, c-b^2/4a)。
4.二次函数图像的开口方向由系数 a 决定：若 a>0，开口向上；若 a<0，开口向下。
5.二次函数与 x 轴的交点为方程 ax^2+bx+c=0 的根，即解这个一元二次方程得到。
二、图像与性质1.二次函数的图像是一个抛物线。
2.当 a>0 时，抛物线开口向上，有最小值；当 a<0 时，抛物线开口向下，有最大值。
3.二次函数与 y 轴的交点为 (0,c)，与 x 轴的交点为 (-b/a, 0) 和 (b/a, 0)。
4.当 a>0 时，抛物线在对称轴左侧下降，右侧上升；当 a<0 时，抛物线在对称轴左侧上升，右侧下降。
5.若抛物线与 x 轴有两个不同的交点，则抛物线与 x 轴的交点为这两个根。
三、应用与实例1.利用二次函数求最值：将二次函数化为顶点式 y=a(x-h)^2+k，当 x=h 时，k 为最值。
2.利用二次函数解一元二次方程：求抛物线 y=ax^2+bx+c 与 x 轴的交点，即令 y=0，解得 ax^2+bx+c=0 的根。
3.利用二次函数的性质比较大小：根据抛物线的开口方向、顶点坐标或与坐标轴的交点位置比较两个二次函数的大小。
4.利用二次函数解决实际问题：例如，求物体运动的距离、速度或加速度等随时间变化的规律等。
四、练习与提高1.多做各种形式的二次函数题目，包括选择题、填空题和解答题。
2.对于不同类型的题目，总结和掌握其解题方法和技巧。
3.学会将二次函数与其他数学知识结合运用，如与一元一次方程、一元一次不等式等结合求解问题。
初三中考数学函数考点笔记
初三中考数学函数考点笔记
函数：函数是一种特殊的数学关系，它把具有某种规律的一组数据点（即自变量的值）映射到另一组数据点（即因变量的值）上。
【二、幂函数】
定义：幂函数是一种特殊的函数，形如 y = axn（其中 n 为自然数）的函数称为指数函数（或幂函数）。
特征：
1、若 a > 0，则 y = axn 在 (0,+∞) 内单调递增；
2、若 a < 0，则 y = axn 在 (0,0) 和 (0,+∞) 之间先减后增；
3、当 a ≠ 0 时，自变量 x 的增加或减小对应因变量 y 的增加或减小幅度均不断变大。
【三、对数函数】
定义：形如 y = logax（a > 0，a ≠ 1）的函数称为对数函数。
特征：
1、loga x 的倒数是 ax，即 (loga x)^(-1) = ax ；
2、loga x 在 (0,+∞) 内单调递减；
3、当 a 和 x 的增加或减小时， loga x 的变化幅度越来越小。
- 1 -。
初中三角函数笔记
初中三角函数笔记
1.三角函数的基本概念
-角的概念：度、分、秒与弧度制
-三角形中的角度关系（内角和为180度，周角为360度）
-弧度的定义：一周圆的弧长等于半径长度时，所对应的圆心角为一弧度
2.直角三角形中的三角函数
-正弦函数（sin）：对于任意直角三角形，正弦值等于对边长度除以斜边长度。
sin（θ）=对边/斜边
-余弦函数（cos）：对于任意直角三角形，余弦值等于邻边长度除以斜边长度。
cos（θ）=邻边/斜边
-正切函数（tan）：对于任意直角三角形，正切值等于对边长度除以邻边长度。
tan（θ）=对边/邻边=sin（θ）/cos（θ）
3.特殊角的三角函数值
-0°、30°、45°、60°、90°等特殊角度的正弦、余弦、正切值的记忆。
4.三角函数图像及其性质
-正弦函数y=sin（x）、余弦函数y=cos（x）、正切函数y=tan （x）在单位圆中的定义以及它们的周期性、奇偶性、单调性等基本性质。
-利用坐标轴上的点与单位圆上的点对应关系画出这些函数的图像。
5.三角函数的运算规律
-同角三角函数的基本关系：
sin²θ+cos²θ=1
1+tan²θ=sec²θ
cot²θ+1=csc²θ
-诱导公式（角度的加减、倍角公式、半角公式等）。
6.应用问题
-解决实际生活中的高度、距离等问题，如测量塔高、船距海岸线的距离等。
-在平面直角坐标系中，利用三角函数求解点的位置、距离和角度等。
九年级数学上册笔记
九年级数学上册笔记一、二次函数。
1. 二次函数的概念。
- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b = 3，c=-1。
2. 二次函数的图象。
- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。
- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 抛物线y = ax^2+bx + c(a≠0)的对称轴为直线x =-(b)/(2a)，顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
3. 二次函数的性质。
- 当a>0时：- 在对称轴左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小；- 在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大；- 函数有最小值，当x =-(b)/(2a)时，y_min=frac{4ac - b^2}{4a}。
