直线的倾斜角与斜率、直线的方程(学案教师版)

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直线的倾斜角和斜率--教案二：第一课时

直线的倾斜角和斜率--教案二：第一课时●教学目标(一)教学知识点1.“直线的方程”与“方程的直线”的概念.2.直线的倾斜角和斜率.3.斜率公式(二)能力训练要求1.了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念.2.理解直线的倾斜角和斜率的定义.3.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率.4.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的相互联系.2.用联系的观点看问题.●教学重点直线的倾斜角和斜率概念.●教学难点斜率概念理解与斜率公式.●教学方法学导式本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的方程与方程的直线概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是由于进一步研究直线方程的需要.在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学生注重导求倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系.在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，应以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口.●教具准备投影片三张第一张：“直线的方程”与“方程的直线”概念（记作§7.1.1 A）第二张：斜率公式推导过程（记作§7.1.1 B）第三张：本节例题（记作§7.1.1 C）●教学过程Ⅰ.课题导入［师］在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾，一次函数的图象有何特点?［生］一次函数形如y＝kx＋b，它的图象是一条直线.［师］如果我们现在对于一给定函数y＝2x＋1，如何作出它的图象.［生］由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两点即可.［师］这两点与函数式y＝2x＋1有何关系?［生］这两点就是满足函数式的两对x，y值.［师］好，这一同学回答的完全正确.从上述作图过程可以看出，满足函数式y＝2x＋1的每一对x，y的值都是函数y＝2x＋1的图象上的点，也就是一条直线上的点；同样，这条直线上的每一点的坐标都满足函数式y＝2x＋1.因此，我们可以得到这样一个结论：一般地，一次函数y＝kx＋b 的图象是一条直线，它是以满足y ＝kx ＋b 的每一对x 、y 的值为坐标的点构成的.由于函数式y ＝kx ＋b 也可以看作二元一次方程.所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.［师］有了上述基础，我们也就不难理解“直线的方程”和“方程的直线”的基本概念. Ⅱ.讲授新课1.直线方程的概念：(给出投影片§7.1.1 A)以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.［师］在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率.下面，请同学们通过自学了解直线的倾斜角与斜率的有关概念，并注意它们的变化范围.2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.［师］因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８0°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示. 为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的概念辨析题.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的.A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C.平行于x 轴的直线的倾斜角是0或π；D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).［生］上述说法中，E 正确，其余均错误，原因如下：A.与x 轴垂直的直线倾斜角为2π，但斜率不存在；B.举反例说明，120°＞30°，但ta n120°＝－3＜tan30°＝33；C.平行于x 轴的直线的倾斜角为0；D.如果两直线的倾斜角都是2π，但斜率不存在，也就谈不上相等.［师］通过上面的练习，我们可以总结出如下几点(板书)说明：①当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８0°；③倾斜角是90°的直线没有斜率.［师］下面我们对于“两点确定一条直线”这一事实，研究怎样用两点的坐标来表示直线的斜率.3.斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2（x 2，y 2）的直线的斜率公式：k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2） (给出投影片§7.1.1 B)推导：设直线P 1P 2的倾斜角是α，斜率是k ，向量21P P 的方向是向上的(如上图所示).向量21P P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1).过原点作向量21P P OP =，则点P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1)，而且直线OP 的倾斜角也是α，根据正切函数的定义，tan α＝1 212x x y y --（x 1≠x 2）即k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2）同样，当向量12P P 的方向向上时也有同样的结论.［师］下面通过例题讲评逐步熟悉斜率公式.4.例题讲解：［例1］如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.分析：对于直线l 1的斜率，可通过计算tan30°直接获得，而直线l 2的斜率则需要先求出倾斜角α2，而根据平面几何知识，α2＝α1＋90°，然后再求tan α2即可.解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝tan （1８0°－60°）＝－tan60°＝－3.评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.［例2］直线经过点A (sin70°，cos70°)，B （cos ４0°，sin ４0°），则直线l 的倾斜角为( )A.20°B.４0°C.50°或70°D.120°参考公式：sin α－sin β＝2cos 2βα+sin 2βα-，cos α－cos β＝－2sin 2βα+ｓi ｎ2βα-. 分析：若想求出l 的倾斜角，则应先由斜率公式求出l 的斜率.思路较为明确，但关键在于运用斜率公式后三角函数的变形.考虑到这一点，题目给出两个参考公式，但仍对学生解题的灵活性有一定要求，其中，若想利用参考公式，需要对分子、分母进行函数名的统一、希望给予学生一定的启示.解：设l 的倾斜角为α，则tan α＝?-??-?40cos 70sin 40sin 70cos 3)10sin(30sin 2)10sin(30cos 240cos 20cos 40sin 20sin -=?-?-?-?=?-??-?=又α∈［0，π］∴α＝120°故选D.［师］接下来，我们通过练习来熟悉已知直线的倾斜角求斜率，并明确倾斜角变化时，斜率的变化情况.Ⅲ.课堂练习1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝0°；（2）α＝60°(3)α＝90°；（４）α＝43π 分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.解：(1)∵tan0°＝0∴倾斜角为0°的直线斜率为0；(2)∵tan60°＝3∴倾斜角为60°的直线斜率为3；(3)∵tan90°不存在∴倾斜角为90°的直线斜率不存在；(4)∵tan43π＝tan （π－4π）＝－tan 4π＝－1，∴倾斜角为43π的直线斜率为－1. 2.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：(1)0°＜α＜90°解：作出y ＝tan α在(0°，90°）区间内的函数图象；由图象观察可知：当α∈（0°，90°），y ＝tan α＞0，并且随着α的增大，y 不断增大，｜y ｜也不断增大.所以，当α∈（0°，90°）时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.(2)90°＜α＜1８0°解：作出y ＝tan α在(90°，1８0°）区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈(90°，180°），y ＝tan α＜0，并且随着α的增大，y＝tan α不断增大，｜y ｜不断减小.所以当α∈（90°，1８0°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.［师］针对此题结论，虽然有当α∈（0°，90°），随着α增大直线斜率不断增大；当α∈（90°，1８0°），随着α增大直线斜率不断增大，但是当α∈（0°，90°）∪（90°，1８0°）时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论.原因在于正切函数y ＝tan α在区间(0，90°）内为单调增函数，在区间(90°，1８0°）内也是单调增函数，但在(0°，90°）∪（90°，1８0°)区间内，却不具有单调性.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率，理解斜率公式的推导，为下一节斜率公式的应用打好基础.Ⅴ.课后作业(一)课本P 37习题7.11.在同一坐标平面内，画出下列方程的直线：l 1：2x ＋3y －6＝0 l 3：2x ＋3y ＋6＝0l 2：2x －3y ＋6＝02.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝30°；（2）α＝４5°；（3）α＝65π；（４）α＝32π；（5）α＝８9°；（6）α＝2. 解：(1)∵tan30°＝3 3，∴直线斜率为33；(2)∵tan ４5°＝1，∴直线的斜率为1；(3)∴tan 65π＝－tan 6π＝－33，∴直线斜率为－33；(4)∵tan 32π＝－tan 3π＝－3，∴直线斜率为－3；(5)∵tan ８9°＝57.29，∴直线的斜率为57.29. (6)∵tan2＝－2.1８４，∴直线的斜率为－2.1８４.(二)1.预习内容：斜率公式2.预习提纲：尝试总结斜率公式的特点. ●板书设计。

《直线的倾斜角与斜率》优质课比赛说课教案2018版

直线的倾斜角与斜率一、内容分析本节是人教版数学必修2 第三章《直线与方程》第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时——3.1.1 倾斜角与斜率. 它是高中平面解析几何内容的开始，起着承上启下的重要作用. 本课时的学习不仅为研究直线方程、两直线的位置关系、点到直线的距离等本章的后续内容打下基础，而且也为以后进一步学习其他数学知识奠定思想和方法的基础. 直线的倾斜角是这一章所有概念的基础，而这一章的概念核心是斜率，理解二者之间的关系将是学此章的关键. 过两点的直线的斜率公式要讲透两点，其一是斜率的表象是一种比值，要让学生理解这种表达式，为两条直线垂直时斜率有何关系、导数的概念作好铺垫；其二是斜率的本质是与所取的点无关.二、目标分析1．知识与技能：使学生正确理解倾斜角与斜率的概念，理解二者之间的关系，会求过两点的直线的斜率；2．过程与方法：通过对倾斜角与斜率的探讨，培养学生分类讨论的思想，体验“坐标法”，感受数形结合思想；3．情感、态度与价值观：在探索倾斜角与斜率的关系过程中，明确倾斜角的变化对斜率的影响，并在其中体验严谨的治学态度．三、学生情况分析学生已经学习了一次函数（直线），对直线的倾斜角会具有直观的认同感；三角函数为解决斜率的引入和斜率公式的推导提供了知识的支持. “直线的倾斜角和斜率” 一节是解析几何的入门课，学生对几何的认识仅仅停留在初中所学的直观图形的感性阶段，因此教学时要从学生最熟悉的图形和事例入手，去研究刻画直线性质的量——倾斜角与斜率，将会让学生学会用代数方法研究几何图形的性质.四、教学重难点分析重点：倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率公式.难点：倾斜角概念形成，斜率概念的理解.倾斜角概念的形成对学生来说有点困难. 为了突破这个难点，在教学过程中引导学生观察过一点的不同直线的区别，从中形成倾斜角的概念.对斜率概念的理解是本节的难点，为什么要用倾斜角的正切定义斜率对学生来说也有一定困难. 教学中通过日常生活的例子，充分利用学生已有的知识——坡度概念，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念.五、教学条件分析考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲解和演示相结合，可以更有效地实现教学目标. 因此教学地点选择多媒体教室.学生在课前要复习一次函数以及正切函数图象与性质等有关知识，并对本节内容进行预习，教师要准备好多媒体课件.六、教学过程设计（一）课题引入在平面直角坐标系内，画出几条相对于x 轴位置关系不同的几条直线，引导学生观察思考，它们有何不同？确定一条直线的位置需要哪些条件呢？【设计意图】学生在教师“问题串”的引导下去思考，引出本节的课题.（二）探究新知1. 倾斜角概念探究1:如图1,对于平面直角坐标系内的一直线I，你认为它的位置由哪些条件确定呢？师生活动：教师可以固定直线上某一点旋转直线，引导学生发现：经过一点可以作无数条直线，即过一点不能确定一条直线的位置y k/ \/ ■ 0 \ > 0A / 图1/ \ ® 2 【设计意图】明确探究方向：探索确定直线位置的几何要素.探究2：如图2,在平面直角坐标系中，过点 P i 的不同直线的区别在哪里？师生活动：学生思考，必要时教师可以提示学生观察直线相对于 x 轴的倾斜程度•【设计意图】引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同•从而发现直线上一点和直线的倾斜程度能确定一条直线•探究3：在直角坐标系中，任何一条直线与 x 轴都有一个相对倾斜度，怎么描述直线的倾斜程度呢？师生活动：教师板书倾斜角的概念，展示几个倾斜角不同的直线，让学生找出其倾斜角•【设计意图】探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念.2. 斜率的概念探究4：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量?师生活动：引导学生在生活中举例，比如，山坡，楼梯等，展示图3和图4.图3图4【设计意图】结合学生的生活经验寻找表示直线倾斜程度的量.让学生体会数学概念来自于日常生活.探究5：日常生活中，我们经常能够用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度” •如果使用“倾斜角”的概念，你认为“坡度”和“倾斜角”有什么关系？由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？师生活动：教师展示图5,学生思考讨论，教师引导总结并板书斜率概念.【设计意图】探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念.探究6:是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？师生活动：根据斜率和倾斜角的关系式，结合图6探究用斜率表示直线的倾斜程度时应该注意的地方•比如：倾斜角为90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，斜率也不同•【设计意图】沟通数形关系，加深概念理解，明确可以用斜率表示直线的倾斜程度•3.倾斜角和斜率的变化关系探究7:结合图7所示的“几何画板”课件，探究直线的倾斜角和斜率的变化关系.师生活动：教师或学生操作演示“几何画板”课件，观察直线的倾斜角和斜率的变化情况，完成相关问题.探究1:直线的斜率、倾斜角的变化关系点击“点B 运动”的动画按钮，观察直线 00的位置，以及它的斜率和倾斜角的变化。

高三数学上学期解析几何 1直线的倾斜角与斜率教学案(无答案) 教学案

直线的倾斜角与斜率【教学目标】直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系【教学重点】直线的倾斜角和斜率的概念，两点的直线斜率的计算公式．【教学难点】直线的斜率和倾斜角之间关系的理解，并求斜率和倾斜角的范围．【教学过程】一、知识梳理： 1．直线的斜率（1）斜率的定义：已知两点),(),,(2211y x Q y x P ，如果21x x ≠,那么直线PQ 的斜率为______=k ；如果21x x =,那么直线PQ 的斜率___________. （2）直线的斜率与直线的方向的对应关系：（1）定义:在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为；倾斜角的范围为．3．斜率k 与倾斜角α的关系：二、基础自测：1．直线l 经过原点和点(-1，-1)，则它的倾斜角是．2．若直线的方程是(m 2-2m -3)x +(2m 2+m -1)y =m +5(m ∈R )，其倾斜角为45°，则实数m 的值为． 3．经过两点(,2),(,21)A m B m m --的直线的倾斜角为60•，则m 的值为．4．直线x sin α－y ＋1＝0（R ∈α）的倾斜角的取值范围是．三、典型例题：反思：例1．（1）已知两点)6,4(),2,1(B A ，则直线AB 斜率为_________；（2）已知直线l 的倾斜角为120，则l 的斜率为__________.【变式拓展】（1）已知两点)2,(),2,1(+a a B A ，求直线AB 斜率；（2）已知直线l 倾斜角的正弦值是23，求l 的斜率.例2．已知直线l 的倾斜角⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈3,6ππα，求l 的斜率的取值范围.【变式拓展】（1）已知直线l 的倾斜角⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈65,22,4ππππα，求l 的斜率的取值范围；（2）已知直线l 的斜率k 存在，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,33k ，求l 的倾斜角的取值范围.例3．已知直线l 过)3,1(-P ，且与以)3,3(),2,2(--B A 为端点的线段相交，求l 的倾斜角和斜率的取值范围.【变式拓展】已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．四、课堂反馈：1．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点.则直线l 的倾斜角的取值范围为． 2．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是． 3．已知点A (－1，－5)，B (3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为．4．（1）若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为．（2）直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是．五、课后作业：学生姓名：___________ 1．经过两点(,6),(1,3)A m B m -的直线的斜率是14，则m 的值为． 2．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________．3．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π则k 的取值范围是________．4．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是________． 5．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝．6．（1）直线2x cos α－y －3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的取值范围．（2）已知直线l 的斜率k 存在，且11k -≤≤，则l 的倾斜角α∈ ．7．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是． 8．函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为________．9．已知点A (2，3)，B (－5，2)，若直线l 过点P (－1，6)，且与线段AB 相交，求直线l 倾斜角的取值范围．10．已知线段PQ 两端点的坐标分别为(1,1),(2,2)-，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 有交点，求实数m 的取值范围.11．已知曲线14+=xe y 上任意一点P 处的切线的倾斜角为α，求α的取值范围.12．某实验室某一天的温度（单位：C ︒）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()9sin1212f t t t ππ=-，[)0,24t ∈．（1）求实验室这一天里，温度降低的时间段；（2）若要求实验室温度不高于10C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？。

2021届高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程创新教学案含解析

第八章平面解析几何第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程[考纲解读］ 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系．（重点)2．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等），并了解斜截式与一次函数的关系．（难点）[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是命题的热点，但很少独立命题．预测2021年高考对本讲内容将考查:①直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查,难度不大。

1。

直线的斜率(1）当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即错误!k ＝tanα。

当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．（2)斜率公式给定两点P1(x1,y1）,P2（x2,y2)(x1≠x2)，经过P1,P2两点的直线的斜率公式为错误!k＝错误!.2．直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点（x1，y1）错误!y－y1＝k（x－x1)直线不垂直于x轴斜截式斜率k与直线在y轴上的截距b错误!y＝kx＋b直线不垂直于x轴两点式两点（x1,y1），(x2，y2）错误!错误!＝错误!（x1≠x2,y1≠y2)直线不垂直于x轴和y轴截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b错误!错误!＋错误!＝1（a≠0，b≠0)直线不垂直于x轴和y轴,且不过原点一般式—错误!Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）任何情况1．概念辨析（1）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α。

( )（2）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3）经过点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( ）(4)经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)（x2－x1）＝(x－x1）（y2－y1)表示．（）答案(1）×(2)×（3)×（4）√2．小题热身(1）直线l经过原点和点（－1，－1),则直线l的倾斜角是( ）A．45° B．135°C．135°或225° D．60°答案A解析由已知,得直线l的斜率k＝错误!＝1，所以直线l的倾斜角是45°.(2）在平面直角坐标系中，直线错误!x＋y－3＝0的倾斜角是（)A.错误!B。

《直线的倾斜角和斜率》教案(公开课)

《直线的倾斜角和斜率》教案(公开课)直线的倾斜角和斜率直线的斜率和倾斜角是数学中的重要概念，它们帮助我们理解和描述直线的特性。

本文将介绍直线的倾斜角和斜率的概念，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。

1. 斜率的定义和计算方法斜率是直线上的两个点之间纵坐标变化量与横坐标变化量的比值。

用数学符号表示，斜率可以表示为：m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)其中，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两个点。

例如，有一条直线上的两个点分别为A(1, 2)和B(4, 5)，我们可以计算这条直线的斜率：m = (5 - 2)/(4 - 1)= 3/3= 1所以，这条直线的斜率为1。

2. 斜率的特性斜率可以帮助我们判断直线的特性，如下所示：- 当斜率为正数时，直线是向上倾斜的。

斜率越大，直线的倾斜程度越大。

- 当斜率为负数时，直线是向下倾斜的。

斜率越小，直线的倾斜程度越大。

- 当斜率为0时，直线是水平的。

- 当斜率不存在（除数为0）时，直线是垂直的。

通过计算直线的斜率，我们可以快速了解直线的倾斜情况，并对其特性进行分析。

3. 倾斜角的定义和计算方法倾斜角是直线与水平线之间的夹角，用数学符号表示为θ。

对于任意一条直线，可以通过其斜率来计算倾斜角。

倾斜角的计算方法如下：- 当直线向上倾斜时，倾斜角为θ = arctan(m)。

- 当直线向下倾斜时，倾斜角为θ = arctan(m) + π。

- 当直线是水平的时，倾斜角为θ = 0。

- 当直线是垂直的时，倾斜角不存在。

4. 实例分析让我们通过几个实例来进一步理解直线的倾斜角和斜率。

实例一：有一条直线通过点A(-2, 1)和B(4, 9)。

计算直线的斜率和倾斜角。

通过斜率的计算公式，我们可以得到直线的斜率：m = (9 - 1)/(4 - (-2))= 8/6= 4/3接下来，我们可以计算直线的倾斜角：θ = arctan(4/3)实例二：有一条直线通过点C(3, 2)和D(3, 8)。