- 当a < 0时：- 在对称轴左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大；- 在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小；- 函数有最大值，当x =-(b)/(2a)时，y_max=frac{4ac - b^2}{4a}。
4. 二次函数图象的平移。
- 抛物线y = a(x - h)^2+k(a≠0)的图象可以由y = ax^2(a≠0)的图象平移得到。
- 向左平移m个单位时，h+m；向右平移m个单位时，h - m；向上平移n个单位时，k + n；向下平移n个单位时，k - n。
5. 二次函数与一元二次方程。
- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，当y = 0时，ax^2+bx + c = 0(a≠0)，此时方程的解就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。
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反比例函数
形式：y=k/x（k为常数）图像：双曲线
特点：x，y皆不为0，曲线与两坐标轴无交点
性质：1.当k>0，y随x增大而减小
k<0，y随x增大而增大
2.当k>0，双曲线于一三象限
当k<0，双曲线于二四象限
3.｜k｜越大，双曲线距离原点越远
4.设双曲线有四个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）
k>0时，x1>x2>0，则y1>y2>0（一象限）
x4<x3<0，则y4<y3<0（三象限）
k<0则反之
一次函数
形式：y=kx+b 图像：直线
当b=0，为正比例函数，即y=kx
性质：1.当k>0时，y随x增大而增大
2.当k<0时，y随x增大而减小
k决定形状，b决定位置
1.当k>0，图像成撇状（必过13象限）k<0，图像呈捺状（必过24象限）
2.当b>0，图像于原点上方，b<0，图像于原点下方
求解析式：1.待定系数法（待定两点）
2.特殊方法：
b为图像与y轴交点，k为直线斜率
斜率计算（前提已知y轴交点）：k=某点纵坐-y轴截距/某点横坐
锐角三角函数
定义：设角A（0<A<90）
正弦：sinA=A对边/斜边（0<sinA<1）
余弦：cosA=A邻边/斜边（0<cosA<1）
正切：tanA=A对边/邻边（tanA>0）
余切：ctgA=A邻边/对边（ctgA>0）
性质：当A在0～90变化时
sinA随A增大而增大
cosA随A增大而减小
tanA随A增大而增大
ctgA随A增大而减小
关系式：sinA^2+cosA^2=1，sinA=cosA•tanA
sin（90-A）=cosA，cos（90-A）=sinA
tan（90-A）=ctgA，ctg（90-A）=tanA
sinA•cosA=1，tanA•ctgA=1
应用：（对于任何三角形）
正弦定理：A对边/sinA=B对边/sinB=C对边/sinC=2R（R为外接圆直径）余弦定理：b^2=a^2+c^2-2bc•cosB，c^2=a^2+b^2-2ab•cosC
等腰三角形腰与底长度比：sin1/2A（A为等腰三角形顶角）
任意三角形面积公式：S=1/2ab•sinC=1/2bc•sinA=1/2ac•sinB
二次函数
形式：y=ax^2+bx+c。
图像：抛物线
抛物线三要素：顶点，对称轴，开口方向
二次函数计算问题
1.顶点，对称轴：顶点坐标（-b/2a，4ac-b/4a），对称轴x=-b/2a
2.交点：y轴交点（0，c），x轴交点为一元二次方程ax^2+bx+c=0两根
3.x轴交点间距：｜x1-x2｜=根号下（b^2-4ac）/｜a｜
图像与性质（对于y=ax^2+bx+c）
1.二次项系数a决定开口
a>0，开口向上，0<a，开口向下，
｜a｜越大，开口越小
2.系数a，b共同决定对称轴位置
a、b同号（ab>0），对称轴于y轴左侧，a、b异号对称轴于y轴右侧
3.a>0时，对称轴左侧：y随x增大而减小
对称轴右侧：y随x增大而增大
a<0则反之
4.根判别式（b^2-4ac）决定与x轴交点
当b^2-4ac>0时，与x轴有两个交点
当b^2-4ac=0时，只有一个交点（顶点）
当b^2-4ac<0时，与x轴无交点
待定系数法求解析式：
1.一般式：y=ax^2+bx+c（待定两点与y轴截距）
2.顶点式：y=a（x-h）^2+k（h，k为顶点坐标，代入顶点即可）
3.交点式：y=a（x-p）（x-l）（p，l为两交点，代入交点横坐标即可）
二次不等式解法
设x1与x2为ax^2+bx+c=0两根（x1>x2）
ax^2+bx+c>0，x2<x<x1
ax^2+bx+c<0，x1<x<x2。