2022数学第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率直线的方程教师文档教案文

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程授课提示：对应学生用书第150页[基础梳理］1．直线的倾斜角(1）定义:(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：[0，π）．2条件公式直线的倾斜角θ，且θ≠90°k＝tan__θ直线过点A(x1，y1），B（x2，y2) 且x1≠x2k＝y1－y2 x1－x23.条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1＝k2k1与k2都不存在垂直k1k2＝－1k1与k2一个为零、另一个不存在4。

直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点（x1，y1）y－y1＝k(x－x1）不含直线x＝x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1,y1），(x2，y2)错误!＝错误!（x1≠x2,y1≠y2)不含直线x＝x1（x1＝x2)和直线y＝y1（y1＝y2)截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b错误!＋错误!＝1(a≠0，b≠0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0）平面直角坐标系内的直线都适用5.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1,y1),(x2，y2）,线段P1,P2的中点M的坐标为（x，y)，则错误!此公式为线段P1P2的中点坐标公式．1．斜率与倾斜角的两个关注点(1）倾斜角α的范围是［0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为k ＝tan α，图像为：(2）当倾斜角为90˚时,直线垂直于x轴，斜率不存在．2．直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0。

[四基自测]1．（基础点：根据两点求斜率）过点M（－2，m)，N(m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为(）A．1B．4C．1或3 D.1或4答案:A2．（基础点:直线的倾斜角与斜率的关系）直线x＋错误!y＋1＝0的倾斜角是()A.错误!B．错误!C。

《直线的倾斜角和斜率》说课稿(附教学设计)

《直线的倾斜角和斜率》说课稿一、教材分析1、教材分析本节课是人教版数学必修第一节直线的倾斜角和斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。

直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。

通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。

直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念。

直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。

建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。

本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。

倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。

2、教学的目标定位在此之前，学生已经对直线有了直观的认识，如：两点确定一条直线，它具有平直性，并向两方无限延伸等。

但是这只是定性的研究，用这种方法，并不能具体刻画或描述一条直线。

在初中阶段，学生也认识了一次函数的图象是一条直线，但研究途径是先有数量关系（一次函数表达式），后建立其直观表示：直线。

在解析几何中，我们是先有图形（或曲线），然后根据图形（或曲线）的几何特征确定图形（或曲线）的代数表达式——方程。

因此，本节课的主要目的就是让学生在已有知识的基础上，将直线放入平面直角系，利用代数方法对它进行研究，从中体会解析几何的一些重要的数学思想。

高二数学直线的倾斜角和斜率2(教师版)

学科教师辅导讲义【课堂小练】一．选择题：1．下列命题正确的是（）（A ）若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应（B ）若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应（C ）直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan k （D ）直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tanα 2．过点M (–2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为–21，则a 等于（）（A ）–8 （B ）10 （C ）2 （D ）4 3．过点A (2, b )和点B (3, –2)的直线的倾斜角为43π，则b 的值是（）（A ）–1 （B ）1 （C ）–5 （D ）54．如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则（）（A ）k 1<k 2<k 3 （B ）k 3<k 1<k 2 （C ）k 3<k 2<k 1 （D ）k 1<k 3<k 25．已知点M (cosα, sinα), N (cosβ, sinβ)，若直线MN 的倾斜角为θ，0<α<π<β<2π, 则θ等于（）（A ）21(π+α+β) （B ）21(α+β) （C ）21(α+β–π) （D ）21(β–α) 6．若直线l 的斜率为k =–ab(ab >0)，则直线l 的倾斜角为（）（A ）arctan a b （B ）arctan(–a b ) （C ）π–arctan a b （D ）π+arctan ab【参考答案】1—6、ABABCC. 二．填空题：7．已知三点A (2, –3), B (4, 3), C (5,2m)在同一直线上，则m 的值为 . 8．已知y 轴上的点B 与点A (–3, 1)连线所成直线的倾斜角为120°，则点B 的坐标为 . 9．若α为直线的倾斜角，则sin(4π–α)的取值范围是 10．已知A (–2, 3), B (3, 2)，过点P (0, –2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 .【参考作案】7、 12. 8、（0，-2）. 9、2[1,].2- 10、54(,).23-三．解答题11．求经过两点A (2, –1)和B (a , –2)的直线l 的倾斜角。

高中数学_3.1 直线的倾斜角与斜率教学设计学情分析教材分析课后反思

直线的倾斜角与斜率一、教学内容与目标1、内容：直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线的斜率公式2、目标：①初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想②理解直线倾斜角与斜率的概念③掌握过两点的直线的斜率公式二、知识背景与内容引导1、情境引入：以“爱心”曲线r=a(1-sinθ)为引子，介绍解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想。

进一步了解解析几何的基本内涵和方法，设计意图：感悟本章的“灵魂”，打好开章之局，统领全局。

为后续的学习探究“埋好暗线”。

2、明确目标：以思想方法为指引，明确本节课的学习目标，开启本节课的探索学习。

我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，以实现通过代数运算来研究几何图形性质的目的。

问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？设计意图：明确几何与解析几何研究内容的一致，方法的区别。

三、知识探究【一】用倾斜角刻画直线的位置问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？（预设，还有没有其他确定一条直线的方法？）问题3：我们利用直角坐标系进一步确定直线位置的几何要素。

观察下图中经过定点p的直线束，他们的区别是什么？你能利用直角坐标系中的一些元素讲这些直线区分开么？追问：如何表示这些直线的方向？能否利用图中的元素确定它的方向？生成：构建概念倾斜角：追问：你认为直线的倾斜角在什么范围：规定：自主测试1.下列图中表示直线倾斜角为( )3.如图所示，直线l 的倾斜角为()A ．45°B ．135°C ．0°D ．不存在3.已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°,则直线l 的倾斜角为__________ 设计意图：正确理解应用倾斜角，明确倾斜角对直线方向的刻画。

【二】推导直线的斜率公式问题4：直线l 的倾斜角刻画了它的倾斜程度，是否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢？探究：直线l 可由其上任意两点)(),(),,(21222111x x y x P y x P ≠其中唯一确定，可以推断，直线l 的倾斜角一定与21,P P 两点的坐标有内在联系。

直线的倾斜角与斜率学案导学案课件

直线的倾斜角与斜率一、教学目标：1、理解直线倾斜角的定义、范围和斜率；2、掌握过两点的直线斜率的计算公式；3、能用公式和概念解决问题。

二、教学重、难点：重点：直线的倾斜角和斜率难点：直线的斜率公式及应用三、使用说明及学法指导:指导学生预习教材，找出疑惑之处，并用笔画出来。

四、知识链接:在初中我们已经学习过一次函数及图象，知道一次函数b kx y +=的图象是一条直线，它是以满足b kx y +=的每一对y x ,的值为坐标的点构成的，由于函数式b kx y +=可看作二元一次方程，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系。

五、教学过程:阅读课本第82页第1段，尝试判断下列问题的真假：知识点一直线的方程与方程的直线1、任意一条直线一定是某个一次函数的图象。

2、函数()0≥+=x b kx y 的图象是一条直线。

3、以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这个方程叫这条直线的方程。

4、若一条直线上的所有点的坐标都是某个方程的解，则这条直线叫这个方程的直线。

阅读课本第82～83页的倒数第3段，尝试回答下列问题：知识点二直线的倾斜角与斜率1、请描出下列各直线的倾斜角，并说明直线的倾斜角的范围是什么？2、怎么样用倾斜角表示斜率？3、任何一条直线都有倾斜角和斜率吗？说明理由。

4、直线倾斜角越大，它的斜率越大吗？它们之间的关系是怎样的？5、两条直线的倾斜角相等，斜率相等吗？6、你能根据正切函数图象，写出直线的倾斜角在︒︒<<900α和︒︒<<18090α两个范围内，斜率是怎么变化的吗？阅读课本，尝试回答下列问题：知识点三斜率公式1、斜率公式与两点的顺序有关吗？如何理解21x x ≠？2、你能根据斜率公式求倾斜角吗？阅读课本的例1、例2，尝试完成以下几题：知识点四典型例题A1、已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角。

B2、求经过A （10，8），B （4，-4）的直线的斜率和倾斜角？C3、如果A （5，1），B （a ，3），C （-4，2），在同一条直线上，求a 。

直线的倾斜角和斜率教案

直线的倾斜角和斜率教学目标（1）了解直线方程的概念．（2）正确理解直线倾斜角和斜率概念．理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率．（3）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．（4）通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．（5）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．教学建议1．教材分析（1）知识结构本节内容首先根据一次函数与其图像——直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式．这些充分体现了解析几何的思想方法．（2）重点、难点分析①本节的重点是斜率的概念和斜率公式．直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用．因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键．②本节的难点是对斜率概念的理解．学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受．2．教法建议（1）本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式．学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立．相应的教学过程（）也有三个阶段①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念．②本节的难点是对斜率概念的理解．学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样．学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗．再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题，就要求教师帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程（一次函数的形式，下同）中的系数恰好就是直线倾斜角的正切．为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计：(1)α变化→直线变化→中的系数变化（同时注意的变化）． (2)中的系数变化→直线变化→α变化（同时注意的变化）．运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中系数与倾斜角正切的内在关系，这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的．③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作一定的复习准备．④在学习直线方程的概念时要通过举例清晰地指出两个条件，最好能用充要条件叙述直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系．为将来学习曲线方程做好准备．（2）本节内容在教学中宜采用启发引导法和讨论法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式．学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、和评价．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、评价中完成的．在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展．教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价．教学设计示例直线的倾斜角和斜率教学目标：（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．（3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．（4）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．教学重点、难点：直线斜率的概念和公式教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程（（一）直线方程的概念如图1，对于一次函数，和它的图像——直线有下面关系：（1）有序数对（0，1）满足函数，则直线上就有一点，它的坐标是（0，1）．（2）反过来，直线上点（1，3），则有序实数对（1，3）就满足．一般地，满足函数式的每一对，的值，都是直线上的点的坐标（，）；反之，直线上每一点的坐标（，）都满足函数式，因此，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对的值为坐标的点构成的．从方程的角度看，函数也可以看作是二元一次方程，这样满足一次函数的每一对，的值“变成了”二元一次方程的解，使方程和直线建立了联系．定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．以上定义改用集合表述：，的二元一次方程的解为坐标的集合，记作．若（1）（2），则．问：你能用充要条件叙述吗？答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．（二）直线的倾斜角【问题1】请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．；；过定点，方向不同．如何确定一条直线？两点确定一条直线．还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．【导入】今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．【问题2】在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．学生：展开讨论．学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导．通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念．【板书】定义：一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角．（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）轴的正方向，（3）最小正角．）特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．由此定义，角的范围如何？0°≤α＜180°或0≤α＜π如图3至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的．（三）直线的斜率【问题3】下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？学生：在练习本上画出直线，写出方程．30°ß--à＝45°ß--à＝135°ß--à＝（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．）【演示动画】观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中系数变化的关系(1)直线变化→α变化→中的系数变化（同时注意α的变化）．(2)中的变化→直线变化→α变化（同时注意α的变化）．教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与的系数的关系：倾斜角不同，方程中的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！【板书】定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作，即．这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——斜率．指出下列直线的倾斜角和斜率：(1)＝-(2)＝tg60°(3)＝tg(-30°)学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°；（2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)画图，指出倾斜角和斜率．结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．α＝0°ß--à＝00°＜α＜90°ß--à＞0α＝90°ß--à不存在90°＜α＜180°ß--à＜0（四）直线过两点斜率公式的推导【问题4】如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义＝tgα求出直线的斜率；如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？即已知两点2)（其中2），求直线2的斜率．思路分析：首先由学生提出思路，教师启发、引导：运用正切定义，解决问题．(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．）(2)角α是“标准位置”吗？（不是．）(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量，使 1与原点重合，得到新向量．）(4)P的坐标是多少？（1）(5)直线的斜率是多少？＝tgα=（2）(6)如果2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．评价：注意公式中2，即直线轴．因此当直线轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角．【练习】(1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为α？(2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？(3)直线(-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？(4)求经过两点(0，0)、(-1，)直线的倾斜角和斜率．(5)课本第37页练习第2、4题．教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）．【总结】教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决．再看下边的问题：(1)直线倾斜角的概念要注意什么？(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？学生边讨论边总结：(1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，当α=90°时，α不存在．(3)＝（），没有．【作业】1．课本第37页习题7．1第3、4、5题．2．思考题（1）方程是单位圆的方程吗？（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？板书设计7．1直线的倾斜角和斜率一、直线方程二、直线的倾斜角三、直线的斜率四、斜率公式练习小结作业。

高二数学直线的倾斜角和斜率知识精讲人教版

高二数学直线的倾斜角和斜率知识精讲人教版一. 本周教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式［知识点］1. 直线的方程和方程的直线：定义：（1）以一个方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在直线l 上。

（2）直线l 上的点的坐标都是方程f （x ，y ）＝0的解。

满足（1）（2）的方程f （x ，y ）＝0是直线l 的方程，同时称直线l 为方程f （x ，y ）＝0的直线。

2. 直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕交点逆时针旋转与直线重合时，所转过的最小正角为直线倾斜角。

规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°。

X 围：0°≤α＜180°注意：（1）定义分两部分：一部分是与x 轴相交，另一部分与x 轴平行。

（2）与x 轴相交的定义中，应理解三个地方：①x 轴绕交点旋转；②逆时针方向；③最小正角。

（3）应特别注意倾斜角的X 围［0，π）。

（4）任何一条直线有唯一倾斜角，表示直线的倾斜程度，但倾斜角为α的直线有无穷多条。

3. 直线的斜率：定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。

符号：常用k 表示，即k ＝tan α。

注意：（1）所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。

（）由正切的单调性可知，单增，，时单增，两个单2απαππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪∈022[)调区间。

（3）当倾斜角为90°时斜率不存在，但直线存在。

4. 过两点的直线斜率公式：公式推导：如图，已知直线l 过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），倾斜角为α，求斜率k 。

y x O α α P 1 P 2 yx Oα α P 1 P 2Pyx O α α P 2 P 1yx Oα P 2 P 1P()作或，则，OP P P P P P x x y y →=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=--→→12211212∴=--=--tan αy y x x y y x x 12122121即：k y y x x y y x x =--=--12122121注意：（1）斜率公式与点的顺序无关。

2.1.1倾斜角与斜率教案

2.1.1倾斜角与斜率教案
《倾斜角与斜率》是一门重要的数学课程，它是学习直线和圆的方程的基础。

以下是一种可能的教学大纲：
教学目标：本节课的目标是让学生理解直线的倾斜角和斜率的概念，并掌握过两点的直线斜率的计算公式。

教学内容：本节课的主要内容包括直线的倾斜角和斜率的定义，倾斜角和斜率之间的关系，以及如何计算直线的斜率。

教学方法：教学方法主要包括讲解、示范、实践和讨论。

教师可以通过讲解和示范来解释直线的倾斜角和斜率的概念，然后让学生通过实践和讨论来加深理解。

教学过程：教学过程中，教师首先引导学生理解直线的倾斜角和斜率的概念，然后通过示范和实践让学生掌握如何计算直线的斜率。

教学评价：教学评价主要通过课堂参与、作业完成情况和测试成绩来进行。

教师可以根据学生的表现来调整教学方法和内容，以提高教学效果。

高二数学直线的倾斜角和斜率、直线的方程人教版(文)知识精讲

高二数学直线的倾斜角和斜率、直线的方程人教版（文）【本讲教育信息】一. 教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线的方程二. 本周教学重、难点： 1. 重点：直线的倾斜角和斜率的概念、直线方程的几种重要形式。

2. 难点：斜率的概念的学习，过两点直线的斜率公式的建立，直线方程的应用。

【典型例题】[例1]（1）已知M （4-，3），N （2，15）若直线l 的倾斜角是MN 的一半，求l 的斜率解：242315=+-=MN k 设l 的倾斜角为αααα2tan 1tan 22tan -==MN k ∴2122kk -=012=-+k k ∴251±-=k ∵0>k ∴251+-=k（2）过P （1-，3-）的直线l 与y 轴的正半轴没有公共点，求l 的倾斜角的X 围。

解：3tan =α∴3πα=∴),2[]3,0[πππα⋃∈（3）若直线l 的斜率)(12R m m k ∈-=则直线l 的倾斜角α的取值X 围是什么？解：∵112≤+-=m k ∴),2(]4,0[πππα⋃∈[例2] 过点P （1，4）作直线与两坐标轴正向相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求直线方程。

解：设1=+bya x （0>a ，0>b ） ∵ 过P （1，4） ∴141=+b a∴942545)41)(()(=⋅+≥++=++=+abb a a b b a b a b a b a当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1414b a abb a ∴⎩⎨⎧==63b a 时，9)(min =+b a∴163=+yx 即062=-+y x[例3] 在ABC ∆中，A （2，8），B （4-，0），C （5，0）求过B 且将ABC ∆面积分成2:1的直线方程。

解：设l 交AC 于P 点，则（1）PC AP 21=；（2）PC AP 2= （1）当PC AP 21=时，P （x ，y ）满足⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==++=316211083211252y x ∴l ：)4(7316+=x y 即0642116=+-y x（2）当PC AP 2=时，P （x ，y ）满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==++=382108421102y x∴l ：)4(838+=x y 即043=+-y x[例4] 设P 1（x 1，y 1），P 2（2x ，2y ）l ：0=++C By Ax ，求l 与直线21P P 的交点P （不过P 2）分21P P 的比。

2022数学第九章解析几何9

第九章解析几何9。

1直线的倾斜角、斜率与直线的方程必备知识预案自诊知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准,x轴与直线l的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为.（2）直线的倾斜角α的取值范围为。

2.直线的斜率（1）定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率。

(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1），P2(x2,y2)（x1≠x2）的直线的斜率公.式为k=y2-y1x2-x13。

直线方程的五种形式考点自诊1。

判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”.（1）直线的倾斜角越大，其斜率越大.（）(2）过点M(a，b），N（b,a）(a≠b)的直线的倾斜角是45°.（）（3）若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α。

（）(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y—y1）（x2—x1）=（x—x1）(y2-y1)表示。

(）（5)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离.() 2。

直线2x·sin 210°—y-2=0的倾斜角是()A 。

45° B.135° C 。

30 D.150°3.如图所示，在同一直角坐标系中能正确表示直线y=ax 与y=x+a 的是( )4。

(2020山东德州高三诊测)过直线l ：y=x 上的点P (2，2）作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为。

5.(2020云南丽江高三月考）经过点(4，1），且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为 .关键能力学案突破考点直线的倾斜角与斜率【例1】(1)直线x-√3y+1=0的斜率为（ )A 。

√3B 。

中职信息化教学大赛作品《直线的倾斜角与斜率》教学设计

中等职业学校教师信息化教学和说课系列交流活动史宁中教授指出：真正的知识是来源于感性的经验、通过直观和抽象得到的.为了将外在的知识内化为学生自身知识体系的一部分.主要以设置问题链的形式，引导学生类比、猜想，产生知识迁移，自然地体会倾斜角与斜率的概念;借助ggb演示，激发学生观察、实验，建构斜率公式，体验知识的形成过程.教法：问题探究、尝试教学；学法：自主探究、合作学习.根据本课需要，我借助学习通平台，利用微课、ggb、自制动画等辅助教学，实现了资源、学习与活动的有效融合，使教学更高效.Ⅰ、制作微课视频——《认识“坡度”》（1）问题引入这个标志是什么意思？（2）结合生活中的场景出示坡度概念（3）对坡度概念加以辨析Ⅱ、下发学案（见附件）及小组积分表.组员课堂竞技25分学案得分35分学生自评20分小组评价20分展示加分总分情境1——感受生活以直线的照片集引出课题.将跷跷板的运动过程抽象成直线的位置变化，引出对直线倾斜程度的思考.为了更好地研究倾斜程度的不同，将直线放在平面直角坐标系中，用角度刻画倾斜程度.并出示倾斜角概念.设直线与x轴相交与点P,A是x轴位于P点右方的一点,B是位于上半平面的l上的一点，则∠APB叫做直线l对x轴的倾斜角. 画一画：标出下列直线的倾斜角特殊情况：当直线l与x轴平行或重合时，规定其倾斜角为零角. 欣赏图片，结合玩“跷跷板”的生活体验，感受直线倾斜程度的变化.明确确定直线位置的要素：①两点②一点+一倾斜角（倾斜程度）联想仰角、俯角，迁移得到以x轴为基准，直觉从直线与x 轴所形成的4个角中确定“右上角”作为倾斜角.标出直线的倾斜角，图（4）根据定义，找不到倾斜角，引发认知冲突.摆一摆：用”笔”模拟直线，探究倾斜角α的取值范围.借助Geogebra，验证倾斜角的取值范围.情境2——感悟数学问题3：生活中还有没有表示倾斜程度的量？欣赏图片，感受泰山的壮美.古人有云“登泰山而小天下”，但登顶泰山谈何容易，尤其是“十八盘”——泰山十八盘下迄开山，上达南天门，全长800米，垂直高度为400米，石阶1600余级，势如天梯.为泰山标志性景观.泰山十八盘平均坡度多少呢？以此引发对坡度的探讨. 坡度等于垂直高度与水平宽度之比，通过ggb的图形演示，类比迁移得到可用倾斜角的正切值表示直线倾斜程度，由此引出斜率概念.斜率从代数角度描述直线的倾斜程度. 用笔模拟“直线”与“x轴”，直观上感受倾斜角的取值范围0°≤α＜180°.从爬山体验出发，感受爬坡的难易跟坡的陡峭（倾斜）程度有关.回顾坡度的概念：坡度=垂直高度/水平宽度观察ggb演示，讨论发现，如果用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是倾斜角的正切值.斜率k=tanα(α≠90°).加深对倾斜角概念的准确理解.从学生的生活体验出发，类比“坡度”，得到直线的斜率的概念，水到渠成.学生感受概念来源于生活，体验从直观到抽象的过程.问题4：倾斜角与斜率之间有怎样的关系呢？填一填：完成特殊角及其斜率的对应表格. 结合图形，根据倾斜角α的大小，分类讨论斜率k 的取值. 借助ggb 加以验证.填表，“知一求一”，感受当α≠90°时，倾斜角与斜率之间的一一对应关系. 完成表格，分类讨论探究发现：倾斜角变大，斜率不一定变大，当倾斜角为锐角，斜率大于0，当倾斜角为钝角，斜率反而小于0.由特殊到一般，归纳倾斜角与斜率之间的变化关系，沟通“数”与“形”之间的联系.第二环节合作探究（约12分钟）教师活动学生活动设计意图两点能确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，直线的斜率确定了吗？如何用坐标表示呢？问题5：已知直线 l 经过、),(211x x P ）（222,y x P 试用点21P P 、的坐标表示直线 l 的斜率.教师先给出倾斜角α是锐角的图形，师生共同探究，添加辅助线，构造直角三角形，引导学生借助Geogebra 软件，结合图像分析① 当α是锐角时，师生共同探究倾斜角为锐角时斜率与坐标的关系. ② 追问：当x 1=x 2时，直线的位置？①根据斜率的定义，将α放在直角三角形中探究，结合图像，将α转化为其同位角P P P 12∠. 在P P P Rt 12∆中，12121212tan x x y y P P P P P P P --===∠邻边对边,其中分母不为0，21x x ≠. ②利用Geogebra 演示发现直线与x 轴垂直时，x 1=x 1，即倾斜角为90°，斜率不存在.体验知识的建构过程，感受化归思想.③当直线继续旋转，α是钝角时，公式还适用吗？引导学生分组合作.④对于倾斜角的情况，还有补充的吗？强调公式结构特征：上下对应即可. ③倾斜角为钝角：学生分组合作探究，优秀小组代表上台讲解其证明过程.④结合图形发现当α=0°时，直线与x轴平行或重合，公式仍然成立.完善了知识结构，获得成功的体验.整个推导过程聚焦在“整体结构”和“逻辑主线”上，体现了数形结合和分类讨论的思想，在突破本课难点的同时，提升了数学抽象和逻辑推理能力.第三环节巩固深化（约12分钟）教师活动学生活动设计意图Ⅰ、例题讲解例1、根据下面各直线满足的条件，分别求出直线的斜率.（1）倾斜角为60°；（2）直线过点A（2，3）与点B（0，5）. 追问：（2）中直线的倾斜角为多少？Ⅱ、跟踪学习在直角坐标系中，画出经过点（1，1），且斜率为以下情况的直线：(1)l1:k=0；(2)l2:k不存在；(3) l3:k=2； (4) l4:k=−1 .选取学生答题情况进行同屏显示，师生共同分析.Ⅲ、课堂竞技借助学习通平台发布“课堂竞技”（5个选择题，每题5分，满分25分，限时5分钟）.在线提交答案后系统及时计分，教师端可查看学生的答题情况，及时了解学情，给予点评，促进内化. Ⅰ、思考并回答，利用斜率概念和两点公式均能求斜率.当斜率k已知，可以根据k=tanα反过来求倾斜角α.Ⅱ、按要求画图加强对斜率公式和0°，90°两种特殊情况斜率的理解.巩固斜率的2种计算方法.通过逆向思维，进一步加深对斜率公式的理解；已知一点和一斜率可以确定唯一的直线，为下节课学习直线的点斜式方程做铺垫.Ⅲ、通过手机端答题，提交后可以获取得分，在记分表上记录个人得分.针对错题可以点击答案解析获取帮助.师生交流，谈分享，促内化.播放动画——《拼图魔术》生活中我们常常相信“眼见为实”，但又常常为自己的眼睛所骗.魔术就是一个很好的例子.接下来就是见证奇迹的时刻！有四块形状各异的拼图，将他们重新拼接之后，留下一个“洞”，这个“洞”是从用数学的眼光观察、分析问题，通过建立坐标系，将几何问题代数化.哪里来的呢？教师：魔术师实际上用了一个障眼法，用肉眼看很难看出里面的蹊跷.“形少数时难入微”，引导学生利用代数方法解决几何问题.引导学生分组合作探究.对优秀小组的答案进行投影展示，并请小组发言人上台讲解，师生共同点评.通过建立坐标系，从O、C、D三点中任取两点构成直线，并计算其斜率.因为两直线有公共点，所以若斜率存在且相等，则三点共线.计算发现三点不共线，所以拼接而成的图形不是三角形，不能用三角形面积计算.通过斜率判断三点是否共线的问题，在解决趣味谜题的同时感受解析几何坐标法的实用性.第五环节内化提升（约3分钟）教师活动学生活动设计意图课后小结：1.引导学引导学生从知识的发生、发展方向进行小结.2.根据积分，推选出优秀个人和先进小组. 作业布置:必做题：书本P54−55: 练习8.2.1;选做题：如图，已知直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2,求l2的斜率.拓展题：1.阅读书本P80−82《解析几何的创始人——笛卡尔》;2.观看F ocusky动画“魔术师的地毯”，并解决实际问题.板书设计:对本节课的内容、思想方法进行梳理，及时发现自己的疑惑与不足.课后结合自身实际完成相应的作业.实现知识的自我建构，提升梳理能力,养成反思习惯.分层作业的布置尊重了学生个体差异，满足了学生多样化的学习需要.提纲式板书条理清晰，重点突出，帮助学生理清学习思路.1、学习资源放入学习通平台以供学习.2、课后拓展作业：Focusky动画——解谜《魔术师的地毯》一天，魔术师拿了一块长宽都是13分米的地毯去找裁缝，要求把这块正方形地毯改成长21 分米，宽8分米长的长方形. 裁缝心想“这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗?”正方形面积为169 平方分米，而长方形面积只有168平方分米. 除非裁去1平方分米，不然没法做.魔术师拿出事先画好的两张设计图，对师傅说:“你先照这图一把地毯裁成四块，然后照图二缝一起就行了！”裁缝纳闷了“那1平方分米的地毯哪里去了？”你能帮裁缝解开这个谜吗？1、学生根据自身需求有选择性地再次学习.2、观看动画，探究问题，通过交流、讨论解决地毯拼接之谜附件直线的倾斜角与斜率学案组别姓名课堂竞技（25分）学案得分（35分）学习自评（20分）小组评价（20分）总得分学习目标：理解直线的倾斜角与斜率的概念;掌握直线的斜率公式并灵活运用.【课中】创境导入1、画一画(6分)：标出下列直线的倾斜角α.2、摆一摆（2分）：用“笔”模拟直线，探究倾斜角α的取值范围倾斜角α的取值范围________________________3、斜率的概念：_______________________________（2分）4、平面直角坐标系中，如何确定一条直线的位置？（2分）_____________________________________________________________5、填一填（15分）：特殊角与其斜率之间的对应关系直线倾斜角与斜率之间的关系得分（1）（2）（3）（4）◆合作探究：（小组合作10分）探究：已知直线l经过P1(x1,y1)、P2(x2,y2),试用点P1、P2的坐标表示直线l的斜率.（α是钝角）l—————————————————————————————————————————————————————————α——————————————————————————————————————◆巩固深化◆趣味应用（小组合作10分）魔术拼图：四块积木拼接如图一，重新拼接后成图二，思考：为什么会缺了一块？_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________得分得分得分P2(x2,y2)P1(x1,y1)xyO•1y2y2x1x•2、（8分）在直角坐标系中，画出经过点（1，1），且斜率为以下情况的直线：(1)l1: k=0； (2) l2: k不存在； (3) l3: k=2； (4) l4: k=−1xyO。

2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程

y －y 1 x －x 1 y 2－y 1 x 2－x 1＋＝1 不是倾斜角越大，斜率 k 就越大，因为 k ＝tan α ，当 α∈⎢0，π⎪时，α 越大，斜率 k 就越大，同样 α∈ π，π⎪时也是如此，但当 α∈[0，π)且 α≠ 时就不是了．第九章平面解析几何第 1 讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°.(2)范围：直线 l 倾斜角的范围是[0°，180°)．2．斜率公式(1)若直线 l 的倾斜角 α≠90°，则斜率 k ＝tan__α ．(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线 l 上且 x 1≠x 2，则 l 的斜率 k ＝3．直线方程的五种形式y 2－y 1 x 2－x 1．名称点斜式斜截式已知条件斜率 k 与点(x 1，y 1)斜率 k 与直线在 y 轴上的截距 b方程y －y 1＝k(x －x 1)y ＝kx ＋b 适用范围不含直线 x ＝x 1不含垂直于 x 轴的直线两点式两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)截距式直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a ，b一般式＝(x 1≠x 2，y 1≠y 2)x ya b(a ≠0，b ≠0)Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)不含直线 x ＝x 1(x 1＝ x 2)和直线 y ＝y 1(y 1＝y 2)不含垂直于坐标轴和过原点的直线平面直角坐标系内的直线都适用导师提醒1．掌握直线倾斜角和斜率的关系⎡ ⎫ ⎣ 2 ⎭⎛ ⎫ π ⎝ 2 ⎭22．识记几种特殊位置的直线方程(1)x 轴：y ＝0.(2)y 轴：x ＝0.解析：选 B.设直线的倾斜角为 α，则 tan α ＝ 3，因为 α∈[0，π)，所以 α＝ .解析：选 C.由题意知直线的斜率 k ＝－＜0，直线在 y 轴上的截距 b ＝－＞0，故选 C.经过两点 A(4，2y ＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为 3π，则 y ＝________．(3)平行于 x 轴的直线：y ＝b (b ≠0)．(4)平行于 y 轴的直线：x ＝a(a ≠0)．(5)过原点且斜率存在的直线：y ＝kx. 3．关注两个易错点(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．(2)截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为 0，这是解题时容易忽略的一点．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．() (2)直线的斜率为 tan α ，则其倾斜角为 α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．()(4)经过点 P(x 0，y 0)的直线都可以用方程 y －y 0＝k(x －x 0)表示．( )(5)经过任意两个不同的点 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程 (y －y 1)(x 2－x 1)＝(x － x 1)(y 2－y 1)表示．()答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)经过点 P 0(2，－3)，倾斜角为 45°的直线方程为()A ．x ＋y ＋1＝0C ．x －y ＋5＝0 B ．x ＋y －1＝0D ．x －y －5＝0解析：选 D.由点斜式得直线方程为 y －(－3)＝tan 45°(x －2)＝x －2，即 x －y －5＝0，故选D.直线 3x －y ＋a ＝0 的倾斜角为( )A ．30°C ．150°B ．60°D ．120°π3如果 AC ＜0，BC ＜0，那么直线 Ax ＋By ＋C ＝0 不通过( )A ．第一象限C ．第三象限B ．第二象限D ．第四象限A CB B4解析：tan＝＝＝y＋2，4－2解析：令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－，则有－＝2，所以k＝－24.B.⎣0，⎦∪⎣，π⎫C.⎣0，⎦D.⎣0，⎦∪⎝2，π⎫1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B.kBP＝＝－3，所以直线l的斜率k∈－∞，－3∪1，＋∞.(][)－∞，－3＝1，k3π2y＋1－（－3）2y＋442因此y＋2＝－1，y＝－3.答案：－3直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________．k k k k4343答案：－24直线的倾斜角与斜率(典例迁移)(1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A.[0，π)⎡π⎤⎡3π44⎭⎡π⎤4⎡π⎤⎛π4⎭(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．【解析】(1)设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.因为sinα∈[－1，1]，所以－π3π44(2)如图，因为kAP＝1－0＝1，2－13－00－1【答案】(1)B(2)(]∪[1，＋∞)[迁移探究1](变条件)若将本例(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．解：因为P(－1，0)，A(2，1)，B(0，3)，所以k AP＝3－0＝＝ 3.0－（－1）1－02－（－1）3BP如图可知，直线l斜率的取值范围为⎡，3⎤.y－y1(x1≠x2)求x2－x[)率求倾斜角的范围时，要分⎢0，π⎪，与 π，π⎪三种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当倾斜角α∈⎢0，π⎪时，斜率k∈0，＋∞；当α＝时，斜率不存在；当α∈ π，π⎪时，斜率) ()221⎣3⎦[迁移探究2](变条件)若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的范围．解：如图，直线P A的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤①求出斜率k＝tanα的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．(2)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率；②公式法：若已知直线上两点A(x，y)，B(x，y)，一般根据斜率公式k＝211221斜率．[提醒]直线倾斜角的范围是0，π，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜⎡⎫π⎛⎫⎣2⎭⎝2⎭⎡⎫[π⎛⎫⎣2⎭⎝2⎭k∈－∞，0.1．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1<k2<k3C．k3<k2<k1B．k3<k1<k2D．k1<k3<k2且α>α，所以0<k<k，因此k<k<k.故选D.6－45－43．已知点(－1，2)和⎝，0⎭在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值⎛3，0⎫在直线l：ax－y＋1＝0同侧的充要条件是(－a－2＋a＋1⎭>0，解得－3<a<－1，即直线l的斜率的范围是(－3，－1)，故其倾斜角的取值范围是 2π，3π⎪.答案：⎝3，4⎭(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为10设倾斜角为α，则sinα＝10(0≤α＜π)，从而cosα＝±310，则k＝tanα＝±1.故所求直线方程为y＝±1(x＋4)，(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋＝1，12－a解析：选D.直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，23321322．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．解析：因为k AC＝5－3a－3＝1，k＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即aAB＝4.答案：4⎛3⎫3范围是________．解析：点(－1，2)和⎝3⎭⎛3⎫1)⎝3⎛⎫⎝34⎭⎛2π3π⎫求直线的方程(师生共研)根据所给条件求直线的方程：10；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5，10)，且与原点的距离为5.【解】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．101033即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.x ya＋＝1，解得a＝－4或a＝9.＝5，解得k＝3.所以直线方程为y＝－2x，即2x＋5y＝0.又直线过点(－3，4)，从而－3a412－a故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点线距离公式，得|10－5k|k2＋14故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．(3)重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；(2)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)当直线不过原点时，设所求直线方程为＝－1，2所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－2，55故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.x＋y＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a2a a【解】法一：设直线 l 的方程为＋＝ 1(a >0 ， b >0) ，将点 P(3 ， 2) 代入得＋＝1≥26 ，得 ab ≥24，从而 S ＝1ab ≥12，当且仅当3＝2时等号成立，这时k ＝－b ＝－2， ab 2 a b a 3则 A ⎛3－，0⎫，B(0，2－3k)， S △ABO ＝ (2－3k)⎝3－k ⎭ ＝1⎢12＋（－9k ）＋ ⎦－k ⎦⎢ ＝1×(12＋12)＝12，解：法一：由原例题解法一知＋＝1.又过点(3，4)，由点斜式得 y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为 x －y ＋1＝0 或 x ＋y －7＝0.直线方程的综合问题(典例迁移)(一题多解)已知直线 l 过点 P(3，2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程．x y 3 2a b a b△AOB从而所求直线 l 的方程为 2x ＋3y －12＝0.△所以 ABO 的面积的最小值为 12，所求直线 l 的方程为 2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k <0，可设直线 l 的方程为 y －2＝k(x －3)(k<0)，2⎝ k ⎭1 ⎛ 2⎫2 ⎡4 ⎤ 2⎣ －k ⎥≥1⎡12＋22⎣4 ⎤（－9k ）· ⎥2当且仅当－9k ＝ 4 ，即 k ＝－2时，等号成立．此时直线 l 的方程为 2x ＋3y －12＝0.－k3△所以 ABO 的面积的最小值为 12，所求直线 l 的方程为 2x ＋3y －12＝0.[迁移探究] (变问法)若本例条件不变，求|OA|＋|OB|的最小值及此时 l 的方程．3 2a b因为|OA|＋|OB|＝a ＋b ，⎫3b2a＋＝5＋＋≥5＋26.所以(a＋)⎛|OA|＋|OB|＝3－＋2－3k(k<0)－⎫＋(－3k)＝5＋⎛此时直线l的方程为y－2＝－6(x－3)，此时，直线l的方程为x＋＝1，≥5＋2⎛－2⎫·（－3k）＝5＋26.32⎝a b⎭a b当且仅当2a＝3b，且3＋2＝1，a b即a＝3＋6，b＝2＋6时，|OA|＋|OB|的最小值为5＋2 6.y3＋62＋6即6x＋3y－6－36＝0.法二：由原例题解法二知2k2⎝k⎭⎝k⎭当且仅当－2＝－3k，即k＝－6时，k3|OA|＋|OB|取最小值5＋2 6.3即6x＋3y－6－36＝0.(1)给定条件求直线方程的思路①考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况；②在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程；③重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．(2)与直线有关的最值问题的解题思路①借助直线方程，用y表示x(或用x表示y)；②将问题转化成关于x(或y)的函数；③利用函数的单调性或基本不等式求最值．1．已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a>1)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，实数a的值是()（a－1）·＝9.1⎫215，当a＝1⎛a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝⎝a－2⎭＋2a b cf（b）f（c）a b cA．1C．2解析：选D.当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝B.2D．3a＋3a＋3，令t＝a＋3＋a－1a－1＝5＋(a－1)＋4a－1.因为a>1，所以a－1>0.所以t≥5＋24（a－1）当且仅当a－1＝4，即a＝3时，等号成立．a－12．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________．解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为112242时，面积最小．1答案：构造直线的斜率，利用数形结合法求解问题一、比较大小已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则f（a）f（b）f（c），，的大小关系为________．【解析】作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，所以f（a）<<.a b c【答案】f（a）f（b）f（c）<<f（a）f（b）对于函数f(x)图象上的两点(a，f(a))，(b，f(b))，比较与的大小时，可转化为这a b两点与原点连线的斜率来比较大小．二、求最值已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求y＋3接P A，PB，则k≤k≤k.＝4，k＝1－（－2）3＝8，所以4≤k≤8，故的最大值是8，最小值是4.－1－（－2）x＋2y2－y1c＋dx已知a，b，m∈(0，＋∞)，且a<b，求证：a＋m>a.连接OP，PM，则k＝a，k＝.b＋m所以k>k，即b＋m bx＋2的最大值和最小值．【解】如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，则y＋3x＋2表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连P A PB易得A(1，1)，B(－1，5)，所以k＝P A1－（－3）PB5－（－3）y＋333对于求形如k＝，y＝的最值问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直x2－x1a＋bx线斜率的范围，借助数形结合进行求解．三、证明不等式b＋m b【证明】如图，设点P，M的坐标分别为(b，a)，(－m，－m)．因为0<a<b，所以点P在第一象限，且位于直线y＝x的下方．又m>0，所以点M在第三象限，且在直线y＝x上．a＋mOP b MP因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角，且两条直线的倾斜角都是锐角，MP OPa＋m a>.根据所证不等式的特点，寻找与斜率公式有关的信息，从而转变思维角度，构造直线斜率解题，这也是解题中思维迁移的一大技巧，可取得意想不到的效果．已知射线l1：y＝4x(x≥0)和点P(6，4)，试在l1上求一点Q使得PQ所在直线l和l1以及直线y＝0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l的方程．＝1×4a × 5a ， a －1＝ 10a ＝10 ⎡ 1 ＋2⎤ a －1 ⎥≥40， a －1 形为 y ＝－a x －c .易知－a <0 且－c>0，故 ab >0，bc<0.3．两直线－＝a 与－＝a(其中 a 为不为零的常数)的图象可能是()解析：选 B.直线方程－＝a 可化为 y ＝ x －na ，直线－＝a 可化为 y ＝ x －ma ，由此解：设点 Q 坐标为(a ，4a)，PQ 与 x 轴正半轴相交于 M 点．由题意可得 a ＞1，否则不能围成一个三角形．PQ 所在的直线方程为：y －4＝ 4a －4(x －6)，a －6令 y ＝0，x ＝ 5a，a －1因为 a ＞1，所以 S △OQM2则 S △OQM 2 ⎛a 2－2a ＋1＋2a －2＋1⎫ ⎪a －1 ⎝ ⎭＝10⎢（a －1）＋ ⎣ ⎦当且仅当(a －1)2＝1 时取等号．所以 a ＝2 时，Q 点坐标为(2，8)，所以此时直线 l 的方程为：x ＋y －10＝0.[基础题组练]1．倾斜角为 120°，在 x 轴上的截距为－1 的直线方程是()A. 3x －y ＋1＝0C. 3x ＋y － 3＝0B. 3x －y － 3＝0D. 3x ＋y ＋ 3＝0解析：选 D.由于倾斜角为 120°，故斜率 k ＝－ 3.又直线过点(－1，0)，所以方程为 y ＝－3(x ＋1)，即 3x ＋y ＋ 3＝0.2．直线 ax ＋by ＋c ＝0 同时要经过第一、第二、第四象限，则 a ，b ，c 应满足()A ．ab >0，bc <0C ．ab <0，bc >0B ．ab >0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析：选 A.由于直线 ax ＋by ＋c ＝0 经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变b b b bx y x ym n n mx y n x y mm n m n m nC ．k ＞或 k ＜－1解析：选 D.设直线的斜率为 k ，则直线方程为 y －2＝k(x －1)，直线在 x 轴上的截距为 1－ .令－3＜1－2＜3，解不等式得 k ＜－1 或 k ＞1.解析：选 C.令 x ＝0，得 y ＝，所以所求三角形的面积为1⎪ ⎪|－b |＝1b 2，且 b ≠0，1b 2≤1，所以 b 2≤4，所以 b 的取值范 6．过点 A(－1，－3)，斜率是直线 y ＝3x 的斜率的－的直线方程为________．k ＝－ ×3＝－ .因此所求直线方程为 y ＋3＝－3(x ＋1)，可知两条直线的斜率同号．4．(2019· 广东惠州质检)直线 l 经过点 A(1，2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率 k 的取值范围是()A ．－1＜k ＜ 15B ．－1<k < 1215D ．k ＜－1 或 k > 1 22kk 25．直线 x －2y ＋b ＝0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么 b 的取值范围是()A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)b2令 y ＝0，得 x ＝－b ，b 2⎪2⎪ 4 4围是[－2，0)∪(0，2]．14解析：设所求直线的斜率为 k ，依题意1 34 4又直线经过点 A(－1，－3)，4即 3x ＋4y ＋15＝0.答案：3x ＋4y ＋15＝07．已知直线 l ：ax ＋y －2－a ＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是________．解析：由题意可知 a ≠0.当 x ＝0 时，y ＝a ＋2.当 y ＝0 时，x ＝ a ＋2a.(2)斜率为 .解：(1)设直线 l 的方程为 y ＝k(x ＋3)＋4，它在 x 轴，y 轴上的截距分别是－－3，3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)×⎛ ＋3⎫＝±6，解得 k ＝－2或 k ＝－8.(2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b ，则直线 l 的方程是 y ＝ x ＋b ，它在 x 轴上的截距是－6b ，1 23a ＋2 所以＝a ＋2，a解得 a ＝－2 或 a ＝1.答案：－2 或 18．设点 A(－1，0)，B(1，0)，直线 2x ＋y －b ＝0 与线段 AB 相交，则 b 的取值范围是________．解析：b 为直线 y ＝－2x ＋b 在 y 轴上的截距，如图，当直线 y ＝－2x ＋b 过点 A(－1，0)和点 B(1，0)时，b 分别取得最小值和最大值．所以 b 的取值范围是[－2，2]．答案：[－2，2]9．已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程： (1)过定点 A(－3，4)；164k4 ⎝k ⎭ 3 3故直线 l 的方程为 2x ＋3y －6＝0 或 8x ＋3y ＋12＝0.16由已知，得|－6b · b |＝6，所以 b ＝±1.所以直线 l 的方程为 x －6y ＋6＝0 或 x －6y －6＝0.10.如图，射线 OA ，OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角，过点 P(1，0)作直线 AB 分别交 OA ，OB 于 A ，B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y ＝12 x 上时，求直线 AB 的方程．解：由题意可得 k OA ＝tan 45°＝1，k OB＝tan(180°－30°)＝－ 3，所以直线 l ：y ＝x ，l ：y ＝－ 3x.所以 AB 的中点 C m － 3n ，m ＋n ⎪，由点 C 在直线 y ＝1x 上，且 A ，P ，B 三点共线得2 m －2 ⎩1＝ 3n 03－1 所以 l ：y ＝ 3＋ 3(x －1)，线 l 的最大距离为 3，则 1 ＋的最小值为()4 所以 a ＋c ＝2，则 1 ＋2＝1(a ＋c )· ⎛ 1 ＋2⎫ ＝1⎛ ＋ c ＋2a ⎫⎝2a c ⎭ 2⎝2 2a c ⎭≥2⎝2＋2OA OB 3设 A(m ，m )，B(－ 3n ，n)，⎛ ⎫ ⎝ 2 2 ⎭2⎧⎪m ＋n ＝1 · 2 3n ，⎨ ⎪m －0 － n －－1，解得 m ＝ 3，所以 A( 3， 3)．又 P(1，0)，所以 k ＝k ＝AB AP 3＝3＋ 3， 2AB 2即直线 AB 的方程为(3＋ 3)x －2y －3－ 3＝0.[综合题组练]1．在等腰三角形 MON 中，MO ＝MN ，点 O(0，0)，M (－1，3)，点 N 在 x 轴的负半轴上，则直线 MN 的方程为()A ．3x －y －6＝0C ．3x －y ＋6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选 C.因为 MO ＝MN ，所以直线 MN 的斜率与直线 MO 的斜率互为相反数，所以 k MN＝－k MO ＝3，所以直线 MN 的方程为 y －3＝3(x ＋1)，即 3x －y ＋6＝0，选 C.2．(创新型)已知动直线 l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点 P(1，m )且 Q(4，0)到动直22a cA. 9 29 B. C ．1D ．9解析：选 B.因为动直线 l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点 P(1，m )，所以 a ＋bm ＋c－2＝0，又 Q(4，0)到动直线 l 的最大距离为 3，所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得 m ＝0，2a c 25 1⎛5 c · 2a ⎫＝9，当且仅当 c ＝ 2a c ⎭ 42a ＝时取等号，故选 B.⎧－2＋2＝1，解析：设 M (x ，y)，由 k MA k MB ＝3，得 yy ＝3，即 y ＝3x －3.得⎛ 2－3⎫x 2＋2 3x ＋6＝0.⎛2 3⎫2－24⎛ 1 －3⎫ k MB之积为 3，则Δ＝⎝ m ⎭ ⎝m 2 ⎭ 6 所以实数 m 的取值范围是⎛－∞，－ 6⎤∪⎡ 6，＋∞⎫.答案：⎝－∞，－ ∪⎣ 6 3－1 ＝4 33．直线 l 过点(－2，2)且与 x 轴、y 轴分别交于点(a ，0)，(0，b )，若|a|＝|b |，则直线 l 的方程为____________．解析：若 a ＝b ＝0，则直线 l 过(0，0)与(－2，2)两点，直线 l 的斜率 k ＝－1，直线 l 的方程为 y ＝－x ，即 x ＋y ＝0.若 a ≠0，b ≠0，则直线 l 的方程为x ＋y＝1，a b由题意知 ⎨ a b ⎩|a|＝|b |，⎧a ＝－4，解得⎨⎩b ＝4，此时，直线 l 的方程为 x －y ＋4＝0.答案：x ＋y ＝0 或 x －y ＋4＝04．已知直线 l ：x －my ＋ 3m ＝0 上存在点 M 满足与两点 A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率 k MA 与 k MB 之积为 3，则实数 m 的取值范围是____________．2 2 x ＋1 x －1⎧x －my ＋ 3m ＝0，联立⎨⎩y 2＝3x 2－3，1 ⎝m ⎭ m要使直线 l ：x －my ＋ 3m ＝0 上存在点 M 满足与两点 A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率 k1 ≥0，即 m 2≥ .⎝ 6 ⎦ ⎣ 6⎭ MA 与⎛ 6⎤ ⎡ 6 ⎫ 6 ⎦，＋∞⎭5．(应用型)已知△ABC 的三个顶点分别为 A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线 DE 所在直线的方程．解：(1)因为直线 BC 经过 B(2，1)和 C(－2，3)两点，由两点式得 BC 的方程为 y －1x －2－2－2 ，(3)由(1)知，直线 BC 的斜率 k 1＝－，2即 x ＋2y －4＝0.(2)设 BC 边的中点 D 的坐标为(x ，y)，2－2 1＋3则 x ＝＝0，y ＝＝2.2 2BC 边的中线 AD 经过 A(－3，0)，D(0，2)两点，由截距式得 AD 所在直线的方程为 x ＋y＝1，－3 2即 2x －3y ＋6＝0.1则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k ＝2.2由(2)知，点 D 的坐标为(0，2)．由点斜式得直线 DE 的方程为 y －2＝2(x －0)，即 2x －y ＋2＝0.6．(应用型)已知直线 l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线 l 过定点：(2)若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A ，交 y 轴正半轴于 B ，△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点)，求 S的最小值，并求此时直线 l 的方程．解：(1)证明：直线 l 的方程可化为 k(x ＋2)＋(1－y)＝0，⎧x ＋2＝0，令⎨⎩1－y ＝0，⎧x ＝－2，解得⎨⎩y ＝1，所以无论 k 取何值，直线 l 总过定点(－2，1)．(2)直线方程可化为 y ＝kx ＋1＋2k ，当 k ≠0 时，要使直线不经过第四象限，⎧k >0，则有⎨⎩1＋2k ≥0，解得 k >0；当 k ＝0 时，直线为 y ＝1，符合题意．(3)依题意得 A －，0⎪，B(0，1＋2k)，⎧－1＋2k 且⎨<0，所以 S ＝1 |OA| |OB|＝1 ⎪－1＋2k ⎪ |1＋2k| k1 （1＋2k ）2＝1⎛ 4k ＋＋4⎫⎭≥ ×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是 4k ＝，此时 k ＝，综上，k 的取值范围是 k ≥0.⎛ 1＋2k ⎫ ⎝ ⎭k⎩1＋2k >0，解得 k>0.⎪ ⎪ 2 2 ⎪ k ⎪＝ 2 k 2⎝ 1 1 k 21 1k 2所以 S min ＝4，此时直线 l 的方程为 x －2y ＋4＝0.。

中职信息化大赛《直线的倾斜角与斜率》教学设计

蓝墨云班课几何画板微课希沃白板班级QQ群等教学流程环节一：”趣”导学（8分钟）环节二：”释”疑惑（10分钟）环节三：”破”瓶颈（12分钟）环节四：”展”风采（12分钟）做学案课堂教学小组竞赛,玩游戏复习特殊角正切值小组代表展示课前上传的实例图片课后拓展前置学习结合实例联系专业，引出倾斜角定义根据定义找出预习学案中出现的倾斜角错误，深化对定义的理解学习微课1，理解倾斜角的范围填表并合作探究 1.是否所有直线上都有倾斜角、斜率2.斜率在什么范围内为正，什么范围内为负？观看微课2，学习两点坐标求斜率的公式1学例题,做练习2.云班课在线检测自主学习直线的倾斜角与斜率研公式1.谈收获2.多元评价，评选最佳破难题自主探究：在运用两点求斜率公式时，P1、P2两点的位置对解题有影响搜图片搜集生活中的”直线与倾斜角”实例解决问题二:不知道倾斜角，知道两组电压电流值，如何求阻值？（合作探究）提疑惑围绕预习任务，平台交流互动环节五：”明”实效（3分钟）解决问题一，通过求电阻阻值，联想到直线的斜率的表示，得出斜率定义云班课分层作业，针对难题线上交流1.录制微课并在发布课前预习学案，引导学生完成预习任务。

2.布置活动：寻找生活中的“直线与倾斜角”，并上传至QQ群。

1.复习检测打开希沃白板，组织学生通过小游戏复习特殊角的正切值2.创设情境展示各组课前收集的素材并组织各组推选代表分享所选实例。

3.结合专业：将第四小组素材里的专业知识转化成数学问题。

教师：将图中的横轴转化为x轴，纵轴转化为y轴，结合预习知识，大家能做出A、B两直线的倾斜角吗？（3）抽选学生上台作出两直线的倾斜角并说明作图依据。

1.引出直线倾斜角的概念定义：当直线与x轴相交时，x轴正方向和直线l向上的方向所形成的角，叫做直线的倾斜角。

2.问题反馈展示学生课前预习中出现的共性错误，并组织学生找出错误原因。

强调倾斜角的找法（解读定义）（1）根据反馈的典型错误，引导学生总结找直线倾斜角的方法：确定交点，找x 轴正方向，直线向上的方向。

高中数学-直线的倾斜角与斜率直线的方程教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计(2)直线的斜率①定义: 若直线的倾斜角θ不是90°, 则斜率k ＝ .②计算公式: 若由A(x1, y1), B(x2, y2)确定的直线不垂直于x 轴, 则k ＝教师强调斜率与倾斜角的关系, 及斜率的计算公式并请同学思考: 1．直线的倾斜角越大, 斜率k 就越大, 这种说法对吗？生B 回答；生C 补充。

根据学生的总结得到相关答案:生D 回答:2. 两条直线平行、垂直与其斜率间的关系 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1, l2, 其斜率分别为k1, k2, 则有l1∥l2⇔ ； ②当不重合的两条直线l1, l2的斜率都不存在时, l1与l2的关系为． (2)两条直线垂直①如果两条直线l1, l2的斜率存在, 设为k1, k2, 则l1⊥l2⇔ ；②如果l1, l2中有一条直线的斜率不存在, 另一条直线的斜率为0时, l1与l2的关系为垂直．生E 回答:2．在平面直角坐标系中, 如果两条直线平行, 则其斜率相等, 正确吗？师生总结得到答案: 教师强调特殊情形:生F 回答:3. 直线方程的几种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k 与点(x0, y0)斜截式斜率k 与截距b两点式两点(x1, y1), (x2,y2)提示：这种说法不正确．由k ＝tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠π2知，当 θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，θ越大，斜率越大且为正；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，θ越大，斜率也越大且为负．但综合起来说是错误的．“直线的倾斜角与斜率、直线方程”效果分析本节课立足于课本, 着力挖掘, 设计合理, 层次分明, 以“画、看、说、用”为特色, 把握重点, 突破难点, 借助现代教育各种技术与媒体, 创设师生, 生生之间心灵沟通与交流的空间, 创设愉快学习的氛围, 增强学生的学习兴趣, 使教与学形成共鸣达到共振, 通过题型的设计, 使学生对本部分的知识形成一个知识网络, 站在更高的层次上把握知识点, 明确高考的方向, 常考的题型。